TÓM TẮT LUẬN VĂNTrong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu các dạng hội tụ biến phân dạngmới giảm nhẹ của hàm và song hàm.. Luận văn trình bày định nghĩa, vídụ, tính chất các dạng hội tụ b
Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1 (Không gian metric)
Cho tập X ̸= ∅ Một ánh xạ d : X × X → R được gọi là một metric trên X nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) +d(z, x) (bất đẳng thức tam giác).
Nếu d là metric trên X thì (X, d) là một không gian metric.
Nếu d là metric trên X thì ta có tính chất sau:
Ví dụ 1.1.1 Ánh xạ d : R m ×R m → R, định bởi: d(x, y) =h P m i=1 (x i −y i ) 2 i
2 là một metric trên R m , gọi là metric thông thường trên R m
Khi m = 1, ta có d(x, y) = |x−y| Trên R m ta cũng có các metric khác như: d1(x, y) = P m i=1 |x i −yi| d 2 (x, y) = max
Ví dụ 1.1.2 Ký hiệu C [a,b] là tập hợp các hàm thực x = x(t) liên tục trên [a, b] Ánh xạ d(x, y) = sup a≤t≤b
|x(t)−y(t)|, x, y ∈ C [a,b] là metric trên C [a,b] được gọi là metric hội tụ đều. Định nghĩa 1.1.2 (Sự hội tụ trong không gian metric)
Cho không gian metric (X, d) Ta nói dãy phần tử {x n } ⊂ X hội tụ (hội tụ theo metric d) về phần tử x ∈ X nếu lim n→∞d(x n , x) = 0 Khi đó ta viết: n→∞limx n = x trong (X, d) x n → d x xn →x lim x n = x.
Như vậy, lim n→∞x n = x trong (X, d), có nghĩa
∀ε > 0,∃n 0 :∀n ∈ N ∗ , n ≥n 0 ⇒ d(x n , x) < ε Mệnh đề 1.1.1 (i) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
(ii) Nếu dãy (x n ) hội tụ về x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về x.
(iii) Nếu lim n→∞x n = x, lim n→∞y n = y thì lim n→∞d(x n , y n ) =d(x, y).
Ví dụ 1.1.3 Trong R m , ta xét metric thông thường
Xét phần tử a = (a 1 , a 2 , , a m ) và dãy {x n } với x n = (x n 1 , x n 2 , , x n m ) Ta có
Suy ra, lim n→∞x n = a trong(R m , d) ⇔ lim
Giới hạn dãy số
Định nghĩa 1.2.1 Cho dãy số thực {x k } k , ta đặt y m := sup{x k | k ≤m}, z m := inf{x k | k ≤ m}.
Khi đó, các dãy {y m } m và {z m } m tương ứng là các dãy không tăng và không giảm Do đó, nếu dãy {x k } k bị chặn thì hai dãy trên có giới hạn.
Ta gọi các giới hạn đó lần lượt là giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy {x k } k , kí hiệu là lim m→+∞ y m := limsup k→+∞ x k , lim m→+∞ z m := liminf k→+∞ x k
Nếu dãy {x k } k không bị chặn trên thì ta viết limsup k→+∞ x k = +∞, không bị chặn dưới thì liminf k→+∞ x k = −∞.
Mệnh đề 1.2.2 Cho các dãy số {x k } k và {y k } k Khi đó,
(ii) Dãy {x k } k hội tụ nếu và chỉ nếu liminf k→+∞ x k = limsup k→+∞ x k ∈ R. (iii) Nếu x k ≤y k với mọi k thì liminf k→+∞ x k ≤ liminf k→+∞ y k ; limsup k→+∞ x k ≤ limsup k→+∞ y k
(iv) liminf k→+∞ x k + liminf k→+∞ y k ≤liminf k→+∞ (x k +y k ); limsup k→+∞ x k + limsup k→+∞ y k ≥ limsup k→+∞ (x k +y k ).
Sự hội tụ của dãy tập
Trong toán học, tập số thực mở rộng ký hiệu là R¯ = R ∪ {+∞} bao gồm tập số thực R Một tập A trong R¯ được gọi là bị chặn trên (dưới) nếu tồn tại số thực M để M lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) mọi phần tử a của A Nếu không tồn tại M thỏa mãn điều kiện trên, A được gọi là không bị chặn trên (không bị chặn dưới) Một tập A được gọi là bị chặn khi vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới Cận trên đúng (nhỏ nhất) của tập con A trong R, ký hiệu là supA, là số thực x sao cho x lớn hơn hoặc bằng mọi phần tử của A và mọi số thực lớn hơn hoặc bằng mọi phần tử của A đều lớn hơn hoặc bằng x.
Nếu x = supA ∈ A thì ta nói rằng x là giá trị lớn nhất (cực đại) của A, kí hiệu là x := maxA Nếu tập A không bị chặn trên thì supA := +∞. Tương tự, cận dưới đúng (lớn nhất) của A được kí hiệu là infA, tức là x = infA ⇔ x ≤a,∀a ∈ A và ∀y ≤ a, ∀a ∈ A, ta có y ≤ x.
Nếu x = infA ∈ A thì ta nói rằng x là giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) của A, kí hiệu là x := minA Nếu tập A không bị chặn dưới thì infA:= −∞. Định nghĩa 1.3.2 Giả sử X là không gian metric và {A k } k ⊂ X Khi đó, giới hạn trên của dãy tập {A k } k được xác định bởi công thức
Giới hạn dưới của dãy tập {A k } k được xác định bởi công thức
Nếu giới hạn trên và giới hạn dưới của {A k } k bằng nhau thì giới hạn đó được gọi là giới hạn của {A k } k và kí hiệu là
KhiLim k A k tồn tại và bằngA, ta nói rằngA k hội tụ Painlevé-Kuratowski đến A và kí hiệu là A = Lim k A k hoặc A k P → −K A.
Sau đây ta thường dùng các viết tắt lik,lsk,Lik và Lsk thay cho liminf k→+∞ ,limsup k→+∞ ,Liminf k→+∞ và Limsup k→+∞
Mệnh đề 1.3.3 (theo bài báo [1])
(ii) Giới hạn trên và giới hạn dưới đều là các tập đóng.
(iii) Giới hạn trên của dãy tập {A k } k và dãy tập {clA k } k là như nhau. Tương tự cho giới hạn dưới.
(iv) Nếu A k là dãy giảm, tức là A k ⊂ A l khi l < k, luôn tồn tại giới hạn Lim k A k và ta có
Tập lồi và hàm lồi
Định nghĩa 1.4.1 Cho X là không gian định chuẩn Với a, b ∈ X, ta định nghĩa đoạn thẳng nối a, b là:
[a, b] := {λa+ (1−λ)b | λ ∈ [0,1]}. Định nghĩa 1.4.2 Tập con A của không gian định chuẩn X được gọi là lồi nếu [a, b] ⊂ A với bất kỳ a, b ∈ A Nói cách khác, A là tập lồi nếu λa+ (1−λ)b ∈ A với mọi a, b ∈ A và λ ∈ [0,1]. Định nghĩa 1.4.3 Cho {x i } m i=1 là một tập gồm hữu hạn các điểm trong không gian định chuẩn X Một tổ hợp lồi của {x i } m i=1 là một điểm có dạng m
Mệnh đề 1.4.1 Tập con A của không gian định chuẩn X là lồi nếu và chỉ nếu nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử nằm trong nó.
Điều kiện đủ thì hiển nhiên đúng Để chứng minh điều kiện cần, ta dùng phương pháp quy nạp để chỉ ra rằng mọi tổ hợp lồi bất kỳ thuộc A đều là một phần tử của A.
A Theo định ngh¯ıa điều này đúng với m = 1,2 Cố định một số nguyên dương m ≥ 2 và giả sử rằng mỗi tổ hợp lồi của k ∈ N phần tử trong A, trong đó k ≤m, đều thuộc vào A Xét tổ hợp lồi có dạng y : m+1
Nếu λm+1 = 1 thì λ1 = λ2 = = λm = 0, do đó y = ωm+1 ∈ A. Trong trường hợp λ m+1 < 1 ta có thể biểu diễn m
Từ đó, ta thu được y = (1−λ m+1 ) m
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.4.1 Tập C = {u ∈ l2(N) : |u n | ≤ 2 −n } lồi trong l2(N).
7 Định nghĩa 1.4.4 Cho f : A → R = R∪ {+∞} Khi đó, hàm f được gọi là lồi trên A nếu f(λx+ (1−λ)y) ≤λf(x) + (1−λ)f(y) với mọi x, y ∈ A và λ ∈ [0,1].
Ví dụ 1.4.2 Chứng minh f(x) =|x| là một hàm lồi.
Với mọi x1, x2 ∈ R và λ ∈ [0,1], ta có: f ((1−λ)x 1 +λx 2 ) =|(1−λ)x 1 +λx 2 |
Vì vậy, f là hàm lồi.
HỘI TỤ EPI 10
Hội tụ epi và các tính chất biến phân
2.1.1 Hội tụ epi Định nghĩa 2.1.1 (Hội tụ epi) φ k được gọi là hội tụ epi đến φ, kí hiệu là φ k → e φ hoặc φ =e-lim k φ k , nếu thỏa hai điều kiện sau:
(a) Với mọi dãy con x k j ∈ A k j → x, li j φ k j x k j ≥ φ(x) nếu x ∈ A và φ k j x k j → +∞ nếu x /∈ A;
(b) Với mọi x ∈ A, tồn tại x k ∈ A k → x sao cho ls k φ k x k ≤ φ(x).
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Ví dụ 2.1.1 Xét dãy hàm φ k : [0,∞) → R k xác định như sau: φ k (x)
0 nếu x ≥2k −1 , và hàm φ : [0,∞) → R xác định bởi φ(x)
Kiểm tra trực tiếp cho thấy epiφ k P −→ −K epiφ Do đó, φ k −→ e φ. Định nghĩa 2.1.2 (Hội tụ epi-trong) φ k được gọi là hội tụ epi-trong đến φ, kí hiệu là φ k i → −e φ hoặc φ =i-e- lim k φ k , nếu thỏa hai điều kiện sau:
(a) Với mọi dãy con x k j ∈ A k j → x, li j φ k j x k j ≥φ(x) nếu x ∈ A; (b) Với mọi x ∈ A, tồn tại x k ∈ A k → x sao cho ls k φ k x k ≤ φ(x). Định nghĩa 2.1.3 (Hội tụ epi-yếu) φ k được gọi là hội tụ epi-yếu đến φ, kí hiệu là φ k w−e → φ hoặc φ =w-e- lim k φ k , nếu thỏa hai điều kiện sau:
(a) Với mọi dãy con x k ∈ A k → x, li k φ k x k ≥ φ(x) nếu x ∈ A và φ k x k →+∞ nếu x /∈ A;
(b) Với mọi x ∈ A, tồn tại x k ∈ A k → x sao cho ls k φ k x k ≤ φ(x). Định nghĩa 2.1.4 (Hội tụ epi-trong-yếu) φ k được gọi là hội tụ epi-trong-yếu đến φ, kí hiệu là φ k w−i−e −→ φ hoặc φ =w-i-e-lim k φ k , nếu thỏa hai điều kiện sau:
(a) Với mọi dãy x k ∈ A k → x, li k φ k x k ≥ φ(x) nếu x ∈ A;
(b) Với mọi x ∈ A, tồn tại x k ∈ A k → x sao cho ls k φ k x k ≤ φ(x).
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Bên cạnh hội tụ epi, có ba khái niệm yếu khác được giới thiệu cho ứng dụng xấp xỉ tối ưu các bài toán liên quan, vì mỗi khái niệm đều bổ ích trong các trường hợp cụ thể với giả thiết dẫn đạt đến cực tiểu Các định nghĩa trên cũng như các kết quả sau đó vẫn còn đúng trong trường hợp
A k = A = X với mọi k và R được thay thế bởi R ∪ {+∞} Tập biểu diễn argmin A φ := {x ∈ A|φ(x) = inf A φ} Cho ε ≥ 0,x¯ ε ∈ A được gọi là điểm ε nhỏ nhất nếu φ(¯x ε ) ≤ inf A φ+ε, kí hiệu bởi x¯ ∈ ε-argmin A φ.
2.1.2 Tính chất của hội tụ epi
Mệnh đề 2.1.1 (Tính chất cơ bản của hội tụ epi)
(a) Nếu φ k w −→ −i−e φ thì ls k inf A k φ k ≤inf A φ.
(b) Nếuφ k → e φthì với bất kỳε, ε k ≥ 0vàε k → ε,Lim k (ε k -argmin A k φ k ) ⊂ ε-argmin A φ.
(c) Nếu φ k w → −e φ, ε k → 0 + , khi đó tồn tại x k ∈ argmin A k φ k hội tụ về x thì x ∈ argmin A φ và lim k inf A k φ k = inf A φ.
Chứng minh (a) Giả sử x k k ⊂ A là dãy inf của φ với φ x k →inf A φ. Theo điều kiện (b) của hội tụ epi-yếu-trong
Với mọi k tồn tạix k j j ∈ A j →x k sao cho ls j φ j x k j ≤φ x k Khi đó, với mọi giá trị k,ls j inf A j φ j ≤ ls j φ j x k j ≤ φ x k Cho k → +∞ khi đó ls j inf A j φ j ≤ inf A φ.
(Chú ý rằng là inf A φ có thể bằng −∞).
(b) Giả sửx ∈Ls k (ε k -argmin A kφ k ) Khi đó, tồn tạix k j ∈ ε k j -argmin A kj φ k j dần về giá trị x.
Vì vậy, ls j φ k j x k j ≤ ls j inf A kjφ k j +ε k j ≤ inf A φ+ε ≤ +∞.
Theo điều kiện (a) của hội tụ epi, x ∈ A và vì thế φ(x) ≤ li j φ k j x k j ≤ inf A φ+ε Vì vậy, x ∈ ε-argmin A φ.
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ ls k φ k x k ≤ ls k inf A k φ k +ε k ≤ inf A φ < +∞.
Do đó, x ∈ A do điều kiện (a) của hội tụ epi-yếu của φ k
Hơn nữa, với mọi dãy con φ k j , φ(x) ≤ li k φ k x k ≤ li j φ k j x k j ≤ ls j φ k j x k j ≥ ls k φ k x k ≤ ls k inf A k φ k +ε k ≤ inf A φ.
Vì vậy, x ∈ argmin A φ và φ(x) ≤li k φ k x k ≤li k inf A k φ k +ε k ≤inf A φ, nghĩa là lim k inf A k φ k = inf A φ.
Từ những điều trên ta kết luận rằng, lim k inf A k φ k = inf A φ.
Ví dụ 2.1.2 (Không thỏa hội tụ epi còn một vài hội tụ khác thì thỏa)
(a) (Không thỏa hội tụ epi, nhưng ba dạng yếu hơn thì thỏa)
Cho A k bằng {0,1} với k lẻ và {0} với k chẵn, A = {0}, φ k (x) = 0 với mọi k ∈ N và x ∈ A k và φ(x) = 0 với x ∈ A Khi đó, φ k không hội tụ epi vềφ Ta có,ε k →0 + ,Ls k (ε k -argmin A k ε k ) không chứa trong argmin A φ bởi vì argmin A φ = {0}, nhưng ε k -argmin A k φ k
{0,1} nếu k là số lẻ; {0} nếu k là số chẵn.
Ví dụ này minh họa Mệnh đề 2.1.1 (a), (c) cho hai loại hội tụ epi yếu hơn Chứng minh được kết quả tương tự lim k inf A k φ k = 0 inf A φ; cho ε k ≡0,0 ∈ ε k -argmin A k φ k dần về 0 ∈ argmin A φ.
(b) (Không thỏa hội tụ-epi-yếu nhưng thỏa hội tụ-epi-trong)
Cho α ∈ (0,2), φ : [α,2] → R, φ k : [0,2] → R được xác định φ(x) ≡ 0, và φ k (x)
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Khi đó, φ k không hội tụ epi-yếu đến φ vì β ∈ (0, α) (nằm ngoài miền của φ) và x k ∈ A k → β, li k φ k x k = 0 không phải +∞ như yêu cầu (a) của hội tụ epi-yếu Tuy nhiên, φ k hội tụ epi-trong với tất cả x k j ∈ A k j →x ∈ [α,2], li j φ k j x k j = 0 = φ(x).
Ví dụ trên cho thấy khẳng định (a) của Mệnh đề 2.1.1 luôn thỏa dãy hội tụ epi-trong-yếu lim k (inf A φ) = 0 = inf A φ.
Mệnh đề 2.1.2 (tương đương biến phân và công thức hình học của hội tụ epi) Điều kiện (a) của hội tụ epi tức là Ls k epiφ k ⊂ epiφ và điều kiện (b) ta có Li k epiφ k ⊃ epiφ Vì vậy, φ k → e φ nếu và chỉ nếu epiφ k P −→ −K epiφ.
Chứng minh Từ Ls k epiφ k ⊂epiφvới mọix k j ∈ A kj với x k j , φ k j x k j → (x, α), x ∈ A và α ≥φ(x) (x ∈ A và li j φ k j x k j ≥ φ(x)) hoặc x /∈ A và α = +∞ Khi đó, (a) thỏa mãn.
Theo (a), nếu (xk, αj) ∈ Akj thì xk ∈ A và giới hạn limj→∞ αj xkj = α thỏa mãn α ≥ φ(x) Khi đó, nếu (xk, φkj) ∈ epi φkj thì (x, α′) ∈ epi φ, trong đó α′ ≥ α ≥ φ(x) khi x ∈ A và (xk, αkj) → (x, +∞) khi x ∉ A Do đó, Ls(Akj epi φkj) ⊂ epi φ.Xét (b), epi φ ⊂ Lki (epi φki) nghĩa là với mọi (x, α) ∈ epi φ, tồn tại (xki, αki) ∈ epi φki sao cho (xki, αki) → (x, α) Đặc biệt, với (x, φ(x)), tồn tại (xki, αki) → (x, φ(x)) trong đó φ(xki) ≤ αki với mọi k.
Khi đó, ls k φ k x k ≤ ls k α k = φ(x) Ngược lại, với mọi (x, α) ∈ epiφ với x ∈ A, ý (b) cho thấy rằng α ≥φ(x) ≥ls k φ k x k với mỗi x k ∈ A k →x.
Khi đó, x k , α k ∈epiφ k → (x, α) Nếu(x, α) ∈epiφ= epiζφvớix /∈ A, khi đó α = +∞ Ta lấy tùy ý x k ,+∞ ∈ epiζφ k = epiφ k →(x, α).
Vì vậy, epiφ ⊂ Li k epiφ k Định nghĩa 2.1.5 (Tính chặt của hội tụ epi)
(i) φ k được gọi là hội tụ epi-chặt đến φ, nếu và chỉ nếu φ k hội tụ epi
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ đến φ và với mọi ε > 0, tồn tại tập compact B ε và chỉ số trên k ε thỏa với mọi k ≥ k ε , inf B ε ∩A k φ k ≤ inf A k φ k + ε
(ii) φ k được gọi là hội tụ epi-trong-chặt đếnφ, nếu φ k hội tụ epi-trong đến φ và với mọi ε > 0, tồn tại tập compact B ε và chỉ số trên k ε thỏa với mọi k ≥ k ε , inf B ε ∩A k φ k ≤ inf A k φ k + ε
(iii) φ k được gọi là hội tụ epi-yếu-chặt đến φ, nếu φ k hội tụ epi-yếu đến φ và với mọi ε > 0, tồn tại tập compact Bε và chỉ số trên kε thỏa với mọi k ≥ k ε , inf B ε ∩A k φ k ≤ inf A k φ k + ε
(iv) φ k được gọi là hội tụ epi-trong-yếu-chặt đến φ, nếu φ k hội tụ epi- trong-yếu đến φ và với mọi ε > 0, tồn tại tập compact B ε và chỉ số trên k ε thỏa với mọi k ≥ k ε , inf B ε ∩A k φ k ≤ inf A k φ k + ε Mệnh đề 2.1.3 (Tính chất biến phân với điều kiện hội tụ chặt)
(a) Nếuφ k hội tụ epi-chặt đếnφ, khi đó inf A φ > −∞và inf A k φ k →inf A φ. Nếuφ k hội tụ epi-yếu hay hội tụ epi đếnφ, inf A φ > −∞và inf A k φ k → inf A φ, khi đó hội tụ có tính chặt.
(b) Nếuφ k → e φchặt thì với mọiε > 0, argmin A φ ⊂Li k (ε k -argmin A k φ k ).
(c) Choφ k hội tụ epi đếnφ Nếu tồn tạiε k → 0 + sao cho ε k -argmin A k φ k hội tụ Painlevé-Kuratowski đến argmin A φ, khi đó hội tụ epi là chặt. Ngược lại, nếu φ k → e φ chặt, thì tồn tại ε k → 0 + sao cho
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ argmin A φ=Li k (ε k -argmin A k φ k )
Chứng minh (a) Để chứng minh ý (a), giả sử φ k hội tụ epi chặt đến φ. Giả sử inf A φ= −∞.
Khi đó theo Mệnh đề 2.1.1 (a), inf A k φ k → −∞ Bởi tính chặt, tồn tại tập compact B ⊂ X thỏa inf B∩A k φ k → −∞ và x k ∈ B ∩ A k sao cho φ k x k → −∞ Do tính compact của tập B nên lim j x k j = x với mọi dãy con x k j j và x ∈ B Trong điều kiện (a) hội tụ epi, li j φ k j x k j ≥ φ(x) ∈ R hoặc là φ k j x k j → +∞, mâu thuẫn với φ k x k → −∞ Do đó, inf A φ > −∞.
Chúng ta chứng minh rằng với mọi ε > 0 và B ε được cho bởi tính chặt, inf B ε ∩A k φ k |k ∈ N ngoại trừ trường hợp k hữu hạn, bị giới hạn bởi −∞, mâu thuẫn.
Hội tụ hypo và các tính chất hội tụ hypo
Hội tụ biến phân liên quan đến vấn đề cực tiểu của hàm là hội tụ trên đồ thị (hội tụ epi) Nếu quan tâm đến vấn đề cực đại của hàm thì phải làm như thế nào? Do đó, người ta đưa ra khái niệm hội tụ dưới đồ thị. Mặt khác, ta có max(φ) =−min(−φ) nên ta chỉ cần xét trên đồ thị của hàm −φ Từ đó, định nghĩa hội tụ hypo như sau Định nghĩa 2.2.1 Dãy hàm φ k k được gọi là hội tụ hypo đến hàm φ nếu dãy hàm
−φ k k hội tụ epi đến hàm −φ, kí hiệu là φ k −→ h φ hoặc φ = h-lim k φ k
Ví dụ 2.2.1 Giả sử rằng A k = −1− 1 k ,1 + 1 k , k ∈ N và A = [−1,1]. Dãy hàm φ k : A k →R k được xác định bởi φ k (x) =−(x 4 + 2 k),
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ và hàm φ : A→ R xác định bởi φ(x) = −x 4
Kiểm tra theo định nghĩa ta được epi(−φ k ) P −→ −K epi(−φ) Do đó,
Vì tính đối xứng giữa hội tụ epi và hội tụ hypo nên các kết quả của hội tụ epi sẽ đúng cho hội tụ hypo khi ta thay φ thành −φ, min thành max, inf thành sup, −∞ thành +∞, li thành ls Ta có một số định nghĩa và tính chất quan trọng dưới đây. Định nghĩa 2.2.2 (Giới hạn hypo trên và dưới)
2.2.2 Tính chất hội tụ hypo
Mệnh đề 2.2.3 (Tính chất của hội tụ hypo)
(i) hliφ k (x) = max {x k ∈A k →x} likφ k (x k ) và hlsφ k (x) = max {x k ∈A k →x} ls k φ k (x k ) với x ∈ X;
(ii) φ k → h φ nếu và chỉ nếu hliφ k (x) = hlsφ k (x) = φ(x) với x ∈ A và hlsφ k (x) = −∞ với x ̸∈ A;
(iii) hypo(hlsφ k ) = Ls k (hypoφ k ) và hypo(hliφ k ) = Li k (hypoφ k );
(iv) φ k → h φ nếu và chỉ nếu hypoφ k P −→ −K hypoφ.
HỘI TỤ EPI/HYPO 25
Các loại hội tụ epi/hypo
B,Φ k :gphD k →R và Φ : gphD → R, với D k và D được xác định tương ứng trên toàn bộ tập A k , A Ta thường viết Φ k ,Φ ∈ nrec(X ×Y) với
"nrec" là từ viết tắt của từ "miền không chữ nhật", và "rec(X ×Y)" tương ứng là miền hình chữ nhật. Định nghĩa 3.1.1 (Hội tụ epi/hypo-trong) Φ k được gọi là hội tụ epi/hypo-trong (hội tụ i-e/h) đến Φ khi và chỉ khi
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Hội tụ epi/hypo-trong được kí hiệu làΦ =i-e/h-lim k Φ k hoặc làΦ k i −→ −e/h Φ. Định nghĩa 3.1.2 (Hội tụ epi/hypo) Φ k được gọi là hội tụ epi/hypo (hội tụ e/h) đến Φ khi và chỉ khi
Hội tụ epi/hypo được kí hiệu là Φ =e/h-lim k Φ k hoặc là Φ k e/h −→ Φ. Định nghĩa 3.1.3 (Hội tụ epi/hypo-yếu) Φ k được gọi là hội tụ epi/hypo-yếu (hội tụ w-e/h) đến Φ khi và chỉ khi
Hội tụ epi/hypo-yếu được kí hiệu làΦ =w-e/h-lim k Φ k hoặc làΦ k w −→ −e/h Φ. Định nghĩa 3.1.4 (Hội tụ epi/hypo-trong-yếu) Φ k được gọi là hội tụ epi/hypo-trong-yếu (hội tụ w-i-e/h) đến Φ khi và chỉ khi
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Hội tụ epi/hypo-trong-yếu được kí hiệu là Φ =w-i-e/h-lim k Φ k hoặc là Φ k w −i−e/h −→ Φ.
Ví dụ 3.1.1 Cho A k = B k = k 1 ,1 , A = B = [0,1], dãy song hàm Φ k : A k ×B k → R k xác định bởi Φ k (x, y)
0 nếu (x, y) ∈ A k ×B k và x = y; và song hàm Φ : A×B → R xác định như sau Φ(x, y)
Kiểm tra trực tiếp bằng định nghĩa, ta có Φ k e/h −→ Φ.
Ví dụ 3.1.2 (Hội tụ epi/hypo không thỏa nhưng ba loại hội tụ yếu hơn thì thỏa)
{0,1} nếu k là số lẻ; {0} nếu k là số chẵn.
Khi đó, Φ k không hội tụ epi/hypo đến Φ vì điều kiện vô cùng (a) trong định nghĩa không thỏa Nhưng ba loại hội tụ yếu hơn thì thỏa.
Ví dụ 3.1.3 (Hội tụ epi/hypo-trong thỏa nhưng hội tụ epi/hypo-yếu không thỏa)
Với mọi k ∈ N, cho A k = A = (0, e − 1], B k = B = (0,1],D k (x) D(x) = [ln(x + 1),1], và Φ k (x, y) = Φ (x, y) = ln(y/x) với mọi x, y trong các miền xác định trên Tất cả các dãy đều không thay đổi, ta xét
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ các dãy thay vì các dãy con.
(a) Với mọi x k ∈ A k → x và y ∈ D(x), ta tính D k (x k ) y k
y nếu 0< x k ≤ x; y +γ k nếu γ k → 0 + và ln(x k + 1)≤ y +γ k ≤ 1 và x < x k ≤ e−1.
Khi đó, lim k Φ k (x k , y k ) = Φ(x, y) bởi tính liên tục của Φ k = Φ.
Với điều kiện (b), ta thấy, với mọiy k ∈ B k →y vàx ∈ D −1 (y),x k := x thỏa lim k Φ k (x k , y k ) = Φ(x, y) Vì vậy, Φ k hội tụ epi/hypo-trong đến Φ. Cho y k ∈ B k →0 ∈/ B và x k trong (D k ) −1 (y k ) Khi đó, x k ≤ e y k −1 và Φ k (x k , y k ) ≥ ln(y k (e y k −1) −1 ) → 0, không là −∞ như yêu cầu Vì vậy, Φ k không hội tụ epi-yếu đến Φ.
Nhận xét 3.1.1 (Nhận xét về hội tụ epi/hypo)
Chúng tôi nhấn mạnh các đặc điểm quan trọng của các loại hội tụ epi/hypo.
Mỗi loại hội tụ epi/hypo đều có tính đối xứng trong các điều kiện (a) và (b) (x và y, liminf và limsup) Hội tụ epi/hypo của Φk đến Φ thì -Φk cũng hội tụ epi/hypo đến -Φ Vì vậy, hội tụ epi/hypo tương ứng với min x max y, tối đa hóa tương ứng với x, tối thiểu hóa tương ứng với y và khác với sự hội tụ epi/hypo Ở đây, ta chỉ thay đổi thứ tự hai thành phần của min x max y; hội tụ epi/hypo là đối xứng có nghĩa (x, y) → Φk(x, y) hội tụ epi/hypo đến (x, y) → Φ(x, y) nếu và chỉ nếu (x, y) → Φk (y, x) hội tụ hypo/epi đến (x, y) → Φ(y, x) Vì vậy, hội tụ hypo/epi có thể trùng với sự hội tụ epi/hypo (với điều kiện (b) xảy ra trước điều kiện (a)) Ba loại hội tụ khác của hội tụ epi/hypo cũng có kết quả tương tự.
(ii) Đặc điểm đối xứng của các loại hội tụ epi/hypo có thể được coi là điều quan tâm đầu tiên đối với các song hàm vì đối tượng được quan
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ tâm đầu tiên của song hàm là các điểm yên ngựa, đối xứng Nhiều vấn
Tiêu chuẩn của hội tụ epi/hypo
Chúng tôi tập trung vào các loại yếu và bỏ qua các kết quả tương tự cho các loại khác nếu có thể Theo định nghĩa 3.2.1, giới hạn epi/hypo-yếu-trên và epi/hypo-yếu-dưới cho các tập hợp lân cận Φ, Φ k của X × Y tại điểm (x, y) sẽ được tính toán như sau:
(i) Với x ∈ A và y ∈ D(x), giới hạn epi/hypo-yếu-trên được định nghĩa là w-ehlsΦ k (x, y) := inf {x k ∈A k →x} sup {y k ∈D k (x k )→y} li k Φ k (x k , y k ); và với x /∈ A, w-ehlsΦ k (x) := inf {x k ∈A k →x} sup {y k ∈D k (x k )} li k Φ k (x k , y k ). (ii) Với y ∈ B và x ∈ D −1 (y), giới hạn epi/hypo-yếu-dưới được định nghĩa là w-ehliΦ k (x, y) := sup {y k ∈B k →y} inf {x k ∈(D k ) −1 (y k )→x} lskΦ k (x k , y k ); và với y /∈ B, w-ehliΦ k (y) := sup {y k ∈B k →y}inf {x k ∈(D k ) −1 (y k )} ls k Φ k (x k , y k ). (Chú ý rằng w-ehliΦ k = −w-ehls(−Φ k ).) Định lý 3.2.1 (Công thức của giới hạn epi/hypo-yếu-trên và yếu-dưới) Các công thức mạnh hơn các công thức trong định nghĩa trên với max thay thế sup trong w-ehls và min thay thế inf trong w-ehli luôn đúng. Cho Φ,Φ k ∈ nrec(X × Y) và (x, y) ∈ X × Y (i) Với x ∈ A và y ∈ D(x), giới hạn epi/hypo-yếu-trên được định nghĩa là w-ehlsΦ k (x, y) : min {x k ∈A k →x} max {y k ∈D k (x k )→y} li k Φ k (x k , y k ); và với x /∈ A, w-ehlsΦ k (x) := min {x k ∈A k →x} max {y k ∈D k (x k )} li k Φ k (x k , y k ). (ii) Vớiy ∈ B vàx ∈ D −1 (y),giới hạn epi/hypo-yếu-dướiđược định nghĩa là w-ehliΦ k (x, y) := max {y k ∈B k →y} min {x k ∈(D k ) −1 (y k )→x} ls k Φ k (x k , y k ); và vớiy /∈ B, w-ehliΦ k (y) := max {y k ∈B k →y} min {x k ∈(D k ) −1 (y k )} ls k Φ k (x k , y k ).
Ta thay thế dãy bởi các dãy con thì ta có công thức giới hạn epi/hypo. Định lý 3.2.2 (Tính chất của hội tụ epi/hypo-yếu)
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Khi đó, Φ k hội tụ epi/hypo-yếu đến Φ nếu và chỉ nếu
(i)Φ(x, y) ≤ w-ehlsΦ k (x, y) nếu x ∈ A,y ∈ D(x) và w-ehlsΦ k (x) = +∞ nếu x /∈ A;
(ii) w-ehliΦ k (x, y) ≤ Φ(x, y) nếu y ∈ B, x ∈ D −1 (y) và w-ehliΦ k (y) −∞ nếu y /∈ B. Định lý 3.2.3 (Tính chất của hội tụ epi/hypo-trong-yếu)
Khi đó, Φ k hội tụ epi/hypo-trong-yếu đến Φ nếu và chỉ nếu
(ii) w-ehliΦ k (x, y) ≤ Φ(x, y) nếu y ∈ B, x ∈ D −1 (y). Định lý 3.2.4 (Tính chất của hội tụ epi/hypo)
Cho Φ,Φ k ∈ nrec(X ×Y) Khi đó, Φ k hội tụ epi/hypo đến Φ nếu và chỉ nếu
(i) Φ(x, y) ≤ ehlsΦ k (x, y) nếu x ∈ A, y ∈ D(x) và ehlsΦ k (x) = +∞ nếu x /∈ A;
(ii) ehliΦ k (x, y) ≤ Φ(x, y) nếu y ∈ B, x ∈ D −1 (y) và ehliΦ k (y) = −∞ nếu y /∈ B.
Nhận xét 3.2.1 (Tính chất của các loại hội tụ epi/hypo yếu)
Cho dãy Φ k ∈ nrec(X ×Y), w-ehliΦ k (x, y) và w-ehlsΦ k (x, y) thay đổi ít hơn từ điểm này sang điểm khác trong miền tổng quát Định lí 3.2.4 cho thấy rằng w-ehliΦ k (x, y) ≤w-ehlsΦ k (x, y) với mọi(x, y) ∈ gphD(kí hiệu là w-ehliΦ k ≤ Φ ≤ w-ehlsΦ k ), khi đó với mọi Φ thỏa mãn bất đẳng thức w-ehliΦ k ≤ Φ ≤ w-ehlsΦ k trên gphD là giới hạn epi/hypo-trong-yếu của Φ k và nếu điều kiện vô cực thỏa mãn, thì đó là giới hạn epi/hypo-yếu. Khoảng [w-ehliΦ k ,w-ehlsΦ k ] được gọi là khoảng giới hạn epi/hypo-trong- yếu Theo Định lí 3.2.4, hội tụ epi/hypo yếu xảy ra nếu và chỉ nếu có
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ khoảng [w-ehliΦ k ,w-ehlsΦ k ] cùng với hai điều kiện vô cực Tương tự về sự hội tụ epi/hypo cũng như vậy. Định lý 3.2.5 (Công thức hình học của giới hạn epi/hypo trên và dưới) epi(ehliΦ k (ã, y)) =∩ {y kj ∈B kj →y} Lij(epiΦ k j (ã, y k j )) cho ehliΦ k (ã, y) trờn A. hypo(ehlsΦ k (x,ã)) =∩ {x kj ∈A kj →x} Li j (hypoΦ k j (x k j ,ã)) cho ehlsΦ k (x,ã)trờn
B. epi(w-ehliΦ k (ã, y)) = ∩ {y k ∈B k →y} Li k (epiΦ k (ã, y k )) cho w-ehliΦ k (ã, y) trờn
A. hypo(w-ehlsΦ k (x,ã)) = ∩ {x k ∈A k →x} Li k (hypoΦ k (x k ,ã)) cho w-ehlsΦ k (x,ã)trờn
Chứng minh Bởi vì tương tự nên chúng tôi chỉ chứng minh công thức đầu tiên (x, α) nằm bên trong phía bên phải có nghĩa là
∀ε > 0,∃j 0 ∈ N,∀j ≥ j 0 ,[((D k j ) −1 (y k j ) ∩ B(x, ε)) × (−∞, α + ε)] ∩ epiΦ k j (., y k j ) ̸= ∅ Mối quan hệ này có nghĩa là tồn tại của x k j ∈ (D k j ) −1 (y k j )∩B(x, ε) sao cho Φ k j (x k j , y k j ) < α+ε cho j Do đó, khẳng định trên tương đương với sup {y kj ∈B kj →y}min {x kj ∈(D kj ) −1 (y kj )→x}lsjΦ k j (x k j , y k j ) ≤ α, nghĩa là ehliΦ k (x, y) ≤ α hay (x, α) ∈ epi(ehliΦ k (., y)).
HỘI TỤ LOP 43
Hội tụ Lop
Hội tụ minsup-lopsided (mis-lop) cho song hàm trên miền tổng quát là rất quan trọng trong ứng dụng xấp xỉ tối ưu hóa ngẫu nhiên Trong phần này, chúng tôi trình bày các loại hội tụ lop (tương ứng với các loại hội tụ epi/hypo) để có cái nhìn hoàn chỉnh về các định nghĩa hướng đến các ứng dụng tối ưu hóa. Định nghĩa 4.1.1 (Hội tụ mis-lop)
Cho Φ k ,Φ ∈ nrec(X ×Y). Φ k hội tụ mis-lop đến Φ, ký hiệu là Φ k mis −→ −lop Φ, khi
(a)∀x k j ∈ A k j → x ∈ A,∀y ∈ D(x),∃y k j ∈ D k j (x k j ) → y,li j Φ k j (x k j , y k j ) ≥ Φ(x, y) và ∀x k j ∈ A k j → x /∈ A, ∃y k j ∈ D k j (x k j ), Φ k j (x k j , y k j ) →+∞; (b) ∀x ∈ A, ∃x k j ∈ A k j → x, ∀y k j ∈ D k j (x k j ) → y, ls j Φ k j (x k j , y k j ) ≤ Φ(x, y) nếu y ∈ D(x) và Φ k j (x k j , y k j ) → −∞ nếu y /∈ D(x). Định nghĩa 4.1.2 (Hội tụ mis-lop-trong)
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Φ k hit mis −lop −trong đến Φ ([26]), ký hiệu là Φ k mis −→ −lop Φ, khi
(b) ∀x ∈ A, ∃x k j ∈ A k j → x, ∀y k j ∈ D k j (x k j ) → y, ls j Φ k j (x k j , y k j ) ≤ Φ(x, y) nếu y ∈ D(x). Định nghĩa 4.1.3 (Hội tụ mis-lop-yếu)
Cho Φ k ,Φ ∈ nrec(X ×Y). Φ k hội tụ mis-lop-yếu đến Φ ([26]), ký hiệu là Φ k mis −→ −lop Φ, khi
(b) ∀x ∈ A, ∃x k ∈ A k → x, ∀y k ∈ D k (x k ) → y, lsΦ k (x k , y k ) ≤ Φ(x, y) nếu y ∈ D(x) và Φ k (x k , y k ) → −∞ nếu y /∈ D(x). Định nghĩa 4.1.4 (Hội tụ mis-lop-trong-yếu)
Cho Φ k ,Φ ∈ nrec(X ×Y). Φ k hội tụ mis-lop-trong-yếu đến Φ ([26]), ký hiệu Φ k mis −→ −lop Φ, khi
Các định nghĩa 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, 4.1.4 không có tính đối xứng Loại hội tụ lop được xác định trong ĐN 4.1.5 là hội tụ mai-lop.
(a)∀y k j ∈ B k j →y,∀x ∈ D −1 (y),∃x k j ∈ (D k j ) −1 (y k j ) →x, ls j Φ k j (x k j , y k j ) ≤ Φ(x, y); ∀y k j ∈ B k j → y /∈ B, ∃x k j ∈ (D k j ) −1 (y k j ), Φ k j (x k j , y k j ) → −∞; (b) ∀y ∈ B, ∃y k j ∈ B k j →y, ∀x k j ∈ (D k j ) −1 (y k j ) →x, li j Φ k j (x k j , y k j ) ≥ Φ(x, y) nếu x ∈ D −1 (y) và Φ k j (x k j , y k j ) → +∞ nếu x /∈ D −1 (y).
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Định nghĩa 4.1.6 (Hội tụ mai-lop-trong ) Φ k hội tụ mai-lop-trong đến Φ, kí hiệu là Φ k mai −→ −lop Φ, khi
(b) ∀y ∈ B, ∃y k j ∈ B k j →y, ∀x k j ∈ (D k j ) −1 (y k j ) →x, li j Φ k j (x k j , y k j ) ≥ Φ(x, y) nếu x ∈ D −1 (y). Định nghĩa 4.1.7 (Hội tụ mai-lop-yếu) Φ k hội tụ mai-lop-yếu đến Φ, kí hiệu là Φ k mai −→ −lop Φ, khi
(b) ∀y ∈ B, ∃y k ∈ B k → y, ∀x k ∈ (D k ) −1 (y k ) → x, liΦ k (x k , y k ) ≥ Φ(x, y) nếu x ∈ D −1 (y), và Φ k (x k , y k ) → +∞ nếu x /∈ D −1 (y). Định nghĩa 4.1.8 (Hội tụ mai-lop-trong-yếu ) Φ k hội tụ mai-lop-trong-yếu đến Φ, kí hiệu là Φ k mai −→ −lop Φ, khi
Ví dụ 4.1.1 (Hội tụ mis-lop thỏa, hội tụ mai-lop yếu và hội tụ epi/hypo yếu không thỏa)
Quay lại Ví dụ 3.1.1 A k = A = (0, e−1], B k = B = (0,1], D k (x) D(x) = [ln(x + 1),1], và Φ k (x, y) = Φ(x, y) = ln(y/x) Song hàm Φ k là dãy không đổi, ta chỉ làm việc trên dãy Điều kiện (a) của hội tụ mis-lop là thỏa mãn Với điều kiện (b), với mọi x ∈ A, ta có x k ≡ x, với mọi y k ∈ D k (x k ) → y ∈ D(x), ls k Φ k (x k , y k ) = Φ(x, y) Hơn nữa, với mọi x ∈ A = (0, e − 1], lấy bất kì x k ∈ A k → x, không có giá trị y k ∈ D k (x k ) =D(x) tiến đến điểm ở ngoài D(x) Khi đó, điều kiện (b) là
Việc thỏa mãn tính hội tụ trung bình hàm nghĩa rằng tính hội tụ mai-lớp cũng được thỏa mãn Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng, tức là tính hội tụ mai-lớp không bao hàm tính hội tụ theo chuẩn epi/hypo Điều này được minh họa thông qua Ví dụ 3.1.1, chứng minh rằng hội tụ epi/hypo yếu không thỏa mãn Do đó, không giống như trường hợp hình chữ nhật, sự hội tụ trung bình không bao hàm sự hội tụ epi/hypo.
Ta chứng minh điều kiện (a) của hội tụ mai-lop là không thỏa Với mọi y k ∈ B k → y và x ∈ D −1 (y), ta chọn trong (D k ) −1 (y k ) điểm x k
x+γ k với γ k →0 + và x+γ k ≤ e y k −1nếu 0< y k ≤y, x nếu y < y k ≤ 1 để có lim k Φ k (x k , y k ) = Φ(x, y) (vì tính liên tục) Nhưng điều kiện vô cực không thỏa khi y k ∈ B k → 0 ∈/ B, x k = e y k − 1 ∈ (D k ) −1 (y k ) ta có lnΦ k (x k , y k ) ≥ ln(y k (e y k −1) −1 ) → 0, không bằng −∞ như yêu cầu.
Vì vậy, Φ k không hội tụ mai-lop-yếu đến Φ Điều kiện (b) của hội tụ mai-lop-trong thỏa mãn bởi tính liên tục và vì thế hội tụ mai-lop-trong thỏa.
Ví dụ 4.1.2 (Tất cả giới hạn epi/hypo, mis-lop, mai-lop bằng nhau) Φ k (x, y) = Φ(x, y) = ln(y/x) như trong Ví dụ 4.1.1 và thay đổi miền để Φ k hội tụ mai-lop đến Φ: A k = A = B k = B = (0,1], và D k (x) D(x) = [x 2 ,1] Giống như Ví dụ 4.1.1 hội tụ mis-lop thỏa.
Với điều kiện (a) của hội tụ mai-lop, cho y k ∈ B k → 0 ̸∈ B, ta chọn trong D −1 (y k ) điểm x k = (y k ) 1/2 để có Φ k (x k , y k ) → −∞ Để kiểm tra điều kiện (b), với mọi y ∈ (0,1], cho y k ≡ y Nếu x k ∈ (0, y 1/2 ] →x ̸= 0,khi đó li k Φ k (x k , y k ) = Φ(x, y), trong khi nếu x = 0, thì lim k Φ(y/x k ) +∞, nghĩa là (b) thỏa Vì thế, hội tụ mai-lop thỏa Tính toán được giới hạn epi/hypo, mis-lop và mai-lop bằng ln(y/x).
Tiêu chuẩn của hội tụ lop
Định nghĩa 4.2.1 (Giới hạn lop-yếu-trên và dưới)
(i) Với y ∈ B và x ∈ X, giới hạn lop-yếu-dưới được định nghĩa
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ w-lliΦ k (x, y) := sup {y k ∈B k →y} inf {x k ∈(D k ) −1 (y k )→x} likΦ k (x k , y k ).
(ii) Với x ∈ A và y ∈ Y, giới hạn lop-yếu-trên được định nghĩa w-llsΦ k (x, y) := inf {x k ∈A k →x} sup {y k ∈D k (x k )→y}ls k Φ k (x k , y k ).
Nhận xét 4.2.1 (So sánh giới hạn epi/hypo-nửa yếu và giới hạn lop-nửa yếu)
(i) Đầu tiên chúng tôi trình bày đối với trường hợp miền hình chữ nhật. Theo định nghĩa, ta có w-llsΦ k (x, y) ≥
w −lliΦ k (x, y) với (x, y) ∈ A×B, w −ehlsΦ k (x, y) với (x, y) ∈ A×B, w −ehliΦ k (x, y) với (x, y) ∈ A×B, w −ehliΦ k (y) với x ∈ A và y ̸∈ B, w-lliΦ k (x, y) ≤
w−llsΦ k (x, y) với(x, y) ∈ A×B, w−ehlsΦ k (x, y) với(x, y) ∈ A×B, w−ehlsΦ k (x) với y ∈ B và x ̸∈ A, w−ehliΦ k (x, y) với(x, y) ∈ A×B.
Các bất đẳng thức trên cho thấy, nhờ hai giới hạn “nửa” lop mà cả sáu giới hạn “nửa” được liên kết với nhau bằng mối quan hệ chủ yếu, trong khi bốn giới hạn “nửa” epi/hypo là không thể so sánh được.
(ii) Đối với trường hợp không phải hình chữ nhật, ta có với(x, y) ∈ gphD, w-llsΦ k (x, y) ≥ w-ehlsΦ k (x, y), w-lliΦ k (x, y) ≤ w-ehliΦ k (x, y),
Tuy nhiên, các bất đẳng thức khác tương ứng với những bất đẳng thức trong (i) không còn đúng nữa. Định lý 4.2.1 (Công thức tính giới hạn lop-yếu-dưới và trên)
(i) Với y ∈ B và x ∈ X, công thức tính giới hạn lop-yếu-dưới được định nghĩa w-lliΦ k (x, y) := max {y k ∈B k →y} inf {x k ∈(D k ) −1 (y k )→x} li k Φ k (x k , y k ).
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
(ii) Với x ∈ A và y ∈ Y, công thức tính giới hạn lop-yếu-trên được định nghĩa w-llsΦ k (x, y) := min {x k ∈A k →x} sup {y k ∈D k (x k )→y} lskΦ k (x k , y k ).
Chứng minh Bởi vì tương tự nên chúng tôi chỉ chứng minh công thức thứ hai.
Chứng minh u := w-llsΦ k (x, y) Nếu u = +∞, với mọi dãy x k ∈ A k → x là một cực tiểu của biểu thức được xem xét Nếu−∞ < u < +∞, với mọi ε j → 0 + và ta cố định j, tồn tại x k j ∈ A k → x (khi k → +∞) sao cho với mọiy k j ∈ D k (x k j ) →y, ls k Φ k (x k j , y k j ) ≤ u+εj Thay đổij và tính limsup j khij → +∞ để có ls j ls k Φ k (x k j , y j k ) ≤ u Do hệ quả A3 trong [4] về đường chéo không chuẩn, với mỗi k có j(k) sao cho ls k Φ k (x k j(k) , y j(k) k ) ≤ u Khi đó, dãy {x k j(k) } k là tối thiểu hơn Nếu u = −∞, với mỗi giá trị θ j → +∞ và cố định j, ta tìm thấy x k j ∈ A k → x (khi k → +∞) sao cho với mọi y j k ∈ D k (x k j ) →y, ls k Φ k (x k j , y j k ) ≤ −θ j Tương tự, bằng cách sử dụng Hệ quả A3 trong [4] ở trên, ta thu được dãy {x k j(k) } k , là giá trị tối thiểu. Định lý 4.2.2 (Tính chất của hội tụ lop-yếu)
(i) Φ k hội tụ mis-lop yếu đến Φ nếu và chỉ nếu với x ∈ A, w-llsΦ k (x, y) Φ(x, y) = w-ehlsΦ k (x, y) nếu y ∈ D(x) và w-llsΦ k (x, y) = −∞ nếu y /∈ D(x) và vớix /∈ A, w-ehlsΦ k (x) = +∞ Khi đó, giới hạn mis-lop yếu là duy nhất nếu tồn tại và nếu hội tụ epi/hypo-yếu được giữ nguyên thì giới hạn mis-lop-yếu chỉ là phần cuối bên phải của khoảng của giới hạn epi/hypo yếu.
(ii) Φ k hội tụ mai-lop-yếu đến Φ nếu và chỉ nếu với y ∈ B, w-ehliΦ k (x, y) = Φ(x, y) =w-lliϕ k (x, y)nếux ∈ D −1 (y)và w-lliΦ k (x, y) +∞ nếu x /∈ D −1 (y) và với y /∈ B, w-ehliΦ k (y) = −∞ Khi đó, giới hạn mai-lop là duy nhất nếu tồn tại và nếu hội tụ epi/hypo-yếu được giữ nguyên, thì giới hạn mai-lop là phần cuối bên trái của khoảng của giới hạn epi/hypo-yếu.
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
(i) Φ(x, y) ≤ w-ehlsΦ k (x, y) nếu (x, y) ∈ gphD và w-ehlsΦ k (x) = +∞ nếu x /∈ A Vì vậy, chiều thuận của khẳng định (i) đúng Xét phần còn lại của điều kiện (a) và điều kiện (b) của hội tụ mis-lop-yếu, với x ∈ A, y ∈ Y, ε j → 0 + , γ j →+∞, θ j (x, y) :
−γ j nếuy ̸∈ D(x). Điều kiện (b) nêu trên có nghĩa là min {x k ∈A k →x} sup {y k ∈D k (x k )→y}ls k Φ k (x k , y k ) ≤
Bất đẳng thức này có nghĩa là với mỗi j, tồn tại x k j ∈ A k → x sao cho với mỗi y j k ∈ D k (x k j ) → y, ls k Φ k (x k j , y j k )) ≤θ j (x, y).
Hệ quả 3 trong [4] áp dụng để tìm chỉ số dưới j(k) với mỗi k sao cho ls k Φ k (x k j(k) , y k j(k) ) ≤
−∞ nếu y ̸∈ D(x), điều đó đảm bảo rằng dãy x k := x k j(k) nhỏ nhất, nên (4.2) thỏa Vì vậy, theo Định lí 4.2.1, ta có (4.2) có nghĩa là w-llsΦ k (x, y) ≤ Φ(x, y) với (x, y) ∈ gphD và w-llsΦ k (x, y) = −∞ nếu y ̸∈ D(x) Khi đó, Nhận xét 4.2.2(ii) cho thấy rằng w-llsΦ k (x, y) = Φ(x, y) = w-ehlsΦ k (x, y) nếu
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
(x, y) ∈ gphD Khi đó, điều tương đương được chứng minh Khi đó, giới hạn mis-lop yếu là duy nhất nếu tồn tại.
(ii) Chứng minh tương tự như (i), nhưng áp dụng Hệ quả A1 trong [4].
Nhận xét 4.2.2 (So sánh các loại của hội tụ epi/hypo và hội tụ lop) (i) Xét trường hợp miền hình chữ nhật Định lí 4.2.2, 3.2.2, và nhận xét 4.2.1(i) chỉ ra rằng mỗi sự hội tụ mis-lop-yếu và mai-lop-yếu hàm ý sự hội tụ epi/hypo Thực tế, khi hội tụ epi/hypo yếu được giữ, hội tụ mis-lop- yếu xảy ra nếu w-llsΦ k (x, y) ≤ w-ehlsΦ k (x, y) và w-llsΦ k (x, y) = −∞. Tương ứng hội tụ epi/hypo và hội tự mai-lop cũng thỏa Duy nhất giới hạn epi/hypo-yếu, nó có thể xảy ra trường hợp chỉ tồn tại một trong các giới hạn mis-lop-yếu và mai-lop-yếu hoặc thậm chí cả hai đều không tồn tại Nhưng, khi giới hạn epi/hypo-yếu là duy nhất và cả hai giới hạn mis-lop-yếu và mai-lop-yếu tồn tại, chúng phải trùng nhau.
(ii) Trường hợp không là miền hình chữ nhật, hội tụ mis-lop và mai-lop không bao hàm hội tụ epi/hypo-yếu.
ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU 54
Bài toán tựa cân bằng và bài toán tựa cân bằng Mạnh
Xét các bài toán tựa cân bằng và tựa cân bằng Mạnh là (QEP) và (SQEP) sau
(QEP) tìm x¯ ∈ A sao cho E(¯x, y) ≤ 0 với mọi y ∈ D(¯x),
(SQEP) tìm x¯∈ A thỏa min x∈A sup y∈D(x) E(x, y) ≤0,
X, Y là không gian metric, A ⊂ X và B ⊂ Y là những tập không rỗng,
D : A ⇒ B là tập lên và xác định trên toàn tập A, và E : gphD → R. Bài toán (QEP) được tham khảo [25] và (SQEP) trong [13], nhưng không xét đến sự hội tụ biến phân yếu Giả sử có bài toán xấp xỉ, (QEP k ) và (SQEP k ), được xác định A k , B k ,D k , và E k với k ∈ N theo cách tương tự như các vấn đề ban đầu Với ε, ε k ≥ 0, tập nghiệm của bài toán (QEP) ký hiệu là ε-Sol(QEP).
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Nếu E k w−e/h −→ E (nghĩa là, E k hội tụ epi/hypo yếu đến E) hoặc
Với điều kiện hội tụ ký hiệu là (a) của EK, E k −mis−lop → E 蕴 x k ∈ ε k -Sol(QEP k ) → x thì x ∈ ε-Sol(QEP) Nếu x ∈ A thì liminf k→+∞ E k (x k , y k ) ≥ E(x, y) với mọi y ∈ D(x), từ đó E k (x k , y k ) ≤ ε k và E(x, y) ≤ ε Do đó x ∈ ε-Sol(QEP) Ngược lại, nếu x ̸∈ A, E k (x k , y k ) → +∞ với mọi y k ∈ D k (x k ) mâu thuẫn với điều kiện E k (x k , y k ) ≤ ε k Vì (QEP k ) có nghiệm gần đúng hơn (QEP) nên khẳng định trên đảm bảo sự tồn tại nghiệm và chỉ ra cách tìm chúng.
Nếu hội tụ xi-chặt riêng phần weakly epi/hypo đến E, weakly mis-lop đến E, domξ ≠ ∅, ε → 0+, x ∈ ε - Sol(SQEP) → x, thì x ∈ Sol(SQEP) Định lý 3.3.5(ii) khẳng định ξ weakly epi hội tụ đến ξ Giá trị tối thiểu của ξ (ứng với ξ) là điểm minsup của E (ứng với E) Mệnh đề 2.1.1(iii) khẳng định x ∈ Sol(SQEP) Tính gần đúng của các loại hội tụ biến phân weakly chỉ cần các loại hội tụ này, không cần tính compact, tính liên tục, tính lồi.
Kể cả các tập X và Y không cần đầy đủ.
Hội tụ của bài toán tựa cân bằng xấp xỉ Nash
Bài toán bài toán tựa cân bằng Nash (QG) bao gồm m người tham gia. Người chơi i ∈ I := {1, , m} chọn một chiến lược x i trong tập hợp các
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ chiến lược có sẵn D i (x −i ) ⊂ X i , điều đó phụ thuộc vào chiến lược được lựa chọn bởi những người chơi khác x −i := (x 1 , , x i−1 , x i+1 , , x m ) Với
Xi là không gian metric Hàm mục tiêu ci(xi, x −i ) của người chơi i Khi đó, D i : X −i ⇒ X i Cho D := Q i∈I D −i : Q i∈I X −i ⇒ Q i∈I X i =: X. Tuy nhiên, D có thể được xem là bị giới hạn trong miền A := {x ∈ X | x i ∈ D i (x −i ), ∀i ∈ I} vì các điểm bên ngoài của nó không liên quan, tức là, D : A ⇒ X Khi đó với x ∈ A, x ∈ D(x), ta có (x, x) ∈ gphD và D(A) chứa A Khi đó, D được xác định trên toàn bộ tập A và xác định trên D(A) Điểm x¯ ∈ A được gọi là điểm tựa cân bằng Nash khi đó x¯ ∈ argmax x i ∈D i (¯ x −i ) ci(xi,x¯ −i ) với mọi i ∈ I, và vấn đề của bài toán tựa cân bằng Nash là (QG) Nghiệm xấp xỉ x¯ ∈ A là ε-nghiệm tựa cân bằng Nash, ký hiệu là x¯ ∈ ε-Ne(QG), khi inf x∈D(¯ x) N(¯x, x) ≥ −ε Giả sử rằng chúng ta có một dãy của bài toán xấp xỉ tựa cân bằng Nash (QG k ) với dữ liệu D k và c k Xét sự hội tụ của nghiệm gần đúng của (QG k ) đến (QG) dưới các loại hội tụ epi-yếu, lấy cảm hứng từ hội tụ epi nhiều thành phần trong [18], chúng tôi có giới thiệu sau đây.
• Với i ∈ I và k ∈ N, cho X i là không gian metric, φ i : A i ⊂ X i →R, và φ k i : A k i ⊂ Xi → R Hàm nhiều thành phần (φ k 1 , , φ k m ) hội tụ hypo nhiều thành phần yếu đến hàm nhiều thành phần (φ 1 , , φ m ) khi đó, với mọi i ∈ I,
(a) với mọi dãy x k i với x k i ∈ A k i hội tụ đến x i , ls k φ k i (x k ) ≤ φ i (x) nếu x ∈ A và φ k i (x k ) → −∞ nếu x ̸∈ A;
(b) với mọi x i ∈ A i và dãy x k −i với x k −i ∈ A k −i hội tụ đến x −i ∈ A −i , tồn tại x k i ∈ A k i hội tụ đến x i sao cho li k φ k i (x k ) ≥ φ i (x).
Giả sử rằng X là không gian định chuẩn, chúng tôi sử dụng song hàm Nikaido-Isoda N s : gphD → R với s > 0 xác định trong [18] như sau
Ns(x, y) := Σi∈I[ci(xi, x−i)−ci(yi, x−i) + s
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Hỡnh chiếu infη s (x) :=inf D(x − ) N s (x,ã),D(x − ) := D 1 (x −1 )ì ìD m (x −m ). Chúng tôi thiết lập
Chúng tôi chứng minh sự hội tụ của bài toán xấp xỉ tựa cân bằng Nash trong trường hợp hội tụ hypo nhiều thành phần yếu.
• Với mọi i ∈ I, cho X i là một không gian hữu hạn chiều, A i ⊂ X i là tập đúng và lồi, c i (ã, x −i ), c k i (ã, x −i ) lừm và giới hạn với mọi k ∈ N và x −i ∈ D −i (x −(−i) ), và ε k → 0 + Giả sử rằng hàm nhiều thành phần {(c k 1 , , c k m )} k hội tụ hypo nhiều thành phần yếu đến (c1, , cm) và x k ∈ ε k -Ne(QG k ) hội tụ đến x¯ Khi đó, x¯ là nghiệm bài toán tựa cân bằng Nash của (QG).
Chứng minh Theo định nghĩa, chúng ta có công thức của hình chiếu inf η s k của song hàm N s k η s k (x k ) := inf y k ∈D k (x k
Không khó để thấy rằng (theo giả thiết tính lõm) x¯ là nghiệm bài toán tựa cân bằng Nash (QG) nếu và chỉ nếu x¯ ∈ argmax A η s = maiN s , điểm maxinf của song hàm N s , với giá trị max và giá trị maxinf là 0 Khi đó, x k ∈ ε k -Ne(QG k ) ⇔ η s k (x k ) ≥ −ε k và x¯ ∈ Ne(QG) ⇔ ηs(¯x) ≥ 0 (vì thế ηs(¯x) = 0) Từ mối liên hệ giữa η s k (x k ) và ζ i k (x k i ), bây giờ chúng ta xem xét các khẳng định tương đương. li k ζ i k (x k i ) ≥ ζ i (¯x i ) với mọil i ∈ I và x k được cho như giả thiết Giả sử rằng {y i ℓ } ℓ là dóy c i (ã,x¯ −i ) − s 2 ⟨x¯ i − ã,x¯ i − ã⟩, tức là, c i (y ℓ i ,x¯ −i ) −
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ s
2⟨x¯i−y i ℓ ,x¯i−y i ℓ ⟩ → sup y i ∈D i (¯ x −i ) [ci(yi,x¯ −i )− 2 s ⟨¯xi−yi,x¯i−yi⟩] = ζi(¯xi) khi ℓ → +∞ Hội tụ hypo nhiều thành phần yếu cho thấy rằng hội tụ hypo-yếu của c k i (ã, x k −i ) − (s/2)⟨x k i − ã, x k i − ã⟩ (trờn D i k (x k −i )) đến c i (ã,x¯ −i )− (s/2)⟨x¯ i − ã,x¯ i − ã⟩ (trờn D i (x −i )) với mỗi giỏ trị i Tồn tại điểm y i ℓ,k ∈ D i k , x k −i hội tụ đến y i ℓ khi k →+∞ sao cho li k [c k i (y i ℓ,k , x k −i )−s
2⟨¯x i −y i ℓ ,x¯ i −y i ℓ ⟩. Lấy giới hạn ℓ → +∞ của hai bên ta được li k ζ i k (x k i ) ≥ ζ i (¯x i ) với mọi i ∈ I Theo điều kiện (a) của sự hội tụ hypo-yếu như đề cập ở trên, ¯ x ∈ A Ta có, ls k η s k (x k ) ≤ Σ i∈I ls k [c k i (x k i , x k −i )−li k ζ i k (x k i )] ≤ Σ i∈I [c(¯x i )−ζ i (¯x i )] = η s (¯x).
Khi ε k → 0 + và η s k (x k ) ≥ −ε k , ta có ηs(¯x) ≥ 0 và vì thế x¯∈ Ne(QG) □
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Luận văn là sự tổng hợp các kết quả từ những quyển sách rất nổi tiếng [24] và quyển sách rất tâm đắc của Giáo sư Phạm Quốc Khánh cùng với học trò đã và đang biên soạn rất công phu Bên cạnh đó nội dung trong luận văn tổng quan từ những công trình gần nhất của nhóm tối ưu miền nam theo hướng hội tụ biến phân Trong luận văn chúng tôi đã trình bày khá đầy đủ về các loại hội tụ của hàm và song hàm Về hội tụ song hàm chúng tôi xét trên miền không chữ nhật để phù hợp cho việc vận dụng các bài toán tối ưu liên quan Điểm đặc biệt của nội dung trong luận văn là việc triển khai các loại hội tụ biến phân với việc giảm nhẹ điều kiện trong quá trình áp dụng vào ứng dụng Với việc giảm nhẹ các điều kiện chúng tôi có phân tích so sánh thông qua các ví dụ và trong nhiều chú ý. Phần tiếp theo không thể thiếu là luận văn xét các tính chất đặc trưng của các loại hội tụ biến phân với mục đích là sử dụng các tính chất này vào việc xấp xỉ nghiệm cho bài toán tối ưu ví dụ như bài toán tựa cân bằng, bài toán tựa cân bằng Nash và bài toán mạng giao thông Để hoàn thiện trọn vẹn nội dung luận văn, chúng tôi trình bày chi tiết, định hướng ứng dụng cho các loại hội tụ biến phân được trình bày ở chương 2, 3, 4. Đây cũng là định hướng nghiên cứu tiếp theo của nhóm và của bản thân. Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một cách có hệ thống các kết quả nghiên cứu mới nhất về hướng hội tụ biến phân, đây là một hướng rất mới, hiện hay đang phát triển rất mạnh và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước Tuy nhiên luận văn sẽ không tránh khỏi những sai sót, kính mong nhận được sự góp ý của Quý Thầy
Cô và các bạn, góp phần giúp luận văn hoàn chỉnh hơn.
[1] L.Q Anh, P.Q Khanh and N.H Quan, “Equilibrium Problems: Ex- istence, Stability, and Approximation,” Computation and Applied Mathematics vol 40, pp 20-23, Jan 2023.
[2] H Attouch Variational Convergence for Functions and Operators, Boston: Pitman, 1984, pp 145-160.
[3] H Attouch and J-B R Wets “Approximation and convergence in nonlinear optimization,” inNonlinear Programming, Academic Press, New York, 1981, pp 367-394.
[4] H Attouch and J-B R Wets, “A convergence theory for saddle func- tions,” Trans Amer Math Soc vol 280, pp 1-41, Nov 1983
[5] H Attouch and J-B R Wets, “Convergence des points min/sup et de points fixes,” Comp Ren Acad Sci vol 296, pp.657-660, 1983
[6] H Attouch and J-B R Wets “Quantitative stability of variational systems: I The epigraphical distance,” in Trans Amer Math Soc,
[7] J.P Aubin and H Frankowska Set-Valued Analysis Boston, MA: Birkh¨auser, 1990.
[8] G Beer, R.T Rockafellar and J-B R Wets, “A characterization of epi-convegence in terms of convergence of level sets,” Proc Amer. Math Soc vol 116, pp 753-761, Nov 1992.
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
[9] G Beer Topologies on Closed and Closed Convex Sets Kluwer: Dor- drecht, 1992.
[10] J.F Bonnans and A Shapiron Perturbation Analysis of Optimiza- tion Problems New York: Springer, 2000.
[11] A Braides Local Minimization, Variational Evolution and Γ- Convergence Cham: Springer, 2014.
[12] G Dal Maso, An Introduction to Γ-Convergence Boston, MA: Birkh¨auser, 1993.
[13] H.T.H Diem and P.Q Khanh “Epi/hypo convergence of finite- valued bifunctions on general domains and approximations of quasi- variational problems,” Set-Valued Var Anal vol 28, pp 519-536, Jan 2020.
[14] H.T.H Diem “Consistency of statistical esimators of solutions to stochastic optimization problems,” J Global Optim vol 83, pp 825-
[15] H.T.H Diem and P.Q Khanh “On types of variational convergence of bifunctions for approximation in optimization,” Optimization.sub- mitted
[16] T.T Dung 2020, Topic: “Giai tich ham mot bien,” Ho Chi Minh City University of Education, 2020.
[17] J Dupaˇcova and J-B R Wets “Asymptotic behavior of statistical estimators and of optimal solutions of stochatis optimization prob- lems,” Ann Statist vol 16, pp 1517-1549, 1988.
[18] G Gu¨rkan and J.P Pang “Approximations of Nash equilibria,”. Math Program B vol 117, pp 223-253, 2009.
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
[19] A Jofré and J-B R Wets “Variational convergence of bivariate func- tions: Lopsided convergence,” Math Program B vol 116, pp 275-
[20] A Jofré and J-B R Wets “Variational convergence of bifunctions: Motivating applications,” SIAM J Optim vol 24, pp 1952-1979, 2014.
[21] P.Q Khanh Giai tich đa tri, Dai học Bach Khoa TP Ho Chi Minh, 1999.
[22] R Lopez “Approximations of equilibrium problems,” SIAM J Con- trol Optim vol 50, pp 1038-1070, 2012.
[23] B.S Mordukhovich Variational Analysis and Generalized Differen- tiation I Basic Theory, II Applications New York, Springer, 2006.
[24] R.T Rockafellar and J-B R Wets.Variational Analysis, 3nd edition. Berlin, Springer, 2009
[25] J.O Royset and J-B R Wets “Variational theory for optimization under stochastic ambiguity,”.SIAM J Optim vol 27, pp 1118-1149, 2017.
[26] J.O Royset and J-B R Wets “Lopsided convergence: An extension and its quantification,” Math Program A vol 177, pp 395-423, 2019.
[27] D.W Walkup and J-B R Wets “Continuity of some convex-cone- valued mappings,”.Proc Amer Math Soc.vol 18, pp 229-235, 1967.
[28] R.A Wijsman “Convergence of sequences of convex sets, cones and functions,” Bull Amer Math Soc vol 70, pp 186-188, 1964.
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
[29] R.A Wijsman “Convergence of sequences of convex sets, cones and functions,” Trans Amer Math Soc vol 123, pp 32-45, 1966.
[30] S.E Wright “Consistency of primal-dual approximations for convex optimal control problems,” SIAM J Control Optim vol 33, pp. 1489-1509, 1995.