Miền Nguyên và Các Thuộc Tính Nổi Bật

Miền nguyên chính

Vành thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng dừng trên các iđêan gọi là một vành Noether. Điều đảo lại không đúng, tồn tại một vành Noether không phải là một vành chính, chẳng hạn [X] không phải là miền chính. Vì iđêan I gồm các đa thức với hệ tử tự do chẵn không phải là một iđêan chính.

Miền Euclide

Vành thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng dừng trên các iđêan gọi là một vành Noether. Điều đảo lại không đúng, tồn tại một vành Noether không phải là một vành chính, chẳng hạn [X] không phải là miền chính. Vì iđêan I gồm các đa thức với hệ tử tự do chẵn không phải là một iđêan chính. mỗi đa thức như thế có thể viết dưới dạng Xf 2g, với. Các mệnh đề. Mỗi miền Euclide là một miền chính. Đảo lại với mỗi ,. Nhưng khi đó. Một miền nguyên Euclide là miền chính và do đó là một miền nguyên thỏa mãn là một miền nguyên thỏa mãn điều kiện có ước chung lớn nhất. Phép chia Euclid cho phép ta chỉ ra ước chung lớn nhất đó. Quá trình này phải dừng sau hữu hạn bước vì dãy các số tự nhiên. Áp dụng bổ đề trên ta có:. 1) Tìm ước chung lớn nhất của:. 2) Trong vành số nguyên Gauss  i ta hãy tìm ước chung lớn nhất của. Thuật toán Euclide được cho trong bảng sau:. nhưng vì ta có thể viết. Miền nguyên Gauss. Miền nguyên Gauss là một miền nguyên với phần tử đơn vị, trong đó mọi phần tử khác 0 và không khả nghịch đều có một dạng nhân tử hóa duy nhất thành những phần tử bất khả quy. Miền nguyên Gauss còn gọi là miền nguyên với dạng nhân tử hóa duy nhất. Nếu một miền nguyên D với đơn vị trong đó mọi dây chuyền tăng iđêan chính đều dừng và mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố hoặc hai phần tử bất kì đều có một ước chung lớn nhất thì D là một miền nguyên Gauss. Đảo lại, có thể chứng minh mọi miền nguyên Gauss có các tính chất đặc trưng này. Các định lý. Định lí 2.6: Mọi miền chính đều là miền Gauss. Cho Dlà một miền chính. Trước hết ta chứng minhD là miền nguyên với điều kiện dây chuyền tăng iđêan chính. Lấy một dây chuyền tăng iđêan chính của D:. Iđêan B này của miền chính D phải có dạng BbD là một phần tử bB. Vậy dây chuyền tăng iđêan chính đã cho dừng lại ở n. Để chứng minh tính duy nhất của các dạng nhân tử hóa, ta chứng minh rằng hai phần tử bất kì a và b của miền chính D đều có ước chung lớn nhất. Vì iđêan này phải là một iđêan chính, nên có dD để aD bD dD, phần tử d này là một ước chung lớn nhất của a và b trong D. Vậy miền chính D là một miền nguyên Gauss. Trong một miền Gauss. Mọi dây chuyền tăng iđêan chính đều dừng. Hai phần tử bất kì đều có một ước chung lớn nhất. Mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố. Trong đó hai trong các phần tử bất khả quyp1,..,pskhông liên kết. Vậy dây chuyền tăng iđêan chính đã cho dừng ở n. Tính chất i) được chứng minh xong. Vậy trong mọi trường hợp, ước chung lớn nhất (a, b) tồn tại, ta có ii). Sau cùng, iii) là hệ quả của ii) theo Mệnh đề : Nếu miền nguyên D sao cho hai phần tử bất kì của nó đều có một ước chung lớn nhất thì mọi phần tử bất khả quy của D đều là nguyên tố.

Sự nhân tử hóa

  Ta giả sử miền nguyên D thỏa mãn hai điều kiện nêu trong định lý, ta sẽ chứng minh rằng mỗi phần tử a0, a không khả nghịch có sự phân tích bất khả quy duy nhất. Trong vành và vành đa thức F X , F là một trường ta đã chứng minh sự tồn tại bằng quy nạp. Giả sử trong D có phần tử a khác không không khả nghịch và không phân tích được thành tích những nhân tử bất khả quy.

Nếu cả hai a1 và b1 phân tích được thành tích những nhân tử bất khả quy thì tích của hai sự phân tích bất khả quy này cho một biểu diễn bất khả quy của a, trái giả thiết. Biểu thức (1) trong phép chứng minh trên còn cho một cách tìm ước chung lớn nhất của hai phần tử a và b. Như vậy trong miền nhân tử hóa ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của hai phần tử là tồn tại.

Đa thức bất khả quy trên miền nhân tử hóa Cho một miền nguyên Gauss D và xét vành đa thức 0 f D x . Nhưng đẳng thức này cho suy ra rằng u là một ước chung của các hệ tử của đa thức nguyên bản f2, do đó u 1D(u khả nghịch) và hai đẳng thức sau cùng trên đây cho ta kết luận: c d và f2 f1. Bổ đề Gauss cũng có nghĩa rằng Bộ phận các đa thức nguyên bản của miền nguyên D[x] là ổn định đối với phép nhân.

Vì d và g1 là duy nhất sai khác một nhân tử khả nghịch của D theo mệnh đề trên, nên phần tử gF*D cũng vậy. Tóm lại, trên đây đã chứng tỏ trong mọi trường hợp một dây chuyền tăng iđêan chính của D x  luôn luôn dừng. Do đó mọi đa thức khác 0 và không khả nghịch f D x  có một dạng nhân tử hóa thành những đa thức bất khả quy.

Nếu bậc f 0 khi đó f thu về một hằng của D và dạng nhân tử hóa (thành những phần tử bất khả quy thuộc D) là duy nhất vì D là miền nguyên Gauss. Khi đó dạng nhân tử hóa của f hiển nhiên bằng tích của dạng nhân tử hóa của d và dạng nhân tử hóa của f1. Mặt khác, vì D là miền nguyên Gauss, dD* hoặc một phần tử khả nghịch hoặc có một dạng nhân tử hóa duy nhất d  p1 ps thành những phần tử bất khả quy thuộc D.

Khi đó p là một phần tử nguyên tố và do đó dễ dàng kiểm tra rằng D(p) là một miền nhân tử hóa. Trong trường hợp này ta nói rằng iđêan (D) là nguyên tố trong D. Tiêu chuẩn Eisenstein. Giả sử D là miền nhân tử hóa với F là trường các thương của D. Khi đó f bất khả quy trong F[x]. Giả sử f thuộc D[x] là một đa thức nguyên bản và giả sử tồn tại phần tử bất khả quy p thuộc D thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong tiêu chuẩn trên. Khi đó f bất khả quy trong D[x]. Tiêu chuẩn bất khả quy thu gọn. Giả sử A, B là hai miền nguyên, với trường các thương lần lượt là K, L. Giả sử : AB là một đồng cấu vành biến đơn vị thành đơn vị. Với mỗi số p, vành thương / p là một trường và ta sẽ đồng nhất trường này với trường p các số nguyên môđun p. Chứng minh rằng:. a) A cùng với phép cộng và phép nhân các số phức là một miền nguyên. Từ đó suy ra A không phải là một vành chính. a) Để chứng minh A là miền nguyên ta chỉ cần chứng minh A là vành con chứa đơn vị của trường số phức.