NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN HỌC

NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM SÁNG TẠO Bùi Văn Lợi 17S1011071

Email: builoidhsphue@gmail.com

GVHD: Nguyễn Đăng Minh Phúc

Huế , ngày 21 tháng 5 năm 2019

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thiện bài tiểu luận về chủ đề “Những sai lầm của học sinh khi xác định đường tiệm cận” là sự giúp đỡ, hướng dẫn của rất nhiều từ những giảng viên, học sinh

và các bạn liên quan:

Xin cảm ơn Thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc đã tận tình giảng dạy cho em kiến thức và bổ sung kinh nghiệm vốn có của mình để em có thể hoàn thành bài tiểu luận này một cách thuận lợi

Cảm ơn các bạn của các Trường THPT Hai Bà Trưng, THPT Nguyễn Huệ, THPT Cao Thắng, THPT Thuận Hóa… đã dành một chút thời gian ôn thi của mình để tận tình giúp đỡ hoàn thành phiếu kiểm tra, góp phần không nhỏ để em hoàn thiện bài tiểu luận này

Xin cảm ơn ban quản lý Trung Tâm Học Liệu- Đại học Huế ( 23 Lê Lợi – TP Huế) đã nhiệt tình tạo điều kiện tốt nhất cho em để em hoàn thành tốt chỉ tiêu phiếu kiểm tra học sinh ngay tại khu vực

Xin cảm ơn

LỜI NÓI ĐẦU

“Xin làm đường tiệm cận Mỗi ngày một gần thêm

Rồi một chiều giông bão sẽ lặng yên

Nơi vô định thuyền hai ta cập bến” ( Sưu tầm )

Như chúng ta đã biết thì khái niệm đường tiệm cận là hai đường không ngừng đi sát lại gần nhau nhưng không bao giờ gặp nhau Nhưng cách tìm đường tiệm cận của hàm số ấy liệu có đơn giản? Trong các bài thi THPT Quốc gia thì các bài toán tìm các đường tiệm cận thuộc phân khúc dễ lấy điểm nhất nhưng nếu không hiểu rõ đúng bản chất thì việc sai sót là điều dễ thấy Đường tiệm cận của đồ thị liên quan chặt chẽ tới phép tính giới hạn Nhiều bạn không nắm được định nghĩa mà chỉ nhìn vào hình thức của hàm số và suy đoán một cách máy móc nên dẫn tới sai lầm khi tìm đường tiệm cận, chính vì vậy em mạnh dạn đưa ra những hiểu nhầm và sai lầm thường thấy nhất của học sinh khi xác định đường tiệm cận

Với mục tiêu là xác định được những sai sót thường gặp nhất của học sinh THPT khi xác định các bài toán về đường tiệm cận và đề xuất ra các hướng giải pháp dễ hiểu qua đó giải quyết được bài toán một cách chính xác nhất ngoài ra bài tiểu luận này em cũng xin giới thiệu thêm một số cách dễ nhớ các phương pháp giải mới cho học sinh dễ dàng áp dụng

Ở trong bài tiểu luận này , sẽ có 3 phần riêng biệt như sau :

Phần A : Ở đây em sẽ trình bày lý thuyết nội dung về đường Tiệm cận mà chúng ta đã học ở

chương trình lớp 12 THPT , đưa ra một số bài toán ví dụ, tiền đề cho phiếu kiểm tra ở phần B

Phần B : Như đã nêu ở phần A thì ở phần này em sẽ tóm tắt sơ bộ quá trình kiểm tra đánh giá

để tìm ra kết quả cuối cùng bằng các đồ thị hình cột Công cụ khảo sát là phiếu kiểm tra (30

học sinh tại TTHL–23 Lê Lợi- Huế ) , xác đinh dạng câu tỉ lệ sai nhiều nhất và tìm ra cách giải

hợp lý, giải các bài tập ví dụ và đưa ra các câu hỏi vận dụng

Phần C : Đưa ra kết luận quá trình, trình bày một số cách giải nhanh , cách dễ nhớ để xác

định tiệm cận

Hi vọng với một số kiến thức nhỏ này có thể cung cấp những kiến thức thông tin hữu ích cho các học sinh cũng như các bạn đọc đề tài này của mình Trong bài tiểu luận này có thể có một số lỗi lầm không đáng có, mong các bạn có thể ủng hộ chỉnh sửa và đóng góp giúp mình để mình có thể hoàn thiện bài làm một cách xuất sắc nhất Mình xin chân thành cảm ơn

Bùi Văn Lợi

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 2

LỜI NÓI ĐẦU 3

Mục lục 4

A LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ 5

1 Khái niệm tiệm cận hàm số 5

2 Định nghĩa tiệm cận đứng (TCĐ) và tiệm cận ngang (TCN) 5

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 8

1) MỤC TIÊU KIỂM TRA 8

2) ĐỐI TƯỢNG 8

3) NỘI DUNG CÂU HỎI 9

4) KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 9

A LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ 1 Khái niệm tiệm cận hàm số

Cho hàm sốy f x( ) có đồ thị (C) Điểm M ∈ (C), MH là khoảng cách từ M đến đường thẳng d

Đường thẳng d gọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu : Khoảng cách MH dần về 0 khi x   hoặc x x0

2 Định nghĩa tiệm cận đứng (TCĐ) và tiệm cận ngang (TCN)

a Tiệm cận ngang (TCN)

Cho hàm số y f x( ) xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng (a ; +∞) , (-∞ ; b) hoặc (-∞ ; +∞ ) ) Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

 Hàm số có TXĐ không phải các dạng sau : (a ; +∞) , (-∞ ; b) hoặc (−∞ ; +∞) thì đồ thị không có tiệm cận ngang

b Tiệm cận đứng (TCĐ)

Đường thẳng xx0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được

c Dấu hiệu nhận biết TCĐ và TCN

 Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử thì hàm số

Trước mỗi bài tập xác định tiệm cận, chúng ta cần xác định tập xác định của hàm số trước Sau khi dự đoán tiệm cận của bài toán chúng ta cần so sánh lại xem tiệm cận có thuộc tập xác định không rồi sau đó mới kết luận

B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

1) MỤC TIÊU KIỂM TRA

 Kiểm tra hiểu biết của học sinh khi xét các đường tiệm đồ thị  Mức độ hiểu biết của học sinh về các dạng bài biện luận ẩn

 Đánh giá năng lực của học sinh hiểu biết về chủ đề tiệm cận khi kì thi THPT Quốc Gia đang cận kề

2) ĐỐI TƯỢNG

 Học sinh lớp 12 các trường THPT tại địa bàn TP Huế ( THPT Cao Thắng, THPT Hai Bà Trưng, THPT Nguyễn Huệ, THPT Thuận Hóa )

 Địa điểm khảo sát là khu vực Trung tâm học liệu- Đại học Huế, 23 Lê Lợi Huế

3) NỘI DUNG CÂU HỎI

Nhằm phân loại các mức độ câu hỏi để đạt mục điêu đề ra, em xin phân loại phiếu kiểm tra gồm 3 mức độ tăng dần như sau:

a) Mức độ hiểu biết ( 2 câu ) :

Ở mức này , em sẽ đưa ra các câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết mức đơn giản nhận biết nhất, gồm 2 câu hỏi nhận biết

 Câu 1 :Cho hàm số y f x( ) Nếu lim  

Sau khi học sinh trả lời ở mức độ đầu tiên thì tới ở mức vận dụng thông thường Ở mức này, em sẽ đưa ra một số câu hỏi trắc nghiệm vận dụng để đánh giá hiểu biết của các học sinh , trong đó 1 câu vận dụng thấp – dựa trên hiểu biết thông thường và 1 câu vận dụng thông thường - ở đây sẽ yêu cầu các em thể hiện mức hiểu bài

 Câu 3: Cho bảng biến thiên sau, hãy xác định các câu đúng ?

Ở đây thì em đưa ra 2 câu hỏi vận dụng cao , yêu cầu làm tự luận , học sinh cần suy nghĩ kĩ càng hơn, tư duy hơn Qua đó đánh giá mức hiểu của học sinh Ở đây em sẽ giải thích một cách dễ hiểu nhất có thể, giúp học sinh vận dụng vào

Sau khi khảo sát nhanh với 30 học sinh tại TTHL , thu được kết quả của 2 mức độ câu hỏi trắc nghiệm như sau:

 Về mức độ nhận biết, đa số các bạn đều đã có sự hiểu biết của bản thân, đƣa ra các câu trả lời đúng

Hình 4

 Về mức độ vận dụng : Bắt đầu ở mức độ này thì dần có sự phân hóa nhìn biểu đồ ( Hình 5 ) dễ dàng rút ra đƣợc ở câu hỏi quan sát bảng biến thiên ( Câu 2) thì có sự hiểu nhầm chọn sai đáp án khá cao ( 60%), cụ thể :

Hình 5

 Về mức độ vận dụng cao: Ở đây số lƣợng các bạn thực hiện trả lời câu hỏi là khá thấp ( chỉ 15/30 phiếu điều tra ), có một số bài sẽ đƣợc chọn để phân tích

5) PHÂN TÍCH VÀ GIẢI ĐÁP

Ở phần này , Câu 2, Câu 5, Câu 6 là 3 câu dễ sai nhất qua đó để cùng phân tích điểm sai của mỗi bài:

Câu 3: Cho hàm số là hàm số xác định trên R∖{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong tổng số 18 câu trả lời sai , đa số

Nhìn qua về khái niệm giá trị lớn nhất ta có thể dễ thấy rằng 5 là giá trị lớn nhất của hàm số khi x  , x không xác định được, nên chưa thể kết luận 5 là giá trị lớn nhất của hàm số.

Học sinh hiểu sai về khái niệm tiệm cận của đồ thị hàm số, hãy cùng nhắc lại về định nghĩa : lim lim ( )

    nên yk là tiệm cận ngang Vậy, ở trong đáp án này thì do lim 5

  nên y5 là tiệm cận ngang nên D chưa chính

xác hoàn toàn của bài toán

Lời giải đúng của bài toán là :

Ở đây đa số bài làm của các bạn đều hiểu sai hoặc chưa nắm bắt rõ nội dung câu hỏi Một số bài làm nổi bật của các bạn như sau:

Bài làm của bạn: Hoàng Quốc Việt –THPT Hai Bà Trưng

 thì hàm số không có tiệm cận ngang

Theo Việt nhận thấy bậc của tử lớn hơn bậc mẫu ( 2 > 1) nên khi x tiến tới bất kì giá trị nào thì hàm số luôn có tiệm cận nên không tồn tại m thỏa mãn bài toán

Phân tích sai lầm:

Việt quên rằng , tử có thể phân tích thành 2

thanh gọn cho mẫu Và đa thức thì không có các đường tiệm cận !!! Sai lầm nhiều bạn ở đây là khi viết lim

 thường giải phương trình v x( )0để tìm x từ đó suy ra ngay tiệm cận đứng Đây là sự máy móc không có cơ sở nên rất dễ mắc sai lầm, đặc biệt ở các câu hỏi trắc nghiệm

Bài làm của bạn: Bùi Thị Mỹ Linh- THPT Cao Thắng có cách giải khác sau:

Ở đây, Linh đã nhận thấy có thể thanh gọn của tử cho mẫu khi m nhận các giá trị: Và đa thức P[x] luôn luôn không có đường tiệm cận

Nhìn qua thì có vẻ hợp lý và chính xác khi giải theo cách trắc nghiệm nhưng bạn chưa thể biểu đạt đầy đủ các điều kiện của bài toán ( thiếu tập xác định , xét giới hạn )

Lời giải đúng của bài toán: Vậy với m 2,m1 thì x=gtm là tiệm cận đứng

Xét m = 1 thì y x 2với x1 không có tiệm cận đứng Xét m = -2 thì y x 1 với x 2 không có tiệm cận đứng

Tóm lại: Đồ thị không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi m = 1 hoặc m = -2 ( Đây là hai trường hợp đường Hybebol suy biến thành hai nửa đường thẳng )

Câu 6: Biện luận theo m số các tiệm cận của đồ thị

*Bài làm của bạn: “Giấu tên’’- THPT Nguyễn Huệ

Ở đây , bạn nhanh chóng nhận ra ở trong căn có hằng đẳng thức và thanh gọn dấu căn kèm theo dấu giá trị tuyệt đối:

Do nhận thấy hàm số có giá trị tuyệt đối ,bạn đã đưa ra xét theo 2 trường hợp một cách máy móc và sai lầm Xin phép được trình bày lại bài làm của bạn như sau:

Ở đây học sinh đã hiểu sai đề ra của bài toán, bạn chỉ có mục đích là tìm các đường tiệm cận của hàm số nhưng chưa thể biện luận tại các giá trị m Nhìn chung thì đáp án bạn đưa ra cuối cùng rất chính xác theo sự lựa chọn Nhưng đối với một bài biện luận theo m thì chưa đạt được yêu cầu

*Bài làm của bạn: “Giấu tên” - THPT Hai Bà Trưng

Ở đây bạn lại có cách giải khác tìm được 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang, xin được viết lại bài của bạn như sau:

Về xác định đường tiệm cận đứng thì bạn đã xác định chính xác theo cách hiểu của bản thân, còn khi xác định đường tiệm cận ngang thì bạn đã liên tưởng đến cách tìm giới hạn của bậc trong căn thức khi một số dần về vô cùng Hiển nhiên bạn đã vô tình chấp nhận với mọi m thỏa mãn Đó là một sai lầm

Phân tích sai lầm:

Ở lời giải trên khi tính lim

 đã đưa số hạng x vào trong dấu căn bậc hai mà không xét tới dấu của x nên đã sai lầm

Lời giải đúng của bài toán:

  nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y 1 Kết luận: Với mọi m1 thì hàm số có 1 đường tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang

6) NHẬN XÉT

Nhìn chung tất cả các bài làm của bạn đã đạt được yêu cầu về đáp án và sự chính xác đặc biệt là ở trong 4 câu hỏi trắc nghiệm- đa số các bạn đã có kiến thức về đường tiệm cận, hiểu khái niệm và cách xác định đường tiệm cận Tuy nhiên, vẫn có sự sai sót nhầm lẫn trong sự lựa chọn đáp án của các bạn Một phần xuất phát về sự chưa hiểu rõ đề hay chưa chịu quan sát kĩ bài làm mà vội khoanh đáp án Tuy đây là bài kiểm tra nhỏ chưa biểu hiện hết độ khó nhưng với những sự sai sót này thì trong các bài kiểm tra lớn các bạn sẽ dễ dẫn tới nhầm lẫn sau này

Về 2 câu hỏi tự luận, ở đây mình chọn các câu hỏi biện luận về ẩn trong các dạng bài, quả thực trong 2 câu này đã làm khó cho một số bạn Có thể do một số hoàn cảnh các bạn không thể giải các bài tự luận về toán được, đặc biệt là các bài toán về đường tiệm cận – một trong những phần dễ nhất trong các đề thi THPT Một số bạn vẫn chưa hiểu cách giải bài toán biện luận, chỉ nhắm tới kết quả cuối cùng Hi vọng các bạn sẽ hiểu và nắm bắt các dạng bài toán về xác định đường tiệm cận tiệm cận đứng Đó là một sai lầm, các bạn chưa hiểu rõ và làm một cách máy móc rất nguy hiểm Ở đây sai lầm là với x 1 thì 1x2 0 nên có

Phân tích sai lầm: Vì tập xác định là (-1;1) nên chỉ có

Dự đoán sai lầm: Mẫu có nghiệm là x0và x1 nên đa số học sinh sẽ kết luận ngay đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng Đó là bẫy bài toán !!!

Phân tích sai lầm: Trước tiên thì cần xác định TXĐ của hàm số Ta có

Trong các đề thi vào Đại học có nhiều dạng toán mà trong chương trình sách giáo khoa không được giới thiệu, trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân trong quá trình học tập, em xin mạnh dạn đưa ra một số bài tập của Đường tiệm cận hàm số ( Phần B mục 8 ) và một số cách giải dễ nhớ, nhanh chóng nhưng vẫn hướng tới cho học sinh hiểu về phần này, đặc biệt trong các kì thi THPT Quốc Gia luôn xuất hiện những câu hỏi về đường tiệm cận để giành lấy số điểm tối đa

Một số cách xác định đường tiệm cận nhanh chóng và chính xác nhất:

*Tiệm cận của đồ thị hàm phân thức ( )

Muốn biết hàm số có tồn tại tiệm cận hay không , hãy giải phương trình v x( )0để tìm nghiệm Nên nhớ đây là nghiệm chứ không phải là tiệm cận !!! Sau khi tìm được nghiệm xx0 thì xem xét nghiệm x0 có phải là nghiệm của tử u x( ) hay không

Nếu x0 không là nghiệm của u x( ) thì đồ thị hàm số nhận xx0 làm tiệm cận đứng Nếu x0 là nghiệm của đa thức u x( )thì ta phân tích tử thành nhân tử :

Nếu mn thì nhận xx0làm tiệm cận đứng còn nếu mn thì xx0 không làm tiệm cận hàm số

Xác định tiệm cận ngang:

Để tồn tại tiệm cận ngang thì trước tiên tập xác định D phải chứa và  Nếu D có dạng [ ; ]a b , ( ; )a b , ( ; ]a b hay [ ; )a b thì hàm số không có tiệm cận ngang

D đủ điều kiện thì ta xét bậc của tử và mẫu : “ Nếu bậc của tử lớn hơn bậc mẫu thì hàm số không có tiệm cận ngang, nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì hàm số có 1 tiệm cận ngang là y0 Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì tiệm cận ngang xác định là tỉ số giữa hệ số cao nhất của tử với hệ số cao nhất của mẫu”

*Hàm đa thức P[x] : không có tiệm cận “ Ví dụ: 2

Tóm lại: Vậy bài tiểu luận này em đã hoàn thành xong mục tiêu mà mình đề ra :

- Xác định lỗi sai thường gặp nhất khi xác định các đường tiệm cận - Phân tích và giải đáp về những sai lầm mà học sinh thường mắc phải

- Đưa ra một số cách giải nhanh, hiệu quả qua đó giúp đỡ cho học sinh có thể củng cố vững chắc kiến thức trước kì thi THPT Quốc Gia sắp tới

Hi vọng với một số kiến thức nhỏ này có thể giúp ích cho các bạn, cảm ơn đã quan tâm

Sinh Viên: Bùi Văn Lợi

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2009), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo

dục

2) Admin,(7-2017), Lý thuyết và bài tập tiệm cận của đồ thị hàm số, toanpt.com 3) Phạm Trọng Thư, (2012), Tuyển chọn 36 đề thử sức Đại học môn Toán, Nhà

xuất bản Đại Học Sư Phạm

4) Trần Phương, (09/2014), Những Sai Lầm Trong Giải Toán Phổ Thông, NXB

Đại Học Quốc Gia Hà Nội