Đề học sinh gioi toán 8

tổng hợp file ôn hsg toán 8 tổng hợp file ôn hsg toán 8 tổng hợp file ôn hsg toán 8 tổng hợp file ôn hsg toán 8 tổng hợp file ôn hsg toán 8 tổng hợp file ôn hsg toán 8 tổng hợp file ôn hsg toán 8 tổng hợp file ôn hsg toán 8 tổng hợp file ôn hsg toán 8 tổng hợp file ôn hsg toán 8 chúc các bạn thi tốt tổng hợp file ôn hsg toán 8

Trang 1

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 3 (2,0 điểm) Giải phương trình

Câu 5.(2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên y2 2xy 3x 2 0 .(CĐ4)

Câu 6.(2,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số ab sao cho 2.ab1và 3.ab1 đều

là các số chính phương (CĐ3)

Câu 7. (5,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD Qua điểm A

kẻ đường thẳng d vuông góc với AC, đường thẳng d cắt tia CD tại E Kẻ DKvuông gócvới AE(Kthuộc AE)

a) Chứng minh: DA2 DC DE .

b) Gọi P là giao điểm của OEvà KD Chứng minh rằng PK PD .

c) Chứng minh ba đường thẳng CK AD OE, , đồng quy (CĐ12.2)

Câu 8. (1,0 điểm ) Cho a b c, , là các số thực dương thoả mãn

1 1 1

2023

abc  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

-Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh……… ……Số báo danh…… ………

Trang 2

NHÓM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS

2 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a2b2c2 3abc.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 2 1 3 2 1 3 2 1

a Chứng minh ba điểm D A E, , thẳng hàng và tứ giác BDEC là hình thang.

b Gọi M là giao điểm của AB và HD , N là giao điểm của AC và HE

Chứng minh DE 2 MN (CĐ13)

2 Cho ABC vuông tại A AC  AB

, đường cao AH Trên tia đối của tia BC lấy điểm K

sao cho HK HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH , cắt AC tại P

Trang 3

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TP THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi có 01 trang, 5 câu

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN HSG THCS

Năm học: 2022 - 2023 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 20/03/2023

1) Cho tam giác nhọn ABC AB AC, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Gọi I là

giao điểm của EF và AH

Đường thẳng qua I và song song với BC cắt AB , BE lần lượt tại O và Q.

a) Chứng minh rằng: Điểm H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (CĐ12)

b) Chứng minh rằng: IP IQ  (CĐ12)

2) Cho tam giác ABC có  

12

C  B

Biết ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp, tính độ dài mỗi cạnh của tam giác?

Câu 5 (2,0 điểm) (CĐ7)

Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn: ab bc ca  abc

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  1  1  1

bc a ca b ab c

Trang 4

-Hết -NHÓM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS

UBND THỊ XÃ ĐIỆN BÀN

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm học: 2022-2023 Môn thi : TOÁN - LỚP 8

Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Trên cạnh CD lấy điểm K sao cho KC FB,gọi H

là giao điểm của AK và BE

a Chứng minh AK vuông góc với BE ; (CĐ 13)

b Tính số đo góc FHC (CĐ 13)

Câu 5(1.75 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH Gọi D là trung điểm của AB ,

đường vuông góc với AB tại D cắt đường vuông góc với BC tại B ở điểm F

a Chứng minh

2

;2

AB

AC DF

(CĐ 12.2)

b Chứng minh đường thẳng FC đi qua trung điểm của AH (CĐ 12.2)

Câu 6: (0.75 điểm)Cho các số thực dương a b, thỏa mãn điều kiện

a b  ab b a  a b  (CĐ 7.1)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO THƯỜNG XUÂN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023

Trang 5

Môn thi : Toán - Lớp 8

6 3 1 01

1) Tìm tất cả các số nguyên ,x y thỏa mãn phương trình x3  xy 1 2y x (CĐ 4)

2) Cho số nguyên tố p 3 và hai số nguyên dương a b, sao cho: p + a = b 2 2 2 Chứng minh rằng

c) Lấy điểm P trên cạnh DC sao cho FAP   45 Chứng minh rằng : Khoảng cách từ

điểm A đến FP không đổi khi F di động.

Câu 5 (2,0 điểm) (CĐ7)Cho các số thực dương a b c, , thoả mãn:     2

4

a c b c   c

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 3 3

Trang 6

DC là F, của DE và BF là G Đường thẳng AB cắtCG, DG lần lượt tại I K,

1) Chứng minh

IK CD

IB CF và IE B// D.2) Gọi P là giao điểm của AFvàCI, M là trung điểm củaCF Chứng minh: 2 2

AC EC BE PM

3) Giả sử BE2EC Gọi Q là trung điểm của DC Gọi giao điểm của BQ và AE là H Tính

BHE ABCD

2) Trên một đường tròn cho 21 điểm phân biệt Mỗi một điểm được tô bởi một trong 4

màu: xanh, đỏ, tím vàng Giữa mỗi cặp điểm được nối với nhau bởi một đoạn thẳng được

tô bởi một trong hai màu: nâu hoặc đen Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ba

Trang 7

đỉnh được tô cùng một màu (xanh, đỏ, tím hoặc vàng) và ba cạnh cũng được tô cùng mộtmàu (nâu hoặc đen) (CĐ15)

QUẢNG YÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THỊ XÃ

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi : Toán - Lớp 8

Ngày thi: 19 / 04 / 2023

Trang 8

Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa cạnh AB ,vẽ

các tia Ax By, cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C ( C khác A ), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D

1 Chứng minh AB2 4AC BD.

2 Gọi OM CD tại M Chứng minh CO là phân giác của ACD và AC MC

3 Tia BM cắt Ax tại N Chứng minh C là trung điểm AN

4 Kẻ MH AB tại H Chứng minh rằng AD BC MH, , đồng quy

Có ba cặp đôi học sinh ngồi một chiếc bàn dài thành một dãy để cùng ôn tập kiến thức cuối học

kì II theo hình thức chia sẻ cặp đôi Biết mỗi cặp đôi đều ngồi với nhau Hỏi có bao nhiêu cách ngồinhư vậy?

Trang 9

-HẾT -NHÓM CHINH PHỤC CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS

HUYỆN NAM TRỰC

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022-2023

MÔN THI: TOÁN 8

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

a) Chứng minh AMQ ; PAN vuông cân

b) Đương thẳng QM cắt PN tại E Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM Chứng minh QM PN và tứ giác AIEK là hình chữ nhật.

c) Chứng minh 3 điểm I K D, , thẳng hàng

Câu 4 (3,0 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C x2 y2 xy 2x 3y12 (CĐ 7)

2) Cho đa thức f x  có các hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện f  0 f  1  Tìm số dư2khi chia f 2023 cho 3 (CĐ 11)

mỗi ô vuông của bảng một số nguyên dương không vuợt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ôvuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau Chứng minh trong bảng ô vuông đã cho cómột số xuất hiện ít nhất 17 lần (CĐ 15)

HẾT

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022-2023

Trang 10

MÔN THI: TOÁN 8 Câu 1 (5 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử :

Trang 11

.2) x22y xy 0

Trang 12

Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khác B C, ) Tia AM cắt tia DC tại N Từ

A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia CB và tia CD lần lượt tại P và Q

a) Chứng minh AMQ PAN, vuông cân

b) Đường thẳng QM cắt PN tại E Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM Chứng minh QM PN và tứ giác AIEK là hình chữ nhật.

B A

D

M

a) Xét ABM ADQ  AM AQ  AQM cân tại A

và QAM   90  AQM vuông cân tại A

Tương tự: ABP ADN  AN AP  APN cân tại A

và NAP  60  APN vuông cân tại A

Trang 13

b) Xét PQN có PC QN tại C , NAPQ tại A , PC cắt NA tại M

M

 là trực tâm QM PN tại E  KEI 90

Xét AQM cân tại A có KQ KM  AK là trung tuyến

AK

 là đường cao AKQM  AKE90

Chứng minh tương tự AIE  90

Xét tứ giác AKEI có AIE AKE KEI 90

AKEI

 là hình chữ nhật

c) Nối IC

12

( PCN vuông tại C ),

12

40

có các hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện f  0 f  1  Tim số dư khi chia2

Trang 14

Lời giải

Vì trong 10 số nguyên dương không vượt quá 10 có ba số: 3;6;9 chia hết cho 3 ; năm số:

2; 4;6;8;10 chia hết cho 2 , mà hai số được điền ở hai ô vuông 1x1 chung cạnh hoặc chung đỉnhnguyên tố cùng nhau nên trên mỗi hình vuông con, kích thước 2x2 chỉ có không quá 1 số chia hếtcho 2 , cũng vậy, có không quá 1 số chia hết cho 3

Lát kín bảng 10x10 bởi 25 hình vuông, kích thước 2x2 , có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2 , cónhiều nhất 25 số chia hết cho 3 Do đó, có ít nhất 50 số còn lại không chia hết cho 2 , cũng khôngchia hết cho 3 Vì vậy, chúng phải là một trong ba số 1;3;5

Chia ba số 1;3;5 vào 50 hình vuông 1x1 nên theo nguyên lý Dirichlet, có một số xuất hiện ít nhất 17lần

Vậy trong bảng ô vuông đã cho có một trong ba số 1;3;5xuất hiện ít nhất 17 lần

Trang 15

LANG CHÁNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi : Toán - Lớp 8

2

9

40 3

x x

1 Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x2 y2   3 xy (CĐ4)

2 Cho x y , là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức 3x21 2y21

Chứng minh rằng x2 y2chia hết cho 40 (CĐ1)

Bài 4 (6,0 điểm)(CĐ12)

Cho đoạn thẳng AB Kẻ tia Bx vuông góc với AB tại B Trên tia Bx lấy điểm C

( C khác B ) Kẻ BH vuông góc với AC (điểm H thuộc AC ) Gọi là trung điểm của AB.

Trang 16

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa13b13c13

0,5

Trang 17

2 2

2

3

x x

  x2  4x 12 0   x 2 x 6  0

26

x x

0,250,25

0,50,25

2 Nhân hai vế phương trình  2

với 3 , ta được 3 x2 6 y2  3 12 x  y  3Trừ hai phương trình (1) và  3

vế theo vế, ta được:x13 2 y3  y  3 x.Thế y 3 x vào  3

ta được x2  3x 2   0 x 1  x 2   0  x1 hoặc x  2

Với x  thì 1 y 2 Với x  thì2 y 1

Vậy  ; x y  2; 1 ; 1; 2  

0,50,50,50,5

Trang 18

4

0,5(baogồmvẽhìnhvàghiGT,KL)

2 Giả sử đường thẳng CI cắt HD và AB lần lượt tại các điểm K và M 

*Áp dụng hệ quả định lý Ta lét vào các tam giác: CAM, CM B với

 M  là trung điểm của AB Mà M cũng là trung điểm của AB (gt)

 M  trùng với M Vậy 3 điểm C I M, , thẳng hàng

0,5

0,50,5

Trang 19

1

; ; ;0 ;2

Trang 20

THỊ XÃ QUẢNG TRỊ

NĂM HỌC: 2022 - 2023 Môn thi: Toán - Lớp 8

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian

tô thì số học sinh của đoàn được chia đều cho các ô tô còn lại Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ô tô? Biết rằng mỗi ô tô chở không quá 16 học sinh (CĐ4)

Trang 21

0,5 đ

Không làm mất tính tổng quát, giả sử

0,5 đ

Theo giả thiết nếu số xe là x-1 thì số học sinh chia đều cho các ô tô Gọi số học sinh trên mỗi ô tô khi đó là y (0<y≤16)

Ta có: (x-1)y=12x+1

0,5 đ 0,5 đ

12 1 13

12

x y

Trang 22

Vì x , yN nên x-1 Ư(13)={1,13} 0,5

đ

Với x-1=1 , suy ra x=2; y=25 (loại) Với x-1=13, suy ra x=14; y= 13 ( thỏa mãn) Vậy số học sinh đi tham quan có 14 ô tô và

169 học sinh.

0,5 đ

x x

A = y(y + 2) = y2 + 2 y = y2 + 2y +1 – 1 = (y

+ 1)2 - 1 -1 MinA = -1  y = -1

Đặt x = b + c – a; y = a + c – b; z = a + b – c (x, y, z > 0)

Khi đó: x + y + z = a + b +c

Và 2a = a + b + c – (b + c – a) = x + y + z – x y + z 2

Trang 23

đ

Ta có: IE = IC, MB = MC (gt) nên MI là đường trung bình ∆BEC

Suy ra:

EB

MI ;MI//EB2



0,5 đ 0,5 đ

IE IC, NE NF  nên NI là đường trung bình

∆EFC Suy ra:

FC

NI ; NI//FC2



0,5 đ 0,5 đ

mà EB = FC (gt)

Do đó: MI = NI Suy ra: ∆IMN cân tại I  M 1N 1

0,5 đ

Ta lại có: M 1N 1(cmt)

Do đó: H 1K 1

Suy ra: ∆AHK cân (đpcm)

0,5 đ

Không mất tính tổng quát, giả sử 2 đỉnh đó là A và B

và cùng được tô màu đỏ

Vì đa giác đã cho đều và

1,0 đ

Trang 24

có số đỉnh lẻ nên tồn tại đỉnh M của đa giác nằm trên trung trực đoạn AB

MAB

Ta xét hai khả năng xảy ra:

+ Khả năng 1: Nếu M tô màu đỏ thì ta có

MAB

 cân có 3 đỉnh đều được tô màu đỏ

+ Khả năng 2: Nếu M tô màu xanh

Gọi E,F lần lượt là các đỉnh kề của A và B có: EA AB BF   EF//AB MEFcân tại M.

1,0 đ

Lưu ý khi chấm bài: Học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang

điểm tương ứng.

Trang 25

Thời gian: 150 phút (không kể thời

gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang)

đa thức dư của phép chia Q x  cho x1 x 3  (CĐ10.2)

chúng lại cạnh nhau để được một số có sáu chữ số chia hết cho 13.(CĐ1)

Trang 26

Câu 4 (6,0 điểm) (CĐ12)

của đoạn thẳng BC, trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho KBC45 , đường thẳng qua A Avuông góc với AD cắt KM tại N.

a) Chứng minh rằng BDK∽ADC và tam giác KBCvuông cân.

b) Phân giác của ABC cắt AD tại I. Gọi E là giao điểm của AC và MN. Chứng minh rằng:

2

x x x

ta có:

Trang 27

Trang 28

Lời giải

1)Đặt:

2 2

202111

x

2) Ta có n26n14m2,m,n

* Với y 2 0 suy ra x y 0 thỏa mãn

* Với y 2 0 thì do y2 là số chính phương khác 0 và x y 2 là số chính phương nên từ  1 ta có x 2 7

Trang 29

Tìm đa thức dư của phép chia Q x  cho x1 x 3 

ghép chúng lại cạnh nhau để được một số có sáu chữ số chia hết cho 13

Lời giải

1) Vì Q x  chia cho x 1 được số dư bằng 4 nên ta có Q 1 4

Vì Q x  chia cho x  3 được số dư bằng 14 nên ta có Q 3 14

Gọi thương của phép chia Q x  cho (x – 1)(x – 3) là C x  và dư là R x .Vì bậc của R x  nhỏ hơn bậc của đa thức chia nên bậc của nó nhỏ hơn 2, khi đó R x  có dạng ax b

a b

Vậy đa thức dư của phép chia Q x  cho x1 x 3 là 5x  1

2) Khi chia 14 số tự nhiên có ba chữ số cho 13 ta được các số dư Trong các số dư đó có ít nhất hai số bằng nhau.

Giả sử hai số trong 14 số đó khi chia cho 13 có cùng số dư là abc mnp;

Suy ra abc mnp 13

Khi ghép chúng cạnh nhau ta được số có sáu chữ số abcmnp.

Ta có abcmnp1000.abc mnp 1001.abcmnp abc 

Trang 30

b Phân giác của ABC cắt AD tại I. Gọi E là giao điểm của AC và MN. Chứng minh rằng: ENC 45

K

M D B

A

C

1a) Tam giác ABCvuông tại A, phân giác trong ADD BC  nên

Trang 31

Vậy tam giác BCK vuông cân tại K

1b) Từ chứng minh ở câu a suy ra KM BC và KM là phân giác BKC nên CKE 45 

Dẫn đến tam giác NMC vuông cân tại M

suy ra tam giác BNC vuông cân tại N

Khi đó tứ giác BNCK là hình vuông

ta có KMB∽ KBN g g .  KB2 KM KN.  4

452

BIKIBA IAB   ABC IBK

nên tam giác IBK cân tại K dẫn đến KB KI  5

Từ (4) và (5) suy ra KI2 KM KN (đpcm)

2)

E K

Trang 32

Mặt khác ABE và BCE có chung

đường cao kẻ từ B, suy ra:

32

22

3

x y x

x y

Trang 33

Thời gian: 150 phút (không kể thời

gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang)

a

b P

Tiêu đề	Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp Cấp Huyện Năm Học 2022 - 2023
Tác giả	Nhóm Chinh Phục Các Kỳ Thi Học Sinh Giỏi Toán THCS
Trường học	Phòng Giáo Dục Và Đào Tạo
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Đề Thi
Năm xuất bản	2022 - 2023
Thành phố	Phúc Yên

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	2,08 MB