MỘT SỐ VẤN ĐỀ HẬU TỐI U CỦA THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Quản trị kinh doanh 1 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- PHAN THỊ BÍCH THẢO MỘT SỐ VẤN ĐỀ HẬU TỐI U CỦA THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 2 Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Quy hoạch tuyến tính (QHTT) là một bộ phận quan trọng của toán học ứng dụng, có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là kinh tế và công nghệ thông tin. Quy hoạch tuyến tính nghiên cứu các bài toán tối ưu với hữu hạn biến, trong đó mục tiêu và các điều kiện ràng buộc được biểu thị bằng các hàm số, các phương trình hay bất phương trình tuyến tính. Khi thực hiện công việc nào đó của mình, con người luôn hướng đến cách làm tốt nhất trong các cách có thể làm được hay là chọn phương án tối ưu trong các phương án. Cùng với sự phát triển của khoa học máy tính ngày nay thì QHTT ngày càng phát triển và cần thiết. Những vấn đề tối ưu trong cuộc sống đều được mô hình hóa thành các bài toán tối ưu, biểu thị các mục tiêu cần đạt được các yêu cầu hay các điều kiện thỏa mãn bằng ngôn ngữ toán học thông qua các bài toán QHTT để tìm ra lời giải tối ưu cho nó. Hiện nay, học phần QHTT được giảng dạy cho ngành ĐHSP Toán với thời lượng 2 tín chỉ nên chỉ đề cập đến những nội dung cơ bản mà chưa đi sâu nghiên cứu các nội dung liên quan, đặc biệt là thuật toán đơn hình. Vì vậy, với tinh thần mong muốn được học hỏi, tìm hiểu và trao dồi vốn kiến thức một cách sâu sắc hơn kết hợp với kiến thức tích lũy trong quá trình học tập, nên tôi chọn đề tài “Một số vấn đề hậu tối ưu của thuật toán đơn hình” cho khóa luận này. 1.2. Mục tiêu của đề tài - Tìm hiểu về tính hữu hạn của thuật toán đơn hình. - Tìm tập phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính. - Tìm tập phương án tối ưu của bài toán khi bổ sung thêm ràng buộc)(xf - Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng thuật toán đơn hình theo phương án cực biên cho trước. 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: vấn đề hậu tối ưu của thuật toán đơn hình. - Phạm vi nghiên cứu: kiến thức quy hoạch tuyến tính ở bậc đại học. UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: MỘT SỐ VẤN ĐỀ HẬU TỐI U CỦA THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH Sinh viên thực hiện PHAN THỊ BÍCH THẢO MSSV: 21130101350 CHUYÊN NGÀNH: S PHẠM TOÁN KHÓA: 2013 – 2017 Cán bộ hướng dẫn ThS. PHẠM NGỌC HOÀNG MSCB: …………. Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 3 Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Quy hoạch tuyến tính (QHTT) là một bộ phận quan trọng của toán học ứng dụng, có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là kinh tế và công nghệ thông tin. Quy hoạch tuyến tính nghiên cứu các bài toán tối ưu với hữu hạn biến, trong đó mục tiêu và các điều kiện ràng buộc được biểu thị bằng các hàm số, các phương trình hay bất phương trình tuyến tính. Khi thực hiện công việc nào đó của mình, con người luôn hướng đến cách làm tốt nhất trong các cách có thể làm được hay là chọn phương án tối ưu trong các phương án. Cùng với sự phát triển của khoa học máy tính ngày nay thì QHTT ngày càng phát triển và cần thiết. Những vấn đề tối ưu trong cuộc sống đều được mô hình hóa thành các bài toán tối ưu, biểu thị các mục tiêu cần đạt được các yêu cầu hay các điều kiện thỏa mãn bằng ngôn ngữ toán học thông qua các bài toán QHTT để tìm ra lời giải tối ưu cho nó. Hiện nay, học phần QHTT được giảng dạy cho ngành ĐHSP Toán với thời lượng 2 tín chỉ nên chỉ đề cập đến những nội dung cơ bản mà chưa đi sâu nghiên cứu các nội dung liên quan, đặc biệt là thuật toán đơn hình. Vì vậy, với tinh thần mong muốn được học hỏi, tìm hiểu và trao dồi vốn kiến thức một cách sâu sắc hơn kết hợp với kiến thức tích lũy trong quá trình học tập, nên tôi chọn đề tài “Một số vấn đề hậu tối ưu của thuật toán đơn hình” cho khóa luận này. 1.2. Mục tiêu của đề tài - Tìm hiểu về tính hữu hạn của thuật toán đơn hình. - Tìm tập phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính. - Tìm tập phương án tối ưu của bài toán khi bổ sung thêm ràng buộc)(xf - Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng thuật toán đơn hình theo phương án cực biên cho trước. 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: vấn đề hậu tối ưu của thuật toán đơn hình. - Phạm vi nghiên cứu: kiến thức quy hoạch tuyến tính ở bậc đại học. 4 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phân tích tổng hợp lí thuyết. - Phương pháp nghiên cứu lí luận. - Tham khảo ý kiến của thầy hướng dẫn. 1.5. Lịch sử nghiên cứu Đã có những công trình nghiên cứu liên quan đến một số vấn đề hậu tối ưu của thuật toán đơn hình của các tác giả như: Phí Mạnh Ban, Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Đức Nghĩa… 1.6. Đóng góp của đề tài - Trình bày chi tiết các định nghĩa của từng vấn đề. - Đưa ra các ví dụ cụ thể. - Trình bày định lí và chứng minh định lí. - Nêu một số mệnh đề và các nhận xét liên quan. 1.7. Cấu trúc đề tài Bài khóa luận được chia làm 2 chương: Chương 1: Thuật toán đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Chương 2: Một số vấn đề hậu tối ưu của thuật toán đơn hình. 5 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chƣơng 1: THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1. Bài toán QHTT Bài toán QHTT dạng tổng quát với n ẩn là bài toán có dạngmax(min))( 1   j j n j xcxf (1)mibxc ij j n j ,...,2,1, 1                 (2)0, 1,2,...,jx j n  (3) trong đó: (1) là hàm mục tiêu. (2) là hệ ràng buộc chính. (3) là ràng buộc dấu. ĐặtnmijaA  )( ,),...,,( 21 ncccc  ,                n x x x x  2 1 , 1 2 m b b b b             Khi đó bài toán trở thànhmax)(  cxxfAx b        0x - Mỗi vectơ),...,,( 21 nxxxx  thỏa (2) và (3) được gọi là một phương án của bài toán. - Mỗi phương ánx thỏa (1), tại đó hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) trên tập phương án được gọi là phương án tối ưu của bài toán. - Giải một bài toán QHTT là đi tìm một phương án tối ưu của nó hoặc chỉ ra rằng bài toán vô nghiệm hay không có phương án tối ưu. 6 - Một phương án thỏa mãn n ràng buộc độc lập tuyến tính là phương án cực biên. Một phương án cực biên thỏa mãn chặt đúng n ràng buộc gọi là phương án cực biên không suy biến, thỏa mãn chặt đúng n ràng buộc gọi là phương án cực biên suy biến. Ngoài dạng tổng quát thì có các dạng cơ bản sau: i) Dạng chính tắc: Bài toán QHTT có dạng chính tắc nếu các ràng buộc chính đều là phương trình và vế phải0ib  với mọi i=1,2,..,m.max(min))( 1   j j n j xcxfmibxa ij j n j ,...,2,1, 1  njxj ,...,2,1,0  ii) Dạng chuẩn: Khi giải hệ Ax=b, giả sử rank(A)=m, ta giữ lại vế trái m ẩn gọi là ẩn cơ bản, chuyển n-m ẩn còn lại sang vế phải gọi là ẩn tự do. Bài toán QHTT gọi là có dạng chuẩn nếu: - Bài toán có dạng chính tắcmax(min))( 1   j j n j xcxfmibxc ij j n j ,...,2,1, 1  njxj ,...,2,1,0  - Có được m ẩn cơ bản. Thường mỗi ẩn cơ bản có mặt trong một ràng buộc với hệ số bằng 1 hay trong ma trận A có m vectơ cột đơn vị:meee ,...,, 21 , 0 0 1 1                 e , 0 1 0 2                 e …,                1 0 0  me 1.2. Một số tính chất của bài toán QHTT Xét bài toán dạng chính tắc:max)(  cxxfAx b 7 Đặt ; ... ... ............... ... ... ... ...... 2 1 2222 21 111211                mnmjm m n j nj aaa a aaa a aaa a A                mj j j j a a a A ... 2 1 Khi đóbAx bxA j j n j  1 Định lí 1: Phương ánx l à phương án cực biên của bài toán QHTT dạng chính tắc khi và chỉ khi các vectơjA của ma trậnA ứng với phần0jx lập thành một hệ độc lập tuyến tính. Chứng minh:)( Giả sử)0,...,0,,...,,( 21 kxxxx  là phương án cực biên vớikjxj ,1,0  Giả sử hệ kAAA ,...,, 21 là phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là tồn tại các sốjd không đồng thời bằng 0 sao cho:0...2211  kk AdAdAd ( ) nhân hai vế ( ) với một số0g0...2211  kk AgdAgdAgd ( ) Dox là phương án nênbxAxAxA kk  ...2211 ( ) Từ ( ) và ( ) ta có:bAgdxAgdxAgdx kkk  )(...)()( 222111bAgdxAgdxAgdx kkk  )(...)()( 222111 có thể chọn q đủ bé sao chojqdx jj  ,0 Đặt)0,...,0,,...,,( 221 1 1 kk qdxqdxqdxx )0,...,0,,...,,( 221 1 2 kk qdxqdxqdxx  Suy raDxx 21, , vớiD là tập phương án hay miền ràng buộc. Nhưng21 2 1 2 1 xxx  vô lí vớix là phương án cực biên. Vậy hệ kAAA ,...,, 21 là độc lập tuyến tính. 8)( Giả sử hệ kAAA ,...,, 21 là độc lập tuyến tính nhưng)0,...,0,,...,,( 21 kxxxx  không là phương án cực biên. Khi đó tồn tạiDxx 21, ,21 xx  Mà21 )1( xxx    với10    Suy ra)0,...,0,,...,,( 1111 21 k xxxx  ;)0,...,0,,...,,( 2222 21 k xxxx  DoDxx 21, nênbxA j j k j   1 1 vàbxA j j k j   2 1 Suy ra0)( 2 1 1   j k j Axx jj Do  kjjA ,1 là độc lập tuyến tính nênkjxx jj ,1,21  hay21 xx  (vô lí) Vậyx là phương án cực biên. Nhận xét: Nếu rank(A) = m