CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

1.1. Cực trị tự do.......................................................... 2 1.1.1. Định nghĩa cực trị tự do............................................................... 2 1.1.2. Điều kiện cần để hàm số z = f(x,y) có cực trị tự do................................... 2 1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số z = f(x,y) có cực trị.......................................... 3 1.1.4. Phương pháp tìm cực trị tự do........................................................ 5 1.2. Cực trị có điều kiện................................................... 9 1.2.1. Đặt vấn đề............................................................................ 9 1.2.2. Định nghĩa cực trị có điều kiện........................................................ 9 1.2.3. Điều kiện cần để hàm số z = f(x,y) có cực trị có điều kiện............................ 9 1.2.4. Điều kiện đủ để hàm số z = f(x,y) có cực trị có điều kiện............................ 11 1.2.5. Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện....................................... 11

1.2.2 Định nghĩa cực trị có điều kiện 9

1.2.3 Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị có điều kiện 9

1.2.4 Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) có cực trị có điều kiện 11

1.2.5 Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện .11

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀUBIẾN

Chú ý Nếu f (x, y)6 f (x0, y0), với mọi (x, y) ∈ Df thì f đạt GTLN tại (x0, y0) Nếu f (x, y) >f (x0, y0), với mọi (x, y) ∈ Df thì f đạt GTNN tại (x0, y0).

Chứng minh Cho g(x) = f (x, y0) Nếu f có cực trị tại điểm (x0, y0) thì g(x) = f (x, y0) 6f (x0, y0) (trong trường hợp (x0, y0) là điểm cực đại) hoặc g(x) = f (x, y0) > f (x0, y0) (trong trườnghợp (x0, y0) là điểm cực tiểu), với mọi x thuộc lân cận của x0 Như vậy, theo định lý Fermat đối vớihàm một biến g(x), ta có g0(x0) = 0 Mặt khác, g0(x) = fx0(x, y0) ⇒ g0(x0) = fx0(x0, y0) Như vậy,fx0(x0, y0) = 0.

1.1 Cực trị tự do 3

Chứng minh tương tự đối với hàm h(y) = f (x0, y) ta cũng được fy0(x0, y0) = 0

Chú ý Nếu fx0(x0, y0) = 0 và fy0(x0, y0) = 0 thì phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt congz = f (x, y) tại điểm (x0, y0) là z = f (x0, y0) = z0 Từ đây chúng ta suy ra ý nghĩa hình học của cựctrị: Mặt phẳng tiếp diện với mặt cong z = f (x, y) tại điểm cực trị là mặt phẳng nằm ngang z = z0.

Điểm (x0, y0) được gọi làđiểm dừngcủa f nếu fx0(x0, y0) = 0 và fy0(x0, y0) = 0 hoặc nếu một tronghai đạo hàm riêng không tồn tại.

Định lý trên cho ta thấy được rằng: nếu f có cực trị tại (x0, y0) thì (x0, y0) là điểm dừng của f.

1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) có cực trị

Định lý 1.2 Cho hàm số z = f (x, y) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai trong lân cận của điểmdừng P (x0, y0) Số A = fxx00 (x0, y0), B = fxy00 (x0, y0), C = fyy00(x0, y0), ∆ =

= AC − B2 Khiđó, theo tiêu chuẩn Sylvester, ta có:

1 Nếu(

∆ > 0

A > 0 thì điểm P (x0, y0) là điểm cực tiểu của hàm số z = f (x, y) Lúc nàyd2f (x0, y0) = Adx2+ 2Bdxdy + Cdy2 là dạng toàn phương xác định dương.

2 Nếu(

∆ > 0

d2f (x0, y0) = Adx2+ 2Bdxdy + Cdy2 là dạng toàn phương xác định âm.

3 Nếu ∆ < 0 thì điểm P (x0, y0) KHÔNG là điểm cực trị của hàm số z = f (x, y) Lúc nàyd2f (x0, y0) = Adx2+ 2Bdxdy + Cdy2 là dạng toàn phương không xác định dấu.

Chứng minh Lấy tùy ý điểm M (x, y) trong lân cận của điểm P (x0, y0) sao cho M 6= P Theocông thức khai triển Taylor trong lân cận của điểm (x0, y0) đến cấp một với phần dư Lagrange, ta có

f (x, y) = f (x0, y0) + 1

1!df (x0, y0) +12!d

2f (x0+ α∆x, y0+ α∆y), (α ∈ (0, 1)).Từ đó ta có

f (x, y) − f (x0, y0) = 12![f

xx(x0+ α∆x, y0+ α∆y)∆x2++2fxy00 (x0+ α∆x, y0+ α∆y)∆x∆y + fyy00(x0+ α∆x, y0+ α∆y)∆y2].Vì những đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm P (x0, y0) nên ta có thể biểu diễn

fxx00 (x0+ α∆x, y0+ α∆y) = fxx00 (x0, y0) + α11= A + α11

fxy00 (x0+ α∆x, y0+ α∆y) = fxy00 (x0, y0) + α12= B + α12

fyy00 (x0+ α∆x, y0+ α∆y) = fyy00(x0, y0) + α22= C + α22,

trong đó α11, α12, α22→ 0, khi ∆x, ∆y → 0 Như vậy,f (x, y) − f (x0, y0) = 1

2![(A + α11)∆x

2+ 2(B + α12)∆x.∆y + (C + α22)∆y2] =

2+ 2B∆x.∆y + C∆y2) + (α11∆x2+ 2α12∆x.∆y + α22∆y2)]

Hình 1.1: Đổi sang hệ tọa độ cực

Đặt ρ =p∆x2+ ∆y2, ϕ là góc giữa tia P M và trục Ox Khi đó∆x = ρ cos ϕ, ∆y = ρ sin ϕ.

A[(A cos ϕ + B sin ϕ)

∆ > 0

A > 0 thì f (x, y) − f (x0, y0) > 0 hay f (x, y) > f (x0, y0) và điểm P (x0, y0) là điểm cựctiểu của hàm số z = f (x, y).

2 nếu(

∆ > 0

A < 0 thì f (x, y) − f (x0, y0) 6 0 hay f (x, y) 6 f (x0, y0) điểm P (x0, y0) là điểm cựcđại của hàm số z = f (x, y).

1.1 Cực trị tự do 5

Trường hợp 2 AC − B2< 0.

Giả sử A 6= 0 Khi ϕ = ϕ1 = 0 thì

A cos2ϕ + 2B cos ϕ sin ϕ + C sin2ϕ = A

có dấu cùng dấu với A, còn khi ϕ = ϕ2, với ϕ2 là góc thỏa mãn A cos ϕ2+ B sin ϕ2= 0(sin ϕ26= 0) thìA cos2ϕ2+2B cos ϕ2 sin ϕ2+C sin2ϕ2 = 1

A[(A cos ϕ2+B sin ϕ2)

2+(AC−B2) sin2ϕ2] = 1

2) sin2ϕ2có dấu trái dấu với A.

Với ρ đủ nhỏ thì α11cos2ϕ+2α12cos ϕ sin ϕ+α22sin2ϕ có giá trị đủ nhỏ khi ϕ = ϕ1và ϕ = ϕ2 Dođó dấu của f (x, y) − f (x0, y0) sẽ phụ thuộc vào dấu của biểu thức A cos2ϕ + 2B cos ϕ sin ϕ + C sin2ϕ.Như vậy, trong lân cận của (x0, y0) những điểm (x, y) thuộc tia xác định bởi ϕ = ϕ1 và ϕ = ϕ2 cóf (x, y) − f (x0, y0) mang dấu trái nhau Điều này có nghĩa là (x0, y0) không là điểm cực trị.

Nếu A = 0 thì

A cos2ϕ + 2B cos ϕ sin ϕ + C sin2ϕ = 2B cos ϕ sin ϕ + C sin2ϕ = sin ϕ.(2B cos ϕ + C sin ϕ)Từ AC − B2 < 0 ⇒ B 6= 0, do đó có thể chọn góc ϕ = ϕ16= 0(sin ϕ16= 0) sao cho

|C|.| sin ϕ1| < 2|B|.| cos ϕ1|.

Khi đó với ϕ = ϕ1 và ϕ = ϕ2 = −ϕ1 biểu thức sin ϕ.(2B cos ϕ + C sin ϕ) sẽ có dấu trái nhau (vì sin ϕ1

và sin(−ϕ1) có dấu trái nhau) Như vậy, với ρ > 0 đủ nhỏ trong lân cận của (x0, y0) những điểm (x, y)thuộc tia xác định bởi ϕ = ϕ1 và ϕ = ϕ2 có f (x, y) − f (x0, y0) mang dấu trái nhau Điều này có nghĩalà (x0, y0) không là điểm cực trị.

∂x2(xi, yi), B = ∂

∂x∂y(xi, yi), C =∂2f

∂y2(xi, yi), ∆ = AC − B2• Nếu ∆ > 0, A > 0 thì hàm đạt cực tiểu tại (xi, yi).

• Nếu ∆ > 0, A < 0 thì hàm đạt cực đại tại (xi, yi).

• Nếu ∆ < 0 thì hàm không đạt cực trị tại (xi, yi), lúc này điểm (xi, yi) được gọi là điểm yênngựa.

• Nếu ∆ = 0 thì ta phải xét bằng định nghĩa ∆f = f (x, y) − f (xi, yi)Ví dụ 1.1.1 Tìm cực trị tự do của hàm số f (x, y) = x3+ 2y3− 3x2− 6y

Bước 1 Tìm điểm dừng

fx0 = 3x2− 6x = 0fy0 = 6y2− 6 = 0⇒ Có 4 điểm dừng P1(0, −1), P2(0, 1), P3(2, −1), P4(2, 1).

Bước 2 Tìm các đạo hàm riêng cấp 2fxx00 = 6x − 6, fxy00 = 0, fyy00 = 12y.Bước 3 Khảo sát tại từng điểm dừng

1 P1(0, −1), A = fxx00 (0, −1) = −6, B = fxy00 (0, −1) = 0, C = fyy00(0, −1) = −12,∆ = AC − B2= (−6).(−12) − (0)2 > 0.

A < 0

∆ > 0 ⇒ P1 là điểm cực đại, fCĐ = f(0, −1) = 4.2 P2(0, 1), A = fxx00 (0, 1) = −6, B = fxy00 (0, 1) = 0, C = fyy00(0, 1) = 12,

∆ = AC − B2= (−6).(12) − (0)2< 0 ⇒ P2 không là điểm cực trị.3 P3(2, −1), A = fxx00 (2, −1) = 6, B = fxy00 (2, −1) = 0, C = fyy00 (2, −1) = −12,

∆ = AC − B2= (6).(−12) − (0)2< 0 ⇒ P3 không là điểm cực trị.4 P4(2, 1), A = fxx00 (2, 1) = 6, B = fxy00 (2, 1) = 0, C = fyy00(2, 1) = 12,

∆ = AC − B2= (6).(12) − (0)2 > 0.⇒

A > 0

∆ > 0 ⇒ P4 là điểm cực tiểu, fCT = f(2, 1) = −8.

Hình 1.2: Cực trị tự do của hàm số f (x, y) = x3+ 2y3− 3x2− 6yVí dụ 1.1.2 Tìm cực trị tự do của hàm số f (x, y) = x4+ y4− 4xy + 1

Giải.

1.1 Cực trị tự do 7

Bước 1 Tìm điểm dừng(

fx0 = 4x3− 4y = 0

y = x3x = (x3)3 ⇔

y = x3x(x2− 1)(x2+ 1)(x4+ 1) = 0⇒ Có 3 điểm dừng P1(0, 0), P2(1, 1), P3(−1, −1).

Bước 2 Tìm các đạo hàm riêng cấp 2fxx00 = 12x2, fxy00 = −4, fyy00 = 12y2.Bước 3 Khảo sát tại từng điểm dừng

1 P1(0, 0), A = fxx00 (0, 0) = 0, B = fxy00 (0, 0) = −4, C = fyy00 (0, 0) = 0,∆ = AC − B2 = 0.0 − (−4)2 < 0 ⇒ P1 không là điểm cực trị.2 P2(1, 1), A = fxx00 (1, 1) = 12, B = fxy00 (1, 1) = −4, C = fyy00 (1, 1) = 12,

∆ = AC − B2 = (12).(12) − (−4)2 > 0.⇒

A > 0

∆ > 0 ⇒ P2 là điểm cực tiểu, fCT = f(1, 1) = −1.3 P3(−1, −1), A = fxx00 (−1, −1) = 12, B = fxy00 (−1, −1) = −4, C = fyy00(−1, −1) = 12,

∆ = AC − B2 = (12).(12) − (−4)2 > 0.⇒

A > 0

∆ > 0 ⇒ P2 là điểm cực tiểu, fCT = f(−1, −1) = −1.Ví dụ 1.1.3 Tìm cực trị tự do của f (x, y) = x3+ 3xy2− 39x − 36y + 1.

Bước 1 Tìm điểm dừng

fx0 = 3x2+ 3y2− 39 = 0fy0 = 6xy − 36 = 0⇒ Có 4 điểm dừng P1(3, 2), P2(−3, −2), P3(2, 3), P4(−2, −3).

Bước 2 Tìm các đạo hàm riêng cấp 2fxx00 = 6x, fxy00 = 6y, fyy00 = 6x.

Bước 3 Khảo sát tại từng điểm dừng

1 P1(3, 2), A = fxx00 (3, 2) = 18, B = fxy00 (3, 2) = 12, C = fyy00(3, 2) = 18,∆ = AC − B2 = 182− 122> 0.

A > 0

∆ > 0 ⇒ P1 là điểm cực tiểu, fCT = f (3, 2) = −125.

2 P2(−3, −2), A = fxx00 (−3, −2) = −18, B = fxy00(−3, −2) = −12, C = fyy00(−3, −2) = −18,∆ = AC − B2 = (−18).(−18) − (−12)2 > 0.

A < 0

∆ > 0 ⇒ P2 là điểm cực đại, fCĐ = f(−3, −2) = 127.3 P3(2, 3), A = fxx00 (2, 3) = 12, B = fxy00 (2, 3) = 18, C = fyy00(2, 3) = 12,

∆ = AC − B2 = 12.12 − 182< 0 ⇒ P3 không là điểm cực trị.

4 P4(−2, −3), A = fxx00 (−2, −3) = −12, B = fxy00 (−2, −3) = −18, C = fyy00 (−2, −3) = −12,∆ = AC − B2= (−12).(−12) − (−18)2 < 0 ⇒ P4 không là điểm cực trị.

Bước 1 Tìm điểm dừng

P1(2, 2), A = fxx00 (2, 2) = −2, B = fxy00 (2, 2) = −1, C = fyy00(2, 2) = −2,∆ = AC − B2= (−2).(−2) − (−1)2 > 0.

A < 0

∆ > 0 ⇒ P1 là điểm cực đại, fCĐ = f(2, 2) = 4.Vậy thể tích lớn nhất là Vmax = 4 khi x = 2, y = 2, z = 2.

1.2 Cực trị có điều kiện 9

1.2Cực trị có điều kiện1.2.1 Đặt vấn đề

Trong những bài toán ứng dụng, chúng ta thường gặp bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến khicó thêm điều kiện ràng buộc nào đó đối với biến số.

Ví dụ 1.2.1 Hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng hình chữ nhật đó có chuvi là 2p.

Hình 1.4: Hình chữ nhật

Gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật Bài toán của chúng ta là tìm giátrị lớn nhất của S(x, y) = xy với điều kiện 2(x + y) = 2p, x > 0, y > 0 Từ đây, ta có y = p − x vàthay vào S ta được hàm một biến S(x) = x(p − x) với điều kiện 0 < x < p Hàm số S(x) đạt giá trịlớn nhất trong khoảng (0, p) khi x = p

2 Như vậy, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất với chu vi chotrước là hình vuông.

Chú ý rằng, hàm hai biến S(x, y) = xy không có cực trị tự do, tuy nhiên lời giải cho bài toánvẫn có Điều này có nghĩa là đối với bài toán của chúng ta, giá trị của hàm S(x, y) tại những điểmkhông thỏa mãn phương trình x + y = p, không có ý nghĩa gì.

1.2.2 Định nghĩa cực trị có điều kiện

Định nghĩa 1.2 Hàm hai biến f (x, y) đạt cực đại có điều kiện tại điểm (x0, y0) với điều kiệnϕ(x, y) = 0, nếu như f (x, y) 6 f (x0, y0), với mọi (x, y) thỏa ϕ(x, y) = 0, nằm trong lân cận của(x0, y0) Giá trị f (x0, y0) được gọi làgiá trị cực đại có điều kiện Nếu như f (x, y) > f (x0, y0), với mọi(x, y) thỏa ϕ(x, y) = 0, nằm trong lân cận của (x0, y0) thì f đạt cực tiểu có điều kiện tại (x0, y0) vàgiá trị f (x0, y0) được gọi là giá trị cực tiểu có điều kiện Hàm f (x, y) lúc này được gọi là hàm mụctiêu, còn điều kiện ϕ(x, y) = 0 được gọi là điều kiện ràng buộc.

1.2.3 Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị có điều kiện

Giả sử chúng ta cần tìm cực trị của hàm z = f (x, y) thỏa điều kiện ϕ(x, y) = 0 Điều này có nghĩalà chúng ta tìm cực trị của hàm f khi điểm (x, y) nằm trên đường cong ϕ(x, y) = 0 Trên hình (1.5),cho chúng ta thấy một số đường đẳng trị f (x, y) = k Như vậy, để tìm cực đại (cực tiểu) của hàmf (x, y) thỏa điều kiện ϕ(x, y) = 0 chúng ta tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của k sao cho đường đẳngtrị f (x, y) = k cắt đường cong ϕ(x, y) = 0 Điều này xảy ra khi đường đẳng trị f (x, y) = k và đườngcong ϕ(x, y) = 0 có cùng tiếp tuyến, vì nếu ngược lại giá trị k có thể tăng lên (hoặc giảm xuống) nữa.Điều này có nghĩa là đường vuông góc với đường đẳng trị f (x, y) = k và đường cong ϕ(x, y) = 0

Hình 1.5: Cực trị của z = f (x, y) thỏa điều kiện ϕ(x, y) = 0

tại điểm cực trị (x0, y0) phải cùng phương với nhau Do đó, ∇f (x0, y0) = −λ.∇ϕ(x0, y0), λ ∈ R⇒

fx0(x0, y0) + λ.ϕ0x(x0, y0) = 0fy0(x0, y0) + λ.ϕ0y(x0, y0) = 0

Định lý 1.3 Nếu hàm số z = f (x, y) có cực trị có điều kiện tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0và ∇ϕ(x0, y0) 6= 0 thì tồn tại số λ thỏa mãn hệ

fx0(x0, y0) + λϕ0x(x0, y0) = 0fy0(x0, y0) + λϕ0y(x0, y0) = 0ϕ(x0, y0) = 0

Nếu hàm số f (x, y) có cực trị có điều kiện tại (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0 thì hàm một biếng(x) = f (x, h(x)) đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó theo điều kiện cần để hàm một biến đạt cực trị thìg0(x0) = 0.

g0(x0) = fx0(x0, y0) + fy0(x0, y0).h0(x0) = fx0(x0, y0) − fy0(x0, y0).ϕ

x(x0, y0)ϕ0

y(x0, y0) = 0

y(x0, y0)ϕ0

y(x0, y0) Khi đó

fx0(x0, y0) + λ.ϕ0x(x0, y0) = 0.và từ λ = −f

y(x0, y0)ϕ0y(x0, y0) ⇒ f

y(x0, y0) + λ.ϕ0y(x0, y0) = 0.Định lý đã được chứng minh.

1.2 Cực trị có điều kiện 11

1.2.4 Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) có cực trị có điều kiện

Định lý 1.4 Cho hàm số z = f (x, y) có cực trị có điều kiện với điều kiện ϕ(x, y) = 0 tại điểmP (x0, y0) Lập hàm Lagrange L(x, y, λ) = f (x, y) + λ.ϕ(x, y) Khi đó:

1 Nếu d2L(x0, y0, λ0) > 0 thì P (x0, y0) là điểm cực tiểu có điều kiện.2 Nếu d2L(x0, y0, λ0) < 0 thì P (x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện.

3 Nếu d2L(x0, y0, λ0) không xác định dấu thì P (x0, y0) không là điểm cực trị.1.2.5 Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

Các bước khảo sát cực trị của z = f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0

1 Lập hàm Lagrange L(x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y) Tìm điểm dừng của L(x, y, λ)

L0x(x, y, λ) = 0L0y(x, y, λ) = 0L0λ(x, y, λ) = ϕ(x, y) = 0

⇒ Pi(xi, yi), λi, i = 1, 2,

2 Tìm tất cả L00xx, L00xy, L00yy

3 Khảo sát từng điểm dừng Pi(xi, yi), λi

d2L(xi, yi, λi) = L00xx(xi, yi, λi)dx2+ 2L00xy(xi, yi, λi)dxdy + L00yy(xi, yi, λi)dy2Dựa vào điều kiện đủ ta kết luận

• Nếu d2L(xi, yi, λi) > 0 thì P (xi, yi) là điểm cực tiểu có điều kiện.• Nếu d2L(xi, yi, λi) < 0 thì P (xi, yi) là điểm cực đại có điều kiện.

• Nếu d2L(xi, yi, λi) không xác định dấu thì P (xi, yi) không là điểm cực trị.

d2L(xi, yi, λi) = L00xx(xi, yi, λi)dx2+ 2L00xy(xi, yi, λi)dxdy + L00yy(xi, yi, λi)dy2.Ví dụ 1.2.2 Tìm cực trị của hàm f (x, y) = x2+ 2y2 với điều kiện x2+ y2 = 1.

Giải.Tìm điểm dừng của hàm Lagrange L(x, y, λ) = f (x, y) + λ.ϕ(x, y)

L0x(x, y, λ) = 2x + 2xλ = 0 (1)L0y(x, y, λ) = 4y + 2yλ = 0 (2)

Tại P2(0, −1) ứng với λ = −2 ta có d2L(0, −1, −2) = L00xx(0, −1, −2)dx2+ 2L00xy(0, −1, −2)dxdy +L00yy(0, −1, −2)dy2 = (2 + 2λ)dx2 + (4 + 2λ)dy2 = −2dx2 Sử dụng thêm điều kiện ϕ(x, y) = 0 ⇒dϕ(x, y) = 0 ⇒ dϕ(P2) = 0 ⇔ ϕ0x(0, −1)dx + ϕ0y(0, −1)dy = 0 ⇔ 2.0.dx − 2.1.dy = 0 ⇔ dy = 0 Màdx2+ dy2 > 0 nên dx 6= 0 Vậy d2L(0, −1, −2) = −2dx2 < 0 Do đó tại P2 hàm f (x, y) đạt cực đạicó điều kiện.

Tại P3(1, 0) ứng với λ = −1 ta có d2L(1, 0, −1) = L00xx(1, 0, −1)dx2 + 2L00xy(1, 0, −1)dxdy +L00yy(1, 0, −1)dy2= (2 + 2λ)dx2+ (4 + 2λ)dy2 = 2dy2 Sử dụng thêm điều kiện ϕ(x, y) = 0 ⇒ dϕ(x, y) =0 ⇒ dϕ(P3) = 0 ⇔ ϕ0x(1, 0)dx + ϕ0y(1, 0)dy = 0 ⇔ 2.1.dx + 2.0dy = 0 ⇔ dx = 0 Mà dx2 + dy2 > 0nên dy 6= 0 Vậy d2L(1, 0, −1) = 2dy2 > 0 Do đó tại P3 hàm f (x, y) đạt cực tiểu có điều kiện.

Tại P4(−1, 0) ứng với λ = −1 ta có d2L(−1, 0, −1) = L00xx(−1, 0, −1)dx2+ 2L00xy(−1, 0, −1)dxdy +L00yy(−1, 0, −1)dy2 = (2 + 2λ)dx2 + (4 + 2λ)dy2 = 2dy2 Sử dụng thêm điều kiện ϕ(x, y) = 0 ⇒dϕ(x, y) = 0 ⇒ dϕ(P4) = 0 ⇔ ϕ0x(−1, 0)dx + ϕ0y(−1, 0)dy = 0 ⇔ 2.(−1).dx + 2.0dy = 0 ⇔ dx = 0 Màdx2+ dy2> 0 nên dy 6= 0 Vậy d2L(−1, 0, −1) = 2dy2 > 0 Do đó tại P4 hàm f (x, y) đạt cực tiểu cóđiều kiện.

Hình 1.6: Cực trị có điều kiện của hàm f (x, y) = x2+ 2y2 với điều kiện x2+ y2= 1.Ví dụ 1.2.3 Tìm cực trị của hàm f (x, y) = x + 2y với điều kiện x2+ y2 = 5.

1.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 13

Hình 1.7: Đường đẳng trị của hàm f (x, y) = x2+ 2y2 với điều kiện x2+ y2 = 1.

Giải.Tìm điểm dừng của hàm Lagrange L(x, y, λ) = f (x, y) + λ.ϕ(x, y)

L0x(x, y, λ) = 1 + 2xλ = 0L0y(x, y, λ) = 2 + 2yλ = 0ϕ(x, y) = x2+ y2= 5

λx2+ y2 =

= 5

Từ đó, ta có điểm dừng P1(1, 2) ứng với λ = −1

2 và P2(−1, −2) ứng với λ =12Tại P1(1, 2) ứng với λ = −1

2L(1, 2, −12) = L00xx(1, 2, −12)dx2 + 2L00xy(1, 2, −12)dxdy +L00yy(1, 2, −12)dy2 = 2λdx2 + 2λdy2 = −dx2 − dy2 < 0 Do đó tại P1 hàm f (x, y) đạt cực đại cóđiều kiện.

Tại P2(−1, −2) ứng với λ = 1

2 ta có d

2L(−1, −2,12) = L00xx(−1, −2,12)dx2+ 2L00xy(−1, −2,12)dxdy +L00yy(−1, −2,12)dy2= 2λdx2+ 2λdy2 = dx2+ dy2> 0 Do đó tại P2 hàm f (x, y) đạt cực tiểu có điềukiện.

Hình 1.8: Cực trị có điều kiện của hàm f (x, y) = x + 2y với điều kiện x2+ y2 = 5.

1.3Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất1.3.1 Định nghĩa tập đóng, tập mở