MỤC LỤC
“Hội tụ biến phân” là thuật ngữ chung cho những dạng hội tụ (không có một định nghĩa chính xác) của dãy hàm hoặc song hàm, là hội tụ mà bảo toàn tính chất biến phân. Có một vài dạng hội tụ mạnh hơn như là hội tụ đồ thị, hội tụ liên tục cũng bảo toàn tính chất biến phân, nhưng điều kiện để thỏa các loại hội tụ này rất nặng và khó để thỏa mãn. Động cơ cho việc nghiên cứu trên miền không chữ nhật là cho bài toán tựa biến phân với yêu cầu của bài toán, vì trong miền ràng buộc biến thứ hai phụ thuộc vào biến thứ nhất.
Với sự đóng góp của những công trình tham khảo, luận văn xin trình bày về ba loại hội tụ epi, epi/hypo, hội tụ lop bên trong, yếu, và bên trong yếu; bên cạnh đó có đưa ra những ví dụ phân tích và so sánh. Để trọn vẹn nội dung của luận văn, ở chương cuối, chương 5 luận văn cũng đã trình bày định hướng ứng dụng của chuỗi lý thuyết về loại hội tụ biến phân mới đưa ra ở các chương trước, xem như phần kết luận và định hướng phát triển nghiên cứu cho hướng xấp xỉ toàn cục theo nghĩa dùng hội tụ biến phân.
Tập con A của không gian định chuẩn X là lồi nếu và chỉ nếu nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử nằm trong nó. Để chứng minh điều kiện cần, ta dùng phương pháp quy nạp để chỉ ra rằng bất kỳ tổ hợp lồi x = Pmi=1λiwi trong A cũng là một phần tử của A. Lớp những hàm một thành phần f : A → R có giá trị thực hữu hạn xác định trên tập khác rỗng A ⊂Rn được kí hiệu là fv-fcn(Rn).
(b) Trờn đồ thị của hàm f là tập hợp tất cả những điểm thuộc X ìR nằm trên đồ thị của hàm f, kí hiệu là epif, tức là tập sau đây. (c) Dưới đồ thị của hàm f là tập hợp tất cả những điểm thuộc X ìR nằm dưới đồ thị của hàm f, kí hiệu là hypof, tức là tập sau đây.
Bên cạnh hội tụ epi, có ba khái niệm yếu khác được giới thiệu cho ứng dụng xấp xỉ tối ưu các bài toán liên quan, vì mỗi khái niệm đều bổ ích trong các trường hợp cụ thể với giả thiết dẫn đạt đến cực tiểu. (Không thỏa hội tụ epi còn một vài hội tụ khác thì thỏa) (a) (Không thỏa hội tụ epi, nhưng ba dạng yếu hơn thì thỏa). (tương đương biến phân và công thức hình học của hội tụ epi) Điều kiện (a) của hội tụ epi tức là Lskepiφk ⊂ epiφ và điều kiện (b) ta có Likepiφk ⊃ epiφ.
Nếuφk hội tụ epi-yếu hay hội tụ epi đếnφ, infAφ > −∞và infAkφk → infAφ, khi đó hội tụ có tính chặt. Nếu tồn tạiεk → 0+ sao cho εk-argminAkφk hội tụ Painlevé-Kuratowski đến argminAφ, khi đó hội tụ epi là chặt. Các tính chất chất của ba loại hội tụ epi là tương tự nhau, được thay thế bởi inf trong định nghĩa thành min.
Đặc trưng của ba loại của hội tụ epi là eliφk và elsφk có dạng hình học epi eliφk =Lsk eliφk và epi elsφk=Lik eliφk. (a) Vì việc chứng minh đẳng thức trong các trường hợp là tương tự nhau nên ta chỉ chứng minh đẳng thức trong trường hợp hội tụ epi-yếu. (c) Khẳng định thứ nhất là dựa vào khẳng định (a) và định nghĩa hội tụ epi, bởi vì luôn có eliφk ≤elsφk.
Khi giới hạn epi-yếu-trên và dưới tại 0 và 1 là +∞, thì hội tụ epi-yếu là thỏa mãn và hội tụ epi-yếu-trong cũng thỏa. Hội tụ biến phân liên quan đến vấn đề cực tiểu của hàm là hội tụ trên đồ thị (hội tụ epi). Vì tính đối xứng giữa hội tụ epi và hội tụ hypo nên các kết quả của hội tụ epi sẽ đúng cho hội tụ hypo khi ta thay φ thành −φ, min thành max, inf thành sup, −∞ thành +∞, li thành ls.
Khi đó, Φk không hội tụ epi/hypo đến Φ vì điều kiện vô cùng (a) trong định nghĩa không thỏa. Khi đó, hội tụ epi/hypo tương ứng với maxxminy, tối đa hóa tương ứng với x tối thiểu hóa tương ứng với y và khác với sự hội tụ epi/hypo. Vì vậy hội tụ hypo/epi có thể được coi là trùng với sự hội tụ epi/hypo (với điều kiện (b) xảy ra trước điều kiện (a)).
(ii) Đặc điểm đối xứng của các loại hội tụ epi/hypo có thể được coi là điều quan tâm đầu tiên đối với các song hàm vì đối tượng được quan. Theo Định nghĩa hội tụ của điểm yên ngựa-yếu xấp xỉ theo hội tụ epi/hypo, ta chỉ cần chứng minh không có dãy con nào (¯xkj,y¯kj) ∈ εkj-wsdlΦkj có thể trùng với một điểm ngoài gphD. Chú ý các loại hội tụ được được đưa ra trong định lý ta chỉ cần giả thiết về sự hội tụ epi/hypo, mà không yêu cầu các điều kiện khác như tính đúng, tớnh compact, nửa liờn tục hay tớnh lồi - lừm.
Kết luận (x, y) ∈ gphD có thể kiểm chứng được, do đó, sự hội tụ epi/hypo rất có ích trong nhiều tình huống. (Điều kiện (a) của loại hội tụ epi/hypo dẫn đến loại hội tụ epi tương ứng của hình chiếu-sup). Song hàm Φk hội tụ epi/hypo-trong-yếu x-chặt riêng phần đến song hàm Φ x nếu điều kiện (a) của hội tụ epi/hypo-trong-yếu và điều kiện sau thỏa.
Song hàm Φk hội tụ epi/hypo-trong-yếu y-chặt riêng phần đến song hàm Φ, nếu điều kiện (b) của hội tụ epi/hypo-trong yếu và điều kiện sau thỏa (a-m) điều kiện (a) của hội tụ epi/hypo-trong-yếu là hoàn toàn thỏa và likηk(yk) ≥ η(y). Chúng ta thấy rằng các kiểu hội tụ epi/hypo chặt chẽ thực sự hữu ích để xem xét không chỉ các điểm yên ngựa yếu mà còn cả các điểm tối thiểu và tối đa, trong khi tính chặt đối với hội tụ mis-lop là không đối xứng và có nhiều thuận lợi để xem xét các điểm tối thiểu và tối đa các loại độ kín đối với sự hội tụ sai lệch không đối xứng và thuận lợi hơn khi xem xét các điểm tối thiểu (và sự hội tụ mai-lop được. Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ. xác định riêng biệt và thuận lợi cho điểm tối đa). (i) Kết luận Lsk(epiξk) ⊂epiξ được đưa ra trong định lí 3.4.4, trong khi epiξ ⊂ Likepiξk từ công thức hình học của hội tụ epi bởi giả thiết x-chặt riêng phần.
(ii) Nếu song hàm Φk hội tụ epi/hypo x-chặt riêng phần đến song hàm Φ, thì Lsk(εk-misΦk) ⊂ ε-misΦ. Giả sử ngược lại rằng, tồn tại δ0 > ε và dãy con của {kj}j, được viết lại {kj}j, như vậy đối với tất cả j, ít nhất một trong hai bất đẳng thức trong định nghĩa của (xkj, ykj) ∈ δ0-wsdlΦkj là không thỏa.
Các bất đẳng thức trên cho thấy, nhờ hai giới hạn “nửa” lop mà cả sáu giới hạn “nửa” được liên kết với nhau bằng mối quan hệ chủ yếu, trong khi bốn giới hạn “nửa” epi/hypo là không thể so sánh được. Khi đó, giới hạn mis-lop yếu là duy nhất nếu tồn tại và nếu hội tụ epi/hypo-yếu được giữ nguyên thì giới hạn mis-lop-yếu chỉ là phần cuối bên phải của khoảng của giới hạn epi/hypo yếu. Khi đó, giới hạn mai-lop là duy nhất nếu tồn tại và nếu hội tụ epi/hypo-yếu được giữ nguyên, thì giới hạn mai-lop là phần cuối bên trái của khoảng của giới hạn epi/hypo-yếu.
Duy nhất giới hạn epi/hypo-yếu, nó có thể xảy ra trường hợp chỉ tồn tại một trong các giới hạn mis-lop-yếu và mai-lop-yếu hoặc thậm chí cả hai đều không tồn tại. Nhưng, khi giới hạn epi/hypo-yếu là duy nhất và cả hai giới hạn mis-lop-yếu và mai-lop-yếu tồn tại, chúng phải trùng nhau. (ii) Trường hợp không là miền hình chữ nhật, hội tụ mis-lop và mai-lop không bao hàm hội tụ epi/hypo-yếu.
Trước hết, ta lưu ý rằng mặc dù hội tụ lop và hội tụ epi/hypo trong trường hợp miền không phải hình chữ nhật là không thể so sánh được, vì điều kiện (a) là chung cho chúng, nên các phát biểu trong điều kiện này đều bắt buộc cho cả hội tụ epi/hypo và hội tụ mis-lop, theo Định lí 3.3.4. Dãy {Φk}k hội tụ mis-lop-yếu x-chặt riêng phần đến Φ khi điều kiện (a) của hội tụ mis-lop-yếu và (b) mạnh như. (iii) Định nghĩa hội tụ mai-lop-yếu y-chặt riêng phần và hội tụ mai-lop- yếu y-chặt là tương tự định nghĩa trên.
(Hội tụ epi của hình chiếu sup theo kiểu hội tụ mis-lop x-chặt riêng phần) Giả sử rằng domξk ̸= ∅ và hội tụ Φk hội tụ mis-lop x-chặt riêng phần đến Φ. Ví dụ này cho thấy rằng kết luận trong định lí 3.4.4 của hội tụ epi/hypo, điều này cũng đúng cho sự hội tụ mis-lop (chỉ dựa trên điều kiện (a) của sự hội tụ). Hơn nữa, trong trường hợp, ta có Limkmisξk = R = misξ, mạnh hơn những khẳng định trong Định lí 4.3.2 Vì vậy, định lý này không đưa ra điều kiện cần.