Các phương pháp truyền nhiệt docx

§¹i häc §µ N½ng Tr−êng §¹i häc b¸ch khoa Khoa c«ng nghÖ nhiÖt ®iÖn l¹nh PGS, TS. NguyÔn Bèn C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh truyÒn nhiÖt - §µ N½ng - 2001 - 2 3 Chơng 1: Mô hình bài toán dẫn nhiệt 1.1. Định luật Fourier 1.1.1. Thiết lập Tính nhiệt lợng Q dẫn qua mặt dS ở cách 2 lớp phân tử khí có nhiệt độ T 1 > T 2 một đoạn bằng quãng đờng tự do trung bình . * Vì T 1 và T 2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử n o và vận tốc trung bình r các phân tử trong hai lớp nh nhau. Do đó, trong thời gian d, số phân tử ở T 1 và T 2 qua dS là nh nhau, bằng: z x T 2 T 1 y O H1. Để chứng minh định luật Fourier d 2 n = 6 1 n o dS d * Lợng động năng qua dS từ T 1 và T 2 là: d 2 E 1 = E 1 d 2 n = 6 1 n o dS d 2 i kT 1 d 2 E 2 = E 2 d 2 n = 6 1 n o dS d 2 i kT 2 Trừ hai phơng trình cho nhau, ta đợc: 2 Q = ( E 1 - E 2 )d 2 n = 6 1 n o dSd 2 ik (T 1 - T 2 ) Vì T 1 - T 2 = - dx dT . 2 nên 2 Q = - 6 i n o k dx dT dS d Do 6 i n o k = 6 i n o N R = 3 1 (n o N à ) ( à2 iR ) = 3 1 c o nên 4 2 Q = - ( 3 1 c o ) dx dT dS d = - dx dT dS d hay dS d Q 2 = q = - x T * Khi dS có vị trí bất kỳ thì q = - gradT hay dạng vectơ dòng nhiệt là q r = - dTagr r 1.1.2. Phát biểu: Vectơ dòng nhiệt tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ: Biểu thức vectơ: q r = - dTagr r Dạng vô hớng: q = - gradT, [W/m 2 ]; Q = - gradT.dS, [W] 1.1.3. Hệ số dẫn nhiệt Hệ số dẫn nhiệt là hệ số của định luật Fourier: = |q/gradT| [W/mK] Theo chứng minh trên ta có: = 3 1 c v = 3 1 RT p m kT8 pd.2 kT 2 C v = 3 2 m Tk d c 3 3 2 v cho thấy: không phụ thuộc p, và khi T hoặc c v hoặc đờng kính d cùng khối lợng phân tử m giảm. Định luật Fourier đúng cho mọi chất rắn, lỏng, khí. 1.2. Phơng trình vi phân dẫn nhiệt 1.2.1. Định nghĩa: Phơng trình vi phân dẫn nhiệt là phơng trình cân bằng nhiệt cho một phân tố dv bên trong vật. 1.2.2. Thiết lập Luật cân bằng nhiệt cho dV V là: H2. CBN cho dV z x y q q q C dV V O 5 [Lợng nhiệt phát sinh trong dV] - [Thông lợng nhiệt qua dV]= [Biến thiên entanpy của dV] Cho trớc (q v , , c p , ) dV, có thể viết phơng trình trên ở dạng: q v dVd - div q r dVd = dV.c p t d hay t = p v c q - p c 1 div q r , trong đó dòng nhiệt qua dV là: q r = q r + q r = - dtagr r + r c p t, do đó: div q r = div (c p r t- dtagr r ), coi (, c p ) = const ta có : div q r = c p div (t r ) - div ( dtagr r ) = c p (tdiv r + r dtagr r ) - div ( dtagr r )- dtagr r . dagr r = c p (tdiv r + r dtagr r ) - 2 t - dtagr r . dagr r Vậy phơng trình có dạng: t = p c qv - tdiv r - r . dtagr r + p c 2 t + ( dtagr r dagr r )/c p do t + r . dtagr r = t + dx dt . d dx + dy dt . d dy + dz dt . d dz = d dt nên phơng trình vi phân dẫn nhiệt sau khi đặt a = Cp , sẽ là: d dt = a 2 t + p v c q + p c 1 dtagr r dtagr r ) - tdiv r , với: là tích vô hớng của 2 vectơ và 2 t = t là toán tử Laplace của nhiệt độ, có dạng: 2 t = + + + + + + + + + ),,( sinsin cos2 ),,( 11 ),,( 222 2 222 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 rtrong r tt rr t r t r r t zrtrong z tt r r t r r t zyxtọatrong z t y t x t 1.2.3. Các dạng đặc biệt của phơng trình vi phân dẫn nhiệt * Với vật rắn, r = 0, phơng trình có dạng: dtagr r . dagr r dtagr r dagr r , (tron g tọa độ vuôn g g óc (x y z)) ( tron g t ọ a đ ộ tr ụ (r z )) ( tron g t ọ a đ ộ cầu (r )) 6 t = a 2 t + p v c q + p c 1 dtagr r . dagr r * Vật rắn có = const xyz phơng trình là: t = a 2 t + p v c q * Vật rắn có = const , ổn định nhiệt t = 0, phơng trình là: a 2 t + v q = 0. Nếu không có nguồn nhiệt, q v = 0, thì 2 t = 0. 1.3. Các điều kiện đơn trị (ĐKĐT) 1.3.1. Định nghĩa: ĐKĐT là những điều kiện cho trớc nhằm xác định duy nhất nghiệm của một hệ phơng trình. 1.3.2. Phân loại các ĐTĐT: Theo nội dung, các ĐKĐT đợc phân ra 4 loại sau: 1. Điều kiện hình học: Cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định hình dạng, kích thớc, vị trí của hệ. 2. Điều kiện vật lý: Cho biết luật phân bố các thông số vật lý theo nhiệt độ t tại M hệ; tức cho luật xác định (, c p , , a ) = f(t, M V). 3. Điều kiện ban đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ lúc = 0 tại mọi điểm M hệ, tức cho biết t = t(x, y, z, = 0), (x, y, z) V. 4. Điều kiện biên: Cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc luật cân bằng nhiệt tại mọi điểm trên biên W, ở mọi thời điểm , tức cho biết: t = t(M, ) hoặc dtagr r = f(M, , t) M (x, y, z) V xét 1.3.3. Các loại điều kiện biên (ĐKB) Tại mỗi miền W i của mặt biên kín W = W i , tuỳ theo cách phân bố t hoặc cách trao đổi nhiệt, ta có thể cho biết các loại ĐKB sau đây: 1. ĐKB loại 1: Cho biết luật phân bố nhiệt độ t tại mọi điểm M 1 W 1 ở mọi thời điểm: 7 t = t (M 1 , ), M 1 W 1 , 2. ĐKB loại 2: Cho biết dòng nhiệt dẫn qua biên: q (M 2 , ) = - n t , tức cho biết n t = 1 q (M 2 , ), M 2 W 2 , . Khi n t = q = 0 tức biên W 2 đợc cách nhiệt tuyệt đối hoặc là biên đối xứng, lúc này t đạt cực trị tại W 2 , và đờng cong t(M) có tiếp tuyến nằm ngang. 3. ĐKB loại 3: Cho biết biên W 3 tiếp xúc chất lỏng có t f , và toả nhiệt ra chất lỏng theo luật: -t n (M 3 , ) = [t(M 3 , ) - t f ], tức cho biết gradt (M 3 ) = [t f - t(M 3 )]/(/), M 3 W 3 , . 4. ĐKB loại 4: Cho biết luật CBN khi biên W 4 tiếp xúc vật rắn khác, có nhiệt độ t 4 và 4 , tại M 4 W 4 , phơng trình cân bằng nhiệt có dạng : - n )M(t 4 = 4 n )M(t 44 và t(M 4 ) = t 4 (M 4 ) 5. ĐKB loại 5: Cho biết luật cân bằng nhiệt trên biên W 5 di động, t x H3. CBN trên biên W 5 do có sự chuyển pha, trao đổi chất (khối lợng thay đổi) hoặc đang biến dạng: - n )M(t 5 = r c d dx 5 - ' n 't (M 5 ), với r c = nhiệt chuyển pha; d dx 5 = vận tốc biên W 5 ; : khối lợng riêng pha mới. 1.3.4. ý nghĩa hình học của các loại ĐKB Dạng đờng cong phân bố nhiệt độ t(x, y, z, ) tại lân cận biên W, - t x - t' n -r c 5 dx d 5 dx d x 0 x 5 8 tuỳ theo cách cho ĐKB, sẽ có các đặc điểm hình học sau đây: W Cách cho ĐKB Đờng cong t(M,) ý nghĩa hình học 1 t w = const x w M V t o t(M) đi qua một điểm cố định M o W 2 n t w = 0 x q = 0 V t = 0 t(M) đạt cực trị trên W cách nhiệt n t w = const x V Các tiếp tuyến của t(M) tại W song song, góc = const 3 n t w = / tt wf x V t f R Các tiếp tuyến của t(M) tại W 3 qua điểm R( , t f ) 4 n t w = 4 x t ow t W = t 4W x V V o t(M) liên tục, không khả vi tại W 4 và = const 5 - n t w = r e d dx 5 - n 't w x V W 5 di chuyển với tốc độ = d dx 5 H4. Minh hoạ ý nghĩa hình học các ĐKB 1.4. Mô hình một bài toán dẫn nhiệt Mô hình toán học của một bài toán dẫn nhiệt là một hệ phơng W = const W W 5 dx d 9 trình vi phân (t), gồm phơng trình vi phân DN và các phơng trình mô tả các ĐKĐT nh sau: (t) = t = a 2 t + c v q và các phơng trình mô tả các ĐKĐT. Mục đích chính của truyền nhiệt là tìm các phơng pháp giải hệ (t) để tìm hàm phân bố t(x,y,z,) thoả mãn hệ (t). , ,c, q v o t o n t n W 4 W 3 W 2 W 1 W 5 t (M, ) w1 t ' n ' cf dx d r t n w x -1 q(M, ) 2 t = a t + 2 q v c [ t w - t f ] 2 t x w M H5. Mô hình 1 bài toán DN 10 Chơng 2: các Phơng pháp giải tích 2.1. phép chuẩn hoá và định lý hợp nghiệm: 2.1.1. Nội dung cơ bản của các phơng pháp giải tích ý tởng của Fourier là chuyển phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính thành một số phơng trình vi phân thờng tơng đơng, bằng cách tách biến, tìm nghiệm riêng ổn định và biến thiên hằng số. Các cách trên đợc sử dụng tuỳ thuộc tính thuần nhất hay không thuần nhất của phơng trình dẫn nhiệt và phơng trình vi phân mô tả các điều kiện biên. 2.1.2. Phơng trình vi phân thuần nhất và không TN - Định nghĩa: Phơng trình vi phân F(t, t x , t xx ) = 0 đợc gọi là thuần nhất khi: nếu t là nghiệm của phơng trình thì ct, c =const, cũng là nghiệm của F(t, t x , t xx ) = 0. - Ví dụ: t = at xx , t x (0,) = - t(0,) là TN t = a 2 t + c v q , t x (L, ) = [t(L, ) - t f ] là không TN Nhận xét: Phơng trình truyền nhiệt không chứa số hạng tự do, nh q v và t f , là phơng trình thuần nhất. 2.1.3. Nguyên lý hợp nghiệm Nếu các t i ,i = 1ữn, là nghiệm riêng của bài toán biên thuần nhất (tức phơng trình vi phân và các ĐKB thuần nhất), thì t = = n 1i ii tC cũng là nghiệm của bài toán TN đó, C i = const 2.1.4. Phép chuẩn hoá - Định nghĩa: Phép chuẩn hoá một hệ phơng trình là cách đổi các biến và thông số có thứ nguyên thành các biến và thông số không thứ nguyên. - Lợi ích của phép chuẩn hoá là đơn giản hệ phơng trình và cách [...]... dụng các định lý giao nghiệm: Có thể tìm nghiệm bài toán không ổn định ở các vật thể hữu hạn, thoả mãn phơng trình = a2 và cùng một ĐKB thuần nhất, nh là tích các nghiệm của bài toán một chiều tơng ứng, ví dụ với vật V có dạng hộp, trụ hữu hạn, đới cầu v.v 25 Chơng 3: phơng pháp toán tử phức và các bài toán dao động nhiệt 3.1 Bài toán dao động nhiệt 3.1.1 Khái niệm dao động nhiệt - Dao động nhiệt. .. nhất có thể giải bằng phơng pháp tách biến Fourier theo các bớc: tách biến phơng trình vi phân DN tìm nghiệm tổng quát, xác định các nghiệm riêng theo các ĐKĐT, hợp nghiệm Đó là các bớc của phơng pháp tách biến 2.2.3 Ví dụ: Bài toán làm nguội tấm phẳng biên (W2+W3) 1 Phát biểu bài toán: Cho vách phẳng có , a, , to = t(x,0) cách nhiệt tại x = 0, toả nhiệt tại x = ra môi trờng tf, Tìm trờng t (x, ) t... pháp tách biến Fourier 2.2.1 Nội dung phơng pháp Fourier Là tìm nghiệm ở dạng tách biến, nh là tích của một hàm của tọa độ với một hàm của thời gian Nhờ đó có thể chuyển một phơng trình đạo hàm riêng thành hệ hai phơng trình vi phân thờng tơng đơng Phơng pháp này thờng dùng để giải các hệ phơng trình thuần nhất 2.2.2 Cách giải các bài toán thuần nhất Các bài toán thuần nhất có thể giải bằng phơng pháp. .. ra lời giải của bài toán truyền nhiệt không ổn định tổng quát qua vách phẳng với điều kiện đầu tuỳ ý, trong môi trờng dao động nhiệt Nghiệm thu đợc sẽ là hàm phân bố nhiệt độ trong vách theo tọa độ và thời gian, phụ thuộc vào 10 thông số cho trớc tuỳ ý của các điều kiện đơn trị Kết quả đa ra có thể ứng dụng để tính nhiệt khi nung nóng hay làm lạnh các vách mỏng có phân bố nhiệt độ ban đầu bất kỳ, khi... kỳ, khi mặt vách tiếp xúc môi trờng có nhiệt độ không đổi hoặc dao động bài toán truyền nhiệt dao động không ổn định trong vách mỏng 3.4.1 Đặt vấn đề Việc tính toán truyền nhiệt trong vách mỏng, là vách có chiều dày nhỏ hơn bán kính cong, thờng đợc quy về vách phẳng Bài toán dẫn nhiệt ổn định trong vách phẳng đã đợc khảo sát đầy đủ với các điều kiện biên, kể cả khi nhiệt độ mặt vách dao động Bài toán... đó nhiệt độ môi trờng không đổi Đề tài này có mục đích tìm lời giải của bài toán truyền nhiệt dao động không ổn định trong vách mỏng có 2 biên loại 3 không đối xứng, trong đó nhiệt độ môi trờng có thể dao động theo thời gian, với điều kiện đầu cho tuỳ ý Lời giải của bài toán tổng quát này sẽ có nhiều ý nghĩa trong truyền nhiệt, cả về lý thuyết lẫn ứng dụng Nó có thể đợc áp dụng để tính nhiệt cho các. .. lớp mỏng gần biên các vật hữu hạn, khi nhiệt độ môi trờng không đổi hoặc thay đổi tuần hoàn 3.4.2 Phát biểu bài toán: 3.4.2.1 Phát biểu truyền nhiệt: Tìm phân bố nhiệt độ t (x, ) trong vách phẳng rộng vô hạn dày có a, không đổi và nhiệt độ đầu t (x, 0) = to(x), khi cho mặt x = 0 tiếp xúc môi trờng có nhiệt độ dao động chu kỳ o theo luật: tf1() = tf1 + t1 cos 2 , với hệ số toả nhiệt phức tạp 1,... nhng không tìm đợc - Bài toán với vật có nguồn nhiệt trong, hoặc đợc gia nhiệt bằng điện 16 2.4.2 Nội dung phơng pháp BTHS Gồm các bớc sau: 1 Lập bài toán (v) thuần nhất, bằng cách cho bằng 0 tất cả các ĐKB không thuần nhất trong bài toán () 2 Tách biến v(X,F) = X(X).F(F) và tìm X(X) thoả mãn các ĐK biên thuần nhất, sẽ đợc các nghiệm riêng dạng Xn(X) = cn(X), trong đó n(X) = f(n,X) là hàm số riêng,... = a2t và các điều kiện đơn trị, trong đó nhiệt độ hoặc dòng nhiệt q tại các biên đợc cho nh một hàm tuần hoàn theo - Điều kiện ban đầu thờng coi là phân bố đều, dạng t(x, y, z, o = 0) = to = const Khi đó nhiệt độ trên biên W1 hoặc nhiệt độ môi trờng gần biên W3 đợc cho ở dạng: t(0,) = t1cos () + to hoặc 26 t f () = t 1 cos() + t o t x (0, ) = [t f ( ) t (0, )] trong đó chứa to nh nhiệt độ ban... Trờng nhiệt độ trong vách tăng vô hạn, có dạng: 3 1 a 2 1 t(x,) = to( 2 x2- x+ ) + to[ 2 - 2 2 4 cos( nx / ) n 2 2a exp (- 2 )] n2 n =1 2.5 Phơng pháp Fourier cho bài toán không ổn định nhiều chiều Các bài toán nhiều chiều không ổn định có thể giải bằng phơng pháp tách biến lặp, hoặc phơng pháp quy về nhiều bài toán không ổn định một chiều 2.5.1 Phơng pháp tách biến lặp 2.5.1.1 Nội dung phơng pháp . DN và các phơng trình mô tả các ĐKĐT nh sau: (t) = t = a 2 t + c v q và các phơng trình mô tả các ĐKĐT. Mục đích chính của truyền nhiệt là tìm các phơng pháp giải hệ (t) để tìm hàm. Phơng pháp này thờng dùng để giải các hệ phơng trình thuần nhất. 2.2.2. Cách giải các bài toán thuần nhất Các bài toán thuần nhất có thể giải bằng phơng pháp tách biến Fourier theo các bớc:. với vật có nguồn nhiệt trong, hoặc đợc gia nhiệt bằng điện. 17 2.4.2. Nội dung phơng pháp BTHS Gồm các bớc sau: 1. Lập bài toán (v) thuần nhất, bằng cách cho bằng 0 tất cả các ĐKB không thuần