NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN HỌC NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM SÁNG TẠO Bùi Văn Lợi 17S1011071 Email: builoidhsphue

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN HỌC

NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG

TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM SÁNG TẠO

Bùi Văn Lợi 17S1011071

Email: builoidhsphue@gmail.com

GVHD: Nguyễn Đăng Minh Phúc

Huế , ngày 21 tháng 5 năm 2019

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thiện bài tiểu luận về chủ đề “Những sai lầm của học sinh khi xác định đường tiệm cận” là sự giúp đỡ, hướng dẫn của rất nhiều từ những giảng viên, học sinh

và các bạn liên quan:

Xin cảm ơn Thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc đã tận tình giảng dạy cho em kiến thức và

bổ sung kinh nghiệm vốn có của mình để em có thể hoàn thành bài tiểu luận này một cách thuận lợi

Cảm ơn các bạn của các Trường THPT Hai Bà Trưng, THPT Nguyễn Huệ, THPT Cao Thắng, THPT Thuận Hóa… đã dành một chút thời gian ôn thi của mình để tận tình giúp đỡ hoàn thành phiếu kiểm tra, góp phần không nhỏ để em hoàn thiện bài tiểu luận này

Xin cảm ơn ban quản lý Trung Tâm Học Liệu- Đại học Huế ( 23 Lê Lợi – TP Huế) đã nhiệt tình tạo điều kiện tốt nhất cho em để em hoàn thành tốt chỉ tiêu phiếu kiểm tra học sinh ngay tại khu vực

Xin cảm ơn

LỜI NÓI ĐẦU

“Xin làm đường tiệm cận

Mỗi ngày một gần thêm

Rồi một chiều giông bão sẽ lặng yên

Nơi vô định thuyền hai ta cập bến” ( Sưu tầm )

Như chúng ta đã biết thì khái niệm đường tiệm cận là hai đường không ngừng đi sát lại gần nhau nhưng không bao giờ gặp nhau Nhưng cách tìm đường tiệm cận của hàm số ấy liệu có đơn giản? Trong các bài thi THPT Quốc gia thì các bài toán tìm các đường tiệm cận thuộc phân khúc dễ lấy điểm nhất nhưng nếu không hiểu rõ đúng bản chất thì việc sai sót là điều dễ thấy Đường tiệm cận của đồ thị liên quan chặt chẽ tới phép tính giới hạn Nhiều bạn không nắm được định nghĩa mà chỉ nhìn vào hình thức của hàm số và suy đoán một cách máy móc nên dẫn tới sai lầm khi tìm đường tiệm cận, chính vì vậy em mạnh dạn đưa ra những hiểu nhầm và sai lầm thường thấy nhất của học sinh khi xác định đường tiệm cận

Với mục tiêu là xác định được những sai sót thường gặp nhất của học sinh THPT khi xác định các bài toán về đường tiệm cận và đề xuất ra các hướng giải pháp dễ hiểu qua đó giải quyết được bài toán một cách chính xác nhất ngoài ra bài tiểu luận này em cũng xin giới thiệu thêm một số cách dễ nhớ các phương pháp giải mới cho học sinh dễ dàng áp dụng

Ở trong bài tiểu luận này , sẽ có 3 phần riêng biệt như sau :

Phần A : Ở đây em sẽ trình bày lý thuyết nội dung về đường Tiệm cận mà chúng ta đã học ở

chương trình lớp 12 THPT , đưa ra một số bài toán ví dụ, tiền đề cho phiếu kiểm tra ở phần B

Phần B : Như đã nêu ở phần A thì ở phần này em sẽ tóm tắt sơ bộ quá trình kiểm tra đánh giá

để tìm ra kết quả cuối cùng bằng các đồ thị hình cột Công cụ khảo sát là phiếu kiểm tra (30

học sinh tại TTHL–23 Lê Lợi- Huế ) , xác đinh dạng câu tỉ lệ sai nhiều nhất và tìm ra cách giải

hợp lý, giải các bài tập ví dụ và đưa ra các câu hỏi vận dụng

Phần C : Đưa ra kết luận quá trình, trình bày một số cách giải nhanh , cách dễ nhớ để xác

định tiệm cận

Hi vọng với một số kiến thức nhỏ này có thể cung cấp những kiến thức thông tin hữu ích cho các học sinh cũng như các bạn đọc đề tài này của mình Trong bài tiểu luận này có thể có một

số lỗi lầm không đáng có, mong các bạn có thể ủng hộ chỉnh sửa và đóng góp giúp mình để mình có thể hoàn thiện bài làm một cách xuất sắc nhất Mình xin chân thành cảm ơn

Bùi Văn Lợi

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 2

LỜI NÓI ĐẦU 3

Mục lục 4

A LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ 5

1 Khái niệm tiệm cận hàm số 5

2 Định nghĩa tiệm cận đứng (TCĐ) và tiệm cận ngang (TCN) 5

a Tiệm cận ngang (TCN) 5

b Tiệm cận đứng (TCĐ) 6

c Dấu hiệu nhận biết TCĐ và TCN 7

d Ví dụ minh họa 7

e Chú ý: 8

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 8

1) MỤC TIÊU KIỂM TRA 8

2) ĐỐI TƯỢNG 8

3) NỘI DUNG CÂU HỎI 9

4) KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 9

5) PHÂN TÍCH VÀ GIẢI ĐÁP 11

6) NHẬN XÉT 16

7) VÍ DỤ TƯƠNG TỰ 16

8) BÀI TẬP TỰ LUYỆN 17

C KẾT LUẬN 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

A LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

1 Khái niệm tiệm cận hàm số

Cho hàm sốy f x( ) có đồ thị (C) Điểm M ∈ (C), MH là khoảng cách từ M đến đường thẳng d

Đường thẳng d gọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu :

Khoảng cách MH dần về 0 khi x   hoặc x x0

2 Định nghĩa tiệm cận đứng (TCĐ) và tiệm cận ngang (TCN)

a Tiệm cận ngang (TCN)

Cho hàm số y f x( ) xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng (a ; +∞) , (-∞ ; b) hoặc (-∞ ; +∞ ) ) Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

  0

lim

  ; lim   0

Hình 1: Hàm số có tiệm cận ngang là y y0

Chú ý :

 Nếulim ( )

  lim ( )

  q thì ta có thể viết chung là lim ( )

 Hàm số có TXĐ không phải các dạng sau : (a ; +∞) , (-∞ ; b) hoặc (−∞

; +∞) thì đồ thị không có tiệm cận ngang

b Tiệm cận đứng (TCĐ)

Đường thẳng xx0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

0

lim ( )

x x f x

0

lim ( )

x x f x

0

lim ( )

x x f x

0

lim ( )

x x f x

Hình 2: Hàm số có tiệm cận đứng là xx0

Chú ý:

 Với đồ thị hàm phân thức dạng ax b

cx d

y 

 (c0,adbc0) luôn có tiệm

cận ngang là y a

c

 và tiệm cận đứngy d

c

 Hàm đa thức không có tiệm cận

c Dấu hiệu nhận biết TCĐ và TCN

 Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử thì hàm số

có tiệm cận đứng

 Hàm phân thức mà bậc tử bé hơn hoặc bằng bậc mẫu thì hàm số có tiệm cận ngang

 Hàm căn thức dạng: y h x( ) g x y( ),  h x( )g x( ) có tiệm cận ngang ( dùng liên hợp để làm những dạng này )

d Ví dụ minh họa

1, Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số 2 3

4

x y x







Ta có hình vẽ biểu thị hàm số trên trục tọa độ ( Hình 3 )

Hình 3

Hướng dẫn :

Hàm số xác định với mọi x 4

2 3

4

x y

x

 



 => Đường thẳng y2là tiệm cận ngang

2 3 lim lim

4

x y

x



 => Đường thẳng x = -4 là tiệm cận đứng

2, Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1

1

x y x







Hướng dẫn :

Hàm số xác định với mọi x 0,x 1

1 lim lim

1

x y

x



 ⇒ Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng

1

x y

x

 



 ⇒ Đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang

3, Tìm m để hàm số 2

5 3

mx y x





  có tiệm cận ngang là đường thẳng y10.

Hướng dẫn :

Để hàm số nhận đường thẳng y=10 làm tiệm cận ngang thì :

2

10 5

.3 2.( 5) 0

m

m m







Vậy với m  10 thì hàm số có tiệm cận ngang là y10

e Chú ý:

Trước mỗi bài tập xác định tiệm cận, chúng ta cần xác định tập xác định của hàm số trước Sau khi dự đoán tiệm cận của bài toán chúng ta cần so sánh lại xem tiệm cận có thuộc tập xác định không rồi sau đó mới kết luận

B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

1) MỤC TIÊU KIỂM TRA

 Kiểm tra hiểu biết của học sinh khi xét các đường tiệm đồ thị

 Mức độ hiểu biết của học sinh về các dạng bài biện luận ẩn

 Đánh giá năng lực của học sinh hiểu biết về chủ đề tiệm cận khi kì thi THPT Quốc Gia đang cận kề

2) ĐỐI TƯỢNG

 Học sinh lớp 12 các trường THPT tại địa bàn TP Huế ( THPT Cao Thắng, THPT Hai Bà Trưng, THPT Nguyễn Huệ, THPT Thuận Hóa )

 Địa điểm khảo sát là khu vực Trung tâm học liệu- Đại học Huế, 23 Lê Lợi Huế

3) NỘI DUNG CÂU HỎI

Nhằm phân loại các mức độ câu hỏi để đạt mục điêu đề ra, em xin phân loại phiếu kiểm tra gồm 3 mức độ tăng dần như sau:

a) Mức độ hiểu biết ( 2 câu ) :

Ở mức này , em sẽ đưa ra các câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết mức đơn giản nhận biết nhất, gồm 2 câu hỏi nhận biết

 Câu 1 :Cho hàm số y f x( ) Nếu lim  

x a f x

 thì : Đáp án : x = a là tiệm cận đứng

 Câu 2: Cho hàm số  

2

x

y f x

x

 có đồ thị là ( C ) ( C) có đường tiệm

cận là ?

Đáp án : đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng và đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

b) Mức độ vận dụng ( 2 câu )

Sau khi học sinh trả lời ở mức độ đầu tiên thì tới ở mức vận dụng thông thường .Ở mức này, em sẽ đưa ra một số câu hỏi trắc nghiệm vận dụng để đánh giá hiểu biết của các học sinh , trong đó 1 câu vận dụng thấp – dựa trên hiểu biết thông thường và 1 câu vận dụng thông thường - ở đây sẽ yêu cầu các em thể hiện mức hiểu bài

 Câu 3: Cho bảng biến thiên sau, hãy xác định các câu đúng ?

 Câu 4: Cho hàm số   2

1

x

x

 Hàm số có bao nhiêu đường tiệm

cận đứng và tiệm cận ngang ?

Đáp án : Có 2 tiệm cận đứng , không có tiệm cận ngang

c) Mức độ vận dụng cao ( 2 câu )

Ở đây thì em đưa ra 2 câu hỏi vận dụng cao , yêu cầu làm tự luận , học sinh cần suy nghĩ kĩ càng hơn, tư duy hơn Qua đó đánh giá mức hiểu của học sinh Ở đây em sẽ giải thích một cách dễ hiểu nhất có thể, giúp học sinh vận dụng vào những bài vận dụng khác

 Câu 5: Tìm m để đồ thị

2

2

y

x m

 



 không có tiệm cận đứng

 Câu 6 : Biện luận theo m số các tiệm cận của đồ thị hàm số

2 1

y

x





4) KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Sau khi khảo sát nhanh với 30 học sinh tại TTHL , thu được kết quả của 2 mức độ câu hỏi trắc nghiệm như sau:

 Về mức độ nhận biết, đa số các bạn đều đã có sự hiểu biết của bản thân, đưa ra các câu trả lời đúng

Hình 4

 Về mức độ vận dụng : Bắt đầu ở mức độ này thì dần có sự phân hóa nhìn biểu

đồ ( Hình 5 ) dễ dàng rút ra được ở câu hỏi quan sát bảng biến thiên ( Câu 2) thì

có sự hiểu nhầm chọn sai đáp án khá cao ( 60%), cụ thể :

Hình 5

 Về mức độ vận dụng cao: Ở đây số lượng các bạn thực hiện trả lời câu hỏi là khá thấp ( chỉ 15/30 phiếu điều tra ), có một số bài sẽ được chọn để phân tích sai lầm ở phần dưới

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Sai Đúng

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Sai Đúng

5) PHÂN TÍCH VÀ GIẢI ĐÁP

Ở phần này , Câu 2, Câu 5, Câu 6 là 3 câu dễ sai nhất qua đó để cùng phân tích điểm sai của mỗi bài:

Câu 3: Cho hàm số là hàm số xác định trên R∖{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong tổng số 18 câu trả lời sai , đa số

các bạn chọn đáp án D: Hàm số có giá

trị lớn nhất bằng 5

Dự đoán sai lầm :

Khi x dần tới vô cùng thì giá trị tại y

bằng 5 nên Max = 5

Phân tích sai lầm:

Nhìn qua về khái niệm giá trị lớn nhất ta có thể dễ thấy rằng 5 là giá trị lớn nhất của hàm số khi x  , x không xác định được, nên chưa thể kết luận 5 là giá trị lớn nhất của hàm số.

Học sinh hiểu sai về khái niệm tiệm cận của đồ thị hàm số, hãy cùng nhắc lại về định nghĩa : lim lim ( )

    nên yk là tiệm cận ngang

Vậy, ở trong đáp án này thì do lim 5

  nên y 5 là tiệm cận ngang nên D chưa chính

xác hoàn toàn của bài toán

Lời giải đúng của bài toán là :

  ; lim 5

và y=5

Do

1

lim

x

y



Câu 5: Tìm m để đồ thị

2

2

y

x m

 



 không có tiệm cận đứng

Ở đây đa số bài làm của các bạn đều hiểu sai hoặc chưa nắm bắt rõ nội dung câu hỏi Một số bài làm nổi bật của các bạn như sau:

Bài làm của bạn: Hoàng Quốc Việt –THPT Hai Bà Trưng

Dự đoán sai lầm:

Do đồ thị hàm số y x2 x 2

x m

 



 không xác định tại x m nên theo cách hiểu của Việt thì chỉ tìm m sao cho:

2

x

A x

m



  thì hàm số không có tiệm cận ngang

Theo Việt nhận thấy bậc của tử lớn hơn bậc mẫu ( 2 > 1) nên khi x tiến tới bất kì giá trị nào thì hàm số luôn có tiệm cận nên không tồn tại m thỏa mãn bài toán

Phân tích sai lầm:

Việt quên rằng , tử có thể phân tích thành 2

2 ( 1)( 2)

thanh gọn cho mẫu Và đa thức thì không có các đường tiệm cận !!!

Sai lầm nhiều bạn ở đây là khi viết lim

x m y

  nhiều bạn khi tìm đường tiệm cận đứng của hàm phân thức ( )

( )

u x y

v x

 thường giải phương trình v x( )  0để tìm x từ đó suy ra ngay tiệm cận đứng Đây là sự máy móc không có cơ sở nên rất dễ mắc sai lầm, đặc biệt ở các câu hỏi trắc nghiệm

Bài làm của bạn: Bùi Thị Mỹ Linh- THPT Cao Thắng có cách giải khác sau:

Ở đây, Linh đã nhận thấy có thể thanh gọn của tử cho mẫu khi m nhận các giá trị:

( 2)( 1)

2

x m

 khi m1 và x1 khi m 2

Và đa thức P[x] luôn luôn không có đường tiệm cận

Nhìn qua thì có vẻ hợp lý và chính xác khi giải theo cách trắc nghiệm nhưng bạn chưa thể biểu đạt đầy đủ các điều kiện của bài toán ( thiếu tập xác định , xét giới hạn )

Lời giải đúng của bài toán:

Tập xác định của hàm số là xm

Do đó do tính liên tục ta có lim ( )

x a y f a

  với am

Suy ra các đường thẳng x = a với am không phải là tiệm cận đứng của đồ thị

Ta có lim

x m y

  nếu m  [ 2;1] và nếu -2 < m < 1

Vậy với m  2,m 1 thì x=gtm là tiệm cận đứng

Xét m = 1 thì y x 2với x1 không có tiệm cận đứng

Xét m = -2 thì y x 1 với x 2 không có tiệm cận đứng

Tóm lại: Đồ thị không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi m = 1 hoặc m = -2

( Đây là hai trường hợp đường Hybebol suy biến thành hai nửa đường thẳng )

Câu 6: Biện luận theo m số các tiệm cận của đồ thị

2 1

y

x





*Bài làm của bạn: “Giấu tên’’- THPT Nguyễn Huệ

Ở đây , bạn nhanh chóng nhận ra ở trong căn có hằng đẳng thức và thanh gọn dấu căn kèm theo dấu giá trị tuyệt đối:

2

x m x m

x mx m

y

Dự đoán sai lầm:

Do nhận thấy hàm số có giá trị tuyệt đối ,bạn đã đưa ra xét theo 2 trường hợp một cách máy móc và sai lầm Xin phép được trình bày lại bài làm của bạn như sau:

1

x m

y

x







Nếu x m   0 x m  x m và lim 1

1

x

x m x



Nên y1là tiệm cận ngang

Nếu x m   0 x m   x mvà lim 1

1

x

x m x





Nên y 1là tiệm cận ngang

Phân tích sai lầm:

Ở đây học sinh đã hiểu sai đề ra của bài toán, bạn chỉ có mục đích là tìm các đường tiệm cận của hàm số nhưng chưa thể biện luận tại các giá trị m Nhìn chung thì đáp án bạn đưa ra cuối cùng rất chính xác theo sự lựa chọn Nhưng đối với một bài biện luận theo m thì chưa đạt được yêu cầu

*Bài làm của bạn: “Giấu tên” - THPT Hai Bà Trưng

Ở đây bạn lại có cách giải khác tìm được 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang, xin được viết lại bài của bạn như sau:

Do

1

lim

  nên x 1 là tiệm cận đứng

Do

2 2

2 1

1 1

y

x



nên y1là tiệm cận ngang

Dự đoán sai lầm:

Về xác định đường tiệm cận đứng thì bạn đã xác định chính xác theo cách hiểu của bản thân, còn khi xác định đường tiệm cận ngang thì bạn đã liên tưởng đến cách tìm giới hạn của bậc trong căn thức khi một số dần về vô cùng Hiển nhiên bạn đã vô tình chấp nhận với mọi m thỏa mãn Đó là một sai lầm

Phân tích sai lầm:

Ở lời giải trên khi tính lim

 đã đưa số hạng x vào trong dấu căn bậc hai mà không xét tới dấu của x nên đã sai lầm

Lời giải đúng của bài toán:

2

x m x m

x mx m

y

   , do đó với m 1 thì

1

lim 1

x

y



  và

1

lim 1

x y

   Vậy khi m 1 thì đồ thị không có tiệm cận đứng

Với m1 thì

1

lim

x  y

   và

1

lim

x  y

  nên đồ thị có tiệm cận đứng x = 1

Ngoài ra lim 1

  và lim 1

   nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y 1 Kết luận: Với mọi m1 thì hàm số có 1 đường tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang

6) NHẬN XÉT

Nhìn chung tất cả các bài làm của bạn đã đạt được yêu cầu về đáp án và sự chính xác đặc biệt là ở trong 4 câu hỏi trắc nghiệm- đa số các bạn đã có kiến thức về đường tiệm cận, hiểu khái niệm và cách xác định đường tiệm cận Tuy nhiên, vẫn có sự sai sót nhầm lẫn trong sự lựa chọn đáp án của các bạn Một phần xuất phát về sự chưa hiểu rõ

đề hay chưa chịu quan sát kĩ bài làm mà vội khoanh đáp án Tuy đây là bài kiểm tra nhỏ chưa biểu hiện hết độ khó nhưng với những sự sai sót này thì trong các bài kiểm tra lớn các bạn sẽ dễ dẫn tới nhầm lẫn sau này

Về 2 câu hỏi tự luận, ở đây mình chọn các câu hỏi biện luận về ẩn trong các dạng bài, quả thực trong 2 câu này đã làm khó cho một số bạn Có thể do một số hoàn cảnh các bạn không thể giải các bài tự luận về toán được, đặc biệt là các bài toán về đường tiệm cận – một trong những phần dễ nhất trong các đề thi THPT Một số bạn vẫn chưa hiểu cách giải bài toán biện luận, chỉ nhắm tới kết quả cuối cùng Hi vọng các bạn sẽ hiểu

và nắm bắt các dạng bài toán về xác định đường tiệm cận

7) VÍ DỤ TƯƠNG TỰ

Dưới đây là một số ví dụ tương tự và cách giải hợp lý:

Ví dụ 7.1: Tìm các đường tiệm cận của đường

2

3 1

y

x





Dự đoán sai lầm : Một số bạn khi gặp các hàm số dạng ( )

( )

u x y

v x

 thì xét v x( )0để tìm tiệm cận đứng Đó là một sai lầm, các bạn chưa hiểu rõ và làm một cách máy móc rất nguy hiểm Ở đây sai lầm là với x  1 thì 1x2 0 nên có

1

lim

   vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận đứng là x  1

Do TXĐ của hàm số là (-1;1) nên lim

 không tồn tại , suy ra đồ thị không có tiệm cận ngang