CHUỖI LŨY THỪA

Soá sao cho hoäi tuï trong vaø phaân kyø beân ngoaøi goïi laø baùn kính >0 hoäi tuï cuûa chuoãi. n n n R a x R R R R  = − −  ( ), R R− goïi laø khoaûng hoäi tuï cuûa ch uoãi. Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ củ

CHUỖI LŨY THỪA

ĐỊNH NGHĨA

a X

=Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số cĩ dạng:

() ,n

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp:0

:()n hội tụ

Khơng mất tính tổng quát ta chỉ xét

Nếu hội tụ tại thì hội tu tuyệt đối trong

a x

−

Chứng minh định lý

0 0lim 0 0Nếuhội tụ tại thì n

a xx

Số sao chohội tụ trong

và phân kỳ bên ngoài gọi là bán kính

>0

hội tụ của chuỗi.

(−R R, ) gọi là khoảng hội tụ của chuỗi.

Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của chuỗi chỉ cần xét thêm tại R

Trường hợp chuỗi tổng quát

và phân kỳ bên ngoài gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.

Khoảng hội tụ: (x0 −R x, 0 +R)

Cách tìm bán kính hội tụ

1lim n

0, 1

= +

2 Trường hợp R = 0 hay R = , không được gọi là bán

kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng.

( !)(2 )!

2 / Tìm bán kính hội tụ: nn

3 / Tìm miền hội tụ n



1: chuỗi trở thành phân kỳ

( !)(2 )!

2 / Tìm bán kính hội tụ: nn

(2 )!

++

3 / Tìm miền hội tụ nn

12

nn

(( ) ()) 10

− +

Hướng dẫn

( )

nn

→

( ) 11

xd



ln8 8 3

nn

− +

3lim1

2 Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:

( )

−

− 

R =

Chuỗi đan dấu với

Chuỗi ht theo tc Leibnitz.

MHTD = −

+

=

3

R =

x = −

=

x =

  

21

()( )21

+ 

* Tìm tất cả các số thực x để

( )

1 (3)115

= −



Tính chất của chuỗi lũy thừa

  −



Chú ý

1 Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định

2 Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân)của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tíchphân) tương ứng.

3 Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗitích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu.

11

−

( )

4 3( )

3 / T

nS xnx

nn

CHUỖI TAYLOR

Cho hàm f khả vi vô hạn trong lân cận x0

khi đó, chuỗi Taylor của f trong lân cận này là

( )

xxn

Yêu cầu của 1 bài khai triển chuỗi

1 Vận dụng được chuỗi Maclaurin cơ bản 2 Viết được dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0)n

với hàm f cho trước.

3 Chỉ ra miền hội tụ của chuỗi tìm được,

đó chính là miền mà hàm f được khai triểnthành chuỗi Taylor.

Chuỗi Maclaurin cơ bản

n nn

( 1,1)

D = −

ln(1 ) ,

( ) ( )( ) ( )



Xn

Xf x

x −  −

với

−= +

nn

( ) 1

f x =

x 

Miền khai triển:

( )( 1)

(2 )( 1)

−=

=

3 /Tìm chuoãi Maclaurin :( ) x(1)

f x=e− +x

( )( ) (1 )

( 1) ( 1)1

n xn

−

+ −=

12

n n

=

Các ví dụ về tính tổng

1 / 31

−

nn

( 3.5

n n

=

−=

−=

3 Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau:

xbf x

+

xn

−

4 Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau:

4 Tính tổng của các chuỗi lũy thừa sau:

() 11

n xn

+



4 Tính tổng của các chuỗi số sau:

( )

− 

( )

(), ()()

 

=