Ở trong bài tập lớn này ta cần sử dụng các giản đồ số để xác định được Tx,ylà nhiệt độ trong miền tính toán, đồng thời giải quyết các vấn đồ được đặt ra ởmục 2.. để có thể hiểu rõ về c
Đề bài
Xem xét vấn đồ đối lưu – khuếch tán hai chiều ổn định của nhiệt độ:
Trong đó Pr là hằng số Prandtl và Re là số Reynolds.
Điều kiện biên theo phương ngang như sau:
là thành phần vận tốc theo phương x
là thành phần vận tốc theo phương y
Ở trong bài tập lớn này ta cần sử dụng các giản đồ số để xác định được T(x,y) là nhiệt độ trong miền tính toán, đồng thời giải quyết các vấn đồ được đặt ra ở mục 2 để có thể hiểu rõ về các giản đồ, phương pháp giản đồ số nào phù hợp hơn,…
Giải quyết vấn đồ
Ảnh hưởng của kích thước lưới
Dùng giản đồ số “upwind” bậc nhất cho các số hạng đối lưu, tự do thiết kế 03 loại lưới(thô, vừa, và mịn) để xét độ hội tụ lưới, viết chương trình (code) để tìm sự phân bố nhiệt độ T(x, y) trong miền tính toán và nhiệt độ tại các đường x = 0.5 và y = 1 Trình bày hình ảnh, vẽ đồ thị và nhận xét kết quả cho 03 loại lưới trên.
Ảnh hưởng của giản đồ số cho số hạng đối lưu
Dùng giản đồ số trung tâm “central” cho các số hạng đối lưu để tính toán kết quả, rồi so sánh với kết quả khi dùng giản đồ số “upwind” ở câu 1 cho cùng 1 lưới.
Ảnh hưởng của các thông số Re và Pr trong số hạng khuếch tán
Thay đổi các hằng số như sau: a) Pr = 1 và Re = 35 b) Pr = 1,5 và Re = 20
Khi đó dùng giản đô số “upwind” cho các số hạng đối lưu và lưới hội tụ xác định câu 1 để tìm phân bố T(x, y) Nhận xét kết quả đạt được ở câu 3 và so sánh với kết quả ở câu
1 cùng các điều kiện (lưới và giản đồ số).
Phương pháp số
Ta có ba phương pháp chính để giải một bài toán trong lưu chất
Phương pháp Ưu điểm Nhược điểm
- Có thể giải trên các máy tính song song.
- Tốt nhất trên lưới hình chữ nhật.
- Khó sử dụng với những mô hình có hình phức tạp.
- Chỉ dùng cho lưới cấu trúc.
FEM - Phương pháp liên tục.
- Các hàm cơ bản được sử dụng để tính gần đúng nghiệm.
- Cho phép tính toán ở nhiều loại lưới khác nhau.
- Dễ sử lý những mô hình có biên dạng hình học cong.
- Khó xác định bảo toàn cục bộ.
- Khó rời rạc một bài toán đối lưu
- Bảo toàn cục bộ dẫn đến thông lượng trong mỗi thể tích kiểm soát được bảo toàn.
- Cho phép tính toán ở nhiều dạng lưới khác nhau.
- Để đạt được high-order thì cần phải sử dụng các loại lưới cấu trúc, điều này dễ làm ảnh hưởng đến hình học của mô hình.
Yêu cầu của để bài là:
- Giải quyết là bài toán về truyền nhiệt trong lưu chất có thành phần đối lưu và
Vậy nên nhóm quyết định sử dụng phương pháp thể tích hữu hạn (FVM) để giải quyết bài toán.
Rời rạc hóa phương trình vi phân thành hệ phương trình đại số
Ta có thể viết lại phương trình 01 như sau: Áp dụng định lý Gauss – Divergence :
Công thức tính thông lượng “fluxes” cho một cell tại các biên và bên
Phần tử không ở biên – Phần tử 1
Phần tử ở biên góc trái tại x =0
Hình 4: Top-Left corner boundary
Hình 7: Bottom-Right corner boundary
Phần tử phía dưới y = 0 – Phần tử 8
Phần tử phía trên tại y = 1 – Phần tử 9
Sơ đồ giải thuật để viết chương trình (code)
Hình 10: Sơ đồ giải thuật
Miền tính toán (Domain) [1x2] được chia lưới dưới dạng hình chữ nhật với a ô lưới theo chiều x và b ô lưới theo chiều y Các ô lưới (cell) được đánh số thứ tự từ 1 đến N
Vị trí ô lưới được xác định theo quy tắc của phần tử trong ma trận, trong đó ô lưới nằm ở hàng i, cột j có vị trí (i, j) và số thứ tự là n = (i – 1).a – j.
Ma trận hệ số A và B chứa các hệ số của phương trình giải cho ô lưới thứ n sẽ có kích thước NxN và 1xN.
Hàng thứ n của mà ma trận A và B là hệ số của phương trình khuếch tán – đối lưu viết cho ô lưới T(i,j) (với n = (i -1).a+j ).
Lựa chọn phương pháp giải quyết phù hợp
Để thực hiện giải các nghiệm của hệ phương trình : A.x = B, ta có nhiều phương pháp giải quyết Trong Matlab, để giải hệ phương trình tuyến tính dạng A⋅x = B, ta có thể sử dụng hàm mldivide hoặc mrdivide, hoặc sử dụng các hàm khác như linsolve hoặc các hàm giải hệ phương trình tuyến tính cụ thể như inv, lu, qr, chol
Cơ sở toán học phổ biến cho việc giải hệ phương trình này là sử dụng các phương pháp đại số tuyến tính như:
- Phương pháp ngịch đảo ma trận (Matrix inversion method): x= A −1 B
Tuy nhiên, phương pháp này không phổ biến trong thực tế vì nó yêu cầu tính toán ma trận nghịch đảo, đòi hỏi nhiều tài nguyên tính toán của máy tính và không hiệu quả cho các ma trận lớn.
- Phương pháp phân rã LU (LU decomposition): Phương pháp này phân rã ma trận A thành tích của một ma trận tích LU, trong đó L là một ma trận tam giác dưới và U là một ma trận tam giác trên Sau đó, hệ phương trình được giải bằng việc giải hai hệ phương trình tam giác:
Trong đó, y và x là các vectơ không gian tương ứng.
- Phương pháp sử dụng Decomposition QR: Tương tự như phân rã LU, nhưng phân rã A thành tích của một ma trận trực giao Q và một ma trận tam giác trên
R Cách tiếp cận này thích hợp cho các ma trận dài và hẹp.
- Phương pháp sử dụng Cholesky Decomposition: Được sử dụng cho các ma trận đối xứng và xác định dương.
Các phương pháp này tùy thuộc vào tính chất cụ thể của ma trận A Để có kết quả tính toán hiệu quả hơn, MATLAB cung cấp sẵn các phương pháp được tối ưu hóa giúp giải quyết hệ phương trình A.x = B.
3 KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ THẢO LUẬN
Câu 1
Tiến hành khảo khát độc lập lưới tại các mức lưới có số lượng ô lưới (cell) khác nhau:
Hình 12: Contour tại mức lưới 32cells Hình 13: Contour tại mức lưới 800cells
Hình 14: Contour tại mức lưới 3200cells Hình 15: Contour tại mức lưới 12800cells
Khảo sát giá trị nhiệt độ tại vị trí (x,y) = (0.5,1), kết quả cho ở đồ thị:
Khảo sát hội tụ lưới
Số lư ợn g ce lls Đồ thị 1: Khảo sát hội tụ lưới
Độ mịn lưới càng cao thì độ chính xác càng cao, song thời gian tính toán sẽ dài hơn và yêu cầu bộ nhớ máy tính lớn hơn Quá trình khảo sát độ hội tụ lưới cho thấy ở mức 4000 ô lưới, độ sai lệch không đáng kể Để tiết kiệm thời gian và tài nguyên máy tính, đồng thời đảm bảo độ chính xác, ta chọn kích thước lưới là 7200 ô (60 ô lưới trên trục x và 120 ô lưới trên trục y).
Dưới đây là kết quả tham khảo của lưới 7200 cells sử dụng giản đồ Central Scheme:
Câu 2
Giản đồ Upwind và Central là hai phương pháp phổ biến được sử dụng trong phân tích phần tử hữu hạn (CFD) cho các bài toán 2D So sánh giữa hai giản đồ này:
Giản đồ Upwind: Ưu điểm:
Hiệu quả cho các bài toán có dòng chảy mạnh và có tính chất 'dòng một chiều' (one-directional flow), trong đó dòng chảy chủ yếu di chuyển theo một hướng.
Giảm hiện tượng dao động và sự phân tán nếu dòng chảy di chuyển theo một hướng cụ thể.
Không hiệu quả khi xử lý các hiện tượng dòng chảy phức tạp hoặc đa chiều.
Dễ gây ra hiện tượng mất cân bằng nếu không được thực hiện cẩn thận.
Giản đồ Central: Ưu điểm:
Hiệu quả cho các bài toán có dòng chảy không đồu hoặc có tính chất đa chiều.
Có thể đảm bảo tính cân bằng và ổn định nếu được áp dụng đúng cách.
Khả năng phân tán lớn hơn so với giản đồ Upwind, có thể dẫn đến sự mất mát độ chính xác của kết quả.
Dễ gây ra hiện tượng dao động nếu không được cấu hình một cách chính xác.
Tóm lại, giản đồ Upwind sẽ là lựa chọn ưu tiên trong các bài toán có dòng chảy mạnh và đơn chiều, còn giản đồ Central sẽ thích hợp hơn với các bài toán có dòng chảy phức tạp và đa chiều Sự lựa chọn giản đồ sẽ phụ thuộc vào đặc tính cụ thể của bài toán cũng như kỹ năng của người mô phỏng trong việc cấu hình và sử dụng các giản đồ này một cách hiệu quả.
Khảo sát giá trị nhiệt độ của cells 1 (giá trị T(1,1)) đối với từng kích thước lưới ở 2 giản đồ Upwind-Scheme và Central-Scheme:
- Khi hội tụ lưới Giá trị sai số giữa 2 giản đồ Upwind Scheme và Central Scheme là không đán kể (
