mô hình hóa đáp ứng phụ thuộc kích thước của hệ kết cấu ở tỉ lệ micro

Nghiên cứu này đề xuất một phương pháp phân tích sử dụng phần tử hữu hạn để nghiên cứu hành vi của các cấu trúc phẳng dạng kết cấu khung và mạng lưới ở quy mô micro/nano, trong đó hiệu ứ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN HỮU TUẤN

CỦA HỆ KẾT CẤU Ở TỈ LỆ MICRO-/NANO- SỬ DỤNG LÝ THUYẾT CƠ HỌC TỔNG QUÁT

MODELING OF SIZE-DEPENDENCE RESPONSE OF MICRO-/NANO- SYSTEMS VIA

GENERALIZED CONTINUUM MECHANICS THEORIES

Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THÁI BÌNH Chữ ký: Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Chữ ký:

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS KHỔNG TRỌNG TOÀN Chữ ký: Cán bộ chấm nhận xét 2: TS THÁI SƠN Chữ ký:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM, ngày 24 tháng 1 năm 2024

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1 Chủ tịch: PGS TS Nguyễn Văn Hiếu

2 Thư ký: TS Bùi Đức Vinh

3 Phản biện 1: TS Khổng Trọng Toàn 4 Phản biện 2: TS Thái Sơn

5 Ủy viên: PGS TS Hồ Đức Duy

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trường khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

KỸ THUẬT XÂY DỰNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Ngày sinh: 16/11/1999 Nơi sinh: Bà Rịa – Vũng Tàu Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Mã số: 8580201

I TÊN ĐỀ TÀI

Mô hình hóa đáp ứng phụ thuộc kích thước của hệ kết cấu ở tỉ lệ micro-/nano- sử dụng lý thuyết cơ học tổng quát (Modeling of size-dependence response of micro-/nano- systems via generalized continuum mechanics theories)

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Xây dựng phần tử thanh, dầm, khung xét đến hiệu ứng phụ thuộc kích thước ở quy mô kích thước micro/nano bằng lý thuyết cơ học tổng quát

2 Phân tích ứng xử các hệ cấu trúc phẳng như kết cấu khung phẳng, cấu trúc mạng lưới phẳng ở quy mô kích thước micro/nano

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 04/09/2023

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 18/12/2023

III CÁN BỘ HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN THÁI BÌNH

Tp Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 1 năm 2024

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

TS LÊ ANH TUẤN

LỜI CẢM ƠN

Vinh dự được là một trong những học viên đầu tiên của chương trình liên thông từ Đại học, trải qua 4 năm Đại học và hơn 2 năm Cao học, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Quý thầy cô trường Đại học Bách Khoa – Đại học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh cùng các phòng ban liên quan đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành chương trình

Xin cảm ơn sâu sắc đến các Quý thầy cô khoa Kỹ Thuật Xây Dựng đã giúp tôi có những kiến thức sâu rộng về ngành nghề và lĩnh vực nghiên cứu

Xin cảm ơn đặc biệt đến thầy TS Nguyễn Thái Bình và PGS.TS Lương Văn Hải, người thầy đã hướng dẫn Luận văn Đại học và Luận văn Thạc sĩ cho tôi Thầy không những hướng dẫn để hoàn thành Luận văn đầy đủ, mà còn đưa ra những định hướng và tư vấn cho tôi trong con đường nghiên cứu, trao dồi, hoàn thiện bản thân

Xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng môn đã luôn ủng hộ, giúp đỡ tôi cả về chuyên môn lẫn tinh thần trong suốt quá trình trên giảng đường và thực hiện nghiên cứu

Trong luận văn này còn có nhiều thiếu sót và cần được cải thiện, tôi kính mong Quý thầy cô, các học viên khác có thể góp ý giúp tôi hoàn thiện đề tài của mình cũng như là tiền đề cho những nghiên cứu của tôi sau này

Tôi kính chúc Quý thầy cô, các anh chị, bạn bè đồng môn thành công và hạnh phúc với công việc và cuộc sống

Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!

Tp Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 01 năm 2024

HỌC VIÊN THỰC HIỆN

NGUYỄN HỮU TUẤN

TÓM TẮT LUẬN VĂN

(trình bày bằng tiếng Việt)

Công nghệ nano luôn thu hút sự chú ý của cộng đồng nghiên cứu toàn cầu và tiếp tục phát triển trong nhiều lĩnh vực học thuật nhờ vào những ưu điểm vượt trội của nó, đặc biệt là trong lĩnh vực cơ học Các nghiên cứu gần đây tập trung vào việc khảo sát hành vi cơ học của các cấu trúc tại quy mô micro/nanometer Đối tượng nghiên cứu chủ yếu thường là các thanh và dầm riêng lẻ, và tính chất đặc trưng của các thành phần này ở kích thước micro/nano được đánh giá thông qua các lý thuyết phi cổ điển như lý thuyết ứng suất cặp đôi (Couple stress theory), lý thuyết ứng suất cặp đôi hiệu chỉnh (Modified couple stress theory), lý thuyết phi địa phương (Non-local theory), và lý thuyết ứng suất bề mặt (Surface stress theory)

Nghiên cứu này đề xuất một phương pháp phân tích sử dụng phần tử hữu hạn để nghiên cứu hành vi của các cấu trúc phẳng dạng kết cấu khung và mạng lưới ở quy mô micro/nano, trong đó hiệu ứng phụ thuộc vào kích thước được mô tả thông qua lý thuyết độ dốc biến dạng (Strain gradient theory) Các phần tử thanh, dầm và khung được đề xuất và thử nghiệm để khẳng định hiệu ứng phụ thuộc vào kích thước theo lý thuyết độ dốc biến dạng Sau đó, ứng xử của một số hệ cấu trúc được phân tích và so sánh giữa các lý thuyết khác nhau, đồng thời phản ánh sự phụ thuộc vào kích thước của kết quả thu được

Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng, khi xem xét các hệ cấu trúc ở quy mô micro/nano tiệm cận với kích thước nội tại của vật liệu, các hệ cấu trúc này thường có xu hướng cứng hơn so với dự đoán từ lý thuyết cơ học cổ điển, và các ứng xử này thể hiện sự phụ thuộc vào kích thước của hệ cấu trúc xem xét

ABSTRACT

(presented by English)

Nano-technology consistently garners attention from the global research community and continues to evolve across various academic disciplines, particularly within the realm of mechanics Recent studies have focused on scrutinizing the mechanical behavior of structures at the micro/nanometer scale Primarily, individual beams and bars serve as the focal points of investigation, with their characteristic properties at the micro/nano scale being assessed through non-classical theories such as couple stress theory, modified couple stress theory, non-local theory, and surface stress theory

This study proposes a finite element analysis method to investigate the behavior of flat structural framework and lattice structures at the micro/nano scale, wherein size-dependent effects are elucidated using strain gradient theory Beams, bars, and frameworks are proposed and tested to confirm size-dependent effects according to strain gradient theory Subsequently, the behavior of several structural systems is analyzed and compared across various theories, while also reflecting on the size dependency of the obtained results

The research findings indicate that when examining structures at the micro/nano scale approximating the intrinsic material size, these structures tend to exhibit greater stiffness than predicted by classical mechanical theories Such behaviors underscore the size dependency within the considered structural systems

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề cương luận văn và luận văn này với đề tài “Mô hình hóa đáp ứng phụ thuộc kích thước của hệ kết cấu ở tỉ lệ micro-/nano- sử dụng lý thuyết cơ học tổng quát” (Modeling of size-dependence response of micro-/nano-systems via generalized continuum mechanics theories) là công trình nghiên cứu của chính cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của thầy TS Nguyễn Thái Bình và thầy PGS TS Lương Văn Hải Mọi tài liệu tham khảo đều được trích dẫn đầy đủ nguồn gốc Những số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này được đảm bảo trung thực và chưa từng sử dụng để bảo vệ ở hội đồng khoa học nào

Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về cam đoan này

Tp Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 1 năm 2024

HỌC VIÊN THỰC HIỆN

NGUYỄN HỮU TUẤN

1.2 MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU 3

1.3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 4

1.4 CẤU TRÚC LUẬN VĂN 4

CHƯƠNG 2: TỔNG QUAN ĐỀ TÀI 6

2.1 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG NƯỚC 6

2.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU NGOÀI NƯỚC 7

3.1.3 Phát triển phần tử bằng phương pháp phần tử hữu hạn 16

3.1.4 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ địa phương 19

3.2.4 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ địa phương 32

3.2.5 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể 34

3.3 PHẦN TỬ KHUNG DỘ DỐC BIẾN DẠNG 35

3.3.1 Phát triển phần tử bằng phương pháp phần tử hữu hạn 35

3.3.2 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ địa phương 35

3.3.3 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể 38

3.4 ĐÁNH GIÁ SỰ HỘI TỤ CỦA NGHIỆM PHẦN TỬ HỮU HẠN BẰNG NORM L2 39

CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ 40

4.1 KHẢO SÁT THANH THEO LÝ THUYẾT SGT 40

4.2 KHẢO SÁT DẦM THEO LÝ THUYẾT SGT 42

4.3 KHẢO SÁT KHUNG PORTAL THEO LÝ THUYẾT SGT 45

4.4 KHẢO SÁT KHUNG HÌNH THOI THEO LÝ THUYẾT SGT 47

4.5 KHẢO SÁT HỆ KHUNG HÌNH CHỮ NHẬT THEO LÝ THUYẾT SGT 494.6 KHẢO SÁT KHUNG HÌNH LỤC GIÁC THEO LÝ THUYẾT SGT 50

4.7 KHẢO SÁT HỆ KHUNG MẮT CÁO THEO LÝ THUYẾT SGT 52

4.8 KHẢO SÁT MÔ ĐUN ĐÀN HỒI TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA CÁC CẤU TRÚC MẠNG LƯỚI KHÁC NHAU 53

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 55

5.1 KẾT LUẬN 55

5.2 KIẾN NGHỊ VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

DANH MỤC TỪ NGỮ VIẾT TẮT

Từ viết tắt Giải nghĩa

SGT Strain Gradient Theory – Lý thuyết độ dốc biến dạng CST Couples Stress Theory –

Lý thuyết ứng suất cặp đôi

MCST Modified Couples Stress Theory – Lý thuyết ứng suất cặp đôi hiệu chỉnh MEMS Micro-electromechanical system –

Hệ vi cơ điện cơ nhỏ micro tĩnh điện SR Surface Relaxation – Độ giãn bề mặt ST Surface Tension – Sức căng bề mặt FEA Finite Element Analysis –

Phân tích phần tử hữu hạn SET Surface Stress Theory –

Lý thuyết ứng suất bề mặt

NSGT Nonlocal Strain Gradient Theory –

Lý thuyết độ dốc biến dạng phi địa phương

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Cấu trúc phân tử nano 1

Hình 3.1 Phần tử mẫu thanh kéo nén thuần nhất đang xét 17

Hình 3.2 Phần tử thanh SGT chịu ngoại lực tác dụng 20

Hình 3.3 Phần tử thanh SGT trong hệ tọa độ tổng thể 21

Hình 3.4 Phần tử mẫu dầm SGT đang xét 28

Hình 3.5 Phần tử dầm SGT chịu ngoại lực tác dụng 32

Hình 3.6 Phần tử dầm SGT trong hệ tọa độ tổng thể 34

Hình 3.7 Phần tử khung SGT trong hệ tọa độ địa phương 36

Hình 3.8 Phần tử khung SGT chịu ngoại lực tác dụng 36

Hình 3.9 Phần tử khung SGT trong hệ tọa độ tổng thể 38

Hình 4.1 Phần tử thanh kích thước micro/nano đang khảo sát 40

Hình 4.2 Kết quả khảo sát bài toán thanh sử dụng lý thuyết SGTvà lý thuyết cổ điển 41Hình 4.3 Phần tử dầm kích thước micro/nano đang khảo sát 42

Hình 4.4 Kết quả khảo sát bài toán dầm sử dụng lý thuyết SGT, lý thuyết MSCT và lý thuyết cổ điển 44

Hình 4.5 Phần tử khung kích thước micro/nano đang khảo sát 45

Hình 4.6 Chuyển vị của phần tử khung portal đang xét dựa trên các tham số phụ thuộc kích thước khác nhau 47

Hình 4.7 Hệ khung micro/nano hình thoi đang khảo sát 48

Hình 4.8 Chuyển vị của phần tử khung hình thoi đang xét dựa trên các tham số phụ thuộc kích thước khác nhau 48

Hình 4.9 Hệ khung micro/nano hình chữ nhật đang khảo sát 49

Hình 4.10 Chuyển vị của phần tử khung chữ nhật đang xét dựa trên các tham số phụ thuộc kích thước khác nhau 50

Hình 4.11 Hệ khung micro/nano lục giác đang khảo sát 50

Hình 4.12 Chuyển vị của phần tử khung lục giác đang xét dựa trên các tham số phụ thuộc kích thước khác nhau 51

Hình 4.13 Chuyển vị của phần tử khung lục giác đang xét giữa các lý thuyết cổ điển, MCST và SGT 51

Hình 4.14 Hệ khung nano/micro mắt cáo đang khảo sát 52

Hình 4.15 Chuyển vị của phần tử khung mắt cáo đang xét dựa trên các tham số phụ thuộc kích thước khác nhau 53

Hình 4.16 Chuyển vị của thanh trên cùng thuộc phần tử khung mắt cáo đang xét dựa trên các tham số phụ thuộc kích thước khác nhau 53

Hình 4.17 Hai cấu trúc mạng lưới khác nhau khảo sát về cấu tạo 54

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 4.1 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn và giải tích của phần tử thanh sử dụng lý thuyết SGT 41Bảng 4.2 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn và giải tích của phần tử thanh sử dụng lý thuyết cổ điển 41Bảng 4.3 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn và giải tích của phần tử dầm sử dụng lý thuyết SGT 44Bảng 4.4 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn và giải tích của phần tử dầm sử dụng lý thuyết MSCT 44Bảng 4.5 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn và giải tích của phần tử dầm sử dụng lý thuyết cổ điển 44Bảng 4.6 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi tham số phụ thuộc kích thước và phương pháp phần tử hữu hạn trực tiếp của phần tử khung sử dụng lý thuyết MCST (chuyển vị ngang tại nút 2) 46Bảng 4.7 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi tham số phụ thuộc kích thước và phương pháp phần tử hữu hạn trực tiếp của phần tử khung sử dụng lý thuyết MCST (chuyển vị xoay tại nút 2) 46Bảng 4.8 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi tham số phụ thuộc kích thước và phương pháp phần tử hữu hạn trực tiếp của phần tử khung sử dụng lý thuyết cổ điển (chuyển vị ngang tại nút 2) 46Bảng 4.9 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi tham số phụ thuộc kích thước và phương pháp phần tử hữu hạn trực tiếp của phần tử khung sử dụng lý thuyết cổ điển (chuyển vị xoay tại nút 2) 46Bảng 4.10 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi tham số phụ thuộc kích thước và phương pháp phần tử hữu hạn trực tiếp của phần tử khung hình thoi sử dụng lý thuyết cổ điển (chuyển vị đứng tại đỉnh khung) 48Bảng 4.11 Đánh giá độ chính xác của nghiệm phần tử hữu hạn khi biến đổi tham số phụ thuộc kích thước và phương pháp phần tử hữu hạn trực tiếp phần tử khung chữ nhật sử dụng lý thuyết cổ điển (chuyển vị đứng tại điểm khảo sát) 49Bảng 4.12 Kết quả khảo sát mô đun đàn hồi tương đương của hai hệ cấu trúc 54

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU ĐỀ TÀI

1.1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Công nghệ nano, với khả năng làm việc với vật liệu ở kích thước cực nhỏ, đã mở ra một cánh cửa mới cho con người Việc này cho phép chúng ta không chỉ kiểm soát các tính chất cơ bản của vật liệu mà còn thay đổi chúng một cách đáng kinh ngạc Từ việc thay đổi màu sắc của vàng thông qua việc điều chỉnh cấu trúc plasmonic của các nano-cấu trúc vàng đến tạo ra hàng loạt sản phẩm có ứng dụng đa dạng trong cuộc sống hàng ngày, công nghệ nano đã chứng minh sức mạnh của mình Khám phá này không chỉ dừng lại ở lĩnh vực công nghệ cao mà còn lan rộng mọi khía cạnh của cuộc sống, góp phần quan trọng vào sự tiến bộ của nhân loại

Các vật chất này được chế tạo bằng cách đưa chúng về kích thước ở quy mô kích thước nanometer (1 nm = 10-9 m) Khi đó, các vật chất này ở các cấu trúc hạt, chuỗi (không chiều); cấu trúc dây, ống (một chiều); màng, tấm, khung phẳng, mạng lưới phẳng (hai chiều); khối, khung không gian, mạng lưới không gian (ba chiều)

Hình 1.1 Cấu trúc phân tử nano

Công nghệ nano lần đầu tiên được đề xuất bởi nhà vật lý học người Mỹ Richard Feynman vào năm 1959 Ông đưa ra các bằng chứng về khả năng chế tạo vật chất ở kích thước siêu nhỏ hay còn gọi là kích thước nano, thông qua quá trình tập hợp các nguyên tử và phân tử Tuy nhiên, cho đến những năm 1980, cùng với sự ra đời của các thiết bị

quan sát và phân tích các đối tượng kích thước nhỏ đến nguyên tử hay phân tử, công nghệ nano mới bắt đầu được quan tâm và nghiên cứu

Công nghệ nano tập trung vào việc nghiên cứu và tạo ra vật liệu ở kích thước phân tử, mang lại các đặc tính đặc biệt và đồng thời giảm kích thước của các sản phẩm chế tạo Quá trình chế tạo vật liệu nano đòi hỏi kiến thức kỹ thuật và công nghệ đặc biệt, khó khăn, được thực hiện thông qua nhiều phương pháp như hóa ướt, cơ khí nano, pha khí, hóa học và bay hơi nhiệt Công nghệ này có nhiều ứng dụng rộng rãi, từ việc tạo ra pin mặt trời hiệu suất cao với chất siêu dẫn, đến việc sản xuất thiết bị ghi hình kích thước nhỏ trong y tế Trong lĩnh vực cơ khí và hàng không vũ trụ, công nghệ nano đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và sản xuất vật liệu cho ô tô, máy bay và tàu vũ trụ Trong y học và công nghệ tế bào, các hạt nano được tạo ra như các robot siêu nhỏ để chẩn đoán bệnh, chuyển thuốc và tiêu diệt tế bào bệnh hay ung thư Còn trong bảo vệ môi trường, công nghệ nano được áp dụng để tạo ra màng lọc, chất hấp phụ và xúc tác giúp xử lý chất thải một cách hiệu quả và nhanh chóng

Công nghệ nano phát triển và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, do đó, công nghệ nano và những vấn đề liên quan hiện đang được quan tâm và nghiên cứu mạnh mẽ Nhiều mô hình ở cấp độ quy mô nano được đề xuất và nghiên cứu Ở lĩnh vực cơ học, các nhà nghiên cứu quan tâm đến các cấu trúc nano và các lý thuyết liên quan đến cơ học nano, hầu hết liên quan đến ứng xử phụ thuộc kích thước của các cấu trúc nano này Những lý thuyết chỉ ra những ảnh hưởng của kích thước và đặc trưng vật liệu đến cấu trúc nano Các mô hình vật liệu và mô hình phần tử quy mô nano được đề xuất để nghiên cứu khá đa dạng Dưới góc độ cơ học, cần xem xét các ứng xử của từng dạng hệ cấu trúc, mạng lưới nano để lựa chọn các mô hình phù hợp cho việc chế tạo các vật liệu có tính năng siêu việt Tuy nhiên, nếu sử dụng các mô hình/phương pháp thực nghiệm sẽ tiêu tốn nhiều chi phí dẫn đến sẽ khó đạt được mục đích nghiên cứu nhanh chóng Vì thế, trong nghiên cứu này, nhóm đã đề xuất phương pháp phần tử hữu hạn có khả năng phân tích ứng xử các hệ cấu trúc, hệ kết cấu khung và mạng lưới ở quy mô kích thước nano Khi nghiên cứu ứng xử vật liệu/cấu trúc ở quy mô kích thước nano, các hiệu ứng phụ thuộc vào kích thước sẽ xuất hiện Nghiên cứu ở đây sẽ đề cập đến lý thuyết Gradient biến dạng (Strain Gradient Theory, SGT), nhằm xét đến những biến dạng mà cơ học ít khi xét đến đối với những vật liệu ở kích thước thông thường

Thông thường, có hai cách tiếp cận nghiên cứu cơ bản, cụ thể là phương pháp thực nghiệm và phương pháp mô phỏng Một số thực nghiệm đã được thực hiện để nghiên cứu ứng xử thực tế của các cấu trúc nano đơn lẻ, các thực nghiệm này mang lại kết quả thực tế và chính xác về ứng xử của đối tượng nghiên cứu Tuy nhiên, các phương pháp thực nghiệm này được thừa nhận là tốn kém chi phí để đáp ứng yêu cầu về độ chính xác cao về cả đối tượng được thực hiện thực nghiệm, dụng cụ và các quy trình thực nghiệm Do đó, phương pháp mô phỏng thường được sử dụng như một giải pháp thay thế các thực nghiệm để nghiên cứu ứng xử cơ học ở quy mô kích thước nano, các mô phỏng này dựa trên nền tảng các lý thuyết cơ học phi cổ điển để dự đoán các ứng xử của hệ cấu trúc

Trong phương pháp mô phỏng, hai loại phương thức phổ biến được sử dụng là cách tiếp cận rời rạc và cách tiếp cận liên tục Trong đó, phương thức mô hình hóa ở cấp độ quy mô nguyên tử (cơ học lượng tử) thuộc nhóm phương pháp tiếp cận rời rạc được quan tâm và áp dụng vào nhiều nghiên cứu Tuy nhiên, yêu cầu về khối lượng tính toán và nguồn tài nguyên máy tính là thách thức đối với việc áp dụng rộng rãi phương thức này Ngược lại, phương thức tiếp cận liên tục dựa trên nền tảng cơ học môi trường liên tục có thể yêu cầu độ phức tạp thấp hơn tuy nhiên vẫn mang hiệu quả tính toán ở mức độ chấp nhận được Ngày nay, các mô hình tính toán dựa trên cách tiếp cận liên tục có thể coi là chiếm ưu thế trong lĩnh vực mô phỏng các đối tượng ở quy mô kích thước nano

1.2 MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

Mục tiêu chính của nghiên cứu này là phát triển mô hình toán học cũng như phương pháp phần tử hữu hạn có khả năng mô phỏng ứng xử của hệ cấu trúc như kết cấu khung hoặc mạng lưới ở quy mô kích thước nano dưới tác động của tải trọng Để đạt được mục tiêu này, nghiên cứu sẽ thực hiện các bước sau:

(1) Xây dựng phần tử thanh có xem xét đến hiệu ứng phụ thuộc kích thước sử dụng lý thuyết cơ học tổng quát

(2) Xây dựng phần tử dầm có xem xét đến hiệu ứng phụ thuộc kích thước sử dụng lý thuyết cơ học tổng quát

(3) Xây dựng phần tử khung có xem xét đến hiệu ứng phụ thuộc kích thước sử dụng lý thuyết cơ học tổng quát

(4) Kiểm chứng tính đúng đắn của các phần tử thanh, dầm và khung đề xuất thông qua việc so sánh với các kết quả từ nghiên cứu đã công bố

(5) Khảo sát sự phụ thuộc kích thước của hệ cấu trúc phẳng như kết cấu khung và mạng lưới khi xem xét chúng ở quy mô kích thước nano qua các thí dụ cụ thể

1.3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu ở đây là các hệ cấu trúc phẳng như hệ khung phẳng, mạng lưới phẳng ở quy mô kích thước nano/micro chịu tác dụng ngoại lực có xét đến hiệu ứng phụ thuộc kích thước Nghiên cứu đề xuất sẽ được thực hiện trong phạm vi sau:

(1) Các hệ cấu trúc quy mô kích thước nano chỉ xét đến trong phạm vi bài toán hai chiều là tập hợp các phần tử một chiều hình lăng trụ hay thẳng

(2) Tải trọng tác dụng có giá trị và chiều không thay đổi

(3) Lý thuyết cơ học tổng quát là lý thuyết gradient biến dạng (SGT) được xem là đóng vai trò quan trọng trong mô hình hóa ảnh hưởng phụ thuộc kích thước ở quy mô kích thước nano/micro

(4) Biến dạng cắt, trọng lượng bản thân và ứng xử không đàn hồi của vật liệu, chuyển vị và biến dạng lớn của hệ cấu trúc hoàn toàn bỏ qua trong mô hình mô phỏng tính toán

1.4 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn được trình bày trong 5 chương như sau:

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

Giới thiệu về công nghệ nano, bao gồm lịch sử hình thành và phát triển, các ứng dụng và tính thực tiễn khi nghiên cứu liên quan đến công nghệ Nano

CHƯƠNG 2: TỔNG QUAN ĐỀ TÀI

Trình bày tình hình nghiên cứu trong nước và ngoài nước liên quan đến đề tài, từ đó đưa ra mục tiêu nghiên cứu cho đề tài

CHƯƠNG 3: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Xây dựng các phần tử có xét đến hiệu ứng phụ thuộc kích thước như: - Phần tử thanh gradient biến dạng

- Phần tử dầm gradient biến dạng - Phần tử khung gradient biến dạng

Lý thuyết về norm L2 trong đánh giá sự hội tụ của nghiệm phần tử hữu hạn

CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ

Trình bày các thí dụ kiểm chứng và các thí dụ số khác để phân tích sự phụ thuộc kích thước của cấu trúc như hệ kết cấu khung phẳng, mạng lưới phẳng ở quy mô kích thước nano

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Kết luận từ kết quả nghiên cứu và đưa ra các kiến nghị và đề xuất

CHƯƠNG 2: TỔNG QUAN ĐỀ TÀI

2.1 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG NƯỚC

Công nghệ nano hiện đang thu hút sự quan tâm đặc biệt từ nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong lĩnh vực cơ học Các nhà nghiên cứu đang tập trung mối quan tâm của mình vào việc nghiên cứu sâu hơn về ứng xử cơ học của các phần tử nano ở những hình dạng nhỏ khác nhau như hạt, thanh, tấm, hay khối Sự quan tâm đặc biệt này của các nhà nghiên cứu không chỉ dừng lại ở các phần tử quy mô nano mà còn tập trung chủ yếu vào việc đánh giá ứng xử của các hệ cấu trúc trong ngữ cảnh của quy mô kích thước nano Các nghiên cứu mới nhất đã chỉ ra rằng các hiệu ứng quan trọng được phát hiện có mối liên quan chặt chẽ đến kích thước và chiều dài đặc trưng phụ thuộc vào loại vật liệu, theo các lý thuyết như lý thuyết phi địa phương, lý thuyết ứng suất bề mặt, lý thuyết độ dốc biến dạng,… từ đó làm nổi bật sự phức tạp và độc đáo của ứng xử cấu trúc ở quy mô kích thước nano Quan trọng hơn nữa, nhận thức ngày càng tăng rằng, ứng xử của cấu trúc ở quy mô kích thước nano không thể đơn giản được hiểu như ứng xử của cấu trúc ở quy mô kích thước macro thông thường, khi mà đặc tính phụ thuộc vào kích thước trở thành yếu tố không thể phủ nhận

Thai-Binh Nguyen và cộng sự (2018) [1] đã thực hiện nghiên cứu ứng xử uốn, mất ổn định và sau mất ổn định của dầm nano có kể đến ảnh hưởng của lý thuyết ứng suất bề mặt và hiệu ứng phi địa phương Nghiên cứu khảo sát mối quan hệ giữa momen và độ cong của dầm xét đến chuyển vị và góc xoay lớn Nghiên cứu đã chỉ ra rằng, các hiệu ứng kể đến trong dầm ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử tổng thể của dầm và các giải pháp dự đoán phụ thuộc vào kích thước khi chiều dài đặc trưng của dầm tương đương với tỷ lệ chiều dài nội tại của vật liệu dầm

Cong Ich Le và cộng sự (2021) [2] đã thực hiện nghiên cứu về dao động tự do phi tuyến về mặt hình học của các dầm kích thước nano được đỡ một phần bởi nền đàn hồi phi tuyến ba tham số, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Các kết quả cho thấy chiều dài của phần nền hỗ trợ đóng vai trò quan trọng trong dao động của các dầm kích thước nano, ảnh hưởng của nó đến tỷ lệ tần số phụ thuộc vào các điều kiện biên Tác giả chỉ ra rằng tỷ lệ tần số giảm khi tăng tỷ lệ độ dài, điều này không phụ thuộc vào điều kiện biên và độ võng ban đầu

Cong Ich Le và cộng sự (2022) [3] đã thực hiện nghiên cứu để đánh giá chuyển vị lớn của dầm và khung kích thước nano có xét đến sự phụ thuộc kích thước Trong nghiên cứu, ứng xử phi tuyến hình học được nghiên cứu bằng phương pháp đồng xoay Tác giả đã xét đến ảnh hưởng của lý thuyết ứng suất cặp đôi hiệu chỉnh (Modified Couples Stress Theory – MCST) kết hợp lý thuyết dầm Euler – Bernoulli để đưa ra vector tải trọng và ma trận độ cứng của phần tử dầm nano kết quả thu được cho thấy các hiệu ứng phụ thuộc kích thước ảnh hưởng quan trọng đến ứng xử phi tuyến hình học, các nghiên cứu về tham số được thực hiện để khảo sát độ ảnh hưởng của tham số tỷ lệ chiều dài của vật liệu đối với ứng xử phi tuyến hình học của các dầm và khung ở kích thước nano

Thanh Cuong Le và cộng sự (2022) [4] đã thực hiện nghiên cứu phân tích đẳng hình học có xét đến ảnh hưởng phụ thuộc kích thước cho các ứng xử tuyến tính và phi tuyến của tấm xốp kim loại kích thước nano Lý thuyết MCST kết hợp phân tích đẳng hình học cho tấm được sử dụng trong nghiên cứu này, từ đó phát triển giải pháp phân tích đẳng hình học kể đến sự phụ thuộc kích thước để khảo sát sự uốn cong tuyến tính và phi tuyến hình học dưới tải trọng tĩnh và dao động tự do của tấm xốp kim loại kích thước nano Lý thuyết MCST là một dạng đặc biệt của SGT, được xây dựng và triển khai từ SGT cổ điển

Cong Ich Le và cộng sự (2022) [5] nghiên cứu về ứng xử phụ thuộc vào kích thước của hệ dầm nano (micro-electromechanical system – MEMS) Ứng xử phụ thuộc vào kích thước của một dầm silicon kích thước nano với lực dọc trục trong hệ MEMS được nghiên cứu bằng cách sử dụng phần tử hữu hạn phi tuyến Nghiên cứu chỉ ra được ảnh hưởng của lực dọc trục, điện áp áp dụng và thông số thang đo chiều dài vật liệu đối với ứng xử của dầm

2.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU NGOÀI NƯỚC

Công nghệ nano hiện nay đã trở thành trọng tâm của nhiều nghiên cứu về tính chất cơ học, không chỉ ở cấp độ vật liệu mà còn ở các cấp độ phần tử và hệ phần tử Khả năng tổ chức và điều chỉnh cấu trúc của vật liệu và phần tử ở cấp độ nguyên tử của công nghệ nano mở ra những tiềm năng đáng kể cho các ứng dụng công nghệ tiên tiến Các nghiên cứu tiên tiến đã làm nổi bật rằng ứng xử của vật liệu/cấu trúc ở quy mô kích

thước nano thể hiện các hiệu ứng phụ thuộc kích thước, tạo ra sự khác biệt đặc trưng không thể thấy trong các vật liệu/cấu trúc ở quy mô kích thước thông thường

George và cộng sự (2005) [6] đã nghiên cứu ảnh hưởng phụ thuộc kích thước dựa trên lý thuyết gradient biến dạng Một mô hình dẻo theo lý thuyết độ dốc biến dạng tổng quát với các tham số tỷ lệ chiều dài thay đổi được đề xuất dựa trên lý thuyết cơ học môi trường không liên tục, đánh giá mức độ nhảy cảm của các dự đoán Mô hình đưa ra những dự đoán tốt về hiệu ứng phụ thuộc kích thước trong các thí nghiệm uốn vi mô của tấm mỏng và thí nghiệm xoắn vi mô của dây mỏng

Park và cộng sự (2008) [7] đã thực hiện nghiên cứu khảo sát các kết quả giải tích ứng xử của dầm dựa trên lý thuyết MCST và lý thuyết cơ học cổ điển Tác giả cho thấy chuyển vị của dầm giữa các lý thuyết có sự thay đổi, cụ thể là lý thuyết MCST cho kết quả chuyển vị bé hơn lý thuyết cơ học cổ điển đáng kể Từ đó, tác giả đưa ra công thức giải tích cho các ví dụ cụ thể trong nghiên cứu

Guo và cộng sự (2007) [8] đã thực hiện nghiên cứu về các ứng xử đàn hồi uốn của dầm kích thước nano phụ thuộc kích thước bằng lý thuyết ứng suất bề mặt Mô hình này được khảo sát các ứng xử đàn hồi uốn có xét đến độ giãn bề mặt (Surface Relaxation – SR) và sức căng bề mặt (Surface Tension – ST) Chúng ảnh hưởng đến module đàn hồi hiệu quả và độ cứng hiệu quả của dầm uốn thông qua phương pháp cân bằng năng lượng Sự phụ thuộc này còn dựa trên sự tương tác giữa SR và ST Các ảnh hưởng của SR và ST trên độ cứng hiệu dụng là không đáng kể ngay cả ở kích thước nano

Kong và cộng sự (2008) [9] đề xuất phần tử dầm dựa trên lý thuyết SGT ở bài toán tĩnh và bài toán động Tác giả sử dụng phương pháp giải tích để xây dựng bài toán ở các trường hợp cụ thể và đưa ra kết luận rằng có thể biến đổi từ lý thuyết SGT thành các lý thuyết như lý thuyết MCST và lý thuyết cơ học cổ điển Mỗi lý thuyết sẽ cho độ cứng của phần tử khác nhau dựa vào các tham số phụ thuộc kích thước

Reza Ansari và cộng sự (2012) [10] nghiên cứu về mô hình dầm phi tuyến kích thước nano kể đến ảnh hưởng phụ thuộc kích thước dựa trên SGT và lý thuyết Von Kármán Các tác giả kết luận rằng tần số tự nhiên phi tuyến và tỷ lệ tần số phi tuyến được xác định bằng SGT chính xác hơn so với các lý thuyết khác, đặc biệt với các dầm kích thước ngắn hơn

Asghari và cộng sự (2012) [11] nghiên cứu về mô hình dầm kích thước nano phi tuyến kể đến hiệu ứng phụ thuộc kích thước dựa trên SGT và lý thuyết dầm Timoshenko Các kết quả số giữa các mô hình đơn giản, các ứng xử tĩnh phi tuyến và dao động tự do của dầm hai đầu khớp có tiết diện hình chữ nhật đã được nghiên cứu và so sánh

Zhao và cộng sự (2012) [12] nghiên cứu về mô hình dầm kích thước nano phi tuyến dựa trên SGT Phương trình chủ đạo phi tuyến của dầm kích thước nano dựa trên SGT được tìm ra thông qua SGT và nguyên lý Hamilton, đồng thời phân tích uốn tĩnh phi tuyến, sau mất ổn định và dao động tự do phi tuyến Các tác giả chỉ ra rằng hiệu ứng phụ thuộc kích thước có ý nghĩa khi tỷ lệ độ dài đặc trưng với các thông số tỷ lệ chiều dài vật liệu xấp xỉ bằng một hoặc hai, nhưng sẽ giảm dần khi tỷ lệ này tăng lên Kết quả cũng chỉ ra rằng tính phi tuyến có ảnh hưởng lớn đến ứng xử tĩnh và động của dầm kích thước nano

Kahrobaiyan và cộng sự (2013) [13] đề xuất phần tử thanh có xét đến ảnh hưởng của SGT dựa trên phân tích phần tử hữu hạn (Finite Element Analysis – FEA) Tác giả chứng minh rằng khi xét đến sự phụ thuộc kích thước bằng SGT, độ cứng của phần tử lớn hơn so với lý thuyết cổ điển, dẫn đến chuyển vị của phần tử cũng thay đổi theo chiều hướng giảm đáng kể Tác giả có so sánh kết quả FEA với các bài toán giải tích, nhưng vẫn chưa đưa ra được cách chuyển đổi giữa lý thuyết SGT với các lý thuyết khác như lý thuyết MCST và lý thuyết cổ điển

Kahrobaiyan và cộng sự (2013) [14] đã nghiên cứu về ứng xử của dầm Euler – Bernoulli có xét đến ảnh hưởng của SGT Tác giả nhận thấy có một sự tương đồng đáng tin cậy giữa thực nghiệm và dựa trên phân tích phần tử hữu hạn sử dụng SGT, đồng thời cũng chỉ ra được sự khác biệt giữa thực nghiệm và phân tích phần tử hữu hạn cổ điển Phần tử dầm mới đề xuất có ứng xử phụ thuộc kích thước có ứng xử cứng hơn các phần tử dầm theo lý thuyết cổ điển Ngoài ra, khi bỏ qua tham số tỷ lệ chiều dài vật liệu tương ứng, kết quả tính toán từ phần tử dầm mới sẽ trở về được các kết quả tính toán dựa trên lý thuyết MCST hoặc lý thuyết cơ học cổ điển

Xu và cộng sự (2014) [15] đã nghiên cứu về ứng xử của dầm Euler – Bernoulli dựa trên SGT đã được đơn giản hóa và các ứng dụng của nó Ảnh hưởng hệ số Poisson tỉ lệ thuận với độ dày trong phân tích ổn định của dầm, trong khi momen uốn bậc cao gây ra

bởi biến dạng kéo nén ảnh hưởng không đáng kể đến tải trọng ổn định tới hạn nhưng lại có ảnh hưởng đến sự truyền sóng dọc trục và uốn tĩnh của dầm kích thước nano

Attia và cộng sự (2016) [16] đã mô hình hóa và phân tích dầm kích thước nano dựa trên lý thuyết ứng suất kép đàn hồi phi địa phương và lý thuyết SET Nghiên cứu đã chứng minh các tác động của SET, tỷ lệ kích thước và hệ số Poisson đến tải trọng uốn tĩnh và mất ổn định tới hạn của dầm kích thước nano

Li và cộng sự (2017) [17] nghiên cứu ứng xử uốn, mất ổn định và dao động của dầm phân loại chức năng dựa trên NSGT Các tham số được khảo sát là tỷ lệ chiều dài xuyên suốt của vật liệu phân loại chức năng và tham số phi địa phương (nonlocal parameter), hai tham số này đều phụ thuộc vào kích thước phần tử đang xét Từ đó, nghiên cứu chỉ ra rằng dầm phân loại chức năng theo phương dọc trục phụ thuộc vào giá trị hai tham số đó, nó có thể tác động đến độ cứng của dầm tùy thuộc vào lực mất ổn định tới hạn và tần số riêng

Lu và cộng sự (2017) [18] đã nghiên cứu về dao động phụ thuộc vào kích thước của các dầm kích thước nano dựa trên NSGT (Nonlocal Strain Gradient Theory – lý thuyết độ dốc biến dạng phi địa phương) Trong nghiên cứu, một số bài toán được trình bày để minh họa ảnh hưởng của tham số phi địa phương, tham số tỷ lệ chiều dài vật liệu, tỷ lệ độ mảnh và biến dạng cắt đối với dao động tự do của các dầm kích thước nano Kết quả thu được khi tham số tỷ lệ chiều dài bé hơn tham số phi địa phương, dầm kích thước nano sẽ tạo ra hiệu ứng giảm độ cứng Ngược lại, khi tham số tỷ lệ chiều dài lớn hơn tham số phi địa phương, dầm kích thước nano sẽ tạo ra hiệu ứng tăng độ cứng Hơn nữa, quan sát thấy rằng ảnh hưởng của biến dạng cắt trở nên đáng kể hơn đối với các dầm kích thước nano có giá trị tỷ lệ độ mảnh thấp hơn và đối với các bậc dao động cao hơn Chen và cộng sự (2019) [19] đã phân tích dao động tự do phi tuyến của các dầm kích thước nano dựa trên NSGT có xét đến hiệu ứng kích thước phụ thuộc vào độ dày Các hiệu ứng độ dốc biến dạng và trường ứng suất, hiệu ứng phụ thuộc kích thước vào độ dày có thể quan trọng đối với các dầm kích thước nano mảnh và không thể bị bỏ qua trong nhiều trường hợp

Gursoy và cộng sự (2018) [20] đã nghiên cứu về cấu kiện dầm phân loại chức năng có xét đến lý thuyết độ dốc biến dạng bậc hai Nghiên cứu chỉ ra tính không đồng nhất

theo độ dày của dầm, với các điều kiện biên khác nhau, dẫn đến sự khác biệt đáng kể của ứng xử cơ học khi xét lý thuyết cổ điển với lý thuyết đang xét

2.3 TỔNG KẾT

Mặc dù công nghệ nano đã tồn tại từ lâu, tuy nhiên, các nghiên cứu liên quan đến hiệu ứng phụ thuộc kích thước của các phần tử nano vẫn liên tục được công bố cho thấy đề tài vẫn còn nhận được sự quan tâm và phát triển của các nhà nghiên cứu

Trước đây, các nghiên cứu hiệu ứng phụ thuộc kích thước chỉ tập trung vào sử dụng các lý thuyết như lý thuyết ứng suất bề mặt, lý thuyết ứng suất cặp đôi, hoặc lý thuyết ứng suất cặp đôi hiệu chỉnh khi các phần tử ở kích thước nano Tuy nhiên, hầu hết nghiên cứu chỉ tập trung vào các phần tử như thanh, dầm hoặc khung đơn giản, chưa đề xuất các mô hình nghiên cứu về các cấu trúc như hệ khung/mạng lưới, gần giống với các mạng tinh thể của vật liệu/vật thể ở quy mô kích thước micro/nano Luận văn này đề xuất phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích ứng xử của các cấu trúc như hệ khung và mạng lưới phẳng có hình dạng tương tự mạng lưới tinh thể của vật liệu/vật thể trong thực tế, nhằm xây dựng mô hình và đặc tính phù hợp cho nghiên cứu công nghệ nano, cung cấp cơ sở và giải pháp khi nghiên cứu về các mô hình cấu trúc mạng lưới nano phẳng Hơn nữa, việc thực hiện nghiên cứu dựa trên lý thuyết gradient biến dạng cũng mang tính tổng quát hơn so với các lý thuyết ứng suất bề mặt, lý thuyết ứng suất cặp đôi, hoặc lý thuyết ứng suất cặp đôi hiệu chỉnh

CHƯƠNG 3: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

3.1 PHẦN TỬ THANH ĐỘ DỐC BIẾN DẠNG

3.1.1 Cơ sở xây dựng phần tử bằng phương pháp năng lượng

Theo Kahrobayan và cộng sự [13], năng lượng biến dạng U dự trữ trong vật liệu đàn

hồi tuyến tính được viết là:

( )

ijtr2ij

2ijk2 l1ijk

Trong các biểu thức trên, các hằng số Lamé xuất hiện trong các phương trình cấu thành của ứng suất cổ điển  được ký hiệu là  và  Ngoài ra, các tham số ảnh hưởng kích thước độc lập được bổ sung, xuất hiện trong các phương trình cấu thành ứng suất bậc cao được ký hiệu là , ,l l l Các hằng số Lamé có thể viết dưới dạng module đàn 012hồi E và hằng số Poisson 

Đối với phần tử thanh theo lý thuyết độ dốc biến dạng (SGT), thành phần của vector chuyển vị được biểu hiện như sau:

u x t1

( )( )( )

theo lý thuyết SGT:

Trong đó, độ cứng bậc cao D ảnh hưởng bởi 2 tham số phụ thuộc kích thước, ứng với

thành phần bậc cao đang xét trong phương trình (18):

u x t1

Trong đó,  là trọng lượng riêng của thanh, A là diện tích mặt cắt ngang của thanh

đang xét Phương trình công gây ra bởi ngoại lực được viết dưới dạng:

( )

x 0 Lu

Trong đó, G là lực phân bố dọc trục trên phần tử thanh, ˆP và ˆQ lần lượt là lực tập

trung thông thường và bậc cao, có phương dọc trục thanh, nằm ở đầu phần tử

Sử dụng nguyên lý Hamilton để xác định phương trình chủ đạo và các điều kiện biên của phần tử:

Thay các biểu thức (18) – (21) vào biểu thức (22) và sử dụng tích phân từng phần, phương trình chủ đạo và các điều kiện biên của phần tử thanh theo lý thuyết SGT được trình bày như sau:

x 0 Lx 0 L

Đối với phương trình chủ đạo (23), khi thay đổi các tham số l0 = = , phương trình l10

sẽ suy giảm về phương trình chủ đạo cho phần tử thanh theo lý thuyết cổ điển

3.1.2 Ứng xử tĩnh học của phần tử

Đối với ứng xử tĩnh học, phương trình chủ đạo và điều kiện biên của phần tử cần

được điều chỉnh: / t 0  = và u=u x t( ), Với các sửa đổi đó, phương trình chủ đạo và các điều kiện biên thuộc biểu thức (23) – (25) có thể viết lại như sau:

3.1.3 Phát triển phần tử bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Phần tử thanh SGT có độ cứng phụ thuộc vào tham số kích thước lần lượt là tham số độ dốc giãn nở l , tham số độ dốc kéo dài lệch 0l1 Các tham số này phụ thuộc vào tính chất vật liệu và tạo ra các hiệu ứng phụ thuộc kích thước khi xét đến các lý thuyết phi cổ điển, đặc biệt có thể biến đổi hai tham số kích thước kể trên để đưa từ lý thuyết tổng quát như SGT về các lý thuyết đặc biệt như MCST hoặc lý thuyết cơ học cổ điển

Xét phần tử thanh SGT hai nút có tọa độ hai nút đầu và cuối lần lượt là x1 và x2, chiều dài phần tử được thể hiện là L Phần tử thanh trong lý thuyết cổ điển sẽ có 1 bậc tự do e

là chuyển vị dọc trục u ở mỗi nút và có thành phần tương ứng là lực kéo nén đúng tâm

P Tuy nhiên, khi xét đến những ảnh hưởng bậc cao, phần tử thanh SGT đề xuất sẽ có 2

bậc tự do ở mỗi nút, lần lượt là u và  =   , và các thành phần lực nút tương ứng là u/ xthành phần lực kéo nén đúng tâm P và lực bậc cao Q Khi đó, vector chuyển vị nút của

phần tử thanh SGT bao gồm các chuyển vị và biến dạng tại hai nút:

Để phát triển ma trận độ cứng của phần tử thanh theo lý thuyết SGT, phương pháp

Galerkin được sử dụng để sấp xỉ trường chuyển vị u của phần tử thông qua hàm dạng

Hình 3.1 Phần tử mẫu thanh kéo nén thuần nhất đang xét

Đại lượng không thứ nguyên s được xác định thông qua tọa độ hai nút của phần tử

Xét phần tử thanh hai nút không chịu tác động của ngoại lực, có vector chuyển vị nút 2 bậc tự do tại mỗi nút, được ký hiệu: chuyển vị dọc trục và biến dạng tại nút thứ nhất lần lượt là u1 và 1, chuyển vị dọc trục và biến dạng tại nút thứ hai lần lượt là u2 và 2

Thay thế đại lượng không thứ nguyên s cho các biểu thức (26) – (28), ta thu được

phương trình chủ đạo và các điều kiện biên theo hệ tọa độ tự nhiên mới:

Sử dụng các điều kiện biên (41) và (42) vào biểu thức (45), ta có được mối quan hệ

giữa các hằng số C và vector chuyển vị nút δ :

cosh( ) sinh( )sinh( ) cosh( )

3.1.4 Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ địa phương

Giả thiết phần tử mẫu thanh kéo nén thuần nhất theo lý thuyết SGT trong hệ tọa độ địa phương đang chịu tác dụng của các thành phần ngoại lực bao gồm lực phân bố dọc

trục bất kỳ G(s) và lực tập trung tại 2 nút lần lượt là −P1 −Q1P2Q2, có thể được thể hiện như hình 3.2

Hình 3.2 Phần tử thanh SGT chịu ngoại lực tác dụng

Với vector chuyển vị nút δ T1122u  u 

0e

Hình 3.3 Phần tử thanh SGT trong hệ tọa độ tổng thể

Vector chuyển vị nút và thành phần biến dạng trong hệ tọa độ địa phương:

δ = ux1uy1 x1 y1ux 2uy 2 x 2 y 2 T (64) Quan hệ của chuyển vị nút và thành phần biến dạng trong hai hệ tọa độ được tham khảo từ [22]:

cos sin ; cos sin

3.2.1 Cơ sở xây dựng phần tử bằng phương pháp năng lượng

Theo Kahrobayan và cộng sự [13], năng lượng biến dạng U dự trữ trong vật liệu đàn

hồi tuyến tính được viết là:

( )

2ijk2 l1ijk

Trong các biểu thức trên, các hằng số Lamé xuất hiện trong các phương trình cấu thành của ứng suất cổ điển  được ký hiệu là  và  Ngoài ra, các tham số ảnh hưởng kích thước độc lập được bổ sung, xuất hiện trong các phương trình cấu thành ứng suất bậc cao được ký hiệu là , ,l l l Các hằng số Lamé có thể viết dưới dạng module đàn 012hồi E và hằng số Poisson 

Đối với phần tử dầm theo lý thuyết độ dốc biến dạng (SGT), thành phần của vector chuyển vị được biểu hiện như sau:

Đối với trường chuyển vị được đề cập trong phương trình (79), các thành phần khác không của tensor biến dạng, vector độ dốc giãn nở, vector độ dốc kéo lệch, tensor độ dốc góc xoay, tensor ứng suất bậc cao thu được là:

wz

vào biểu thức (69), ta thu được phương trình năng lượng toàn phần U của phần tử thanh

Trong đó, độ cứng bậc cao D1 và D2 ảnh hưởng bởi 3 tham số phụ thuộc kích thước,

ứng với thành phần bậc cao đang xét trong phương trình (88):

Trong đó,  là trọng lượng riêng của thanh, A là diện tích mặt cắt ngang của thanh

đang xét Phương trình công gây ra bởi ngoại lực được viết dưới dạng:

Trong đó, G là lực phân bố dọc trục trên phần tử thanh, ˆP và ˆQ lần lượt là lực tập

trung thông thường và bậc cao, có phương dọc trục thanh, nằm ở đầu phần tử

Sử dụng nguyên lý Hamilton để xác định phương trình chủ đạo và các điều kiện biên của phần tử:

M x t , ( , )Q x t lần lượt là lực cắt có phương vuông góc với tiết diện dầm, moment gây

ra bởi thành phần ứng suất cổ điển và bậc cao, và lực bậc cao gây ra bởi ứng suất bậc cao Các đại lượng này được thể hiện như sau:

3.2.2 Ứng xử tĩnh học của phần tử

Đối với ứng xử tĩnh học, phương trình chủ đạo và điều kiện biên của phần tử cần

được điều chỉnh: / t 0  = và w=w x t( ), Với các sửa đổi đó, phương trình chủ đạo và các điều kiện biên thuộc biểu thức (93) – (96) có thể viết lại như sau:

Trong đó:

3.2.3 Phát triển phần tử bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Tương tự phần tử thanh, phần tử dầm phát triển theo lý thuyết SGT có độ cứng cũng phụ thuộc vào các tham số phụ thuộc kích thước lần lượt là tham số độ dốc giãn nở l , 0

tham số độ dốc kéo dài lệch l , tham số độ dốc góc xoay 1l Các tham số này phụ thuộc 2

vào tính chất vật liệu và tạo ra các hiệu ứng phụ thuộc kích thước khi xét đến các lý thuyết phi cổ điển, đặc biệt có thể biến đổi các tham số để đưa từ lý thuyết tổng quát như SGT về các lý thuyết cụ thể hơn như MCST hoặc lý thuyết cổ điển

Xét phần tử dầm SGT có tọa độ hai nút đầu và cuối lần lượt là x và 1x , chiều dài 2

phần tử được thể hiện là Le Phần tử dầm Euler – Bernoulli theo lý thuyết cổ điển có 2 bậc tự do tại mỗi nút lần lượt là chuyển vị vuông góc với trục w và góc xoay  và có

thành phần lực tương ứng là lực cắt V và moment M Lý thuyết SGT chỉ ra phần tử dầm

SGT ngoài 2 bậc tự do theo lý thuyết cổ điển thì có thêm 1 bậc tự do độ cong  tương

ứng với thành phần lực bậc cao Q Khi đó, vector chuyển vị nút của phần tử dầm SGT

bao gồm các chuyển vị thẳng đứng với trục, góc xoay và độ cong tương ứng với các thành phần lực cắt, moment và lực bậc cao tại 2 nút, có thể được biểu diễn như sau:

Để phát triển ma trận độ cứng của phần tử dầm theo lý thuyết SGT, phương pháp

Galerkin được sử dụng để sấp xỉ trường chuyển vị u của phần tử thông qua hàm dạng

(111)

 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

F = V x1 −M x1 −Q x1 −V x2M x2Q x2T (112) ( )

Hình 3.4 Phần tử mẫu dầm SGT đang xét

Đại lượng không thứ nguyên s được xác định thông qua tọa độ hai nút của phần tử

đang xét: