Cải tiến thuật toán tối ưu hàm lồi bằng tìm kiếm tam phân và quy hoạch động

Ưu điểm của tìm kiếm tam phđn so với tìm kiếm nhị phđn, tính toân độ phức tạp tìmkiếm tam phđn để qua đó thấy sự hiệu quảtrong việctìmcực trị của Hăm lồi.. Trong toân học, mộthămcó giâ t

Hội nghị Khoa học trẻ ỉần 5 năm 2023(YSC2023)-ỈUH

YSC5.F004

CẢI TIẾN THUẬT TOÁN TỐI ưu HÀM LÒI BẰNG TÌM KIẾM TAM PHÂN VÀ

}Khoa Công nghệ Thông tin, TrườngĐại học Công nghiệp Thành phổ Hồ Chỉ Minh

*tranlocỉ20603@gmail com

Tóm tăt Tronglĩnh vực tối ưu, các bài toán liên quanđến hàmlồi cũngnhưđộ hiệu quảvềthời gian tính toán của chúng chiếmmột vị hí quanhọng Tính chất của hàm lồi là đạt cực đại hoặccực tiểu tạimột vị trí duy nhất trongmiền xác định, mà ở đây ta quan tâmmiền củabài toán là tập hợprời rạc Khi đó, có hai

cách tiếp cận nổibật là thuậttoán chia để hị và quỵ hoạchđộng, đều cóđặc điểmchung là phân tíchvấn

đề lớn thành các vấn đề con đồng dạngnhưng cókíchthướcnhỏhơn đểgiải quyết độclập Trong bài báo

này, nhóm sẽtìm hiểu tập hung vềmộtdạng chia đểtrịđộc đáo là tìm kiếm tamphâncũngnhư đề xuất các cáchcải tiến quỵhoạch động dùng bao lồivà Alien trick Từ đó, nhóm sẽ ứngdụng các kỹ thuật này vào giải quyếtmột số bài toán tối ưunổi bật trong khoahọc máy tính

Từ khóa Hàm lồi,Chia để trị, Tìm kiếm tam phân,Quỵ hoạch độngbao lồi,Alien trick

IMPROVEMENT OF CONVEX OPTIMIZATION USING TERNARY SEARCH AND

DYNAMIC PROGRAMMING

Abstract In optimization scope, the class of problems involving convex functions as well as theữ

computational time efficiency play an important role The property of a convex function is to reach maximum ora minimum at asingleposition ina given domain, where we areinterested ina discrete set Thereare two prominent approaches, divide and conquer algorithms and dynamic programming, both of

which have die common feature of analyzing a large problem into smaller subproblems to be solved

independently In this article, the group will focuson a uniquedivide-and-conquerform of ternarysearch

and propose thewaystoimprovedynamicprogrammingusing convex hulls and theAlienhick From there,

we will apply these techniques to solve some outstanding optimizationproblems in computer science

Keywords Convex function, Divide-and-Conquer, Ternarysearch, Convex DP,Alien trick

1 GIỚI THIEL

Tronglĩnh vực tối ưu, các bài toánliên quanđến hàmlồi xuất hiện khá phổ biến và có vai trò quahọng Ta

xem xétgiải quyết chúng dựahên tính chính xác củathuậttoán cũng như độ hiệu quả vềthời gian tính toán Trongnghiên cứu này,chúng tôisẽđưa racác nội dung:

1 Tổng quan lỷ thuyết, các tỉnh chất về hàm lồi'. Trình bày tổng quan về các lý thuyết, tính chất Từ các

tính chất đó đề xuất cáccách tối ưuHàm lồiđểgiảiquyết bài toán chính

2 Giới thiệu phương pháp tìm kiếm tam phân\ Phântích, hình bày việc tối ưu tìm kiếmcực trị so với cách

làmthôngthường Ưu điểm của tìm kiếm tam phân so với tìm kiếm nhị phân, tính toán độ phức tạp tìm

kiếm tam phân để qua đó thấy sự hiệu quảtrong việctìmcực trị của Hàm lồi Tính ứng dụng của tìm kiếm

tam phân thông qua Ternary Search Tree

3 Quy hoạch động:Trình bàycác lýthuyết,bàitoán, vấnđề mô tả cho phươngpháp giải bằng quỵhoạch động, quỵ hoạch độngbao lồi Qua tính chất củaHàmlồi, đề xuất cách tối ưu quỵ hoạch độngbằng các thủ thuật như“Aliens Trick”, từ đó giảmthiểu thời gian tính toán, cho ra kết quả nhanhchóng vàmột số bài toán mangtínhứngdụng thực tếqua thủ thuật “Aliens Trick”

Hội nghị Khoa học trẻ lần 5 nám 2023(YSC2023)-ỈUH

Chúng tôi sẽ cảitiến thuậttoán tối ưuhàm lồi bằng cách kết hợp tìm kiếm tam phânvàquyhoạch động Phương phápnày đã được chứngminh là hiệu quả trong việc tối ưu hóa các bài toán, thường được đặt trong khoa học máy tínhvà các cuộcthi giảithuật Từ đó, góp phần đề xuấtcáccách tối ưucác vấn đề thực tế

2 Cơ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Hàm lồi và các tính chất

Mộttập hợp Xtrongkhônggianvectơlà tập lồi nếu vớibấtki a> b e X, đoạn thẳng nối a vàbcũngthuộc

X. Điều nàycó nghĩa là vớimọiẢ e [0,1], ta có: [1]

Hình 1: Ví dụ về tập lồi Tập họp đầu tiên (bêntrái) không phải là tập lồi dotồn tạicác đoạn thẳng không nằm trong tập họp Hai tập còn lại là tập lồi vì mọi đường thẳng nốihai điểmbấtkỳ trong tập đều nằm trong tập hợp đó Trong

toán học, mộthàmcó giá trị thực định nghĩa một khoảng cách chiều n được gọi là lồi nếu đoạn thẳng ở

giũa, nốibất kỳ haiđiểm nào của đồthị củahàmsố nằm phíatrên đồ thịgiữa hai điểm

Tương tự, một hàm là Hàm lồi nếu tập hợp các điểm ở trên hoặc phía trênđồ thị hàm số (epigraph) là một

tập lồi Nóđược định nghĩa trên một tập họp các điểm trong khônggian Euclidbằng cách yêu cầu rằng mỗi

đoạn thẳng giữa hai điểm bất kỳ trên tập hợp đóphải nằm hoàn toàn trên hoặc bên trêntập hợp đó

Hàm đạo hàm cấp hai của một biến đơn là hàm lồi nếu vàchỉnếu đạo hàm cấphai của nó là khôngâmtrên toàn bộ miền giá trị củanó.Một hàm lồi cóthể được biểu diễn như sau:

Hình biểu diễntronghệ trục (x,/■(%)) Ta thấy hàm f là hàm lồi thìchắc chắn rằng mọi giá trịcủa ftrong đoạn [%, y] luônnhỏ hơn (nằm dưới) đoạnthẳng nốigiữa2 điểm (%,/(%)) và (y, f(yỴ).

Hình 2: Ví dụ về Hàm lồi

Hàm f được gọi lồi chặtnếu bất đẳng thức (2) làdấu <1E(0,1) Hàmlõm (Concave)được định nghĩa

ngược lại vớihàmlồi.Một hàm số f là lõmnếunhư - f là một hàm lồi.Đường tiếp tuyến: đườngtiếp tuyến của một hàmlồi trên một điểm bất kỳ trên đồ thị củanóluônnằm phía dưới đồ thị củahàmsố đó Đạo

hàm: đạo hàm củamột hàm lồi là mộthàm luônkhônggiảm trên miền xác định của hàm số banđầu

Hội nghị Khoa học trẻ ỉần 5 nấm 2Ồ23(ĨSC2O23)-ỈUH

2.2 Hàm loi trên tập ròi rạc

Xéthàm số/’(%)trêntậphợp số nguyên dưcmg [0,1, >«}■ Khiđó, để kiểm tra xem hàm này có đơn điệu

không, có lồi/lõmkhông, ta không thể dùng phép tính đạo hàm được, ta sẽkiểm tra trực tiếp như sau:

• Hàmđơn điệu biến: Ô(f)= f(n + 1) - f(n), nếu luôn có ó'(/) < 0 thì hàm nghịch bi ến, còn nếu luôn có ố'(/) >0 thì có hàm đồngbiến.Đậlượng nạp tươngtựđạo hàm cấp 1 cùa hàm f

• Hàm lồi: = f(n + 1) - f(n) - (/(n) - f(n - 1)) = f(n + 1) + f(n - 1) - 2f(n)

vànếu ố'(ô(/")j > 0 thì ta có hàm lồi, còn nếu luôn âm thì ta có hàm lõm Đạilượng nậy tương tự đạo hàm cấp 2 cũahàm f và thường được dùng trong các bài toán thực tế đề ki ểm tra tínhchấtcủa

hàm trên tập rời rạc (doviệc tìm cực trị cũng thường xét đốivớicáchàmnại’-)

Điểm uốn: nếu một hàm số cóđạo hàm liên tục trênmộtmiềnxác định, thì điểm uốn cùa hàm số đó phấ nằm giữa hai điểm cực trị của hàm số đó Kết hợp hàm lồi: một tổng có trọng số củacác hàm lồi cũnglà

một hàm lồi Tích của hàm lồi và một số dương làmột hàm lồi [3]

2.3 Tim kiếm tam phân

2.3.1 Định nghĩa

Timkiếm tam phân (Ternarysearch) là một thuật toán chiađểtrị (Divide andconquer) được sử dụng để

giãi quyết bài toán tối uu hàm đơn điệu (Ưnimodal function) Một hàm đơn điệu là một hàm mà chĩ cómột điểm cực trị duy nhất và giá trịcũa hàm tăng hoặc giãm đơn điệu từ hai phía củađiểm cựctrị đó

Thuật toán tìm kiếm tam phân hoạt động bằng cáchchọn hai điểmchốttrongkhoảng tìm kiếm ban đầu và

so sánh giá trị cùa hàm tậ hai điểm chốt nạp để loại bõ một phần cùakhoảng tìm kiếm không chứa điểm cực trị Quá trình nạp được lặp lại cho đến khikhoảng tìm kiếmthu hẹp xuống dưới mộtngưỡng cho trước

Điều này được thực hiện bằng cáchchiakhoâng tìm kiếm thành ba phần bẳngcáchsửdụngtỷ lệ cắtvàcòn

1 ậ, vàxác định khoâng chứa điểm cựctrị dựa trên so sánh gi á trịcũahàm tại cácđiểmchốt [4]

Cho một hàm F(x) trong đoạn [z,r] thỏ a mãn: F tăng chặt tới một cực đậ (điểm/ỉ) rồi giâm chặt Yêu cầu tìm điểm đạt giá trịlớn nhất (điểm H")

Xét hai vị tríma, m2 trong [z,r] sao cho l < m2 < m.2 < T. Rõ ràng cực trị có thể nằm 1 trong 3 phần:

Hình 3: Các hình ảnh m ô tã cho ba trương hợp của thuật toán

♦ Khi ta chắc chắn sẽ có F(m 2 ) > F(m.2)

♦ m2] Ta chưa thể rút ra kết luận gì về F(m 2 ) vàF(t722)

♦ [m-2> r].Tươngtựtrường hợp đầu, chắc chắn F(m 2 ) < F(m.2)

Ngược lại, bằng việc so sánh F(m2)vàF(m2),ta có thể rút ra kết luận như sau:

♦ F(m2 ) > F(mi): Ta biết chắc chắn H nằm trong [ỉ, m2].

♦ F(m2 ) = F(m2): H nằm trong (Lưu ý: trường hợp này khi xét 2sốthực, thường bỏ qua

trường hợp này, để tránh sai số, vàdotrênthực tế 2 sốthực hầu như khôngbao giờ bằng nhau)

Do đó, dựavào việc so sánhF ở hai điểmm 2 , m2 ta có thể thay đổi và giảm không gian tìm kiếm [z,r]

xuốngmộtkhoảng không gian nhỏ hơn [r,r'] Nếu tachọn:

Hội nghị Khoa học trẻ ỉần 5 năm 2023(YSC2023)-ỈUH

_ (r-V)

thìsau môi lân,độ lớn của đoạn [/,r] giảm xuông còn lân

Nếu ta lặp đi lặp lại K lần, thìđộ lớn của [/,r] sẽ chỉ còn là Ví dụvới ỉ = -109,r = 109, ta lặp lại

K = 100 lần,thì đoạn [/,r] thu về chỉ còn độdài là

(|)100 * (2.109) < 5.10-9,

đủchính xác với hầu hết các bài Độ phức tạp là O(logT) vớiT là độ chính xácmà ta cần thực hiện

2.3.2 So sánh tìm kiếm tam phân và tìm kiếm nhị phân

Giống: Cả hai thuật toántìmkiếm nhị phân(Binary search)và tìm kiếm tam phân (Ternary search) đều là các thuật toántìm kiếm hên đoạn so(Range query) Tìmkiếmtam phân cũng tương tựnhư tìmkiếmnhị

phân nhưng tìm kiếm tam phân là cải tiếncủatìm kiếm nhị phân

Ternary Search Binary Search

Phuưng pháp Chia không gian tìm kiếm thành 3 phần

bằng cách sử dụnghai chỉ số, tức là l và r

Nó so sánh phần tử mụctiêu với hai phần

tửở giữa(mộtở gần l và mộtở gầnr) và

dựa trên kết quả so sánh đó để xác định

phần nào của không gian tìm kiếm chứa phầntử mục tiêu

Chia không gian tìm kiếm thành hai

phầnvà so sánh phần tử mục tiêuvới phần tử ở giữa củamảng con hiện tại

Hiệu suất

Tìm kiếm tam phân hoạt động trên các mảng đã được sắp xếp Nó hiệu quả hơn binary search hong một số hường hợp, nhưng không phải lúc nào cũng như vậy

Tìm kiếm tam phântạo ra nhiềuphân vùng

hơn, do đó có thể tốnnhiều thời gian hơn

đểthực hiện so sánh Tìmkiếm tam phân

có thể tìm kiếm cực hị hên hàm lồi

Tìmkiếmnhị phân hoạt độngtốt trên

các mảng đã được sắp xếp Nó là một

thuậttoán đơn giản và hiệuquả, nhưng yêucầu mảng đầu vào đã được sắp xếp

trước

Tìm kiếm nhị phân không tìm được cực hị hên hàm Lồi

2.4 Quy hoạch động

Quỵ hoạch động là mộtphươngpháp tính toán được sửdụngđể giảiquyết các vấnđề tối ưuhóa trong lĩnh vực khoa học máy tínhvà toánhọc Phương pháp này tập hung vào việc phân táchcác vấn đề lớnthành

các vấnđề connhỏ hơn, từ đó tìm ragiải pháp tối ưu cho từng vấnđềcon, sau đó kết hợp chúng lại để tạo

ra một giải pháp tối ưu cho toàn bộ vấn đề lớn hơn [5].Dưới đâylàmộtbài toán minh họa:

Vỉ dụ: Cho một bảnggồm N hàngvà M cột Các hàngvà cột được đánh số từtrên xuống dướivàtừ hái

qua phải O hàngthứ i và cột thứj được đánh dấu là ô Có Kvậtcản nằm hên một số ô nhất định Ta đang đứng ở ô (1,1).Hãy tính toánxemcó bao nhiêu cách di chuyển đếnô (V, Af) biết chỉ được phép di

chuyểnsang phảihoặc xuống dướivà không được di chuyển đến ô có vật cản

Gọi F[x,y] là sốcách để đi đếnđượcô (x,y) Đedi chuyển đến ô (x,ý) nào đó, ta có thể di chuyển từ ô

(x-1, y) xuống dưới hoặc ô (x, y- 1) sang phải Vậy nếutabiếtđược số cách di chuyển đếnô (x-1, ý)và

ô (x, y- 1)thì ta sẽ có sốcách di chuyển đến ô (x, ý) hay

F[x,y] = F[x-l,y] + F[x,y-1]

Neu ô (x,ý) có vậtcản thìF[x,y] = 0

Chẳng hạn ta có bảng 4hàng 6cột vàhaiô có vậtcản là (3,3), (2,5) được mô tả dưới ảnh sau:

Hội nghị ỉữioa học trẻ lần 5 năm 2023(YSC2023)-ỈUH

Hình 4: Bảng di chuyền 4 hăng ố cột trong băi toân trín

" - Hăng

Dưới đđy lă đoạn mêC++ đề giải băi trín:

//Đânh dầu câc ô hăng 1 chỉ có một câch di chuyến

for (int i = 1; i <= m; i++) {

if (check(1, í)) F[l, í] = 1;

}

//Đânh dấu câc ô cột 1 chỉ có một câch di chuyển

for (int 1 = 1; i <= n; i++j {

if (check (í, D) F[i, 1] = 1;

}

//Tính số câch di chuyển cho câc ô còn lại

for (int í = 2; í <= n; Í++) {

for (int j = 2; j <= m; j++) {

if (check(i, j)) F[i, j] += F[i-1, j] + F[i, j-1];

}

}

Độ phức tạp thuật toân: 0(N * M)

Với check(í,ý) sẽ trả về True nếu khôngcó vật cản ở ô(Ị,ý) vă Falsenếu có vật cản Băi toân trín đêđược

giải bằng phưong phâp quyhoạch động dựa trín phđn tíchvấn đề lớn bằng vấn đề nhỏ hon Cụ thề lă tính được sốcâch di chuyền cho hai ô(x- l,ỹ)vẵ(x, y-1)thì tasẽ có được số câch di chuyền đến ô(x,y).

Đồngthời kết quả F[%, y] năy cũngcó thểđược dùnglại nhưlămộtvấn đề nhỏ honđể tính cho câc ô khâc

vă xđy dụngchung cho kết quảbăitoân cuối cùng.Vậy kết quảbăi toân trín sẽlă F[N, M]

3 ỨNG DỤNG VĂO BĂI TOẤN TỐI Ưu HĂM LÒI

3.1 ứng dụng tìm kiếm tam phđn văo tối ưu hăm lồi

Ta có thể thiết lậphămmục tiíu cho băi toân tối ưu,sau đó kiểm traxemnó cólồi/lõm không Một khi

kiểm tra được, ta sử dụngtìm kiếm tamphđnnhư đê môtả ởtrín đềcó thể xâc đnli được cực trị cần tìm

(chúý rằng nó có thểlă số nguyín hoặcsố thực)

Ví dụ: Hai người cùng di chuyềncùng nhau, người thứ nhất di chuyển từ A c

phât ở vị tríA,người thứ hai xuất phât ở vịtríc. Họ duy trì tốc độ dichuyển

của mình sao cho khi ngườithứ nhất tới đềm B thì ngườithứ hai cũng tới

điềmD. CâcđềmA,B,C,D được cho trong không gianhai chiíu Bạnhêy

tìm khoảng câch Euclidean nhỏ nhắt trong quâtrìnhdi chuyển củahaingười

đó Bạnsẽ được cho tọa độ (x,y) của câcẽfiềmđóvă hêy trả lời cđu hỏi A

Vídụ băitoâncó câc cfiem có tọađộ: >1(2,3), B(4,5),C(5,5), D(4,1)

Hội nghị Khoa học ỉ rẻ lẩn 5 năm 2023(YSC2O23)-ỈƯH

Hình 5: Ví dụ bài toán ứng dụng tìm kiêm tam phân trong hàm lôi Giả sử thời gian di chuyển từlúc bắt đầu đến lúc kếtthúc1 à Is Phương trình khoảng cách Euclid giữa hai

người trong quá trình di chuyển theo đơn vịthời gian tlà:

Tathấy đạo hàm cấphai y"(x) luôn > 0 với í E [0,1] nênhàm khoảng cách giữa hai người di chuyển

trên là một Hàmlồi Ta ápdụngtìm kiếm tamphân để tìm min(/(x)) trên:

def caIcDistance (m) :

return math.sqrt(45 *m*m-42*m + 13)

lo, hi, ans, -time = 0, 1, le9, 1

while (lo < hi) :

ml = lo 4- (hi - lo)/3

m2 = hi - (hi - lo)/3

if calcDistance (ml) < calcDistance(m2) :

hi = m2

cur = calcDistance(ml)

else:

lo = ml

cur = calcDistance(m2)

if abs (cur - ans) < le-6:

break

ans = cur

print (str (time) + T T 4- str(lo) 4- T T 4- str (hi) 4- T T 4- str(ans))

time 4-= 1

lo:hi Lầnl Lần 2 Lần 3 Lần 4 Lần 15 Lần lõ

ca]cDỉsỉance(ml):ca]c Distant eộni2) 0:1 0:O.ỔỔÓỂỔ7 0.222222:O.6ỔỔỔÓ7 0.37037:0.ỔỔỔỂỔ7 0.460028:0.408311 0.466028:0.46755

arts 2 1.1795055 1.222358 1.728931 1.788858 1.788855

Với bài toán trên,ta tìm kiếm kết quả bằng tìm kiếmtam phân 16 lầnđểcó được khoảng cách chính xác6

chữ số thập phân Đồngthời, trong mỗi lần tínhtoán,phạm vi tìm kiếmcũng đượcrút ngắn lại i sovới

phạm vi trước đónênta có thểnhanh chóng tìmđượccực tiểu của hàm lồi

Hội nghị Khoa học trẻ lần 5 năm 2023(YSC2023)-IUH

lo: hi 0:1 0:0.666667 0.222222:0.666667 0.37037:0.666667 0.466028:0.468311 0.466028:0.46755

Phạm vi [lo:hi] so với khoảng cách

tìm kiếm ban đầu

100% 66.67% 44.45% 29.63% 0.34% 0.23%

3.2 Ternary Search Tree

Trong khoa học máy tính,cây tìmkiếm tamphân(TST)là một loạicây Trie (đôi khiđượcgọi là cây tiền

tố) trong đó cácnút được sắp xếptheo mộtcáchtương tựnhư câytìm kiếm nhịphân (Binary SearchTree),

nhưngcó tối đaba nút con thay vì hai nhưgiớihạn của cây nhị phân Giống như các cây tiềnto khác,TST

có thể được sử dụng như mộtcấu trúc ánh xạ kết hợp với khả năngtìm kiếm chuỗi tăng dần Tuy nhiên, TST hiệuquả về không gian hơn so vớicây tiềntốtiêu chuẩn, nhưng tốc độ tìmkiếm chậm hơn.Các ứng dụngpho biến của cây tìm kiếm tam phân baogồm kiểmtra chính tả và tự độnghoàn chỉnh [7]

TST được xây dựng dựa trên các ký tự của từhoặc chuỗi cần lưutrữ Mỗinút trongcây đạidiện cho một

ký tựvàcóba contrỏ: contrỏ sangcây con có các ký tự nhỏ hơn, contrỏ sang cây cócon có các ký tựlớn

hơn và contrỏ sang cây con cócùng ký tự

Quá trình xây dựng cây tìm kiếm tamphân bắt đầutừ goc Với mỗitừhoặc chuỗi được chèn vào cây, chúng

ta so sánh ký tựhiệntạivới ký tựcủa nút hiện tại Neu ký tự nhỏ hơn,chúng tadi chuyểnđen câycon có

các ký tự nhỏ hơn; nếu ký tựlớn hơn, chúng tadi chuyển đến cây con có các ký tự lớn hơn; nếu ký tựbằng, chúngtadi chuyển đen cây con có cùng ký tự Neu cây con không tồn tại, chúng tatạo ra một câycon mới

cho ký tự đó Quá trình này được lặp lại cho tấtcảcác ký tự trong từ hoặc chuỗi

Hình dưới đây chothấy mộtcây tìm kiếm tam phân vói cácchuỗi

"cute", "cup", "at", "as", "he", "us"và "i"

/I \

a u h

I I I \

t t e u // I/ I

5 p e i 5

Hình ố: Ví dụ cây Ternary Search

Vớicây tìm kiếm tam phân,việc tìm kiếm một từhoặc chuỗi cũng tươngtựnhư quá trình xâydựngcây

Chúng tasosánh ký tựhiệntại với ký tự của nút hiện tạivàdi chuyển tương ứng Neu ký tự không tồntại

trong câyhoặc tađã đi qua tất cả các ký tự mà không tìm thấytừ hoặc chuỗi cầntìm, thìtừ hoặc chuỗi đó

không tồn tại trong cây

Cây tìmkiếm tamphân cung cấp hiệu suấttìm kiếm tốthơn so với cây Trievì nó không cần lưutrữ các con trỏrỗng cho các ký tự không tồn tại trong từđiển Đồng thời, nógiữ được sự tổchức phân cấpcủa các

từ hoặc chuỗi Tuy nhiên, cây tìm kiếmtam phâncóthể sửdụng nhiều khônggianhơnso với cây Trievì

nó cần lưu trữ cáccontrỏ cho các cây con [8]

3.3 Quy hoạch động bao lồi

Quy hoạch động bao lồi (Kỹ thuậtbao lồi) làmộtlớp của thuật toán quyhoạch động Vấnđềbao gồm duy

trì, tức làtheodõi bao lồi đối với dữ liệu đầuvào thay đoi động, tứclà khi cácyếutố dữ liệu đầu vàocó thể

được chèn,xóahoặcsửa đối.Thuật toán nàychỉ có thể ápdụngkhi các điều kiện nhất định được đáp ứng

Kỹthuậtbao lồi là kĩthuật (hoặclàcấutrúc dữliệu) dùng để xácđịnh hiệu quả, có tiền xử lý, cực trịcủa một tập cáchàm tuyến tính tại một giá trị của biến độc lập Mặc dù tên gọigiống nhưng kỹ thuật này lại

khá khác biệtsovói thuật toán bao lồi [9] củahìnhhọctính toán [10]

Đâylà một ví dụ bàitoánQuy hoạch độngbao lồi: The Faữ Nut and Rectangles [11]

Hội nghị Khoa học trẻ lần 5 năm 2023(YSC2023)-IUH

Tómtắtđề: Cho n mảnh đất hìnhchữ nhật,tọa độ 4 đỉnh của mảnh đất hìnhchữ nhật thứ i là (0, 0),(Xịf 0), (Xị, yù’ (Ọ> yù- Mỗi hình chữ nhật có kèm theomột số nguyên dương aịf chi phí mua khi dùngmảnh đất

này Không có bất kỳ hình chữ nhật nàonằmhoàn toàn bêntrong mộthình chữ nhật khác Bạnhãychọn

ra một tậphợp mảnh đất trong n mảnh đấtđó sao cho phầndiện tích màtậphình chữ nhật đóđè lên trừ đi

tổng giátrị chi phía,ị trong tập bạn chọn là lớnnhất Trong đó 1 <= n <= 106 Mỗi hìnhchữ nhậtđược

cung cấp 3 sốnguyên Xị, yi, ữị (1 <= Xị,yi <= 109, dị <= Xi * yị). Hãy tìm ra kết quảlớnnhấtđó

Giả sử ta cóthôngtin các mảnh đấtđược cho nhưsau:

4 4 8, 1 5 0, 5 2 10

Đáp số bàitoán sẽ là 9(Chọn hìnhchữnhật 1 và2, diện tích tậpđó- tổng dị của hình 1và 2: 17-8 = 9)

Phân tích. Sắpxếp n hìnhchữ nhật theo trình tựtăng dần của Xị. Do không cóhìnhchữnhật nào lồng nhau nêngiá trịcủayị sẽgiảmdần theotrình tự trên Gọi dp[t] là giá trị lớn nhất đạt được từ việc chọnmột tập hợp hìnhchữ nhật trong ì hình chữ nhật đầu tiên vàtậphợpnàycóhình chữ nhật thứ i

Ta cóthể tính được:

dp[í] = Xi * yị - dị + max(- x*yị + dpỊj]), (j < i) (4)

Trong đó, Xị * yị — dị là giá trị bắt buộc lấyhìnhchữ nhật thứi để tínhcho dp[i], dpỊj] là giá trị của một tập hợp hình chữ nhật trước đóđã tính và trừXị * y t là phần chungcủa hình chữ nhật hiệntại với tập hợp

hình chữ nhật trongdpfj] đó

Với côngthức này,ta có thểgiải quyết nhanh với đoạnmã sauvới độphức tạp là ớ(n2)

for (int i = 1; i <= n; i++) {

for (int j = 0; j < i; j++) {

dp [i] = max(dp [i], a [i] X * a[i].y - a[i].a + (- a [j ] X * a[i].y+ dp[j]))ĩ

}

Lj

Kết quả sẽ là giátrị lớn nhất của mảngdp

Nhưng nếu ta áp dụng Quy hoạch độngbaolồi cho bàinày, độphứctạp sẽ giảm xuống còn O(n).Vì để

tính được giá trị lớn nhất cho dp[i] thì ngoài a[i].x * a[i].y — a[i].a cố định, phần-a[j].x* a[i].y+ dp[j] là lớn nhất Giá trị này có dạng đường thẳngy = m X + c Ta sẽ xây dựng mộttập hợp các đường thẳng này bằng Queue(thứ tự theo trình tự push vào, do đóhệ số gốc sẽgiảm dần)để tínhgiá trị dp [i] tiếp theo chỉ dựa vào a[i].yđể tìm giá trị lớnnhất Đồng thời trong quátrình tính toán,ta phải duy trì đượctập

hợp này hiệu quả Nó có nghĩa là khi tínhtoán cho giá trị dp[i] nàođó hay thêm mới một đường thẳng,ta

phải loạibỏ nhữngđường thẳng y= m X + ckhông cònýnghĩa.Xét dữ liệusau:

1 6 2,243,5 3 8,624

Ta đang tínhcho dp[3], lúc này tập đường thẳng tacó yi = -X 4- 4, y2 =-2x+ 5 Kiểmtra các đường dư thừa trước khi tính toán: Vị trí cắt nhau của hai đường đầu trong Queue cótọa độ X trong đồ thị nhỏ hơn giá trị a[3].y nênkhông loại bỏ đường thẳngnào Nếu có loạibỏ đường đầu tiên của Queue đến khithỏa

mãn Với giá trị a[3].y = 3 tacó giá trị lớn nhấttại yđầutiên trong Queue, yi = 1 suy ra dp[3] = 8

Hình 7: Đường thẳng Ỵi và y2

Sau đó ta thêmvào Queueđường thẳng y3 = - 5x + dp [3] = - 5x + 8 và kiểm tra loại bỏ các đường thẳng

dư thừa trong tập hợp

Hội nghị Khoa học trẻ ỉần 5 năm 2023(YSC2023)-IUH

Hình 8: Đường thẳng Ỵ1, y2, Ỵ3

Tathấy, giá trị lớnnhất khi thay X thuộc [—°0,1] là y3, Xthuộc [1, +oo] làyle Cho nên y2 là dư thừa và ta

loại nó trong Queue Vì mỗi kếtquả dp [i] bàinày đều được tính toán dựa vàođường thẳng đầu tiên của

Queue Các đườngthẳng thêm và bịxóa không quá 1 lần cho nên độ phức tạp cho bài trên là 0(n)

3.4 Aliens Trick

Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu mộtkỹthuậttối ưu hóa quyhoạch độngrấthữu ích thườngđược bắt gặptrongcác bài toánquyhoạchđộng khóvới độphức tạp thời gian cao Kỹ thuậtnàyđượcsửdụng

để giảm kích thước không giantìm kiếmtrong cáccấu hình quy hoạch động, bằng cách khaitháctính chất của hàmlồi vàmột số hàmchi phí.Phương pháp này còn được giới thiệuthông qua bàitoán“Ngườingoài

hành tinh” IOI 2016 (OlympicTin học quocỉ tế) dưới cáitên “Aliens Trick”

Aliens Trick là một kỹ thuật tối ưu quy hoạch động đượcứng dụng rộngrãi ở Trung Quốc, với tên gọi là WQS-Binary-Search, WQS xuất phát từ Qingshi Wang Tuy nhiên, kỹ thuật này chính thức được cộng

đồng quốc tếgọitên là “Parametersearch” Trong lập trình thi đấu, kỹ thuậtnày được biết đến nhiều hơn với cáitên Aliens Trick, do được sửdụng để giải quyết vấn đề Ngườingoài hànhtinh IOI năm2016.Tuy

nhiên, nó không chỉ là tối ưu hóaDP, nó rất hữu ích để tối ưu hóanhiều thứ khác [12]

Để hiểu rõ hơn về Aliens Trick,chúng ta có thể bắt đầu với mộtbài toán quỵhoạch động đơn giản Ban đầu,độphức tạp của bài toán là 0(N4), tuy nhiên, khi áp dụng kỹ thuật này, độ phức tạp giảm xuống chỉ

còn O(N* logVal), giúp tối ưu hóathời gianxửlý vàhiệu quả giải quyết bàitoán

3.4.1 Mô tả bài toán

Vấn đề sauđược thamkhảo từ bàitoán “Ngườingoàihànhtinh” IOI2016 [14] đề bài được mô tảnhưsau:

Bạnđượccho một mảng V chứa cácsốnguyên (cóthể âm)có độ dài N (N < 105 ) và mộtsố K (K< N)

Hãy chọn tối đaK phân đoạn không chồng lấn của dãy số ban đầu sao chotổngcác phần tử trong các phân đoạn đó là lớnnhất có thể Từ bàitoán trên tacó thể dễdàng suy rađược công thức quy hoạch động đơn

giảnnhư sau:

dp[n][k] = max < dp[n - 1] [k], max {dp[í - l][fc - 1] + YỊ=i v[k]} ■

(5)

Trong đó dp[n][k] (n < N, k < K) đại diện cho tổng tốt nhất khi chỉxem xét n phần tử đầu tiên và sử dụng đúngkphân đoạn.Việctriển khaitrực tiếp công thức trên một cách mù quáng có thểdẫnđến độphức tạp thời gianlà 0(N4) nếu như K có kíchthước tương đương với N Tuy nhiênta vẫn có haicách để tối ưu khi thực hiện công thức trên, đầu tiên ta cóthểsửdụng tổng tiền tố để tiền xử lý XỈỈ=1 v[k]như vậy mỗi lần cần lấytổng v[k] tachỉ mất 0(1) và giảm thời gian khithực hiện công thức trên xuống O(N3) sauđó ta lại

kếthợp với kỹ thuậtbao lồi như đãtrình bàyở mục3.3 bằng cácđảodấu công thứctrênvàsửdụng min

để tìm kết quả tối ưu quađó côngthứctrên có thể được thực hiện trong 0( N2)

Hội nghị Khoa học trẻ ỉần 5 năm 2023(YSC2023)-ỈUH

Tuy nhiên, kết quả này vẫn chưa đạt đến tốc độ đủ nhanh, chúng ta cầnphải tối ưu với độ phức tạp là

0(Nlog2N) hoặc O(NlogN), nếu muốnvượt quađộ phức tạp0(N2) như đã đề cậpở trên Vìvậyđâychính

là lúc ta cần phải áp dụng Aliens Trick

Bí quyết đằng sau của“Aliens Trick”là chúng tacó thể thêm một chi phí phạt được ký hiệu là Ấ cho mỗi

phânđoạnđược chọn.NeuẤ =0 giải pháp tối ưusẽlàchọn một phânđoạn sao cho mỗi phần tửđều dương, nhưng bằng cách tăng giá trị của chi phí phạtẤ giải pháp tối ưusẽ liên quan đến việc chọn ít phân đoạn

hơn Bây giờ, chúng ta chỉ cần tìm mộtgiá trị Ấ mà nó cho phép chúng ta chọn nhiều phân đoạn nhấtcó

thể, nhưng vẫn đảmbảo ít hơn K

Ta có thể định nghĩacác ký hiệu nhưsau, Ấ là chi phí mà chúng ta sẽ bỏ ra khi thêm mộtphânđoạnmớivà

việctăngẤ sẽ làmgiảmsốphân đoạn trong một giải pháp tối ưu hoặc giữnguyên, nhưng không bao giờ làmtăngnó Điềunàycho thấy ta có thể sử dụng tìmkiếmnhị phân giá trị nhỏ nhất của Ấ mà tạo ramột giải pháp có ít hơn K phân đoạn Từ đó ta có được công thứcquỵ hoạch độngmới như sau:

dp Ằ[n] = max jdpẤ[n-l], max {(XỈU í Vfc) + dpẢ[l - 1] - Ấ}

(6) Trong đó dpẦ[n] là kết quả tối ưu cho tiền tố có độ dài n củamảng V ban đầu củachúng ta,trong đó việc

thêm một mảng con sẽ gây ra mộtchi phí Ấ Bên việc sửdụng mảng quỵ hoạchđộng (dp) ta sẽ lưu hữ thêm mộtmảngphụtrợ khác là cntx[n] để lưutrữ số lượng mảng conđãsửdụngcho kết quả tối ưu dpx[n] Neu chúng ta đang sử dụng quá nhiều mảng con (> K), chúng ta nên tăng Ấ đểkhông khuyến khích việcmở thêmcác mảng conmớivà nếu chúng ta đangsửdụngquá ít (< K),chúng ta nêngiảm Ấ sau cùngtathực

hiện tìm kiếm nhị phân giátrị quađoạnmã như sau:

minbound = -lel8, maxbound = lel8

while maxbound - minbound > le-6:

À = (maxbound - minbound)/2

#tính toán dp và aux cho Ă

if cnt [n] <= k:

minbound = À

else:

maxbound = À

#tính toán dp và cnt cho giá trị Ă cuối cùng

return dp[n] + cnt[n] * À # lưu ý rằng nếu có ít hon k giá trị duong thì

cnt [n] < k

3.4.2 Cơ sở toán học của bài toán

Đối với vấnđề ban đầucủa chúng ta, việc tăng X không bao giờ làm tăng số lượng mảng conđược sử dụng

có lẽ là một sự thậtrất dễ hiểu, nhưng chúng ta muốn tìm một chứngminh cụ thể cho điều nàyvà đặt ra

mộttiêu chí tổng quát để sử dụngphươngpháp tối ưu hóa đỉnh trong việc giảmsốchiềuquỵ hoạch động Tiêu chí này có tính chất lồi (hoặc lõm) theo một cách nàođó Hãy ký hiệu ans[k]làkếtquảchovấn đề, sử

dụng chính xác k mảngcon Quan sát quan trọng để chứngminh tính đúng đắn của phươngpháp giải của chúng ta là dãy ans[k] có tính chất lõm, nghĩalà ans[k] - ans[k-l] < ans[k-l] -ans[k-2] Mộtcách hiểu tự nhiên hơnvàcách mà hầu hết mọi ngườicảm nhậntính lõm/lồi là nếu ta cók mảngconvà thêm mộtmảng con nữa,nó sẽ giúp ích hơn so với khi tôicó k+1 mảng convà thêm một mảng con nữa, tức là: càng có

nhiều mảng con trong giải pháp,thìgiá trịđược cải thiệncàngít đi Bây giờ,chúng tahãy xem làm thế nào

tính chấtlõm này giúp chúng ta chứng minh tính chính xác của giải phápcủa chúng ta

Giả sử X = 0 Giảipháp của chúng ta chỉ đơn giản là tìm giátrị lớn nhất toàncụccủa dãy lõm, đượcký hiệu

là ans[p]' Lưuýrằng bất kể giátrị của X là gì, tính lõm của dãy sẽ không thay đổi Hãy tạm dừng chúývề dãy lõm và tập trung vàohàm lõm Ví dụf(x) = Xx — X2 là một vídụ tốt (f'(x) > 0).Bằngcáchthay đổi X,chúng ta có thể di chuyển đỉnh của hàm đến bất kỳ tọa độX nào và hàm vẫn duy trì tính lõm Bây giờ, hãy quaytrở lạivới dãy "rời rạc" hơn của chúng ta Chúngta đãcó mộtthuật toánđể tìm p và ans[p]

sao cho ans[p] là giá trịlớn nhất trong dãy, nhưngchúng ta không quan tâm đến giá trị lớnnhất củadãy, chúng ta quan tâm đến ans[k] với một giá trị kcụ thể Vì vậy, chúng ta có thể buộck hởthành giá trị lớn nhấtcủa dãybằng cách thêm một hàmtuyến tínhvào dãy của chúngta(ans[k] —> ans[k] + Xk), tương tự như việc thayđổi đỉnh của hàmliên tục, đó chính là cách ta đã thực hiện trong giải pháp của chúng ta