Bài tập lớn cuối kỳ toán cao cấp - ĐH Ngoại Ngữ ĐH QGHN

Bài tập lớn cuối kỳ toán cao cấp - ĐH Ngoại Ngữ ĐH QGHN Lớp Thầy Khánh, sử dụng tài liệu tiếng Anh, dịch đề bài ra tiếng Việt và làm

Bài 34/Tr.11: Mối quan tâm quan trọng trong nghiên cứu sự truyền nhiệt là xác định

sự phân bố nhiệt độ ở trạng thái ổn định của bản mỏng khi biết nhiệt độ xung quanhranh giới Giả sử tấm kim loại trong hình biểu diễn tiết diện của chùm kim loại, códòng nhiệt không đáng kể theo phương vuông góc với tấm Gọi T1 ,T4 biểu thị nhiệt

độ tại bốn nút bên trong của lưới trong hình Nhiệt độ tại một nút xấp xỉ bằng mứctrung bình của bốn nút gần nhất - bên trái, bên trên, bên phải và bên dưới Ví dụ,

Bài 28/Tr.33: Một nhà máy hơi nước đốt hai loại than: than antraxit (A) và bitum

(B) Đối với mỗi tấn A bị đốt cháy, nhà máy tạo ra 27,6 triệu Btu nhiệt, 3100 gam (g)lưu huỳnh đioxit và 250g chất dạng hạt (chất ô nhiễm dạng hạt rắn) Đối với mỗi tấn

B bị đốt cháy, nhà máy tạo ra 30,2 triệu Btu, 6400g lưu huỳnh đioxit và 360g vật chấtdạng hạt

a Khi đốt x1 tấn A và x2 tấn B thì nhà máy tỏa ra nhiệt lượng là bao nhiêu?

b Giả sử đầu ra của nhà máy hơi nước được mô tả bằng một véc tơ liệt kê lượngnhiệt, lưu huỳnh điôxít và các chất dạng hạt Biểu thị sản lượng này dưới dạng kếthợp tuyến tính của hai vectơ, giả sử rằng nhà máy đốt x1tấn A và x2 tấn B

c [M] Trong một khoảng thời gian nhất định, nhà máy hơi nước đã tạo ra 162 triệuBtu nhiệt, 23.610 g sulfur dioxide và 1623 g vật chất dạng hạt Xác định xem nhàmáy hơi nước phải đốt bao nhiêu tấn than mỗi loại Bao gồm một phương trình vectơnhư một phần của giải pháp của bạn

Vậy hệ thống hơi đốt 3.9 tấn than anthracite và 1.8 tấn than bituminous.

Bài 2/Tr.55: Tìm một tập hợp giá cân bằng khác của nền kinh tế trong Ví dụ 1 Giả

sử cùngmột nền kinh tế đã sử dụng đồng yên Nhật thay vì đô la để đo giá trị đầu ra của các ngành khác nhau Điều này sẽ thay đổi vấn đề theo bất kỳ cách nào? Thảo luận

Giải

Biểu thị tổng sản lượng hàng năm (tính bằng đô la) của các ngành theo P G và P S

Từ hàng đầu tiên, tổng giá trị đầu vào cho ngành Hàng hóa là 0.2P G + 0.7P S Lĩnhvực hàng hóa phải trả tiền cho điều đó Vì vậy, giá cân bằng phải thỏa mãn:

Thu nhập = Chi phí P G = 0.2P G +0.7P S

Từ hàng thứ hai, đầu vào (nghĩa là chi phí) của ngành Dịch vụ là 0.8P G +0.3P S

Phương trình cân bằng cho ngành Dịch vụ là

Thu nhập = Chi phí P S = 0.8P G +0.3P S

0.8P G -0.7P S = 0

-0.8P G +0.7P S = 0

Giải pháp là P G =0.875 P S

Chỉ có tỷ lệ của giá là quan trọng P G = 0.875 P S

Trạng thái cân bằng kinh tế sẽ không bị ảnh hưởng bởi sự thay đổi tỷ lệ của giá cả

Cho P S =200 triệu đô la Các giá cân bằng khác là PC=188 triệu, PE=170 triệu Bất kỳbội số không âm nào của các giá này đều là tập hợp các giá cân bằng, vì tập nghiệmcủa hệ phương trình bao gồm tất cả các bội số của một vectơ

Tóm lại, việc thay đổi đơn vị đo lường thành euro châu Âu có tác dụng tương tựnhư nhân tất cả các mức giá cân bằng với một hằng số Tỷ lệ giá vẫn giữ nguyên vớibất kể loại tiền nào được sử dụng

Bài 4/Tr.55

a Điền vào bảng trao đổi từng cột một

Phân loại theo đầu ra từ

Bài 6/Tr.55: Khi trộn các dung dịch natri photphat và bari nitrat, kết quả là bari

photphat (dưới dạng kết tủa) và natri nitrat Phương trình không cân bằng là

2 1

KMnO MnSO H O MnO K SO H SO

[Đối với mỗi hợp chất, hãy xây dựng một vectơ liệt kê số nguyên tử của kali (K),mangan, oxy, lưu huỳnh và hydro.]

aKMnO bMnSO cH O  dMnO eK SO  fH SO

Chuyển PT sang vế trái ta được ma trận

1( 1) 2 1( 4) 3

2KMnO  3MnSO  2H O  5MnO K SO  2H SO

Bài 10/Tr.55: [M] Phản ứng hóa học dưới đây có thể được sử dụng trong một số quy

trình công nghiệp, chẳng hạn như sản xuất arsene (AsH3) Sử dụng định dạng số họcchính xác hoặc định dạng hữu tỉ để tính toán cân bằng phương trình này

MnS + As 2 Cr 10 O 35 + H 2 SO 4 → HMnO 4 + AsH 3 + CrS 3 O 12 + H 2 O

Giải tương tự như 2 bài trên, đáp án:

16MnS + 13As 2 Cr 10 O 35 + 37H 2 SO 4 → 16HMnO 4 + 26AsH 3 + 130CrS 3 O 12 + 327H 2 O

Bài 12/Tr.55-56

a Tìm kiểu giao thông chung trong mạng lưới đường cao tốc được hiển thị tronghình (Tốc độ dòng xe/ phút.)

b Mô tả kiểu giao thông chung khi đường có luồng x4 bị đóng

c Khi x4 = 0 thì giá trị nhỏ nhất của x2 là bao nhiêu?

100 60

c Giá trị nhỏ nhất của x1 sẽ là 40 xe/phút, vì x3 không âm

Bài 14/Tr.56: Các giao lộ ở Anh thường được xây dựng như một "bùng binh" một

chiều, chẳng hạn như giao lộ trong hình Giả sử rằng giao thông phải đi theo các hướng được hiển thị Tìm giải pháp chung của luồng mạng Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của X6

Vì x4 không thể âm nên giá trị nhỏ nhất của x6 là 70

Bài 2/Tr.87: Một phần ăn của Post Shredded Wheat cung cấp 160 calo, 5g protein,

6g chất xơ và chất béo Một phần ăn của Crispix cung cấp 110 calo, 2g protein, 0,1gchất xơ và 0,4g chất béo

a Thiết lập ma trận B và một vectơ sao cho Bu cung cấp lượng calo, protein, chất xơ

và chất béo có trong hỗn hợp ba phần Lúa mì vụn và hai phần Crispix

b [M] Giả sử bạn muốn một loại ngũ cốc có nhiều chất xơ hơn Crispix nhưng ít calohơn Lúa mì vụn Liệu hỗn hợp của hai loại ngũ cốc có thể cung cấp 130 calo, 3,20 gprotein, 2,46 g chất xơ và 0,64 g chất béo không? Nếu vậy, hỗn hợp là gì?

Giải

a Gọi vecto

S u C

 

 

  biểu diễn cho lượng Shredded Wheat(S) và Crispix(C)

Véc tơ dinh dưỡng cho Wheat(S) và Crispix(C) là

Vậy ta phải trộn 0.4 phần Shredded Wheat với 0.6 phần Crispix để được các chất

dinh dưỡng mong muốn

Bài 4/Tr.87: Chế độ ăn kiêng Cambridge cung cấp 8g canxi mỗi ngày, ngoài các

chất dinh dưỡng được liệt kê trong Bảng 1 cho Ví dụ 1 Lượng canxi trên một đơn vị(100g) được cung cấp bởi ba thành phần trong Chế độ ăn uống Cambridge như sau:1,26g từ sữa không béo, 0,19 g từ bột đậu nành và 8g từ váng sữa Một thành phầnkhác trong hỗn hợp chế độ ăn uống là protein đậu nành cô lập, cung cấp các chất dinhdưỡng sau trong mỗi đơn vị: 80g protein, 0g carbohydrate, 3,4g chất béo và 0,18gcanxi

a Thiết lập một phương trình ma trận có giải pháp xác định lượng sữa không béo, bộtđậu nành, váng sữa và protein đậu nành cô lập cần thiết để cung cấp lượng protein,

carbohydrate, chất béo và canxi chính xác trong Chế độ ăn kiêng Cambridge Nêunhững gì các biến trong phương trình biểu diễn.

b (M) Giải phương trình trong (a) và thảo luận về câu trả lời

Bài 10/Tr.88: Trong một khu vực nhất định, khoảng 6% dân số của thành phố

chuyển đến các vùng ngoại ô xung quanh mỗi năm và khoảng 4% dân số ngoại ôchuyển vào thành phố Vào năm 2015, có 10.000.000 cư dân trong thành phố và800.000 ở các vùng ngoại ô Thiết lập một phương trình chênh lệch mô tả tình huốngnày, trong đó X0 là dân số ban đầu vào năm 2015 Sau đó, ước tính dân số trongthành phố và vùng ngoại ô vào hai năm sau, vào năm 2017

Bài 12/Tr.88: [M] Budget Rent A Car ở Wichita, Kansas, có đội xe khoảng 500

chiếc, tại ba địa điểm Xe được thuê tại một địa điểm có thể được trả lại bất kỳ địađiểm nào trong ba địa điểm Các phần nhỏ khác nhau của những chiếc xe được trả về

ba địa điểm được hiển thị trong ma trận dưới đây Giả sử rằng vào thứ Hai có 295 ô

tô ở sân bay (hoặc thuê từ đó), 55 ô tô ở văn phòng phía đông và 150 ô tô ở vănphòng phía tây Phân phối gần đúng số lượng xe ô tô vào thứ Tư sẽ như thế nào?

Giải

Xét ma trận:

0.97 0.05 0.1

0 0.9 0.05 0.03 0.05 0.85

Kết luận: Thứ tư sẽ có 312 xe ở sân bay, 58 xe ô tô ở văn phòng phía Đông và 130 xe

ở văn phòng phía Tây

Bài 14/Tr.88: [M] Nghiên cứu sự thay đổi của nhiệt độ biên trên tấm thép ảnh hưởng

đến nhiệt độ tại các điểm bên trong tấm thép như thế nào

a Bắt đầu bằng cách ước tính nhiệt độ T1, T2, T3, T4 tại mỗi bộ bốn điểm trên tấmthép được thể hiện trong hình Trong mỗi trường hợp, giá trị của Tk được tính gầnđúng bằng giá trị trung bình của nhiệt độ tại bốn điểm gần nhất Xem các Bài tập 33

và 34 trong Phần 1.1, trong đó các giá trị (tính bằng độ) lần lượt là (20, 27,5, 30,22,5) Danh sách các giá trị này có liên quan như thế nào đến kết quả của bạn cho cácđiểm trong tập hợp (a) và tập hợp (b)?

b Không cần thực hiện bất kỳ phép tính nào, hãy đoán nhiệt độ bên trong ở (a) khicác nhiệt độ biên đều được nhân với 3 Kiểm tra phỏng đoán của bạn.

c Cuối cùng, đưa ra một phỏng đoán chung về sự tương ứng từ danh sách tám nhiệt

độ biên với danh sách bốn nhiệt độ bên trong

a Kết hợp với kết quả bài 33,34 ta có kết quả nghiên cứu như sau

T2 10 17.5 27.5

Ta có thể thấy kết quả của bài 34 là tổng của hai Plate a và Plate b

Tuy nhiên danh sách nhiệt độ biên ở bài 34 chưa chắc đã bằng tổng danh sách nhiệt

độ biên của 2 Plate a và Plate b

b Khi nhiệt độ biên ở Plate (a) được nhân với 3 thì nhiệt độ bên trong mới cũngnhân3

c Ta thấy sự tương ứng từ danh sách tám nhiệt độ biên với danh sách bốn trạng tháikhí chất bên trong là một phép biến đổi tuyến tính Có thể chỉ ra rằng các đáp số củabài toán nhiệt độ trạng thái dừng ở đây thỏa mãn một nguyên lý chồng chất Hệ

phương trình tính gần đúng nhiệt độ bên trong có thể được viết dưới dạng Ax=b, trong đó A được xác định bởi sự sắp xếp của bốn điểm bên trong và b là một vectơ trong R 4 được xác định bởi các nhiệt độ biên

Bài 2,4/Tr.138: Bài tập 1-4 đề cập đến một nền kinh tế được chia thành ba khu vực

sản xuất, nông nghiệp và dịch vụ Đối với mỗi đơn vị sản lượng, ngành sản xuất yêu cầu 0,10 đơn vị từ các công ty khác trong lĩnh vực đó, 0,30 đơn vị từ nông nghiệp và 0,30 đơn vị từ dịch vụ Đối với mỗi đơn vị sản lượng, nông nghiệp sử dụng 0,20 đơn

vị sản lượng của chính nó, 0,60 đơn vị từ sản xuất và 0,10 đơn vị từ dịch vụ Đối với mỗi đơn vị sản lượng, lĩnh vực dịch vụ tiêu thụ 0,10 đơn vị từ dịch vụ, 0,60 đơn vị từ sản xuất, nhưng không có sản phẩm nông nghiệp

2 Xác định mức sản xuất cần thiết để đáp ứng nhu cầu cuối cùng của 18 đơn vị chonông nghiệp, không có nhu cầu cuối cùng cho các ngành khác (Không tính ma trậnnghịch đảo.)

4 Xác định mức sản xuất cần thiết để đáp ứng nhu cầu cuối cùng là 18 đơn vị sảnxuất, 18 đơn vị nông nghiệp và 0 đơn vị dịch vụ

Giải

2 Có ma trận

0.1 0.6 0.6 0.3 0.2 0 0.3 0.1 0.1

1 1

4

2(2.67) 1 0.6

Để đáp ứng được 18 đơn vị nông nghiệp thì ngành sản xuất cần phải sản xuất 33 đơn

vị, nông nghiệp cần 35 và dịch vụ cần 15 đơn vị

4 Tương tự như câu 2, có x = Cx + d

Bài 2/Tr.263: Động vật thí nghiệm có thể ăn bất kỳ một trong ba loại thực phẩm mỗi

ngày Hồ sơ phòng thí nghiệm cho thấy nếu động vật chọn một loại thức ăn trong một

lần thử, nó sẽ chọn cùng một loại thức ăn trong lần thử tiếp theo với xác suất là 50%

và nó sẽ chọn các loại thức ăn khác trong lần thử tiếp theo với xác suất bằng nhau là 25%

a Ma trận ngẫu nhiên cho tình huống này là gì?

b Nếu con vật chọn thức ăn số 1 trong lần thử đầu tiên, thì xác suất để nó chọn thức

ăn số 2 trong lần thử thứ hai sau lần thử đầu tiên là bao nhiêu?

a Động vật có thể chọn môt trong ba loại thức ăn, vì vậy đối với mỗi loại thức ăn ta

sẽ có một cột/hàng Gọi M là ma trận ngẫu nhiên cho phần này và M sẽ là dạng matrận 3x3

Ta đặt tên cho các loại thức ăn là 1, 2, 3 (theo thứ tự tự quyết), thì sẽ có hàng và cột i

sẽ đại hiện cho loại thức ăn i Cột sẽ địa diện cho trường hợp con vật chọn thứ ăn số

1 trong lần thử đầu tiên, hàng là dành cho trường hợp con vật chọn thứ ăn số 1 saulần thử đầu tiên

Như đề bài đưa ra là xác suất chọn cùng một loại thức ăn trong lần thử tiếp theo vớixác suất là 50% Vì vậy tất cả các phần từ nằm trên đường chéo chính sẽ là 0.5 Vàtrường hợp nó sẽ chọn các loại thức ăn khác trong lần thử tiếp theo với xác suất bằngnhau là 25%, có nghĩa là tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính sẽ có giá trị

Bài 4/Tr.263: Thời tiết ở Columbus đẹp, bình thường hoặc xấu vào bất kỳ ngày nào.

Nếu thời tiết hôm nay tốt, thì có 60% khả năng ngày mai sẽ tốt, 30% khả năng là thờitiết sẽ bình thường và 10% khả năng là thời tiết xấu Nếu thời tiết hôm nay bìnhthường, thì ngày mai sẽ tốt với xác suất 0,40 và bình thường với xác suất 0,30 Cuốicùng, nếu thời tiết hôm nay xấu, thì ngày mai sẽ tốt với xác suất 0,40 và bình thườngvới xác suất 0,50

a Ma trận ngẫu nhiên cho tình huống này là gì?

b Giả sử hôm nay có 50% khả năng là thời tiết tốt và 50% là do thời tiết không tốt.Khả năng thời tiết xấu vào ngày mai là bao nhiêu?

c Giả sử thời tiết dự đoán cho Thứ Hai là 40% thời tiết khác nhau và 60% thời tiếtxấu Cơ hội cho thời tiết tốt vào Thứ Tư là gì?

c Có vecto đại diện cho dự đoán thứ Hai là

0

0 0.4 0.6

Xác suất thời tiết tốt vào thứ Tư là 48%

Bài 16/Tr.263: [M] Tại Detroit, Hertz Rent A Car có đội xe khoảng 2000 xe ô tô.

Mô hình địa điểm cho thuê và trả lại được đưa ra bằng các phân số trong bảng dướiđây Trong một ngày bình thường, có khoảng bao nhiêu xe ô tô sẽ được thuê hoặc sẵnsàng thuê từ vị trí trung tâm thành phố?

Xét ma trận

0.9 0.01 0.09 0.01 0.9 0.01 0.09 0.09 0.9

0.919 0.192

Bài 12/Tr.341: Doanh thu và lợi nhuận tối đa Một công ty sản xuất và bán x máy

ảnh kỹ thuật số mỗi tuần Phương trình nhu cầu giá và chi phí hàng tuần tương ứnglà:

Có doanh thu của công ty: R( )x Px (400 0.4 )  x x 400x 0.4x2

Doanh thu cận biên:

240 0,8 0 300

50

x p

0  x 10000

Bài 16 (Tr.341): Lợi nhuận tối đa Bảng sau đây chứa dữ liệu về nhu cầu giá và tổng

chi phí để sản xuất túi ngủ thông thường, trong đó p là giá bán buôn tính bằng đô la)của một túi ngủ cho nhu cầu hàng năm là x túi ngủ và C là tổng chi phí (tính bằng đôla) của sản xuất x túi ngủ:

(A) Tìm phương trình hồi quy bậc hai cho dữ liệu cầu giá, sử dụng x làm biến độclập

(B) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính cho dữ liệu chi phí, sử dụng x làm biến độclập

(C) Lợi nhuận tối đa là bao nhiêu? Giá bán buôn cho mỗi chiếc túi ngủ thông thườngnên được tính là bao nhiêu để thu được lợi nhuận tối đa? Làm tròn câu trả lời chođồng đô la gần nhất

2

1 2

( ) 0.000001809(3695) 0.00231447(3695) 90.8777(3695) 96316.3( ) 117026$

0.000001809(3695) 0.00231447(3695) 112.429

79$

t x

Bài 18/Tr.341: Doanh thu tối đa Một trung tâm sinh viên đại học bán 1600 tách cà

phê mỗi ngày với giá $ 2,40

(A) Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy cứ giảm giá $0,05 thì sẽ có thêm 50 cốc càphê được bán Trung tâm sinh viên nên tính phí bao nhiêu cho một ly cà phê để tối đahóa doanh thu?

(B) Một cuộc khảo sát thị trường khác cho thấy rằng cứ giảm 0,10 đô la so với giában đầu là 2,40 đô la, thì sẽ có thêm 60 tách cà phê được bán Bây giờ trung tâm sinhviên nên tính phí bao nhiêu cho một ly cà phê để tối đa hóa doanh thu?

Kết luận: không cần phải giảm giá thêm nữa, doanh thu vẫn đạt tối đa với giá 2.4$

Bài 20/Tr.342: Thu nhập cho thuê Một khách sạn 300 phòng ở Las Vegas được lấp

đầy với công suất mỗi đêm là 80 đô la một phòng Với mỗi lần tăng 1 đô la tiền thuê,

sẽ có ít hơn 3 phòng được thuê Nếu mỗi phòng thuê có giá 10 đô la tiền dịch vụ mỗi ngày, thì ban quản lý nên tính phí bao nhiêu cho mỗi phòng để tối đa hóa lợi nhuận gộp? Lợi nhuận gộp tối đa là bao nhiêu?

Giải

Gọi x là số tiền phòng khi tăng lên 1$ thì X là số lượng phòng thuê bị giảm

Giá tiền và số lượng phòng thay đổi như sau:

Như vậy, nếu mỗi phòng thuê có giá 10 đô la tiền dịch vụ mỗi ngày, thì ban quản lý

để giá 95$ cho mỗi phòng để tối đa hóa lợi nhuận gộp Lợi nhuận gộp tối đa khi đó là21.675$

Bài 22/Tr.342: Nông nghiệp Người trồng lê thương mại phải quyết định thời điểm

tối ưu để hái và bán quả Nếu những quả lê được hái ngay bây giờ, họ sẽ mang lại30¢ mỗi pound, với mỗi cây cho trung bình 60pound lê có thể bán được Nếu năngsuất trung bình mỗi cây tăng 6pound mỗi cây mỗi tuần trong 4 tuần tới, nhưng giágiảm 2¢ mỗi pound mỗi tuần, thì nên hái lê khi nào để thu được lợi nhuận tối đa trênmỗi cây? Lợi nhuận tối đa là bao nhiêu?

Giải

Gọi x là số tuần phải đợi, X là năng suất tăng trên mỗi cây

Suy ra giá mới sẽ là: y 30 2 x