262.1.1 Áp dụng của phép đối xứng trục trong các bài toán chứngminh hoặc xác định các yếu tố hình học.. 402.2.1 Áp dụng của phép đối xứng tâm trong các bài toán chứngminh hoặc xác định c
Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số kiến thức cơ bản, bổ sung(so với các nội dung có trong sách giáo khoa THPT) và nâng cao về các phép dời hình trong mặt phẳng Chúng tôi cũng cố gắng phân loại các dạng toán ứng dụng,tổng hợp một số phương pháp cụ thể, đưa vào nhiều ví dụ để minh họa cho từng phương pháp được trình bày; và khi có thể được, chúng tôi sẽ tìm cách nhận xét hoặc phân tích lí do dẫn đến việc sử dụng một phép dời hình cụ thể.
Nội dung nghiên cứu
- Định nghĩa, tính chất của các phép dời hình trong mặt phẳng.
- Ứng dụng của phép dời hình trong mặt phẳng vào giải một số bài toán THPT và trong thực tiễn cuộc sống.
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của chúng tôi là tìm hiểu và tổng hợp các kiến thức từ các nguồn tài liệu tham khảo Sau đó, phân tích và trình bày chi tiết các kết quả lý thuyết và các bài toán áp dụng.
Cấu trúc đề án
Chương 1: CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Chương này giới thiệu định nghĩa và tính chất của các phép dời hình trong mặt phẳng; sự xác định phép dời hình và biểu thức tọa độ của phép dời hình.
Chương 2: PHÉP DỜI HÌNH TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG VÀ TRONG THỰC TIỄN
Chương này tập trung trình bày về ứng dụng các phép dời hình vào giải một số dạng toán hình học phẳng ở THPT, đề thi học sinh giỏi và Olympic Toán học các cấp; cụ thể được chia ra làm ba ứng áp chính:
1 Áp dụng trong các bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học
2 Áp dụng vào bài toán cực trị
3 Áp dụng vào bài toán dựng hình và quỹ tích
Ngoài ra chương này còn trình bày một số ứng dụng của phép dời hình trong thực tiễn cuộc sống.
CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1
Định nghĩa phép biến hình
Ta kí hiệu P là mặt phẳng Euclid Một tập con H của P được gọi là một hình phẳng và được kí hiệu H ĂP. Định nghĩa 1.1 Một song ỏnh f : P ẹP từ tập điểm của P lờn chớnh nú được gọi là một phép biến hình của mặt phẳng.
Như vậy cho một phộp biến hỡnh f : P ẹ P là cho một quy tắc để với bất kỡ điểm M thuộc P, ta tìm được một điểm M 1 “ f p M q hoàn toàn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
- Nếu M, N là hai điểm bất kì của P thì fpMq, fpNq là hai điểm phân biệt của P.
- Với một điểm M 1 thuộc P bao giờ cũng có một điểm M thuộc P sao cho fpMq “
M 1 Điểm fpMqđược gọi làảnh của điểmM qua phép biến hình f Ngược lại, điểm
M gọi là tạo ảnh của điểm fpMq qua phép biến hình f nói trên.
Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợp fpHq “ tf p M q| M P Hu Khi đó f p H q gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f và hình
H được gọi là tạo ảnh của hình f p H q qua phép biến hình f đó.
1 Định nghĩa 1.2 Cho điểm M nằm trong mặt phẳng P Một phép biến hình f biến M thành chính nó thì M gọi là điểm bất động của phép biến hình f.
Muốn xỏc định một phộp biến hỡnh f : P ẹ P ta cần nờu rừ quy tắc f đú bằng các cách sau đây:
- Quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho, .
- Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độpx, yq của điểm M với tọa độ px 1 , y 1 q của điểm M 1 “fpMq đối với hệ tọa độ Oxy cho trước nào đó.
Ví dụ 1.1 Cho đường thẳng ∆ thuộc P Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M 1 đối xứng với M qua ∆ được gọi là phép đối xứng trục Đường thẳng ∆ gọi là trục đối xứng Phép đối xứng trục với trục ∆ được kí hiệu là D ∆ Ta có
Ví dụ 1.2 Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M 1 đối xứng với M qua O được gọi là phép đối xứng tâm O.Điểm O gọi là tâm của phép đối xứng đó Phép đối xứng tâm O thường được kí hiệu là D O Ta có D O pMq “M 1
Vớ dụ 1.3 Trong mặt phẳng cho vectơ ẹ í v cố định Phộp biến hỡnh biến mỗi điểm
M thành điểm M 1 sao cho í M M ííí ẹ 1 “ í ẹv gọi là phộp tịnh tiến theo ẹ í v Vectơ ẹ í v gọi là vectơ tịnh tiến Phộp tịnh tiến theo vectơ ẹ í v thường được kớ hiệu là Tẹ ív Ta cú
Ví dụ 1.4 Trong mặt phẳng P, phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc P đều thành chính điểm M được gọi là phép đồng nhất Ta thường kí hiệuelà phép đồng nhất Như vậy ta cú e: P ẹP và epMq “M với mỗi điểm M thuộc P. Định nghĩa 1.3 Một phộp biến hỡnh f : P ẹ P biến một điểm M bất kỡ của P thành một điểm M 1 rồi lại dựng tiếp một phộp biến hỡnh thứ hai g : P ẹ P để biến M 1 thành M 2 Ta có
Khi đó phép biến hình h biến M thành M 2 gọi là tích của hai phép biến hình f và g và kí hiệu h “ g ˝ f Ta có hpMq “ pg˝fq pMq “M 2 “gpM 1 q “grfpMqs. Định nghĩa 1.4 Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểmM thành điểm
M 1 Ta có fpMq “ M 1 Khi đó phép biến hình biến điểm M 1 thành điểm M gọi là phép biến hình nghịch đảo của phép biến hình f đã cho.
Ta kí hiệu phép biến hình nghịch đảo của f là f ´1 và ta có f ´1 pM 1 q “M. Mỗi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f ´1 và f ˝ f ´1 “ f ´1 ˝ f “ e (phép đồng nhất).
Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình
Định nghĩa 1.5 Một phộp biến hỡnh f : P ẹP được gọi là một phộp dời hỡnh nếu trong mặt phẳng P với hai điểm M, N bất kì và hai ảnh của chúng lần lượt là M 1 “ f p M q , N 1 “ f p N q ta luôn có M 1 N 1 “ M N.
Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa của phép dời hình ta dễ dàng suy ra:
- Phép đồng nhất e là một phép dời hình.
- Nghịch đảo của một phép dời hình là một phép dời hình, nghĩa là nếu f là một phép dời hình thì f ´1 cũng là một phép dời hình. Định lý 1.1 Phép dời hình biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm giữa A và C thành ba điểm A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng với B 1 nằm giữa A 1 và C 1
Chứng minh Giả sử qua phép dời hình f điểm A thành A 1 , điểm B thành B 1 , điểm C thành C 1 thì ta có A 1 B 1 “ AB, B 1 C 1 “ BC, C 1 A 1 “ CA Vì B nằm giữa
A và C nênAB ` BC “ AC Từ đó suy ra A 1 B 1 ` B 1 C 1 “ A 1 C 1 Như vậy ba điểm
A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng và điểm B 1 nằm giữa A 1 và C 1
Hệ quả 1.2 Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó.
Chứng minh - Cho đường thẳng d và phép dời hình f Ta chứng minh ảnh của d qua phép dời hình f là một đường thẳng Thật vậy, lấy hai điểm phân biệt A, B bất kì thuộc dvà A 1 , B 1 lần lượt là ảnh củaA, B Lấy điểmM bất kì thuộc đường thẳng AB Khi đó, theo tính chất của phép dời hình f biến ba điểm A, B, M thẳng hàng thành ba điểm A 1 , B 1 , M 1 thẳng hàng Do đó M 1 thuộc đường thẳng
- Tương tự, dựa vào tính chất bảo toàn thứ tự các điểm của phép dời hình ta dễ dàng chứng minh được phép dời hình biến một tia thành một tia.
Hệ quả 1.3 Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó với tâm đường tròn này thành tâm đường tròn kia.
Chứng minh - Giả sửA 1 , B 1 , C 1 lần lượt là ảnh củaA, B, C qua phép dời hìnhf.Theo tính chất của phép dời hình ta suy ra A 1 B 1 “AB, B 1 C 1 “BC, C 1 A 1 “CA.
Vậy hai tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 bằng nhau.
- Cho góc xOy z qua phép dời hình f TrênOx và Oy lần lượt lấy hai điểmA, B và gọi O 1 , A 1 , B 1 lần lượt là ảnh củaO, A, B Theo Hệ quả 1.2 ta suy ra góc A { 1 O 1 B 1 là ảnh của góc AOB { và A { 1 O 1 B 1 “AOB.{
- Cho đường tròn tâm pOq bán kính R và gọi O 1 là ảnh của O qua phép dời hình f Lấy một điểmM bất kì thuộc pOq và M 1 là ảnh của M qua f Theo Hệ quả 1.2, ta suy ra O 1 M 1 “ OM “ R Tức là M 1 thuộc đường tròn tâm O 1 bán kính R. Định lý 1.4 Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình.
Chứng minh Cho hai phép dời hình f và g Ta hãy xét tính chất của phép biến hình g ˝ f Giả sử A, B là hai điểm bất kì và ta có fpAq “ A 1 , gpA 1 q “ A 2 , fpBq “ B 1 , gpB 1 q “ B 2 Vì f và g đều là phép dời hình nên ta có AB “ A 1 B 1 và
A 1 B 1 “A 2 B 2 Như vậy phép biến hình g˝f đã biến điểm A thành điểm A 2 , biến điểm B thành điểm B 2 thỏa mãn điều kiện A 2 B 2 “ AB Do đó tích của hai phép dời hình g ˝ f là một phép dời hình vì nó là một phép biến hình có tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì A, B của mặt phẳng.
Hệ quả 1.5 a) Tích của n phép dời hình là một phép dời hình. b) Tích của một phép dời hình với phép nghịch đảo của nó là phép đồng nhất. Định lý 1.6 Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp.
Chứng minh Giả sửg, h, f đều là các phép dời hình, ta cần chứng minhpg˝hq˝f “ g ˝ p h ˝ f q Thật vậy, giả sửf biến M thànhM 1 , hbiến M 1 thành M 2 và g biếnM 2 thành M 3 Ta có g ˝ h là một phép dời hình biến M 1 thành M 3 và do đó p g ˝ h q ˝ f biến M thànhM 3 Mặt khác, h ˝ f biếnM thành M 2 và g ˝ p h ˝ f q biến M thành
Hình 1.4 Vậy pg˝hq ˝f “g˝ ph˝fq vì cả hai đều biến điểm M thànhM 3 với mọi điểm M bất kì trong mặt phẳng. Định lý 1.7 Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm các phép dời hình với phép toán là tích các phép biến hình.
Chứng minh Ta đã biết rằng tích hai phép dời hình là một phép dời hình Như vậy tập hợp các phép dời hình đóng kín với phép toán đã cho Mặt khác ta thấy rằng tập hợp các phép dời hình có tính chất kết hợp Hơn nữa trong tập hợp các phép dời hình có phần tử đơn vị là phép dời hình đồng nhất và bất kì phép dời hình nào cũng có phép dời hình đảo ngược của nó.
Nếu gọi f là một phép dời hình bất kì,f ´1 là phép dời hình đảo ngược của nó, e là phép dời hình đồng nhất ta luôn luôn có f ˝f ´1 “e.
Vậy tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm gọi là nhóm các phép dời hình.
Sự xác định của phép dời hình
Trong khi nghiên cứu các phép dời hình cụ thể như phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay chúng ta đã biết cách xác định chúng. Bây giờ chúng ta hãy xét sự xác định của một phép dời hình trong trường hợp tổng quát Vì phép dời hình biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó nên ta suy ra phép dời hình biến một tam giác ABC thành một tam giác bằng nó là A 1 B 1 C 1 Vậy ngược lại nếu cho hai tam giác bằng nhau là ABC và A 1 B 1 C 1 trong đó AB “ A 1 B 1 , BC “ B 1 C 1 , CA “ C 1 A 1 thì có hay không một phép biến hình f biến A thành A 1 , B thành B 1 , C thành C 1 và có bao nhiêu phép dời hình f như thế? Để trả lời câu hỏi này ta có định lí sau: Định lý 1.8 ABC và A 1 B 1 C 1 là hai tam giác bằng nhau cho trước trong mặt phẳng pπq pAB “A 1 B 1 , BC “B 1 C 1 , CA“C 1 A 1 q Bao giờ cũng có một phép dời hỡnh f : pπq ẹ pπq biến A thành A 1 , B thành B 1 , C thành C 1
Chứng minh Trước hết, để trình bày được gọn gàng ta qui ước kí hiệu như sau: trM Ns là trung trực của đoạn thẳng rM Ns, D ∆ i chỉ phép đối xứng trục có trục là ∆ i , trong đó i là chỉ số 1, 2, 3,
Tồn tại Nếu A và A 1 là hai điểm phân biệt, ta gọi ∆ 1 “trAA 1 s Qua phép D ∆ 1 , tam giác ABC biến thành tam giác A 1 B 1 C 1 bằng nó nên M A 1 B 1 C 1 “M A 1 B 1 C 1 , do đó A 1 B 1 “ A 1 B 1
Nếu B 1 ‰ B 1 , ta gọi ∆ 2 “ trBB 1 s thì theo chứng minh trên, A 1 P ∆ 2 Bởi vậy, qua phépD ∆ 2 tam giácA 1 B 1 C 1 biến thanh tam giácA 1 B 1 C 2 bằng nó, nênMA 1 B 1 C 2 “ M
Hình 1.5 Đến đây, nếu C 2 ‰ C 1 , ta gọi ∆ 3 “ trCC 1 s thì A 1 và B 1 đều thuộc ∆ 3 Và cuối cùng, phép đối xứng trục D ∆ 3 biến tam giác A 1 B 1 C 2 thành tam giác A 1 B 1 C 1 Như vậy là, thực hiện liên tiếp ba phép đối xứng trục D ∆ i , i “ 1, 2, 3 thì tích f “ D ∆ 3 ˝D ∆ 2 ˝D ∆ 1 là một phép đẳng cự biến tam giác ABC thành tam giác
A 1 B 1 C 1 , trong đó A 1 “fpAq, B 1 “fpBq, C 1 “fpCq Để ý rằng trong quá trình chứng minh, chúng ta đã ba lần sử dụng đến từ “nếu” (cũng có nghĩa là “giả sử rằng”) [“Nếu” các cặp điểm pA, A 1 q, pB 1 , B 1 q, pC 2 , C 1 q là phân biệt (không trùng nhau) thì xuất hiện ba phép đối xứng trụcD ∆ i ,i “ 1, 2, 3]. Với nhận xét này, ta thấy rằng nếu A 1 “A thì không cần thực hiện phép D ∆ 1 Nếu
B 1 “ B 1 thì không cần sử dụng đến D ∆ 2 và nếu C 2 “ C 1 thì cũng không sử dụng đến D ∆ 3
Nói tóm lại, mỗi lần có một cặp điểm trong ba cặp điểm trên mà trùng nhau thì số phép đối xứng trục cần thực hiện giảm đi một Đến đây định lý đã được chứng minh.
Chú ý: Trong định lý này, khi các tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 cùng hướng thì phép dời hình là duy nhất. Định nghĩa 1.6 HỡnhHgọi là bằng hỡnhH 1 nếu cú một phộp dời hỡnhf : P ẹP biến hình H thành hình H 1 Ta kí hiệu f p H q “ H 1
Tính chất 1.1 Quan hệ bằng nhau giữa các hình là một quan hệ tương đương, tức là a) Mọi hình H đều bằng chính nó, vì trong nhóm các phép dời hình ta có phép đồng nhất e biến H thành H. b) Nếu hình H bằng hình H 1 thì hình H 1 bằng hình H Thật vậy vì hình H bằng hình H 1 nên có phép dời hình f sao cho fpHq “ H 1 Khi đó trong nhóm các phép dời hình có phép dời hình nghịch đảo ngược f ´1 biến hình H 1 bằng hình H và ta có f ´1 pH 1 q “H Vậy hìnhH 1 bằng hìnhH Do đó ta có thể nói tới khái niệm bằng nhau của hình H và hình H 1 c) Nếu hình H bằng hình H 1 và hình H 1 bằng hình H 2 thì hình H bằng hình
H 2 Thật vậy theo định nghĩa phép dời hình f và g của nhóm dời hình sao cho f p H q “ H 1 và g p H 1 q “ H 2 Khi đó tích g ˝ f cũng là phép dời hình sẽ biến H thành
H 2 Ta có g˝fpH q “ H 2 Vậy hình H bằng hình H 2
Biểu thức tọa độ của phép dời hình trong mặt phẳng
1.4.1 Hệ tọa độ afin trên mặt phẳng Định nghĩa 1.7 Trong mặt phẳng P chọn một điểm O làm gốc và hai vectơ độc lập tuyến tớnh pí ẹe 1 , ẹ í e 2 q thỡ hệ tO; ẹ í e 1 , ẹ í e 2 u biểu thị cho một hệ tọa độ afin trong mặt phẳng (người ta còn gọi là hệ tọa độ xiên) Như vậy hai đường thẳng đi qua
O và lần lượt nhận ẹ í e 1 , ẹ í e 2 làm cỏc vectơ chỉ phương tạo nờn một hệ tọa độ afin.
Hình 1.6 Với một vectơ ẹ í u bất kỡ trong mặt phẳng ta cú một cặp số px, yq sao cho ẹ í u “ x ẹ í e 1 `y ẹ í e 2
Cặp số px, yq cú thứ tự đú được gọi là tọa độ của vectơ ẹ í u đối với hệ tọa độ afin tO; ẹ í e 1 , ẹ í e 2 u.
Ta kớ hiệu ẹ í u “ px, yq hoặc ẹ í u px, yq.
Chỳ ý 1.1 Hai vectơ pí ẹe 1 , ẹ í e 2 q độc lập tuyến tớnh, cũn được gọi là hai vectơ khụng cùng phương.
Người ta cũn gọi tí ẹe 1 , ẹ í e 2 u là hai vectơ cơ sở của hệ tọa độ afin tO; ẹ í e 1 , ẹ í e 2 u.
Nếu ta cú ẹ í u “ px, yq và ẹ í v “ px 1 , y 1 q thỡ ta cú χ ẹ í u `à ẹ í v “ pχx`àx 1 , χy`ày 1 q với χ, à PR.
Với mỗi điểm M trong mặt phẳngP, ta gọi tọa độ afin của điểm M đó đối với hệ tọa độ afin tO; ẹ í e 1 , ẹ í e 2 u đó cho là tọa độ của vectơ í OM íí ẹ đối với hệ tọa độ afin đú Như vậy, nếu í OM íí ẹ “ p x, yq thỡ cặp số px, yq cũng được gọi là tọa độ afin của điểm M đối với hệ tọa độ afin đã cho và ta kí hiệu M “ p x, yq hay M px, yq.
Trong mặt phẳng P cho cặp vectơ độc lập tuyến tớnhpí ẹe 1 , ẹ í e 2 q và một cặp vectơ khác là ´ í ẹ e 1 1 , í e ẹ 1 2 ¯ cũng độc lập tuyến tính Nếu ta có
% í ẹ e 1 1 “ a 1 ẹ í e 1 ` a 2 ẹ í e 2 í ẹ e 1 2 “b1 ẹ íe1 `b2 ẹ íe2 thì ma trận A “ ¨ ˝ a 1 a 2 b 1 b 2 ˛
‚được gọi là ma trận chuyển từ cặp vectơ cơ sở pí ẹe 1 , ẹ í e 2 q sang cặp vectơ cơ sở ´ í ẹ e 1 1 , í e ẹ 1 2 ¯ Các số a 1 , a 2 và b 1 , b 2 gọi là các hàng của ma trận
A, các sốa 1 , b 1 và a 2 , b 2 gọi là các cột của ma trận A Định thức của ma trận A nói trên là một số và được kí hiệu là detA“ |A| “a 1 b 2 ´a 2 b 1 Để xét sự định hướng của mặt phẳng đối với một cơ sở cho trước ta hãy xét định thức của ma trận chuyển A nói trên Nếu detA“ a 1 b 2 ´a 2 b 1 ą0 ta nói rằng cặp vectơ ´ í ẹ e 1 1 , í e ẹ 1 2 ¯ cựng hướng với cặp vectơ pí ẹe 1 , ẹ í e 2 q Nếu detA “ a 1 b 2 ´a 2 b 1 ă 0 ta nói rằng cặp vectơ ´ í ẹ e 1 1 , í e ẹ 1 2 ¯ ngược hướng với cặp vectơ pí ẹe 1 , ẹ í e 2 q Như vậy, nếu trên một mặt phẳng nào đó ta đã chọn một cặp vectơ độc lập tuyến tính làm cặp có hướng dương thì có thể định nghĩa hướng của các cặp vectơ độc lập tuyến tính khác là âm hay dương tùy theo nó cùng hướng hay khác hướng với cặp vectơ đã được chọn Làm như vậy có nghĩa là ta đã định hướng mặt phẳng Người ta chứng minh được rằng: a) Một cặp vectơ đều cùng hướng với chính nó. b) Nếu cặp vectơ ´ í ẹ e 1 1 , í e ẹ 1 2 ¯ cựng hướng với cặp vectơ pí ẹe 1 , ẹ í e 2 qthỡ cặp vectơpí ẹe 1 , ẹ í e 2 q cựng hướng với cặp vectơ ´ í e ẹ 1 1 , í e ẹ 1 2 ¯ c) Nếu cặp vectơ ´ í e í ẹ 11 1 , í e í ẹ 11 2 ¯ cựng hướng với cặp vectơ ´ í e ẹ 1 1 , í e ẹ 1 2 ¯ và cặp vectơ ´ í ẹ e 1 1 , í e ẹ 1 2 ¯ cựng hướng với cặp vectơ pí ẹe 1 , ẹ í e 2 q thỡ cặp vectơ ´ í í ẹ e 11 1 , í e í ẹ 11 2 ¯ cùng hướng với cặp vectơ pí ẹe 1 , ẹ í e 2 q.
Như vậy dựa trên sự định hướng này người ta có thể phân tập hợp các cặp vectơ độc lập tuyến tính trên mặt phẳng thành hai lớp riêng biệt và các cặp vectơ thuộc cùng một lớp thì cùng hướng với nhau.
1.4.2 Công thức đổi tọa độ afin
Trong mặt phẳng P cho hai hệ tọa độ afin tO; ẹ í e 1 , ẹ í e 2 u và
) Giả sử ta cú: í e ẹ 1 1 “a 1 ẹ í e 1 `a 2 ẹ í e 2 , í e ẹ 1 2 “b 1 ẹ í e 1 `b 2 ẹ í e 2 , ííẹ OO 1 “c 1 ẹ í e 1 `c 2 ẹ í e 2
Hình 1.7 Như vậy ta đó biết tọa độ cỏc vectơ í e ẹ 1 1 , í e ẹ 1 2 và tọa độ của điểm O 1 đối với hệ tọa độ afin tO; ẹ í e 1 , ẹ í e 2 u.
Khi đó với một điểm M bất kì của mặt phẳng, giả sử px, yq là tọa độ của điểm
M đối với hệ tọa độ afin tO; ẹ í e 1 , ẹ í e 2 u và px 1 , y 1 q là tọa độ của cựng điểm M đú đối với hệ tọa độ khỏc ! O 1 ; í e ẹ 1 1 , í e ẹ 1 2 ) Điều đú cú nghĩa là: í íí ẹ
Ta hãy tìm sự liên hệ giữa hai tọa độ px, yq và px 1 , y 1 q của cùng một điểm M đối với hai hệ tọa độ khác nhau Ta có x ẹ í e 1 ` y ẹ í e 2 “ í íí ẹ
O 1 M “ c 1 ẹ í e 1 ` c 2 ẹ í e 2 ` x 1 í e ẹ 1 1 ` y 1 í e ẹ 1 2 “ c 1 ẹ í e 1 ` c 2 ẹ í e 2 ` x 1 pa 1 ẹ í e 1 `a 2 ẹ í e 2 q `y 1 pb 1 ẹ í e 1 `b 2 ẹ í e 2 q “ pa 1 x 1 `b 1 y 1 `c 1 q í ẹe 1 ` pa 2 x 1 `b 2 y 1 `c 2 q í ẹe 2
Từ đó ta suy ra
Cụng thức trờn gọi là cụng thức đổi tọa độ afin từ hệ tọa độ tO; ẹ í e 1 , ẹ í e 2 u sang hệ tọa độ
Nhận xét 1.2 Trong công thức tọa độ afin trên đây ta nhận thấy ma trận ằ
– a 1 b 1 a 2 b 2 fi fl có cùng định thức với định thức của ma trận chuyển A nói trên Nếu ta chuyển các hàng thành cột (hoặc cột thành hàng) trong ma trận chuyển A thì ta được ma trận của công thức đổi tọa độ Ta kí hiệu ằ – a 1 b 1 a 2 b 2 fi fl “ ¨ ˝ ằ – a 1 a 2 b 1 b 2 fi fl ˛
A ˚ gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A.
1.4.3 Hệ tọa độ Đề-các vuông góc Định nghĩa 1.8 Hệ tọa độ afin tO; ẹ í e 1 , ẹ í e 2 u trờn mặt phẳng là một hệ tọa độ Đề-cỏc vuụng gúc hoặc hệ tọa độ trực chuẩn nếu ẹ í e 1 , ẹ í e 2 là hai vectơ đơn vị và vuụng gúc với nhau, tức là ẹ í e 1 2 “ í ẹ e 2 2 “ 1 và ẹ í e 1 ẹ í e 2 “ 0.
Nhận xột 1.3 Giả sử đối với hệ tọa độ Đề-cỏc vuụng gúc tO; ẹ í e 1 , ẹ í e 2 u hai vectơ Ý ẹu , ẹ í v lần lượt cú tọa độ là ẹ í u “ p x 1 , y 1 q, ẹ í v “ p x 2 , y 2 q thỡ khi đú ta cú Ý ẹu ẹ í v “ p x 1 ẹ í e 1 ` y 1 ẹ í e 2 q.px 2 ẹ í e 1 ` y 2 ẹ í e 2 q “x 1 x 2 ` y 1 y 2
Chú ý 1.2 Hệ tọa độ Đề-các vuông góc là một hệ tọa độ afin nên có đầy đủ các tính chất của hệ tọa độ afin. Định lý 1.9 Trong mặt phẳng cho hai hệ tọa độ trực chuẩn
) Khi đú cú một phộp dời hỡnh duy nhất f : P ẹ P sao cho fpOq “O 1 , fpE 1 q “E 1 1 , fpE 2 q “ E 1 2
Chứng minh Ta có ˇ ˇ ˇ í íí ẹ
O 1 E 1 2 ˇ ˇ ˇ và như vậy hai tam giác vuông cân bằng nhau là OE 1 E 2 và O 1 E 1 1 E 1 2 xác định một phép dời hình duy nhất f biến các điểm O, E 1 , E 2 thành các điểm O 1 , E 1 1 , E 1 2
Hệ quả 1.10 Phép dời hình f biến một hệ tọa độ trực chuẩn
) thành một hệ tọa độ trực chuẩn
E 1 1 , fpE 2 q “ E 1 2 Định lý 1.11 Trong mặt phẳng cho hệ tọa độ trực chuẩn
) và một phép dời hình f Gọi O 1 “fpOq, E 1 1 “fpE 1 q, E 1 2 “fpE 2 q Khi đó nếu một điểm
M có tọa độ px, yq đối với hệ tọa độ trực chuẩn đã cho thì điểm M 1 “ f p M q cũng cú tọa độ px, yq đối với hệ tọa độ ảnh của f là ! O 1 ; íííẹ O 1 E 1 , í O ííí 1 E ẹ 1 2 )
Chứng minh Nếu px, yq là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ trực chuẩn
) thỡ í OM íí ẹ “x í OE íí ẹ 1 `y í OE íí ẹ 2 Gọi M 1 , M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc củaM trên các đường thẳng OE 1 và
OE 2 Gọi M 1 1 , M 1 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M 1 trên các đường thẳng
Do tớnh chất của phộp dời hỡnh ta cú fpM 1 q “ M 1 1 , fpM 2 q “ M 1 2 Ta cú í OM íí ẹ “ íííẹOM 1 ` íííẹ
OM 2 “ x í OE íí ẹ 1 ` y í OE íí ẹ 2 nờn íííẹ OM 1 “ x í OE íí ẹ 1 và íííẹ OM 2 “ y í OE íí ẹ 2 Do tớnh chất của phép dời hình (bảo toàn sự thẳng hàng, bảo toàn khoảng cách) ta có ííííẹ
Nhưng mặt khác cũng do tính chất của phép dời hình ta có í ííí ẹ
) cũng là một hệ tọa độ trực chuẩn, vậy đối với hệ này điểm M 1 có tọa độ vẫn là px, yq.
1.4.4 Biểu thức tọa độ của phép dời hình
Trong mặt phẳng P với hệ tọa độ Đề - cỏc vuụng gúc tO; ẹ í e 1 , ẹ í e 2 ucho phộp dời hỡnh f : P ẹ P và giả sử f biến điểm M bất kỡ thành điểm M 1 Gọi px, yq và px 1 , y 1 q lần lượt là tọa độ của điểm M và M 1 đối với hệ tọa độ tO; ẹ í e1, ẹ í e2 u đó cho.
Ta hãy tìm sự liên hệ về tọa độ giữa px, yq và px 1 , y 1 q Nói cách khác ta hãy tìm biểu thức tọa độ của phép dời hình f hay người ta còn gọi là lập phương trình của phép dời hình f đó.
Giả sử í OE íí ẹ 1 “ í ẹe 1 , í OE íí ẹ 2 “ í ẹe 2 và O 1 “ fpOq, E 1 1 “ fpE 1 q, E 1 2 “ fpE 2 q Phộp dời hình f hoàn toàn được xác định khi biết các ảnh của ba điểm O, E 1 , E 2 Ta có
O 1 ; íííẹ O 1 E 1 , í O ííí 1 E ẹ 1 2 ) cũng là một hệ tọa độ trực chuẩn Giả sử ta đó biết tọa độ điểm
O 1 E 1 2 “ pc, dq Điều đó có nghĩa là ííẹOO 1 “ x 0 ẹ í e 1 `y 0 ẹ í e 2 í ẹ e 1 1 “ a ẹ í e 1 ` b ẹ í e 2 í ẹ e 1 2 “ c ẹ í e 1 ` d ẹ í e 2
Theo Định lý 1.11 ta cú tọa độ của điểm M 1 đối với hệ tọa độ ! O; í e ẹ 1 1 , í e ẹ 1 2 ) vẫn là px, yq cũn tọa độ của điểm M 1 đối với hệ tọa độ tO; ẹ í e 1 , ẹ í e 2 u là px 1 , y 1 q Vậy ta tìm được sự liên hệ giữa px, yqvà px 1 , y 1 q qua công thức đổi tọa độ afin nói chung ở mục 1.4.2 là
% x 1 “ax`cy `x 0 y 1 “ bx ` dy ` y 0 p Iq hay có thể viết ằ – x 1 y 1 fi fl “ ằ – a c b d fi fl ằ – x y fi fl ` ằ – x 0 y 0 fi fl (I’)
Trong biểu thức biểu thị cho phép dời hình ở trên xét đối với một hệ tọa độ trực chuẩn ta cú tọa độ vectơ í e ẹ 1 1 làpa, bq, tọa độ của vectơ í e ẹ 1 2 làpc, dqvà px 0 , y 0 q là toạ độ của điểm O 1 Vỡ í e ẹ 1 1 2 “ í ẹ e 1 2 2 “1 và í e ẹ 1 1 í e ẹ 1 2 “0 nờn ta cú
Người ta gọi phép dời hình f được biểu thị bằng biểu thức tọa độ (I) kèm theo điều kiện (II) xét đối với một hệ tọa độ trực chuẩn cho trước.
– a c b d fi fl trong biểu thức (I’) ở trên gọi là ma trận của phép dời hình f.
Phân loại phép dời hình trong mặt phẳng
1.5.1 Phép đối xứng trục Định nghĩa 1.9 Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M 1 sao cho đoạn thẳngM M 1 nhận dlàm đường trung trực thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d Đường thẳng d gọi là trục đối xứng Ta kí hiệu phép đối xứng trục này là D d và ta có D d pMq “ M 1 Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy điểm M 1 trùng với M.
Hình 1.11 Định lý 1.12 Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
Chứng minh Giả sử M, N là hai điểm bất kì trong mặt phẳng và phép đối xứng trục D d biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M 1 , N 1 Khi đó các đoạn thẳng M M 1 , N N 1 cùng vuông góc với trục d tại trung điểm H, K của chúng.
Ta cú í M H íí ẹ “ ´ íííẹ M 1 H, í KN íí ẹ “ ´ í KN íí ẹ 1
KN 2 `2 í M H íí ẹ í KN íí ẹ (cũn í M H íí ẹ í HK íí ẹ “0 và í HK íí ẹ í KN íí ẹ “0)
M H ¯ 2 ` í HK íí ẹ 2 ` ´ ´ í KN íí ẹ ¯ 2 ` 2 ´ ´ í M H íí ẹ ¯ ´ ´ í KN íí ẹ ¯
M N ˇ ˇ ˇ hay M 1 N 1 “M N. Vậy phép đối xứng trục là một phép dời hình.
Tính chất 1.2 Dựa vào định nghĩa của phép đối xứng trục và định lí dưới đây ta suy ra: a) Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên có đầy đủ các tính chất của phép dời hình. b) Nếu M 1 là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M lại là ảnh của M 1 qua phép đối xứng đó Ta suy ra tích của một phép đối xứng trục với chính nó là phép đồng nhất. c) Mọi điểm của trục đối xứng d đều là điểm kép. d) Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành chính nó với chú ý rằng ngoài giao điểm của a với d các điểm khác của a đều không phải điểm kép. e) Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu cho biết trục đối xứng d của nó.
1.5.2 Phép đối xứng tâm Định nghĩa 1.10 Trong mặt phẳng P cho một điểm O cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M 1 sao cho O là trung điểm của đoạn M M 1 gọi là phép đối xứng tâm O Điểm O gọi là tâm đối xứng Phép đối xứng tâm O này được kí hiệu là D O Nếu điểm M trùng với tâm O ta lấy điểm M 1 trùng với M.
Ta viết D O pMq “M 1 Định lý 1.13 Phép đối xứng tâm là một phép dời hình.
Chứng minh Giả sử phép đối xứng D O biến hai điểmM, N bất kì thành hai điểm
Ta cú í OM íí ẹ “ ´ íííẹ
M 1 N 1 ˇ ˇ ˇ.Vậy phép đối xứng tâm là một phép dời hình.
Tính chất 1.3 Dựa vào định nghĩa của phép đối xứng tâm và định lí trên đây ta suy ra: a) Phép đối xứng tâm là một phép dời hình, nên có đầy đủ các tính chất của phép dời hình. b) Qua phép đối xứng tâm O thì tâm O là điểm kép duy nhất. c) Nếu M 1 là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O thì M lại là ảnh của M 1 qua phép đối xứng đó Ta suy ra tích của một phép đối xứng tâm với chính nó là phép đồng nhất. d) Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành chính nó, biến một đường thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng song song với đường thẳng đó, biến một vectơ thành vectơ đối của nó. e) Phép đối xứng qua tâm được hoàn toàn xác định nếu cho biết tâm đối xứng O của nó.
1.5.3 Phép tịnh tiến Định nghĩa 1.11 Trong mặt phẳng P cho vectơ ẹ í v, phộp biến hỡnh biến mỗi điểm M thành điểm M 1 sao cho í M M ííí ẹ 1 “ í ẹv gọi là phộp tịnh tiến theo vectơ ẹ í v và được kớ hiệu là Tẹ ív.
Vectơ ẹ í v gọi là vectơ tịnh tiến Ta cú Tẹ ív p Mq “ M 1
Hình 1.15 Định lý 1.14 Phép tịnh tiến là một phép dời hình
Chứng minh Giả sử A, B là hai điểm bất kì trong mặt phẳng và qua phép tịnh tiến Tẹ ív chỳng lần lượt biến thành cỏc điểm A 1 , B 1
Ta cú ííẹ AA 1 “ í BB íí ẹ 1 “ í ẹ v Ta suy ra ííẹ AA 1 ` ííẹ A 1 B “ í BB íí ẹ 1 ` ííẹ A 1 B “ í A íí 1 B ẹ 1 Vậy í AB í ẹ “ í A íí 1 B ẹ 1 hay ˇ ˇ ˇ í í ẹ
Ta có AB “ A 1 B 1 và như vậy ta đã chứng minh được phép tịnh tiến là một phép dời hình.
Chỳ ý 1.3 Nếu vectơ tịnh tiến ẹ í v “ ẹ í
0 thì khi đó phép tịnh tiến trở thành phép đồng nhất Ta cú Tẹ í0 “ e.
Hệ quả 1.15 Nếu một phép dời hình biến hai điểm A, B lần lượt thành hai điểm
A 1 B 1 thỡ nú là phộp tịnh tiến theo vectơ ẹ í v “ ííẹ
Tính chất 1.4 Từ định nghĩa của phép tịnh tiến và định lí trên ta suy ra: a) Phép tịnh tiến là một phép dời hình nên có đầy đủ các tính chất của phép dời hình. b) Nếu phộp tịnh tiến theo vectơ ẹ í v ‰ ẹ í 0 biến điểm M thành điểm M 1 thỡ ta cũng cú phộp tịnh tiến biến điểm M 1 thành điểmM với vectơ tịnh tiến là´í ẹv Như vậy ta cú: T ẹ í ´1 v “ T p´ ẹ ívq Ta suy ra T p´ ẹ ívq ˝Tẹ ív “ e (là phộp đồng nhất). c) Qua phộp tịnh tiến theo vectơ ẹ í v ‰ ẹ í
0 thỡ cỏc đường thẳng nhận ẹ í v làm vectơ chỉ phương đều biến thành chính nó, chú ý rằng các điểm của các đường thẳng này không phải là điểm kép. d) Tớch của hai phộp tịnh tiến Tẹ ív và Tẹ í v 1 là một phép tịnh tiến với vectơ tịnh tiến bằng ẹ í v ` ẹ í v 1 e) Phộp tịnh tiến hoàn toàn được xỏc định nếu ta biết được vectơ tịnh tiến ẹ í v của nó.
1.5.4 Phép quay Định nghĩa 1.12 Trong mặt phẳng P đã được định hướng, cho một điểm O cố định và một góc α sai khác k2π Một phép quay tâm O với góc quay α là một phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M thành điểm M 1 sao cho OM “OM 1 và ´ í íí ẹ
Trong định nghĩa trên ta kí hiệu ´ í íí ẹ
OM , íííẹ OM 1 ¯ là góc định hướng mà tia đầu là
OM và tia cuối là OM 1 Ta kí hiệu phép quay tâm O với góc quay α là Q α O hoặc
QpO; αq Ta thường chọn α sao cho ´π ďαďπ.
Chú ý 1.4 Theo định nghĩa phép quay Q α O với α“0 là phép đồng nhất, còn nếu α “ π hoặc α “ ´ π thì đó là phép đối xứng tâm O. Định lý 1.16 Phép quay là một phép dời hình.
Chứng minh Giả sử M, N là hai điểm bất kì trong mặt phẳng và Q α O là phép quay biến M, N lần lượt thành M 1 , N 1
Hình 1.17 a) Nếu M (hay N) trùng với O thì M 1 (hayN 1 ) trùng với O, khi đóM 1 N 1 “ M N. b) Giả sử M và N đều khác với O, khi đó theo định nghĩa ta có:
OM “OM 1 , ON “ON 1 , ´ í íí ẹ
M 1 N 1 2 “ ´ í ON íí ẹ 1 ´ íííẹ OM 1 ¯ 2 “ í ON íí ẹ 1 2 ` íííẹ OM 1 2 ´ 2 í ON íí ẹ 1 íííẹ OM 1
OM 1 2 ´2ON 1 OM 1 cos ´ íííẹ
OM 2 ´2ON.OM.cos ´ í íí ẹ
ON ´ í OM íí ẹ ¯ 2 “ í M N íí ẹ 2 Vậy ˇ ˇ ˇ í ííí ẹ
M N ˇ ˇ ˇ hay M 1 N 1 “ M N và như thế ta đã chứng minh được phép quay là phép dời hình.
Tính chất 1.5 Dựa vào định nghĩa và định lí trên ta suy ra phép quay có các tính chất sau đây: a) Phép quay là một phép dời hình nên nó có đầy đủ tính các tính chất của một phép dời hình. b) Trong phép quay tâm Ovới góc quay α‰0, chỉ có tâm O là điểm kép duy nhất của phép quay đó và trong trường hợp này nếu đường thẳng a đi qua tâm O thì đường thẳng ảnh a 1 cũng đi qua điểm O. c) Nếu phép quay tâm O với góc quay α biến điểm M thành điểm M 1 thì phép quay tâm O với góc quay ´α biến điểm M 1 thành điểm M nghĩa là nếu f “ Q α O thì f ´1 “ Q ´α O d) Qua phép quay tâm O góc quay α nếu điểm A biến thành điểm A 1 , điểm B biến thành điểm B 1 thì ´ í í ẹ
AB, í A íí 1 B ẹ 1 ¯ “ α nghĩa là gúc giữa hai vectơ tương ứng bằng góc quay α nghĩa là góc giữa hai vectơ tương ứng bằng góc quay α Do đó hai đường thẳng AB và A 1 B 1 cắt nhau tạo nên một góc bằng α và một góc bằng π´α. e) Phép quay hoàn toàn được xác định nếu biết tâm quay O và góc quay α. Định lý 1.17 (Định lý phân loại phép dời hình trong P)
1 Mọi phép dời hình thuận trong P là một phép tịnh tiến hoặc một phép quay hoặc tích của một phép tịnh tiến và một phép quay.
2 Mọi phép dời hình nghịch là một phép đối xứng qua một đường thẳng hoặc tích của một phép đối xứng qua một đường thẳng và một phép tịnh tiến theo một vectơ thuộc phương của đường thẳng đó.
Chứng minh Trước tiên các ma trận trực giao cấp 2 có dạng chuẩn tắc thuộc một trong ba dạng aq ¨ ˝
‚, bq ¨ ˝ cosϕ ´sinϕ sinϕ cosϕ ˛
*) Trường hợp phương trình của phép dời hình có ma trận dạng a):
% x 1 1 “x 1 `b 1 x 1 2 “x 2 `b 2 Đõy là phương trỡnh của phộp tịnh tiến theo vectơ ẹ í b pb 1 , b 2 q.
*) Trường hợp phương trình của phép dời hình có ma trận dạng b):
% x 1 1 “ x 1 cosϕ´x 2 sinϕ`b 1 x 1 2 “ x 1 sinϕ`x 2 cosϕ`b 2 với 0ăϕ ďπ Tọa độ của điểm bất động là nghiệm của hệ phương trình
% x 1 “x 1 cosϕ´x 2 sinϕ`b 1 x 2 “x 1 sinϕ`x 2 cosϕ`b 2 Đây là hệ phương trình tuyến tính theo hai biến x 1 , x 2 với ma trận hệ số có định thức ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
Do đó hệ có nghiệm duy nhất ` x 1 0 , x 2 0 ˘
Chọn gốc mục tiêu mới trùng với điểm bất động này, ta có các phương trình đổi mục tiêu
Từ đó suy ra phương trình của phép dời hình đối với mục tiêu mới là
% y 1 1 `x 1 0 “ ` y 1 `x 1 0 ˘ cosϕ´ ` y 2 `x 2 0 ˘ sinϕ`b 1 y 2 1 `x 2 0 “ ` y 1 `x 1 0 ˘ sinϕ` ` y 2 `x 2 0 ˘ cosϕ`b 2 hay
% y 1 1 “y 1 cosϕ´y 2 sinϕ y 2 1 “y 1 cosϕ`y 2 cosϕ. Đây là phương trình của phép quay quanh gốc tọa độ O với góc quay ϕ Thật vậy, gọi M 1 là ảnh của M qua phép biến đổi trên Ta có dpO, M 1 q 2 “ py 1 cosϕ´y 2 sinϕq 2 ` py 1 cosϕ`y 2 cosϕq 2 “y 2 1 `y 2 2 “dpO, Mq 2
“ y 1 py 1 cosϕ´y 2 sinϕq `y 2 py 1 sinϕ`y 2 cosϕq y 1 2 `y 2 2 “ cosϕ
*) Trường hợp phương trình của phép dời hình có ma trận dạng c):
Ta xét các trường hợp b 1 “ 0 và b 1 ‰ 0 Nếu b 1 “ 0 thì dùng phép đổi mục tiêu
Ta đưa phương trình phép dời hình về dạng
X 1 2 “ ´X 2 Đây là phép đối xứng trục với trục đối xứng có phương trình X 2 “0, từ đó suy ra phương trình của trục đối xứng trong hệ tọa độ cũ là x 2 ´ b 2 2 “0.
Nếu b 1 ‰ 0thì ta có thể phân tích phép dời hình đang xét thành tích các phép dời hình sau
% x 1 1 “x 11 1 `b 1 x 1 2 “ x 11 2 Ở đây phép dời hình thứ nhất là phép đối xứng trục với trục đối xứng có phương trình x 2 ´ b 2 2 “0 và phép dời hình thứ hai là phép tịnh tiến theo vectơ pb 1 ,0qcùng phương với trục đối xứng trên.
PHÉP DỜI HÌNH TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG VÀ TRONG THỰC TIỄN 26
Áp dụng phép đối xứng trục
2.1.1 Áp dụng của phép đối xứng trục trong các bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học
Bài toán 2.1 Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng
2 p AB.CD`BC.ADq, trong đó S ABCD là diện tích tứ giác ABCD.
Lời giải Đây là bài toán chứng minh một bất đẳng thức hình học Phương pháp chứng minh bài toán trên là tìm một phép đối xứng trục sao cho diện tích tứ giác không đổi nhưng thứ tự cạnh của tứ giác đó thay đổi.
Thật vậy, ta dựng đường trung trực pdq của đoạn AC và gọi D 1 là ảnh của D trong phép đối xứng D d Khi đó, rõ ràng tứ giác ACD 1 D là hình thang cân.
Do đó MADC “M CD 1 A, AD “CD 1 , CD “AD 1
Suy ra S ABCD “S ABCD 1 “S BAD 1 `S BCD 1
2BC.CD 1 sinBCD { 1 ď 1 2 pAB.AD 1 `BC.CD 1 q
“ 1 2 pAB.CD`BC.ADq. Bài toán đã được chứng minh.
Bài toán 2.2 Cho tam giác ABC với trực tâm H Chứng minh rằng: a) Các điểm đối xứng củaH qua các cạnh của tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCH, CAH, ABH, ABC có bán kính bằng nhau.
Lời giải a) Gọi pOq là đường tròn ngoại tiếpM ABC Gọi AA 1 là đường kính của pOq và H 1 là giao điểm thứ hai của AH với pOq.
Ta có BHKAC, A 1 CKAC suy ra BH{{A 1 C Tương tự ta có CHKAB, A 1 BKAB suy ra CH{{A 1 B Do đóBHCA 1 là một hình bình hành và trung điểmI của đoạn
BC cũng là trung điểm của đoạn HA 1
Mặt khác, ta có AHKBC tại K và AHKH 1 A 1 tại H 1 Ta suy ra IK{{A 1 H 1 và IK là đường trung bình của M HH 1 A 1
Vậy H 1 đối xứng với H qua BC.
Lập luận tương tự ta chứng minh đượcH 2 đối xứng vớiH quaAC nằm trên đường tròn pO q và H 3 đối xứng với H qua AB cũng nằm trênpO q b) Hai tam giác BHC và BH 1 C bằng nhau (vì chúng đối xứng nhau qua BC). Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác BCH có bán kính bằng bán kính đường tròn tam giác BCH 1 Mặt khác đường tròn này chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta suy ra các đường trong ngoại tiếp các tam giácABC, BCH, ACH, ABH có bán kính bằng nhau.
Bài toán 2.3 Cho tam giác ABC là tam giác vuông tại A Kẻ đường cao AH.
Về phía ngoài tam giác vẽ hai hình vuông ABDE và ACF G. a) Chứng minh rằng tập hợp sáu điểm B, C, F, G, E, D có một trục đối xứng. b) Gọi K là trung điểm của EG Chứng minh rằng K nằm trên đường thẳng AH. c) Gọi P là giao điểm của DE và F G Chứng minh rằng P nằm trên đường thẳng
AH. d) Chứng minh CDKBP, BFKCD. e) Chứng minh AH, CD, BF đồng quy.
Lời giải a) Do BAD { “45 o và CAF { “45 o nên ba điểm D, A, F thẳng hàng.
Hình 2.3 Xét phép đối xứng trụcDF, khi đó điểmD biến thànhD, F biến thành F,C biến thành G, B biến thành E (tính chất của hình vuông).
Vậy tập hợp sáu điểm B, C, F, G, E, D có trục đối xứng chính là đường thẳng DAF. b) Qua phép đối xứng trục nói trên ta có M ABC “ M AEG nên BCA { “ AGE { nhưng BCA { “Ax 1 (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà AGE { “Ax 2 (do tam giác KAG cân tại K) Suy ra A x 1 “Ax 2 Vì vậy K, A, H thẳng hàng Vậy K nằm trên đường thẳng AH. c) Tứ giác AF P G là một hình chữ nhật nên A, K, P thẳng hàng (hơn thế nữa K là trung điểm của AP) Vậy P nằm trên đường thẳng AH. d) Vì hai tam giác EDC và DBP bằng nhau nên DC “BP.
Mặt khác, DB “ AB, BC “ AP Suy ra M BCD “ M AP B nên CD “ P B và
BCD{ “ AP B Mà { BC K AP Từ đó suy ra DC K BP.
Lập luận tương tự ta cũng có BF K CP. e) Xét tam giác BCP có các đường thẳng AH, CD, BF chính là ba đường cao của tam giác nên chúng đồng quy.
Bài toán 2.4 Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kỳ ta đều có bất đẳng thức sau: h a ď a ppp´aq, ở đây h a là đường cao kẻ từ A, plà nửa chu vi tam giác, a “BC, b“AC, c “AB.
Lời giải Gọil là đường thẳng quaA và song song vớiBC Xét phép đối xứng trục
D l Ta giả sử điểm B biến thành B 1 , C biến thành C 1 , A biến thành A.
Theo tính chất của phép đối xứng trục ta có AB 1 “AB.
Vì vậy b`c“CA`AB “CA`AB 1 ěCB 1 p1q
Theo định lý Pytago ta có CB 1 “ aBB 1 2 `BC 2 “ b 4h a 2 `a 2 p2q Thay (2) vào (1) ta có b ` c ě b 4h a 2 ` a 2 ô pb ` cq 2 ´a 2 ě 4h a 2 ô pb ` c ` aq pb ` c ´ aq ě4h a 2 ô p2pq.2pp´aq ě 4h a 2 ôh a ď a ppp´aq Dấu “ xảy ra khi và chỉ khi C, A, B 1 thẳng hàng hay tam giác ABC cân tại A.
2.1.2 Áp dụng phép đối xứng trục vào bài toán cực trị
Bài toán 2.5 Cho hai điểm A, B phân biệt và nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x cho trước Hãy tìm trên đường thẳng x một điểm M sao cho tổng hai đoạn thẳng AM `M B là ngắn nhất.
Lời giải Gọi A 1 là điểm đối xứng của A qua đường thẳng xcho trước và gọi M là giao điểm của đường thẳng A 1 B với x.
Ta có AM`M B “A 1 M`M B Khi đó trên đường thẳng xvới mỗi điểm M 1 khác với M ta đều có A 1 M 1 `M 1 B ąA 1 B “AM `M B.
Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng A 1 B với đường thẳng x. Chú ý: Ta cũng có thể tìm điểm M bằng cách tìm điểm B 1 đối xứng với B qua đường thẳng x và sau đó ta có M là giao điểm của AB 1 với x.
Bài toán 2.6 Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này. Hãy tìm trên cạnh Ox một điểmB và trên cạnh Oy một điểm C sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Lời giải Gọi A 1 là điểm đối xứng với A qua cạnh Ox, A 2 là điểm đối xứng với A qua cạnh Oy Đường thẳng A 1 A 2 cắt Ox, Oy lần lượt tại B và C.
Ta có AB`BC`CA “A 1 B `BC`CA 2
Hình 2.6 Với các điểm B 1 khác với B trên Ox và các điểm C 1 khác với C trên Oy ta có đường gấp khúc A 1 B 1 `B 1 C 1 `C 1 A 2 luôn dài hơn đoạn thẳng A 1 A 2
Vậy các điểm B, C nói trên tạo nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Bài toán 2.7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, cạnhBC cố định. Hãy tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
Hình 2.7 Gọi A 0 là trung điểm của cung lớn BC.
Giả sửAlà điểm tùy ý trên cung lớnBC và qua phép đối xứng trụcA 0 Athì điểmC biến thành điểm M, điểmAbiến thành điểm A Do đóAM “AC vàA 0 M “A 0 C. Ngoài ra cũng theo tính chất phép đối xứng trục suy ra A { 0 AM “A{ 0 AC (1).
Vì A 0 ACB là tứ giác nội tiếp nên A { 0 AC ` A { 0 BC “ 180 o mà A { 0 BC “ A { 0 CB (do tam giác A 0 BC cân) và A { 0 CB “ A { 0 AB (vì cùng chắn cung A 0 B) Suy ra
Từ (1) và (2) suy ra A { 0 AM `A{ 0 AB “ 180 o nên B, A, M thẳng hàng Gọi ξ là chu vi tam giác ABC và ξ 0 là chu vi tam giác A 0 BC Khi đó ξ 0 ´ξ “ pA 0 B`A 0 C `BCq ´ pAB`AC `BCq
“ pA 0 B ` A 0 Mq ´ pAB ` AMq “A 0 B ` A 0 M ´ BM ě 0
Suy ra ξ 0 ě ξ Vậy chu vi tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi A và A 0 trùng nhau hay A là trung điểm của cung lớn BC.
Áp dụng phép đối xứng tâm
2.2.1 Áp dụng của phép đối xứng tâm trong các bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học
Bài toán 2.15 Cho tam giác ABC và hai đường trung tuyếnAF và CE Giả sử BAF{ “BCE{ “30 o Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
Lời giải Do BAF { “ BCE { “ 30 o nên tứ giác AEF C là tứ giác nội tiếp Gọi Ω là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ấy và O là tâm của Ω Xét phép đối xứng tâm D E ,khi đó điểm A biến thành B Giả sử Ω biến thành Ω 1 Do A P Ω nên B P Ω 1
Ta lại có phép đối xứng tâm F biến C thành B Giả sử D E pΩq “Ω 2 thì do C P Ω và B P Ω 2 Như thế B nằm trên giao của hai đường tròn Ω 1 và Ω 2 Do E, F đều nằm trên đường tròn Ω với tâm O nên OE “OF Ta lại có EOF { “2EAF { “ 60 o nên M EOF là tam giác đều.
Gọi O 1 , O 2 tương ứng là tâm của Ω 1 , Ω 2 Khi đó D E pOq “ O 1 và D F pOq “ O 2 Suy ra OO 1 O 2 là tam giác đều với cạnh bằng 2R, ở đây R là bán kính các đường tròn Ω, Ω 1 , Ω 2 Vì B P Ω 1 (với tâm O 1 ) nên O 1 B “ R Lại do B P Ω 2 (với tâm
Vậy BO 1 ` BO 2 “ O 1 O 2 Đẳng thức này chứng tỏ O 1 , B, O 2 thẳng hàng Do
OO 1 O 2 là tam giác đều nên suy ra EBF là tam giác đều và do đó ABC cũng là tam giác đều Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 2.16 Cho tam giác ABC và điểm O không trùng với các đỉnh của tam giác GọiD, E, F, L, M, N lần lượt là trung điểm củaBC, CA, AB, OA, OB, OC. Chứng minh lục giác DN ELF M có tâm đối xứng.
Lời giải Bài toán yêu cầu chứng minh lục giác DN ELF M có tâm đối xứng tức là chứng minh DL, F N, M E đồng quy.
Hình 2.15 Vậy ta cần tìm giao điểm của hai đường thẳng DL và F N hay là tâm đối xứng
DL và F N dựa vào giả thiết các trung điểm bài toán đã cho.
Thật vậy, do D, N lần lượt là trung điểm của BC, OC nên theo định lí về đường trung bỡnh của tam giỏc ta cú ííẹ DN “ 1 2 ííẹ
BO Suy ra ííẹ DN “ í í ẹ
F L, tức là DN LF là hình bình hành nhận giao điểmI của hai đường chéo DL, F N là tâm đối xứng, hay phép đối xứng tâm D I pNq “ F, D I pDq “ L.
Tương tự ta có D I pMq “E.
Vậy các đường thẳng DL, F N, M E đồng quy tại I và lục giác DN ELF M có tâm đối xứng là I Ta đã chứng minh được bài toán trên.
2.2.2 Áp dụng phép đối xứng tâm vào bài toán cực trị
Bài toán 2.17 Cho góc xOy z ă 180 o và một điểm M thuộc miền trong của góc đó Qua M hãy dựng một đường thẳng cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OAB có diện tích nhỏ nhất.
Lời giải Gọi N là điểm đối xứng với O qua tâm M Dựng N A{{Oy, N B{{Ox ta có hình bình hành OAN B và M là trung điểm của đoạn AB Ta cần chứng minh tam giácOAB có diện tích nhỏ nhất QuaM ta vẽ một đường thẳng khác với đường thẳng AB cắtOx, Oy lần lượt tạiA 1 , B 1 Ta sẽ chứng minhS OAB ăS OA 1 B 1
Vì có duy nhất một đường thẳng qua M cắt Ox, Oy lần lượt ở A và B sao cho
M là trung điểm của đoạn AB nên M A 1 , M B 1 là hai đoạn thẳng không bằng nhau Giả sử M A 1 ą M B 1 Trên tia M A 1 ta lấy điểm E sao cho M E “ M B 1 thì
S M BB 1 “S M AE ăS M AA 1 Do đó ta suy ra S OAB ăS OA 1 B 1
2.2.3 Áp dụng phép đối xứng tâm vào bài toán dựng hình và quỹ tích
Bài toán 2.18 Cho góc xOy z và một điểm A thuộc miền trong của góc đó Hãy dựng đường thẳng đi qua A cắt cạnh Ox tại B, cắt cạnh Oy tại C sao cho A là trung điểm của đoạn BC.
Lời giải Gọi O 1 là điểm đối xứng của O qua tâm A và giả sử ta đã dựng được đường thẳng BC đi qua A cắt Ox tại B và cắt Oy tại C thỏa mãn các điều kiện của bài toán Khi đó ta có OBO 1 C là hình bình hành nhận A làm tâm Từ đó ta suy ra cách dựng sau:
- Dựng O 1 đối xứng của O qua tâm A.
- Dựng ảnh của tia Ox là O 1 x 1 qua phép đối xứng tâm A Tia này cắt cạnh Oytại C.
- Dựng ảnh của tia Oy là O 1 y 1 qua phép đối xứng tâm A Tia này cắt cạnh Oxtại
Như vậy đường thẳng BC đi qua A là đường thẳng cần tìm thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Bài toán 2.19 Cho hai đường tròn đồng tâm có chung tâm O và có bán kính R và r (giả sử R ąr) Hãy dựng đường thẳng qua điểm A trên đường tròn bán kính r cắt đường tròn nhỏ tại B và cắt đường tròn lớn tại C và D sao cho CD “3AB.
Lời giải Gọi O 1 là điểm đối xứng của O qua tâm A Phép đối xứng tâm A biến đường tròn tâm O bán kính r thành đường tròn tâm O 1 bán kính r tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại A Đường tròn tâm O 1 đó cắt đường tròn lớn tâm O cho trước tại C và C 1
Qua phép đối xứng tâm A điểm C là ảnh của một điểm B thuộc đường tròn nhỏ tâm O nên ta có AC “AB Đường thẳng AC cắt đường tròn lớn tâm O tại điểm thứ hai là D Ta có AC “BD và suy ra CD“3AB.
Tương tự đường thẳng AC 1 cắt đường tròn nhỏ tâm O tại B 1 và cắt đường tròn lớn tâm O tại D 1 Ta cũng có C 1 D 1 “3AB 1
Như vậy ta dựng được hai đường thẳng qua điểm A của đường tròn bán kính r thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Bài toán 2.20 Hãy dựng một hình bình hành ABCD cho biết hai đỉnh A, C; còn hai đỉnh B, D còn lại nằm trên một đường tròn tâmO bán kính R cho trước.
Lời giải Gọi I là tâm của hình bình hành ABCD cần dựng Ta nhận thấy điểm
I được xác định và là tâm đối xứng của hình bình hành.
GọipO 1 qlà ảnh của đường tròn tâmOqua phép đối xứng tâm I Vì hai điểmB, D nên ảnh của chúng theo thứ tự là D, B thuộc đường tròn pO 1 q Do đó ta có cách dựng sau đây:
- Tìm I là trung điểm của đoạn AC.
- Dựng ảnh của đường tròn tâm O qua phép đối xứng tâm là đường tròn tâm O 1
- Gọi B, D là giao điểm của hai đường tròn tâm O và tâm O 1
Ta nhận thấy hình bình hành ABCD nhận I làm tâm, thỏa mãn các yêu cầu bài toán nếu điểm I thuộc miền trong của đường tròn O cho trước.
Bài toán 2.21 Cho điểm P nằm bên trong tam giácABC Chứng minh rằng tồn tại duy nhất các điểm A 1 và A 2 lần lượt nằm trên các đường thẳngAB và CA sao cho P, A1, A2 thẳng hàng, đồng thời P A1 “ P A2 Tương tự, tồn tại duy nhất các điểm B 1 , B 2 , C 1 , C 2 tương ứng nằm trên các đường thẳng BC, AB, CA, BC sao cho P, B 1 , B 2 thẳng hàng, P, C 1 , C 2 thẳng hàng, P B 1 “ P B 2 và P C 1 “ P C 2 Hãy xác định điểm P sao cho các tam giác AA 1 A 2 , BB 1 B 2 , CC 1 C 2 có cùng diện tích, và hãy chứng tỏ rằng điểm P như thế được xác định một cách duy nhất.
Lời giải Gọi pLq là đường thẳng đối xứng với đường thẳng AB qua điểm P Khi đó, vì A 1 thuộc AB nên A 2 thuộc pLq Suy ra A 2 là giao điểm của đường thẳng
AC với pLq Một điểm như thế ắt là phải tồn tại, vởi vì pLq song songAB, còn AB và AC cắt nhau Hiển nhiên điểm này cũng duy nhất Lấy đối xứng của A 1 qua P ta được A 2
Hình 2.20Như vậy, các điểm A i , B i , C i pi “ 1, 2, 3q thẳng hàng và được xác định một cách duy nhất.
Áp dụng phép tịnh tiến
2.3.1 Áp dụng của phép tịnh tiến trong các bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học
Bài toán 2.23 Cho hình thang ABCD pBC {{ ADq, biết tổng hai đáy lớn hơn tổng hai cạnh bên Gọi M là giao điểm của các đường phân giác trong của các góc
Apvà B, p N là giao điểm của các đường phân giác trong của các gócC p và D Chứng p minh rằng
Lời giải Do M là giao điểm của hai đường phân giác các góc A p và B p Suy ra M cách đều hai đáy BC và AD.
Hình 2.23 Tương tự ta có N cũng là điểm cách đều hai đáy BC và AD Suy ra M N{{AD.
Ta xột phộp tịnh tiến Tí íí ẹ
M N Trong phép tịnh tiến này ta có điểm M biến thành
N, B biến thành B 1 , B 1 thuộc BC, A biến thành A 1 , A 1 thuộc AD Vậy B x 1 biến thành B y 1 1 , B x 2 biến thành B y 1 2 , A x 1 biến thành y A 1 1 , A x 2 biến thành y A 1 2 Từ đó suy ra B y 1 1 “ Bx 2 , A y 1 1 “Ax 2 (do B x 1 “Bx 2 , A x 1 “Ax 2 ) nên N là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác A 1 B 1 CD Vậy A 1 B 1 `CD “B 1 C `A 1 D (*).
Theo trờn suy ra BB 1 “ AA 1 “ M N Mặt khỏc, ta xột phộp tịnh tiến Tí íí ẹ
BA biến thành B 1 A 1 suy ra BA “ B 1 A 1 Vì thế từ (*) ta suy ra
AB ` CD “ p BC ´ M Nq ` pAD ´ M Nqhay2M N “ BC ` AD ´ p AB ` CDq.
Bài toán 2.24 Cho hình bình hànhABCD và điểmM sao choC nằm trong tam giác M BD Giả sử M BC { “M DC{ Chứng minh rằng AM D { “BM C{.
Lời giải Xột phộp tịnh tiến Tí í ẹ
BA, khi đó điểm M biến thành M 1 , B biến thành
A, C biến thành D (do ABCD là hình bình hành) Suy ra M C biến thành M 1 D nên M C {{ M 1 D và M C “ M 1 D Do đó DCM M 1 là hình bình hành.
Xột phộp tịnh tiến Tí í ẹ
BA thì M BC { biến thành M { 1 AD Vậy M BC { “ M{ 1 AD (2). Theo giả thiết ta có M BC { biến thành M { 1 AD.
Từ (1) và (2) ta suy ra DM M { 1 “ M { 1 AD Do đó AM M 1 D là tứ giác nội tiếp Và như vậy AM D { “AM{ 1 D (3).
Mặt khỏc, xột phộp tịnh tiếnTí í ẹ
BAthìBM C { biến thànhAM { 1 DnênBM C { “AM{ 1 D (4).
Từ (3), (4) suy ra AM D { “BM C.{
Bài toán 2.25 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
AB, BC, CD, DA Giả sử M P `N Q “ p, ở đây p là nửa chu vi của tứ giác. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
BC và giả sử điểm D biến thành E Theo tính chất của phép tịnh tiến ta cú ííẹ DE “ ííẹ
BC Do P là trung điểm của CD, suy ra B, P, E thẳng hàng.
Trong tam giác BAE vì M N là đường trung bình nên M N “ 1 2 AE Vậy BCED là hình bình hành.
Trong tam giác ADE ta có AE ď AD`DE Do đó M P ď 1 2 pAD`BCq (1). Dấu 2 “ 2 xảy ra khi và chỉ khi A, D, E thẳng hàng hay AD{{BC.
Tương tự, ta có N Q ď 1 2 pAB ` CDq (2).
Dấu 2 “ 2 xảy ra khi và chỉ khi AB {{ CD.
Từ (1) và (2) suy ra M P `N Q ďp (3).
Hình 2.25 Dấu 2 “ 2 xảy ra khi và chỉ dấu 2 “ 2 trong (1) và (2) xảy ra tức là ABCD là hình bình hành.
Theo giả thiết ta có M P ` N Q “ p nên tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài toán 2.26 ChoM ABC Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là trung điểm của ba cạnh
BC, CA, AB Gọi O 1 , O 2 , O 3 và I 1 , I 2 , I 3 tương ứng là tâm các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của ba tam giác AB 1 C 1 , BC 1 A 1 , CA 1 B 1 Chứng minh rằng
Lời giải Xột phộp tịnh tiến theo vectơ 1 2 í AB í ẹ khi đú điểm A biến thành C 1 , điểm
Hình 2.26Vậy theo tính chất của phép tịnh tiến ta suy ra tam giác MAC 1 B 1 biến thành tam giỏc M C 1 BA 1 và điểm O 1 biến thành O 2 , I 1 biến thành I 2 Như vậy í O ííí 1 O ẹ 2 “ ííẹ
I 1 I 2 Lập luận tương tự bằng cỏch xột cỏc phộp tịnh tiến theo vectơ 1 2 ííẹ BC, 1 2 í CA Suy í ẹ ra í O ííí 2 O ẹ 3 “ ííẹ
I 3 I 1 Từ đó ta có M O 1 O 2 O 3 “MI 1 I 2 I 3
2.3.2 Áp dụng phép tịnh tiến vào bài toán cực trị
Bài toán 2.27 Cho tam giác ABC có các trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh rằng trong ba trung tuyến này, trung tuyến lớn nhất nhỏ hơn tổng của hai trung tuyến còn lại.
Lời giải Tịnh tiến theo vectơ ííẹ DC, ta cú ảnh của AD là KC Vỡ ADCK là hỡnh bình hành nên E là trung điểm của DK.
Ta có BF{{DE và BF “ DE “ EK Do đó BEKF là hình bình hành và ta có
Vậy tam giác KF C có ba cạnh KF, F C, CK lần lượt bằng các trung tuyến
BE, CF, AD của tam giác ABC Dễ dàng suy ra trung tuyến lớn nhất nhỏ hơn tổng của hai trung tuyến còn lại.
Bài toán 2.28 Có hai bến xe A, B nằm về hai phía của một con sông Hai bờ sông biểu thị hai đường thẳng x, y song song với nhau Hỏi phải xây dựng cầu
CD vuông góc với hai bờ sông và hai con đường AC, DB ở vị trí nào để đường gấp khúc ACDB nối A với B là ngắn nhất?
Lời giải Ta hãy xét trường hợp bất kì nối hai bến xe A, B bằng đường gấp khúcACDB Tịnh tiến đoạn thẳng CD theo vectơ í CA í ẹ tới vị trớ AM.
Hình 2.28 Đoạn thẳng M B cắt đường thẳng y tại D 1 Dựng ảnh của đoạn thẳng AM qua phộp tịnh tiến theo vectơ íííẹ M D 1 ta được ảnh là C 1 D 1 Lỳc đúAC 1 D 1 B là đường gấp khúc ngắn nhất vì độ dài đường gấp khúc này bằng AM `M B, còn độ dài đường gấp khúc ACDB thì bằng độ dài đường gấp khúc AM DB Ta có
Bài toán 2.29 Cho hình lục giácABCDEF thỏa mãn các điều kiện sau: tam giác ABF vuông cân tại A, tứ giác BCEF là hình bình hành, BC “ 19, AD “ 2013 và DC ` DE “ 1994 ? 2 Hãy tính diện tích lục giác ABCDEF.
Lời giải Xột phộp tịnh tiến Tííẹ
BC Khi đó điểm A biến thành K, B biến thành C và F biến thành E Ta có tam giác CKE vuông cân tại K nên KC “KE “ CE ? 2 Suy ra KC CE “ ?
2. Áp dụng bất đẳng thức Ptoleme cho tứ giác CKED ta có
KC.DE`CD.KE ěCE.KD p˚q ủ pDE ` CDqKE ě CE.KD Nờn DE ` DC ě KD KE CE ủ 1994 ? 2 ě KD ? 2 ủ KD ď 1994.
Mặt khác AK “ BC “ 19 nên AD ď AK ` KD ď 19 ` 1994 “ 2013 “ AD.
Do KD “ 1994 nên bất đẳng thức Ptoleme (*) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi
C, K, E, D cùng thuộc một đường tròn.
Suy ra CDE { “CKE{ “90 o và DE `DC “1994 ? 2.
Hình 2.29 Đặt α “ pKD, CE{ q Ta có
“BC.CE.sinα ` 1 2 CE.KD.sinα
KDC{ “ KED { “ 45 o Suy ra DCE { “α´CDK{ “α´45 o và CED { “180 o ´ pα`45 o q Do đó
1994 ? 2“DE `DC “ EC ´ sinDCE { `sinDEC { ¯
“2EC.sinα.cos π 4 “ EC ? 2.sinα Suy ra EC.sinα “ 1994 Vậy S ABCDEF “ 2025904.
Bài toán 2.30 Trong số các tứ giác lồi có độ dài hai đường chéo bằng m, n và góc tạo bởi hai đường chéo đó bằng α (m, n, α là các đại lượng cho trước) tứ giác nào có chu vi nhỏ nhất ?
Lời giải Kí hiệu ABCD là tứ giác lồi thỏa mãn bài toán.
Thực hiện phộp tịnh tiến Tííẹ
BD thì điểm A biến thành A 1 , C biến thành C 1 Khi đú í AB í ẹ “ í íí ẹ
Ta có AB `BC `CD`DA “ DA`DC 1 `DC `DA 1 ě AC 1 `A 1 C “ m`n không đổi.
Dấu 2 “ 2 trong bất đẳng thức xảy ra khi D là giao điểm các đường thẳng AC 1 và
Trong trường hợp tứ giác ACC 1 A 1 là hình bình hành kéo theo tứ giác ABCD là hình bình hành.
2.3.3 Áp dụng phép tịnh tiến vào bài toán dựng hình và quỹ tích
Bài toán 2.31 Cho hai đường thẳng d và d 1 cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó Hãy tìm một điểm M trên d và một điểm M 1 trên d 1 sao cho tứ giác ABM M 1 là một hình bình hành.
Lời giải Giả sử ta dựng được hình bình hành ABM M 1 thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Ta nhận thấy rằng M 1 là ảnh của điểm M qua phộp tịnh tiến theo vectơ í BA í ẹ Mặc khác M 1 phải nằm trên d 1 Do đó ta chỉ cần tìm M 1 là giao điểm của đường thẳng d 1 với đường thẳng ảnh d 2 của dqua phộp tịnh tiến theo vectơ í BA í ẹ núi trờn.
Hình 2.31 Điểm M thuộc d và được xỏc định sao cho í M ííí 1 M ẹ “ í í ẹ
Khi đó ta được hình bình hành ABM M 1 thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Bài toán 2.32 Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M chạy trên đường tròn đó Cho một đoạn thẳng AB có các mút A và B không nằm trên đường tròn cho trước Tìm tập hợp các điểm M 1 là đỉnh còn lại của hình bình hành ABM M 1 khi điểm M chạy trên đường tròn cho trước.
Lời giải Giả sử ta đã có hình bình hành ABM M 1 có đỉnh M thuộc đường tròn tâm O cho trước.
BA Điểm M 1 là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ í í ẹ
BA Khi đó khi M vẽ nên đường tròn tâm O bán kính OM “ R thì điểm M 1 sẽ vẽ nên đường tròn tâm O 1 bán kính O 1 M 1 “ R Để tìm tâm O 1 ta cần dựa vào hệ thức ííẹ OO 1 “ í BA í ẹ
Vậy tập hợp các điểm M 1 là đỉnh còn lại của hình bình hành ABM M 1 khi M chạy trên đường tròn tâm O cho trước là đường tròn ảnh của đường tròn tâm O qua phộp tịnh tiến theo vectơ ẹ í v “ í í ẹ
Bài toán 2.33 Cho đường tròn tâm Obán kính R và hai điểmB, C cố định trên đường tròn đó Một điểm A di động trên đường tròn cho trước Hãy tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.
Lời giải Ta vẽ đường kính BD.
Vì AHKBC và DCKBC nên AH{{DC.
Tương tự, vì CHKAB và DAKAB nên CH{{DA.
Áp dụng phép quay
2.4.1 Áp dụng của phép quay trong các bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học
Bài toán 2.36 Cho tam giácABC Trên các cạnhAB, AC ta dựng ra phía ngoài các hình vuông ABM N và ACP Q. a) Chứng minh N CKBQ và N C “BQ. b) Gọi M 1 là trung điểm của BC Chứng minh AM 1 K QN và AM 1 “ N Q 2
Lời giải a) Với phép quayQ π 2
A ta biến điểmN thành điểm B, điểm C thành điểm
Q Do đó đường thẳng N C biến thành đường thẳng BQ.
Hình 2.36 b) Gọi B 1 là điểm đối xứng với B qua tâm A ta có AM 1 {{B 1 C (do AM 1 là đường trung bình của tam giác BCB 1 ) Qua phép quay Q π 2
A nói trên điểm C biến thành điểmQvà điểmB 1 biến thành điểmN Do đó đường thẳngCB 1 KQN vàAM 1 KQN.
Vì N Q “CB 1 mà AM 1 “ CB 2 1 nên AM 1 “ N Q 2
Bài toán 2.37 Cho một điểm M chuyển động trên một nửa đường tròn tâm O đường kính AB “ 2R Dựng ra ngoài tam giác AM B một hình vuông M BCD. Hãy tìm quỹ tích của đỉnh khi vạch ra nửa đường tròn nói trên Trên tia Bxvuông góc với AB tại B và nằm cùng phía với nửa đường tròn, ta lấy điểm O 1 sao cho
BO 1 “BO Chứng minh OMKO 1 C.
Hình 2.37 Theo giả thiết ta có BM “ BC và ´ í íí ẹ
BM , ííẹ BC ¯ “ ´ π 2 ` k2π Với phộp quay tõm B góc quay α “ ´ π 2 ta có C là ảnh của M Do đó khi điểm M vạch nửa đường tròn đường kính AB thì điểm C vạch nửa đường tròn đường kính A 1 B với A 1 là ảnh của A trong phép quay Q ´ π 2
B nói trên Ta dễ dàng chứng minh được đó là quỹ tích của điểm C cần tìm Nửa đường tròn này là ảnh của nửa đường tròn đường kính
AB đã cho qua phép quay Q ´ π 2
B điểm M biến thành điểm C, điểm O biến thành O 1 nên ta suy ra OM K O 1 C.
Bài toán 2.38 Cho ABCD là một tứ giác lồi sao cho AC “ BD Trên các cạnh
AB, BC, CD, DA dựng các tam giác đều có tâm lần lượt là O 1 , O 2 , O 3 , O 4 Chứng minh rằng O 1 O 3 vuông góc với O 2 O 4
Lời giải Cho MADE và M CDF là các tam giác lần lượt dựng trên AD và DC. Cũng dựng các tam giác đều M GDE và M HDF lần lượt trên DE và DF Nếu ta quay tứ giác O 1 ADO 3 một góc 30 o quanh tâm A và kéo dài cạnh của nó lên gấp ? 3 lần thì sẽ nhận được một tứ giác mới là BAGM Khi đó, ta biết rằng
3DO 3 “ DF và GM{{DF Suy ra tứ giác GDF M là hình bình hành. Thực hiện tương tự, ta nhận được tứ giác BCHN, trong đó HDEN là hình bình hành.
Dễ thấy rằng, khi quay hình bình hành GDF M một góc 60 o quanh tâm D, nó sẽ biến thành hình bình hành EDHN, suy ra DN “DM và M DN { “60 o
Ta lại có: DGM { “180 o ´GDF{ “ADC, GD{ “AD và GM “DC.
Nghĩa là MDGM “M ADC và DM “AC.
Hình 2.38 Nhưng thế thì DM “DN “DB và ta có thể kẻ đường tròn tâm D bán kính DM đi qua các điểm M, N và B Ta biết rằng góc ở tâm chắn dây M N chính là góc
M DN, nghĩa là N BM { “ 30 o Các đoạn BM và BN có được bằng cách quay lần lượt các đoạn O 1 O 3 và O 2 O 4 một góc 30 o
Suy ra, các đoạn nhận được phải vuông góc với nhau, tức là O 1 O 3 K O 2 O 4
Bài toán 2.39 Các điểm C 1 , A 1 và B 1 tương ứng nằm trên các cạnh AB, BC và CA của tam giác đều ABC sao cho bán kính các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác C 1 AB 1 , B 1 CA 1 , A 1 BC 1 và A 1 B 1 C 1 đều bằng nhau Chứng minh rằng:
Lời giải Ta sẽ chứng minh rằng BA 1 “CB 1 “AC 1
Giả sử ngược lại rằng BA 1 ěCB 1 ąAC 1 Gọi ρ là phép quay góc 120 o với tâm là tâm của đường tròn nội tiếp MABC Phép quay này biến đường tròn nội tiếp các tam giác C 1 BA, A 1 CB 1 , B 1 AC 1 lần lượt thành các đường tròn nội tiếp của các tam giác A 1 CB 1 , B 1 AC 1 và C 1 BA 1
Giả sử A 2 “ ρpA 1 q, B 2 “ ρpB 1 q, C 2 “ ρpC 1 q Suy ra BB 2 ă BC 1 và BC 2 ă BA 1
Mà đường tròn nội tiếp các tam giác BC 1 A 1 và BC 2 B 2 có cùng bán kính (do ρpM AC 1 B 1 q “M BC 2 B 2 ), nên điều này mâu thuẫn.
Hình 2.39 Vậy BA 1 “CB 1 “AC 1
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác C 1 AB 1 , B 1 CA 1 , A 1 BC 1 và
Từ tam giác B 1 AC 1 ta có (giả sử AB “ BC “ CA “ 1): r “ 1 2 p1 ´ B 1 C 1 q.
Từ tam giác đều A1B1C1 ta lại có r“B1C1.
6 Suy ra B1C1 “ 1 2 , từ đó ra có điều phải chứng minh.
Bài toán 2.40 Cho đường tròn pOq nội tiếp trong tam giác ABC, các tiếp điểm thuộc AB, BC, CA lần lượt là I, J, K Chứng minh rằng í í ẹ
OA.sinA ` ííẹ OB.sinB ` í OC í ẹ sinC “ ẹ í 0.
Lời giải Vì OIKAB và OKKAC nên tứ giác AIOK nội tiếp trong đường tròn đường kính AO, Như thế, tam giác AIK nội tiếp trong đường tròn này, do dó
Ngoài ra, tam giác AIK cân và AOKIK (2)
Xét phép quay tâm O, góc quay ´90 o , qua phép quay này điểm I biến thành I 1 ,
J biến thành J 1 , K biến thành K 1 Từ đó suy ra
Từ (2) và (3) ta suy raI 1 K 1 {{AO (5)
Từ (1) và (4) ta cóI 1 K 1 {{OA.sinA (6)
(5) và (6) cho ta íííẹ K 1 I 1 “ í OA í ẹ sinA Hoàn toàn tương tự ta cũng cú ííẹ I 1 J 1 “ ííẹ OB.sinB và íííẹ J 1 K 1 “ í OC í ẹ sinC Sau cựng, từ íííẹ K 1 I 1 ` ííẹ I 1 J 1 ` íííẹ J 1 K 1 “ ẹ í 0 ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 2.41 Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta vẽ hai tia Ax, Ay đi qua miền trong của hình vuông đó Giả sử các điểm M, K là hình chiếu của các điểm
D, B lên Ax; L, N tương ứng là hình chiếu của B và D lên Ay Chứng minh rằng các đoạn thẳng KL, M N vuông góc với nhau và bằng nhau.
Lời giải Để chứng minhKL K M N vàKL “ M N, ta cần chứng minh tồn tại phép quay Q, góc quay 90 o biến K thành M và L thành N.
Hình 2.41 Thật vậy, từ điều kiện của bài toán suy ra các tam giácABK vàDAM bằng nhau. Qua phép quay Q tâm O (tâm của hình vuông), góc quay 90 o , B biến thành A, A thành D và do phép quay bảo tồn góc nên suy ra ảnh của điểm K là điểm M. Lập luận tương tự, phép quay Q 90 O o biến điểm L thànhN.
Từ đó suy ra KL K M N và KL “ M N.
2.4.2 Áp dụng phép quay vào bài toán cực trị
Bài toán 2.42 Cho tam giác ABC Tìm trên mặt phẳng chứa tam giác điểm M nằm trong tam giác sao cho M A`M B`M C đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải Giả sử M là một điểm tùy ý trong tam giác ABC Xét phép quay
Q pB,´60 o q , khi đó điểm C biến thành C 1 , M biến thành M 1 Do đó BM “ BM 1 và
M BM{ 1 “ 60 o Suy ra tam giác M BM 1 là tam giác đều nên BM “M M 1 (1). Mặt khác theo tính chất của phép quay thì CM “C 1 M 1 (2).
Vì C 1 là một điểm cố định nên từ (3) ta có M A ` M B ` M C ě AC 1 Vậy
M A`M B`M C đạt giá trị nhỏ nhất bằng AC 1 khi A, M, M 1 , C 1 thẳng hàng.Bây giờ ta tìm vị trí điểmM Giả sửM 0 là điểm thỏa mãn điều kiệnA, M o , M 1 0 , C 1 thẳng hàng Xét phép quay Q pB,´60 o q , khi đó điểm M 0 biến thành M 1 0 và điểm C biến thành C 1 Suy ra đoạn thẳng M 0 C biến thành M 1 0 C 1 Do đó góc giữa hai đường thẳng M 0 C và M 1 0 C 1 bằng 60 o
Hình 2.42 Mặt khác vì tam giác BM 0 M 1 0 đều nên BM { 0 M 1 0 “60 o và BM { 0 C “120 o
Chứng minh tương tự ta có AM { 0 B “ 120 o và AM { 0 C “ 120 o Do đó M 0 là giao của ba cung chứa góc 120 o dựng trên ba cạnh AB, BC, CA Vậy điểm cần tìm là điểm M 0 xác định như trên.
Bài toán 2.43 Hai đường tròn bằng nhau pO, Rq và pO 1 , Rq cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAO { 1 “ 120 o Trên đường tròn pO, Rq ta lấy điểm
Ứng dụng vào thực tiễn
Phép dời hình đóng vai trò quan trọng trong thực tế cuộc sống và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: nghệ thuật, đồ họa, kiến trúc, xây dựng, y tế, kỹ thuật hình ảnh, công nghệ thông tin, Ngoài việc nghiên cứu về những áp dụng của phép dời hình trong việc giải toán hình học phẳng, trong chương này tôi xin giới thiệu về một ứng dụng của phép dời hình trong thực tiễn, đó là: Tessellation.
Tessellation là một mô hình lát mặt phẳng tạo ra bởi các mảnh ghép giống hệt nhau mà không có sự chồng chéo và không có khoảng trống giữa các mảnh ghép. Các mảnh ghép giống hệt nhau như vậy được gọi là các mảnh ghép đơn vị Từ
“tessellation” xuất phát từ “tessella” trong tiếng Latin, có nghĩa là một khối lập phương nhỏ hoặc một viên gạch.
Hình 2.50 Nếu để ý kĩ, bạn sẽ dễ dàng nhận ra có những quy tắc chi phối các hoạ tiết này. Khái niệm toán học thường gặp trong tessellation đó là tính đối xứng Khác với định nghĩa đối xứng trục hay tâm trong một hình, tính đối xứng trong tessellations được gọi là đối xứng mặt phẳng (plane symmetries) hay sự dịch chuyển hình học (geometric transformations) Có ba loại đối xứng cơ bản trong mặt phẳng: tịnh tiến, xoay và lật.
• Tịnh tiến – translation: di chuyển đối tượng cùng 1 hướng với cùng 1 khoảng cách.
• Xoay – rotation: xoay đối tượng từ cùng một điểm, với cùng một góc.
• Lật – reflection: tạo ra một hình ảnh phản chiếu của một hình qua một đường thẳng Một biến thể từ lật là glide reflection: lật – trượt: có được khi di chuyển hình phản chiếu dọc trục đối xứng thêm một đoạn.
Hình 2.51 Tessellations có thể được tìm thấy trong nhiều nền văn hóa trên khắp thế giới và dưới nhiều hình thức khác nhau Các kết quả khảo cổ đã chỉ ra tessellation xuất hiện từ khoảng 4000 năm TCN ở nền văn minh Sumer, nơi bức tường của các ngôi đền được nạm khắc với thiết kế lưới tổ ong từ những mảnh đất sét cứng. Tessellations cũng được tìm thấy trong rất nhiều yếu tố nghệ thuật của các nền văn hóa bao gồm: Ả Rập,Trung Quốc, Ai Cập, Hy Lạp, Nhật Bản, Ba Tư và La
Mã Đóng góp đáng kể nhất cho sự phát triển của Tessellation phải kể đến đó là của họa sĩ đồ họa người Hà Lan,MC Escher (1898-1972) Trong suốt cuộc đời của mình, ông luôn tự cho rằng mình” tuyệt đối ngây thơ trong việc tìm hiểu các môn khoa học chính xác” Thậm chí khi còn là một đứa trẻ, Escher đã mê mẩn với tính trật tự và sự đối xứng Các công trình của Escher được các nhà toán học có uy tín, các nhà khoa học và tinh thể học đánh giá cao, mặc dù ông không được đào tạo một cách bài bản về khoa học hay toán học Nhiều tác của Escher đã trở thành những ý tưởng quan trọng cho nghiên cứu của các nhà toán học và tinh thể học trong lĩnh vực đối xứng màu.
Mỗi một tác phẩm tesselltion chính là một tác phẩm nghệ thuật mà ở đó các họa tiết được sắp xếp và tạo thành từ các phép biến hình Chính vì vậy, có thể nói tessellation là sự giao thoa giữa Toán học và nghệ thuật.
Kết luận Đề án đã trình bày và đạt được một số kết quả quan trọng sau:
• Trình bày một số kiến thức cơ bản của phép dời hình trong mặt phẳng, trong đó có các tính chất quan trọng là: Định lý 1.1, Hệ quả 1.2, Định lý 1.4, Định lý 1.8 và Định lý 1.17.
• Giới thiệu một số bài tập cơ bản đến các bài toán khó trong các kì thi có thể sử dụng phép dời hình để giải quyết bài toán Ứng với mỗi phép dời hình đều được phân ra ba dạng toán đó là:
- Áp dụng vào các bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học.
- Áp dụng vào bài toán cực trị.
- Áp dụng vào bài toán dựng hình và quỹ tích.
• Nêu được các ứng dụng quan trọng của phép dời hình trong thực tiễn cuộc sống.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nỗ lực trong việc tìm tòi và nghiên cứu nhưng do kiến thức còn hạn chế và thời gian không cho phép nên đề tài này không thể tránh khỏi thiếu sót cả về nội dung lẫn hình thức Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ phía các thầy cô giáo và các bạn học viên để đề tài được hoàn thiện hơn.