SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kỹ thuật UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- SAYVISITH SYSANGVONE SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2019 MỤC LỤC UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN Sinh viên thực hiện Sayvisith Sysangvone MSSV: 2115020138 CHUYÊN NGÀNH: S PHẠM TOÁN KHÓA 2015 – 2019 Cán bộ hướng dẫn Th.S Võ Văn Minh Quảng Nam, tháng 5 năm 2019 MỤC LỤC PHẦN 1. MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1 1.1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 1.2. Mục tiêu của đề tài ........................................................................................... 1 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................... 1 1.4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 1 1.5. Cấu trúc đề tài .................................................................................................. 1 PHẦN 2. NỘI DUNG ............................................................................................... 2 CHƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 2 1.1 Miền nguyên ..................................................................................................... 2 1.2 Tính chất chia hết trong một miền nguyên ....................................................... 2 1.3 Vành đa thức ..................................................................................................... 3 1.3.1 Vành đa thức theo một biến ....................................................................... 3 1.3.2 Nhúng một vành vào vành đa thức theo một biến ..................................... 4 1.4 Ước, phần tử liên kết, phần tử bất khả quy. ..................................................... 7 1.4.1 Ước ............................................................................................................. 7 1.4.2 Phần tử liên kết ........................................................................................... 7 1.4.3 Phần tử bất khả quy .................................................................................... 8 1.5. Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất ........................................................ 8 1.5.1 Các định nghĩa ............................................................................................ 8 1.5.2 Các mệnh đề ............................................................................................... 9 1.6. Dạng nhân tử hóa duy nhất ............................................................................10 1.6.1 Điều kiện tồn tại dạng nhân tử hóa. .........................................................10 1.6.2 Điều kiện duy nhất của một dạng nhân tử hóa. ........................................11 CHƠNG 2. SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN................................... 12 2.1. Miền nguyên chính ........................................................................................12 2.1.1 Định nghĩa và ví dụ ..................................................................................12 2.1.2 Các mệnh đề .............................................................................................13 2.2. Miền Euclide ..................................................................................................14 2.2.1. Định nghĩa và ví dụ .................................................................................14 2.2.2. Các mệnh đề ............................................................................................15 2.2.3 Thuật toán Euclide tìm ƯCLN: ................................................................16 2.3. Miền nguyên Gauss .......................................................................................18 2.3.1 Định nghĩa: ...............................................................................................18 2.3.2. Các định lý ..............................................................................................18 2.4. Sự nhân tử hóa ...............................................................................................20 2.5. Đa thức trên miền nhân tử hóa. Đa thức bất khả quy trên miền nhân tử hóa .......22 2.5.1. Đa thức trên miền nhân tử hóa...................................................................22 2.5.2 Đa thức bất khả quy trên miền nhân tử hóa .............................................28 2.6 Bài tập áp dụng ...............................................................................................29 PHẦN 3. KẾT LUẬN ............................................................................................. 39 PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................... 40 1 Phần 1. MỞ ĐẦ U 1.1. Lý do chọn đề tài Toán học được tất cả mọi người sử dụng là công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học, và tài chính. Toán học ứng dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào những lĩnh vực khác, sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới. Số học là một ngành của Toán học lý thuyết, nghiên cứu về các tính chất của các tập số nói chung và của tập hợp số nguyên nói riêng. Số học giữ một vai trò quan trọng và có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác và trong đời sống hàng ngày. Số học luôn là đề tài nghiên cứu của nhiều nhà toán học, cũng như những người yêu thích môn học này. Ở bậc học phổ thông, chúng ta đã được học về Số học trong các tập hợp số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ,… nhưng chỉ ở mức độ đơn giản. Vì vậy, tôi đã chọn đề “Số học trong một miền nguyên”, v ới mục đích nghiên cứu các tính chất số học ở mức độ tổng quát hơn, trong một miền nguyên. 1.2. Mục tiêu của đề tài Đề tài nghiên cứu nhằm giúp người đọc hệ thống lại các kiến thức cơ bản và đi sâu vào nghiên cứu số học trong một miền nguyên 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: số học trong một miền nguyên. - Phạm vi nghiên cứu: miền chính, miền Euclide và miền nguyên Gauss. 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết - Phương pháp nghiên cứu tài liệu 1.5. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm có 2 chương - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị . - Chương 2: Số học trong một miền nguyên. 2 Phần 2. NỘI DUNG Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Miền nguyên Định nghĩa 1. VànhX được gọi là vành giao hoán nếu phép toán nhân trongX có tính chất giao hoán. Định nghĩa 2. VànhX được gọi là vành có đơn vị nếu phép toán nhân trongX có phần tử đơn vị (kí hiệu phần tử đơn vị là 1 hoặc e). Định nghĩa 3. Giả sửX là vành và  \ 0 .a X Phần tửa được gọi là ướ c của không nếu tồn tại  \ 0b X sao cho0ab  hoặc0ba  . Định nghĩa 4. Ta gọi miền nguyên là một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có đơn vị và không có ước của 0. Ví dụ: Vành các số nguyên là một miền nguyên. Định nghĩa 5. Giả sửX là một vành giao hoán. Ta nói phần tửa X là bộ i của một phần tửb X haya chia hết chob ký hiệua b , nếu có phần tửc X sao choa bc ; Ta còn nói rằngb là ước củaa hayb chia hếta , kí hiệub a . Phần tửb gọi là liên kết vớia trongX nếua b vàb a . Đặc biệt,1u có nghĩa làu có trongX một nghịch đảo1 u vàu gọi là khả nghịch trongX . 1.2 Tính chất chia hết trong một miền nguyên (i) Trong miền nguyênD , các phần tửa vàb liên kết khi và chỉ khi tồn tạ i một phần tửu khả nghịch sao chob au . (ii) Trong vành giao hoán có đơn vịX , quan hệ chia hết có tính chất phản xạ phản đối xứng và bắc cầu, do đó quan hệ chia hết là một quan hệ thứ tự Quan hệ chia hết trong một vành giao hoánX cũng có những tính chất sơ cấp tương tự như trong vành số nguyên , chẳng hạn: 0, , 0.a a A a   . , .a b a bc c A   .1 , 1;...; , n i j j j i a b i n a b x x A      . Một phần tửa tùy ý của miền nguyênD luôn có những ước là mọi phần tử khả nghịch và mọi phần tử đều liên kết với nó. 3 1.3 Vành đa thức 1.3.1 Vành đa thức theo một biến Cho một vànhB , một vành conA củaB và một phần tửa B , ta xem xét vành con củaB sinh bởi bộ phận  A u . Để bài toán được đơn giản ta giả thiết vànhB , vành conA và phần tửu thỏa mãn các điều kiện sau đây: i) VànhB có phần tử đơn vị1B . ii)1B A iii)au ua với mọia A Vành con củaB sinh bởi  A u sẽ được ký hiệu là  A u . Dạng của mỗi phần tử thuộc vành con biểu thị theo các phần tử của bộ phận sinh, cho thấy cần phải xét các phần tử củaB có dạng0 1 1 ... , n n i n i i i a a u a u a u a A       (1) Định nghĩa 6. Một phần tử của vànhB có dạng (1) được gọi là một đa thức theo biếnu và có hệ tử thuộc vành conA . Định nghĩa 7. Trong vành đa thức  A u . 1)u gọi là đại số đối với vànhA nếu trong  A u có một đa thức0 0 n i i Bi a u  với các hệ tửia không bằng0B tất cả. 2)u gọi là siêu việt đối với vànhA , nếuu không là đại số đối vớiA . Tức là nếu với mọi đa thức  0 n i ii a u A u  ,0 0 n i i Bi a u  kéo theo0i Ba  với mọi.i Mệnh đề 1. Vành con  A u của vànhB là tập hợp tất cả các đa thức theo biếnu có hệ tử thuộc vành conA . Chứng minh: Đặt( , )P A u là tập hợp các phần tử củaB có dạng một đa thức như (1). Ta cần chứng minh  (A, )P u A u . Hiển nhiên  ( , )P A u A u . Để có đẳng thức ta cần chứng tỏ( , )P A u là một vành con củaB chứaA vàu . Để thấy( , )A P A u và( , )u P A u . Lấy hai phần tử bất kì của( , )P A u : '''' 0 0 , n m i i i i i i f a u g a u      Không mất tính tổng quát của lập luận, ta có thể giả thiếtm n (xem'''' '''' 1 ... 0m n Ba a    ), tổng của chúng có thể viết  '''' 0 n i i i i f g a a u     4 Do đó( , )f g P A u  . Còn tích của chúng có thể viết0 n m i i i fg p u     trong đó với mỗii ,'''' '''' '''' '''' 0 1 1 1 1 0...i i i i i j k j k i p a a a a a a a a a a A           Cho nên( , )fg P A u . Ngoài ra, với mỗi phần tử  0 , n i ii f a u P A u   có phần tử  0 n i ii f a u    sao cho  0Bf f   . Vậy  ,P A u là một vành con củaB chứa  A u do đó chứa vành con  A u . Nếu  B A u với một vành conA củaB và một phần tửu B , ta nóiB là một vành đa thức theo biếnu và có hệ tử thuộc vànhA . Mệnh đề 2. Nếu biếnu siêu việt đối với vànhA thì dãy các hệ tử0 1, ,..., na a a của mỗi đa thức  0 n i ii a u A u  có tính duy nhất. Chứng minh: Thật vậy, giả sử  f A u có thể viết '''' 0 0 n n i i i i i i f a u a u      Ta suy ra  '''' 0 0 n i i i a a    và vìu siêu việt đối vớiA , ta có'''' 0i ia a  tức là'''' i ia a với mọi0,1,...,i n . Điều này chứng tỏ dãy các hệ tử0 1, ,..., na a a có tính chất duy nhất. 1.3.2 Nhúng một vành vào vành đa thức theo một biến Cho một vànhA với phần tử đơn vị1A . Ta tìm cách nhúngA vào một vành  A x các đa thức có hệ tử thuộcA và theo một biếnx siêu việt đối vớiA . Khi đó mỗi đa thức của vành  A x được xác định bởi dãy các hệ tử duy nhất của nó, tức là một dãy vô hạn0 1( , ,..., ,0 ,...)n Aa a a phần tử củaA , hầu hết bằng0A ngoại trừ một số hữu hạn. Vì thế để xây dựng  ,A x ta xét tập hợp( ) B A các ánh xạ:f A từ tập các số tự nhiên0,1,2,... vào vànhA có giá trị( ) if i a hầu hết bằng0 ,A ngoại trừ một số hữu hạni  . Trên tập hợp( ) B A ta sẽ định nghĩa các phép toán cộng và nhân như sau, với.f g B ta có phần tửf g B  định bởi      f g i f i g i   với mọii  (1) 5 Có thể kiểm chứngB cùng phép cộng  ,f g f g là một nhóm aben. Phần tử0B của nhóm cộng này là ánh xạ0 :A A   định bởi  0 0A Ai   với mọii  . Còn mỗif B có phần tử đối ánh xạ  :f A  cho bởi     f i f i   với mọii  . Với,f g B ta lại có phần tửfg B cho bởi       j k i fg i f j g k     , với mọii  (2) Tổng ở vế sau được lấy với mọi cặp,j k  sao choj k i  Phép nhân  ,f g fg trênB có tính kết hợp. Thật vậy, với bất kì, ,f g h B và với mọi , một mặt ta có          j m i k l m f gh i f j g k h l                           j k l i f j g k h l      Mặt khác          m l i j k m f gh i f j g k h l                          ( )j k l i f i g k h l      cho nên        f gh i fg h i        Vậy    f gh fg h Từ định nghĩa phép toán, cũng có thể kiểm chứng phép nhân trênB phân phối đối với với phép cộng trênB . VậyB cũng với phép cộng  ,f g f g và phép nhân  ,f g fg lập thành một vành. VànhB là vành có phần tử đơn vị, đó là ánh xạ11 :AB A    định bởi :  1 0 1A A   và 1 0A Ai   với mọi0i  (3) Một cách tổng quát, với mỗi phần tửa A ta có phần tửa B   đó là ánh xạ:a A   định bởi  0a a   và  0a Ai   với mọi0i  (4) Vì với bất kì, ''''a a A , ta có''''a a nếu và chỉ nếu''''a a    6 cho nên sự tương ứngaa  là một đơn ánh xạ:Aj A B . Hơn nữa, từ phép cộng và phép nhân trênB , với mọi, ''''a a A      '''' '''''''' ''''A a a a a A Aj a a j a j a               '''' '''''''' ''''A aa a a A Aj aa j a j a       . ngoài ra  11 1AA A Bj    , nênaa   là một đơn cấu vành:Aj A B chuyển đơn vị thành đơn vị. VậyA đẳng cấu với vành con  Im A aj B a A     củaB . Đồng nhấtA với vành conIm Aj củaB , tức là đồng nhất mỗia A vớia B   (khi đó0A được đồng nhất với11 AB   ) cho ta nhúngA vào vànhB . Nói một cách khác vànhB chứaA như một vành con đơn vị củaA cũng là đơn vị củaB . Bây giờ ta để ý đến phần tửx B đó là ánh xạ:x A định nghĩa bởi  1 1Ax  và  0Ax i  với mọi1i  (5) Vìa đồng nhất vớia  và theo phép nhân trênB , ta có      1 1aax x a    và      0a Aax i x i    với mọi1i  và      1 1axa x a    và      0a Axa i x i    với mọi1i  , cho nênax xa với mọia A . Do đó, ta có vành con  A x củaB gồm các đa thức theo biếnx có các hệ tử thuộc vành conA củaB . Ngoài ra, để ý với mọi số nguyên0q  , lũy thừa bậcq củax B là ánh xạ:q x A định bởi( ) 1 q Ax q  và  0 q Ax i  với mọii q và với mọia A , ta có phần tửq q ax x a B  , đó là ánh xạA định bởi    q ax q a và    0 q Aax i  với mọii q Do đó, với mọi phần tửf B , vì  00 ,..., n nf a f a  và  0Af i  với mọiia A (hai vế là ánh xạA có giá trị tại mọii  bằng nhau), điều này chứng tỏ  B A x . Hơn nữa, biếnx siêu việt đối vớiA , thật vậy với mọi đa thức  0 1 ... n nf a a x a x B A x      vì  if i a với mỗi0,1,...,ni  cho nên0 1 ... 0 n n Bf a a x a x     kéo theo0 1 ... 0n Aa a a    . 7 Định lí. Mọi vành đa thức có phần tử đơn vị đều nhúng được vào một vành  A x các đa thức có hệ tử thuộcA theo một biếnx siêu việt đối vớiA . Sau này, đơn cấu vành  :Aj A A x định bởi  Aj a a với mọia A sẽ được gọi là đồng cấu bao hàm. 1.4 ớc, phần tử liên kết, phần tử bất khả quy. Giả sử D là miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là 1. Các ước của đơn vị được gọi là các phần tử khả nghịch, chúng lập thành một nhóm nhân U mà 1 là phần tử đơn vị. 1.4.1 ớc Giả sử a, b  D, b  0. Ta nói b là ước của a nếu c D: bc = a. Kí hiệu b \ a. Nếu b \ a ta cũng nói a là bội của b, a b hay b chia hết a. Bổ đề. (i) a \ a . (ii) Nếu c \ b và b\ a thì c \ a . (iii) Nếu u khả nghịch thì u \ a, a  A . (iv) Nếu b \ u và u khả nghịch thì b khả nghịch. 1.4.2 Phần tử liên kết Quan hệ S xác định: xSx’ x’ = ux với u khả nghịch, là một quan hệ tương đương. Khi đó x và x’ được gọi là liên kết. Ví dụ: (1) Hai phần tử của nhóm nhân U là liên kết. (2) Trong vành , hai số nguyên a và –a là liên kết. (3) Trong vành đa thức Kx, với K là trường, f(x) và a.f(x), 0  a K là liên kết. Bổ đề. x và x’ là liên kết x \ x’ và x’ \ x. Thật vậy, giả sử x và x’ liên kết u  A khả nghịch: x’ = ux. Lại có u khả nghịch nên v  D : uv = 1. Kết hợp với x’ = ux ta có x’v = uxv = (uv)x = x x’ \ x. Ngược lại, giả sử x \ x’ và x’ \ x. u,v  D : x = ux’ và x = vx x = uvx x(1 – uv) = 0 uv – 1 = 0 (do x  0 và D là miền nguyên) uv = 1 v khả nghịch. Ngoài ra có x’ = vx. Vậy x và x’ liên kết. Bây giờ, lấy a  D (vành D giao hoán), khi đó tập hợp: aD = Da : = {xa x  D }  D. iđêan này sinh ra bởi a, người ta gọi nó là iđêan chính, kí hiệu < a > 8 Bổ đề. b \ a < a >  < b >. Thật vậy, vì b \ a nên c  D: a = bc  < b > < a >  < b >. Ngược lại, giả sử < a >  < b > a  < b > c  A: a = bc. □ Hệ quả. x và x’ là liên kết khi và chỉ khi < x > = . Đặc biệt u là khả nghịch < u > = D. Định nghĩa: Các phần tử liên kết với x và các phần tử khả nghịch được gọi là các ước không thực sự của x. Còn các ước khác của x được gọi là các ước thực sự của x. Ví dụ: 2 và 3 là các ước thực sự của 6, còn 1 và 6 là các ước không thực sự của 6. 1.4.3 Phần tử bất khả quy Định nghĩa: Giả sử 0  x  D, x không khả nghịch. x được gọi là phần tử bất khả quy nếu x không có ước thực sự. Ví dụ. (1) Các số nguyên tố và các số đối của chúng là những phần tử bất khả qui trong vành các số nguyên. (2) Đa thức x2 + 1 là đa thức bất khả qui trong vành x. Nhưng trong vành x thì đa thức x2 + 1 không phải là đa thức bất khả qui vì nó có ước thực sự là (x + i) và (x – i) vì x2 + 1 = (x + i)(x – i). 1.5. ớc chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất 1.5.1 Các định nghĩa Trong miền nguyênD cho hai phần tửa vàb , một phần tửc D vừa là ước củaa vừa là ước củab , được gọi là một ước chung củaa vàb . Ta cóc a vàc b a cD  vàb cD aD bD cD    . Trong miền miền nguyênD , ước chung lớn nhất củaa vàb là một ước chungd củaa vàb sao cho mọi ước chung củaa vàb đều là ước củad . Nói cách khác ước chung lớn nhất củaa vàb là một phần tửd thỏa mãn các điều kiện: i)d a vàd b , ii)c a và c b c d với mọic . Ta có thể định nghĩa ước chung lớn nhất bằng ngôn ngữ iđêan: Ước chung lớn nhất của,a b D là một phần tửd D sao chodD là iđêan chính bé nhất trong các iđêan chính chứa iđêanaD bD . 9 Theo định nghĩa trên, nếud là ước chung lớn nhất củaa vàb , thì mọi''''d mà'''' , ''''d d d cũng là ước chung lớn nhất củaa vàb . Như thế, ta có thể nói rằng: Ước chung lớn nhất củaa vàb , nếu tồn tại thì được xác định duy nhất với sai khác một phần tử khả nghịch trongD . Ước chung lớn nhất củaa vàb thường được kí hiệu là  ,a b và lưu ý rằng  ,a b chỉ là phần tử đại diện của một lớp tương đươngmod. và không phụ thuộc vào thứ tự của các phần tửa và.b    , ,a b b a . Một vài trường hợp ước chung lớn nhất của hai phần tử đặc biệt có thể suy ra từ định nghĩa: 1) Nếub a thì  ,a b b ; do đó với mọia ,  ,0Da a và  ,1 1D Da 2) Nếu''''a a và''''b b thì    '''', '''' ,a b a b ; chẳng hạn với mọia D và mọiu U (u khả nghịch),  , 1Da u . 3)  , 0Da b khi và chỉ khi0Da b  . Nếu  , 1Da b , (ước chung lớn nhất củaa vàb là một phần tử khả nghịch), người ta nói rằnga vàb nguyên tố cùng nhau. 1.5.2 Các mệnh đề Với bất kì, ,ca b D , i)        , , , ,a b c a b c , ii)    , ,c a b ca cb , iii)  , 1Da b và  , 1Da c kéo theo  , 1Da bc . Chứng minh: Gọid là    , ,a b c và''''d là    , ,a b c ; vìdD và''''d D đều là iđêan chính bé nhất chứa, ,a b c củaD nên ta có''''dD d D tức là''''d d . Vậy ta có i). Nếu0Dc  hay  , 0Da b thì ii) là hiển nhiên. Bây giờ giả sử0Dc  ,0Da  và0Db  ; từ  ,aD bD a b D  ta có  ,caD cbD c a b D  ; do đó    , ,ca cb D c a b D , và suy ra   , ,ca cb c a b u với mộtu D () 10 Hơn nữa,    , ,ca ca cb D c a b uD  và giả thiết0Dc  suy ra  ,a a b uD . Lập luận tương tự ta cũng có  ,b a b uD ; từ đó suy ra    , ,a b D a b uD , điều này và giả thiết  , 0Da b  cho suy raD uD , tức là1Du . Kết quả này và () cho ta    , ,ca cb c a b . Vậy, ta có ii) trong trường hợp này. Bây giờ ta chứng minh iii). Từ giả thiết  , 1Da b , Theo mệnh đề:a b khi và chỉ khi nếu a và b sai khác nhau một phần tử khả nghịch của D, với mọia D , lớp tương đươngmod. của a là bộ phận  aU au u U  của D. Khi đó, ta suy ra  ,c a b c theo ii)  ,ca cb c Kết quả này cho ta viết          , , , , ,a c a ca cb a ca cb (theo i)); nhưng    , 1 ,Da ca a c a cho nên    , ,a c a cb ; sau cùng giả thiết  , 1Da c cho kết luận  , 1Da bc . Tính chất mệnh đề i) thường gọi là tính kết hợp của phép toán lấy ước chung lớn nhất. Vì        , , , ,a b c a b c , cả hai vế thường được viết( , , )a b c , và gọi là ước chung lớn nhất của ba phần tử, ,a b c . Một cách tổng quát: tính kết hợp cho định nghĩa ước chung lớn nhất  1 2, ,..., na a a của một số hữu hạn2n  phần tử1 2, ,..., na a a phần tử của miền nguyênD . Hệ quả sau đây cũng là một tính chất của ước chung lớn nhất hay được áp dụng. Hệ quả. Nếu'''' a da và'''' b db với d là  ,a b thì  '''', '''' 1Da b . 1.6. Dạng nhân tử hóa duy nhất 1.6.1 Điều kiện tồn tại dạng nhân tử hóa. Định nghĩa. Một dây chuyền tăng iđêan chính của D là một dãy  i i a D  những iđêan chínhia D không tầm thường (tức là0 ,i D ia D a D D  ) của D sao cho1 , .i ia D a D i   Nói rõ hơn, đó là một dãy iđêan chính1 2, ,...,a D a D sao cho:0 1 10 ... ...D i ia D a D a D a D D       Như thế, tương ứng với một dây chuyền tăng iđêan chính  i i a D  trong D , là một dãy những phần tử , 0i ia D U a   và không khả nghịch sao cho1 , 0, 1, 2,...i ia a i   11 Định nghĩa. Một dây chuyền tăng iđêan chính của D là một dãy  i i a D  của D được gọi là dừng (ở n) nếu cón  sao cho kể từ n, các iđêan chính trở thành bằng nhau:1 ...n na D a D  Định nghĩa. Một miền nguyên D gọi là miền nguyên thoả điều kiện dây chuyền tăng iđêan chính nếu mọi dây chuyền tăng iđêan chính của D đều dừng. Bổ đề. Miền nguyên D thoả điều kiện dây chuyền tăng iđêan chính thì mọi phần tử khả quy của D có một ước thích đáng bất khả quy. Định lý. Nếu miền nguyên D thoả điều kiện dây chuyền tăng iđêan chính thì mọi phần tử khác 0D và không khả nghịch trong D có một dạng nhân tử hóa thành những phần tử bất khả quy. 1.6.2 Điều kiện duy nhất của một dạng nhân tử hóa. Định nghĩa. Một phần tử bất khả quyp D được gọi là nguyên tố nếu iđêan chính pD là một iđêan nguyên tố của D. Mệnh đề Nếu miền nguyên D sao cho hai phần tử bất kỳ của nó đều có một ước chung lớn nhất thì mọi phần tử bất khả quy của D đều là nguyên tố. Định lý. Nếu miền nguyên D trong đó mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố thì dạng nhân tử hóa thành những phần tử bất khả quy của mỗi phần tử a D U có tính duy nhất. Từ mệnh đề và định lý trên ta có hệ quả Nếu miền nguyên D trong đó hai phần tử bất kỳ nào cũng có một ước chung lớn nhất thì dạng nhân tử hóa của mỗi phần tử a D U có tính duy nhất. 12 Chƣơng 2. SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN 2.1. Miền nguyên chính 2.1.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa. Miền nguyên chính là một miền nguyên có phần tử đơn vị và mọi iđêan của nó đều là iđêan chính. Vậy, nếu D là một miền nguyên chính thì mọi iđêan I của nó đều có dạng  I aD a  vớia D . Ví dụ. 1) Vành số nguyên là vành đa thức một ẩn lấy hệ tử trên một trường là những miền chính. Thật vậy, giả sử I  . Nếu I = {0} thì I là ideal chính, sinh bởi phần tử 0  . Nếu I  {0}. Giả sử a là số nguyên dương bé nhất của I, b  I (ta có thể giả sử b  0, vì nếu b < 0 thì –b > 0 và –b  I, nên lấy –b > 0). Bây giờ lấy b chia cho a ta được: b = aq + r với 0  r < a. r = b – aq  I (do b, a  I  ). Nếu r > 0 thì r là số nguyên dương bé hơn a và r  I (mâu thuẫn với thiết về số nguyên a), vậy r = 0 b = aq I = a = < a >. □ 2) Mỗi trường là một miền chính bởi vì nó chỉ có hai iđêan là    0 0 và chính trường đó với cơ sở 1. 3) Vành  i gồm các số phức, ,a bi a b  là một miền chính. Mỗi iđêan I khác0 chứa những phần tử0a bi  , nghĩa là nhứn phần tử mà chuẩn của nó  2 2 N a bi a b   nguyên dương. Chọn trong I một phần tử0x a bi   có chuẩn  N x nguyên dương nhỏ nhất. Khi đó với mọiy I ta có:1 , ,yx p iq p q    . Đặt, 1p m n v     , với,m n và1 1 , , , 2 2 v v      . Khi đó ta có:  1 , ,yx z r z m ni i r vi          . Như vậyy xz xr  vàxr y xz I   . 13 Ta có              2 2 1 2 N xr N x N r N x v N x N x       . Do cách chọnx , ta suy raxr  0 và do đó  y xz x  . Vìy là tùy ý thuộc I nên điều này kéo theo I x là iđêan chính với cơ sởx . Vành  i gọi là vành các số nguyên Gauss. 2.1.2 Các mệnh đề Mệnh đề 2.1. Trong miền nguyênD . i)    \a b b a  (ii)    a b a  vàb liên kết. Chứng minh. (i)    a b có nghĩa là  .1a a a  và do đó  a b . Vậy tồn tạic d đểa bc hay\b a . Đảo lại nếu\b a thìa bc với mộtc D như vậy  a b . Suy ra    a b . (ii) Theo (i),    a b khi và chỉ khi\a b và\b a hay tương đươnga vàb liên kết. Chú ý rằng một ước thật sựb củaa xác định một iđêan chính  b lớn hơn  a . Mặt khác hai phần tử liên kết trong một miền nguyên sai khác nhau một ước của của đơn vị do đó ta có,    a b khi và chỉ khia bu với\1u . Đặc biệt    1a  khi và chỉ khia khả nghịch trongD . Mệnh đề 2.2. Trong một miền chínhD mọi dãy tăng1 2 ... ...kC C C    những iđêan là dừng, nghĩa là tồn tại một chỉ sốm sao cho1 ...m mC C   . Chứng minh: Đặt1 k k I C    , ta cóI là một iđêan củaD . Thật vậy, với mọix D , mọi,a b I , tồn tại,k l sao cho,k la C b C  . Có thể giả thiết1k  , do đók lC C và, la b C . VìlC là iđêan nêna b và xalC và do đó cũng thuộcI . Như vậy I là một iđêan của miền chínhD . Giả sử I sinh bởi phần tửc khi đó có mộtm sao chomc C . Vậy1m mI C C   14 Vành thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng dừng trên các iđêan gọi là một vành Noether. Điều đảo lại không đúng, tồn tại một vành Noether không phải là một vành chính, chẳng hạnX không phải là miền chính. Vì iđêan I gồm các đa thức với hệ tử tự do chẵn không phải là một iđêan chính. Thật vậy. mỗi đa thức như thế có thể viết dưới dạng2Xf g , với  , .f g X Do đóI sinh bởi cơ sở, 2X . Nếu  I h thì\h X và\ 2h do đó1h   nhưng1 ,I  mâu thuẫn. 2.2. Miền Euclide 2.2.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa. Miền Euclide là một miền nguyênD cùng với ánh xạ : D   từ tập hợp các phần tử khác không trongD đến tâp hợp số tự nhiên , thỏa mãn hai điều kiện sau: (i). Nếu\a b và0b  thì    a b    . (ii).,a b D  , tồn tại,q r D sao choa bq r  , trong đó0r  hoặc nếu0r  thì    r b    . Ánh xạ gọi là ánh xạ Euclide. Với điều kiện (ii) ta nói rằng trongD có phép chia Euclidea chob , trong đóq gọi là thương vàr gọi là dư của phép chia này. Ví dụ. (1) Miền nguyên cùng với ánh xạ : :  nn là một miền Euclide. (2) Vành đa thức Kx với K là trường, cùng ánh xạ:  : Kx  0  f(x) deg f(x) là một miền Euclide. (3) Vành các số nguyên Gauss i = {a + bi a,b  } cùng với ánh xạ  : i  0  zz 2 = a2 + b2 (bình phương môđun của z) là miền Euclide. Thật vậy, giả sử a, b  i, b  0. Khi đó: - Giả sử b \ a, a  0 a b = s+ it với s, t  (vì a b) 15 s2 + t2 > 0 (do a  0 và s, t  )2 b a = s2 + t2 > 0 hay 2 2 2 2 b a b a (b) (a)            = s2 + t2 > 0 (b)   (a). - Giả sử a ,b  i, b  0 suy ra b a = u + iv ; u, v  (vì giả sử a = m + in; b = p + iq) Suy ra b a =2 2 m in (m in)(p iq) p iq p q       =2 2 2 2 mp nq np - mq p q p q i     = u + iv với u, v  ). Vì u, v  nên x, y  : 2 1 ux  và 2 1 vy  . Ta đặt:  = x + iy và  = a – b a = b +  (1) và2 b a         =2 iy)(xiv)(u  =2 y)i(vx)(u  = (u – x)2 + (v – y)2 (qui luật của ) 2 2 1 +2 2 1 < 1. () () =  2 ba   =2 b b a         =2 b a         .2 b ; J = < b, r > Vì a = bq + r a  J = < b, r > a, b  J I  J. Vì r = a – bq nên r  I = < a, b > r, b  I J  I. Vậy I = J. Lại có D là miền chính nên d  I: I = < d > từ đó suy ra d là ước chung lớn nhất của a và b. Nhưng I = J nên d cũng là ước chung lớn nhất của b và r. 2.2.3 Thuật toán Euclide tìm CLN: Giả sử D là vành Euclide và a, b  D Euclide đã đưa ra thuật toán tìm ước chung lớn nhất của a và b như sau: (1) Trường hợp a = 0 (hoặc b = 0) thì rõ ràng ƯCLN(a,b) = b; (= a) (2) Giả sử a, b  0. Thực hiện phép chia a cho b ta được: a = bqo + ro ; (ro) < (b) nếu ro  0. Nếu ro  0 ta lấy b chia cho ro: b = roq1 + r1 ; (r1) < (ro) nếu r1  0. Nếu r1  0 ta lấy ro chia cho r1: ro = r1q2 + r2 ; (r2) < (r1) nếu r2  0. Quá trình này phải dừng sau hữu hạn bước vì dãy các số tự nhiên (b) > (ro) > (r1) > (r2) > … k hông thể giảm đến vô hạn, tức là sau một số lần chia, ta phải đi tới một phép chia mà dư bằng 0: rk–1 = rk.qk+1 + 0. Áp dụng bổ đề trên ta có: rk = ƯCLN(0, rk) = ƯCLN(rk, rk–1) = … = ƯCLN(r2, r1) = ƯCLN(r1, ro) = ƯCLN(ro, b) = ƯCLN(b, a). Ví dụ: 1) Tìm ước chung lớn nhất của: f(x) = x6 – 2x5 + x4 – x2 + 2x – 1, g(x) = x5 – 3x3 + x2 + 2x – 1. Trước khi thực hiện các phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(f, g) ta có nhận xét rằng ƯCLN(a, b) = ƯCLN(a’, b) với a’ liên kết của a. 17 Lấy f(x) chia cho g(x) ta được : f(x) = g(x).(x – 2) + (4x4 – 7x3 – x2 + 7x – 3) Lấy 4g(x) chia cho (4x4 – 7x3 – x2 + 7x – 3) ta được: 4.g(x) = (4x4 – 7x3 – x2 + 7x – 3).x + (7x4 – 11x3 – 3x2 + 11x – 4) Lấy 7.(4x4 – 7x3 – x2 + 7x – 3) chia cho (7x4 – 11x3 – 3x2 + 11x – 4) ta được (7x4 – 11x3 – 3x2 + 11x – 4).7 + (5x3 – 5x2 – 5x + 5) Lấy (7x4 – 11x3 – 3x2 + 11x – 4) chia cho 5 1 (5x3 – 5x2 – 5x + 5) ta được: (7x4 – 11x3 – 3x2 + 11x – 4) = (x3 – x2 – x + 1).(4x – 3) + 0. Vậy ƯCLN(f(x),g(x)) = x3 – x2 – x + 1. □ 2) Trong vành số nguyên Gauss  i ta hãy tìm ước chung lớn nhất của4 5 , 3 2a i b i    . Thuật toán Euclide được cho trong bảng sau: 1 1i1 2i 4 5i3 2i1 3i2 ii1 3i2 ii 0 Vậyi là một ước chung lớn nhất củaa vàb . Nhưng doi và1 liên kết nên  , 1a b  . Mệnh đề 2.5 Trong miền nguyên Euclide  ,D  , với, ,a b D a b nếu và chỉ nếu    a b    vàb a . Chứng minh. Nếua b , ta có''''a ba và''''b ab trong đó'''', '''' a b D suy ra      ''''a ab b      và      ''''b ba a      cho nên    a b    . Đảo lại giả sử''''a ba và    a b    , khi đó tồn tại,q r D sao chob aq r  với0Dr  hayr D và    r a    nhưng vì ta có thể viết  '''' 1 ''''Dr b aq b ba q b a q      cho nên nếur D thì ta cũng có        1 ''''Da b b a q r           trái với    r a    . Vậy ta phải có0Dr  ,b aq và như thếa b . Hệ quả: Trong miền nguyên Euclid  , , D u D   là khả nghịch nếu và chỉ nếu    1Du    . 18 Thật vậy, vì1 D u với mọiu D nên theo mệnh đề 2.5, với bất kìu D ,1Du nếu và chỉ nếu    1Du    . 2.3. Miền nguyên Gauss 2.3.1 Định nghĩa Miền nguyên Gauss là một miền nguyên với phần tử đơn vị, trong đó mọi phần tử khác 0 và không khả nghịch đều có một dạng nhân tử hóa duy nhất thành những phần tử bất khả quy. Miền nguyên Gauss còn gọi là miền nguyên với dạng nhân tử hóa duy nhất. Nếu một miền nguyên D với đơn vị trong đó mọi dây chuyền tăng iđêan chính đều dừng và mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố hoặc hai phần tử bất kì đều có một ước chung lớn nhất thì D là một miền nguyên Gauss. Đảo lại, có thể chứng minh mọi miền nguyên Gauss có các tính chất đặc trưng này. 2.3.2. Các định lý Định lí 2.6: Mọi miền chính đều là miền Gauss. Chứng minh . ChoD là một miền chính. Trước hết ta chứng minhD là miền nguyên với điều kiện dây chuyền tăng iđêan chính. Lấy một dây chuyền tăng iđêan chính của:D0 1 2 ...a D a D a D   Ta đặt  i i B a D   Ta cóB là một iđêan củaD . Thật vậy, vì0D ia D với mộti nên0D B ; hơn nữa, với bất kì,x y B , ta cóix a D vàjy a D vớii j chẳng hạn, nên, ix y a D vàix y a D...

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Miền nguyên

Vành X là vành giao hoán nếu phép nhân trong X có tính chất giao hoán, nghĩa là với mọi a, b thuộc X thì a * b = b * a.* Vành X là vành có đơn vị nếu phép nhân trong X có phần tử đơn vị, nghĩa là tồn tại phần tử e trong X sao cho với mọi a thuộc X thì e * a = a * e = a.

X có phần tử đơn vị (kí hiệu phần tử đơn vị là 1 hoặc e) Định nghĩa 3 Giả sử X là vành và a  X \ 0   Phần tử a được gọi là ước của không nếu tồn tại b  X \ 0   sao cho ab  0 hoặc ba  0 Định nghĩa 4 Ta gọi miền nguyên là một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có đơn vị và không có ước của 0

Ví dụ: Vành các số nguyên là một miền nguyên Định nghĩa 5 Giả sử X là một vành giao hoán Ta nói phần tử a  X là bội của một phần tử bX hay a chia hết cho b ký hiệu a b, nếu có phần tử c  X sao cho abc; Ta còn nói rằng b là ước của a hay b chia hết a , kí hiệu b a| Phần tử b gọi là liên kết với a trong X nếu a b| và b a| Đặc biệt, u|1 có nghĩa là u có trong X một nghịch đảo u  1 và u gọi là khả nghịch trong X

Tính chất chia hết trong một miền nguyên

(i) Trong miền nguyên D, các phần tử a và b liên kết khi và chỉ khi tồn tại một phần tử u khả nghịch sao cho bau

(ii) Trong vành giao hoán có đơn vị X , quan hệ chia hết có tính chất phản xạ phản đối xứng và bắc cầu, do đó quan hệ chia hết là một quan hệ thứ tự

Quan hệ chia hết trong một vành giao hoán X cũng có những tính chất sơ cấp tương tự như trong vành số nguyên , chẳng hạn:

Một phần tử a tùy ý của miền nguyên D luôn có những ước là mọi phần tử khả nghịch và mọi phần tử đều liên kết với nó.

Vành đa thức

1.3.1 Vành đa thức theo một biến

Cho một vành B, một vành con A của B và một phần tử a  B , ta xem xét vành con của B sinh bởi bộ phận A    u Để bài toán được đơn giản ta giả thiết vành B, vành con A và phần tử u thỏa mãn các điều kiện sau đây: i) Vành B có phần tử đơn vị 1 B ii) 1 B A iii) au  ua với mọi a  A

Vành con của B sinh bởi A    u sẽ được ký hiệu là A u  

Dạng của mỗi phần tử thuộc vành con biểu thị theo các phần tử của bộ phận sinh, cho thấy cần phải xét các phần tử của B có dạng

     (1) Định nghĩa 6 Một phần tử của vành B có dạng (1) được gọi là một đa thức theo biến u và có hệ tử thuộc vành con A Định nghĩa 7 Trong vành đa thức A u  

1) u gọi là đại số đối với vành A nếu trong A u   có một đa thức

 với các hệ tử a i không bằng 0 B tất cả

2) u gọi là siêu việt đối với vành A , nếu u không là đại số đối với A Tức là nếu với mọi đa thức  n i  0 a u i i A u   , n 0 i i 0 B i  a u 

Mệnh đề 1 Vành con A u   của vành B là tập hợp tất cả các đa thức theo biến u có hệ tử thuộc vành con A

Chứng minh: Đặt P A u( , ) là tập hợp các phần tử của B có dạng một đa thức như (1) Ta cần chứng minh P (A, ) u  A u   Hiển nhiên P A u ( , )  A u   Để có đẳng thức ta cần chứng tỏ P A u( , ) là một vành con của B chứa A và u Để thấy

AP A u và uP A u( , ) Lấy hai phần tử bất kì của P A u( , ):

Không mất tính tổng quát của lập luận, ta có thể giả thiết mn (xem

1 0 m n B a   a  ), tổng của chúng có thể viết

Do đó f  g P A u( , ) Còn tích của chúng có thể viết

Cho nên fgP A u( , ) Ngoài ra, với mỗi phần tử f  i n  0 a u i i P A u  ,  có phần tử  f  n i  0  a u i i sao cho f    f 0 B Vậy P A u  ,  là một vành con của B chứa A    u do đó chứa vành con A u  

Nếu B  A u   với một vành con A của B và một phần tử u  B , ta nói B là một vành đa thức theo biến u và có hệ tử thuộc vành A

Mệnh đề 2 Nếu biến u siêu việt đối với vành A thì dãy các hệ tử

0, , ,1 n a a a của mỗi đa thức  i n  0 a u i i A u   có tính duy nhất

Chứng minh: Thật vậy, giả sử f  A u   có thể viết

 và vì u siêu việt đối với A, ta có a i  a i ' 0 tức là a i a i ' với mọi i0,1, ,n Điều này chứng tỏ dãy các hệ tử a a 0 , , , 1 a n có tính chất duy nhất

1.3.2 Nhúng một vành vào vành đa thức theo một biến

Cho một vành A với phần tử đơn vị 1 A Ta tìm cách nhúng A vào một vành

A x các đa thức có hệ tử thuộc A và theo một biến x siêu việt đối với A Khi đó mỗi đa thức của vành A x   được xác định bởi dãy các hệ tử duy nhất của nó, tức là một dãy vô hạn ( , , ,a a 0 1 a n ,0 , ) A phần tử của A, hầu hết bằng 0 A ngoại trừ một số hữu hạn Vì thế để xây dựng A x   , ta xét tập hợp BA ( ) các ánh xạ f :  A từ tập các số tự nhiên 0,1,2, vào vành A có giá trị f i( )a i hầu hết bằng 0 , A ngoại trừ một số hữu hạn i 

Trên tập hợp B A ( ) ta sẽ định nghĩa các phép toán cộng và nhân như sau, với f g B ta có phần tử f  g B định bởi

Có thể kiểm chứng B cùng phép cộng  f g ,  f  g là một nhóm aben

Phần tử 0 B của nhóm cộng này là ánh xạ 0 :

  với mọi i  Còn mỗi f B có phần tử đối ánh xạ    f :  A cho bởi

Với ,f gB ta lại có phần tử fgB cho bởi

Tổng ở vế sau được lấy với mọi cặp j k,  sao cho j k i

Phép nhân  f g ,  fg trên B có tính kết hợp Thật vậy, với bất kì , , f g hB và với mọi , một mặt ta có

Từ định nghĩa phép toán, cũng có thể kiểm chứng phép nhân trên B phân phối đối với với phép cộng trên B Vậy B cũng với phép cộng

 f g ,  fg lập thành một vành Vành B là vành có phần tử đơn vị, đó là ánh xạ

  với mọi i  0 (3) Một cách tổng quát, với mỗi phần tử a  A ta có phần tử  a B đó là ánh xạ a : A

Vì với bất kì , 'a a A, ta có

' aa nếu và chỉ nếu  a  a ' cho nên sự tương ứng a  a là một đơn ánh xạ j A :AB Hơn nữa, từ phép cộng và phép nhân trên B, với mọi , 'a a A

A A A B j   , nên a a là một đơn cấu vành j A :AB chuyển đơn vị thành đơn vị

Vậy A đẳng cấu với vành con Im j A  a B a | A  của B Đồng nhất A với vành con Im j A của B, tức là đồng nhất mỗi a  A với  a B (khi đó 0 A được đồng nhất với 1 1

B  A ) cho ta nhúng A vào vành B Nói một cách khác vành B chứa A như một vành con đơn vị của A cũng là đơn vị của B

Bây giờ ta để ý đến phần tử x  B đó là ánh xạ x :  A định nghĩa bởi

Vì a đồng nhất với  a và theo phép nhân trên B, ta có

      ax 1   a x 1 a và       ax i   a x i 0 A với mọi i  1 và

      xa 1  x a 1 a và       xa i  x a i 0 A với mọi i  1, cho nên ax  xa với mọi a  A Do đó, ta có vành con A x   của B gồm các đa thức theo biến x có các hệ tử thuộc vành conA của B Ngoài ra, để ý với mọi số nguyên q0, lũy thừa bậc q của x  B là ánh xạ x q : A định bởi

( ) 1 q x q  A và x q   i 0 A với mọi iq và với mọi a  A , ta có phần tử ax q x a q B, đó là ánh xạ  A định bởi

  ax q   q  a và   ax q   i  0 A với mọi i  q

Do đó, với mọi phần tử f B, vì

(hai vế là ánh xạ  A có giá trị tại mọi i  bằng nhau), điều này chứng tỏ

B A x Hơn nữa, biến x siêu việt đối với A, thật vậy với mọi đa thức

0 1 n n f a a x a x  B A x vì f i  a i với mỗi i0,1, , n cho nên f a 0 a x 1   a x n n 0 B kéo theo

0 1 n 0 A a   a a  Định lí Mọi vành đa thức có phần tử đơn vị đều nhúng được vào một vành

A x các đa thức có hệ tử thuộc A theo một biến x siêu việt đối với A

Sau này, đơn cấu vành j A : AA x   định bởi j A   a a với mọi a  A sẽ được gọi là đồng cấu bao hàm.

Ước, phần tử liên kết, phần tử bất khả quy

Giả sử D là miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là 1 Các ước của đơn vị được gọi là các phần tử khả nghịch, chúng lập thành một nhóm nhân U mà 1 là phần tử đơn vị

Giả sử a, b  D, b  0 Ta nói b là ước của a nếu c D: bc = a Kí hiệu b \ a Nếu b \ a ta cũng nói a là bội của b, a  b hay b chia hết a

(iii) Nếu u khả nghịch thì u \ a, a  A

(iv) Nếu b \ u và u khả nghịch thì b khả nghịch

Quan hệ S xác định: xSx’  x’ = ux với u khả nghịch, là một quan hệ tương đương Khi đó x và x’ được gọi là liên kết

(1) Hai phần tử của nhóm nhân U là liên kết

(2) Trong vành , hai số nguyên a và –a là liên kết

(3) Trong vành đa thức K[x], với K là trường, f(x) và a.f(x), 0  a K là liên kết

Bổ đề x và x’ là liên kết  x \ x’ và x’ \ x

Thật vậy, giả sử x và x’ liên kết  u  A khả nghịch: x’ = ux

Lại có u khả nghịch nên v  D : uv = 1

Kết hợp với x’ = ux ta có x’v = uxv = (uv)x = x  x’ \ x

Ngược lại, giả sử x \ x’ và x’ \ x

 u,v  D : x = ux’ và x = vx  x = uvx  x(1 – uv) = 0

 uv – 1 = 0 (do x  0 và D là miền nguyên)

Ngoài ra có x’ = vx Vậy x và x’ liên kết

Bây giờ, lấy a  D (vành D giao hoán), khi đó tập hợp: aD = Da : = {xa / x  D }  D iđêan này sinh ra bởi a, người ta gọi nó là iđêan chính, kí hiệu < a >

Thật vậy, vì b \ a nên c  D: a = bc  < b >  < a >  < b >

Ngược lại, giả sử < a >  < b >  a  < b >  c  A: a = bc □

Hệ quả x và x’ là liên kết khi và chỉ khi < x > = Đặc biệt u là khả nghịch  < u > = D Định nghĩa:

Các phần tử liên kết với x và khả nghịch với x được gọi là các ước không thực sự của x Ngược lại, các ước khác của x được gọi là các ước thực sự của x.

Ví dụ: 2 và 3 là các ước thực sự của 6, còn 1 và 6 là các ước không thực sự của 6

1.4.3 Phần tử bất khả quy Định nghĩa:

Giả sử 0  x  D, x không khả nghịch x được gọi là phần tử bất khả quy nếu x không có ước thực sự

(1) Các số nguyên tố và các số đối của chúng là những phần tử bất khả qui trong vành các số nguyên

(2) Đa thức x 2 + 1 là đa thức bất khả qui trong vành [x]

Nhưng trong vành [x] thì đa thức x 2 + 1 không phải là đa thức bất khả qui vì nó có ước thực sự là (x + i) và (x – i) vì x 2 + 1 = (x + i)(x – i).

Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất

Trong miền nguyên D cho hai phần tử a và b, một phần tử c  D vừa là ước của a vừa là ước của b, được gọi là một ước chung của a và b Ta có

| c a và c b|  a cD và bcDaD bD cD Trong miền miền nguyên D, ước chung lớn nhất của a và b là một ước chung d của a và b sao cho mọi ước chung của a và b đều là ước của d

Nói cách khác ước chung lớn nhất của a và blà một phần tử d thỏa mãn các điều kiện: i) d a| và d b| , ii) c a| và c b| c d| với mọi c

Ta có thể định nghĩa ước chung lớn nhất bằng ngôn ngữ iđêan: Ước chung lớn nhất của a b, D là một phần tử dD sao cho dD là iđêan chính bé nhất trong các iđêan chính chứa iđêan aD bD

Theo định nghĩa của ước chung lớn nhất (ƯCLN), nếu d là ƯCLN của a và b thì mọi số d' chia hết cho d cũng là ƯCLN của a và b Do đó, ƯCLN của hai số a và b, nếu tồn tại, chỉ được xác định duy nhất đến một thừa số khả nghịch trong tập hợp các ước chung của a và b ƯCLN thường được ký hiệu là ƯCLN(a, b), lưu ý rằng ký hiệu này biểu diễn tập hợp các số đồng dạng với nhau theo mod ƯCLN(a, b) và không phụ thuộc vào thứ tự của a và b.

Một vài trường hợp ước chung lớn nhất của hai phần tử đặc biệt có thể suy ra từ định nghĩa:

1) Nếu b a| thì   a b , b ; do đó với mọi a ,

2) Nếu a' a và b' b thì  a b ', '    a b , ; chẳng hạn với mọi aD và mọi u  U ( u khả nghịch),   a u , 1 D

Nếu   a b , 1 D , (ước chung lớn nhất của a và b là một phần tử khả nghịch), người ta nói rằng a và b nguyên tố cùng nhau

Với bất kì a b , ,c  D , i)  a b c ,   ,     a b c , ,  , ii) c a b    , ca cb ,  , iii)   a b , 1 D và  a c , 1 D  kéo theo  a bc , 1 D 

Gọi d là  a b c ,   ,  và d ' là    a b c , ,  ; vì dD và d D ' đều là iđêan chính bé nhất chứa a b c, , của D nên ta có dDd D' tức là d d' Vậy ta có i)

Nếu c0 D hay   a b , 0 D thì ii) là hiển nhiên Bây giờ giả sử c0 D , a0 D và b0 D ; từ aD  bD    a b D , ta có

 ca cb D ,   c a b D   , , và suy ra

Hơn nữa, ca   ca cb D ,   c a b uD   , và giả thiết c0 D suy ra a    a b uD ,

Lập luận tương tự ta cũng có b    a b uD , ; từ đó suy ra   a b D ,    a b uD , , điều này và giả thiết   a b , 0 D cho suy ra D  uD , tức là u 1 D Kết quả này và (*) cho ta  ca cb ,    c a b , Vậy, ta có ii) trong trường hợp này

Bây giờ ta chứng minh iii) Từ giả thiết   a b , 1 D ,

Theo mệnh đề: a b khi và chỉ khi nếu a và b sai khác nhau một phần tử khả nghịch của D, với mọi aD, lớp tương đương mod của a là bộ phận

  aU  au u U của D Khi đó, ta suy ra c a b   , c theo ii)  ca cb ,  c

Kết quả này cho ta viết

  a c ,  a ca cb ,  ,     a ca cb ,  ,  (theo i)); nhưng  a ca ,  a  1 , D c  a cho nên  a c ,  a cb ,  ; sau cùng giả thiết   a c , 1 D cho kết luận  a bc ,  1 D

Tính chất mệnh đề i) thường gọi là tính kết hợp của phép toán lấy ước chung lớn nhất Vì  a b c ,   ,     a b c , , , cả hai vế thường được viết ( , , )a b c , và gọi là ước chung lớn nhất của ba phần tử a b c, ,

Một cách tổng quát: tính kết hợp cho định nghĩa ước chung lớn nhất

 a a 1, 2, ,a n  của một số hữu hạn n2 phần tử a a 1 , 2 , ,a n phần tử của miền nguyên D Hệ quả sau đây cũng là một tính chất của ước chung lớn nhất hay được áp dụng

Hệ quả Nếu ada ' và bdb ' với d là   a b , thì  a b ', '  1 D

Dạng nhân tử hóa duy nhất

1.6.1 Điều kiện tồn tại dạng nhân tử hóa Định nghĩa

Một dây chuyền tăng iđêan chính của D là một dãy   a D i i  những iđêan chính a D i không tầm thường (tức là a D i  0 , D a D i  D) của D sao cho

1 , i i a D  a D    i Nói rõ hơn, đó là một dãy iđêan chính a D a D 1 , 2 , , sao cho:

Như thế, tương ứng với một dây chuyền tăng iđêan chính   a D i i  trong D, là một dãy những phần tử a i  D *  U a , i  0 và không khả nghịch sao cho

Một dây chuyền tăng iđêan chính của D là một dãy   a D i i  của D được gọi là dừng (ở n) nếu có n  sao cho kể từ n, các iđêan chính trở thành bằng nhau:

Một miền nguyên D gọi là miền nguyên thoả điều kiện dây chuyền tăng iđêan chính nếu mọi dây chuyền tăng iđêan chính của D đều dừng

Miền nguyên D thoả điều kiện dây chuyền tăng iđêan chính thì mọi phần tử khả quy của D có một ước thích đáng bất khả quy Định lý

Nếu miền nguyên D thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng iđêan chính, thì mọi phần tử khác 0 và không khả nghịch trong D đều có thể phân tích thành tích của những phần tử bất khả quy Điều này có nghĩa là mọi phần tử không thể phân tích thành tích của những phần tử khác đơn giản hơn nữa, giúp đơn giản hóa việc nghiên cứu và hiểu cấu trúc của miền nguyên D.

1.6.2 Điều kiện duy nhất của một dạng nhân tử hóa Định nghĩa

Một phần tử bất khả quy p  D được gọi là nguyên tố nếu iđêan chính pD là một iđêan nguyên tố của D

Nếu miền nguyên D sao cho hai phần tử bất kỳ của nó đều có một ước chung lớn nhất thì mọi phần tử bất khả quy của D đều là nguyên tố Định lý

Nếu miền nguyên D là miền trong đó mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố, thì dạng nhân tử hóa thành các phần tử bất khả quy của mỗi phần tử a thuộc D* là duy nhất Điều này có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết số, vì nó giúp chúng ta xác định một cách hiệu quả dạng nhân tử hóa của các số nguyên trong miền D Ngoài ra, tính chất này còn liên quan đến định lý cơ bản của số học, khẳng định rằng mọi số nguyên lớn hơn 1 đều có thể biểu diễn dưới dạng tích của các số nguyên tố.

Từ mệnh đề và định lý trên ta có hệ quả

Nếu miền nguyên D trong đó hai phần tử bất kỳ nào cũng có một ước chung lớn nhất thì dạng nhân tử hóa của mỗi phần tử a  D U * có tính duy nhất.

SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN

Miền nguyên chính

2.1.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa

Miền nguyên chính là một miền nguyên có phần tử đơn vị và mọi iđêan của nó đều là iđêan chính

Vậy, nếu D là một miền nguyên chính thì mọi iđêan I của nó đều có dạng

1) Vành số nguyên là vành đa thức một ẩn lấy hệ tử trên một trường là những miền chính

Nếu I = {0} thì I là ideal chính, sinh bởi phần tử 0 

Nếu I  {0} Giả sử a là số nguyên dương bé nhất của I, b  I (ta có thể giả sử b  0, vì nếu b < 0 thì –b > 0 và –b  I, nên lấy –b > 0) Bây giờ lấy b chia cho a ta được: b = aq + r với 0  r < a

Nếu r > 0 thì r là số nguyên dương bé hơn a và r  I (mâu thuẫn với thiết về số nguyên a), vậy r = 0  b = aq  I = a = < a > □

2) Mỗi trường là một miền chính bởi vì nó chỉ có hai iđêan là     0  0 và chính trường đó với cơ sở 1

3) Vành   i gồm các số phức a bi a b  , ,  là một miền chính Mỗi iđêan I khác 0 chứa những phần tử a bi   0, nghĩa là nhứn phần tử mà chuẩn của nó

N a bi   a  b nguyên dương Chọn trong I một phần tử x    a bi 0 có chuẩn

N x nguyên dương nhỏ nhất Khi đó với mọi y  I ta có:

1 , , yx   p iq p q Đặt p   m , 1   n v , với m n ,  và , , 1 , 1

1 , , yx    z r z    m ni i r    vi Như vậy y  xz  xr và xr    y xz I

Do cách chọn x , ta suy ra xr  0 và do đó y  xz    x Vì y là tùy ý thuộc I nên điều này kéo theo I    x là iđêan chính với cơ sở x

Vành   i gọi là vành các số nguyên Gauss

Mệnh đề 2.1 Trong miền nguyên D i)     a  b  b a \

(i)     a  b có nghĩa là a  a 1    a và do đó a    b Vậy tồn tại cd để abc hay b a\ Đảo lại nếu b a\ thì abc với một cD như vậy a    b Suy ra     a  b

(ii) Theo (i),     a  b khi và chỉ khi a b\ và b a\ hay tương đương a và b liên kết

Chú ý rằng một ước thật sự b của a xác định một iđêan chính   b lớn hơn

Ngược lại, hai phần tử liên kết trong miền nguyên sai khác nhau một ước của đơn vị, do đó $a\equiv b$ khi và chỉ khi $a=bu$ với $u\equiv1$ Đặc biệt khi $u\equiv1 \Rightarrow a\equiv b$, tức là mọi phần tử của miền nguyên sai đều đồng dạng với $0$.

    a  1 khi và chỉ khi a khả nghịch trong D

Mệnh đề 2.2 Trong một miền chính D mọi dãy tăng

C C  C  những iđêan là dừng, nghĩa là tồn tại một chỉ số m sao cho

 , ta có I là một iđêan của D Thật vậy, với mọi x  D , mọi a b, I, tồn tại k l, sao cho a C b C k ,  l Có thể giả thiết k 1, do đó k l

C C và a b C,  l Vì C l là iđêan nên a b và xa C l và do đó cũng thuộc I Như vậy I là một iđêan của miền chính D Giả sử I sinh bởi phần tử c khi đó có một m sao cho c C m Vậy

Vành thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng dừng trên các iđêan gọi là một vành Noether Điều đảo lại không đúng, tồn tại một vành Noether không phải là một vành chính, chẳng hạn [X] không phải là miền chính

Vì iđêan I gồm các đa thức với hệ tử tự do chẵn không phải là một iđêan chính Thật vậy mỗi đa thức như thế có thể viết dưới dạng Xf  2 g , với

, f g  X Do đó I sinh bởi cơ sở , 2X

Nếu I    h thì h X \ và \ 2 h do đó h   1 nhưng   1 I , mâu thuẫn.

Miền Euclide

2.2.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa

Miền Euclid là một miền nguyên D cùng phép chia có dư  : D * → N từ tập hợp các phần tử khác không của D đến tập hợp các số tự nhiên, thỏa mãn điều kiện: Nếu a chia hết cho b và b khác không thì phép chia có dư  (a) nhỏ hơn hoặc bằng phép chia có dư  (b).

(ii) a b, D , tồn tại ,q rD sao cho abqr, trong đó r0 hoặc nếu 0 r  thì    r     b Ánh xạ  gọi là ánh xạ Euclide

Với điều kiện (ii) ta nói rằng trong D có phép chia Euclide a cho b, trong đó q gọi là thương và r gọi là dư của phép chia này

(1) Miền nguyên cùng với ánh xạ :

(2) Vành đa thức K[x] với K là trường, cùng ánh xạ:

0  f(x)  deg f(x) là một miền Euclide

(3) Vành các số nguyên Gauss [i] = {a + bi / a,b  } cùng với ánh xạ  : *[i] 

0  z  z 2 = a 2 + b 2 (bình phương môđun của z) là miền Euclide

Thật vậy, giả sử a, b  [i], b  0 Khi đó:

- Giả sử b \ a, a  0  a b = s+ it với s, t  (vì a  b)

- Giả sử a ,b  [i], b  0 suy ra b a = u + iv ; u, v 

(vì giả sử a = m + in; b = p + iq)

Suy ra b a = m in (m in)(p 2 2 iq) p iq p q

= mp 2 nq 2 np - mq 2 2 p  q  ip q

Ta đặt:  = x + iy và  = a – b  a = b +  (1) và

  = (u iv)  (x iy) 2 = (u  x)  i(vy) 2 = (u – x) 2 + (v – y) 2 (qui luật của )

Từ (1) và (2) ta có [i] thỏa mãn (ii) của định nghĩa về vành Euclide, suy ra [i] là miền Euclide

2.2.2 Các mệnh đề Định lý 2.3 Mỗi miền Euclide là một miền chính

Giả sử ( , )D  là một miền Euclide và I là một iđêan tùy ý của D Nếu

I  , khi đó tập I * các phần tử khác 0 của I là khác rỗng Trong    I ta chọn được phần tử aI * sao cho    a nhỏ nhất Rỏ ràng   a  I Đảo lại với mỗi , xI tồn tại ,q rD sao cho x  aq  r , với    r     a nếu r  0 Nhưng khi đó

< 1 r  x aqI Vì    a nhỏ nhất trong    I * nên r  0 và x  aq    a Vì x là tùy ý thuộc I nên I    a hay I    a là một iđêan chính sinh bởi a Nếu I 0 thì

Một miền nguyên Euclide là miền chính, tức là miền nguyên thỏa mãn điều kiện có ước chung lớn nhất Phép chia Euclid cho phép ta chỉ ra ước chung lớn nhất đó Miền nguyên Euclide đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết số, đặc biệt trong các lĩnh vực như phân tích Diophantine và đại số số.

Bổ đề 2.4 Trong miền chính ,D nếu các phần tử , , ,a b q rD thỏa mãn abqr thì     a b ,  b r ,

Lại có D là miền chính nên d  I: I = < d > từ đó suy ra d là ước chung lớn nhất của a và b Nhưng I = J nên d cũng là ước chung lớn nhất của b và r

2.2.3 Thuật toán Euclide tìm ƢCLN:

Giả sử D là vành Euclide và a, b  D Euclide đã đưa ra thuật toán tìm ước chung lớn nhất của a và b như sau:

(1) Trường hợp a = 0 (hoặc b = 0) thì rõ ràng ƯCLN(a,b) = b; (= a) (2) Giả sử a, b  0 Thực hiện phép chia a cho b ta được: a = bq o + r o ; (ro) < (b) nếu ro  0

Nếu r o  0 ta lấy b chia cho ro: b = r o q 1 + r 1 ; (r1) < (ro) nếu r1  0 Nếu r1  0 ta lấy ro chia cho r1: ro = r1q2 + r2 ; (r2) < (r1) nếu r2  0 Quá trình này phải dừng sau hữu hạn bước vì dãy các số tự nhiên

(b) > (ro) > (r1) > (r2) > … không thể giảm đến vô hạn, tức là sau một số lần chia, ta phải đi tới một phép chia mà dư bằng 0: rk–1 = r k q k+1 + 0 Áp dụng bổ đề trên ta có: r k = ƯCLN(0, r k ) = ƯCLN(rk, r k–1 ) = … = ƯCLN(r2, r 1 )

= ƯCLN(r1, ro) = ƯCLN(ro, b) = ƯCLN(b, a)

1) Tìm ước chung lớn nhất của: f(x) = x 6 – 2x 5 + x 4 – x 2 + 2x – 1, g(x) = x 5 – 3x 3 + x 2 + 2x – 1

Trước khi thực hiện các phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(f, g) ta có nhận xét rằng ƯCLN(a, b) = ƯCLN(a’, b) với a’ liên kết của a

Lấy f(x) chia cho g(x) ta được: f(x) = g(x).(x – 2) + (4x 4 – 7x 3 – x 2 + 7x – 3)

Lấy 4g(x) chia cho (4x 4 – 7x 3 – x 2 + 7x – 3) ta được:

Lấy 7.(4x 4 – 7x 3 – x 2 + 7x – 3) chia cho (7x 4 – 11x 3 – 3x 2 + 11x – 4) ta được (7x 4 – 11x 3 – 3x 2 + 11x – 4).7 + (5x 3 – 5x 2 – 5x + 5)

2) Trong vành số nguyên Gauss   i ta hãy tìm ước chung lớn nhất của

4 5 , 3 2 a  i b  i Thuật toán Euclide được cho trong bảng sau:

Vậy i là một ước chung lớn nhất của a và b Nhưng do i và 1 liên kết nên

Trong miền nguyên Euclide  D ,   , với a b ,  D *, a b nếu và chỉ nếu

Nếu a b , ta có a  ba ' và b  ab ' trong đó a b ', '  D * suy ra

     và    b     ba '     a cho nên    a     b Đảo lại giả sử a  ba ' và    a     b , khi đó tồn tại q r ,  D sao cho b  aq r  với r0 D hay r  D * và    r     a nhưng vì ta có thể viết

' 1 D ' r   b aq   b ba q  b  a q cho nên nếu r  D * thì ta cũng có   a   b   b  1 D  a q '      r trái với

   Vậy ta phải có r0 D , b  aq và như thế a b

Hệ quả: Trong miền nguyên Euclid  D ,   , u  D * là khả nghịch nếu và chỉ nếu    u     1 D

Thật vậy, vì 1 | D u với mọi u  D nên theo mệnh đề 2.5, với bất kì u  D *,

Miền nguyên Gauss

Miền nguyên Gauss là một miền nguyên với phần tử đơn vị, trong đó mọi phần tử khác 0 và không khả nghịch đều có một dạng nhân tử hóa duy nhất thành những phần tử bất khả quy

Miền nguyên Gauss còn gọi là miền nguyên với dạng nhân tử hóa duy nhất Nếu một miền nguyên D với đơn vị trong đó mọi dây chuyền tăng iđêan chính đều dừng và mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố hoặc hai phần tử bất kì đều có một ước chung lớn nhất thì D là một miền nguyên Gauss Đảo lại, có thể chứng minh mọi miền nguyên Gauss có các tính chất đặc trưng này

2.3.2 Các định lý Định lí 2.6: Mọi miền chính đều là miền Gauss

Cho D là một miền chính Trước hết ta chứng minh D là miền nguyên với điều kiện dây chuyền tăng iđêan chính Lấy một dây chuyền tăng iđêan chính của D :

Ta có B là một iđêan của D Thật vậy, vì 0 D a D i với một i nên 0 D B; hơn nữa, với bất kì x y ,  B , ta có x a D i và y  a D j với i  j chẳng hạn, nên

, i x y a D và x y a D i với một i và do a D i là một iđêan, ta có ax a D i B Iđêan

B này của miền chính D phải có dạng B  bD là một phần tử b  B Nhưng b  B thì b a D n với một chỉ số n và do đó B bD a D n , cho nên B là một iđêan của dây chuyền Hơn nữa, với mọi iđêan của dây chuyền có dạng a n j  D j ,  1, 2, một mặt vì a n j  D   B a D n , và mặt khác a D n  a n j  D , ta có B  a D n  a D n  1  a n  2 D  Vậy dây chuyền tăng iđêan chính đã cho dừng lại ở n Để chứng minh tính duy nhất của các dạng nhân tử hóa, ta chứng minh rằng hai phần tử bất kì a và b của miền chính D đều có ước chung lớn nhất Xét iđêan aD bD  của D sinh bởi a và b Vì iđêan này phải là một iđêan chính, nên có d  D để aD bD   dD , phần tử d này là một ước chung lớn nhất của a và b trong

Vậy miền chính D là một miền nguyên Gauss

Mệnh đề 2.7 Trong một miền Gauss i Mọi dây chuyền tăng iđêan chính đều dừng ii Hai phần tử bất kì đều có một ước chung lớn nhất iii Mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố

Trong miền Gauss D Cho một dây chuyền tăng iđêan chính a D 0 a D 1  

Ta có với mọi i0,1, ,a i D U* và a i  1 |a i Vì a 0 D U* có một dạng nhân tử hóa duy nhất nên theo dạng nhân tử hóa duy nhất a 0 có thể viết 1.0 0

Trong đó hai trong các phần tử bất khả quyp 1 , ,p s không liên kết Và

  s là những số mũ nguyên dương: Ta đặt A 0 ( 1.0 , , s 0 ) Bộ s số mũ của  0 Với mỗi 1.2, ,phần tử sinh a i của iđêan chính a D i của dây chuyền , vì là một ước của a 0 nên có dạng 1

Với u i U và 0 j i  j 0 , j1, , ,s và tương ứng với ai là bộ s số mũ

Trong thứ tự từ điển trên tập N, bộ số mũ A0 của a0 cao hơn bộ số mũ Ai của ai (i = 1,2, ); ngoài ra vì ai + 1 | ai ta có Ai > Ai + 1 Do đó, tương ứng với dây chuyền tăng ideals chính của D đã cho, ta có một dãy bộ số mũ A0, A1, A2, có độ cao giảm hẳn: A0 > A1 > A2 … Do chỉ một số hữu hạn bộ số mũ có độ cao kém hẳn độ cao của bộ số mũ A0 nên tồn tại n để bộ mũ An có độ cao không giảm được nữa, tức là An = An+1 =…; từ đó kể từ n, ta có an ~ an+1 ~

Vậy dây chuyền tăng iđêan chính đã cho dừng ở n Tính chất i) được chứng minh xong

Bây giờ ta cho a, b D Nếu a = 0 D hay b = 0 D cũng như nếu a 1 D hay b ~

1 D , hiển nhiên (a,b) tồn tại Giả sử a, b D* \U ; vì a và b có dạng nhân tử hóa duy nhất, nên theo dạng nhân tử hóa duy nhất chúng biểu thị được theo cùng những phần tử bất khả quy xác định p1,…,ps từng đôi không liên kết:

Trong đó u,v U và các số mũ nguyên αi, β i  0; từ đó, ta có:

Vậy trong mọi trường hợp, ước chung lớn nhất (a, b) tồn tại, ta có ii)

Sau cùng, iii) là hệ quả của ii) theo Mệnh đề : Nếu miền nguyên D sao cho hai phần tử bất kì của nó đều có một ước chung lớn nhất thì mọi phần tử bất khả quy của D đều là nguyên tố.

Sự nhân tử hóa

Trong miền nguyên D , xét một phần tử a có thể viết như một tích :

1 2 n a p p p (1) của những phần tử bất khả quy p i D không nhất thiết khác nhau Ta có thể tìm được một biểu diễn khác của a bằng cách hoán vị các nhân tử, thay thế mỗi p i bởi một phần tử liên kết q =u p u i i i , i \1 và u u 1 n 1 Phần tử a gọi là có một nhân tử hóa duy nhất trong D nếu nó có thể viết dưới dạng tích những phần tử bất khả quy phần tử trong 1 và duy nhất sai khác thứ tự nhân tử hoặc các phần tử liên kết

Nhận xét 2.8 Nếu D là một miền nhân tử hóa thì trong biểu diễn dạng (1) của phần tử a sau khi nhóm các nhân tử liên kết, ta thu được biểu diễn:

1 r k r k a  P p trong đó p i bất khả quy , r i nguyên dương p p i , j không liên kết nếu i  j Biểu diễn này gọi là sự phân tích bất khả quy của a

Nếu c a c \ , không khả nghịch thì trong sự phân tích bất khả quy của a và c , các nhân tử bất khả quy của c phải có mặt trong sự phân tích của a Như vậy nếu:

Do đó c là một ước thật sự của a khi và chỉ khi tồn tại 0 s i r a c i ; , liên kết khi và chỉ khi s i  r i mọi i  1, , k Định lý 2.9 Miền nguyên D là một miền nhân tử hóa khi và chỉ khi D thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng dừng những iđêan chính và điều kiện có ước chung lớn nhất

   Giả sử D là một miền nhân tử hóa và ta giả sử

    a 1  a 2     a k  là một dây chuyền tăng iđêan chính trong D Khi đó ta có “giảm” các ước:

a k \ \a \a Nếu a 1 \1 thì     a k  a 1  D và dãy dừng ở   a 1 Giả sử a 1 không khả nghịch và

1 1 r k r k a  p p là sự phân tích bất khả quy của a 1 Khi đó ta có:

Vì số các bội số tự nhiên  s k 1 , s kn , 0s ki r i là hữu hạn nên tồn tại chỉ số m sao cho a a m , m  1 , là liên kết, nghĩa là

   a m  a m  1   và dãy iđêan dừng lại tại m Như vậy D thỏa mãn điều kiện dây chuyền dừng lại ở iđêan chính

Ta chứng minh rằng hai phần tử khác không tùy ý a b ,  D có ước chung lớn nhất Thật vậy nếu a \1 hoặc b \1 thì   a b ,  1 Giả sử a b , không khả nghịch Bằng cách bổ sung vào sự phân tích bất khả quy của a và b một nhân tử bất khả quy với số mũ 0 nếu nhân tử đó có mặt trong phân tích bất khả quy của một phần tử mà không có mặt trong sự phân tích bất khả quy của phần tử kia, ta có thể viết:

1 r n r n , 1 s n s n a  p p b  p p với p i bất khả quy và r s i , i 0 và một trong hai số là nguyên dương Đặt: d  p 1 t 1 p n t n , t i  min  r s i , i  (1)

Khi đó ta có d a \ và d b \ Mặt khác mỗi ước chung c của a và b có dạng:

Suy ra x i t i và do đó c d \ Vậy d là một ước chung lớn nhất của a và b

   Ta giả sử miền nguyên D thỏa mãn hai điều kiện nêu trong định lý, ta sẽ chứng minh rằng mỗi phần tử a  0, a không khả nghịch có sự phân tích bất khả quy duy nhất Trong vành và vành đa thức F X   , F là một trường ta đã chứng minh sự tồn tại bằng quy nạp Trong miền nguyên D ta sẽ sử dụng điều kiện dây chuyền dừng những iđêan chính Giả sử trong D có phần tử a khác không không khả nghịch và không phân tích được thành tích những nhân tử bất khả quy Nếu a là bất khả quy thì tự nó là một sự phân tích bất khả quy, trái với giả thiết Vậy a có ước thật sự là a 1 , chẳng hạn aa b 1 1 Nếu cả hai a 1 và b 1 phân tích được thành tích những nhân tử bất khả quy thì tích của hai sự phân tích bất khả quy này cho một biểu diễn bất khả quy của a , trái giả thiết Vậy một trong hai phần tử chẳng hạn a 1 không phân tích được Lặp lại lập luận trên cho a 1 a b 2 2 ,với a 2 là một ước thật sự của a 1 và a 2 không phân tích được

Quá trình tiếp tục và kết quả là ta thu được dãy vô hạn những ước thực sự:

, , , \ , 0,1, , o k k a a a a  a k  Tương ứng ta có một dãy tăng vô hạn các iđêan chính thật sự khác nhau:

      a n  a 1  a 2  trái với giả thiết rằng mọi dãy những iđêan như thế đều dừng Như vậy mỗi phần tử a  D khác không, khác ước của 1 đều có một biểu diễn bất khả quy Để chứng minh tính duy nhất ta giả sử a  p 1 p m  q 1 ; q n p q i , j bất khả quy

Ta có thể giả thiết rằng m  n Vì p q q 1 \ 1 n nên p q 1 \ j với một j nào đó Nếu cần ta đánh số lại, ta có thể giả sử j  1 và p 1 \ q p q 1 , 1 , 1 bất khả quy nên p 1 u q u i i , 1 \1 Giản ước q 1 trong đẳng thức trên ta được p 2 p m u q 1 2 q n Lặp lại lý luận trên cho q 2 ta có thể giả thiết rằng p 2 u q 2 2 , u 2 \1 Quá trình tiếp tục ta được

, \1; 1, , i i i i p u q u i m Nếu m  n thì sau khi giản ước các q i , i  1, , m ta thu được 1u u q 1 m m  1 q s và q s \1, mâu thuẫn Vậy m  n và sau khi đánh số lại ta có i , i p q liên kết, i  1, , m

Biểu thức (1) trong phép chứng minh trên còn cho một cách tìm ước chung lớn nhất của hai phần tử a và b Ngoài ra ta dể dàng kiểm tra rằng với a b , biểu diễn như trên thì phần tử:

1 r s n r s n n m  p p là một bội chung nhỏ nhất của a và b Như vậy trong miền nhân tử hóa ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của hai phần tử là tồn tại Ta có thể mở rộng kết quả này cho hữu hạn phần tử.

Đa thức trên miền nhân tử hóa Đa thức bất khả quy trên miền nhân tử hóa

Cho miền nguyên Gauss $D$, xét vành đa thức $D[x]$ Đầu tiên, lưu ý rằng vì $D$ là miền nguyên nên $D[x]$ cũng là miền nguyên có cùng nhóm $U$ các phần tử khả nghịch với $D$ Do đó, các khái niệm về liên kết, bất khả quy, trong $D[x]$ tương tự như trong $D$.

D x đối với những đa thức hằng chính là các khái niệm đó trong D

2.5.1 Đa thức trên miền nhân tử hóa Định nghĩa

Một đa thức khác 0 : f a 0a x 1   a x n n D x   gọi là đa thức nguyên bản nếu (a a 0 , , , 1 a n  1 ,a n ) 1 D (tức là nếu các hệ tử nguyên tố cùng nhau) Để ý một đơn thức a x n n  D x   là nguyên bản nếu a n 1 D (tức là nếu a n là một phần tử khả nghịch của D)

1) 3 4 x6x 3 và x 3 là những đa thức nguyên bản của   x

2) Đa thức x 4  2 x 2  3 x  6 là nguyên bản vì các hệ tử có ước chung lớn nhất bằng 1

Mọi đa thức 0   f D x   có thể đặt dưới dạng:

 1 f df (1) với một hằng aD * và một đa thức nguyên bản f 1 của D x  ; và dạng này của f là duy nhất theo nghĩa nếu cũng có f cf 2 với cD * và f 2 là đa thức nguyên bản của D x   thì c d và f 2 f 1

Gọi d là ước chung lớn nhất (a a 0 , , , 1 a n ) và đặt a i da i ' , i0, ,n

Ta có d 0 D và a ' n 0 D và ( , , ,a a 0 ' 1 ' a ' n ) 1 D và f có thể viết thành: f df 1 (1)

Trong đó dD * và f 1 a 0 ' a x 1 '   a x n ' n là đa thức nguyên bản của D x  

Bây giờ giả sử f cũng có dạng: f cf 2 (1’)

Trong công thức (1'), c được xem là ước chung của các hệ số ai của đa thức nguyên thủy f của trường D x  , đồng thời cũng là ước của số bậc d của trường.

 d uc, với một uD * Từ đẳng thức này và (1), (1’) ta có f 2 u f 1

Từ biểu thức suy ra u là ước chung của hệ số của đa thức ban đầu f2, do đó u1 ∈ D (u khả nghịch) và hai đẳng thức cuối cùng cho kết luận: c ∈ D và f2 ≡ f1 (mod u)

Nếu f là một đa thức bất khả quy của D x   với bậc f  0 thì f là một đa thức nguyên bản của D x  

Thật vậy theo mệnh đề trên f df 1

Với dD * và f 1 là đa thức nguyên bản của D x   Nhưng vì f là bất khả quy theo giả thiết và vì bậc f 1 = bậc f 0 d không thể là một ước thích đáng của f , ta phải có d 1 D ; hơn nữa nếu d’ là ước chung lớn nhất của các hệ tử của f thì f lại có thể viết

 2 f d f , với d ' D * và f 2 là đa thức nguyên bản của D x  , và do tính duy nhất ta có d' d 1 D , điều này chứng tỏ f là đa thức nguyên bản của D x   Để ý một đa thức bậc 0, tức là một phần tử a 0 0 của D, là đa thức nguyên bản của D x   nếu a 0 1 D nghĩa là nếu a 0 là một phần tử khả nghịch của D Phù hợp với hệ quả trên, các phần tử bất khả quy của D (đa thức bất khả quy của D[x] có bậc 0) không phải là những đa thức nguyên bản của D[x]; còn một đa thức nguyên bản f của D[x] với bậc f > 0 có thể là đa thức khả quy

Ví dụ: Đa thức nguyên bản 1 x x 2 x 3 là khả quy của D[x] vì

Tích của hai đa thức nguyên bản của D x  là một đa thức nguyên bản của D x  

Cho hai đa thức nguyên bản của D x   :

Ta chứng minh tích của chúng fg   c 0 c 1 c n m  x n m  là đa thức nguyên bản của D[x] bằng phản chứng

Nếu fg không nguyên thủy, thì các hệ số c0, , cn+m của fg có ước chung nguyên tố p thuộc D Do p không là ước chung của các hệ số a0, , an của đa thức nguyên thủy f, nên tồn tại r sao cho p ∤ ai.

   i r và pa r Tương tự, đối với các hệ tử b 0 ,,b m của đa thức nguyên bản g, có s sao cho p b| j với j   0, , – 1s và pb s

Nhưng p là ước của hệ tử sau đây của fg:

| j   – 1 p b j s kéo theop a b| r s , và điều này, do phần tử bất khả quy p là nguyên tố kéo theo p|ar hay p|bs, trái với các tính chất p không phải là ước của ar và ước của bs ở trên Vậy fg phải là đa thức nguyên bản của D[x]

Bổ đề Gauss cũng có nghĩa rằng Bộ phận các đa thức nguyên bản của miền nguyên D[x] là ổn định đối với phép nhân

Gọi F D là trường các thương của miền nguyên Gauss D Vì phép nhúng

D F có thể mở rộng thành phép nhúng D x    F D   x chuyển x thành x, cho nên một đa thức của D x   được xem là một đa thức của miền nguyên Gauss F D   x

Cho f 1 và f 2 là những đa thức nguyên bản của D[x], nếu f 1 ~ f 2 trong F D [x] thì f 1 ~ f 2 trong D[x]

1~ 2 f f trong FD[x] có nghĩa là f1 = αf2, với một α ≠ 0 của trường FD; nhưng α = ab -1 với a b, D*nên trong D[x] ta có: bf 1  af 2

Hơn nữa, vì f1 và f 2 đều là đa thức nguyên bản của D[x] nên theo mệnh đề trên, đẳng thức trên kéo theo b ~ a và f 1 ~ f 2 trong D x  

Mọi đa thức 0   g F D   x có thể đặt dưới dạng: g g g 1 ,trong đó 0 ≠ αg FD và g1 là một đa thức nguyên bản của D[x]; hơn nữa 0 ≠ α g F D và g 1 là duy nhất sai khác một nhân tử khả nghịch của D

Cho đa thức sau đây của

Vì với mỗi i0, ,n ,  i a b i i  1 trong đó a i D và b i D* nên khi viết các

Ta có thể đặt g dưới dạng:

Như thế nếu g0, ta có g*0 và theo mệnh đề 1, g*dg 1 với dD*và g 1 là một đa thức nguyên bản của D[x], cho nên g  b dg  1 1  g g 1 trong đó

Vì d và g1 là duy nhất sai khác một nhân tử khả nghịch của D theo mệnh đề trên, nên phần tử  g F* D cũng vậy

Nếu f là đa thức bất khả qui của D[x] với bậc f > 0 thì f là một đa thức bất khả quy của F D [x]

Vì f là đa thức bất khả quy với bậc f > 0 của D[x] nên f là đa thức nguyên bản của D[x] Giả sử f khả qui trong F D [x], tức là f gh, với g h F ,  D   x khác 0 với bậc g > 0 và bậc f > 0 Theo mệnh đề trên:

 g g g và h  h h 1 trong đó   g h F* D , còn g1 và h 1 là những đa thức nguyên bản của D[x]

Nhưng theo bổ đề Gauss, tích g h 1 1 là đa thức nguyên bản của D[x]; theo mệnh đề trên, đẳng thức trên cho ta: f g h 1 1 trong D x   Điều này với bậc g 1 = bậc g 0 và h 1 = bậc h > 0, chứng tỏ g1 và h1 là những ước thích đáng của f, trái với giả thiết f là đa thức bất khả qui của D x   Vậy f phải là phần tử bất khả quy của F D   x

Nếu một đa thức 0   f D x   là tích của hai đa thức của F D   x thì f cũng là tích của hai đa thức của D x   theo thứ tự đồng bậc với hai đa thức đó

Cho đa thức 0   f D x   và f  gh với g, h là những đa thức khác 0 của

F x Một mặt theo mệnh đề trên: f df 1 với dD* và f 1 là đa thức nguyên bản của D x  ; mặt khác theo mệnh đề trên, ta cóg g g 1 và h h h 1 trong đó

  g h F* D và g h 1 , 1 là những đa thức nguyên bản của D[x] Đẳng thức đầu tiên có thể viết thành:

Vì tích g h 1 1 là đa thức nguyên bản của D x   theo Bổ đề Gauss nên theo mệnh đề trên, đẳng thức này kéo theo:   g h ud

Với u là một phần tử khả nghịch Do đó f udg h 1 1 một tích của những đa thức của D[x] Hơn nữa, vì bậcg 1  bậc g và bậc h 1  bậc h và u d, D* cho nên f là một tích của hai đa thức của D x   theo thứ tự đồng bậc với g và với h Định lý chuyển

Nếu D là miền nguyên Gauss thì vành đa thức D x  cũng là miền nguyên Gauss

Cho D là miền nguyên Gauss Trước hết ta chứng minh miền nguyên D x   thỏa mãn điều kiện tồn tại dạng nhân tử hóa Cho một dây chuyền tăng iđêan chính của D x   :

Một mặt đa thức f 0 0 của D[x] có thể đặt dưới dạng f 0 df 0 * với dD*và f0 * là một đa thức nguyên bản của D[x] Mặt khác, với mọi i0,1,, vì f i  1 | f i ta có bậc

 1 f i bậc f i , và dãy số tự nhiên giảm bậc f 0  bậc f 1  … cho khẳng định có n để bậc f n  bậc f n  1  Nhưng đối với bậc f n chỉ có thể có hai khả năng:

(1) Nếu bậc f n 0, ta có f n , f n  1 ,D, và như thế kể từ n, các iđêan   f i của dây chuyền trở thành những iđêan chính của miền nguyên Gauss D, do đó có k để:

Vậy trong trường hợp này, dây chuyền đã cho dừng ở n + k

Bài tập áp dụng

Bài 1 Giả sử A   a b  3 i a b ,   Chứng minh rằng: a) A cùng với phép cộng và phép nhân các số phức là một miền nguyên b) 2, 1  3 , 1 i  3 i là những phần tử bất khả quy của A nhưng không phải là phần tử nguyên tố Từ đó suy ra A không phải là một vành chính

Giải a) Để chứng minh A là miền nguyên ta chỉ cần chứng minh A là vành con chứa đơn vị của trường số phức Thật vậy:

 3  3   3    3 xy  a b   i c d   i  ac  bd  ad  bc   i A

Suy ra A là một vành con của vành số phức

Vì trường các số phức là giao hoán, không có ước của 0 nên i cũng là giao hoán, không có ước của 0

Suy ra A là vành giao hoán, có đơn vị và không có ước của 0

Vậy A là miền nguyên b) Với mỗi số phức   a bi ta gọi chuẩn của nó là

N    a  b Khi đó nếu   , là hai số phức thì ta có N    N     N 

N         N  N  Như vậy nếu  A mà  là ước của 1 thì N     1

Nên các số 2, 1  3 , 1 i  3 i không là ước của 1

Bây giờ ta chứng minh 2 không có ước thật sự trong A

Giả sử    x y 3 i là một ước của 2, khi đó N     N x   y 3 i   x 2  3 y 2 phải là ước của 4 tức là hoặc N     1 hoặc N     2 hoặc N     4

Nếu N     1 thì    1 0 3 hoặc     1 0 3 nên  là ước của 1

Nếu N     4 thì ta có 2   với N      1 nên 2 liên kết với  Vậy 2 không có ước thật sự trong A

Tương tự ta chứng minh được: 1  3 , 1 i  3 i đều là những phần tử bất khả quy trong A

Mặt khác A không phải là vành chính vì trong A, 4 có hai sự phân tích thành những phần tử bất khả quy: 4  2.2    1 3 i  1  3 i 

Bài 2 Chứng minh rằng: Nếu A là trường thì A x   là miền Euclide

Vì A là trường  A là miền nguyên A x   là miền nguyên

Khi đó với mọi f x     , g x  A x *   ta có:

Với mọi f x    A x g x     ,  A x *   suy ra tồn tại q x r x     ,  A x   sao cho

Bài 3 Chứng minh vành     2  a b   2 , a b   là vành Euclide với ánh xạ:

Ta chứng minh vành    2 cùng với ánh xạ

Ta chứng minh    2 là miền nguyên

 2  2   2    2   2 xy  a b   c d    ac  bd  ad  bc   

Vậy    2 là vành con của vành

Vì vành là vành giao hoán, không có ước của 0 nên    2 cũng là vành giao hoán và không có ước của 0

Suy ra    2 là vành giao hoán, có đơn vị 1  0 không có ước của 0 nên

Giả sử    ,     2 ,   0 khi đó       2 nên     r s  2 với r s , 

Giả sử m n , là các số nguyên sao cho 1 , 1

Bài 4 Dùng tiêu chuẩn Eisenstein chứng minh rằng các đa thức sau là bất khả quy trong

Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein với là số nguyên tố ta có:

Vậy bất khả quy trong

Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein với là số nguyên tố ta có:

Vậy bất khả quy trong Đặt khi đó:

Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein với là số nguyên tố ta có:

Suy ra bất khả quy trong

Vậy bất khả quy trong Đặt khi đó:

Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein với là số nguyên tố ta có:

Suy ra bất khả quy trong

Vậy bất khả quy trong

Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein với là số nguyên tố ta có:

Suy ra bất khả quy trong

Vậy bất khả quy trong Đặt khi đó:

Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein với là số nguyên tố ta có:

Suy ra bất khả quy trong

Vậy bất khả quy trong Đặt khi đó:

Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein với là số nguyên tố ta có:

Suy ra bất khả quy trong

Vậy bất khả quy trong

Bài 5 Chứng minh rằng: Nếu A là vành Gauss thì vành đa thức nhiều ẩn

A x x n  là vành Gauss và không là vành chính

Theo hệ quả và bằng phương pháp quy nạp, ta có ngay

 là vành Gauss với n  1, vành A x x  1 , 2 , , x n không là vành chính vì:

  là miền nguyên mà không là trường

Do đó  x 1 , , x n  1  là ideal nguyên tố khác 0 mà không là ideal tối đại

Vậy A x x  1 , 2 , , x n  không là vành chính

Ta cũng có thể chứng minh I  x x 1 , 2 , , x n  không là ideal chính Thật vậy, giả sử I   d là ideal chính thì d x i với i  1, 2, n do đó d khả nghịch và

I  A x x (vô lí) Vậy A x  1 , x n  không là vành chính

Bài 6 Hãy tìm các đa thức u x   và v x   sao cho d x            u x p x  v x q x

Dùng thuật toán Euclide tìm được U CL N  p x     , q x   x 2  2

Bài 7 Trong miền chính A cho a b a c , và   b c ,  1 Chứng minh rằng a bc

Vì a b nên tồn tại k  A : a  kb (1)

Vì a c nên tồn tại l  A : a  lc (2)

Vì   b c ,  1 nên tồn tại s t ,  A : sb tc   1 (3)

Nhân hai vế của (3) với a ta được: sba tca   a

Thay a ở hạng tử đầu đẳng thức này theo (2), thay a ở hạng tử thứ hai theo (1) ta được:

      a  sb lc  tc kb  al  tk bc Vậy a bc

Bài 8 Chứng minh trường K bất kỳ là miền chính

Trước tiên, ta chỉ ra rằng trong K chỉ có duy nhất hai iđêan tầm thường là

Thật vậy, nếu I  0 là một iđêan của K thì   a 0, a  I và khi đó   x K thì

Vậy mỗi iđêan của K đều là iđêan chính, tức trường K là miền chính

Bài 9 Cho các tập số sau:

Chứng minh rằng    3 là miền nguyên,    3 là trường với phép toán cộng và nhân thông thường các số

Giải Để chứng tỏ    3 là miền nguyên, do ta nhận thấy rằng    3 là bộ phần của trường sô phức  , ,   nên trước hết ta chứng tỏ rằng     3

Vậy     3 theo tiêu chuẩn của vành con

Vì trường  , ,   là giao hoán, không có ước của 0 nên bộ phận    3 cũng giao hoán, không có ước của 0 Hơn nữa đơn vị 1 1 0     3    3 Vậy

   3 là vành giao hoán có đơn vị 1  0 và không có ước của 0, tức    3 là miền nguyên Để chứng tỏ    3 là trường, ta chỉ cần chứng tỏ     3 Hiển nhiên là      3

Bài 10: Vành thương của một vành chính có phải là vành chính không ?

Không là miền chính vì / m , m  1, m không là số nguyên tố

Chẳng hạn: / 6 có các ước của không là 2,3, 4suy ra / 6 không là miền nguyên

Bài 11: Chứng minh rằng p là nguyên tố thì đa thức

Giải Đặt x   y 1 Khi đó (1) tương đương:

Theo tiêu chuẩn Eisentein đa thức P(x) bất khả quy trên   x