50 BÀI TOÁN SỐ HỌC Ôn thi vào lớp 10 Chuyên chọn STAR TEAM Ngày 23 tháng 1 năm 2019 Mục lục Chương 1 Đề bài 7 Chương 2 Lời giải 13 3 Lời nói đầu Bài toán số học luôn có trong các đề thi học sinh giỏi.
50 BÀI TỐN SỐ HỌC Ơn thi vào lớp 10 Chuyên chọn STAR TEAM Ngày 23 tháng năm 2019 Mục lục Chương Đề Chương Lời giải 13 Lời nói đầu Bài tốn số học ln có đề thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 chuyên chọn Đây nội dung khó, địi hỏi nhiều kiến thức kĩ làm Để giải toán số học trước hết cần phải nắm định nghĩa tính chất bản, phải vận dụng lý thuyết hợp lý nơi chỗ, xét kĩ khả xảy ra, từ đến giải tốn Để giúp ích em giáo viên có nguồn tài liệu để hỗ trợ kì thi vào lớp 10 chun tốn chúng tơi biên tập tài liệu nhỏ "50 tốn số học - Ơn thi vào lớp 10 Chun" nhóm chun tốn trung tâm STAR EDUCATION biên soạn Các toán chọn lọc phù hợp với kì thi, kiến thức trung học sở, nội dung bám sát đề thi thực để em ôn tập hiệu Đây tài liệu thuộc nhóm tài liệu "50 tốn" mắt tới STAR EDUCATION, mong bạn đón nhận góp ý chân thành Chương Đề Bài 1.1 Tìm tất số n cho: a) 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho b) 22n + 2n + chia hết cho 21 Bài 1.2 (Tuyển sinh vào lớp 10 Chun Tốn trường PTNK 1997) a) Tìm tất số nguyên dương n cho n2n + 3n chia hết cho b) Tìm tất số nguyên dương n cho n2n + 3n chia hết cho 25 Bài 1.3 (Tuyển sinh vào lớp 10 Chun Tốn trường PTNK 1997) a) Tìm tất số nguyên dương cho 2n − chia hết b) Cho số nguyên tố p ≥ Đặt A = p − p − Chứng minh A chia hết cho 42p Bài 1.4 Cho a,b hai số nguyên dương thỏa mãn 4a2 − chia hết cho 4ab − Chứng minh a = b Bài 1.5 Cho số nguyên x, y, z thỏa ( x − y)(y − z)(z − x ) = x + y + z Chứng minh x + y + z chia hết cho 27 Bài 1.6 Cho an = 22n+1 + 2n+1 + bn = 22n+1 − 2n+1 + Chứng minh với số tự nhiên n, có hai số an , bn chia hết cho Bài 1.7 Cho n số tự nhiên Chứng minh 3n n3 + chia hết cho 3n + n3 chia hết cho Bài 1.8 Chứng minh 2n − số nguyên tố n số nguyên tố Bài 1.9 Cho m, n số nguyên Chứng minh mn + chia hết cho 24 m + n chia hết cho 24 Bài 1.10 Ta điền số từ đến vào bảng vng × cho số điền lần, tổng số hàng, cột đường chéo chia hết cho Chứng minh bảng ln số chia hết cho Bài 1.11 Chứng minh a) Trong số ngun có số có tổng chia hết cho b) Trong 17 số ngun có số có tổng chia hết cho NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 1.12 (Tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán trường PTNK 2018) Cho An = 2018n + 2032n − 1964n − 1984n với n số tự nhiên a) Chứng minh với số tự nhiên n An chia hết cho 51 b) Tìm tất số tự nhiên n cho An chia hết cho 45 Bài 1.13 Tìm nghiệm ngun khơng âm ( x, y) phương trình ( xy − 1)2 = x2 + y2 Bài 1.14 Chứng minh phương trình y2 + y = x + x2 + x3 nghiệm ngun dương Bài 1.15 Tìm tất ba số nguyên dương thỏa phương trình: ( x + y)2 + 3x + y + = z2 Bài 1.16 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau xy + yz + zx − xyz = Bài 1.17 Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa: 5x = y4 + 4y + Bài 1.18 Giải phương trình nghiệm tự nhiên x − y4 = với x số nguyên tố Bài 1.19 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x2 − y2 = + 16y Bài 1.20 Chứng minh với số tự nhiên n > n5 + n4 + không số nguyên tố Bài 1.21 Tìm tất số tự nhiên n cho 55 n +1 n + 55 + số nguyên tố Bài 1.22 Tìm số nguyên tố p để p2 + p số nguyên tố Bài 1.23 Cho p, q số nguyên tố phương trình x2 − px + q = có nghiệm ngun dương Tìm p q Bài 1.24 Tìm tất số nguyên tố p cho tổng ước dương p4 số phương Bài 1.25 Tìm tất số nguyên tố p cho tồn số nguyên dương x, y thỏa phương trình x (y2 − p) + y( x2 − p) = 5p Bài 1.26 Tìm tất số nguyên tố p cho hệ phương trình p + = 2x2 , p2 + = 2y2 có nghiệm nguyên Trang NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 1.27 (Lớp 9, 10) Tìm số tự nhiên x, y, z thỏa 21x + 4y = z2 Trang NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 1.28 Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa ab = cd Chứng minh a + b + c + d hợp số Bài 1.29 Tìm tất số nguyên tố p > q > r cho p − r, p − q, q − r số nguyên tố Bài 1.30 Tìm số nguyên tố p, q thỏa mãn hệ thức p + q = ( p − q)3 Bài 1.31 Chứng minh x2 + 2y số phương với x, y nguyên dương x2 + y tổng hai số phương Bài 1.32 Chứng minh 3x + 4y, 3y + 4x số phương x, y chia hết cho Cho Bài 1.33 Các số nguyên dương a, b Giả sử số a + 2b, b + 2a bình phương số nguyên a b chia hết cho Bài 1.34 Cho số tự nhiên a, b, c thỏa: a + 2b, b + 2c, c + 2a bình phương số tự nhiên a) Chỉ số thỏa đề b) Giả sử số a + 2b, b + 2c, c + 2a có số chia hết cho Chứng minh rằng: P = ( a − b) (b − c) (c − a) chia hết cho 27 Bài 1.35 Chứng minh abc số nguyên tố b2 − 4ac khơng phải số phương Bài 1.36 Tìm tất số tự nhiên n ≥ cho tồn n số nguyên liên tiếp mà tổng chúng lũy thừa Bài 1.37 Tìm số nguyên tố d cho với a, b ∈ {2, 5, d} ab − số phương Bài 1.38 Chứng minh với d tập {2, 5, 13, d} ln tồn hai số a, b ∈ {2, 5, 13, d} cho ab − khơng phải số phương Bài 1.39 Chứng minh tích hai số ngun tố số phương số số phương Bài 1.40 Cho số nguyên dương a, b thỏa 2a2 + a = 3b2 + b a) Tìm a, b biết a b hai số nguyên tố b) Chứng minh a − b 2a + 2b + số phương Bài 1.41 Cho n ≥ số tự nhiên cho 3n + số phương Chứng minh tìm số nguyên dương a, b, c cho x= 1+ a2 3n + + b2 + c2 số nguyên Trang 10 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 13 Tìm nghiệm ngun khơng âm ( x, y) phương trình ( xy − 1)2 = x2 + y2 ∙ ( xy − 6)2 − ( x + y)2 = −13 ∙ ( xy − − x − y)( xy − + x + y) = −13 Ta có xy − + x + y ≤ xy − − x − y nên có trường hợp ∙ xy − − x − y = −13, xy − + x + y = 1, giải ( x; y) (7; 0), (0; 7); ∙ xy − − x − y = −1, xy − + x + y = 13 (VN); ∙ Vậy phương trình có nghiệm (0; 7), (7; 0) Bài 14 Chứng minh phương trình y2 + y = x + x2 + x3 khơng có nghiệm ngun dương ∙ Ta có x3 = (y − x )(y + x + 1) ∙ Gọi d ước nguyên tố chung lớn y − x, y + x + 1, d số nguyên tố d| x, d|y, suy d|1 (vô lý), Vậy y − x, y + x + nguyên tố ∙ Do y − x = a3 , y + x + = b3 , ab = x ∙ Ta có phương trình b3 − a3 = 2ab + với a, b nguyên dương b > a ≥ Ta có b3 − a3 ≥ a2 + b2 + ab > 2ab + ∙ Vậy phương trình khơng có nghiệm tập số nguyên dương Bài 15 Tìm tất ba số nguyên dương thỏa phương trình: ( x + y)2 + 3x + y + = z2 ∙ Ta có ( x + y)2 < z2 < ( x + y + 2)2 Do z2 = ( x + y + 1)2 hay ( x + y + 1)2 = ( x + y)2 + 3x + y + ⇔ y = x ∙ Vậy nghiệm (n, n, 2n + 1) với n số nguyên dương Bài 16 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau xy + yz + zx − xyz = ∙ Vai trò ( x, y, z) nhau, giả sử x ≥ y ≥ z 1 ∙ + + −1 = > Suy − > 0, suy z < x y z xyz z ∙ Nếu z = x + y = ta có x = y = ∙ Nếu z = 2( x + y) − xy = ⇔ ( x − 2)(y − 2) = 2, giải x = 4, y = ∙ Do tính đối xứng nên nghiệm phương trình (1, 1, 1), (4, 3, 2) hoán vị Trang 20 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 17 Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa: 5x = y4 + 4y + ∙ Có nghiệm (0; 0) ∙ Dễ thấy y chẵn nên y4 + 4y + ≡ 1( mod 8) Suy x chẵn, x = 2k Khi (5k )2 = y4 + 4y + số phương ∙ Ta có y ≥ nên y4 < y4 + 4y + < (y2 + 2)2 Suy y4 + 4y + = (y2 + 1)2 ⇔ y = 2, suy x = ∙ Vậy có cặp nghiệm (0; 0), (2; 2) Bài 18 Giải phương trình nghiệm tự nhiên x − y4 = với x số nguyên tố x = y4 + = (y2 − 2y + 2)(y2 + 2y + 2) số nguyên tố y2 − 2y + = hay y = Từ x = Bài 19 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x2 − y2 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ = + 16y Dễ thấy nghiệm (−1; 0), (1; 0) Ta có y ≥ 0, x thỏa pt − x thỏa nên giả sử x ≥ Ta có ( x2 − y2 )2 = + 16y > 1, suy x2 > y2 ⇒ x ≥ y + Nếu x ≥ y + 2, suy x2 − y2 ≥ 4y + ⇒ ( x2 − y2 )2 > + 16y Do x = y + 1, suy (1 + 2y)2 = + 16y ⇔ 4y2 − 12y = ⇔ y = Suy x = Vậy nghiệm (−4; 3), (4; 3), (−1; 0), (1; 0) Trang 21 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 20 Chứng minh với số tự nhiên n > n5 + n4 + không số nguyên tố ∙ n5 + n4 + = n5 + n4 + n3 − n3 + = n3 (n2 + n + 1) − (n − 1)(n2 + n + 1) = (n2 + n + 1)(n3 − n + 1) ∙ Mà n3 − n + > 1, n2 + n + > với n > nên n5 + n4 + không số nguyên tố Bài 21 Tìm tất số tự nhiên n cho 55 n +1 n + 55 + số nguyên tố Đặt m = 5n ta có Bài 22 Tìm số nguyên tố p để p2 + p số nguyên tố Nhận thấy p = thỏa đề Xét p > p lẻ p khơng chia hết cho Khi p2 ≡ 1( mod 3) p ≡ −1( mod 3) Do p2 + p ≡ nên khơng số nguyên tố Bài 23 Cho p, q số nguyên tố phương trình x2 − px + q = có nghiệm ngun dương Tìm p q ∙ Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Ta có x1 + x2 = p, x1 x2 = q Do x1 , x2 số nguyên dương Giả sử x1 ≥ x2 ∙ Suy x2 = 1, x1 = q, + q = p Do p = 3, q = ∙ Thử lại thấy thỏa đề Bài 24 Tìm tất số nguyên tố p cho tổng ước dương p4 số phương ∙ ∙ ∙ ∙ Theo đề ta có phương trình + p + p2 + p3 + p4 = x2 Ta có (2p2 + p)2 < 4x2 < (2p2 + p + 2) Do 4x2 = (2p2 + p + 1) = 4p2 + 4p3 + 4p2 + 4p + p2 − 2p − = ⇔ p = Trang 22 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 25 Tìm tất số nguyên tố p cho tồn số nguyên dương x, y thỏa phương trình x (y2 − p) + y( x2 − p) = 5p ( x + y)( xy − p) = 5p, x + y ≥ Do có trường hợp sau: x + y = 5, xy − p = p Giải x = 2, y = 3, p = 3, x = 3, y = 2, p = 3, x = 1, y = 4, p = 2, x = 4, y = 1, p = x + y = p, xy − p = x2 − px + p + = p2 − 4( p + 5) == k2 ⇔ ( p − 2)2 − 24 = k2 ⇔ ( p − − k)( p − + k) = 24 Ta có p − − k, p − + k chẵn Có trường hợp sau: + p − − k = 2, p − + k = 12, suy p = (loại) + p − − k = 4, p − + k = 6, suy p = Khi x + y = 7, xy = 12 Giải x = 3, y = x = 4, y = Bài 26 Tìm tất số nguyên tố p cho hệ phương trình p + = 2x2 , p2 + = 2y2 có nghiệm nguyên Ta xét y, x > p = không thỏa ∙ p( p − 1) = 2(y − x )(y + x ), suy p|2(y − x )(y + x ) ∙ p|y − x, suy 2( x + y)| p − (vô lý) ∙ p| x + y, mặt khác p > x, p > y, suy 2p > x + y, p = x + y Khi p − = 2x − 2y 3p − , vào ta giải p = 7, x = 2, y = Từ suy x = Nhận xét Lời giải hay đánh giá p > x, p > y để suy có trường hợp p = x + y Trang 23 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 27 Tìm số tự nhiên x, y, z thỏa 21x + 4y = z2 (z − 2y )(z + 2y ) = 21x Đặt d = (z − 2y , z + 2y ), suy d|2y+1 d|21x , suy d = Do z − 2y = 1, z + 2y = 21x z − 2y = 3x , z + 2y = 7x ∙ z − 2y = 1, z + 2y = 21x , suy 2y+1 = 21x − (Vơ nghiệm 21x − chia hết cho 5, 2y+1 không chia hết cho 5) ∙ z − 2y = 3x , z + 2y = 7x Ta có 7x − 3x = 2y+1 Nếu x = loại, x = y = 1, z = Nếu x ≥ Nếu x lẻ, ta có 7x − 3x = 4(7x−1 + 7x−2 · + · · · + · 3x−2 + 3x−1 ) = 2y+1 Suy 2y−1 = 7x−1 + 7x−2 · + · · · + · 3x−2 + 3x−1 Vơ lý VP lẻ, VT chẵn Nếu x chẵn, x = 2k Ta có 2y+1 = 49k − 9k chia hết cho 5, vơ lý Vậy phương trình có nghiệm (1, 1, 5) Trang 24 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 28 Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa ab = cd Chứng minh a + b + c + d hợp số Đặt k = ( a, c), a = ka′ , c = kc′ , Suy a′ b = c′ d, suy b c′ , đặt b = mc′ , suy d = ma′ Khi a + b + c + d = ka′ + mc′ + kc′ + ma′ = (k + m)( a′ + c′ ) hợp số Bài 29 Tìm tất số nguyên tố p > q > r cho p − r, p − q, q − r số nguyên tố ∙ ∙ ∙ ∙ Nếu số p, q, r lẻ, p − r, p − q, q − r đề chẵn mà số ngun tố 2, vơ lý Do có số nguyên tố chẳn, suy r = p − 2, q − 2, p − q nguyên tố Suy p − q = Vậy p − 2, p, p + số nguyên tố Suy p − = 3, p = 5, q = Bài 30 Tìm số nguyên tố p, q thỏa mãn hệ thức p + q = ( p − q)3 p − q = r ta có r3 = 2p + r Suy p = r3 − r chia hết cho Suy p = 3, q = Bài 31 Chứng minh x2 + 2y số phương với x, y ngun dương x2 + y tổng hai số phương Đặt x2 + 2y = k2 Suy 2y = (k − x )(k + x ) Suy k, x tính chẵn lẻ ∙ Nếu k = 2m, x = 2n y = 2(m − n)(m + n) Khi x2 + y = 2n2 + 2(m − n)(m + n) = 2m2 = m2 + m2 ∙ Nếu k = 2m + 1, x = 2n + y = 2(m − n)(m + n + 1) x2 + y = (2n + 1)2 + 2(m − n)(m + n + 1) = 4n2 + 4n + + 2m2 − 2n2 + 2m − 2n = 2n2 + 2n + 2m2 + 2m + = (m + n + 1)2 + (m − n)2 Bài 32 Chứng minh 3x + 4y, 3y + 4x số phương x, y chia hết cho Đặt 3x + 4y = k2 , 3y + 4x = m2 Ta có k2 + m2 = 7( x + y) chia hết cho Suy k, m chia hết cho Khi y − x chia hết cho 7, y + x chia hết cho 7, suy 2x, 2y chia hết cho 7, suy x, y chia hết cho Trang 25 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 33 Các số nguyên dương a, b Giả sử số a + 2b, b + 2a bình phương số nguyên a b chia hết cho Chứng minh tương tự Bài 34 Cho số tự nhiên a, b, c thỏa: a + 2b, b + 2c, c + 2a bình phương số tự nhiên a) Chỉ số thỏa đề b) Giả sử số a + 2b, b + 2c, c + 2a có số chia hết cho Chứng minh rằng: P = ( a − b) (b − c) (c − a) chia hết cho 27 a) (3, 3, 3) thỏa đề b) ∙ a + 2b = x2 , b + 2c = y2 , c + 2a = z2 ∙ x2 + y2 + z2 = 3( a + b + c) chia hết cho Khơng tính tổng quát giả sử x2 chia hết cho 3, suy y2 + z2 chia hết cho 3, suy y, z chia hết cho Khi a + b + c chia hết cho Suy a − b, b − c, c − a chia hết cho Vậy P chia hết cho 27 Bài 35 Chứng minh abc số nguyên tố b2 − 4ac khơng phải số phương Giả sử b2 − 4ac số phương giả sử y2 Khi 4acdotabc = 400a2 + 40ab + 4ac = (20a + b)2 − y2 = (20a + b − y)(20a + b + y) Do abc số nguyên tố nên ước 20a + b − y ước 20a + b + y Suy 4a bội 20a + b − y 20a + b + y Mà 4a < 20a + b − y (vô lý) Bài 36 Tìm tất số tự nhiên n ≥ cho tồn n số nguyên liên tiếp mà tổng chúng lũy thừa Gọi n số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, · · · , a + n − Giả sử ( a + a + + · · · a + n − 1) = 2k (2a + n − 1)n = 2k Vì 2a + n − 1, n khơng tính chẵn lẻ 2a − + n ≥ n nên ta có n = 1, 2a − + n = 2k+1 (vô nghiệm) Trang 26 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 37 Tìm số nguyên tố d cho với a, b ∈ {2, 5, d} ab − số phương ∙ Ta có 2d − = x2 , 5d − = y2 (1) ∙ 3d = (y − x )(y + x ) d = không thỏa đề Suy d|y − x d| x + y, suy y − x |3 y + x |3 ∙ Nếu y − x = 1, x + y = 3d, suy x = ∙ Nếu y − x = 3, x + y = d x = 3d − , vào (1) vô nghiệm d−3 , giải d = 13 Bài 38 Chứng minh với d tập {2, 5, 13, d} ln tồn hai số a, b ∈ {2, 5, 13, d} cho ab − khơng phải số phương Ta chứng minh không tồn d để 2d − 1, 5d − 1, 13d − số phương Giả sử tồn x, y, z cho 2d − = x2 , 5d − = y2 , 13d − = z2 (1) Nhận xét: Một số phương chia cho dư 0, Ta có 2d − lẻ số phương nên 2d − ≡ 1( mod 4), suy d lẻ Khi x2 + ≡ 2( mod 4) Và y, z số chẵn Từ (1) ta có 4( x2 + 1) + y2 + = z2 + ⇔ 4( x2 + 1) = z2 − y2 Mà y, z chẵn, suy y = 2k, z = 2m Ta có x2 + = m2 − k2 Hơn m2 , k2 ≡ 0, 1( mod 4), suy m2 − k2 ≡ 0, −1, 1( mod 4), mà x2 + ≡ 2( mod 4) (Mâu thuẫn) Từ ta có điều cần chứng minh Bài 39 Chứng minh tích hai số nguyên tố số phương số số phương Cho ab = x2 , ( a, b) = Đặt d = ( a, x ), a = a′ d, x = x ′ d ta có a′ b = x ′2 d Do ( a′ , x ′2 ) = nên b chia hết cho x ′2 Mặt khác ( a, b) = nên (b, d) = 1, suy x ′2 chia hết cho b Do b = x ′2 , a′ = d Từ ta có a = a′2 , b = x ′2 số phương Nhận xét Tương tự ( a, b) = ab = x k a, b lũy thừa bậc k số nguyên Đây bổ đề hay sử dụng Bài 40 Cho số nguyên dương a, b thỏa 2a2 + a = 3b2 + b a) Tìm a, b biết a b hai số nguyên tố b) Chứng minh a − b 2a + 2b + số phương a) a(2a + 1) = b(3b + 1) Ta có 3b + chia hết cho a 2a + chia hết cho b Đặt 2a + = kb, suy 3b + = ka Suy 6ab + 2a + 3b + = k2 ab, suy k = 1, Nếu k = ta có 2a + = b, 3b + = a (Vô nghiệm) Nếu k = ta có 2a + = 2b, 3b + = 2a (Vơ nghiệm) Phương trình vơ nghiệm Trang 27 NGUYỄN TĂNG VŨ b) Ta có ( a − b)(2a + 2b + 1) = b2 Giả sử p ước nguyên tố a − b, 2a + 2b + 1, suy p|b2 ⇒ p|b, suy p| a, suy p|1 (vơ lý) Do ( a − b, 2a + 2b + 1) = Từ ta có a − b, 2a + 2b + số phương Trang 28 NGUYỄN TĂNG VŨ ‘ Bài 41 Cho n số nguyên dương d1 < d2 < d3 < d4 ước dương nhỏ n a) Chứng minh n chẵn khơng chia hết cho b) Tìm n biết n = d21 + d22 + d3+ d24 a) Giả sử n số lẻ d1 , d2 , d3 , d4 ước của n nên số số lẻ Khi ta có: d1 ≡ ( mod4), d2 ≡ ( mod4), d3 ≡ ( mod4), d4 ≡ ( mod4), vậy: n = d21 + d22 + d23 + d24 ≡ ( mod4) Đây điều vơ lý, từ ta có: n phải số chẳn, hay n chia hết cho Khơng tính tổng qt ta giả sử: d1 < d2 < d3 < d4 Do n số chẳn nên: d1 = d2 = Nhận xét: x2 ≡ 0; ( mod4) n = + d23 + d24 , từ ta có n khơng thể chia hết cho b) Do n số chẳn nên ta có hai số d3 d4 phải có số chẳn số lẻ Nhận xét: Nếu có ước số lẻ ước phải d3 ước số lẻ d4 d3 phải số chẳn Từ ta có: d = 2k (k ∈ N * ) Do n d nên n chia hết cho k Vậy k 3 ước n k < d3 Điều vơ lí d3 ước số nhỏ thứ ba n Vậy d3 = p với p số nguyên dương lẻ Nếu ước số thứ nằm p 2p tức p < d4 < 2p d4 số chẳn nên ta có: d4 = 2m (m ∈ N * ) Từ ta có: m < p = d3 m ước n Điều vơ lí nên từ ta có: d4 = 2p với p số nguyên dương lẻ Từ ta có: n = 5p2 + Vậy n 5, n có ước 5, d = 5, d = 10 Suy ra: n = 130 Thử lại: Nếu: p = Khi n = 130 U (n) = {1, 2, 5, 10, }, từ đó: d21 + d22 + d23 + d24 = 12 + 22 + 52 + 102 = 130 = n Vậy n = 130 Bài 42 Cho m, n d số nguyên dương Chứng minh mn2 + m2 n + chia hết cho d m3 + n3 + chia hết cho d ∙ Dễ thấy (d, m) = (d, n) = ∙ d|mn(m − n) mà (d, mn) = 1, suy d|m − n ∙ d|mn3 + n = m(n3 + 1) + n − m Suy d|m(n3 + 1) mà (d, m) = 1, suy d|n3 + Tương tự ta có d|m3 + Trang 29 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 43 Với n thuộc N, tìm giá trị nhỏ tổng chữ số số A = 3n2 + n + ∙ Khi n = ta có 3n2 + n + = 201, tổng chữ số ∙ Ta chứng minh tổng chữ số 3n2 + n + không 1, ∙ Ta có A số lẻ nên khơng thể có dạng 10k · 10k viết dạng 10k + 10l với k > l > ∙ Giả sử 3n2 + n + = 10k + ⇔ n(3n + 1) = 10k Mà n, 3n + nguyên tố n < 3n + nên n = 2k , 3n + = 5k Ta có · 2k + = 5k ∙ k = khơng thỏa, k ≥ 5k > 4k > 3.2k + ∙ Vậy tổng chữ số nhỏ Bài 44 Cho n ≥ số tự nhiên cho 3n + số phương Chứng minh tìm số nguyên dương a, b, c cho x= 1+ a2 3n + + b2 + c2 số nguyên ∙ 3n + = (3p + 1)2 3n + = 3( p2 + p2 + ( p + 1)2 ) chọn a = b = p, c = p + ∙ 3n + = (3p + 2)2 3n + = 3( p2 + ( p + 1)2 + ( p + 1)2 ), chọn a = p, b = c = p + Bài 45 Chứng minh không tồn số nguyên dương n cho n + k2 số phương với n số nguyên dương k khác ∙ Giả sử ngược lại, tồn n n số k1 < k2 < · · · < k n thỏa n + k2i số phương ∙ Đặt n + k2i = m2i , với m1 < m2 < · · · < mn , n = (mi + k i )(mi − k i ) ∙ Nếu mi − k i = m j − k j mi + k i = m j + k j , suy mi = m j , k i = k j , mi − k i khác ∙ Suy n có n ước khác lớn (mâu thuẫn) Trang 30 NGUYỄN TĂNG VŨ 1 Bài 46 Tìm tất các số hữu tỷ dương x, y, z cho x + , y + , z + số nguyên y z x 1 = a, y + = b, z + = c y z x 1 a−x y= ,z = = a−x b−y ab − − ax Khi (bc − 1) x2 + ( a − b + c − abc) x + ab − = ∆ = ( a − b + c − abc) − 4(bc − 1)( ab − 1) số phương Nếu bc = b = 1, c = 1, suy a = (không thỏa) Nếu bc > ta có ∆ = ( abc − a − b − c)2 − số phương Khi abc − a − b − c = abc − a − b − c = −2 Nếu abc − a − b − c = giải ( a, b, c) (1, 2, 5), (1, 3, 3), (1, 5, 2), (2, 2, 2) Từ giải x, y, z Nếu abc − a − b − c = −2 (Vô nghiệm) ∙ Đặt x + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Trang 31 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 47 Tìm tất số nguyên dương a, b cho √ √ a+ √ √ b+ số hữu tỷ ∙ ∙ ∙ ∙ √ √ a+ √ = x Đặt √ b + √ √ √ √ a−x b = x 3− √ √ ab − = y ∈ Q Suy y = ab = Thử lại ta có a = 3, b = thỏa đề Bài 48 Tìm tất số tự nhiên a để tồn số nguyên tố p, q, r thỏa a= p+q q+r p+r + + r p q ∙ Nếu số có số nhau, giả sử p = q ̸= r Khi ta có a = 2( p r + ) + r p 2( p2 + r ) = a − pr Suy pr |2( p2 + r2 ), mà ( p, r ) = 1, suy p|2, suy p = Vô lý ∙ Nếu số khác Ta có apqr = pq( p + q) + qr (q + r ) + pr ( p + r ) Suy p|qr (q + r ), suy p| p + q + r Tương tự ta có q| p + q + r, r | p + q + r Suy pqr | p + q + r Ta có pqr > 4r, suy 3pqr > 4( p + q + r ) > 4pqr Vô lý ∙ số nhau, a = Suy Trang 32 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 49 Số tự nhiên n gọi số đẹp tồn số tự nhiên x, y, z cho: n = [ x; y] + [y; z] + [z; x ] với [ a; b] bội chung nhỏ hai số a, b a) Chứng minh n = 2017 số đẹp b) Chứng minh số lẻ số đẹp c) Chứng minh n = 22017 số đẹp a) Ta chọn ( x; y; z) = (1, 1, 1008) Khi đó: [1; 1008] + [1; 1008] + [1; 1] = 1008 + 1008 + = 2017 b) Với số n lẻ, tức là: n = 2k + k số nguyên dương Ta chọn: ( x; y; z) = (1, 1, k), đó: [1; k] + [1; k] + [1; 1] = k + k + = 2k + = n Vậy số lẻ số đẹp c) Do 22017 số chẳn nên có hai trường hợp xảy ra, ba số [ x; y] , [y; z] , [z; x ] số chẳn, ba số có hai số lẻ số chẳn Giả sử tồn hai số lẻ, giả sử: [ x; y] lẻ, suy ra: x, y số lẻ, [y; z] lẻ, suy ra: y, z số lẻ, từ ta có: [z; x ] số lẻ, vậy: [ x; y] + [y; z] + [z; x ] số lẻ (mâu thuẫn) Từ ta có: [ x; y] , [y; z] , [z; x ] phải ba số chẳn Như ba số x, y, z phải có hai số chẳn, giả sử x y Đặt: x = 2a t1 (t1 số tự nhiên lẻ), y = 2b t2 (t2 số tự nhiên lẻ) Khơng tính tổng qt giả sử 2017 ≥ a ≥ b ≥ Ta xét hai trường hợp: (a) z lẻ Khi ta có: [ x; y] = 2a m1 với m1 số lẻ, [y; z] = 2b m2 , với m2 số lẻ, [z; x ] = 2a m3 , với m2 số lẻ Từ đó: 2a m1 + 2b m2 + 2a m3 = 22017 ⇔ 2b 2a−b m1 + m2 + 2a−b m3 = 22017 ⇔ 2a−b m1 + m2 + 2a−b m3 = 22017−b Do vế trái đẳng thức số lẻ, vế phải số chẳn Từ ta có trường hợp khơng thể xảy (b) z số chẳn Như vậy, x, y, z số chẳn, đặt: z = 2c t3 , với (t3 số tự nhiên lẻ) không tính tổng quát, giả sử: 2017 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ Vậy: [ x; y] = 2a m1 , [y; z] = 2b m2 , [z; x ] = 2a m3 với m1 , m2 , m3 ba số tự nhiên lẻ Từ đó: 2a m1 + 2b m2 + 2a m3 = 22017 ⇔ 2b 2a−b m1 + m2 + 2a−b m3 = 22017 ⇔ 2a−b m1 + m2 + 2a−b m3 = 22017−b Do vế trái đẳng thức số lẻ, vế phải số chẳn Từ ta có trường hợp khơng thể xảy Trang 33 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài 50 Chứng minh không tồn số nguyên a, b thỏa đồng thời điều kiện sau: a) 16a − 9b số nguyên tố b) ab số phương c) a + b số phương Giả sử tồn a, b thỏa đề Đặt ab = x2 , a + b = y2 Gọi d ước chung lớn a b Giả sử d > Đặt a = a′ d, b = b′ d, suy a′ , b′ nguyên tố Ta có 16a − 9b = d(16a′ − 9b′ ) nguyên tố, suy 16a′ − 9b′ = d nguyên tố Ta có d2 a′ b′ = x2 , suy a′ b′ phương mà ( a′ , b′ ) = nên a′ , b′ số phương (1) Ta có 16a′ = 9b′ + ≡ 0( mod 4), suy b′ ≡ 3( mod 4) khơng thể số phương (Mâu thuẫn (1)) Vậy d = hay a, b nguyên tố Từ ab = x2 ta có a, b phương Đặt a = m2 , b = n2 (m, n > 0), suy 16a − 9b = 16m2 − 9n2 = (4m − 3n)(4m + 3n) số nguyên tố Suy 4m − 3n = Khi m = 3k + 1, n = 4k + Suy y2 = a + b = (3k + 1)2 + (4k + 1)2 = 25k2 + 14k + 2(2) Ta có (5k + 1)2 < 25k2 + 14k + < (5k + 2)2 nên (2) vô nghiệm Vậy không tồn a, b thỏa đề Trang 34 ... = 10( 5k + 1) + = 50k + 11 ∙ Với n = 10q + Ta có A = (10q + 4)210q+4 + 310q+4 = (160q + 64)210q + 81.310q ≡ (10q + 14)(−1)q + 6(−1)q ( mod 25) ≡ (−1)q (10q + 20)( mod 25) Do A chia hết cho 25 10q... số đẹp c) Chứng minh n = 22017 số đẹp a) Ta chọn ( x; y; z) = (1, 1, 100 8 ) Khi đó: [1; 100 8 ] + [1; 100 8 ] + [1; 1] = 100 8 + 100 8 + = 2017 b) Với số n lẻ, tức là: n = 2k + k số nguyên dương Ta chọn:... n.2n + 3n chia hết cho n = 10q + 1, 10q + Ta tìm q để n.2n + 3n chia hết cho 25 ∙ Với n = 10q + ta có A = (10q + 1)210q+1 + 310q+1 = (20q + 2) .102 4q + 3.310q Ta có 102 4 ≡ −1( mod 25), 31 ≡ −1(