CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

1.1. Cực trị tự do.......................................................... 2 1.1.1. Định nghĩa cực trị tự do............................................................... 2 1.1.2. Điều kiện cần để hàm số z = f(x,y) có cực trị tự do................................... 2 1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số z = f(x,y) có cực trị.......................................... 3 1.1.4. Phương pháp tìm cực trị tự do........................................................ 5 1.2. Cực trị có điều kiện................................................... 9 1.2.1. Đặt vấn đề............................................................................ 9 1.2.2. Định nghĩa cực trị có điều kiện........................................................ 9 1.2.3. Điều kiện cần để hàm số z = f(x,y) có cực trị có điều kiện............................ 9 1.2.4. Điều kiện đủ để hàm số z = f(x,y) có cực trị có điều kiện............................ 11 1.2.5. Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện....................................... 11

Trang 1

Mục lục

Lời nói đầu i

Những kí hiệu ii

Mục lục 1

Chương 1 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 2

1.1 Cực trị tự do 2

1.1.1 Định nghĩa cực trị tự do 2

1.1.2 Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị tự do 2

1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) có cực trị 3

1.1.4 Phương pháp tìm cực trị tự do 5

1.2 Cực trị có điều kiện 9

1.2.1 Đặt vấn đề 9

1.2.2 Định nghĩa cực trị có điều kiện 9

1.2.3 Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị có điều kiện 9

1.2.4 Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) có cực trị có điều kiện 11

1.2.5 Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện 11

1.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 13

1.3.1 Định nghĩa tập đóng, tập mở 13

1.3.2 Sự tồn tại GTLN, GTNN của hàm f (x, y) 14

1.3.3 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 14

1.4 Bài tập 16

1.4.1 Cực trị tự do 16

1.4.2 Cực trị có điều kiện 17

1.4.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 17

Trang 2

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU

BIẾN

1.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 13

1.4 Bài tập 16

1.1 Cực trị tự do

1.1.1 Định nghĩa cực trị tự do

Định nghĩa 1.1 Hàm hai biến f (x, y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) nếu như f (x, y) 6 f (x0, y0), với mọi (x, y) nằm trong lân cận của (x0, y0) Giá trị f (x0, y0) được gọi là giá trị cực đại Nếu như

f (x, y) > f (x0, y0), với mọi (x, y) nằm trong lân cận của (x0, y0) thì f đạt cực tiểu tại (x0, y0) và giá trị f (x0, y0) được gọi làgiá trị cực tiểu

Chú ý Nếu f (x, y)6 f (x0, y0), với mọi (x, y) ∈ Df thì f đạt GTLN tại (x0, y0) Nếu f (x, y) >

f (x0, y0), với mọi (x, y) ∈ Df thì f đạt GTNN tại (x0, y0)

1.1.2 Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị tự do

Định lý 1.1 Nếu hàm số z = f (x, y) có cực trị tại điểm (x0, y0) và đạo hàm riêng cấp một của f tồn tại tại điểm (x0, y0) thì

(

fx0(x0, y0) = 0

fy0(x0, y0) = 0

Chứng minh Cho g(x) = f (x, y0) Nếu f có cực trị tại điểm (x0, y0) thì g(x) = f (x, y0) 6

f (x0, y0) (trong trường hợp (x0, y0) là điểm cực đại) hoặc g(x) = f (x, y0) > f (x0, y0) (trong trường hợp (x0, y0) là điểm cực tiểu), với mọi x thuộc lân cận của x0 Như vậy, theo định lý Fermat đối với hàm một biến g(x), ta có g0(x0) = 0 Mặt khác, g0(x) = fx0(x, y0) ⇒ g0(x0) = fx0(x0, y0) Như vậy,

fx0(x0, y0) = 0

Trang 3

Chứng minh tương tự đối với hàm h(y) = f (x0, y) ta cũng được fy0(x0, y0) = 0

Chú ý Nếu fx0(x0, y0) = 0 và fy0(x0, y0) = 0 thì phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt cong

z = f (x, y) tại điểm (x0, y0) là z = f (x0, y0) = z0 Từ đây chúng ta suy ra ý nghĩa hình học của cực trị: Mặt phẳng tiếp diện với mặt cong z = f (x, y) tại điểm cực trị là mặt phẳng nằm ngang z = z0 Điểm (x0, y0) được gọi làđiểm dừngcủa f nếu fx0(x0, y0) = 0 và fy0(x0, y0) = 0 hoặc nếu một trong hai đạo hàm riêng không tồn tại

Định lý trên cho ta thấy được rằng: nếu f có cực trị tại (x0, y0) thì (x0, y0) là điểm dừng của f

1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) có cực trị

Định lý 1.2 Cho hàm số z = f (x, y) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai trong lân cận của điểm dừng P (x0, y0) Số A = fxx00 (x0, y0), B = fxy00 (x0, y0), C = fyy00(x0, y0), ∆ =

= AC − B2 Khi

đó, theo tiêu chuẩn Sylvester, ta có:

1 Nếu

(

∆ > 0

A > 0 thì điểm P (x0, y0) là điểm cực tiểu của hàm số z = f (x, y) Lúc này

d2f (x0, y0) = Adx2+ 2Bdxdy + Cdy2 là dạng toàn phương xác định dương

2 Nếu

(

∆ > 0

d2f (x0, y0) = Adx2+ 2Bdxdy + Cdy2 là dạng toàn phương xác định âm

3 Nếu ∆ < 0 thì điểm P (x0, y0) KHÔNG là điểm cực trị của hàm số z = f (x, y) Lúc này

d2f (x0, y0) = Adx2+ 2Bdxdy + Cdy2 là dạng toàn phương không xác định dấu

Chứng minh Lấy tùy ý điểm M (x, y) trong lân cận của điểm P (x0, y0) sao cho M 6= P Theo công thức khai triển Taylor trong lân cận của điểm (x0, y0) đến cấp một với phần dư Lagrange, ta có

f (x, y) = f (x0, y0) + 1

1!df (x0, y0) +

1 2!d

2f (x0+ α∆x, y0+ α∆y), (α ∈ (0, 1))

Từ đó ta có

f (x, y) − f (x0, y0) = fx0(x0, y0).∆x + fy0(x0, y0).∆y+

2!(f

00

xx(x0+ α∆x, y0+ α∆y)∆x2+ 2fxy00 (x0+ α∆x, y0+ α∆y)∆x∆y + fyy00(x0+ α∆x, y0+ α∆y)∆y2) Theo điều kiện cần để hàm z = f (x, y) có cực trị thì nếu P (x0, y0) là điểm cực trị thì fx0(x0, y0) =

fy0(x0, y0) = 0 Do đó

f (x, y) − f (x0, y0) = 1

2![f

00

xx(x0+ α∆x, y0+ α∆y)∆x2+ +2fxy00 (x0+ α∆x, y0+ α∆y)∆x∆y + fyy00(x0+ α∆x, y0+ α∆y)∆y2]

Vì những đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm P (x0, y0) nên ta có thể biểu diễn

fxx00 (x0+ α∆x, y0+ α∆y) = fxx00 (x0, y0) + α11= A + α11

fxy00 (x0+ α∆x, y0+ α∆y) = fxy00 (x0, y0) + α12= B + α12

fyy00 (x0+ α∆x, y0+ α∆y) = fyy00(x0, y0) + α22= C + α22,

Trang 4

trong đó α11, α12, α22→ 0, khi ∆x, ∆y → 0 Như vậy,

f (x, y) − f (x0, y0) = 1

2![(A + α11)∆x

2+ 2(B + α12)∆x.∆y + (C + α22)∆y2] =

2![(A∆x

2+ 2B∆x.∆y + C∆y2) + (α11∆x2+ 2α12∆x.∆y + α22∆y2)]

Hình 1.1: Đổi sang hệ tọa độ cực

Đặt ρ =p∆x2+ ∆y2, ϕ là góc giữa tia P M và trục Ox Khi đó

∆x = ρ cos ϕ, ∆y = ρ sin ϕ

Vậy

f (x, y)−f (x0, y0) = ρ

2

2![(A cos

2ϕ+2B cos ϕ sin ϕ+C sin2ϕ)+(α11cos2ϕ+2α12cos ϕ sin ϕ+α22sin2ϕ)]

Trường hợp 1 AC − B2 > 0 Từ đó suy ra AC > 0 ⇒ A 6= 0 và

A cos2ϕ + 2B cos ϕ sin ϕ + C sin2ϕ = 1

A[(A cos ϕ + B sin ϕ)

2+ (AC − B2) sin2ϕ]

Do hàm |A cos2ϕ + 2B cos ϕ sin ϕ + C sin2ϕ| là hàm liên tục trên đoạn [0, 2π] nên nó có giá trị nhỏ nhất m

⇒ |A cos2ϕ + 2B cos ϕ sin ϕ + C sin2ϕ| > m > 0

Vì khi ∆x, ∆y → 0 thì ρ → 0 và α11, α12, α22→ 0 nên

|α11cos2ϕ + 2α12cos ϕ sin ϕ + α22sin2ϕ| 6 |α11| + 2|α12| + |α22| < m, với ρ > 0 đủ nhỏ Như vậy,

1 nếu

(

∆ > 0

A > 0 thì f (x, y) − f (x0, y0) > 0 hay f (x, y) > f (x0, y0) và điểm P (x0, y0) là điểm cực tiểu của hàm số z = f (x, y)

2 nếu

(

∆ > 0

A < 0 thì f (x, y) − f (x0, y0) 6 0 hay f (x, y) 6 f (x0, y0) điểm P (x0, y0) là điểm cực đại của hàm số z = f (x, y)

Trang 5

Trường hợp 2 AC − B2< 0

Giả sử A 6= 0 Khi ϕ = ϕ1 = 0 thì

A cos2ϕ + 2B cos ϕ sin ϕ + C sin2ϕ = A

có dấu cùng dấu với A, còn khi ϕ = ϕ2, với ϕ2 là góc thỏa mãn A cos ϕ2+ B sin ϕ2= 0(sin ϕ26= 0) thì

A cos2ϕ2+2B cos ϕ2 sin ϕ2+C sin2ϕ2 = 1

A[(A cos ϕ2+B sin ϕ2)

2+(AC−B2) sin2ϕ2] = 1

2) sin2ϕ2

có dấu trái dấu với A

Với ρ đủ nhỏ thì α11cos2ϕ+2α12cos ϕ sin ϕ+α22sin2ϕ có giá trị đủ nhỏ khi ϕ = ϕ1và ϕ = ϕ2 Do

đó dấu của f (x, y) − f (x0, y0) sẽ phụ thuộc vào dấu của biểu thức A cos2ϕ + 2B cos ϕ sin ϕ + C sin2ϕ Như vậy, trong lân cận của (x0, y0) những điểm (x, y) thuộc tia xác định bởi ϕ = ϕ1 và ϕ = ϕ2 có

f (x, y) − f (x0, y0) mang dấu trái nhau Điều này có nghĩa là (x0, y0) không là điểm cực trị

Nếu A = 0 thì

A cos2ϕ + 2B cos ϕ sin ϕ + C sin2ϕ = 2B cos ϕ sin ϕ + C sin2ϕ = sin ϕ.(2B cos ϕ + C sin ϕ)

Từ AC − B2 < 0 ⇒ B 6= 0, do đó có thể chọn góc ϕ = ϕ16= 0(sin ϕ16= 0) sao cho

|C|.| sin ϕ1| < 2|B|.| cos ϕ1|

Khi đó với ϕ = ϕ1 và ϕ = ϕ2 = −ϕ1 biểu thức sin ϕ.(2B cos ϕ + C sin ϕ) sẽ có dấu trái nhau (vì sin ϕ1

và sin(−ϕ1) có dấu trái nhau) Như vậy, với ρ > 0 đủ nhỏ trong lân cận của (x0, y0) những điểm (x, y) thuộc tia xác định bởi ϕ = ϕ1 và ϕ = ϕ2 có f (x, y) − f (x0, y0) mang dấu trái nhau Điều này có nghĩa

là (x0, y0) không là điểm cực trị

Định lý đã được chứng minh

1.1.4 Phương pháp tìm cực trị tự do

Cho hàm số f (x, y) xác định trên miền xác định D(f ) Các bước tìm cực trị tự do của hàm này như sau:

1 Tìm điểm dừng

(

fx0 = 0

fy0 = 0 ⇒ Pi(xi, yi), i = 1, 2,

2 Tại điểm Pi(xi, yi) đặt A = ∂

2f

∂x2(xi, yi), B = ∂

2f

∂x∂y(xi, yi), C =

∂2f

∂y2(xi, yi), ∆ = AC − B2

• Nếu ∆ > 0, A > 0 thì hàm đạt cực tiểu tại (xi, yi)

• Nếu ∆ > 0, A < 0 thì hàm đạt cực đại tại (xi, yi)

• Nếu ∆ < 0 thì hàm không đạt cực trị tại (xi, yi), lúc này điểm (xi, yi) được gọi là điểm yên ngựa

• Nếu ∆ = 0 thì ta phải xét bằng định nghĩa ∆f = f (x, y) − f (xi, yi)

Ví dụ 1.1.1 Tìm cực trị tự do của hàm số f (x, y) = x3+ 2y3− 3x2− 6y

Trang 6

Bước 1 Tìm điểm dừng

(

fx0 = 3x2− 6x = 0

fy0 = 6y2− 6 = 0

⇒ Có 4 điểm dừng P1(0, −1), P2(0, 1), P3(2, −1), P4(2, 1)

Bước 2 Tìm các đạo hàm riêng cấp 2

fxx00 = 6x − 6, fxy00 = 0, fyy00 = 12y

Bước 3 Khảo sát tại từng điểm dừng

1 P1(0, −1), A = fxx00 (0, −1) = −6, B = fxy00 (0, −1) = 0, C = fyy00(0, −1) = −12,

∆ = AC − B2= (−6).(−12) − (0)2 > 0

⇒

(

A < 0

∆ > 0 ⇒ P1 là điểm cực đại, fCĐ = f(0, −1) = 4

2 P2(0, 1), A = fxx00 (0, 1) = −6, B = fxy00 (0, 1) = 0, C = fyy00(0, 1) = 12,

∆ = AC − B2= (−6).(12) − (0)2< 0 ⇒ P2 không là điểm cực trị

3 P3(2, −1), A = fxx00 (2, −1) = 6, B = fxy00 (2, −1) = 0, C = fyy00 (2, −1) = −12,

∆ = AC − B2= (6).(−12) − (0)2< 0 ⇒ P3 không là điểm cực trị

4 P4(2, 1), A = fxx00 (2, 1) = 6, B = fxy00 (2, 1) = 0, C = fyy00(2, 1) = 12,

∆ = AC − B2= (6).(12) − (0)2 > 0

⇒

(

A > 0

∆ > 0 ⇒ P4 là điểm cực tiểu, fCT = f(2, 1) = −8

Hình 1.2: Cực trị tự do của hàm số f (x, y) = x3+ 2y3− 3x2− 6y

Ví dụ 1.1.2 Tìm cực trị tự do của hàm số f (x, y) = x4+ y4− 4xy + 1

Giải

Trang 7

(

fx0 = 4x3− 4y = 0

(

y = x3

x = (x3)3 ⇔

(

y = x3 x(x2− 1)(x2+ 1)(x4+ 1) = 0

⇒ Có 3 điểm dừng P1(0, 0), P2(1, 1), P3(−1, −1)

fxx00 = 12x2, fxy00 = −4, fyy00 = 12y2

1 P1(0, 0), A = fxx00 (0, 0) = 0, B = fxy00 (0, 0) = −4, C = fyy00 (0, 0) = 0,

∆ = AC − B2 = 0.0 − (−4)2 < 0 ⇒ P1 không là điểm cực trị

2 P2(1, 1), A = fxx00 (1, 1) = 12, B = fxy00 (1, 1) = −4, C = fyy00 (1, 1) = 12,

∆ = AC − B2 = (12).(12) − (−4)2 > 0

⇒

(

A > 0

∆ > 0 ⇒ P2 là điểm cực tiểu, fCT = f(1, 1) = −1

3 P3(−1, −1), A = fxx00 (−1, −1) = 12, B = fxy00 (−1, −1) = −4, C = fyy00(−1, −1) = 12,

∆ = AC − B2 = (12).(12) − (−4)2 > 0

⇒

(

A > 0

∆ > 0 ⇒ P2 là điểm cực tiểu, fCT = f(−1, −1) = −1

Ví dụ 1.1.3 Tìm cực trị tự do của f (x, y) = x3+ 3xy2− 39x − 36y + 1

Giải

(

fx0 = 3x2+ 3y2− 39 = 0

fy0 = 6xy − 36 = 0

⇒ Có 4 điểm dừng P1(3, 2), P2(−3, −2), P3(2, 3), P4(−2, −3)

fxx00 = 6x, fxy00 = 6y, fyy00 = 6x

1 P1(3, 2), A = fxx00 (3, 2) = 18, B = fxy00 (3, 2) = 12, C = fyy00(3, 2) = 18,

∆ = AC − B2 = 182− 122> 0

⇒

(

A > 0

∆ > 0 ⇒ P1 là điểm cực tiểu, fCT = f (3, 2) = −125.

2 P2(−3, −2), A = fxx00 (−3, −2) = −18, B = fxy00(−3, −2) = −12, C = fyy00(−3, −2) = −18,

∆ = AC − B2 = (−18).(−18) − (−12)2 > 0

⇒

(

A < 0

∆ > 0 ⇒ P2 là điểm cực đại, fCĐ = f(−3, −2) = 127

3 P3(2, 3), A = fxx00 (2, 3) = 12, B = fxy00 (2, 3) = 18, C = fyy00(2, 3) = 12,

∆ = AC − B2 = 12.12 − 182< 0 ⇒ P3 không là điểm cực trị

Trang 8

4 P4(−2, −3), A = fxx00 (−2, −3) = −12, B = fxy00 (−2, −3) = −18, C = fyy00 (−2, −3) = −12,

∆ = AC − B2= (−12).(−12) − (−18)2 < 0 ⇒ P4 không là điểm cực trị

tìm thể tích lớn nhất của hình hộp này

Giải.Gọi x, y, z(x, y, z > 0) lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật

Hình 1.3: Hình hộp chữ nhật

Khi đó thể tích của hình hộp là V = xyz, và diện tích xung quanh và mặt đáy của hình hộp chữ nhật là

x + y

Vậy

V = xy.12 − xy

12xy − x2y2

x + y











2(12 − 2xy − x2)

2(12 − 2xy − y2)

⇔

(

12 − 2xy − x2= 0

⇒ Có 1 điểm dừng P1(2, 2)

Vxx00 = −2y

2(y2+ 12) (x + y)3 , Vxy00 = −2xy(x

2+ 3xy + y2− 12)

2(x2+ 12) (x + y)3 Bước 3 Khảo sát tại từng điểm dừng

P1(2, 2), A = fxx00 (2, 2) = −2, B = fxy00 (2, 2) = −1, C = fyy00(2, 2) = −2,

∆ = AC − B2= (−2).(−2) − (−1)2 > 0

⇒

(

A < 0

∆ > 0 ⇒ P1 là điểm cực đại, fCĐ = f(2, 2) = 4

Vậy thể tích lớn nhất là Vmax = 4 khi x = 2, y = 2, z = 2

Trang 9

1.2 Cực trị có điều kiện

1.2.1 Đặt vấn đề

Trong những bài toán ứng dụng, chúng ta thường gặp bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến khi

có thêm điều kiện ràng buộc nào đó đối với biến số

Ví dụ 1.2.1 Hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng hình chữ nhật đó có chu

vi là 2p

Hình 1.4: Hình chữ nhật

Gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật Bài toán của chúng ta là tìm giá trị lớn nhất của S(x, y) = xy với điều kiện 2(x + y) = 2p, x > 0, y > 0 Từ đây, ta có y = p − x và thay vào S ta được hàm một biến S(x) = x(p − x) với điều kiện 0 < x < p Hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất trong khoảng (0, p) khi x = p

2 Như vậy, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất với chu vi cho trước là hình vuông

Chú ý rằng, hàm hai biến S(x, y) = xy không có cực trị tự do, tuy nhiên lời giải cho bài toán vẫn có Điều này có nghĩa là đối với bài toán của chúng ta, giá trị của hàm S(x, y) tại những điểm không thỏa mãn phương trình x + y = p, không có ý nghĩa gì

1.2.2 Định nghĩa cực trị có điều kiện

Định nghĩa 1.2 Hàm hai biến f (x, y) đạt cực đại có điều kiện tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0, nếu như f (x, y) 6 f (x0, y0), với mọi (x, y) thỏa ϕ(x, y) = 0, nằm trong lân cận của (x0, y0) Giá trị f (x0, y0) được gọi làgiá trị cực đại có điều kiện Nếu như f (x, y) > f (x0, y0), với mọi (x, y) thỏa ϕ(x, y) = 0, nằm trong lân cận của (x0, y0) thì f đạt cực tiểu có điều kiện tại (x0, y0) và giá trị f (x0, y0) được gọi là giá trị cực tiểu có điều kiện Hàm f (x, y) lúc này được gọi là hàm mục tiêu, còn điều kiện ϕ(x, y) = 0 được gọi là điều kiện ràng buộc

1.2.3 Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị có điều kiện

Giả sử chúng ta cần tìm cực trị của hàm z = f (x, y) thỏa điều kiện ϕ(x, y) = 0 Điều này có nghĩa

là chúng ta tìm cực trị của hàm f khi điểm (x, y) nằm trên đường cong ϕ(x, y) = 0 Trên hình (1.5), cho chúng ta thấy một số đường đẳng trị f (x, y) = k Như vậy, để tìm cực đại (cực tiểu) của hàm

f (x, y) thỏa điều kiện ϕ(x, y) = 0 chúng ta tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của k sao cho đường đẳng trị f (x, y) = k cắt đường cong ϕ(x, y) = 0 Điều này xảy ra khi đường đẳng trị f (x, y) = k và đường cong ϕ(x, y) = 0 có cùng tiếp tuyến, vì nếu ngược lại giá trị k có thể tăng lên (hoặc giảm xuống) nữa Điều này có nghĩa là đường vuông góc với đường đẳng trị f (x, y) = k và đường cong ϕ(x, y) = 0

Trang 10

Hình 1.5: Cực trị của z = f (x, y) thỏa điều kiện ϕ(x, y) = 0

tại điểm cực trị (x0, y0) phải cùng phương với nhau Do đó, ∇f (x0, y0) = −λ.∇ϕ(x0, y0), λ ∈ R

⇒

(

fx0(x0, y0) + λ.ϕ0x(x0, y0) = 0

fy0(x0, y0) + λ.ϕ0y(x0, y0) = 0 Định lý 1.3 Nếu hàm số z = f (x, y) có cực trị có điều kiện tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0

và ∇ϕ(x0, y0) 6= 0 thì tồn tại số λ thỏa mãn hệ





fx0(x0, y0) + λϕ0x(x0, y0) = 0

fy0(x0, y0) + λϕ0y(x0, y0) = 0

ϕ(x0, y0) = 0

Chứng minh

Vì ∇ϕ(x0, y0) 6= 0 nên có ít nhất một trong hai đạo hàm riêng ϕ0x(x0, y0), ϕ0y(x0, y0) khác 0 Không mất tính tổng quát giả sử ϕ0y(x0, y0) 6= 0 (trường hợp ϕ0x(x0, y0) 6= 0 chứng minh tương tự)

Phương trình ϕ(x, y) = 0 xác định một hàm ẩn y = h(x) và

h0(x) = −ϕ

0 x

ϕ0 y

Nếu hàm số f (x, y) có cực trị có điều kiện tại (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0 thì hàm một biến g(x) = f (x, h(x)) đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó theo điều kiện cần để hàm một biến đạt cực trị thì

g0(x0) = 0

g0(x0) = fx0(x0, y0) + fy0(x0, y0).h0(x0) = fx0(x0, y0) − fy0(x0, y0).ϕ

0

x(x0, y0)

ϕ0

y(x0, y0) = 0

0

y(x0, y0)

ϕ0

y(x0, y0) Khi đó

fx0(x0, y0) + λ.ϕ0x(x0, y0) = 0

và từ λ = −f

0

y(x0, y0)

ϕ0y(x0, y0) ⇒ f

0

y(x0, y0) + λ.ϕ0y(x0, y0) = 0

Định lý đã được chứng minh

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	3,73 MB