1710824913254 hsa thc chin 02 t duy nh lng() 1

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI BẢN QUYỀN: TRUNG TÂM LUYỆN THI QUỐC GIA HSA BỘ MÔN: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG CẤU TRÚC: 50 câu – 75 phút.. Khi m thay đổi thì bán kính đườ

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI

BẢN QUYỀN: TRUNG TÂM LUYỆN THI QUỐC GIA HSA

BỘ MÔN: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG

CẤU TRÚC: 50 câu – 75 phút (35 câu chọn đáp án - 15 câu điền đáp án)

HSA 01: Cho điểm𝐴(3; 1; 0)và𝐵(−2; 4; 1) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy sao cho MA = MB

A.𝑀(0; 1; 0) B.𝑀 (0;11

6 ; 0) C.𝑀(0; 2; 0) D.𝑀(0; 3; 0)

HSA 02: Cho cấp số cộng thỏa mãn {𝑢4+ 𝑢9 = 100

𝑢1+ 𝑢3 = 46 Tìm tổng của 200 số đầu tiên?

Đáp án:

HSA 03: Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥3− 10𝑥2+ 7𝑥 − 35 có bao nhiêu đường tiếp tuyến song song với đường

thẳng 𝑦 = 7𝑥 + 19?

HSA 04: Cho các mặt phẳng: (𝑃): 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 11 = 0; (𝑄): 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 − 3 = 0

(𝑅): 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 3 = 0; (𝑆): 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 + 19 = 0

Hãy chọn đáp án đứng trong các đáp án dưới đây?

A.(𝑃) ≡ (𝑄) B.(𝑃) ∥ (𝑄) C (𝑅) ⊥ (𝑆) D.(𝑅) ∥ (𝑆)

HSA 05: Mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (Cm): 𝑥2+ 𝑦2− 2(𝑚 + 1)𝑥 − 6𝑦 + 6𝑚 − 10 = 0 Khi

m thay đổi thì bán kính đường tròn (Cm) đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Đáp án:

HSA 06: Cho tập hợp 𝑆 = {1; 2; 3; ; 9} Có bao nhiêu số 4 chữ số khác nhau được tạo bởi nên từ tập 𝑆

là số chẵn?

HSA 07: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm 𝐴(−3; 5), 𝐵(1; 3), 𝐶(2; 1) Viết phương trình đường

thẳng d qua M sao cho A, B nằm ở hai phía nửa mặt phẳng bờ d và khoảng cách từ A và B đến d là bằng

nhau

A 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 B 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0

HSA 08: Trong không gian Oxyz cho các điểm𝐸(2; 4; −1)và 𝐹(3; −1; 1) Phương trình mặt phẳng (𝛼) đi

qua E, F và vuông góc với mặt thẳng (𝛽): 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 9 = 0

A.𝑥 − 5𝑦 − 13𝑧 − 5 = 0 B 𝑥 − 5𝑦 + 13𝑧 + 15 = 0

C 𝑥 − 5𝑦 − 13𝑧 + 5 = 0 D 𝑥 + 5𝑦 − 13𝑧 + 2 = 0

HSA 09: Viết phương trình đường thẳng đi qua 𝑀(0; 1) và là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥3+

6𝑥 − 2?

2

3

D 𝑥 = √23

HSA 10: Giải phương trình 𝑐𝑜𝑠( 𝜋 𝑠 𝑖 nx) = 1?

HSA 11: Cho tứ diện 𝑂𝐴𝐵𝐶 có 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶đôi một vuông góc với nhau Đặt 𝑂𝐴 = 𝑎; 𝑂𝐵 = 𝑏; 𝑂𝐶 = 𝑐

Tính 𝑆𝐴𝐵𝐶2

𝑆𝑂𝐴𝐵2 +𝑆𝑂𝐴𝐶2 +𝑆𝑂𝐵𝐶2 ?

3

HSA 12: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 𝑓(𝑡) = 4 𝑐𝑜𝑠2𝜋 𝑡 + 3 𝑠𝑖𝑛2( 𝜋𝑡 +𝜋

4)?

Đáp án:

HSA 13: Mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương cạnh a Bán kính của mặt cầu bằng

A 𝑎√3

2 D 2𝑎

3

HSA 14: Cho đồ thị hàm số 𝑦 = 3𝑥2giới hạn bởi đường𝑥 = −1; 𝑥 = 4 Tính thể tích khối tròn xoay tạo

thành khi xoay phần đồ thị đó quanh trục 𝑂𝑥?

HSA 15: Cho khối chóp tam giác có đường cao bằng 25a, các cạnh lần lượt bằng 20a, 21a, 29a Thể tích

khối chóp bằng bao nhiêu?

HSA 16: Cho cấp số nhân có 𝑢𝑛 = 2 (−3)𝑛 Tính 𝑆10 = 𝑢1+ 𝑢2+ +𝑢10?

HSA 17: Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác cân có AB = 2a, ∠𝐵𝐴𝐶 = 1200, SA = SB, (SAB) vuông

góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp bằng 𝑎

3

4 Tìm khoảng cách từ A đến (SBC)

A √21𝑎

7 B √21𝑎

5

HSA 18: Cho tập 𝑆 = {1; 2; 3; 4; 5; 6}có bao nhiêu số tự nhiên có 9 số trong đó số 2 xuất hiện 2 lần số 5

xuất hiện 3 lần mỗi chữ số còn lại xuất hiện 1 lần ?

Đáp án:

HSA 19: Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷có 𝐴𝐵 = 32𝑐𝑚; 𝐶𝐷 = 28𝑐𝑚 𝑀; 𝑁; 𝑃 lần lượt là trung điểm của 𝐵𝐶; 𝐵𝐷; 𝐴𝐷

Mặt phẳng (𝑀𝑁𝑃) cắt 𝐴𝐶 tại 𝑄 Tính diện tích thiết diện 𝑀𝑁𝑃𝑄 biết 𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝐷

HSA 20: Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng 𝑑1:𝑥

2= 𝑦−1

−1 =𝑧+2

1 và𝑑2: {

𝑥 = −1 + 2𝑡

𝑦 = 1 + 𝑡

𝑧 = 3

Viết phương trình đường thẳng𝛥cắt đường thẳng d1, d2 và vuông góc với (𝑃): 7𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 − 5 = 0

A 𝑥

7= 𝑦−1

1 =𝑧+2

7 =𝑦−1

1 = 𝑧+3

−4

C 𝑥+1

7 =𝑦−1

1 = 𝑧−3

7 = 𝑦

1 = 𝑧+1

−4

HSA 21: Cho hàm số 𝑓(𝑥) có 𝑓(1) = 1 và 𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 Tính ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥01 ?

Đáp án:

HSA 22: Trong không gian Oxyz cho điểm M(-1;1;6) và đường thẳng d {

𝑥 = 2 + 𝑡

𝑦 = 1 − 2𝑡

𝑧 = 2𝑡

Gọi 𝐻(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) là hình chiếu vuông góc của M lên d Tính giá trị của biểu thức 𝑆 = 𝑥0+ 𝑦0+ 𝑧0

HSA 23: Cho𝑎1 = 10; 𝑎2 = 20; 𝑎𝑛+1 = 1

𝑛 (𝑎1+ 𝑎2+ +𝑎𝑛) Tính 𝑎2013?

Đáp án:

HSA 24: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2+ 1 có đồ thị (𝐶) và điểm 𝐴(1; 𝑚) Gọi 𝑆 là tập hợp tất cả các giá trị

nguyên của tham số 𝑚 để qua 𝐴 có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị (𝐶) Số phần tử của 𝑆 là

HSA 25: Cho hàm số 𝑦 =𝑚|𝑥|

𝑥−1 Tìm m để hàm só có 3 tiệm cận ?

HSA 26: Tính 𝑙𝑖𝑚4.3𝑛+2+2𝑛

6 𝑛 +2 𝑛

HSA 27: Cho (1 + 3𝑖)3 = 𝑎 + 𝑏𝑖 Tính 𝑎4 + 𝑏4?

HSA 28: Tính 𝑦′(1) biết 𝑦 = 𝑥 (𝑥 − 1) (𝑥 − 2) (𝑥 − 3) (𝑥 − 4) (𝑥 − 5)?

HSA 29: Trong không gian Ozyz cho các điểm 𝐴(4; 11; 8), 𝐵(1; −1; 2),𝐶(1; 3; 4), M là điểm di động trên

mặt phẳng (Oxy) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝑆 = 3|𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | + 2|𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |là

HSA 30: Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang (𝐴𝐵//𝐶𝐷)và 𝐴𝐵

𝐶𝐷 =2

3 Lấy 𝐵′ trên 𝑆𝐵, 𝐷′ trên

𝑆𝐷 sao cho 𝑆𝐵′ =1

2𝑆𝐵; 𝑆𝐷′ =1

2𝑆𝐷 (𝐴𝐵′𝐷′) cắt 𝑆𝐶 tại 𝑀 Tính 𝑉𝑆.𝐴𝐵′𝑀𝐷′

𝑉 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷?

A 1

7

HSA 31: Tìm 𝑚 để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥3− 𝑚𝑥2+ (2𝑚 − 3)𝑥 − 1 đều có hệ số góc

dương

HSA 32: M là điểm di động trên mặt cầu (S): (𝑥 − 3)2+ (𝑦 − 5)2+ (𝑧 + 9)2= 4 Khoảng cách từ điểm

M đến mặt phẳng (Oxy) đạt giá trị lớn nhất là

Đáp án:

HSA 33: Có bao nhiêu số có 6 chữ số mà chữ số 2 xuất hiện 2 lần, chữ số 5 xuất hiện 3 lần, các chữ số

còn lại xuất hiện nhiều nhất 1 lần?

A 480 B.560 C 490 D 470

HSA 34: Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi 𝛼, 𝛽, 𝛿 là 3 góc tạo bởi

đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC)

Giá trị của biểu thức 𝑃 = 𝑠𝑖𝑛2𝛼 + 𝑠𝑖𝑛2𝛽 + 𝑠𝑖𝑛2𝛿là

Đáp án:

HSA 35: Mặt phẳng (P) đi qua E(1;2;-3) và song song với mặt phẳng 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 − 12 = 0 (P) cắt trục

Oy tại M Tính độ dài đoạn OM

HSA 36: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm (√5 + √3)𝑥 + (√5 − √3)𝑥 = (√7)𝑥?

HSA 37: Có tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau mà hoặc không có 5, hoặc không có 3?

HSA 38: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8CM, BC = 6cm S là điểm di động trên đường thẳng d vuông

góc với (ABCD) tại A Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc lên SB, SD Mặt phẳng (AMN) cắt SC

tại K Khoảng cách từ K đến (ABCD) đạt giá trị lớn nhất là

Đáp án:

HSA 39: Cho hệ phương trình { ax − 𝑦 = 1

2𝑥 + 𝑏𝑦 = 1 Có bao nhiêu cặp số nguyên (𝑎; 𝑏) để hệ phương trình vô nghiệm?

HSA 40: Cho 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑦, hỏi 𝑦′ = 0có bao nhiêu nghiệm trong đoạn [0,2𝜋]?

HSA 41: Cho 𝑓(𝑥) = 3𝑥, 𝑔(𝑥) = 27𝑥 Tìm tập nghiệm của 𝑓(𝑔(𝑥)) < 𝑔(𝑓(𝑥))?

A 𝑥 <1

HSA 42: Tính ∫ 1

√𝑥+1+√𝑥−1𝑑𝑥?

A 1

3((𝑥 + 1)

3

2+ (𝑥 − 1)

3

3((𝑥 + 1)

3

2− (𝑥 − 1)

3

2) + 𝐶

C 1

3((𝑥 + 1)

3

2+ (𝑥 − 1)

3

3((𝑥 + 1)

2

3+ (𝑥 − 1)

2

3) + 𝐶

HSA 43: Cho bất phương trình 𝑙𝑜𝑔4( 𝑎 + 𝑏) + 𝑙𝑜𝑔4( 𝑎 − 𝑏) ≥ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của (2𝑎 − 𝑏)2

Đáp án:

HSA 44: Tổng các giá trị m nguyên dương thỏa mãn bé hơn 10 để hàm số 𝑦 = 2

√𝑠𝑖𝑛 2 𝑥−2 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑚−1

xác định trên ℝ là ………

Đáp án:

HSA 45: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = BD = BC = CD = 8cm, độ dài cạnh AD thay đổi Thể tích khối

tứ diện đạt giá trị lớn nhất là

Đáp án:

HSA 46: Tìm chu kì 𝑇 của hàm số 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 3 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠22 𝑥

HSA 47: Tìm hệ số của số hạng mà có bậc của 𝑥; 𝑦 bằng nhau trong các khai triển sau (𝑥3+ 𝑥𝑦)21là……

Đáp án:

HSA 48: Gọi 𝑆 là tập tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập 𝑋 = {0,1,2,3,4,5,6,7}.Rút ngẫu

nhiên một một số thuộc tập 𝑆 Tính xác suất để rút được số mà trong đó chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc

bằng chữ số đứng trước?

Đáp án:

HSA 49: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 9 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 6 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1 là

Đáp án:

HSA 50: Tích phân ∫ 𝑚𝑖𝑛{𝑥𝟎𝟐 2, 3𝑥 − 2} 𝑑𝑥 bằng

A −2

3 D 17

6