10 toán số học đồng dư buổi 3

Thặng Dư đây là nguyền tài liệu được trường THPT chuyên Nguyễn Trãi sử dụng để ôn tập và nâng cao chất lượng học sinhnhằm phục vụ cho việc ôn tập và chọn đội tuyên học sinh giỏi Quốc Gia. Nguồn tài liệu này giúp các em học sinh có thêm nhiều nguồn kiến thức tạo cho học sinh tự tin khi bược vào kì thi

THPT chuyên Nguyễn Trãi Giáo viên: Tô Hoàng Hiệp Buổi 3 THẶNG DƯ NGHỊCH ĐẢO I Khái niệm Định lý Cho số nguyên tố và là một số nguyên tố cùng nhau với Khi đó luôn tồn tại số nguyên tố sao cho: ≡ 1( ) Số nguyên này được gọi là thặng dư nghịch đảo của a Kí hiệu: thặng dư nghịch đảo của có thể kí hiệu là 1 hoặc a Ví dụ 1 Tìm thặng dư nghịch đảo của 3, 4, 5, 6, 12, 13 mod 7 Chi theo nghĩa đồng dư Việc tồn tại thặng dư nghịch đảo cho phép ta chia hai dồng dư theo mod p Nếu ≢ 0 ( ) thì a  a.b1 mod p b 2 3 20 Ví dụ 2 Tính mod 7; mod 7; mod 7 3 8 46 Lưu ý: thặng dư nghịch đảo không phải lúc nào cũng tồn tại Thật vật, bạn hãy thử tìm thặng dư nghịch đảo của 2 mod 6 II Hiểu thặng dư nghịch đảo như hiểu phân số Ví dụ 3 Xét tổng hai phân số 2 3 25  3 8 24 Giờ ta xét tổng này theo nghĩa mô dun 7 VT  2  3  2.31  3.81  3  3  6mod 7 ; VP  25  4  4.31  6 mod 7 38 24 3 2 3 25 Do đó theo nghĩa modun 7 ta có thể viết   mod 7 3 8 24 Mệnh đề 1 Chp là số nguyên tố và , ≢ 0 ( ) Khi đó với mọi số nguyên , ta có: a  c  a.b1  c.d 1  ad  bc.bd 1  ad  bc mod p bd bd Chứng minh: ( + ) = ( )+ ( )≡ + ( ) Mệnh đề 2 Chp là số nguyên tố và , ≢ 0 ( ) Khi đó với mọi số nguyên , ta có: 1 THPT chuyên Nguyễn Trãi Giáo viên: Tô Hoàng Hiệp a c  a.b1 .c.d 1   ac.bd 1  ac mod p bd bd Chứng minh: ≡ ( ) ( ) ≡ ( ) ( ) ≡ ( ) Ví dụ 3 Xét theo mod 7 tính: 23 2 10 25 25 8 a)  b) c)  d) 34 58 39 48 12 a Ví dụ 4 Thuật toán giúp tính nhanh (mod p) b Áp dụng thuật toán hãy tính 5 9 7 b) mod13 c) mod13 a) mod13 11 28 10 III Bài tập Bài 1 Tìm thặng dư nghịch đảo của {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} mod 11 Bài 2 Chứng minh rằng nếu ≢ 0 ( ) và là số nguyên tố Chứng minh ≡ ( ) Bài 3 Nếu là số nguyên, là số tự nhiên và là số nguyên tố Chứng minh rằng ( ) ≡ ( ) ( ) Áp dụng tìm nghịch đảo của 256 mod 47 Bài 4 Với là số nguyên tố lẻ Tìm lớp các số nguyên a mod p sao cho là nghịch đảo của chính nó mod p Bài 5 Định lý Wilson: Với là số nguyên tố Chứng minh ( − 1)! ≡ −1( ) Bài 6 Với mọi số tự nhiên , tacó: ( − 1)! ≡ −1 ( ) khi và chỉ khi là số nguyên tố Bài 6’ Với mọi số tự nhiên , thỏa mãn: ( − 2)! ≡ 1 ( ) Chứng minh: là số nguyên tố Bài 7 a) Tìm số dư khi chia 568! cho 569 b) Tìm số dư khi chia 225! cho 227 c) Chứng minh 63! ≡ −1 ( 71) Bài 8 Cho là số nguyên tố Chứng minh số dư khi chia ( − 1)! cho ( − 1) là − 1 Bài 9 a) Với là số nguyên tố Chứng minh {1 , 2 , … , ( − 1) } là một hệ thặng dư thu gọn mod p 2 THPT chuyên Nguyễn Trãi Giáo viên: Tô Hoàng Hiệp b) Với là số nguyên tố Chứng minh 1  1  0mod p i pi 11 1 2 2 2 c) Chứng minh 2  2   2  1  2    p 1 mod p 12  p 1 d) (Định lý Wolstenholme) 11 1m Cho > 3 là số nguyên tố Chứng minh rằng nếu 1     (trong đó , là hai số nguyên tố cùng nhau) 23 p 1 n thì ≡ 0( ) Bài 10 Cho , là các số tự nhiên thỏa mãn a 111 11 Chứng minh ≡ 0( 1979) (Gợi ý: 1979 là số nguyên tố)  1      b 234 1318 1319 11 1m Bài 11 Cho > 3 là số nguyên tố Chứng minh rằng nếu 1 2  2   2  (trong đó , là hai số nguyên tố 23  p 1 n cùng nhau) thì ≡ 0( ) Bài 12 Cho số nguyên tố > 3 CMR: 1 + 2 + ⋯ + ( − 1) ≡ + ( − 1)! ( ) Bài 13 Tìm điều kiện của số nguyên tố để [1.3.5 … ( − 2)] ≡ 1 ( ) Bài 13’ Chứng minh (135  2009)2 1  0 mod 2011 Biết 2011 là số nguyên tố 2   Bài 14 Tìm điều kiện của số nguyên tố để:   r   1 mod p  1r p1   2 Bài 14’ Cho là số nguyên tố lẻ Đặt = Chứng minh: ( !) + (−1) ≡ 0 ( ) Bài 15 Cho là số nguyên tố lẻ Chứng minh 4( − 3)! + 2 ≡ 0 ( ) Bài 16 Cho nguyên tố Chứng minh ( − )! ( − 1)! ≡ (−1) ( ) Bài 17 a) Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì ≡ (−1) ( ) ∀ = 1, − 1 b) Cho là số nguyên tố và − 1 = + ( , ∈ ℕ) Khi đó chứng minh ! ! ≡ (−1) ( ) Bài 18 Biết , + 2 đều là số nguyên tố Chứng minh 4[( p 1)!1]  p  0 (mod p( p  2)) Bài 19 Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn ( − 1)! = − 1 với là số tự nhiên nào đó 3