Một số bài toán hình học lớp 9 cơ bản và nâng cao dùng cho thi tuyển sinh và học sinh giỏi

Một số bài toán hình học phẳng hay lớp 9 được chọn từ đề thi tuyển sinh 10 chuyên và học sinh giỏi, nội dung sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao. Nhiều bài toán được có tính sáng tạo và dịch từ nước ngoài. Hy vọng tài liệu mang lại hiệu quả trong việc học tập và nghiên cứu hình học phẳng đối với quý thầy cô và các em học sinh.

A MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN (TOÁN CHUNG) Bài 1.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2023-2024)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB và điểm M tùy ý trên nửa đường tròn (M khác A và B ) Trên đoạn thẳng MB lấy điểm H (H khác M và B ) Đường thẳng đi qua ,H vuông góc với AB tại K cắt nửa đường tròn đã cho tại E và cắt đường thẳng AM tại I

a) Chứng minh tứ giác AMHK nội tiếp đường tròn b) Chứng minh KE2 KA KB KI KH 

c) Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH và nửa đường tròn đã cho Chứng minh ba điểm B N I thẳng hàng và tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại N đi qua trung , , điểm của đoạn thẳng IH

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB và điểm M tùy ý trên nửa đường tròn (M khác A và B ) Trên đoạn thẳng MB lấy điểm H (H khác M và B ) Đường thẳng đi qua H vuông góc với AB tại K cắt nửa đường ,tròn đã cho tại E và cắt đường thẳng AM tại I

+ Kết luận: Tứ giác AMHK nội tiếp đường tròn 0,25 b Chứng minh KE2KA KB KI KH  1,25

+ Tam giác AEB vuông tại E 0,25

+ Xét hai tam giác KAI và KHB có:

  90AKI HKB   và  AIK HBK (cùng phụ với góc IAB) 0,25 Suy ra hai tam giác KAI và KHB đồng dạng 0,25 Suy ra KA KI

KHKB hay KA KB KI KH  0,25

c

Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH và nửa đường tròn đã cho Chứng minh ba điểm B N I thẳng hàng và tiếp tuyến của nửa đường , , tròn đã cho tại N đi qua trung điểm của đoạn thẳng IH

1,0 + H là trực tâm của tam giác IAB nên AN BI 0,25

+  90ANB  nên AN BN

Suy ra ba điểm B N I thẳng hàng , , 0,25 Giả sử tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đã cho cắt IH tại F

+  FNA NBA (cùng chắn cung NA)

+ Tứ giác NHKB nội tiếp nên  NBA NHF

+ Suy ra  FNA NHF FN FH (1) 0,25 +  

9090FIN FHN

FNI FINFNI FNH

Kết luận: F là trung điểm của HI 0,25

Bài 2.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2022-2023)

Cho đường tròn (O) có đường kính AB Trên đường tròn (O) lấy điểm E (khác B) sao cho tiếp tuyến của (O) tại E cắt tia AB tại điểm C Gọi d là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại C, D là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng d, F là giao điểm thứ hai của đường thẳng BD và đường tròn (O)

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn b) Chứng minh EF song song với đường thẳng d

c) Gọi I là giao điểm của BE và CF, H là giao điểm của EF và AB Chứng minh BC.IF = 2IC.BH

Câu 4 Nội dung Điểm

Hình vẽ phục vụ câu a): 0,25 điểm

Suy ra E, C nằm trên đường tròn đường kính BD

Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn 0,25

b)

Chứng minh EF song song với đường thẳng d 1,0 Tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn nên BDC BEC  0,25 Mà   1

BEC BFE (2

 BDC BFE

EF// CD

c)

Gọi I là giao điểm của BE và CF, H là giao điểm của EF và AB

+ Vì EF// d nên EF AB , suy ra EB FB.  0,25 BEC BEF  0,25 + EI là đường phân giác trong của tam giác EFC nên IF=EF

IC EC 0,25 + EB là đường phân giác trong của tam giác EHC nên BH EH=

Mà EF = 2EH nên IF 2BH= BC.IF 2 IC.BH

Bài 3.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2021-2022)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ AH vuông góc với BC tại H, BE vuông góc với đường kính AD của đường tròn (O) tại E

a) Chứng minh tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn b) Chứng minh HE vuông góc với AC

c) Tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn (O) tại F (F khác A), M là giao điểm của OF và BC Gọi K là trung điểm của AB, I là giao điểm của KM và HE

Chứng minh tam giác MEH cân và AE.EM = AB.EI

Câu 4

Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25 điểm Hình vẽ phục vụ câu c: 0,25 điểm

Suy ra E, H nằm trên đường tròn đường kính AB

Vậy tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn 0,25

b

Tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn nên EHC BAD  (cùng bù vớiBHE) 0,25 Mà BAD BCD  (cùng chắn cung BD) 0,25

 EHC BCD

1,25 + AF là tia phân giác của góc BAC nên FB FC.  Suy ra M là trung điểm của

+ KM//AC (t/c đường trung bình) và HE AC HE KM 0,25 KH = KE nên KM là đường trung trực của HE Suy ra MH = ME

Xét hai tam giác ABE và EMI có: AEB EIM 90 ,   0

  

Suy ra hai tam giác ABE và EMI đồng dạng

AB EM

AB.EI = AE.EMAE EI

Bài 4.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2020-2021)

Cho đường tròn (O), A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O) Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A, lấy điểm M tùy ý trên d (M khác A) Vẽ hai tiếp tuyến MB, MC của đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm; B và M khác phía đối với đường thẳng OA)

a) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp trong đường tròn

b) Hạ BK vuông góc với OA tại K, gọi H là giao điểm của BC và OM Chứng minh KA.HO = KB.HB

c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên d thì đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định

Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25 đ Hình vẽ phục vụ câu b: 0,25 đ

0,5

4a (1,0đ)

Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp trong đường tròn

+ Ta có MCO MBO 900(tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm)

Suy ra  MCO MBO 1800

Vậy tứ giác MBOC nội tiếp trong đường tròn 0,5

4b (1,5đ)

Hạ BK vuông góc với OA tại K, gọi H là giao điểm của BC và OM Chứng minh KA HO  KB HB .

Xét 2 tam giác KAB và HBO :

Chứng minh được các điểm M, B, O, C, A cùng thuộc đường tròn đường kính OM

0,25 Suy ra  OAB OCB (góc nội tiếp cùng chắn cung OB ) 0,25 Mà OCB OBC(tam giác OBC cân) nên OBH BAK 0,25 Chứng minh được BKA BHO  900 0,25 Nên hai tam giác KAB và HBO đồng dạng 0,25 Suy ra KA KB

HB  HO hay KA HO KB HB  0,25

4c (0,5đ)

Chứng minh rằng khi M thay đổi trên d thì đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định

Gọi L là giao điểm của BC với OA

Chứng minh được hai tam giác OHL và OAM đồng dạng Suy ra: OH OL

OA OM hay OL OA OH OM  0,25 Mà OH OM OB2nên OL OA OB  2(không đổi)

Vì các điểm O, A cố định nên L là điểm cố định Vậy đường thẳng BC luôn đi qua điểm cố định L

0,25

Bài 5.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2019-2020)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 6cm Điểm N nằm trên cạnh CD sao cho DN = 2cm, P là điểm nằm trên tia đối của tia BC sao cho BP = DN

a) Chứng minh ABP ADN  và tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn b) Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCP

c) Trên cạnh BC, lấy điểm M sao cho MAN 45 0 Chứng minh MP = MN và tính diện tích tam giác AMN

Câu 4 (3,5đ)

+ Xét hai tam giác ADN và ABP có: ADN ABP 90  0, AD = AB, DN = BP Suy ra ADN ABP c g c   

(Đúng hai trong 3 ý cho 0,25)

0,5

+ADN ABPPAB NAD 

Suy ra NAP NAB BAP NAB DAN DAB 90          0 0,25 Suy ra  NAP NCP 180  0

Vậy tứ giác nội tiếp đường tròn 0,25

4b (1,0đ)

Chứng minh APM ANM c g c   Suy ra: MN = MP  0,25

Bài 6.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2018-2019)

Cho hình vuông ABCD, lấy điểm K thuộc cạnh AD (K khác A, D) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CK, đường thẳng này cắt các đường thẳng CK và CD theo thứ tự tại I và H

a) Chứng minh các tứ giác ABCI, AIDC nội tiếp đường tròn b) Tính số đo HID.

c) Chứng minh HI.HA = HD.HC

d) Đường thẳng BK cắt đường thẳng CD tại N Chứng minh 12 1 2 1 2

BCBKBN

Bài 4 3,5 điểm

a (1,0đ)

a Chứng minh các tứ giác ABCI, AIDC nội tiếp đường tròn

+ Ta có ABC= 90o(ABCD là hình vuông) và AIC= 90o (gt) 0,25 Do đó B, I cùng thuộc đường tròn đường kính AC tứ giác ABCI nội tiếp 0,25 + Ta có AIC= 90o (gt) vàADC= 90o (ABCD là hình vuông) 0,25 Do đó I, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC tứ giác AIDC nội tiếp 0,25 b

(1,0đ)

b Tính HID

Ta có:   

ACD AID 180HID AID 180

c Chứng minh HI.HA = HD.HC Xét HAD và HCI

Có  

HDA HIC 90AHD IHC chung

  HAD HCI (g.g)

0,5  HA HD

d (0,5đ)

d Đường thẳng BK cắt đường thẳng CD tại N Chứng minh

BCBPBN (hệ thức lượng trong tam giác vuông)  12 12 12

Bài 7.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2017-2018)

Cho đường tròn ( )O đường kính AB2a, H là trung điểm của đoạn thẳng OA Đường thẳng d vuông góc với OA tại H và cắt đường tròn ( )O tại hai điểm , C D

a) Tính độ dài đoạn thẳng CD theo a

b) Lấy điểm E trên cung nhỏ BD của đường tròn ( )O sao cho ba điểm , ,C O E không thẳng hàng ( E khác B , E khác D ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CE K là hình ;chiếu vuông góc của A lên CE Chứng minh BE song song với KH và MN là đường trung trực của đoạn thẳng KH

c) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD Đường tròn đường kính AI cắt các đoạn thẳng HB, AJ, HD lần lượt tại P, F, Q ( F khác A) Gọi L là giao điểm của IF và PQ Chứng minh JL vuông góc với BD

Câu 4 (3,5)

Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25, câu b: 0,25

(không có hình không chấm)

0,25 2 2 3 2

a   

HDCD a 0,25 b) Chứng minh BE song song với KH và MN là đường trung trực của đoạn

Tứ giác AHKC nội tiếp trong đường tròn nên HKE=CAB  0,25

Do đó BE//KH (so le trong, B và H nằm về hai phía KE) 0,25

Mặt khác MH = MK nên MN là đường trung trực của đoạn thẳng KH 0,25 c) Chứng minh JL vuông góc với BD 0,5 + IJ//CD và H là trung điểm của CD Suy ra P là trung điểm của IJ

Ta có: PIL=PAF=PAI=PQI    và LPI=IPQ  Suy ra hai tam giác PIL và PQI đồng dạng Do đó: PI =PL

PQPI Mà PI = PJ nên PJ=PLPQ PJ

Lại có LPJ=JPQ  nên hai tam giác PJL và PQJ đồng dạng (1)

0,25

  

ABD=ACD=APQ PQ//BD (đồng vị, tia PQ không nằm trong góc BPJ)

Mà J là trung điểm của BD nên P là trung điểm của HB Suy ra Q là trung điểm của HD

Do đó JP  JQ hay tam giác PQJ vuông tại J (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác PJL vuông tại L Mà PQ//BD nên JL vuông góc với BD

0,25

Bài 8.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2016-2017)

Cho tam giác ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn tâm I, gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh BC, CA và AB Các đường thẳng DE, DF lần lượt cắt tia AI tại K và L, gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC

a) Giả sử số đo góc BAC bằng a0, hãy tính số đo góc BIC theo a0 b) Chứng minh BK // EF

c) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh tứ giác KMLH nội tiếp Câu

4 (4,0)

Hình vẽ (0,5)

Câu a): 0.25 Câu b, c): 0.25

Chú ý: Không có hình vẽ không chấm

0,5

a) (1,0)

Do I tâm đường tròn nội tiếp nên AI, BI, CI là các tia phân giác trong các góc

 (0,25)

0.25 0.25 0.5 b)

(1,0) Ta có EF  AI (t/c hai tiếp tuyến) (1)

=>  BIK BDK Vì I và D cùng phía với BK nên tứ giác BIDK nội tiếp,

Mà DI  BD nên BI là đường kính, do đó BK  KI hay BK  AI (2) (1) và (2) => BK // EF

0.25 0.25 0.25 0.25

c)

(1,0) Từ BK  AI , tương tự ta cũng chứng minh được CL  AI

Gọi N là giao điểm CL với AB, ta được ANC cân ở A (AI vừa ph/g vừa đ/cao) nên L là trung điểm CN

=> ML // AB ( đ trb)  MLK=BAK (đồng vị)

Tứ giác ABKH nội tiếp nên BHK=BAK  (chắn cung BK)

=> MLK=MHK , mà L và H cùng phía MK nên tứ giác KMLH nội tiếp

0.25 0.25 0.25 0.25

Bài 9.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2015-2016)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, với ABC 600, BC = 2a và AB < AC Gọi (O) là đường tròn đường kính BC (O là trung điểm BC) Đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E (D khác B, E khác C), BE cắt CD tại H

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

b) Chứng minh: HB.DE = HD.BC

c) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt đường thẳng DI tại M Tính tỉ số OB

OM d) Gọi F là giao điểm của AH và BC Cho BF 3a

 , tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF theo a

Hình vẽ (0,5)

+ Hình vẽ phục vụ câu a): 0,25

+ Hình vẽ phục vụ các câu b), c), d): 0,25 * Ghi chú: Không chấm những phần liên quan đến hình vẽ sai

0,5

a) (1,0)

+ BDC BEC 90 0 (góc nội tiếp nửa đường tròn)  ADH AEH 90 0

 ADH AEH 180 0  tứ giác ADHE nội tiếp

+ ADH 90 0 Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE là trung điểm AH

0,25 0,25 0,25 0,25

b) (1,0)

+ Chứng minh được: HBC HDE  (hoặc HCB HED  )

+ BHC DHE   Hai tam giác HBC và HDE đồng dạng

c)

(1,0) + Chứng minh được: ODC ADI 

 ODI ODC CDI ADI CDI ADC 90     0

 DI  OD  DI là tiếp tuyến của (O) + Chứng minh được: MOD 600

0,25 0,25 0,25 0,25 d)

(0,5)

+ Chứng minh được H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

+ Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF và K là hình chiếu vuông góc của H trên DE, ta có r = HK

Chứng minh hai tam giác AEH và BFH đồng dạng

(1,0đ)

Ta có  ACB ANM ( hai góc nhọn có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)

0,25 Lại có BAC MAN  900nên ABC và AMN đồng dạng 0,25 suy ra AB AC AB AN AM AC.

AM  AN  

0,25

a) Chứng minh ba điểm S, D, C thẳng hàng b) Giả sử CD = R 2

2 Tính AB theo R

Câu 5a (1,0đ)

Chứng minh được: BA.BS = BH.BC, CD.CS=CH.CB

Chứng minh được: BA.BS + CD.CS = BC2 0,25 BA.2R + 2

.2 2

= 4R2 (vì CS = 2CD) BA.2R + R2 = 4R2

AB = 3R

2

0,25

Bài 11.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2013-2014)

Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên đoạn AO lấy điểm C sao cho AC4R Vẽ dây cung ED vuông góc với AO tại C Hai tiếp tuyến tại E và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K Đường thẳng EK cắt MO, MB lần lượt tại G, H Gọi I là giao điểm của OM và EB

a) Chứng minh tứ giác OIEC nội tiếp b) Tính AE theo R

c) Chứng minh HM2 = HK.HE d) Tính MG theo R

Hình vẽ ( 0.5đ )

Hình vẽ phục vụ câu a và b : 0.25

0.5

a (1 đ )

OE = OB = R và ME = MB ( ME và MB là 2 tiếp tuyến )

Nên: OM là trung trực của EB => OIE = 900

=> OIE + OCE = 1800 ( Vì: OCE= 900 , giả thiết ) Nên: Tứ giác OIEC nội tiếp

0.25 0.25 0.25 0.25 b

(0.75đ)

 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)

 vuông tại E , có đường cao EC => AE2 = AC.AB Tính đúng AE = 2

0.25 0.25 0.25

c (0.75đ)

EDBM ( ED và MB cùng vuông góc AB) =>KMB =EDK(slt)

Mà : EDK = MEH ( cùng chắn cung EK ) Nên: KMH = MEH

Chứng minh: HMKđồng dạng HEM Suy ra kết quả: HM2 = HK HE

0.25 0.25 0.25

d (1đ)

Chứng minh: BH2 = HK HE và HM2 = HK HE => HM = BH

Chứng minh; G là trọng tâm MEB=> MG = 2

3MI Tính đúng : OM = 2R 2

Tính MI = 7 2

R và MG = 7 2

0.25 0.25 0.25 0.25

B MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN (TOÁN CHUYÊN TIN) Bài 1.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2023-2024)

Cho tam giác nhọn ABC AB BC CA   nội tiếp đường tròn  O Các tiếp tuyến của đường tròn  O tại B C cắt nhau tại , M Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt tia đối của tia BM tại N Tia NA cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai là D Kẻ BE CN E CN , đường thẳng BO cắt CN tại F

a) Chứng minh NA ND NB  2

b) Chứng minh tứ giác ADFE nội tiếp c) Chứng minh NAE2.CNB

a) Chứng minh NA ND NB  2 1,25 Hình vẽ phục vụ câu a)

NA NBNB ND

  NA ND NB  2 (đ.p.c.m) 0,5 b) Chứng minh tứ giác ADFE nội tiếp 1,25

MCA MNA   (do tứ giác ACMN nội tiếp)

Suy ra:   180CDA MNA   Do đó CD MN// 0,25

CD MN  FCD CNB (4)

0,25

Theo chứng minh câu b) ta có:    NAE NFD FDC FCD 

2.FCD (do (3)) 0,25

2.CNB (do (4)) (đ.p.c.m) Bài 2.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2022-2023)

Cho đường tròn ( )O và điểm I nằm ngoài đường tròn đó Từ điểm I kẻ hai tiếp tuyến ,

IA IB với đường tròn ( )O ( ,A B là các tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác OAIBnội tiếp đường tròn

b) Qua A kẻ đường thẳng song song với IB cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là C (C khác A) Đường thẳng IC cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là E (E khác C) Đường thẳng AE cắt IB tại K Chứng minh KB2  AK KE

c) Đường thẳng IC cắt AB tại D Chứng minh IE DEIC  DC

Suy ra IAO IBO  1800nên tứ giác OAIBnội tiếp đường tròn 0,25 b) Qua A kẻ đường thẳng song song với IB cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là

C (C khác A) Đường thẳng IC cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là E (E khác C) Đường thẳng AE cắt IB tại K Chứng minh KB2  AK KE

KB2AK KE. 0,25 c) Đường thẳng IC cắt AB tại D Chứng minh IE DE

Bài 3.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2021-2022)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC Hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O Gọi  I1 là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO và  I2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác ACO Kẻ các đường kính OP của  I1 và OQ của  I2

a) Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn b) Chứng minh hai tam giác OEF và OQP đồng dạng

c) Cạnh AC cắt đường tròn  I1 tại D (D khác A) Tiếp tuyến của  I1 tại P và tiếp tuyến của  I2 tại Q cắt nhau tại T Chứng minh ba điểm O, D, T thẳng hàng

a Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp trong đường tròn 1,0

Nêu được OE  AB OF,  AC (mỗi ý cho 0,25) Suy ra tứ giác AEOF nội tiếp

0,5 0,25 b Chứng minh OFE đồng dạng với OPQ 1,5

Ta có  OAP OAQ 90  09001800 Suy ra 3 điểm P, A, Q thẳng hàng 0,25 Xét hai tam giác OFEvà OPQcó:

Góc O chung (1), OFE OAE ABO    , QPO APO ABO   

Suy ra OFE QPO  (2)

0,25 0,25 0,25 Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác OFE và OPQ đồng dạng 0,25 c) Cạnh AC cắt đường tròn  I1 tại D (D khác A) Tiếp tuyến của  I1 tại P và tiếp tuyến

của  I2 tại Q cắt nhau tại T Chứng minh O, D, T thẳng hàng 1,0 Lập luận: DOQ DOF 90  0FDO 90 0ABO (1)

TOQ TPQ  (Tứ giác TPOQ nội tiếp)

PAB 900APO 900ABO(2)

0,25 0,25 0,25 Từ (1) và (2) suy ra TOQ DOQ  và kết luận O, D, T thẳng hàng 0,25

Bài 4.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2020-2021)

Cho tam giác nhọn ABC ( AB BC ) nội tiếp đường tròn ( )O Gọi , D E lần lượt là trung điểm AB và AC , H là chân đường cao kẻ từ đỉnh B của ABC và K là điểm đối xứng của

MN

a) Chứng minh: bốn điểm , , , A D O E cùng nằm trên một đường tròn 1,0 Hình vẽ phục vụ câu a,

Vì D, E là các trung điểm nên OD AB OE,  AC (mỗi ý cho 0,25 đ)

Suy ra bốn điểm , , , A D O E cùng nằm trên một đường tròn

0,25 0,5 0,25 b) Chứng minh AK vuông góc với BK và ba điểm B O K, , thẳng hàng 1,5

Do tính đối xứng nên DH=DK=DA=DB suy ra tứ giác BHKA nội tiếp đường tròn đường kính AB Suy ra BK  AK (1) 0,5 Có DKE  DHE ( do tính đối xứng )

Và DAE DHE ( do tam giác DHA cân tại D ) Suy ra DKE DAE

Suy ra K nằm trên đường tròn đường kính OA

0,25 0,25 Suy ra OK  AK ( 2) Từ (1) và (2) suy ra B, O, K thẳng hàng

0,25 c) Tiếp tuyến của   O tại B cắt AC tại M Trên tia BM lấy điểm P thỏa

0,25 0,25 0,25 Suy ra tam giác XFY đồng dạng với tam giác PBC Vậy 1

Bài 5.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2019-2020)

Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC, tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BC tại D Vẽ dây cung AE của đường tròn (O) vuông góc với BC Gọi H là giao điểm của AE và BC, K là hình chiếu vuông góc của A lên CE Tia phân giác của BAC cắt BC tại F

a) Chứng minh AB.HC = AC.HA b) Chứng minh CDE CAK c) Chứng minh DF = DB.DC 2

Hình vẽ phục câu b: 0,25

0,5

Hình vẽ phục cả hai câu b và c: 0,25

Xét hai tam giác ABC và HAC có: BAC AHC 90 0, 0,25

+ Lập luận được tam giác ADE cân tại D nên  EAD AED 0,25 Suy ra CAK 900AED CDE  0,25

 

DAB ACF (cùng chắn cung AB), FAB FAC  (vì AF là phân giác của BAC) 0,25

Suy ra: DAB FAB ACF FAC      DAF DFA  Suy ra tam giác ADF cân tại D 0,25 + Chứng minh được hai tam giác ABD và CAD đồng dạng 0,25 Suy ra AD BD AD = DB.DC2

CDAD Hơn nữa AD = DF nên DF = DB.DC2 0,25

Bài 6.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2018-2019)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) , D là điểm chính giữa trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) , H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC Hai điểm

K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC a) Chứng minh AL.CB = AB.KL

b) Lấy điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho DB = DE Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

c) Đường thẳng KL cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N (K nằm giữa M, L) Chứng minh AM = AN = AH

Hình vẽ phục câu a: 0,25; Hình vẽ phục cả hai câu b, c: 0,25

0,5

- Xét hai tam giác AKL và ACB, có:

b) Lấy điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho DB = DE. Chứng minh E là tâm đường tròn

+ AE là đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC (*)

+ Tam giác DBE cân tại D nên: BED = EBD  (1) 0,25

BED = BAD + ABE = BCD + ABE = DBC + ABE       (2); EBD = DBC + EBC  (3) 0,5

Từ (1), (2) và (3) suy ra ABE = EBC  hay BE là phân giác trong của góc B của tam giác

ABC (**)

Từ (*) và (**) suy ra E là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

0,25 c) Đường thẳng KL cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N (K nằm giữa M, L)

Suy ra AL = AN AN = AL.AC2

ANAC Mà AL.AC = AH2AN = AH (5) Từ (5) và (6) suy ra AM = AN = AH.

a/ Trong ΔvAEC gócECA = 450 nên góc ACE = 450

Mà ECF = ½ góc EOF => góc EOF = 900

=> ΔOEF vuông cân tại O => EF = OE 2R 2

0.25 0.25 0.25 b/ ΔMBC vuông cân => góc MBC=góc MCB = 450

tứ giác BEMC nội tiếp => góc AEM=góc MCB =450

=> Δ AEK vuông, với K = EM  AC => EM  AF Tương tự FM  AE => M là trực tâm của ΔAEF ( Chú ý: bài này có nhiều cách giải, giám khảo tự phân điểm theo các bước giải tương ứng)

0.25 0.25 0.25 0.25

Hình vẽ phục vụ cho câu a,b 0.25 đ

a/ Ta có KC  AC ( do góc ACK = 900 ) => BE// KC (  AC)

0.25 Tương tự: CF//KB Suy ra BHCK là hbh 0.25 => H, I và K thẳng hàng 0.25 b/ BHCK hbình hành, => góc HCB = góc CBK 0.25 Mà góc HCB = góc HAB ( phụ góc ABC) 0.25 Và góc CBK = góc CAK ( chắn cung KC)

=> góc HAB =góc CAK

0.25 Tứ giác BFEC nội tiếp => góc AFM = góc ACN

a) Chứng minh tứ giác CDEH là hình thang cân

b) Đường thẳng CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K (K khác C) Chứng minh MH2 MK.MC và KHM KDA. 

Câu 1

Cho hình bình hành ABCD (tam giác ABC nhọn) Gọi M là trung điểm của AB, H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC, E là hình chiếu vuông góc

(Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25 điểm)

0,25

a) Chứng minh tứ giác CDEH là hình thang cân 0,75 Chứng minh được tứ giác AHBE là hình chữ nhật Do đó HED ABC  0,25

Hơn nữa, CH//DE nên CDEH là hình thang cân 0,25

b) Đường thẳng CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K (K khác C) Chứng minh MH2MK MC. và  KHM KDA 1,0

- Tứ giác AHBE là hình chữ nhật nên MA = MB = MH = ME 0,25 - Chứng minh được MK.MC MA.MBMK.MC MH.MHMK.MC MH2 0,25 - Tứ giác CDEH là hình thang cân nên CDEH nội tiếp trong đường tròn (1)

a) Chứng minh AH2 AL.AC

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC Chứng minh AI vuông góc với DH

Câu 2

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O), hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H Gọi M, N lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng BE, CF với đường tròn (O) (M khác B, N khác C) Đường thẳng MN lần lượt cắt hai đường thẳng BC, AC tại D, L

Suy ra hai tam giác AMC và ALM đồng dạng

- Ta có: AM = AN (vì ACN MCA  ), mà AH AM nên AM = AN = AH Do đó A

là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN 0,25 - Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng DH và đường tròn ngoại tiếp tam giác BCH

Chứng minh được DB.DC = DH.DK

0,25 - Chứng minh được DB.DC = DM.DN suy ra DH.DK = DM.DN hay DH DN

DMDK Lại có HDN MDK  nên hai tam giác DHN và DMK đồng dạng

Suy ra DHN DMK  Do đó tứ giác MNHK nội tiếp trong đường tròn

a) Chứng minh PI = PB b) Chứng minh IMB = INA 

Câu 1 (2,0)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) Dựng đường kính NP của đường tròn (O) vuông góc với BC tại M (P nằm trên cung nhỏ BC) Tia phân giác của ABC cắt AP tại I.

Suy ra tam giác PBI cân tại P Do đó PI = PB 0,5

b) Chứng minh IMB = INA.  1,0 + Trong tam giác vuông BNP tại B có: BP = MP.NP2 BP = NP

 hay IP = NP

MPIP 0,25 + Hai tam giác PMI và PIN có: IPM = NPI  và IPNP

Câu 2 (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và có tâm đường tròn ngoại tiếp là O Lấy điểm D bên trong tam giác ABC sao cho BDC = 2BAC (AD không vuông góc với BC) 

a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, O cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh OD là đường phân giác ngoài của BDC và tổng BD + CD bằng hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD

Câu 2 (2,0)

Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và có tâm đường tròn ngoại tiếp là O Lấy điểm D bên trong tam giác ABC sao cho BDC 2BAC  (AD không vuông góc với BC)

(Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25 điểm)

0,25

a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, O cùng nằm trên một đường tròn 0,75 Ta có BDC 2BAC  (gt), BOC 2BAC  (t/c góc ở tâm)BDC BOC  0,5 Mà O, D nằm cùng phía đối với đường thẳng BC nên bốn điểm B, C, D, O cùng

b) Chứng minh OD là đường phân giác ngoài của BDC và tổng BD + CD bằng hai

lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD 1,0 - Dựng đường kính OP của đường tròn (O’) đi qua 4 điểm B, O, D, C

 1BDP

  sđBP, CDP 12

 sđCP

+ OPBC sđBP= sđCP BDP CDP 

Do đó DP là đường phân giác trong của BDC

Lại có OD DP  OD là đường phân giác ngoài của BDC

+ Ta có: BD + CD = BD + DC’ = BC’ = 2BK (với K là trung điểm của BC’)

+ Hạ AL vuông góc với đường thẳng OD tại L 0,25 - Xét hai tam giác vuông ALO và BKO có:

+ OA = OB ( bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) + OAL OPD  (so le trong)

Suy ra hai tam giác ALO và BKO bằng nhau Do đó BK = AL Suy ra BD + CD = 2AL (điều cần chứng minh)

điểm C ' thuộc đường tròn  O

Có OC O'C, DC DC'  nên OD là đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài của BDC

Gọi E là giao điểm của OD và BC, chứng minh được DBC C'OE  (cùng bằng 

DOC)

Hay C'BE C'OE  , do đó bốn điểm B,O,C', E cùng thuộc một đường tròn

Suy ra OBC ' OEC '  ( cùng chắn cung OC’)

Mặt khác OEB OEC '  , do đó OEB OBC ' 

Lại có LAO OEB  ( góc có cạnh tương ứng vuông góc), suy raLAO OBC ' 

a) Chứng minh HD là tia phân giác của gócAHC

b) Chứng minh diện tích hình vuông ABCD bằng hai lần diện tích tứ giác AEFD

Câu 1 (2,0)

Cho hình vuông ABCD tâm O, điểm E nằm trên đoạn thẳng OB (E khác O, B), H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AE Gọi F là giao điểm của AC và DH

(Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25 điểm)

0,25

a) Chứng minh HD là tia phân giác của AHC 0,75 Các điểm B, H, D cùng nhìn đoạn AC dưới 1 góc vuông nên 5 điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AC 0,25 Suy ra CHD CAD 45 , AHD ABD 45 0 0 0,25

 CHD AHD.

  Vậy HD là phân giác AHC 0,25 b) Chứng minh diện tích hình vuông ABCD bằng hai lần diện tích tứ giác AEFD 1,0 Ta có SABCD AD2 (1)

Tứ giác AEFD có hai đường chéo vuông góc nhau nên SAEFD 1AF.DE2

 (2) 0,25 Xét hai tam giác AFD và DAE có:

+ AFD AHD HAC 45  0HAC DAE + AED ABE HAB 45  0HDB FDA 

Suy ra hai tam giác AFD và DAE đồng dạng

0,5

Từ đó có tỉ lệ AF AD

DADE hay AD2AF.DE (3)

Từ (1), (2), (3) ta có SABCD 2SAEFD (đpcm) 0,25 Câu 2 (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F, E Gọi H là giao điểm của BE và CF, đường thẳng AH cắt BC tại D

a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn

b) Gọi K là giao điểm của AH và EF, I là trung điểm của AH Đường thẳng CI cắt đường tròn (O) tại điểm M (M khác C) Chứng minh CI vuông góc với KM

Câu 2 (2,0)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F, E Gọi H là giao điểm của BE và CF, đường thẳng AH cắt BC tại D

(Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25 điểm)

a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn 0,75

+ Tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn nên EDH ECH ECF    0,25

+ Tứ giác BDHF nội tiếp đường tròn nên FDH FBH FBE    0,25

AEI OEC EAI ECO 90IEO 90

Suy ra IE là tiếp tuyến của đường tròn (O) 0,25 + Chứng minh được hai tam giác IEM và ICE đồng dạng Suy ra IE2 = IM.IC (1) 0,25 + Tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn nên ADE ABE IEK   

Suy ra được hai tam giác IEK và IDE đồng dạng Suy ra IE2 = IK.ID (2) 0,25 + Từ (1) và (2) suy ra IM.IC = IK.ID hay IM IK

Suy ra được hai tam giác IMK và IDC đồng dạng

Hơn nữa tam giác IDC vuông tại D nên tam giác IMK vuông tại M

Gọi I là giao điểm của BM và OA Suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC

Mà OM vuông góc AC nên GI vuông góc OM

Lập luận OI vuông góc GM nên I là trực tâm của tam giác OGM 0,25 Suy ra OG vuông góc MI hay OG vuông góc BM 0,25 b) Lấy điểm N trên cạnh BC sao cho BN = BA Vẽ NK vuông góc với AB tại K, BE vuông góc với AC tại E, KF vuông góc với BC tại F Tính tỉ số BE

Suy ra hai tam giác BDN và CNA bằng nhau Suy ra SKBN = SAKNC= S1 ABC

Ta có OEK 900AEK OEC 90 0

Tam giác OEC cân tại O nên OEC OCE  Do đó AEK OCE 90 0 0,25

Suy ra tam giác KAE cân tại K Do đó KA = KE (đpcm) 0,25 b) Vẽ tiếp tuyến AM của đường tròn (O) (M là tiếp điểm) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDM Chứng minh O, I, M thẳng hàng 1,0 Chứng minh được tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Suy ra AM2 =

Suy ra hai tam giác AHM, AMD đồng dạng Suy ra AMH ADM  0,25

Do đó MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác HDM Suy ra

IMAM

Mà OMAM nên O, I, M thẳng hàng

0,25

Bài 5.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2019-2020)Câu 1 (2,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên các đường thẳng AB, AD

a) Chứng minh AB.AH AD.AK AC   2

b) Trên hai đoạn thẳng BC, CD lần lượt lấy hai điểm M, N ( M khác B, M khác C ) sao cho hai tam giác ABM và ACN có diện tích bằng nhau; BD cắt AM và AN lần lượt tại E và

F Chứng minh BM DN 1

BC  DC và BE DF EF. 

m Câu

1 (2,0

)

a) Chứng minh AB.AH AD.AK AC 2 1,25

Lưu ý: Không có hình không chấm

Hình vẽ phục vụ câu a (chưa vẽ đường phụ nhưng vẽ đúng vẫn được 0,25) 0,25 Dựng BLAC, DI AC L, I AC    0,25 Hai tam giác vuông ABL và ACH đồng dạng nên:

AB.AH AD.AK AC(AL AI) AC(AL CL) AC 0,25 * Cách khác:

Dựng BLAC L AC   (0,25) Hai tam giác vuông ABL và ACH đồng dạng nên:

AB.AH AC.AL

ACAH (1) (0,25) Hai tam giác vuông BCL và CAK đồng dạng nên:

BC.AK CA.CLAD.AK AC.CL

CAAK (2) (0,25) Từ (1) và (2) suy ra: AB.AH AD.AK AC2 (0,25) b) Trên hai đoạn thẳng BC, CD lần lượt lấy hai điểm M, N (M khác B,M khác C) sao cho hai tam giác ABM và ACN có diện tích bằng nhau; BD cắt AM và AN lần lượt tại E và F. Chứng minh BM DN 1

BCDC và BE DF EF.

0,75

ACNABM

Vì D N / /AB và D C AB nên: DN DN DF bDCABBFa c

 Suy ra: a b 1

Cho tam giác nhọn ABC (AB AC) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H Ba điểm D, E, F lần lượt là chân các đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC Gọi I là trung điểm của cạnh BC, P là giao điểm của EF và BC Đường thẳng DF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai là K

a) Chứng minh PB.P C PE.PF và KE song song với BC

b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai là Q Chứng minh tứ giác BIQF nội tiếp đường tròn

Câu 2 (2,0)

a) Chứng minh PB.P C PE.PF và KE song song với BC. 1,25 Hình vẽ phục vụ câu a (chỉ cần phục vụ

một trong hai ý ở câu a cũng được 0,25)

Lưu ý: Không có hình không chấm

Ta có: EBC HBD HFD    (vì tứ giác BDHF nội tiếp) 0,25 HEK BEK  (vì tứ giác HEKF nội tiếp)

b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai là Q.

Chứng minh tứ giác BIQF nội tiếp đường tròn 0,75 Hai tam giác PHEvà PFQ có góc P chung và PEH PQF  nên chúng đồng dạng

PH.PQ PE.PFPFPQ

Từ (1) và (2) suy ra: PB.P C PH.PQ

Hai tam giác PBQ và PHC có góc P chung và PB PQ

PHPC nên chúng đồng dạng  

PQB PCH

 hay HQB BCH 

0,25 Từ đó: FQB FQH HQB FEH HCB 2FCB FIB          

Vậy tứ giác BIQF nội tiếp đường tròn 0,25