NHÓM TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kỹ thuật UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- NGUYỄN QUỐC HUY NHÓM TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 06 năm 2021 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: NHÓM TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH Sinh viên thực hiện NGUYỄN QUỐC HUY MSSV: 2117010110 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2017 – 2021 Cán bộ hướng dẫn ThS. VÕ VĂN MINH MSCB: T34-15.110.14100 Quảng Nam, tháng 06 năm 2021 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 1 1.1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................................... 1 1.2. Mục tiêu của đề tài ....................................................................................................... 1 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................................................... 1 1.4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 1 1.5. Đóng góp của đề tài ..................................................................................................... 2 1.6. Cấu trúc đề tài............................................................................................................... 2 NỘI DUNG ......................................................................................................................... 3 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................................... 3 1.1. Nhóm............................................................................................................................. 3 1.2. Vành và module............................................................................................................ 7 CHƯƠNG 2: NHÓM TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH..13 2.1. Nhóm tuyến tính tổng quát và các nhóm liên quan .................................................13 2.2. Module thặng dư và module cố định .......................................................................14 2.3. Định nghĩa các phép co..............................................................................................17 2.4. Các phép co sơ cấp và nhóm  nE R ......................................................................19 2.5. Các nhóm tuyến tính tương đẳng ..............................................................................28 KẾT LUẬN .......................................................................................................................38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...............................................................................................39 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Võ Văn Minh đã tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành tốt khóa luận này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam, những người Thầy, người Cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt bốn năm học qua. Với vốn tri thức tiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu khóa luận mà đó còn là hành trang quý báu để tôi bước vào đời một cách vững chắc và tự tin. Mặc dù đã cố gắng, nhưng khóa luận không tránh khỏi sai sót, tôi rất mong nhận được sự nhận xét, đóng góp để hoàn thiện luận văn của mình. Cuối cùng, tôi xin kính chúc quý thầy cô dồi dào sức khỏe và gặt hái được nhiều thành công trong sự nghiệp trồng người. Xin chân thành cảm ơn Quảng Nam, tháng 6 năm 2021 Sinh viên thực hiện Nguyễn Quốc Huy DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT H G : H là nhóm con của G H G : H là nhóm con chuẩn tắc của G G H : Nhóm thương của nhóm G trên H AutH : Nhóm các tự đẳng cấu của H G X : Nhóm con chuẩn tắc của G sinh bởi tập X  GC X : Tâm hóa tử của tập X trong G  GN H : Chuẩn hóa tử của H trong G G H  : Tích nửa trực tiếp của G và H trên   GL M : Nhóm con tự đồng cấu khả nghịch của R- môđun M  nGL R : Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên R  nE R : Nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n trên vành R  nSL R : Nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n trên vành giao hoán R  PGL M : Nhóm tuyến tính tổng quát ánh xạ của M ije : Ma trận với 1 ở vị trí  ,i j và 0 ở các vị trí khác  nE R : Nhóm con các ma trận tam giác trên với 1 nằm trên đường chéo chính  nE R : Nhóm con các ma trận tam giác dưới với 1 nằm trên đường chéo chính  E M  : Nhóm tuyến tính sơ cấp 1 MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học tự nhiên rất quan trọng không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả cuộc sống hàng ngày. Môn toán giúp chúng ta phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện tính linh hoạt, độc lập, tính chính xác, thẩm mỹ cùng sự kiên trì chịu khó. Nhóm tuyến tính có vị trí rất quan trọng trong toán học, nó không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đại số mà còn là một phần có thể gọi là nền tảng của đại số, tạo tiền đề để xây dựng một số cấu trúc đại số… Hơn nữa, các định lý và đặc trưng cơ bản của nhóm tuyến tính còn sử dụng nhiều trong toán cao cấp, toán ứng dụng,… Các bài toán về nhóm tuyến tính được xem như những dạng toán khó và mang tính trừu tượng. Thấy được tầm quan trọng của nhóm tuyến tính, với mục đích tìm hiểu sâu hơn về nhóm tuyến tính và ứng dụng của nó làm cơ sở cho việc học tập tiếp theo và mở rộng kiến thức cho bản thân. Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên, tôi chọn đề tài “Nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính ” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. 1.2. Mục tiêu của đề tài Tìm hiểu về Lý thuyết nhóm, hiểu được định nghĩa và các tính chất của nhóm tuyến tính các phép biến đổi tuyến tính. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính. - Phạm vi nghiên cứu: tập trung về các nhóm tuyến tính và phép biến đổi. 1.4. Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện đề tài nghiên cứu này, tôi sử dụng các phương pháp: 1. Tham khảo tài liệu; 2. Phương pháp tham khảo ý kiến; 3. Phương pháp phân tích; 4. Phương pháp tổng hợp. 2 1.5. Đóng góp của đề tài Đề tài khóa luận này, tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu “nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính”, từ đó làm rõ thêm các nội dung có liên quan. Hơn nữa, phần lý thuyết, bản thân nghiên cứu chứng minh một cách cụ thể hơn. 1.6. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được trình bày theo 2 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính. 3 NỘI DUNG CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, tôi trình bày lại các kiến thức cơ bản, có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết nhóm như: các định nghĩa, tính chất về nhóm, vành và module, là cơ sở logic để trình bày trong chương 2. 1.1. Nhóm Cho G là một nhóm nhân với phần tử đơn vị 1 (hay e). Nhóm con H của G gọi là nhóm con thực sự nếu 1H  và .H G G gọi là nhóm đơn nếu G không có nhóm con chuẩn tắc thực sự. Nếu 1 ,..., nH H là các nhóm con của G thì ký hiệu  1 1... ... , 1, 2,..., .n n i iH H h h h H i n   Nếu X là tập con khác rỗng của G thì kí hiệu X là nhóm con của G sinh bởi X. Nếu X hữu hạn và G  X thì ta nói G là hữu hạn sinh. Cho H và K là hai nhóm con của G. Ta nói H chuẩn hóa K hay K được chuẩn hóa bởi H, nếu 1 , .h H hKh K     Nếu X là tập con khác rỗng và H là nhóm con của G thì  1 , H X hxh h H x X     là nhóm con nhỏ nhất của G, chuẩn hóa bởi H. G X là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất của G chứa X, được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G sinh bởi tập X . Tâm hóa tử của X trong G là tập hợp     , .GC X g G gx xg x X     Tâm hóa tử của G trong G được kí hiệu là C(G) và gọi là tâm của G . Nếu H là nhóm con của G thì tập hợp     1 GN H g G gHg H     được gọi là chuẩn hóa tử của H trong G. Rõ ràng   .GH N H G 4 Cho H và K là hai nhóm con của G. Nếu H chuẩn hóa K hoặc K chuẩn hóa H thì HK là nhóm con của G . Nếu 1H K  thì mọi phần tử của HK được viết duy nhất dưới dạng , , .hk h H k K  Với ,h H k K  thì   1 1 ,h k hkh k   gọi là giao hoán tử của h và k . Nhóm con của G sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử dạng  , ,h k với ,h H k K  được kí hiệu là  , .H K Vì   1 1 , ,h k hkh k     11 1 1 ,k h khk h        1 1 h k h k   suy ra    , , .H K K H Nhóm  ,G G được gọi là nhóm con hoán tử của G và kí hiệu là DG . Nếu .DG H G  thì H G và G H là nhóm abel. Ngược lại, nếu H G và G H là nhóm Abel thì .D G H Kí hiệu  2 D G D DG . , i i D G  được định nghĩa bằng qui nạp:  1i i D G D D G   Nếu 1 i D G  với i nào đó thì G được gọi là nhóm giải được. Mệnh đề 1.1.1. Cho H là nhóm con chuẩn tắc trong G và G = KH. Khi đó  . , .DG DK G H Hơn nữa, nếu X và Y là các tập con của G thì . . X X Y X Y Chứng minh: Do H chuẩn tắc trong G nên  ,G H cũng chuẩn tắc trong G . Vậy  . ,DG DK G H là một nhóm con của G . Để chứng minh đẳng thức đầu tiên, ta chỉ cần chứng minh  . ,DG DK G H chứa mọi hoán tử  1 2,g g của DG . Đặt 1 1 1g k h và 2 2 2g k h . Ta kiểm tra được    1 2, , .g g DK G H 5 Ta chứng minh đẳng thức thứ hai: Vì X chuẩn hóa X Y nên . X X Y là nhóm con của G. Nhóm con này chứa X và Y nên chứa .X Y Vì X Y chứa X và X Y nên cuối cùng ta sẽ có . . X X Y X Y Cho G, H là các nhóm. Gọi AutH là nhóm các tự đẳng cấu của H . Ta gọi một tác động của G lên H là một đồng cấu : .G AutH   Trong trường hợp này H được gọi là một G -nhóm. Giả sử G tác động lên H qua đồng cấu  . Khi đó tích Descartes G H trở thành một nhóm bởi định nghĩa phép toán sau:      1 1 1 1 1 1, , , , , ; , .g h g h gg h g h g g G h h H     Ta kí hiệu nhóm này là G H  và gọi là tích nửa trực tiếp của G và H trên  . Giả sử 1 1 p H G G    là một đồng cấu nhóm. Dãy đã cho là dãy khớp tức là hạt nhân của mỗi đồng cấu bằng ảnh của đồng cấu đứng trước nó. Nếu tồn tại đồng cấu :d G G sao cho :pd G G là ánh xạ đồng nhất thì dãy được gọi là dãy khớp chẻ ra. Từ đó ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.2. Cho 1 1 j p d H G G   là một dãy khớp chẻ ra. Khi đó jH chuẩn tắc trong G,      , 1G jH dG dG jH jH dG    và mọi phần tử g G phân tích một cách duy nhất thành   dg jh và   .jh dg  Nếu có dãy khớp chẻ ra như trong mệnh đề 1.1.1 thì ánh xạ : G AutH   cho bởi        1 1 g h j dg jh dg     là một đồng cấu. 6 Từ đó suy ra      , : H G g h jh g G d       là một đẳng cấu, đây là dãy khớp chẻ ra cho ta một tích nửa trực tiếp. Ngược lại, giả sử G H  là tích nửa trực tiếp. Định nghĩa các đồng cấu : : , : H j H G p G G d G H H G          tương ứng bởi các đẳng thức          1, , , , ,1 ,j h h p g h g d g g   với h H và .g G Ta chứng minh được dãy sau đây là dãy khớp chẻ ra: 1 1 j p d HH G G    Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G. Ta có:    1 , H f g fg HG     với phép nhân cảm sinh từ tích Descartes G G và đồng cấu : G AutH   bởi    1 , .g h ghg h H      Khi đó  là một tác động của G lên H và ta có thể xét tích nửa trực tiếp G H  . Từ đó, tương ứng     1 , ,f g f g f   xác định một đẳng cấu G GH H   với nghịch đảo là ánh xạ    , ,f g f hf . Định nghĩa 1.1.3. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Ta gọi nhóm tự do trên tập X được kí hiệu  F X chứa X và có tính chất sau đây: mọi phần tử khác đơn vị của  F X đều viết được một cách duy nhất dưới dạng 7  1 2 1 2 ... 1, , n n i ix x x x X        trong đó không có các thừa số dạng 1 1 x x hoặc 1 1 x x . Nhắc lại rằng hai nhóm tự do bất kỳ trên tập X sẽ đẳng cấu với nhau. Do vậy, ta có thể nói một cách đơn giản  F X là một nhóm tự do trên tập X. Mệnh đề 1.1.4. Cho F là một nhóm chứa tập X . Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương: (i) F là nhóm tự do trên tập X ; (ii) Nếu G là một nhóm và :f X G là một ánh xạ bất kỳ thì tồn tại duy nhất một đồng cấu :f F G sao cho .xf f 1.2. Vành và module Nếu R là vành thì ta kí hiệu là R là nhóm nhân tất cả các phần tử khả nghịch của R và   \ 0 .R R Nếu R R thì R được gọi là một thể. Một thể giao hoán được gọi là một trường. Tâm C(R) của vành R được định nghĩa như sau:     ,C R s R sr rs r R     . C(R) là vành con giao hoán của R. Nếu C(R) = R thì R là vành giao hoán. R được gọi là vành Euclid nếu tồn tại hàm số : R    sao cho với mọi r và s trong R tồn tại , , ,a a b b R   để r sa b  và ,r as b   với    b s   và    b s    . Hiển nhiên   , 0r R s    . Nếu s R sao cho  s  là số nhỏ nhất thì s R Ví dụ: (1). Vành các số nguyên  với    ,m m m    là vành Euclid. (2). Vành đa thức  K x trên trường K với định nghĩa    deg 2 f f x   , nếu   0f x  và  0 0,   là một vành Euclid. Nếu R là thể thì R là vành Euclid khi ta định nghĩa   1, 0x x     và  0 0   8 Ideal phải (trái) hai phía của vành R được gọi là Ideal phải (trái) hai phía thực sự của R nếu nó khác 0 và R. R được gọi là vành đơn nếu nó không có các ideal thực sự. Một thể là một vành đơn và một vành đơn giao hoán là một trường. Ideal  của vành R gọi là ideal nguyên tố, nếu 0   và \R  kín đối với phép nhân. Ideal  của R gọi là tối đại nếu R   và không tồn tại một ideal  của R thực sự chứa  . Sử dụng bổ đề Zorn suy ra mọi ideal R   đều nằm trong một ideal tối đại của R. Ideal  tối đại khi và chỉ khi \R  là vành đơn. Nói riêng nếu R giao hoán thì mọi ideal tối đại đều nguyên tố. Giao  J R của tất cả các ideal tối đại của vành R gọi là căn Jacobson của R. Nếu   0J R  thì R được gọi là vành nửa đơn. Mọi vành đơn đều nửa đơn. Vành thương  R J R là nửa đơn. Ideal trái của R gọi là ideal trái chính nếu nó có dạng Ra, với mọi a R . Ideal phải chính được định nghĩa tương tự. Một vành R gọi là vành các ideal chính, nếu mọi ideal phải, trái của R đều chính. Dễ thấy mọi vành Euclid đều là vành các ideal chính. Nếu ,   là các ideal của vành R thì   và .   được định nghĩa như sau:   ,a b a b         và . . , h h ab a b              Tổng và tích các ideal đều là các ideal. Có thể mở rộng khái niệm tổng và tích cho một số hữu hạn các ideal. Nếu r, s là các phần tử khác 0 của vành R thỏa 0rs  thì ta nói r và s là các ước của 0. Vành R không chứa các ước của 0 được gọi là miền nguyên. Cho R là một miền nguyên giao hoán. Ta nói R là vành Dedekind nếu mọi ideal thực sự của R có thể viết được dưới dạng tích của các ideal nguyên tố. Vành R được gọi là Noether phải (trái) nếu các ideal phải (trái) của R thỏa điều kiện mọi xích tăng các ideal của vành R, tức là: 9 0 1 ... ...i       là mỗi xích các ideal phải (trái) của R thì tồn tại một n sao cho , .i n i n     Vành R được gọi là Artin phải (trái) nếu các ideal phải (trái) của R thỏa điều kiện mọi xích giảm các ideal của vành R . Vành R gọi là Noether (Artin) nếu nó vừa Noether (Artin) phải, vừa Noether (Artin) trái. Nếu R là Artin phải (trái) thì R là Noether phải (trái). Mọi thể là vành Artin. Nếu R là vành nửa đơn thì các khái niệm Artin phải và trái trùng nhau. Theo định lý Wedderburn-Artin: R là vành Artin nửa đơn nếu và chỉ nếu R phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn những vành ma trận trên thể. Vành R được gọi là vành địa phương nếu \R R là ideal của R. Vành R được gọi là nửa địa phương nếu  R J R là vành Artin phải. Ký hiệu nhóm cộng các ma trận loại n m trên vành R là  n mMat R . Nếu n = m thì kí hiệu đơn giản là  nM at R . Nếu A là ma trận thì kí hiệu ijA là phần tử nằm ở vị trí  ,i j của ma trận A. Ma trận có i ja nằm ở vị trí  ,i j được kí hiệu là  i ja . Nếu r R thì rA là ma trận  i jrA và Ar là ma trận  i jA r . Ma trận chuyển vị của ma trận A là  i jA A   . Hiển nhiên  n mA Mat R   . Nếu  là ideal của R thì      , ,n n ijMat A Mat R A i j      là ideal của vành  .nMat R Nếu  nA Mat R và  mB Mat R thì A B là ma trận   0 0 n m A M a t R B        . Nếu R là vành giao hoán thì định thức là đồng cấu nửa nhóm nhân  det : nMat R R với tính chất: ma trận  nA Mat R khả nghịch khi và chỉ khi det A R . 10 Giả sử M là một R-module. Ta giả thiết mọi module M đều đơn nguyên, nghĩa là .1 , .x x x M   Nếu S là tập hợp con khác rỗng của M thì kí hiệu S là module con của M sinh bởi tập S. Nếu tồn tại một tập S hữu hạn sao cho M = S thì ta nói module M hữu hạn sinh. Một tập sinh độc lập của M gọi là một cở sở của M. Nếu M có cơ sở thì M được gọi là module tự do. Module M hữu hạn sinh và tự do khi và chỉ khi M có cơ sở hữu hạn. Nếu R là vành giao hoán hoặc Noether phải hoặc địa phương và M có cơ sở hữu hạn thì hai cơ sở bất kỳ của M sẽ có cùng lực lượng. Nếu M có cơ sở vô hạn thì điều này đúng mà không cần một sự hạn chế nào đối với vành R. Nếu hai cơ sở bất kỳ của M có cùng lực lượng thì ta gọi lực lượng này là hạng của M và kí hiệu là rankM . Nếu R là thể thì M là không gian vectơ trên R và hạng của M chính là số chiều của không gian ấy và ta kí hiệu nó là dimM . Với x M xét tập hợp     0 .ann x r R xr   Tập hợp này là một ideal phải của R. Rõ ràng   0a n n x  khi và chỉ khi x là cơ sở của x . Nếu   0, 0,ann x x x M    thì được gọi là module không xoắn. Rõ ràng nếu 0R  và không xoắn thì R là miền nguyên. Đặt     , x M ann M ann x    đây là một ideal của R. Nếu   0ann M  thì ta gọi M là module trung thành. Nếu 1 2, ,..., kM M M là các module con của M thì đặt  1 2 1 2... ... k k i iM M M x x x x M        , đây là module con của M . Nếu mỗi phần tử x M viết được duy nhất dưới dạng 1 2 ... kx x x   thì tổng 1 2 ... kM M M   được kí hiệu là 1 2 ... kM M M   và được gọi là tổng trực tiếp trong các module con 1 2, ,..., kM M M . 11 Nếu N, L là các module con của M và M N L  thì L gọi là bù trực tiếp của N, L còn gọi là hạng tử trực tiếp của M . Phần tử x gọi là đơn modular nếu   0ann x  và x có bù trực tiếp trong M . Nếu M là module tự do và x là một phần cơ sở của M thì x là đơn modular. Nếu 1 2, ,..., kM M M là các R-module bất kỳ thì tích Descartes 1 2 ... kM M M   được gọi là tổng trực tiếp ngoài của các module 1 2, ,..., kM M M . Ta cũng kí hiệu tổng trực tiếp bên ngoài là 1 2 ... kM M M   , , 1 ,i i k   xét module con   0,..., 0, , 0,..., 0 i iN u x M  của 1 2 ... .kM M M   Rõ ràng 1 2 ... kM M M   là tổng trực tiếp trong các module con 1 2, ,..., kN N N và với mỗi , .i ii N M Ngược lại, nếu M là tổng trực tiếp trong 1 2 ... kM M M M    thì M đẳng cấu với tổng trực tiếp ngoài của các module 1 2, ,..., kM M M . Cho M, N là các R-module. Kí hiệu  ,RHom M N là nhóm Abel tất cả các đồng cấu module từ M vào N . Nếu M = N thì ta kí hiệu  ,RHom M N là EndM. Khi đó EndM là một vành đối với các phép toán cộng và nhân các ánh xạ. Mỗi một phần tử của EndM được gọi là một phép biến đổi tuyến tính trên M . Phép biến đổi đồng nhất trên M được kí hiệu là .Mid Nhóm Abel  ,RHom M R có cấu trúc R-module trái, tức là nếu r R và  ,RH om M R   thì r  được định nghĩa bởi    , .r x r x x M     Module trái  ,RHom M R được kí hiệu là M và gọi là module đối ngẫu của M . Giả sử M và M  là các R-module tự do với các cơ sở hữu hạn tương ứng là  1 ,..., nx x   và  1 ,..., nx x     . Với  ,RH om M M   đặt 1 ... ,j j j m mjx x A x A      với .ijA R 12 Ma trận  ijA A được gọi là ma trận của  đối với cơ sở  và  . Ta kí hiệu ma trận này là  Mat   . Nếu M M  và   thì A được kí hiệu là  Mat   . Ánh xạ     : nMat End M Mat R Mat       là một đẳng cấu vành. Nếu R là vành giao hoán thì hợp nối các ánh xạ det và M at  cũng được kí hiệu là :d et E n d M R và cũng gọi là định thức. Định thức này không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở  . 13 CHƯƠNG 2: NHÓM TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH Trong chương này, tôi trình bày các định nghĩa, tính chất và làm rõ các định lí về nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính. 2.1. Nhóm tuyến tính tổng quát và các nhóm liên quan Cho M là một R-module (phải). Nhóm tuyến tính tổng quát  GL M của M là nhóm tất cả các phép biến đổi tuyến tính khả nghịch của M . Với    ,r C R định nghĩa phép biến đổi tính tuyến tính . Mr id như sau:  . , .Mr id x xr x M   Rõ ràng  . .Mr id GL M Tập hợp       . MRL M r id r C R  Lập thành một nhóm con chuẩn tắc của nhóm  GL M . Nếu M là một R -module trung thành thì tương ứng 1Mr r xác định một đẳng cấu      .C R RL M Phép chiếu tự nhiên      : MP GL M GL M RL M được kí hiệu đơn giản là P và được gọi là phép chiếu của  GL M , và nhóm  PGL M gọi là nhóm tuyến tính tổng quát xạ ảnh của M . Nếu G là một nhóm con của  GL M thì    .PG G G RL M Nếu R là vành giao hoán và M là R -module tự do có hạng hữu hạn thì ta định nghĩa nhóm tuyến tính đặc biệt  SL M là nhóm con của  GL M gồm những phần tử có ma trận bằng 1. Rõ ràng  SL M là nhóm con chuẩn tắc của  GL M và ánh xạ định thức   det : GL M R cảm sinh một đẳng cấu nhóm     GL M SL M R Với 1,n  định nghĩa  nGL R là nhóm các ma trận vuông khả nghịch cấp n và 14      .nRL R rI r C R  Nếu R là giao hoán thì        det 1 .n nSL R a GL R a   Giả sử M là module tự do với cơ sở hữu hạn  gồm n phần tử. Khi đó hạn chế của đồng cấu vành    : nMat End M Mat R   lên  GL M cho ta một đồng cấu nhóm    : .nMat GL M GL R   Hạn chế đồng cấu này lên  RL M nhận được đồng cấu    .nRL M RL R Nếu R là vành giao hoán thì ta còn có    .nSL M SL R Giả sử      : .n n nP GL R GL R RL R Khi đó    .nPGL M PGL R 2.2. Module thặng dư và module cố định Cho  ,GL M   các tập hợp  S x x x M    và  F x M x x    là các module con của M . Chúng được gọi tương ứng là module thặng dư và module cố định của M. Ta thấy F và S tương ứng là hạt nhân và ảnh của đồng cấu .Mid   Dưới đây là những nhận xét được suy ra từ định nghĩa. 1) 1 0;S     2)  và 1   có cùng các module thặng dư và module cố định. Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu một số tính chất cơ bản của các module thặng dư và module cố định. Tính chất 2.2.1.  1 2, ,End M    ta có:       1 2 1 2 1 2 .M M M M Mid id id id id              Tính chất 2.2.2. Cho  .GL M   Nếu N là module con của M sao cho N S hoặc N F thì N N   . Chứng minh. .x N x x S N x N N N             Vì  và 1   có cùng một module thặng dư nên x N  : 15 1 1 .x x S N x N x N N N               Vậy N N   . Trường hợp N F là hiển nhiên. Tính chất 2.2.3. Cho  1 2, GL M    và đặt 1 2 .    Khi đó 1 2F F F  và 1 2 .S S S  Hơn nữa (i) Nếu 1 2F F M  thì 1 2S S S  ; (ii) Nếu 1 2 0S S  thì 1 2F F F  . Chứng minh. 1 2x F F   ta có 1 2 ,x x x    nên  1 2 1 2 1 .x x x x x          Vậy 1 2F F F  . Áp dụng 2.2.1 ta có                   1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . M M M M M M M M M M S id M id id id id M id M id M id id M S S id S S S                                    (i) Nếu 1 2F F M  thì      1 1 1 2 1 2 2 .M M MS id M id F id F S           Suy ra 1S S . Nếu áp dụng điều vừa chứng minh trên cho 1 1 1 2 1       thì ta nhận được 2 .S S Do đó 1 2S S S  . Vì vậy 1 2S S S  (ii) ,x F  ta có:     2 2 1 2 2 2 1 0,x x x x x x S S               nên 2 .x F Vậy 2 .F F Làm tương tự đối với 1 1 1 2 1       , nhận được 1 .F F Vậy 2 1 .F F F  Tính chất 2.2.4. Cho  , .GL M    Khi đó module thặng dư và module cố định của 1   tương ứng là S  và F  . Nói riêng, nếu   thì F F   và .S S   16 Chứng minh. Vì  GL M   nên một phần tử bất kỳ của M có thể viết được dưới dạng 1 .x   Vậy có thể viết        1 1 1 1 1 . S x x x M S x x x M x x x M                      Tương tự, F có thể được viết dưới dạng sau:  1 1 1 , .F x x M x x         Suy ra   1 .F x M x x       Tính chất 2.2.5. Cho  1 2, GL M    và giả sử 1 2 2 1.     Nếu một trong hai điều kiện sau đây được thỏa: 1 2 0S S  hoặc 1 2F F M  thì 1 2S F và 2 1.S F Chứng minh. Theo 2.2.4 thì 1 2 2 .S S   Từ đó suy ra    1 2 2 1 2 1 2 .M Mid S S id S S S        Nếu 1 2 0S S  thì khi đó suy ra  1 2 2 10 .M S S F      Tương tự suy ra 1 2 .S F Theo 2.2.4 ta cũng có  1 2 2 1 2 2 .MF F id F F      Do đó, nếu 1 2F F M  thì     1 1 1 1 2 1 2 21 .MS M F F F F        Tương tự, 2 1.S F Tính chất 2.2.6. Cho  GL M   . Khi đó  là một phép đối hợp nếu và chỉ nếu 1 .S S    Chứng minh.     2 2 2 , , , . M S S id x x x x x x x x x x x x x id                            Tính chất 2.2.7. Nếu 1 2M M M  và 1 2 ,     với  ,i iGL M   thì 1 2S S S  và 1 2 .F F F  17 Chứng minh. Ta có                 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 . M M M M M M M S id M id id id id M M id M id M S S                               Để chứng minh 1 2F F F  ta làm như sau: 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , . i ix F x x x x M x x x x x x x x x x x F x F x x x F F                             Ngược lại, nếu 1 2 1 2x x x F F    thì 1 1 2 2 1 2 .x x x x x x        Do đó .x F Định nghĩa 2.2.8. Phần tử  GL M   gọi là lũy đơn nếu   0 k Mid    với một 0.k  Nếu  là một phần tử lũy đơn Mid thì số tự nhiên nhỏ nhất 0l  thỏa   0, l Mid    được gọi là mức của  . Ta qui ước mức của Mid là 0. Nếu  1 2, GL M    là những phần tử lũy đơn giao hoán với nhau thì 1 2   cũng là một phần tử lũy đơn, điều này được suy ra từ 2.2.1. Nếu đặc trưng của vành là một số nguyên tố p thì  là một phần tử lũy đơn khi và chỉ khi i p Mid   với một 0.i  Định nghĩa 2.2.9. Cho  GL M   . Nếu s R sao cho ,x xs   với một 0,x x M  thì s được gọi là một trị đặc trưng của  . 2.3. Định nghĩa các phép co Xét các phần tử , .v M M   Ta định nghĩa một đồng cấu  ,v End M   như sau:    , .v x x v x     Rõ ràng  ,v GL M   khi và chỉ khi nó khả nghịch. Giả sử   0.v   Khi đó ta có 18                 , , , . v v vx x v x x v x v x v x x v x v x v v x x            ...

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA TOÁN - -

NGUYỄN QUỐC HUY

NHÓM TUYẾN TÍNH

VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 06 năm 2021

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Sinh viên thực hiện NGUYỄN QUỐC HUY

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục tiêu của đề tài 1

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

CHƯƠNG 2: NHÓM TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH 13

2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát và các nhóm liên quan 13

2.2 Module thặng dư và module cố định 14

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Võ Văn Minh đã tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành tốt khóa luận này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam, những người Thầy, người Cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt bốn năm học qua Với vốn tri thức tiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu khóa luận mà đó còn là hành trang quý báu để tôi bước vào đời một cách vững chắc và tự tin

Mặc dù đã cố gắng, nhưng khóa luận không tránh khỏi sai sót, tôi rất mong nhận được sự nhận xét, đóng góp để hoàn thiện luận văn của mình

Cuối cùng, tôi xin kính chúc quý thầy cô dồi dào sức khỏe và gặt hái được nhiều thành công trong sự nghiệp trồng người

Xin chân thành cảm ơn!

Quảng Nam, tháng 6 năm 2021 Sinh viên thực hiện

Nguyễn Quốc Huy

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

H G: H là nhóm con của G

HG: H là nhóm con chuẩn tắc của G

G H: Nhóm thương của nhóm G trên H

AutH: Nhóm các tự đẳng cấu của H

NH: Chuẩn hóa tử của H trong G

G H: Tích nửa trực tiếp của G và H trên 

MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học tự nhiên rất quan trọng không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả cuộc sống hàng ngày Môn toán giúp chúng ta phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện tính linh hoạt, độc lập, tính chính xác, thẩm mỹ cùng sự kiên trì chịu khó

Nhóm tuyến tính có vị trí rất quan trọng trong toán học, nó không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đại số mà còn là một phần có thể gọi là nền tảng của đại số, tạo tiền đề để xây dựng một số cấu trúc đại số… Hơn nữa, các định lý và đặc trưng cơ bản của nhóm tuyến tính còn sử dụng nhiều trong toán cao cấp, toán ứng dụng,… Các bài toán về nhóm tuyến tính được xem như những dạng toán khó và mang tính trừu tượng

Thấy được tầm quan trọng của nhóm tuyến tính, với mục đích tìm hiểu sâu hơn về nhóm tuyến tính và ứng dụng của nó làm cơ sở cho việc học tập tiếp theo và mở rộng kiến thức cho bản thân Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên, tôi chọn

đề tài “Nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính” làm đề tài khóa luận

tốt nghiệp của mình 1.2 Mục tiêu của đề tài

Tìm hiểu về Lý thuyết nhóm, hiểu được định nghĩa và các tính chất của nhóm tuyến tính các phép biến đổi tuyến tính

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính

- Phạm vi nghiên cứu: tập trung về các nhóm tuyến tính và phép biến đổi 1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài nghiên cứu này, tôi sử dụng các phương pháp: 1 Tham khảo tài liệu;

2 Phương pháp tham khảo ý kiến; 3 Phương pháp phân tích;

4 Phương pháp tổng hợp

1.5 Đóng góp của đề tài

Đề tài khóa luận này, tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu “nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính”, từ đó làm rõ thêm các nội dung có liên quan Hơn nữa, phần lý thuyết, bản thân nghiên cứu chứng minh một cách cụ thể hơn

1.6 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được trình bày theo 2 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, tôi trình bày lại các kiến thức cơ bản, có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết nhóm như: các định nghĩa, tính chất về nhóm, vành và module, là cơ sở logic để trình bày trong chương 2.

1.1 Nhóm

Cho G là một nhóm nhân với phần tử đơn vị 1 (hay e) Nhóm con H của G

gọi là nhóm con thực sự nếu H 1 và H G

G gọi là nhóm đơn nếu G không có nhóm con chuẩn tắc thực sự Nếu

Nếu X là tập con khác rỗng của G thì kí hiệuXlà nhóm con của G sinh bởi X Nếu X hữu hạn và G  Xthì ta nói G là hữu hạn sinh

Cho H và K là hai nhóm con của G Ta nói H chuẩn hóa K hay K được chuẩn hóa bởi H, nếu 1

Xlà nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất của G chứa X, được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G sinh bởi tập X

Tâm hóa tử của X trong G là tập hợp

CXg G gxxg xX

Tâm hóa tử của G trong G được kí hiệu là C(G) và gọi là tâm của G Nếu H là nhóm con của G thì tập hợp   1 

Cho H và K là hai nhóm con của G Nếu H chuẩn hóa K hoặc K chuẩn hóa

Nhóm con của G sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử dạng

h k, ,với hH k, K được kí hiệu là H K, 

Nếu D G i 1 với i nào đó thì G được gọi là nhóm giải được Mệnh đề 1.1.1 Cho H là nhóm con chuẩn tắc trong G và G = KH Khi đó

DG  DK G H

Hơn nữa, nếu X và Y là các tập con của G thì X Y  X YX

Chứng minh: Do H chuẩn tắc trong G nên G H cũng chuẩn tắc trong G ,  Vậy DG DK G H. ,  là một nhóm con của G Để chứng minh đẳng thức đầu

tiên, ta chỉ cần chứng minh DGDK G H. , chứa mọi hoán tử g g1, 2của DG

Đặt g1 k h1 1 và g2 k h2 2 Ta kiểm tra được g g1, 2DK G H , 

Ta chứng minh đẳng thức thứ hai: Vì X chuẩn hóa YX nên X Y. X

là nhóm con của G Nhóm con này chứa X và Y nên chứa X Y . Vì XY

chứa X và YX nên cuối cùng ta sẽ có X Y  X YX

Cho G, H là các nhóm Gọi AutH là nhóm các tự đẳng cấu của H Ta gọi một tác động của G lên H là một đồng cấu

Trong trường hợp này H được gọi là một G-nhóm

Giả sử G tác động lên H qua đồng cấu  Khi đó tích Descartes G H trở thành một nhóm bởi định nghĩa phép toán sau:

    là một đồng cấu nhóm Dãy đã cho là dãy khớp tức là hạt nhân của mỗi đồng cấu bằng ảnh của đồng cấu đứng trước nó Nếu tồn tại đồng cấu d G: G sao cho pd G:  G là ánh xạ đồng nhất thì dãy được gọi là dãy khớp chẻ ra Từ đó ta có mệnh đề sau:

và mọi phần tử g G phân tích một cách duy nhất thành   dgjh và  jhdg.

Nếu có dãy khớp chẻ ra như trong mệnh đề 1.1.1 thì ánh xạ

là một đẳng cấu, đây là dãy khớp chẻ ra cho ta một tích nửa trực tiếp

Ngược lại, giả sử G H là tích nửa trực tiếp Định nghĩa các đồng cấu

Định nghĩa 1.1.3 Cho X là một tập hợp khác rỗng Ta gọi nhóm tự do trên tập X được kí hiệu F X chứa X và có tính chất sau đây: mọi phần tử khác đơn vị  

của F X đều viết được một cách duy nhất dưới dạng  

trong đó không có các thừa số dạng x x1 1 hoặc x x1 1

Nhắc lại rằng hai nhóm tự do bất kỳ trên tập X sẽ đẳng cấu với nhau Do

vậy, ta có thể nói một cách đơn giản F X là một nhóm tự do trên tập X  

Mệnh đề 1.1.4 Cho F là một nhóm chứa tập X Khi đó các điều kiện dưới đây

là tương đương:

(i) F là nhóm tự do trên tập X;

(ii) Nếu G là một nhóm và f X:G là một ánh xạ bất kỳ thì tồn tại duy nhất một đồng cấu f F: G sao cho f |x  f

1.2 Vành và module

Nếu R là vành thì ta kí hiệu là *

R là nhóm nhân tất cả các phần tử khả

nghịch của R và R*  R\ 0   Nếu R* R* thì R được gọi là một thể Một thể giao hoán được gọi là một trường Tâm C(R) của vành R được định nghĩa như sau:

C R  sR sr  rs  rR

C(R) là vành con giao hoán của R Nếu C(R) = R thì R là vành giao hoán R được gọi là vành Euclid nếu tồn tại hàm số  : R   sao cho với mọi

(1) Vành các số nguyên  với  m  m m,  là vành Euclid 

(2) Vành đa thức K x trên trường K với định nghĩa   deg

Ideal phải (trái) hai phía của vành R được gọi là Ideal phải (trái) hai phía thực sự của R nếu nó khác 0 và R

R được gọi là vành đơn nếu nó không có các ideal thực sự Một thể là một

vành đơn và một vành đơn giao hoán là một trường

Ideal  của vành R gọi là ideal nguyên tố, nếu   0 và R \ kín đối với phép nhân Ideal  của R gọi là tối đại nếu   R và không tồn tại một ideal  của R thực sự chứa 

Sử dụng bổ đề Zorn suy ra mọi ideal   R đều nằm trong một ideal tối

đại của R Ideal  tối đại khi và chỉ khi R \ là vành đơn Nói riêng nếu R

giao hoán thì mọi ideal tối đại đều nguyên tố

Giao J R  của tất cả các ideal tối đại của vành R gọi là căn Jacobson của R Nếu J R   0 thì R được gọi là vành nửa đơn Mọi vành đơn đều nửa đơn

Vành thương R / J R  là nửa đơn

Ideal trái của R gọi là ideal trái chính nếu nó có dạng Ra, với mọi a  R Ideal phải chính được định nghĩa tương tự

Một vành R gọi là vành các ideal chính, nếu mọi ideal phải, trái của R đều

chính Dễ thấy mọi vành Euclid đều là vành các ideal chính

Nếu ,  là các ideal của vành R thì  và   được định nghĩa như sau:

Tổng và tích các ideal đều là các ideal Có thể mở rộng khái niệm tổng và tích cho một số hữu hạn các ideal

Nếu r, s là các phần tử khác 0 của vành R thỏa rs  0 thì ta nói r và s là các ước của 0 Vành R không chứa các ước của 0 được gọi là miền nguyên

Cho R là một miền nguyên giao hoán Ta nói R là vành Dedekind nếu mọi ideal thực sự của R có thể viết được dưới dạng tích của các ideal nguyên tố

Vành R được gọi là Noether phải (trái) nếu các ideal phải (trái) của R thỏa điều kiện mọi xích tăng các ideal của vành R, tức là:

01 i

là mỗi xích các ideal phải (trái) của R thì tồn tại một n sao cho i n, in.

Vành R được gọi là Artin phải (trái) nếu các ideal phải (trái) của R thỏa điều kiện mọi xích giảm các ideal của vành R

Vành R gọi là Noether (Artin) nếu nó vừa Noether (Artin) phải, vừa Noether (Artin) trái Nếu R là Artin phải (trái) thì R là Noether phải (trái)

Mọi thể là vành Artin Nếu R là vành nửa đơn thì các khái niệm Artin phải và trái trùng nhau Theo định lý Wedderburn-Artin: R là vành Artin nửa đơn nếu và chỉ nếu R phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn những vành ma trận trên thể

Vành R được gọi là vành địa phương nếu R R\ * là ideal của R Vành R

được gọi là nửa địa phương nếu R / J R là vành Artin phải  

Ký hiệu nhóm cộng các ma trận loại n m trên vành R là Matn m  R

Nếu n = m thì kí hiệu đơn giản là M atn R

Nếu A là ma trận thì kí hiệuAi j là phần tử nằm ở vị trí i j của ma trận , 

Giả sử M là một R-module Ta giả thiết mọi module M đều đơn nguyên,

nghĩa là x.1x, x M.

Nếu S là tập hợp con khác rỗng của M thì kí hiệu S là module con của

M sinh bởi tập S Nếu tồn tại một tập S hữu hạn sao cho M = S thì ta nói

module M hữu hạn sinh

Một tập sinh độc lập của M gọi là một cở sở của M Nếu M có cơ sở thì M

được gọi là module tự do

Module M hữu hạn sinh và tự do khi và chỉ khi M có cơ sở hữu hạn Nếu R là vành giao hoán hoặc Noether phải hoặc địa phương và M có cơ sở hữu hạn thì hai cơ sở bất kỳ của M sẽ có cùng lực lượng

Nếu M có cơ sở vô hạn thì điều này đúng mà không cần một sự hạn chế nào đối với vành R Nếu hai cơ sở bất kỳ của M có cùng lực lượng thì ta gọi lực lượng này là hạng của M và kí hiệu là rankM

Nếu R là thể thì M là không gian vectơ trên R và hạng của M chính là số chiều của không gian ấy và ta kí hiệu nó là dimM

Với x  M xét tập hợp

ann x  r  R xr 

Tập hợp này là một ideal phải của R Rõ ràng a n n x   0 khi và chỉ

khi x là cơ sở của x Nếu ann x  0, x 0,xM thì được gọi là module

không xoắn Rõ ràng nếu R  0 và không xoắn thì R là miền nguyên

Đặt   ,

x M

ann Mann x

  đây là một ideal của R Nếu ann M  0 thì ta

gọi M là module trung thành

Nếu M M1, 2, ,M là các module con của M thì đặt k

M  M   M  x  x   xx M, đây là module con của M

Nếu mỗi phần tử x M viết được duy nhất dưới dạng x1x2  xk

thì tổng M1M2 Mkđược kí hiệu là M1M2  Mk và được gọi là tổng trực tiếp trong các module con M M1, 2, ,M k

Nếu N, L là các module con của M và M  N  L thì L gọi là bù trực tiếp của N, L còn gọi là hạng tử trực tiếp của M

Phần tử x gọi là đơn modular nếu ann x   0 và x có bù trực tiếp trong M

Nếu M là module tự do và x là một phần cơ sở của M thì x là đơn modular

Nếu M M1, 2, ,Mk là các R-module bất kỳ thì tích Descartes

M M  M được gọi là tổng trực tiếp ngoài của các module M M1, 2, ,Mk

Ta cũng kí hiệu tổng trực tiếp bên ngoài là M1M2 Mk,i, 1 i k, xét module con N 0, , 0,ui, 0, , 0 | xi Mcủa M1M2 Mk

Rõ ràng M1M2 Mk là tổng trực tiếp trong các module con

1, 2, , k

N NN và với mỗi i N, i Mi

Ngược lại, nếu M là tổng trực tiếp trong M M1M2  Mkthì M

đẳng cấu với tổng trực tiếp ngoài của các module M M1, 2, ,M k

Cho M, N là các R-module Kí hiệu HomRM N là nhóm Abel tất cả , 

các đồng cấu module từ M vào N

Nếu M = N thì ta kí hiệu H omRM N, là EndM Khi đó EndM là một

vành đối với các phép toán cộng và nhân các ánh xạ

Mỗi một phần tử của EndM được gọi là một phép biến đổi tuyến tính trên M Phép biến đổi đồng nhất trên M được kí hiệu là idM

Nhóm Abel HomRM R có cấu trúc R-module trái, tức là nếu ,  r  R và

H omM R

  thì r được định nghĩa bởi r x  r x , xM Module trái HomRM R,  được kí hiệu là M *và gọi là module đối ngẫu của M Giả sử M và M  là các R-module tự do với các cơ sở hữu hạn tương ứng là

và x1, ,xn

Với  H omRM M,  đặt xj  x Aj 1j   x Am mj, với AijR.

Ma trận A Aij được gọi là ma trận của  đối với cơ sở  và  Ta kí

Nếu R là vành giao hoán thì hợp nối các ánh xạ det và M at cũng được kí hiệu là d e t E n d M:  R và cũng gọi là định thức Định thức này không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở 

CHƯƠNG 2: NHÓM TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Trong chương này, tôi trình bày các định nghĩa, tính chất và làm rõ các định lí về nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính

2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát và các nhóm liên quan

Cho M là một R-module (phải) Nhóm tuyến tính tổng quát GL M của M là nhóm tất cả các phép biến đổi tuyến tính khả nghịch của M

Với rC R *, định nghĩa phép biến đổi tính tuyến tính r id M như sau:

Lập thành một nhóm con chuẩn tắc của nhóm GL M  Nếu M là một R-module

trung thành thì tương ứng rr1M xác định một đẳng cấu C R *RL M .

PGL Mgọi là nhóm tuyến tính tổng quát xạ ảnh của M Nếu G là một nhóm con của GL M  thì

 

PG GG RL M

Nếu R là vành giao hoán và M là R-module tự do có hạng hữu hạn thì ta

định nghĩa nhóm tuyến tính đặc biệt SL M là nhóm con của GL M gồm những phần tử có ma trận bằng 1 Rõ ràng SL M  là nhóm con chuẩn tắc của GL M 

  *

RL R  rI rC R

Nếu R là giao hoán thì SL Rn aGL Rn | det a 1 

Giả sử M là module tự do với cơ sở hữu hạn  gồm n phần tử Khi đó

hạn chế của đồng cấu vành

Mat End M MatR

lên GL M cho ta một đồng cấu nhóm  

Mat GL M GL R

Hạn chế đồng cấu này lên RL M nhận được đồng cấu   RL M RL Rn .

Nếu R là vành giao hoán thì ta còn có SL M SL Rn .

Giả sử P GL R: n GL Rn / RL Rn  Khi đó PGL M PGL Rn  2.2 Module thặng dư và module cố định

Cho GL M ,các tập hợp S xx x| Mvà F xM |xx

là các module con của M Chúng được gọi tương ứng là module thặng dư và module cố định của M Ta thấy F và S tương ứng là hạt nhân và ảnh của đồng

 có cùng các module thặng dư và module cố định

Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu một số tính chất cơ bản của các module thặng dư

Tính chất 2.2.5 Cho  1,2GL M  và giả sử  1 2 2 1 Nếu một trong hai điều kiện sau đây được thỏa:

Định nghĩa 2.2.8 Phần tử GL M gọi là lũy đơn nếu  idMk  với một 0 k 0.

Nếu  là một phần tử lũy đơn idM thì số tự nhiên nhỏ nhất l  thỏa 0  idMl 0, được gọi là mức của  Ta qui ước mức của id là 0 M

Nếu  1,2GL M  là những phần tử lũy đơn giao hoán với nhau thì

  cũng là một phần tử lũy đơn, điều này được suy ra từ 2.2.1

Nếu đặc trưng của vành là một số nguyên tố p thì  là một phần tử lũy đơn khi và chỉ khi pi idM với một i 0.

Định nghĩa 2.2.9 Cho GL M  Nếu sR sao cho xxs, với một