(Luận văn) một số vấn đề về số học trong miền nguyên

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI lu MỘT SỐ VẤN ĐỀ an va n VỀ SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m : TS ĐẬU THẾ CẤP SVTH : NGUYỄN THỊ THANH KHÓA : 2000 – 2004 z at nh GVHD z m co l gm @ Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 05/ 2004 an Lu n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp MỤC LỤC Lời nói đầu CHƯƠNG I LÝ THUYẾT VÀNH lu an n va Định nghóa tính chất 2 Vành II Ideal Vành thương Định nghóa tính chất Ideal Ideal sinh tập Vành thương III Miền nguyên ie gh tn to I Vành Ideal nguyên tố Ideal tối đại p Định nghóa miền nguyên nl w 10 d oa IV Trường 10 Trường 11 ll u nf va an lu Định nghóa tính chất m oi CHƯƠNG II z at nh SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN 14 m co an Lu Vành nhân tử hóa 14 l Định nghóa vành gm Phần tử nguyên tố phần tử bất khả quy 12 @ Khái niệm chia hết II Vành 12 z I Khái niệm số học miền nguyên 14 15 n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp III Vành Euclide 16 Định nghóa vành Euclide 16 Thuật toán tìm ước chung lớn 17 IV Tính chất chia hết vành Euclide 18 Tài liệu tham khảo 21 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Lời Nói Đầu Luận văn “Một số vấn đề số học miền nguyên” muốn xem xét số khái niệm tính chất số học miền nguyên tương tự vành số nguyên Z lu an Kiến thức chuẩn bị lý thuyết vành, đặc biệt tính chất va n Ideal Trong luận văn, phần lý thuyết vành cung cấp đầy đủ tính chất ie gh tn to cần thiết sau Kết luận văn định lý − 12 tính chất số học p vành Euclide tương tự vành số nguyên Z oa nl w Vì vành đa thức R[x] trường số thực vành Euclide, d định lý − 12 hiển nhiên R[x] lu va an Do gấp gáp thời gian độ khó luận văn nên u nf khảo sát tính chất chia hết có liên hệ hệ đến ll phần tử nguyên tố Còn nhiều tính chất số học khác Z m oi mở rộng cách tương tự vành Euclide z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th SVTH : Nguyeãn Thị Thanh Trang si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp CHƯƠNG I LÝ THUYẾT VÀNH I VÀNH Định nghóa tính chất Vành tập X hai phép toán X, thường kí hiệu cộng(+) nhân (.) thỏa mãn tính chất 1) (X, +) nhóm Abel lu 2) (X, ) nửa nhóm an n va 3) Phép nhân phân phối phép cộng, tức x, y, z ∈ X ta coù tn to x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx gh Một cách tương đương, ta định nghóa (X, +, ) vành p ie thỏa mãn điều kiện sau w (R ) Moïi x, y, z ∈ X, (x + y) + z = x + (y + z) oa nl (R ) Moïi x, y ∈ X, x + y = y + x d (R ) Tồn X ∈ X, x ∈ X, x + X = x an lu u nf va (R ) Moïi x ∈ X, tồn –x ∈ X, x + (-x) = X ll (R ) Moïi x, y, x ∈ X, (xy)z = x(yz) m oi (R ) Moïi x, y, z ∈ X, x (y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx z at nh Nếu phép toán nhân vành giao hoán vành gọi vành giao hoán Nếu phép toán nhân có đơn vị vành gọi vành có đơn vị z gm @ Ví dụ m co l a) (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) vành giao hoán, có đơn vị b) (Z k , +, ) với k ∈ N* vành giao hoán có đơn vị an Lu n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp c) Cho (X, +) nhóm Abel, kí hiệu End(X) tập đồng cấu nhóm từ X X ( gọi tự đồng cấu ) Trên End(X) xác định phép + sau f + g xác định (f + g) (x) = f(x) + g(x) với x ∈ X f g xác định f g(x) = f(g(x)) với x ∈ X Dễ dàng kiểm tra (End(X), +, ) vành có đơn vị ánh xạ đồng I X không giao hoán X có nhiều môt phần tử Ta gọi vành lu an vành tự đồng cấu nhóm Abel X n va d) Cho (X, +) nhóm Abel Trên X xác định phép toán nhân ie gh tn to x.y = X với x, y ∈ X Dễ dàng kiểm tra (X, +, ) vành giao hoán, đơn vị p X có nhiều phần tử Ta gọi vành không nhóm Abel X oa nl w Trong vành X ta định nghóa phép trừ d x – y = x + (-y) với x, y ∈ X va an lu  Định lí Với x, y, z vành X ta có oi 3) (-x)(-y) = xy m 2) (-x)y = x(-y) = -xy ll u nf 1) x.0 X = X x = X z at nh 4) x(y – x) = xy – xz; (y – z)x = yx – zx z Chứng minh @ m co có X x = X l gm 1) Ta coù x.0 X = x(0 X + X ) = x.0 X + x.0 X Do x.0 X = X Tương tự Tương tự ta có x(-y) = -xy an Lu 2) Vì xy + (-x)y = (x +(-x)) y = X y = X neân (-x)y = -xy n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp 3) Theo 2) ta coù (-x)(-y) = -x(-y) = - (-xy) = xy 4) Theo 2) ta coù x(y – z) = x(y + (-z)) = xy + x(-z) = xy – xz Tương tự ta có : (y – z)x = (y + (-z))x = yx + (-z)x = yx – zx Hệ Với m ∈ Z phần tử x, y vành X ta có m(xy) = (mx)y = x(my) Vành Cho X vành tập A X ổn định hai phép toán vành X, với phép toán cảm sinh, (A, +, ) vành vành A gọi vành X lu Ví dụ an n va a) Cho X vành Khi {0 X } X vành X Các vành b) Vành Z số nguyên vành vành Q số hữu tỉ d) Tập 2Z vành vành Z số nguyên p ie gh tn to gọi vành tầm thường X oa nl w  Định lý Tập A vành X vành vành X d thỏa mãn điều kiện sau an lu 1) A ≠ Ø ll 3) x ∈ A ⇒ -x ∈ A u nf va 2) x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A vaø xy ∈ A m ⇔ z at nh (A, +) nhóm Abel oi Chứng minh A ≠ Ø ; x, y ∈ A x + y ∈ A, -x ∈ A (A, ) z nửa nhóm ⇔ x, y ∈ A xy ∈ A Nếu A ổn định với phép toán A @ ⇔ A có tính l chất 1), 2), 3) gm phép nhân phân phối với phép cộng Như A vành n va 1) A ≠ Ø an Lu thỏa mãn điều kiện sau m co  Định lý Tập A vành X vành vành X ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp 2) x, y ∈ A ⇒ x – y ∈ A, xy ∈ A Định lý chứng minh tương tự định lý Cho S tập vành X Ta gọi vành X sinh tập S vành nhỏ chứa S, kí hiệu [S] Như vậy, vành [S] sinh tập S có hai tính chất đặc trưng 1) [S] vành 2) Nếu A vành A ⊃ S A ⊃ [S]  Định lý Với tập S vành X tồn lu vành [S] sinh tập S an n va Chứng minh tn to Gọi B họ tất vành vành X chứa S Vì X ∈ B nên gh B ≠ Ø Ta chứng minh p ie [S] =Error! Bookmark not defined Error! Bookmark not w defined.Error! Bookmark not defined I B oa nl B∈B d tức chứng minh A = B vành X Thật vậy, X ∈ B với B I an lu B∈B u nf va nên X ∈ A Nếu xy ∈ A x, y ∈ B với B Vì B vành nên ll x – y ∈ B xy ∈ B với B Điều có nghóa x – y ∈ A xy ∈ A Theo oi z at nh Ví dụ m định lý 3, A vành z Với k ∈ N, kN vành Z sinh tập phần tử {k} @ gm Thật vậy, kZ ⊂ Z kZ ≠ Ø, x, y ∈ kZ tồn n , n ∈ Z, m co l x = kn , y = kn Từ x − y = k(n − n ) ∈ kZ, xy = k(n n k) ∈ kZ Vaäy kZ vành Z Hơn nữa, A vành Z, chứa k A chứa ±k an Lu A chứa kn với n ∈ Z tức A chứa kZ n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang si Luận văn tốt nghiệp II GVHD: TS Đậu Thế Cấp IDEAL VÀNH THƯƠNG Định nghóa tính chất Ideal Cho X vành Vành A X gọi ideal trái (phải) x ∈ X, a ∈ A có xa ∈ A (ax ∈ A) Vành A gọi ideal vừa ideal phải, vừa ideal trái Nếu vành giao hoán ideal trái hay phải X ideal Ví dụ a) Với vành X {0 X } X hai ideal X, gọi ideal lu an tầm thường n va b) Với k ∈ N, kZ ideal Z tn to c) Z vành Q Z không ideal Q ie gh Từ định lý ta có hai định lý sau p  Định lý Tập A vành X ideal trái (phải) X nl w thỏa mãn điều kiện sau d oa 1) A ≠ Ø an lu 2) a, b ∈ A ⇒ a + b ∈ A u nf va 3) a ∈ A ⇒ -a ∈ A 4) x ∈ X, a ∈ A ⇒ xa ∈ A (ax ∈ A) ll oi m  Định lý Tập A vành X ideal trái (phải) X 1) A ≠ Ø z at nh thỏa mãn điều kiện sau m co l gm Ideal sinh tập @ 3) x ∈ A, a ∈ A ⇒ xa ∈ A (ax ∈ A) z 2) a, b ∈ A ⇒ a – b ∈ A an Lu Cho S tập vành X Tương tự chứng minh định lý dễ dàng thấy giao tất ideal trái (phải, hai phía) X chứa S n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp ideal trái (phải, hai phía) Ideal ideal trái (phải, hai phía) nhỏ chứa tập S, nên gọi ideal trái (phải, hai phía) sinh tập S Ideal (hai phía) sinh tập S kí hiệu Chú ý nói chung ≠ [S], ⊃ [S] Ideal sinh tập phần tử {a} gọi ideal sinh phần tử a, kí hiệu Nếu tồn phần tử a cho ideal A = ideal A gọi ideal Dễ dàng thấy vành X có đơn vị a phần tử khả nghịch X = X  Định lý Nếu X vành có đơn vị ideal trái sinh phần tử lu a ∈ X an va Xa = {xa | x ∈ X} n ideal phải sinh a Chứng minh p ie gh tn to aX = {ax | x ∈ X} w Ta chứng minh Xa ideal trái sinh a Việc chứng minh aX oa nl ideal phải hoàn toàn tương tự Trước hết, ta chứng tỏ Xa ideal trái chứa a d Thật a = X a ∈ Xa Với b, c ∈ Xa, tồn b’, c’ ∈ X cho b = b’a, va an lu c = c’a, từ ll u nf b – c = (b’ – c’) a ∈ Xa oi m Với x ∈ X vaø b = b’a ∈ Xa ta coù z at nh xb = x(b’.a) = (xb’)a ∈ Xa Vậy Xa ideal trái X, chứa a z gm @ Bây ta ideal trái A t chứa a chứa Xa Thật vậy, m co l a ∈ A t A t ideal trái nên x ∈ X ta có xa ∈ A t Vậy Xa ⊂ A t an Lu n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 10 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Vành thương Cho X vành A ideal Vì phép cộng giao hoán nên A nhóm chuẩn tắc nhóm (X, +) Từ ta có nhóm thương X/ A với phép toán coäng (x + A) + (y + A) = (x + y) + A Rõ ràng (X/ A , +) nhóm Abel Trên X/ A ta đặt (x + A).(y + A) = xy + A Neáu x + A = x’ + A, y + A = y’ + A x’ – x = a ∈ A lu y' – y = b ∈ A Vì A ideal nên an n va x'y – xy = (a + x)(b + y) – xy = xb + ay + ab ∈ A tn to Từ x'y' + A = xy + A p ie gh Vậy cách đặt cho ta phép toán nhân X/ A nl w Dễ dàng kiểm tra (X/ A , +, ) vành d oa Vành gọi vành thương X theo ideal A va an lu Nếu vành X có đơn vị vành X/ A có đơn vị X + A Nếu vành X oi m Ví dụ ll u nf giao hoán vành X/ A giao hoán z at nh Với k ∈ N, kZ ideal Z Vành thương Z/ kZ vành Z k z m co l gm Định nghóa miền nguyên @ III MIỀN NGUYÊN Phần tử x ≠ vành X gọi ước không tồn y ∈ X, an Lu y ≠ cho xy = n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 11 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều phần tử, ước không gọi miền nguyên  Định lý Trong miền nguyên phần tử khác không thỏa mãn luật giản ước Chứng minh Giả sử a ≠ ab = ac Khi ab – ac = ⇒ a(b – c) = Vì a ≠ neân b – c = ⇒ b = c Ideal nguyên tố ideal tối đại Cho X vành A ideal X Khi ideal A gọi lu nguyên tố x, y ∈ A, xy ∈ A x ∈ A y ∈ A; ideal A gọi tối an n va đại A ≠ X ideal M X chứa A M = A M = X tn to  Định lý Cho X vành giao hoán có đơn vị ≠ Khi 2) {0} ideal tối đại ⇔ X trường p ie gh 1) {0} ideal nguyên tố ⇔ X miền nguyên oa nl w 3) Ideal P X nguyên tố ⇔ X/ P miền nguyên d Chứng minh ⇔X miền nguyên u nf va an lu 1) {0} nguyên tố ⇔ xy = x = y = ll 2) {0} tối đại ⇔ ideal A X, A ≠ {0} A = X m có hai ideal {0} X ⇔X trường oi ⇔X z at nh z 3) P nguyên tố ⇔ xy ∈ P x ∈ P y ∈ P (x + P).(y + P) = + P x + P = + P gm @ ⇔ ⇔ X/ P miền nguyên m co l y + P = + P an Lu n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 12 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp IV TRƯỜNG Định nghóa tính chất Ta gọi trường vành giao hoán, có đơn vị có nhiều phần tử phần tử khác không khả nghịch Cho X trường, kí hiệu phần tử không, phần tử đơn vị Trước hết ta nhận xét ≠ Thật vậy, X tồn x ≠ 0, tồn x-1 Từ x.x-1 ≠ 0.x-1 ⇒ ≠ Ta nhận xét : Mọi trường X ước không Thật vậy, x ∈ X, x ≠ 0, neáu y ∈ X cho xy = x-1xy = x-10 ⇒ y = Do đó, lu x không ước không an n va Đặt X* = X\{0} Theo nhận xét trên, X* ổn định với phép toán nhân tn to ∈ X* Nếu x ∈ X* tồn x-1 ∈ X* Do (X*, ) nhóm Abel gh Như vậy, cách tương đương, định nghóa: (X, +, ) p ie trường w 1) X phép toán cộng nhóm Abel oa nl 2) X* = X\{0} với phép nhân nhóm Abel d 3) Phép nhân phân phối phép cộng va an lu Ví dụ ll u nf a) Với phép cộng nhân thông thường (Q, +, ), (R, +, ) trường oi m b) (Z p , +, ) với p nguyên tố trường { } z at nh Chứng minh z Zp = 0,1, , p − , dễ kiểm tra Zp với phép toán + vành giao @ gm hoán có đơn vị Ta chứng minh m ∈ Zp, m ≠ có nghịch đảo Thật m co l (m, p) = nên tồn u, v ∈ Z cho mu + pv = ⇒ m u =  Định lý 10 Vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều phần tử X an Lu trường X có hai ideal tầm thường {0} X n va Chứng minh ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 13 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Giả sử X trường A ideal cuả X, A ≠ {0} Khi tồn a ∈ A, a ≠ Suy = a-1.a ∈ A Với x ∈ X ta có x = x.1 ∈ A nên A = X Vậy X có hai ideal Ngược lại, giả sử X vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều phần tử có hai ideal Với x ∈ X, x ≠ theo định lý 7, xX ideal X sinh x Vì xX ≠ {0} nên xX = X Từ tồn y ∈ X để xy = Vì vành X giao hoán nên x có phần tử nghịch đảo y Trường lu Cho X trường Tập A X gọi trường X A an n va ổn định hai phép toán X A với hai phép toán cảm sinh Ví dụ Q trường trường cuả trường số thực R p ie gh tn to tạo thành trường nl w Ta có hai địng lý sau d oa  Định lý 11 Tập A trường X có nhiều phần tử an lu trường trường X thỏa mãn điều kiện 2) x ∈ A ⇒ -x ∈ A ll u nf va 1) x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A, xy ∈ A oi m 3) x ∈ A, x ≠ ⇒ x-1 ∈ A z at nh  Định lý 12 Tập A trường X có nhiều phần tử trường trường X thỏa mãn điều kiện m co l gm @ 2) x, y ∈ A, y ≠ ⇒ xy-1 ∈ A z 1) x, y ∈ A ⇒ x – y ∈ A an Lu n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 14 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp CHƯƠNG II SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN I KHÁI NIỆM SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN Khái niệm chia hết Cho X miền nguyên a, b ∈ X b ≠ Nếu tồn c ∈ X cho a = bc ta viết lu b | a a Μ b an n va gọi a chia hết cho b Thay cho cách gọi “a chia hết cho b” ta gọi tn to cách sau : “a bội b”, “b chia hết a” “b ước Hai phần tử a b miền nguyên gọi liên kết đồng thời p ie gh a” nl w có a | b b | a d oa  Định lý Hai phần tử a, b miền nguyên X liên kết va Chứng minh an lu chæ a ≠ 0, b ≠ tồn u ∈ X, u khả nghịch cho a = bu oi m b = av Từ ll u nf Nếu a | b b | a a ≠ 0, b ≠ tồn u, v ∈ X cho a = bu vaø z at nh a = auv ⇒ uv = ⇒ u, v khả nghịch Ngược lại, a = bu b | a Mặt khác, u khả nghịch nên b = a.u-1, z @ tức có a | b Vậy a b liên kết l gm Từ định lý suy quan hệ liên kết quan hệ tương đương phần tử khác phần tử khả nghịch m co tập X* = X\{0} Cũng định lý ta gọi hai phần tử liên kết hai an Lu n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 15 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Nếu b | a, b không khả nghịch, b không liên kết với a b gọi ước thực a, kí hiệu b || a Liên hệ tính chất chia hết ideal sinh bời phần tử ta có  Định lý Cho X miền nguyên, a, b ∈ X b ≠ Khi ñoù 1) b | a ⇔ ⊃ 2) b || a ⇔ ⊃ ≠ Chứng minh 1) b | a⇔ ∃ x ∈ X, a = bx ⇔ a ∈ ⇔ ⊂ lu an 2) b || a ⇔ ∃ x ∈ X, x không khả nghịch, không liên kết với a, a = bx ⇔ va a ∈ , b ∉ ⇔ ⊂ n ≠ to tn Cho mieàn nguyên X a, b ∈ X Phần tử d ∈ X gọi ước chung lớn ie gh a b, kí hiệu ƯCLN (a, b), d | a, d | b với c ∈ X, c | a, p c | b c | d nl w Hai phần tử a b miền nguyên X gọi nguyên tố d oa ƯCLN(a, b) = u phần tử khả nghịch an lu Khi a b nguyên tố ta có ƯCLN(a, b) = 1, : a u nf va b nguyên tố ⇔ ƯCLN(a, b) = ll  Định lý Nếu d ƯCLN (a, b) tập ước chung lớn a m oi b trùng với tập phần tử liên kết với d z at nh Chứng minh z Giả sử d' ước chung lớn a b Theo định nghóa gm @ ta có d’| d d | d’ Vậy d’ liên kết với d l Bây giả sử d’ liên kết với d, theo định lý tồn u khả nghịch để an Lu ước chung lớn a b m co d = d’u ⇔ d’ = du-1 Do ñoù, d | a, d | b, c | d có d’| a, d’| b, c | d’ Vậy d’ n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 16 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Phần tử nguyên tố phần tử bất khả quy Phần tử p miền nguyên X gọi nguyên tố p ≠ 0, p không khả nghịch với a, b ∈ X, p | ab p | a họăc p | b Phần tử p gọi bất khả quy p ≠ 0, p không khả nghịch với a, b ∈ X, p = ab a khả nghịch b khả nghịch, nói cách khác p ước thực  Định lý Trong miền nguyên X phần tử nguyên tố phần tử bất khả quy Chứng minh lu Giả sử p nguyên tố a, b ∈ X cho p = ab Vì p | ab nên p | a an n va họăc p | b Xét trường hợp p | a Khi tồn u ∈ X, a = pu Từ đó, p = p(ub), gh tn to suy ub = Vậy b khả nghịch p ie II VÀNH CHÍNH w Định nghóa vành d va an Ví dụ lu ideal oa nl Một miền nguyên X gọi vành ideal X ll u nf Mọi ideal vành số nguyên Z có dạng mZ = , oi m ideal Vậy Z vành z at nh  Định lý Trong vành X không tồn dãy vô hạn phần tử z a , a , …, a n , …, a i+1 ước thực a i với i = 1, 2, …, n, … gm @ Chứng minh ≠ ≠ ≠ m co < a1> ⊂ < a2> ⊂ < a3> ⊂ … l Nếu có dãy theo định lý ta có dãy ideal lồng an Lu n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 17 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Dễ dàng kiểm tra A = ∪ < a i > ideal X, dó tồn a ∈ X i cho = A Vì a ∈ A nên a ∈ < a i > với i Với n > i theo định lí ta có < a i > ⊂ < a n > ⊂ < a n+1 > ⊂ A ⊂ < a i > 0 Vaäy < a n > = < a n+1 > mà điều mâu thuẫn với a n+1 ước thực a n Vành nhân tử hóa lu Cho X miền nguyên Phần tử a ∈ X gọi phân tích an n va cách thành tích phần tử bất khả quy tồn phần tử bất tn to khả quy p , p , , p n cho a = p p …p n phân tích nhất, gh không kể đến thứ tự nhân tử khả nghịch Nói cách khác, có p ie a = q q …q m với q i bất khả quy m = n với cách đánh số thích nl w hợp ta có p i liên kết với q i với i = 1, 2, , n d oa Miền nguyên gọi vành nhân tử hóa hay vành Gauss an lu phần tử khác không, không khả nghịch phân tích cách u nf va thành tích phần tử bất khả quy ll  Định lý Mọi vành vành nhân tử hóa oi m Chứng minh z at nh Giả sử a phần tử khác không, không khả nghịch vành X Trước hết ta chứng minh a có ước bất khả quy Thật vậy, trái lại a z gm @ ước bất khả quy a không bất khả quy có ước thực l a không bất khả quy, a lại có ước thực không bất khả quy a , … m co Ta dãy a , a , … vô hạn phần tử mà phần tử đứng sau ước thực an Lu phần tử đứng liền trước, theo định lý điều mâu thuẫn n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 18 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Giả sử p ước bất khả quy a Khi a = p a Nếu a không bất khả quy tồn ước bất khả quy p , a = p a , a = p p a , … Theo định lý 5, sau n bước ta có a n bất khả quy, đặt p n = a n ta a = p p …p n tích phần tử bất khả quy Bây giả sử a có hai cách phân tích thành tích phần tử bất khả quy a = p1p2 … pn = q1q2 … qm Ta giả thiết n ≤ m Vì vành phần tử bất khả quy lu nguyên tố p i | q q … q m nên tồn q j cho p i | q j Neáu cần đánh an n va số lại, ta giả thiết p i | q i Vì p i q i bất khả quy nên tồn phần tử u i tn to khả nghịch cho q i = p i u i Từ Với u = u u … u n phần tử khả nghịch Nếu m > n p ie gh q q … q n = p p … p n u = a.u oa nl w a = q q … q n q n+1 … q m = auq n+1 … q m d Suy q n+1 … q m = u-1 phần tử khả nghịch, ta gặp mâu thuẫn lu III VÀNH EUCLIDE u nf va an Vậy m = n q i = p i u i với i = 1, 2, …, n ll Định nghóa vành Euclide oi m z at nh Cho X miền nguyên Kí hiệu X* = X/{0} Miền nguyên X gọi vành Euclide có ánh xạ m co l gm 1) Nếu b | a a ≠ δ(b) ≤ δ(a) @ thỏa mãn điều kiện z δ : X* → N 2) Với a, b ∈ X, b ≠ 0, tồn taïi q, r ∈ X cho a = bq + r an Lu r = δ(r) < δ(b) n va ac th SVTH : Nguyeãn Thị Thanh Trang 19 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Ví dụ Theo định lý phép chia có dư Z, với ánh xạ δ : Z* → N, n α |n| vành số nguyên Z vành Euclide  Định lý Mọi vành Euclide vành Chứng minh Giả sử X ánh xạ δ : X* → N vành Euclide, A ideal tùy ý X Nếu A = {0} A ideal sinh Xét trường hợp A ≠ {0} Tập lu an {δ(a) | a ∈ A, a ≠ 0} ⊂ N có số nhỏ nhất, có a ∈ A cho δ(a) số nhỏ va n nói tn to Ta chứng minh A = Thật vậy, với x ∈ A X vành ie gh Euclide nên x = aq + r, r = δ(r) < δ(a) Nếu r ≠ r = x – aq ∈ p A, δ(r) < δ(a) mâu thuẫn với cách chọn phần tử a Vậy r = x = aq ∈ nl w Từ A = ideal an lu nhân tử hóa d oa Nhận xét Theo định lý ta có : vành Euclide vành u nf va Thuật toán tìm ước chung lớn ll Tương tự số nguyên, sử dụng thuật toán Euclide để oi m tìm ước chung lớn hai phần tử vành Euclide z at nh Nhận xét Dễ dàng thấy 1) Nếu a | b ƯCLN (a, b) = a z gm @ 2) Neáu a = bq + r, b ≠ ƯCLN(a, b) ƯCLN(b, r) b = r q + r , r = hoaëc δ(r ) < δ(r ) an Lu Neáu r ≠ ta có m co a = bq + r , r = họăc δ(r ) < δ(b) l Giả sử a, b ∈ X, b ≠ Khi tồn q , r ∈ X cho n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 20 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Nếu r ≠ ta có r = r q + r , r = hoaëc δ(r ) < δ(r ) …………… Vì δ(b) > δ(r ) > δ(r ) > … nên sau số hữu hạn bước ta phải có r n+1 = tức r n-1 = r n q n+1 Theo nhận xét 2, 1) 1) ÖCLN (r n , r n-1 ) = r n-1 Từ theo nhận xét 2, 2) lu 2) Ta có ƯLCN (a, b) = r n-1 an n va  Định lý Cho a b phần tử vành Euclide X gh tn to IV TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG VÀNH EUCLIDE p ie ƯCLN (a, b) = d Khi tồn u, v ∈ X cho w au + bv = d oa nl Chứng minh d Nếu hai phần tử chia hết cho nhau, chẳng hạn a Μ b lu u nf Khi : va an d = εb, ε phần tử khả nghịch ll d = au + bv với u = 0, v = ε oi m z at nh Nếu phần tử hai phần tử chia hết cho phần tử thuật toán Euclide (xem 2, III) tồn r i ≠ Ta chứng minh = a.(q ) + b.(q.q + 1) an Lu r = b – r q = b – (a – bq)q m co Thaät vaäy, r = a – bq = a.1 + b.(–q) l (*) gm @ r i = au + bv z với i = 0, 1, …, n-1 : n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 21 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp nên ( * ) với i = 0, i = Bây giả sử ( * ) với i – i (i ≥ 1), tức laø : r i-1 = au i -1 + bv i -1 r i = au i + bv i Khi đó, ta có : r i+1 = r i -1 – r i q i -1 = au i -1 + bv i -1 – (au i + bv i )q i+1 = a(u i-1 – u i q i+1 ) + b(v i-1 – v i q i+1 ) lu an n va tức ( * ) với i + Theo phương pháp quy nạp, ( * ) chứng minh tn to Từ ∃ u*, v* ∈ X để au* + bv* = r n-1 Vì d = εr n-1 , ε phần tử khả ie gh nghịch nên d = εr n-1 = au + bv p  Định lý Cho a b phần tử vành Euclide Khi a nl w b nguyên tố ⇔ ∃u, v ∈ X cho d oa au + bv = an lu Chứng minh u nf va Nếu a b nguyên tố tức (a, b) = theo định lý có u, v để ll oi m au + bv = z at nh Ngược lại, giả sử có u, v để đẳng thức xảy Khi d ước chung tùy ý a b d ước au + bv nên d ước 1, tức d l gm @ (a, b) = z phần tử khả nghịch Vậy m co  Định lý 10 Cho a, b, c phần tử vành Euclide X Nếu Chứng minh an Lu phần tử c ước tích a.b ƯCLN (a, c) = c ước b n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 22 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Giả sử c | ab, (c, a) = ta cần chứng minh c | b Vì (c, a) = nên theo định lý tồn u, v ∈ X cho cu + av = ⇒ bcu + abv = b Hiển nhiên c | bc, theo giả thiết c | ab, nên c | bcu + abv ⇒ c | b  Định lý 11 Cho a, b, c phần tử vành Euclide X Khi (ab, c) = ⇔ (a, c) = vaø (b, c) = Chứng minh lu Giả sử (a, bc) = Khi tồn u, v : au + (bc)v = an n va ⇒ au tn to ⇒ + b(cv) = vaø au + c(bv) = (a, b) = vaø (a, c) = au + bv = , au + cv = p ie gh Ngược lại, (a, b) = (a, c) = tồn taïi u , v , u , v cho w ⇒ (au + bv ) (au + cv ) = a(au u + bu v + cu u ) + (bc)(v v ) = ⇒ (a, bc) = d oa nl ⇒ lu va an  Định lý 12 Cho a, b, c phần tử vành Euclide X Khi ll oi m Chứng minh u nf a b ước c, a b nguyên tố ab ước c z at nh Do a | c nên tồn q∈ X, aq = c Từ đó, b | c suy b | aq Vì (a, b) = nên theo định lý 10, b | q tức tồn q’∈ X để q = bq’ Suy abq’ = c hay ab z m co l gm @ | c an Lu n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 23 si Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Tài liệu tham khảo lu an Đậu Thế Cấp, Cấu trúc đại số, NXB Giáo dục, 2003 Đậu Thế Cấp, Số học, NXN Giáo dục, 2003 Mỵ Vinh Quang, Đại số Đại cương, NXB Giáo dục, 2001 n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 24 si