Toán và lời giải lớp 9

Đặt : a+1b=x;b+1c=y;c+1a=z. Từ đó ta có thể dễ dàng biến đổi như sau: b=1x−a;c=1y−b=x−axy−1−ya ⇒x−axy−1−ya+1a=z. ⇒(yz−1)a2+(x−y+z−xyz)a+xy−1=0. (1) Nếu: xy−1=0 thì xy=1 và xz=1, không tồn tại a,b,c. Nếu: mn>1 thì: Δ(1)=(x−y+z−xyz)2−4(yz−1)(xy−1), suy ra: Δ(1)=(xyz−x−y−z)2−4⇒ Để a hữu tỉ thì Δ phải là số CP.

t :Đặ a+1b=x;b+1c=y;c+1a=z. T ó ta có th d dàng bi n i nh sau:ừ đ ể ễ ế đổ ư b=1x−a;c=1y−b=x−axy−1−ya ⇒x−axy−1−ya+1a=z. ⇒(yz−1)a2+(x−y+z−xyz)a+xy−1=0. (1) N u:ế xy−1=0 thì xy=1 và xz=1, không t n t iồ ạ a,b,c. N u:ế mn>1 thì: Δ(1)=(x−y+z−xyz)2−4(yz−1)(xy−1), suy ra: Δ(1)=(xyz−x−y−z)2−4⇒ Để a h u t thìữ ỉ Δ ph i là s CP.ả ố D dàng ch ng mnh c:ễ ứ đượ α2−4 không th là m t s CP khác 0 (ể ộ ố αnguyên) => (xyz−x−y−z)2=4. +,N u:ế xyz−x−y−z=−2=x(yz−1)−y−z\geqyz−1−y−z=(y−1)(z−1)−2\geq−2. ng th c x y ra Đẳ ứ ả <=>x=y=z=1 vô lí. +,N u:ế xyz−x−y−z=2 thì khi x,y,z\geq3, BT tr nên vô nghi m, do ó:ở ệ đ x,y,z∈{1;2}. V i:ớ x=1 => (y−1)(z−1)=4 => y=z=3 ho cặ (y,z)∈{(2;5);(5;2)}⇒(x;y;z)∈{(1;3;3);(1;2;5); (1;5;2)} => (a;b;c)∈{(12;2;1);(13;33;2);(23;3;12)} V i:ớ k=2⇒(2y −1)(2z−1)=9⇒y=z=2 ho cặ (y;z)∈{(1;5);(5;1)}⇒(x;y;z)∈{(2;2;2);(2;1;5); (2;5;1)}⇒(a;b;c)=(1;1;1). T ó, ta c:ừ đ đượ (a;b;c)∈{(12;2;1);(13;32;2);(23;3;12);(1;1;1)}. Bài 4: V iớ n=1 thì V iớ n>1 thì: 499(1997n+1)=x2+x ⇔1996(1997n+1)=4x2+4x ⇔1996.1997n+1997=(2x+1)2 ⇔(1997−1)1997n+1997=(2x+1)2 ⇔1997(1997n−1997n−1+1)=(2x+1)2 Nh n th y VP là s chính phu ngậ ấ ố ơ ⇒ VT c ng ph i là s chính phu ngũ ả ố ơ V yậ 1997n−1997n−1+1⋮1997 Mà 1997n⋮1997,1997n−1⋮1997 M t khácặ 1 không chia h t cho 1997 (d u latex ko chia h t là gì nh ?)ế ấ ế ỉ V y pt có duy nh t giá trậ ấ ị n=1 th a .ỏ đề B5 xét p=2, thoả mãn xét p > 2 => p lẻ, giả sử a≥b,a≥c (a2+b2+c2)2⋮p=>(a2b2+b2c2+c2a2)⋮p mặt khác a4+a2b2+a2c2⋮p do đó (a4−b2c2)⋮p, p nguyên tố nên (a2−bc)⋮p hoặc (a2+bc)⋮p mà 0≤(a2−bc)<(a2+bc)<(a2+b2+c2)=>a2=bc=>a=b=c =>p=3