Các phương pháp truyền nhiệt docx

Nội dung cơ bản của các phương pháp giải tích ý tưởng của Fourier là chuyển phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thành một số phương trình vi phân thường tương đương, bằng cách tách bi

§¹i häc §µ N½ng Tr−êng §¹i häc b¸ch khoa Khoa c«ng nghÖ nhiÖt ®iÖn l¹nh

PGS, TS NguyÔn Bèn

C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh

truyÒn nhiÖt

- §µ N½ng - 2001 -

Chương 1: Mô hình bài toán dẫn nhiệt

ωrcác phân tử trong hai lớp như nhau

Do đó, trong thời gian dτ, số phân tử ở

R = 3

1(no N

à) (2 à

iR) = 3 1

ρco nên

* Khi dS cã vÞ trÝ bÊt kú th× q = - λ gradT

hay d¹ng vect¬ dßng nhiÖt lµ qr= - λ grradT

kT 8

c 3

3 2

q λ

q ω

q ω λ

ρ

C dV

V

O

[Lượng nhiệt phát sinh trong dV] - [Thông lượng nhiệt qua dV]= [Biến thiên entanpy của dV]

do đó: divqr = div (ρcpωrt- λgrr ), coi (ρ, cadt p) = const ta có :

divqr = ρcp div (tωr) - div (λgrr ) adt

= ρcp (tdiv ωr + ωr gr ardt) - λdiv (grr )- adt grr adt grradλ

= ρcp (tdiv ωr + ωrgrr ) - λ∇adt 2

t - grr adt grradλVậy phương trình có dạng:

τ

∂

∂t

= p c

dx+ dy

dt τ d

dy+ dz

dt τ d

dz =

τddt

nên phương trình vi phân dẫn nhiệt sau khi đặt a =

Cp ρ

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂

⋅ +

∂

∂

⋅ +

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

) , , (

sin sin

cos 2

) , , (

1 1

) , , (

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2 2

2

2

2 2

2 2 2

ϕ θ ϕ

θ θ

θ

θ θ

ϕ ϕ

r trong r

t t

r r

t r

t r r t

z r trong z

t t r r

t r r t

z y x tọa trong z

t y

t x t

1.2.3 Các dạng đặc biệt của phương trình vi phân dẫn nhiệt

* Với vật rắn, ωr = 0, phương trình có dạng:

dt

a

(trong tọa độ vuông góc (xyz))

(trong tọa độ trụ (rϕz))

(trong tọa độ cầu (rθϕ))

Theo nội dung, các ĐKĐT đ−ợc phân ra 4 loại sau:

1 Điều kiện hình học: Cho biết mọi thông số hình học đủ để xác

1.3.3 Các loại điều kiện biên (ĐKB)

Tại mỗi miền Wi của mặt biên kín W = ∑Wi, tuỳ theo cách phân

bố t hoặc cách trao đổi nhiệt, ta có thể cho biết các loại ĐKB sau đây:

1 ĐKB loại 1: Cho biết luật phân bố nhiệt độ t tại mọi điểm M1 ∈

W1 ở mọi thời điểm:

3 ĐKB loại 3: Cho biết biên W3 tiếp xúc chất lỏng có tf, α và toả nhiệt ra chất lỏng theo luật:

1.3.4 ý nghĩa hình học của các loại ĐKB

Dạng đường cong phân bố nhiệt độ t(x, y, z, τ) tại lân cận biên W,

dτ

5

dx dτ

x

0 x5

tuỳ theo cách cho ĐKB, sẽ có các đặc điểm hình học sau đây:

t o

t(M) đi qua một điểm cố

= 0 β

Các tiếp tuyến của t(M) tại

W song song, góc β = const

− /

t

x V

tfR

λ α

Các tiếp tuyến của t(M) tại

W3 qua điểm R(

α

λ, tf)

δ

x V

W5 di chuyển với tốc độ

ω = τd

dx5

H4 Minh hoạ ý nghĩa hình học các ĐKB

1.4 Mô hình một bài toán dẫn nhiệt

Mô hình toán học của một bài

−λ tn w

x -1 q(M, )τ 2

Chương 2: các Phương pháp giải tích

2.1 phép chuẩn hoá và định lý hợp nghiệm:

2.1.1 Nội dung cơ bản của các phương pháp giải tích

ý tưởng của Fourier là chuyển phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thành một số phương trình vi phân thường tương đương, bằng cách tách biến, tìm nghiệm riêng ổn định và biến thiên hằng số

Các cách trên được sử dụng tuỳ thuộc tính thuần nhất hay không thuần nhất của phương trình dẫn nhiệt và phương trình vi phân mô tả các điều kiện biên

2.1.2 Phương trình vi phân thuần nhất và không TN

- Định nghĩa: Phương trình vi phân F(t, tx, txx) = 0 được gọi là thuần nhất khi: nếu t là nghiệm của phương trình thì ct, ∀c =const, cũng là nghiệm của F(t, tx, txx) = 0

- Ví dụ: tτ = atxx, tx(0,τ) = -

λ

αt(0,τ) là TN

tτ = a∇2t +

c v

q

ρ , tx (L, τ) = ưα

λ [t(L, τ) - tf] là không TN Nhận xét: Phương trình truyền nhiệt không chứa số hạng tự do, như qv và tf, là phương trình thuần nhất

i Citicũng là nghiệm của bài toán TN đó, ∀Ci = const

2.1.4 Phép chuẩn hoá

- Định nghĩa: Phép chuẩn hoá một hệ phương trình là cách đổi các biến và thông số có thứ nguyên thành các biến và thông số không thứ nguyên

- Lợi ích của phép chuẩn hoá là đơn giản hệ phương trình và cách

giải, khiến cho nghiệm có tính tổng quát, không phụ thuộc các đại lượng có thứ nguyên, và trong vài trường hợp, có thể thuần nhát hoá các điều kiện biên không thuần nhất

- Ví dụ: Bài toán làm nguội tấm phẳng với 2 biên Wo/W3 có mô hình:

α

ư

= τ δ

= τ

=

∂

∂

= τ

∂

∂

) W ( ) TN 0 ( ] t ) , ( t [ )

, (

t

) W ( ) TN ( 0

) , 0 (

t

) DKD ( t

) 0 , x

(

t

) FT ( ) TN ( x

t a t

3 f

x

o x

o 2 2

2

f o f

a F

x X

t t

t t

và đặt B =

λ αδ

∂

∂( x

t

∂

∂

) = X

∂

∂ (δ

ư f

o t t

X∂

θ

∂)

)(0

),0(

1)0,(

2 2

TN F

B F

TN F

X

X F

x

x

θθ

θ

θ

θθ

Bài toán (θ) có hai điều kiện biên ở dạng thuần nhất

2.2 Phương pháp tách biến Fourier

2.2.1 Nội dung phương pháp Fourier

Là tìm nghiệm ở dạng tách biến, như là tích của một hàm của tọa

độ với một hàm của thời gian

Nhờ đó có thể chuyển một phương trình đạo hàm riêng thành hệ hai phương trình vi phân thường tương đương

Phương pháp này thường dùng để giải các hệ phương trình thuần nhất

2.2.2 Cách giải các bài toán thuần nhất

Các bài toán thuần nhất có thể giải bằng phương pháp tách biến Fourier theo các bước: tách biến phương trình vi phân DN tìm nghiệm tổng quát, xác định các nghiệm riêng theo các ĐKĐT, hợp nghiệm

Đó là các bước của phương pháp tách biến

2.2.3 Ví dụ: Bài toán làm nguội tấm phẳng biên (W 2 +W 3 )

1 Phát biểu bài toán:

Cho vách phẳng có δ, a, λ, to = t(x,0) cách nhiệt tại x = 0, toả nhiệt tại x = δ ra môi trường tf, α Tìm trường t (x, τ)

α

ư

= τ δ

= τ

=

=

τ

] t ) , ( t [ )

, (

t

0 ) , 0 (

t

t ) 0 , x

(

t

at t

f x

x

o xx

λ τ

θ =

f o

f

t t

t t

δ

τ, B =

, 1 (

0 ) , 0 (

1 ) 0 , (

F B F F x

x

x

xx F

θ θ

θ

θ

θ θ

3 Tách biến bằng cách tìm nghiệm dạng θ(X,F) = X(x) F(F) Thay vào θF=θxx có X(x) F'(F) = X"(X) F(F) hay

) X ( X

) X (

"

X

=

) F ( F

) F (

"

F

= -k2(do 2 hàm độc lập), chuyển thành 2 phương trình vi phân thường:

+

=

→

=+

ư F k 2

2 1

2

2

e)F(F0)F(Fk)

k sin

k cos

= cotgk =

B

k, phương trình này có vô số nghiệm ki, i = 1 ữ n Các

nghiệm riêng thoả mãn ĐKB có

H7 Giải phương trình cotg k =

B k

nghiệm hợp là θ(X,F) = ∑∞

=

ư 1

i

F i k i

i cos k Xe c

- Điều kiện đầu θ(X,0) = 1 → ∑cicoskiX=1 → coski X∑∞

1 cicos kiX=

coskiX → ∫1

0

i XdX k

0

i i

i X c cos k X dX k

k k

4

2 sin

2 +

→ ci =

i i

i

k2sink

2

ksin4+

Vậy nghiệm bài toán là:

θ(X,F) = 4 ∑∞

= 1 +

i k sin k 2

k sin

1

F=0 1

= 0 τ

3 Tìm nghiệm v của bài toán (v) bằng phương pháp tách biến, sau

đó lập nghiệm của bài toán (θ) đã cho là θ = θ + v

2.3.3 Ví dụ: Bài toán gia nhiệt vách phẳng biên (W 1 )

1 Phát biểu BT: Cho vách phẳng có δ, a, λ, t(x,0) = to = t(δ, τ) và

F = 0

θ

= τ

=

=

τ

o o o xx

t ) ,

(

t

t 2 ) ,

0

(

t

t ) 0 ,

x

(

t

at t

=

−

= θ

2

o o

a F

x X t

t t

to

δ

W12to

W'1

H10 Bµi to¸n (2.3.3) bµi to¸n (t) trë thµnh d¹ng chuÈn ho¸ (θ) nh− sau:

+

=

= θ

+

= θ

→ θ

=

= θ

2

2 1

2 1 xx

c 1 ) 0 (

c c 0 ) 1 (

c X c 0

− θ

=

=

−

= θ

− θ

=

−

= θ

− θ

=

= θ

−

= θ

= θ

=

) TN ( 0 1 1 ) 0 ( ) F , 0 ( )

= 2

cn → cn =

π

ư n

) X n sin( ( n ) F

e π

Do đó, nghiệm bài toán (θ) đã cho là: θ(X,F) = θ(X) + σ(X,F)

= 0

2t o

o o

Phương pháp biến thiên hằng số thời gian An(F) được sử dụng khi:

- Bài toán (θ) không tồn tại nghiệm riêng ổn định

- hoặc có nghiệm riêng ổn định θ nhưng không tìm được

- Bài toán với vật có nguồn nhiệt trong, hoặc được gia nhiệt bằng điện

2.4.2 Nội dung phương pháp BTHS

Gồm các bước sau:

1 Lập bài toán (v) thuần nhất, bằng cách cho bằng 0 tất cả các

ĐKB không thuần nhất trong bài toán (θ)

2 Tách biến v(X,F) = X(X).F(F) và tìm X(X) thoả mãn các ĐK biên thuần nhất, sẽ được các nghiệm riêng dạng Xn(X) = cφn(X), trong

đó φn(X) = f(n,X) là hàm số riêng, thoả mãn điều kiện trực giao:

∫φ φ

1

dX)X()X

nmkhi0

3 Biểu diễn nghiệm bài toán (θ) ở dạng θ(X,F) = ∑∞ φ

4 Lập hệ phương trình thường của An(F) bằng cách tính

dF

d

An(F), tìm nghiệm An(F) thoả mãn điều kiện ban đầu

5 Viết nghiệm bài toán (θ) ở dạng θ(X,F) = (X)An(F)

t( ,0)λ

q =

t =o

δ

q = 0t

to

λ δ(t = - )x tδo x = 0

x

t

ư

= τ

=

=

τ

0 ) , ( t

t ) , 0 ( t

t ) 0 , x ( t

at t

x

o x

o xx

chuẩn hoá với θ =

o

ot

) 0 ( 1 ) , 0 ( )

, 0 (

) ( 0

) , 1 (

X

TN t

t F

TN F

x o x

x

xx F

θ

τ

δ θ

θ

θ θ

v

0 ) F , 0 ( v

0 ) F , 1 ( v

v v

x

x

xx F

x

2 1

x x

Do đó có X(X) = cncos (nπX) và hàm số riêng là φn(X) = cos(nπX)

(θ) thì hằng thời gian An(F) phải xác định theo điều kiện trực giao của hàm riêng φn(X)= cos (nπX), bằng cách nhân phương trình với cos(nπX)dX rồi tích phân trong khoảng X ∈ [0,1]:

dX ) X n cos(

) F

0 n khi ), F ( A

n o

Do đó, An(F) phải xác định theo θ(X,F) bởi quan hệ:

) F , X ( 2 ) F ( A

dX ) F , X ( ) F ( A

1 0 n

1 0 o

Điều kiện đầu cho Ao(0) = 1 ( X , 0 ) dX

0

]}

dX)Xncos(

= 2{1-n2π2

2

) F (

= 2

1

X2 - X +

3

1, có:

3 1

-1x+

4

3) + to[a2

1

) / x n

cos(

exp (- 2

2

2 a n δ

π τ)]

2.5 Phương pháp Fourier cho bài toán không ổn định nhiều chiều

Các bài toán nhiều chiều không ổn định có thể giải bằng phương pháp tách biến lặp, hoặc phương pháp quy về nhiều bài toán không ổn

định một chiều

2.5.1 Phương pháp tách biến lặp

2.5.1.1 Nội dung phương pháp tách biến lặp gồm các bước:

1 Tách riêng biến thời gian tìm hàm thời gian F(F)

2 Lần lượt tách các biến toạ độ và tìm các nghiệm riêng theo từng toạ độ

3 Xác định các hằng số theo ĐKĐT và biểu diễn nghiệm bài toán

ở dạng tích các nghiệm thu được

2.5.1.2 Ví dụ: Bài toán trụ vô

hạn biên W 1 với điều kiện đầu tổng quát

* Phát biểu BT: Cho trụ l=∞ có a, t

t a

t 1

R

δ

=τϕ

ρ

+ρ+

τ

),(g)0,,(t

t),,R(t

)t

1t

1t(at

ρ, ϕ' = ϕ, F = 2

= ϕ θ

= ϕ θ

θ + θ + θ

=

) , r f t

t ) , ( g ) 0 , , r

0 ) F , , 1 (

r

1 r

1

1 1

2 r rr F

=WWrr +

r

1 W

Wr+ 2r

1 W

Wϕϕ = -k2

1

) ( 0

2 2

2

W k W r

W r W

e F F F

k F

r rr

F k

r

1Rφ" + k2 Rφ = 0 →

, 0 ) (

'

"

cos sin

) ( 0

"

2 2 2 2

2

R n r k rR

R

r

n B n A

Jn(kr) = ∑∞

=

+

+ + Γ

−

1 i

i 2 n i

) 1 i n (

! i

) 2

kr ( ) 1 (

,Víi (s) e x dx

0

1 s x

=

m n 0 Jn(kmnr) (Amnsin nϕ + Bnm cos nϕ)eưk mn2F

- Anm và Bnm xác định theo điều kiện đầu:

θ (r, ϕ, 0) = f(r, ϕ) = ∑ ∑∞

=

∞

= 1

4 34

4 21

ϕϕϕ

=

∫π ϕ ϕ

2 0

2

d ' n sin Lại nhân hai vế với rJn(kmnr) dr và lấy

mn

2 n

Do đó có: Amn =

) k ( J

2

mn

2 1 n+

f sin nϕ dϕ dr

Tương tự xác định các hằng số Bmn:

- khi n = 0 → Bmo =

) (

1 2

1 k mo

1 0

r k

0

) , r

- ∀n ≠ 0 → Bmn

) (

r k

rJ n mn

0

) , r

0,

)()

(1

0,

0

,0

n khi dr r k rJ k

J

n B

n A

mn o mn

mn mn

→ Bmo = ( )

2

2 1

Lóc nµy, nghiÖm bµi to¸n (θ) lµ:

2.5.2.2 VÝ dô:

Bµi to¸n lµm nguéi thanh trô W1

* Ph¸t biÓu BT: Cho trô h÷u h¹n roxL cã a,

i

o o

zz r rr

t z

r

t

TN t

L r t r

t z

r

t

t a t

,

(

11

τ τ

= τ

= +

) t t ( ) 0 , z , r T

) TN ( 0 ) , 0 , r T ) , z , r T

T a

1 T T r

1 T

o i o

zz r rr

* Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p quy vÒ 2 bµi to¸n 1 chiÒu:

+ (Zzz - a1 Zτ)R = 0 Phương trình này được thoả mãn khi đồng thời có:

τ

τ

0Za

1Z

0Ra

1Rr

1R

zz

r rr

Đây là phương trình vi phân cho 2 bài toán 1 chiều

=

) t t ( ) 0 , r R

0 ) , r R

R a

1 R

r

1 R

o i o

n rr

0 ) , ( ) , 0 ( 1

z Z

L Z Z

Z a

τ τ

) ( ) (

r k J r k

e r k

o m

τ(với km là nghiệm phương trình Jo (kmro) = 0),

sin(

2 L a 2 2 ) 1 n (

e

τ π +

=

∞

π +

1

m n 0 m o 1 m o

m o

) 1 n 2 )(

r k ( J r k

L

Z ) 1 n 2 sin[(

) k (

a L n

2 2

2 + +

ư

2.5.3 Định lý giao nghiệm

2.5.3.1 Định lý 1:

Nếu X(x, τ) là nghiệm của phương trình Xτ = aXxx

Y(y, τ) là nghiệm của phương trình Yτ = aYyy Z(z, τ) là nghiệm của phương trình Zτ = aZzzthì θ(x,y,z,τ) = X(x,τ)Y(y,τ) Z(z,τ) là nghiệm của phương trình

điều kiện biên đó

Chứng minh theo định nghĩa ĐKB thuần nhất

2.5.3.4 ứng dụng các định lý giao nghiệm:

Có thể tìm nghiệm bài toán không ổn định ở các vật thể hữu hạn, thoả mãn phương trình θτ = a∇2θ và cùng một ĐKB thuần nhất, như là tích các nghiệm của bài toán một chiều tương ứng, ví dụ với vật V có dạng hộp, trụ hữu hạn, đới cầu v.v

Chương 3: phương pháp toán tử phức

và các bài toán dao động nhiệt

3.1 Bài toán dao động nhiệt

3.1.1 Khái niệm dao động nhiệt

- Dao động nhiệt là hiện tượng nhiệt độ của vật thay đổi tuần hoàn theo thời gian

- Nếu một vật được gia nhiệt và làm lạnh tuần hoàn thì trong vật xuất hiện giao động nhiệt

- Khi đó trường nhiệt độ t (trong vật và của môi trường) có dạng một hàm tuần hoàn theo thời gian τ, tức là t = t(τ) Hàm tuần hoàn này luôn có thể coi như tổng các hàm điều hoà dạng t(τ) = t1sin ωτ hoặc t(τ) = t1cosωτ, trong đó ω =

o

2 τ

π, với τo là chu kỳ dao động, [s]

Ví dụ: Dao động nhiệt do sự quay của địa cầu theo ngày đêm có

τo = 24h, theo năm τo = 365,24922 ngày, hoặc do chu kỳ cấp nhiệt của

cũng là những hàm tuần hoàn theo thời gian τ

3.1.2 Mô hình một bài toán dao động nhiệt

- Cũng như một bài toán không ổn định tổng quát, mô hình một bài toán DĐN được cho bởi một phương trình vi phân dạng ∂ τ

ư

= τ

+ ωτ

=

τ

)]

, 0 ( t ) ( t [ )

t )

(

t

f x

o 1

Do đó, điều kiện ban đầu không cần xét riêng trong mô hình bài toán DĐN

- Ví dụ: Bài toán dao động nhiệt tìm t (x, τ) trong vật nửa vô hạn 0

< x < ∞, có nhiệt độ đầu phân bố đều t(x,0) = to, khi nhiệt độ biên W1

= τ

∞

ωτ +

= τ

∂

∂

= τ

t ) , x ( t lim ) , (

t

) cos(

t t ) ,

Trong đó to là nhiệt độ ban đầu phân bố đều, không đổi, và t1 là biên độ của dao động nhiệt

3.2 Phương pháp toán tử phức hay tổ hợp phức (Complex Combination):

3.2.1 Nội dung phương pháp toán tử phức (TTP):

Dùng phép biến đổi toán tử phức (sẽ giải thích sau đây) để chuyển bài toán thực (T) thành bài toán phức dạng (W) = (T) + i(S) với (S) là bài toán ảo, tìm nghiệm bài toán phức bằng cách tách biến ở dạng W(x,τ) = X(x)eiωτ, sau đó xác định nghiệm bài toán thực (T) như phần thực của nghiệm phức T(x,τ) = ReW(x,τ)

Ta sẽ giải thích nội dung này bằng các bước sau:

H18 BT dao động nhiệt

x

t to

t + t cos o 1 ωτ

t = atxx τ

a, λ

t(x, ) τ

cos(ωτ) + i sin(ωτ) = eiωτ theo công thức Euler

3 Giải bài toán phức bằng cách tách biến, tức tìm nghiệm phức dạng W(x,τ) = X(x)eiωτ Trường hợp này sẽ tìm được X(x) như nghiệm một phương trình vi phân thường

4 Biểu diễn nghiệm phức ra dạng đại số W(x,τ)= T(x,τ) + iS(x,τ),

và thu được nghiệm bài toán thực T(x,τ) = ReW(x,τ)

Ta sẽ minh hoạ các bước bằng ví dụ sau

3.3 Bài toán dao động nhiệt trong vật bán vô hạn

= τ

∞

ωτ

= τ

) cos(

t ) , 0 ( T

aT T

x 1 xx

= τ

∞

ωτ

= τ

) sin(

t ) , 0 ( S

aS S

x 1 xx

2 Nhân (S) với i rồi cộng (T) để được (W) = (T) + i(S)

= τ

∞

= ωτ +

ωτ

= τ

=

∞

→

ωτ τ

0 ) , x ( W lim ) , ( W

e t )]

sin(

i ) [cos(

t ) , 0 ( W

aW W

x

i 1 1

xx

3 Tìm nghiệm bài toán phức bằng cách tách biến:

- Tìm nghiệm phương trình Wτ = aWxx ở dạng W(x,τ) = X(x)eiωτ, phải có: X(x)iωeiωτ = aX(x) eiωτ → X"(x) -

a

iωX(x) = 0 → X(x) =

e

ω

do đó W(x,τ) = [C1 a

i x

= τ

∞

ωτ ωτ

ωτ

∞

→

1 1 i

1 i 1

2 i

2 x

t c e

t e c ) , 0 ( W

0 c e

c 0 ) , x ( W lim ) , ( W

Vậy nghiệm phức là W(x,τ) = t1exp (-x

a

iω) eiωτ

4 Tìm dạng đại số của W(x,τ):

Do có i=i1/2 = (ei π/2

)1/2 = ei π/4

= 2

1 (1 + i) nên W(x,τ) có dạng:

W(x,τ) = t1

i a x

2

1 a x

e

ω

ư ωτ

→ W(x,τ) = t1e x 2 a

ω

ư

[cos(ωτ - x

a 2

ω) + isin(ωτ - x

a 2

ω)

Vậy nghiệm bài toán (T) là:

ω)

3.3.3 Khảo sát sóng nhiệt

Đồ thị (t - x) của trường nhiệt độ

t(x, τ) = to + t1exp (-x ω / 2 a) cos (ωτ -

x ω / 2 a) có dạng như H19

1 Dao động nhiệt có biên độ tắt

dần theo chiều sâu x, B(x) = t1

a x

e

ω

ư

Trị số xo , tại đó có

) 0 ( B

) x (

= 1%, gọi là khoảng tác dụng của sóng ⇒ 1% =

100 ln

τoa hay

ω

ư

=

t0-t1

theo phương trình

cos (ωτo - λx ω / 2 a) = 1 → λx =

a 2 /

o

ω

ωτ

= 2 π aτo → Do đó λx↑ khi τo↑

π → Do đó v↓ khi τo↑

3 Giá trị gradt: theo phân bố nhiệt độ:

t(x,τ) = to + t1

o a

πτ-x

o

aτ

π), ta có :

o

2 τ

πτ-x

o

aτ

π)]

→ gradt có dạng một dao động tắt dần theo độ sâu x Ví dụ:

* gradt|x=0 = -t1

o

aτ

π(cos

o

2 τ

πτ

- sin

o

2 τ

πτ) = -t1

o

a

2 τ

π

sin(

4

π-

o

2 τ

πτ)

πτ -x

o

aτ

π) -

* q(0,τ) = λt1

o

a

2 τ

π

sin(

4

π-

o

2 τ

πτ), [W/m2],

q(0,τ) max khi sin (

4

π-

o

2 τ

πτ) = ±1, ứng với τ = -

8

1τo, 8

3τo, 8

o

a

2 τ

π π

τo

= λt1

π

τ a

2 o , [J/m2

]

3.4 Dao động nhiệt không ổn định trong vách mỏng

The problem of Transient Conduction Thought a Plane Wall When Oscillation

of the Environment Temperature

- by Nguyen Bon

Da nang University, 1995

In this theme will be introduced the solution of the problem of nonstacionary conduction in a plane wall, with non-symetric 3rd class boundary conditions and general initial condition, in the environment temperature is oscillating

The introduced general solution may be applied to determine the solutions of special problems and to thermal calculation for a thin homegeneous wall or a thin layer of the finite anybody, when the environment temperature is constant or oscillating

Bài này sẽ đưa ra lời giải của bài toán truyền nhiệt không ổn định tổng quát qua vách phẳng với điều kiện đầu tuỳ ý, trong môi trường dao động nhiệt Nghiệm thu được sẽ là hàm phân bố nhiệt độ trong vách theo tọa độ và thời gian, phụ thuộc vào 10 thông số cho trước tuỳ

ý của các điều kiện đơn trị

Kết quả đưa ra có thể ứng dụng để tính nhiệt khi nung nóng hay làm lạnh các vách mỏng có phân bố nhiệt độ ban đầu bất kỳ, khi mặt vách tiếp xúc môi trường có nhiệt độ không đổi hoặc dao động

bài toán truyền nhiệt dao động không ổn định trong vách mỏng

3.4.1 Đặt vấn đề

Việc tính toán truyền nhiệt trong vách mỏng, là vách có chiều dày nhỏ hơn bán kính cong, thường được quy về vách phẳng

Bài toán dẫn nhiệt ổn định trong vách phẳng đã được khảo sát đầy

đủ với các điều kiện biên, kể cả khi nhiệt độ mặt vách dao động Bài toán không ổn định trong vách đã được khảo sát chủ yếu chỉ với biên

loại 1 hoặc 2 biên loại 3 đối xứng, trong đó nhiệt độ môi trường không

đổi

Đề tài này có mục đích tìm lời giải của bài toán truyền nhiệt dao

động không ổn định trong vách mỏng có 2 biên loại 3 không đối xứng, trong đó nhiệt độ môi trường có thể dao động theo thời gian, với điều kiện đầu cho tuỳ ý

Lời giải của bài toán tổng quát này sẽ có nhiều ý nghĩa trong truyền nhiệt, cả về lý thuyết lẫn ứng dụng Nó có thể được áp dụng để tính nhiệt cho các vỏ mỏng hoặc lớp mỏng gần biên các vật hữu hạn, khi nhiệt độ môi trường không đổi hoặc thay đổi tuần hoàn

3.4.2 Phát biểu bài toán:

3.4.2.1 Phát biểu truyền nhiệt:

Tìm phân bố nhiệt độ t (x, τ) trong vách phẳng rộng vô hạn dày δ

có a, λ không đổi và nhiệt độ đầu t (x, 0) = to(x), khi cho mặt x = 0 tiếp xúc môi trường có nhiệt độ dao động chu kỳ τo theo luật:

τ π

o

2 , với hệ số toả nhiệt phức tạp α1, mặt x =

δ tiếp xúc môi trường nhiệt độ tf2 với hệ số α2

α

ư

= τ δ

τ π +

λ

α

ư

= τ

=

τ

) x ( t ) 0

, (

t

) , 0 ( t 2

cos t t )

, 0

(

t

at t

1 x

o 1

1 f

1 x

xx

3.4.2.3 Dạng chuẩn hoá của hệ (t):

Đưa về dạng không thứ nguyên bằng phép đổi biến θ =

2 f 1 f

2 f

t t

t t

f

1

t t

2 f

ô

t t

t ) x ( t

θ

ư

= θ

ư

= θ

=

θ

θ

) X ( ) 0 , X

(

) F , 1 ( b ) F , 1

(

) F , 0 ( 1 F

F 2 cos B b ) F , 0

(

) , 0 ( F ), 1 , 0 ( x ,

)

(

o

2 X

o 1

X

XX F

Đây là hệ phương trình đạo hàm riêng cấp 2 của θ(X, F) có điều kiện biên phi tuyến không thuần nhất tại x = 0

3.4.3 Phân tích bài toán (θ):

Nghiệm của bài toán (θ) sẽ được tìm ở dạng θ(X,F) = θ1(X,F) +

θ2(X,F), trong đó θ1(X,F) là nghiệm riêng bài toán dẫn nhiệt không ổn

định khi môi trường không dao động, θ2(X,F) là nghiệm bài toán dao

ư

= θ

ư θ

= θ

θ

= θ

θ

) X ( ) 0 , X (

) F , 1 ( b ) F , 1 (

1 ) F , 0 ( b ) F , 0 ( )

(

o 1

1 2 X

1

1 1 X

1

XX 1 F

1

Khi đó θ2(X,F) thoả mãn hệ phương trình (θ2) = (θ) - (θ1), được xác định như là hiệu các phương trình tương ứng của hệ (θ) và (θ1), có dạng sau:

θ

ư

= θ

ư θ

= θ

θ

= θ

θ

0 ) 0 , X (

) F , 1 ( b ) F , 1 (

F

F 2 cos B ) F , 0 ( b ) F , 0 ( )

(

2

2 2 X

2

o 2

1 X

2

XX 2 F

2

Nghiệm bài toán không ổn định (θ1) sẽ được tìm ở dạng

θ1(X,F) = θ10(X) - θ11(X,F) trong đó θ10(X) là nghiệm riêng ổn

định, thoả mãn điều kiện ổn định được chọn là:

ư θ

= θ

θ

=

= θ

θ

) 1 ( b ) 1 (

1 ) 0 ( b ) 0 (

0 )

(

10 2 X

10

10 1 X

10

XX 10 F

= θ

θ

ư

= θ

θ

= θ

θ

= θ

θ

) X ( ) X ( ) 0 , X (

) F , 1 ( b ) F , 1 (

) F , 0 ( b ) F , 0 ( )

(

0 10

11

11 2 X

11

11 1 X

11

XX 11 F 11

11

H.21 Phân tích bài toán θ = θ10 - θ11 + θ2

(Không cần xét)

, λ

a 1

1

x 0

Tóm lại, nghiệm bài toán (θ) sẽ có dạng θ(X,F) = θ10(X) -

θ11(X,F) + θ2(X,F), trong đó, θ10(X) là nghiệm riêng ổn định của (θ10), mô tả phân bố nhiệt độ tâm dao động khi ổn định, θ11(X,F) là nghiệm bài toán ch−a ổn định (θ11), mô tả độ lệch nhiệt độ tâm dao động so với ổn định, có thể đ−ợc gọi là độ không ổn định, còn θ2(X,F) là nghiệm của (θ2), mô tả dao động riêng của nhiệt độ quanh tâm dao

+

=

+ +

− +

= θ

+ +

−

=

+

= θ

2 1 2 1

2 1 1 2

2 1 2 1

2 1 1 10

2 1 2 1

2 1 1

2 1 10

b b b b

b b b C

b b b b

) X 1 ( b b b ) X ( hay b

b b b

b b C

C X C )

X

(

3.4.5 Nghiệm riêng không ổn định:

u(X).v(F) Để thoả mãn θ11F = θ11XX phải có u(X).v'(F) = u''(X) v(F) hay

) F ( v

) F ( v )

= +

0 v k ' v

0 u k '' u

k ) b b (

tgk

1

2 1 2 2 1

Cã v« sè nghiÖm sè ki, ∀i = 1 ÷ ∞; vµ Ci = b1/ki, nªn nghiÖm cña (θ11) sÏ lµ hîp tÊt c¶ c¸c nghiÖm riªng øng víi mçi ki, ∀i = 1 ÷ ∞;

F k i i

i

1 i

2 i e X k cos X k sin k

b A

y

K

K3 K2

K1 0 tgk

Sau khi nh©n 2 vÕ víi ⎜⎜⎝⎛ sin k X+cos k X ⎟⎟⎠⎞

k

b

i i

ư +

1 0

2 i i

i 1

i i

i 1 1

0

o 2 1

dX X k cos X k sin k b

dX X k cos X k sin k

b ) X ( C

X C

Nếu cho điều kiện đầu t (x, 0) = to = Const thì θo(X) =

2 f 1 f

1 f o

t t

t t

b b b b (

) b k sin k k cos b )(

b b b b ( k k

cos b b k k sin ) b b k

(

b

1 2 i i i 2 i 1 i 2

1 2 i 2 1 2 1

1 i i i 1 2 1 2 1 i o i 2 2 1 1 i 2 1 2

i

1

+ +

+

ư +

+

ư

ư +

+ θ

+ +

ư

Nghiệm bài toán (θ1) = (θ10) - (θ11) có dạng

θ1(X,F) =

2 1 2 1

2 1 1

b b b b

) X 1 ( b b b

+ +

ư +

1 i

i i

i

1 i

2 i

e X k cos X k sin k

3.4.6 Nghiệm riêng dao động:

3.4.6.1 Biến đổi qua hệ toán tử phức:

Bài toán dao động (θ2) sẽ được giải bằng phương pháp toán tử phức Nội dung phương pháp này, là chuyển bài toán thực (θ2) thành bài toán phức (W) = (θ2) + i(S), sau đó tìm nghiệm phức W và xác

định nghiệm thực (θ2) như là phần thực của nghiệm phức, θ2 = Re(W) Bài toán ảo (S) được lập bằng cách thay hàm θ2(X,F) và

(

S

F

F 2 sin B ) F , 0 ( S b ) F , 0 (

S

S S

)

S

(

2 X

o 1

X

XX F

Sau khi nhân đơn vị ảo i với hệ (S) rồi cộng với hệ (θ2), theo phép biến đổi (W) = (θ2) + i(S), sẽ có bài toán phức dạng:

Be ) F , 0 ( W b ) F

F 2 sin i F

F 2 (cos B ) F , 0 ( W b ) F , 0 ( W

W W

)

W

(

2 X

F

F 2 i 1

o 1

X

XX F

W(X,F) = (C1 −X iω

e )eiωFChọn các hằng số phức C1, C2 thoả mãn 2 điều kiện biên loại 3 trong hệ (W), sau khi đặt u = i ω, sẽ thu đ−ợc

+

=

ϕ ϕ

2 1

i 2 1 2

1 2

1 u

2 1

2

i 1 1 2

1 2

1 u

2 u

1 1

e r Bb ) b u )(

b u ( ) b u )(

b u ( e

) b u (

Bb C

e r Bb ) b u )(

b u ( ) b u )(

b u ( e

) b u ( e Bb C

Trong đó r1, r2 và ϕ1, ϕ2 là modul và argument của số phức

2

Bb C

1

2 2

1

1 1

1

1 1

Bb

C arg ,

Bb

C mod r

Bb

C arg ,

Bb

C mod r

Nghiệm của hệ (θ2) sẽ là phần thực của nghiệm phức W(X,F) vừa tìm đ−ợc Để ý rằng u = i ω = (1 + i)

2 X F ( 2 X 2

) 2 X F ( 2 X 1

2 1

e e r e

e r

Do đó, nghiệm riêng dao động của hệ (θ2), đ−ợc tìm theo θ2 = ReW, sẽ là:

ω

− ω +

ω

−

) 2 X F cos(

e r ) 2 X F cos(

e

2 1

2 X 1

Khi chu kỳ τo nhỏ, ω =

o

F

2π =

o

2

a

2 τ

) Xt ( A

2 1 1

b b b b

) X 1 ( b b b

+ +

− +

1 i

i i

i

1 i

2 i e X k cos X k sin k

ω

− ω + ϕ

ω ω

−

) 2 X F cos(

e r ) 2 X F cos(

e

2 1

2 X

) x )(

t t (

2 1

2 1

f f

2 1

2 f

− α

λ + δ

δ α

∑∞

2 i 1

i

i i

i

1 i

a k exp

x k cos

x k sin k

τ π + ϕ +

τ

π

− τ

τ π + ϕ λ

δ

π τ

π

−

) a x 2

cos(

e r ) a x 2

cos(

e r t

o o

2 a

X 2 o o

1 a

X 1

1 1

o o

Đây là hàm tổng quát mô tả phân bố nhiệt độ trong vách, phụ thuộc vào x, τ và 10 thông số cho tuỳ ý của các điều kiện đơn trị:

t = τ (x, τ; δ, a, λ, to(x), tf1,ti, τo, α1, tf2, α2)

3.4.7.2 Nếu cho các thông số lấy những giá trị đặc biệt, chẳng

hạn cho δ → ∞, (α1 hoặc α1) → (0 hay → ∞), to(x) = (tf1, tf2 hay hàm bất kỳ), tf1 = tf2 > to(x), thì sẽ tìm được nghiệm các bài toán có các

điều kiện đơn trị khác nhau, như là các trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát

Một vài phân bố t (x, τ) đặc biệt được minh hoạ ở hình (H.23)

t t

t t

t

x x

x x

x

o o

o o

o

δδ

δδ

δ

τ

τ = 8

τ = 8

τ = 8

tf1 > t0 > tf2 H.23 Vài phân bố t(x, τ) đặc biệt

24h

H.24 Dao động nhiệt độ môi trường τk(τ) và trong vật τđ(x, τ) theo chu

kỳ 24h và 1 năm

3.4.7.3 Các kết quả nêu trên có thể được ứng dụng để khảo sát

tính toán quá trình truyền nhiệt không ổn định trong vách hoặc trong lớp biên mỏng của các vật hữu hạn, trong môi trường có nhiệt độ bất biến hoặc dao động Ví dụ có thể áp dụng để khảo sát dao động phổ biến của nhiệt độ môi trường không khí và trong lớp mỏng gần bề mặt của mọi vật trên địa cầu, dưới tác dụng tuần hoàn của bức xạ Mặt trời theo chu kỳ 24 giờ và chu kỳ năm (Hình 24)

τ