báo cáo đồ án môn học xử lí tín hiệu số đề tài lấy mẫu và khôi phục tín hiệu signal sampling and reconstruction

2.Lấy mẫu của tín hiệu liên tục Hình 2: Tín hiệu tương tự liên tục và số so với thời gian lấy mẫu Hiển thị tín hiệu tương tự thời gian liên tục đường liền nét được xác định tại mọi điểm

BÁO CÁO ĐỒ ÁN MÔN HỌC

XỬ LÍ TÍN HIỆU SỐ

ĐỀ TÀI:

LẤY MẪU VÀ KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

(SIGNAL SAMPLING AND RECONSTRUCTION )

NHÓM : LỚP : 21DTV2

TP.Hồ Chí Minh, ngày … ,tháng,….năm …….

Mục lục

Lời mở đầu

(Digital Signal Processing - DSP) là một lĩnh vực trong kỹ thuật điện tử và viễn thông, nghiên cứu về việc xử lý tín hiệu số để phân tích, biến đổi và tạo ra các tín hiệu mới DSP đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như viễn thông, âm thanh, hình ảnh, điều khiển, xử lý tín hiệu y tế và nhiều ứng dụng khác.Quá trình lấy mẫu và khôi phục tín hiệu là hai bước đầu cuối của quá trình

xử lí tín hiệu số

Lấy mẫu tín hiệu là quá trình thu thập và ghi lại các giá trị của tín hiệu tại các điểm thời gian cố định Việc lấy mẫu tín hiệu là cần thiết vì có những lợi ích quan trọng sau:

+)Xử lý tín hiệu: Lấy mẫu tín hiệu cho phép chúng ta áp dụng các phương pháp xử lý tín hiệu như lọc tín hiệu, phân tích tín hiệu, nén tín hiệu, và nhiềuứng dụng khác Bằng cách lấy mẫu, chúng ta có thể giảm kích thước của tín hiệu và tăng tốc độ xử lý.

+)Lưu trữ và truyền tải: Lấy mẫu tín hiệu cho phép chúng ta lưu trữ và truyền tải tín hiệu dễ dàng hơn Thay vì lưu trữ hoặc truyền tải toàn bộ tín hiệu liên tục, chúng ta chỉ cần lưu trữ hoặc truyền tải các giá trị mẫu tại các điểm thời gian cố định.

+)Phân tích và kiểm tra: Lấy mẫu tín hiệu cũng cho phép chúng ta phân tích và kiểm tra tính chính xác của tín hiệu Bằng cách so sánh các giá trị mẫu với các giá trị dự kiến, chúng ta có thể xác định xem tín hiệu có đúng như mong đợi hay không.

+)Giới hạn băng thông: Lấy mẫu tín hiệu cũng liên quan đến khái niệm giới hạn băng thông Theo lý thuyết lấy mẫu, để tái tạo chính xác một tín hiệu, ta cần lấy mẫu với tần số cao hơn gấp đôi tần số cao nhất có trong tín hiệu Do đó, lấy mẫu giới hạn băng thông giúp đảm bảo rằng tín hiệu được tái tạo một cách chính xác.

Tóm lại, lấy mẫu tín hiệu là quá trình quan trọng trong xử lý tín hiệu và có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như viễn thông, y học, điện tử, và nhiều hơn nữa.

Cuối cùng, nhóm làm đề tài này xin chân thành cảm ơn cô đã truyền đạt những kiến thức từ tổng quát đến nền tảng, cốt lõi để nhóm chúng em có thể hoàn

thành tốt bài báo cáo này.

Một hệ thống xử lý tín hiệu điển hình bao gồm 3 giai đoạn:

+) Tín hiệu tương tự được số hóa bằng bộ chuyển đổi A/D

+) Các mẫu số hóa được xử lý bằng bộ xử lý tín hiệu số.

+) Các mẫu đầu ra thu được được chuyển đổi trở lại thành tín hiệu tương tự bằng một bộ chuyển đổi D/A.

I ) Lấy mẫu :

Hình 1 : Mô hình lấy mẫu

1 Khái niệm : Lấy mẫu là quá trình chuyển đổi tín hiệu tương tự thời gian liên tục xa(t), thành tín hiệu tín hiệu thời gian rời rạc bằng cách lấy các “mẫu” ở các khoảng thời gian rời rạc.

+) Việc lấy mẫu tín hiệu tương tự làm cho chúng rời rạc về mặt thời gian nhưng vẫn có giá trị liên tục

+) Nếu được thực hiện đúng cách (thỏa mãn định lý Nyquist), việc lấy mẫu sẽ không gây ra biến dạng tín hiệu

x(n) = x(nT) = x(t=nT), n=….-2, -1, 0, 1, 2, 3……

T: khoảng thời gian lấy mẫu hoặc thời gian lấy mẫu (giây);

fs = 1/T: tốc độ lấy mẫu hoặc tần số lấy mẫu (samples/second or Hz)

2.Lấy mẫu của tín hiệu liên tục

Hình 2: Tín hiệu tương tự liên tục và số so với thời gian lấy mẫu

Hiển thị tín hiệu tương tự (thời gian liên tục) (đường liền nét) được xác định tại mọi điểm trên trục thời gian và trục biên độ Do đó, tín hiệu tương tự chứa vô số điểm

Không thể số hóa vô số điểm Hơn nữa, các điểm vô hạn không phù hợp để được xử lý bởi bộ

xử lý tín hiệu số hoặc máy tính vì chúng đòi hỏi một lượng bộ nhớ vô hạn và sức mạnh xử lý vô hạn cho tính toán Việc lấy mẫu có thể giải quyết vấn đề này bằng cách lấy mẫu ở khoảng thời gian cố định, như được hiển thị trong Hình 2 và Hình 3, trong đó thời gian T biểu thị khoảng thời gian lấy mẫu hoặc khoảng thời gian lấy mẫu tính bằng giây Như được hiển thị trong Hình 3, mỗi mẫu duy trìmức điện áp của nó trong khoảng thời gian lấy mẫu T để ADC có đủ thời gian chuyển đổi nó Quá trình này là gọi là mẫu và giữ.(sample and hold)

Hình 3: Lẫy mẫu và giữ điện áp cho ADC

Đối với khoảng thời gian lấy mẫu T nhất định, được định nghĩa là khoảng thời gian giữa hai lần lấy mẫu điểm, tốc độ lấy mẫu hoặc tần số lấy mẫu là tốc độ lấy mẫu tín hiệu, được biểu thị bằng

số lượng mẫu trên giây (nghịch đảo của khoảng thời gian lấy mẫu)

Nếu tín hiệu thay đổi chậm thì sẽ cần ít mẫu hơn mỗi giây so với khi dạng sóng thay đổi nhanh chóng Vì vậy, tốc độ lấy mẫu tối ưu phụ thuộc vào giá trị tối đa thành phần tần số có trong tín hiệu

Xem xét tín hiệu tương tự trong đó Ω là tần số (rad/s) của tín hiệu tương tự và f=Ω/2π là tần

số tính theo chu kỳ/s hoặc Hz Tín hiệu được lấy mẫu ở ba tốc độ fs=8f, fs=4f và fs=2f

+ ) fs/f = samples/cycle

Hình 4: Lấy mẫu tín hiệu với các tần số khác nhau

Như vậy, ta thấy rằng nếu tần số lấy mẫu càng cao thì dạng của tín hiệu càng có khả năng khôi phục giống như tín hiệu gốc Tuy nhiên, nếu tần số càng cao thì cần phải dùng dung lượng lớn hơn

để lưu trữ và đồng thời tốc độ xử lý sẽ chậm lại do cần xử lý số lượng dữ liệu lớn Từ đó, ta cần xác định tần số lấy mẫu sao cho có thể khôi phục lại gần đúng dạng tín hiệu với yêu cầu tốc độ xử lý giớihạn trong mức cho phép

k=−∞

∞

x (nT s)δ(t−nT s)¿

3 Miền tần số của tín hiệu được lấy mẫu

Mối quan hệ giữa tín hiệu tương tự và phiên bản lấy mẫu thời gian rời rạc của nó là cần thiết đểhiểu hoạt động của hệ thống DSP Mối quan hệ này trong miền thời gian được đưa ra bởi:

Trong đó Fs là tần số lấy mẫu = 1/Ts Nói cách khác, X(f) bao gồm vô số

các bản sao của Xa(F) được chia tỷ lệ cách nhau bởi khoảng tần số f = 1 Từ mối quan hệ giữa rời rạc tần số tương tự

4 Định lý lấy mẫu Nyquist :

Nếu tín hiệu tương tự không được lấy mẫu thích hợp, hiện tượng răng cưa sẽ xảy ra, điều này gây ra các tín hiệu không mong muốn trong băng tần mong muốn (tức là nếu việc lấy mẫu được thựchiện ở tần số thích hợp tốc độ, không có thông tin nào bị mất về tín hiệu gốc và nó có thể được tái tạo lại chính xác sau này)

Nếu tín hiệu được lấy mẫu ở tốc độ ít nhất, nhưng không chính xác bằng hai lần tần số tối đa thành phần của dạng sóng thì dạng sóng có thể được xây dựng lại chính xác từ các mẫu không có bất

kỳ sự biến dạng nào”

Điều kiện: fs >= 2 fmax

+) fmax : là thành phần tần số tối đa của tín hiệu tương tự được lấy mẫu

+) fs = 2fmax : được gọi là tốc độ Nyquist (tần số lấy mẫu)

Ts : được gọi là khoảng Nyquist: Đó là khoảng thời gian dài nhất có thể được sử dụng để lấy mẫu một tín hiệu giới hạn băng tần và vẫn cho phép tái tạo tín hiệu ở máy thu mà không bị biến dạng [-fs/2, fs/2]

Để từ các mẫu ta có thể khôi phục lại đúng tín hiệu ban đầu, khi lấy mẫu phải chọn tốc độ lấy mẫu lớn hơn hay ít nhất là bằng hai lần thành phần tần số cao nhất có trong tín hiệu tương tự.Định lýNyquist xác định giới hạn dưới của fs

Giới hạn trên của fs :

Tp : thời gian để xử lý mỗi mẫu dữ liệu (tùy thuộc vào phần cứng )

fp = 1/Tp : tốc độ xử lý mỗi mẫu

Hình 5 : Tần số lấy mẫu của một vài tín hiệu trong đời sống

5.Hiện tượng Aliasing (chồng lấn phổ) :

a Định nghĩa :

Nếu bắt đầu bằng việc xem xét phổ (mang tính chất lặp lại) của tín hiệu đã được lấy mẫu, khôngthể xác định được tần số tín hiệu ban đầu Nó có thể là thành phần nào đó trong các tần số

f ’= f + mfs với m = 0, ±1, ±2,… Đó là do bất kì tần số nào thuộc f ’ cũng đều có phổ giống nhau sau khi lấy mẫu Hiện tượng trùng lặp này được gọi là chồng phổ “ aliasing ” và có thể tránh được nếu thỏa định lí lấy mẫu.

d Ảnh hưởng của hiện tượng alias được thể hiện khi khôi phục

Giả sử bộ khôi phục lý tưởng là bộ lọc thông thấp lí tưởng, tần số cắt fc = f/2

khi đó, tần số khôi phục

(chọn m sao cho thành phần tần số nằm trong khoảng Nyquist )

Hình 6: Tín hiệu được đưa qua hệ thống DSP

6.Bộ tiền lọc :

a.Bộ lọc tiền lọc lý tưởng

+) Bộ lọc tương tự thông thấp dùng để giới hạn phổ tín hiệu ngõ vào để chống hiện tượng chồng phổ

+) Bộ lọc thông thấp lí tưởng có tần số cắt fc = fs/2

= > Loại bỏ tất cả các thành phần tần số lớn hơn fs/2

= > không xảy ra hiện tượng chồng lấn phổ

Hình7: Sơ đồ của các bộ lọc

b.Bộ tiền lọc thực tế :

Không loại bỏ hoàn toàn các thành phần tần số lớn hơn fs/2.Hiện tượng chồng lấn phổ vẫn xảy

ra nhưng giảm đi nhiều

Hình 8 : Hình bộ lọc tiền thực tế

c.Cách lựa chọn các thông số cho bộ tiền lọc thực tế :

Chọn tần số cắt dải thông fpass sao dải thông [-fpass;fpass] chứa trọn vẹn tầm giá trị quan tâm[-fm;fm]

Chọn tần số cắt dải chặn fstop và suy hao dải chặn Astop sao cho tối thiểu ảnh hưởng của hiện tượng alias: fstop = fs – fpass

Suy hao của bộ lọc theo dB

f0 tần số trung tâm của bộ lọc

d Phổ tín hiệu được lấy mẫu :

Từ phân tích phổ như trong Hình 10, rõ ràng là phổ tín hiệu được lấy mẫu bao gồm phổ băng cơ

sở được chia tỷ lệ tập trung ở điểm gốc và bản lặp của nó tập trung ở điểm tần số ± nfs (± n/Ts) (bội

số của tốc độ lấy mẫu) đối với mỗi n = 1,2,3,

Hình 10(a),phổ tín hiệu được lấy mẫu được vẽ trong Hình 10(b), trong đó,bản sao có sự tách biệt

chéo trong phổ tín hiệu được lấy mẫu

Hình 10 : Các hình dạng phổ tín hiệu

Nếu áp dụng bộ lọc tái tạo thông thấp để thu được sự tái tạo chính xác phổ tín hiệu gốc

+) Miễn là fs > 2B, sẽ không có sự chồng lấp của các bản sao lặp lại X(f - n/Ts) trong Xs(f) Kể từ

+) Nếu dạng sóng được lấy mẫu dưới mức (tức là fs < 2B), thì sẽ có sự chồng chéo quang phổ trongtín hiệu được lấy mẫu Do đó, tín hiệu ở đầu ra của bộ lọc sẽ khác với tín hiệu phổ tín hiệu gốc như trong Hình 12 [Đây là kết quả của việc khử răng cưa]

+) Điều này nói rằng bất cứ khi nào điều kiện lấy mẫu không được đáp ứng, sự chồng chéo không thể đảo ngược của các bản lặp phổ được tạo ra

Hình 11: Phổ tín hiệu qua lọc thông thấp

Hình 12: Hiện tượng phổ chồng chéo

II Khôi phục tín hiệu tương tự:

1.Khái quát:

Các mẫu sau khi xử lý xong sẽ được khôi phục lại dạng tương tự bằng bộ khôi phục tín hiệu

tương tự gọi là bộ biến đổi D/A (Digital to Analog)

Đầu tiên dữ liệu số đã xử lý y(n) được chuyển đổi thành chuỗi xung lý tưởng ys(t), trong đó mỗi xung có biên độ tỷ lệ thuận với đầu ra với giá trị số y(n) và hai xung liên tiếp cách nhau bởi mộtchu kỳ lấy mẫu T

Thứ hai, bộ lọc tái tạo tương tự được áp dụng cho mục đích lý tưởng tín hiệu được lấy mẫu ys(t) được phục hồi để thu được tín hiệu tương tự được phục hồi

Hình 13: Sơ đồ khôi phục tín hiệu

Trường hợp 1: fs = 2fmax: Tần số Nyquist bằng tần số cực đại của tín hiệu analog

x(t), cần có bộ lọc tái tạo thông thấp lý tưởng để khôi phục phổ tín hiệu tương tự

Đây là một trường hợp không thực tế

Trường hợp 2: fs > 2fmax: Trong trường hợp này có sự tách biệt giữa biên tần số cao nhất của

phổ băng cơ sở và cạnh dưới của bản sao đầu tiên Do đó, một đường thông thấp thực tế

bộ lọc tái tạo (chống ảnh) có thể được thiết kế để loại bỏ tất cả các hình ảnh và đạt được

phổ tín hiệu gốc

2.Khôi phục tín hiệu tương tự

Hình 14: Sơ đồ bộ khôi phục lý tưởng

a.Khôi phục lý tưởng

+ Bộ khôi phục lý tưởng chỉ lấy các thành phần tần số trong khoảng Nyquist [-fs/2,fs/2]

+ Trong các tần số f, f±fs, f±2fs,…, f±mfs,… thì chỉ có duy nhất 1 tần số thuộc khoảng [-fs/2,fs/2] +Tần số này tìm được theo fa=f mod (fs) (-fs/2 ≤fa ≤fs/2)

Hình 15 : Khôi phục lý tưởng có đáp ứng xung

Từ định lý lấy mẫu và các ví dụ trên, rõ ràng là nếu chúng ta lấy mẫu xa(t) giới hạn băng thông trên tốc độ Nyquist của nó, thì chúng ta có thể tái tạo lại xa(t) từ các mẫu của nó x(n) Sử dụng công thức nội suy:

Sinc(x) = sin(πFtx) πFtx là một hàm nội suy bắt nguồn từ một đường truyền thấp lý tưởng của

bộ lọc khôi phục Tuy nhiên, vì bộ lọc tái tạo thông thấp lý tưởng không thể được tìm trực tiếp nên,

sẽ thường ước tính bộ lọc thông thấp lý tưởng bằng các phương pháp sau:

+ ) Zero- order- hold (ZOH) interpolation : Trong phép nội suy này, một giá trị mẫu nhất định

được giữ trong khoảng thời gian lấy mẫu cho đến khi nhận được mẫu tiếp theo

Hình 16.a: ZOH khôi phục tín hiệu Hình 16.b : Đáp ứng xung của một ZOH

Đây là một xung hình chữ nhật Tín hiệu thu được là hằng số từng đoạn (bậc thang) dạng sóng yêu cầu bộ lọc sau tương tự được thiết kế phù hợp để có độ chính xác tái tạo dạng sóng

+) First-order-hold (FOH) interpolation: Trong trường hợp này các mẫu liền kề được nối bởi

những đường thẳng Điều này có thể đạt được bằng cách lọc chuỗi xung thông qua :

Hình 17.a : Khôi phục tín hiệu bằng những đường thẳng nội suy

Hình 17.b: Đáp ứng xung gây ra bởi First-order-hold (FOH)

Như thể hiện trong hình trên, giá trị của tín hiệu nội suy bất cứ lúc nào phụ thuộc vào giá trị của mẫu trước và giá trị của mẫu tiếp theo và điều này không thể thực hiện được trong thời gian thực

vì giá trị của mẫu tiếp theo không được biết trong thời gian thực Nhưng nếu chúng ta trì hoãn tín hiệu được tái tạo một khoảng thời gian mẫu T, thì chúng ta có thể làm cho quá trình tái tạo trở thành nhân quả và tín hiệu được tái tạo sẽ xuất hiện như Hình 18

Hình 18 : Tín hiệu khôi phục đường thẳng bị trễ bởi một mẫu thời gian

Phép nội suy này có thể được thực hiện bằng cách tuân theo việc giữ thứ tự 0 bằng cách giữ thứ

tự 0 giống hệt nhau Điều này có nghĩa là đáp ứng xung của bộ lọc tái tạo tín hiệu như vậy sẽ là tích chập của đáp ứng xung giữ bậc 0 với chính nó :

h(t) = rect(t−T /2 T ¿ * = rect( t−T /2 T ¿ = tri (t−T T ¿

Hình 19: Mô tả quá trình khôi phục tín hiệu ở miền thời gian

b.Khôi phục hình thang :

Hình 20.a: Quá trình khôi phục của bộ khôi phục hình thang ở miền thời gian

Hình 20.b: Quá trình khôi phục của bộ khôi phục hình thang ở miền tần số

Bộ hậu lọc: là bộ lọc thông thấp, nằm ngay sau bộ khôi phục hình thang,dùng để loại bỏ các thành phần phổ ảnh còn sót lại sau bộ lọc bậc thang Từ đó nhận thấy bộ khôi phục lí tưởng có thể bao gồm bộ khôi phục hình thang + bộ hậu lọc

Hình 18 : Kết quả của quá trình khôi phục

III THỰC HÀNH MÔ PHỎNG :

1.Mô phỏng bằng Code Matlab:

1.a Mô phỏng lấy mẫu tín hiệu với tín hiệu vào :

x1 = sin(20*pi*n1*Ts1);

figure(5)

subplot(2,1,1) plot(t,xa)

subplot(2,1,2) stem(n1,x1)

1.b Mô phỏng khôi phục tín hiệu trên :

CODE:

KẾT QUẢ :

Hình 20: Két quả khôi phục tín hiệu khi lấy mẫu là fs = 100Hz

+) Sai số tối đa giữa tín hiệu tương tự được tái tạo và tín hiệu tương tự thực tế là 0,0013

Hình 21: Sơ đồ khối của quá trình lấy mẫu và khôi phục

- Lấy mẫu: Tín hiệu vào qua khối sample and hold được lấy mẫu theo cạnh lên của xung clock.Tần số của xung clock chính là tần số lấy mẫu tín hiệu (lưu ý: Tần số lấy mẫu phải thỏa mãnđịnh lý lấy mẫu Nyquist để tránh xuất hiện alias) Khi xuất hiện cạnh lên của xung clock, lấygiá trị của tín hiệu vào và giữ lại giá trị đó đến khi xuất hiện cạnh lên tiếp theo của xung clock

Hình 22: Tín hiệu sau khi qua khối Sample and Hold là tín hiệu được lấy mẫu tín hiệu hiệu vào.

- Khôi phục tín hiệu: Sử dụng bộ lọc số thấp qua để lọc và chuyển đổi tính hiệu sau khi lấy mẫuthành tín hiệu tương tự

Hình 23: Tín hiệu được khôi phục

- Toàn bộ quá trình lấy mẫu và khôi phục tín hiệu:

Hình 24: Toàn bộ tín hiệu qua máy hiện sóng