1 phân thức đại số

Trang 1 PHÂN THỨC ĐẠI SỐA.. KIẾN THỨC TRỌNG TÂMI/ Khái niệm về phân thức đại số .1/ Định nghĩa.Phân thức đại số hay còn gọi là phân thức là một biểu thức có dạng AB , với A và B là các đ

Trang 1

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

I/ Khái niệm về phân thức đại số

1/ Định nghĩa.

Phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng

A

B , với A và B là các đa thức, B khác đa thức 0

Trong đó, A được gọi là tử thức (hay tử), B là mẫu thức (hay mẫu)

2/ Hai phân thức bằng nhau.

Hai phân thức

A

B và

C

D được gọi là bằng nhau nếu A D× = ×B C

II/ Tính chất cơ bản của phân thức.

1/Tính chất cơ bản.

 Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho

×

=

× (M khác 0).

 Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho

: :

B =B N (N là nhân tử chung của A và B).

2/ Quy tắc đổi dấu.

 Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho

-=

- ;

3/ Rút gọn phân thức.

Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng để được phân

thức mới ( đơn giản hơn) thì cách làm đó được gọi là rút gọn phân thức.

Muốn rút gọn một phân thức, ta làm theo 2 bước :

 Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

 Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó

4/ Quy đồng mẫu thức

 Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

Chương

2 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Trang 2

 Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;

 Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

III/ Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

 Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi điều kiện để giá trị của phân thức được xác định

 Cho phân thức đại số

P

Q Giá trị của biểu thức

P

Qtại những giá trị cho trước của các

biến để giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức

P

Q tại những giá trị cho trước của các biến đó

Chú ý : Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân thức đó

và phân thức rút gọn của nó cùng một giá trị

Trang 3

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định và giá trị của phân thức

 Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi điều

kiện để giá trị của phân thức được xác định

 Để tìm giá trị phân thức ta thay giá trị của biến vào phân thức và thực hiện

phép tính

Ví dụ 1 Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức sau :

a)

5

(

3

6

A x

x

-=

b) B(x) 6

x

y

=

c)

3( 1)

C( )x x

x

-+

=

8 D( )

4

x

=

-Lời giải:

a) Phân thức xác định khi 3x 0 hay x 0

b) Phân thức xác định khi 6y 0 hay y 0

c) Phân thức xác định khi 3(x  1) 0 hay x 1

d) Phân thức xác định khi x 2 4 0  hay x 2 và x 2

Ví dụ 2 Tính giá trị của phân thức

a)

1 ( )

1

x

A x

x

+

=

- với x ¹ 1 tại x =2

b) ( ) 1

x

B x

x

=

+ với x ¹ - 1 tại x =1

c)

( )

1

C x

x

=

+ với x ¹ - 1 tại x=2;x= - 2

Lời giải:

a/ Với x = 2 thì giá trị của phân thức là :

2 1 3

2 1





b/ Với x = 1 thì giá trị của phân thức là :

1 1 2  

Trang 4

c/ Với x = 2 thì giá trị của phân thức là :

2

(2) 3.2 2 4 6 2 0

0

Với x = -2 thì giá trị của phân thức là :

2

( 2) 3.( 2) 2 4 6 2 12

12

Dạng 2: Chứng minh hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức

A

B và

C

D được gọi là bằng nhau nếu A D× = ×B C

Ví dụ 3 Cho cặp phân thức

2 3

5

x y

và

3 4

7 35

x y

xy với xy ¹ 0 Chứng tỏ cặp phân thức trên bằng nhau

Lời giải:

Ta có : x y2 3.35xy35 x y3 4

5.7x y3 435x y3 4

Suy ra : x y2 3.35xy5.7x y3 4.

Nên

2 3

5

x y

=

3 4

7 35

x y

xy Dạng 3: Rút gọn phân thức

Muốn rút gọn một phân thức, ta làm theo 2 bước :

 Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

 Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử

chung đó

Ví dụ 4 Rút gọn các phân thức sau

a)

2

2( 1)

4 ( 1)

x

x x

+

( 2)

x

c)

2(x y)

y x

Lời giải:

a/

2

Trang 5

c/

2(x y) 2(y x) 2

Ví dụ 5 Rút gọn các phân thức sau

a)

2

b)

x

Lời giải:

a/

2

( 1)

+ +

b/

-Dạng 4: Quy đồng mẫu nhiều phân thức

 Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi điều

kiện để giá trị của phân thức được xác định

 Để tìm giá trị phân thức ta thay giá trị của biến vào phân thức và thực hiện

phép tính

Ví dụ 7 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) 3

1

xy và 2

2

x

x y ;

2

2 3

2y

x y

b) 2

1

2

x - x và

2

1 ( 2)

x x - ;

2( 2) ( 2)

x

x x

Trang 6

c) 2 9

x

x - và 3

x

x- x+ ;

( 3) ( 3)( 3)

x x

+

d) 2

2

6

x - x- và

3 2

2 (x+ 2)(x- 3);

3( 3) ( 2)( 3)

x

e) 2

4

6

x

x - x- và 2

1 2

2

4 ( 3)( 2)

x

x x- x+ ;

3 ( 3)( 2)

x

Dạng 5: Bài toán thực tế về phân thức đại số

 Vận dụng các kiến thức liên quan để giải quyêt bài toán thực tế

Ví dụ 8

Cho hình chữ nhật ABCD và hình vuông EFGH như hình bên dưới (các số đo trên hình tính

theo centimet).

a/ Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích hình vuông và diện tích hình chữ nhật ABCD

Cho biết tử thức và mẫu thức của phân thức vừa tìm được

b/ Tính giá trị của phân thức đó tại x = 2; y = 8

Lời giải:

a/ Diện tích hình vuông EFGH là : x cm2 ( 2).

Diện tích hình chữ nhật ABCD là : 2xy cm( 2).

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích hình vuông và diện tích hình chữ nhật ABCD là :

2

xy  y

Tử thức là x; mẫu thức là 2y

b/ Giá trị của phân thức đó tại x = 2; y = 8 là :

2.8 16 8

Ví dụ 9

Một vườn cây có x22x y 2 2y cây, trong đó có x2 y2 cây lấy gỗ còn lại cây ăn quả

Trang 7

a/ Viết phân thức biểu thị tỉ số cây lấy gỗ và số cây ăn quả.

b/ Tính giá trị của phân thức đã cho đó tại x = 100; y = 10.

Lời giải:

a/ Số cây ăn quả là : x22x y 2 2y x 2y2 2x 2y (cây)

Phân thức biểu thị tỉ số cây lấy gỗ và số cây ăn quả là :

2 2

x y



b/ Ta có :

Giá trị của phân thức đó tại x = 100; y = 10 là :

100 10 110

55.



Trang 8

C BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau

a)

2

x

+ với x ¹ - 2 b)

x

+

= + với x ¹ - 2

c) 2

1 1

x

+

- với x ¹ ±1 d)

4 1

x x

-= +

- với x ¹ 1

Bài 2 Cho ba phân thức bên dưới Phân thức nào bằng nhau ?

Bài 3 Hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau

a)

2

x

+

=

b)

2

x

c) 2

4

x

¼

d)

1

x

=

Bài 4 Hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau

a) 2

2 4

x

x x

+

b)

x

c)

2 1

x

d)

3

x

Bài 5 Hãy điền một đa thức thích hợp vài các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau

Trang 9

a)

2

x x

+

b)

2 2

x

=

c) 2

1

1 1

x

+

d)

1

x

=

Bài 6 Hoàn thành chuỗi đẳng thức sau:

1

, v?i 2; 1.

x

-ĐS: (x+1)(x- 2) và (x+1)(x- 1)

Bài 7 Tính giá trị của phân thức

a)

2 ( )

4

x

A x

x

+

=

- với x ¹ 4 tại x =5 ĐS: A(5)=7

b)

2 1

( )

1

x

B x

x

+

=

+ với x ¹ - 1 tại 2x - 2 = 0 ĐS: B(1) 1=

c)

( )

1

C x

x

=

+ với x ¹ - 1 tại x =2 1 ĐS: C(1) 1=

3 ( )

1

x

D x

x

+

=

- với x ¹ ±1 tại |x + =1| 3 ĐS:

5 (2) 3

;

1 ( 4)

15

D - =

-

Bài 8 Tính giá trị của phân thức

a)

1 ( )

x

A x

x

+

=

+ với x ¹ - 1 tại x =2 ĐS:

1 (2) 3

b)

( )

2

x

B x

x

-=

+ với x ¹ 1 tại 3x - 6 = 0 ĐS:

3 (2) 4

c)

( )

1

C x

x

=

+ với x ¹ - 1 tại x =2 9. ĐS: C(3)=0;C -( 3)= - 12.

d)

2 ( )

3

x

D x

x

-=

- với x ¹ 3 tại | | 1x = ĐS: D(1) 1= ;

1 ( 1)

2

D - =

-

Bài 9 Cho cặp phân thức

1

x

- và

2 1 1

x x

-+ với x ¹ ±1 Chứng tỏ cặp phân thức trên bằng nhau

Trang 10

Bài 10 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, chứng tỏ rằng:

a)

y xy

x

=

2 2

Bài 11 Chứng minh đẳng thức: ( )

3 2

Bài 12 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong đẳng thức

x

Bài 13 Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống

trong đẳng thức

2 2

(x 1) .

x

+

Bài 14

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

4

b) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức

2

5

Bài 15 Tìm giá trị lớn nhất của 2

10

P

=

Bài 16

a) Tìm đa thức A, cho biết

2 2

=

b) Tìm đa thức M , cho biết

=

Bài 17 Tìm giá trị lớn nhất của phân thức P , biết 2

15

P

=

Bài 18 Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức Q, biết 2

18

Q

x x

=

Bài 19 Tìm giá trị nguyên của x để phân thức

6

2x +1 nhận giá trị nguyên

Bài 20 Hãy biến đổi hai phân thức

4 5

x x

và

2

16 3

x x

-+ để được hai phân thức có cùng tử thức

Trang 11

Bài 21 Rút gọn các phân thức sau

a) 2

( 3)

x

2 3

x - b)

2

3

2

3

x

x -

c)

2

x

2( 2) 2

x x

-+ d)

2 2

2 6

+

x

x -

a)

2

1 1

x

1

x x

+ +

b)

1

x x

+ +

Bài 23 Cho phân thức 3 2

x A

-=

2 1

x +

b) Tính giá trị của phân thức tại x = - 2 ĐS:

2

5

Bài 24 Chứng minh đẳng thức

2

x

= +

Bài 25 Chứng tỏ rằng hai phân thức

2

x xy

x y x

bằng nhau

a)

2

( 2)

x

+

2 2

x +

b)

x

2 2

x +

c)

2

x x

x

d)

x y

Bài 27 Rút gọn các phân thức sau

a) 3 2

x

3 (x - 2)

Trang 12

b)

2

+

2 2

( 2)

x

x +

Bài 28 Rút gọn phân thức:

a)

2 5

4 2

2

3

x y

3

x x y

Bài 29 Rút gọn phân thức

a)

x y xy

+

2 2

4

x

Bài 30 Rút gọn phân thức:

a) ( )

2 2

4

x y x y

xy x y

+

-; b) ( )

3 4

x

×

-; c) 2

( 3) (3 )

x x

+

2 2

Bài 31 Rút gọn biểu thức sau:

a)

3

2

x

+

2

48( 5)

120 24

x Q

x

-=

2 5

x y x y R

x y y x

-=

Bài 32

a) Cho biểu thức

3

2

A

=

- Tính giá trị biểu thức A với x =3

b) Cho

2 2

A

=

- + Tính giá trị biểu thức A với x =0,2

Bài 33 Nếu y=2x và z=2y thì

x y z

+ + + - bằng bao nhiêu?

Bài 34 Đưa các phân thức sau về cùng mẫu thức:

a) 2

x

x +x và 2

1 1

x x

+

1 ( 1)( 1)

x

1 ( 1)( 1)

x

+

b)

3

2

1

x

và

3 1

1

x

+ + + ;

3 1

x +

Bài 35 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

Trang 13

a) 3 2

2

5x y và

3

8

20x y ;

2

3 2

15 20

x y

b) 2 2 2

x

x - xy y+ và 2

x

x y- ; ( )2

x y

a)

1

2

x + ;

2

2x +4 và

3

1 2

x +

b)

1

3

x + ;

2

2x - 6 và

3

3x - 9 ĐS:

3 ( 3)( 3)

x

3 ( 3)( 3)

x

+

3 ( 3)( 3)

x

+

c) 2

1

4

x - ;

2 2

x + và

3 2

1 4

x - ; 2

4

x x

; 2

4

x x

+

-

d)

1

x ;

2

x + và

3 ( 2)

2 ( 2)

x

x x

+ + ;

2 ( 2)

x

x x + ;

3 ( 2)

x x +

a)

5

xy và 2

1

5y

xy ; 2

1

xy

b) 2

1

x - x và

2 1

1 ( 1)

x x - ;

2 ( 1)

x

x x -

c)

2

4

2

x

2

( 2)

x

x x - ;

2

( 2) ( 2)

x

x x

d) 2

2

x - x+ và

3 3

2 (x- 2)(x- 3);

3( 2) ( 2)( 3)

x

e) 2

4

x - x+ và 2

1

4 ( 1)( 2)

x

x x- x- ;

2 ( 1)( 2)

x

a)

2

- và 2

1 1

x x

+

( 2)( 1) ( 1)

x x

x

x x -

b)

2

4

x

và

3 2

2

x

3 2

x +

a) 2

1

x y và

3

1

x y; 2

3x

x y

Trang 14

b) 2 2 2

x

x + xy y+ và 2

2x

x

x+y ; 2

x y

+

a)

1

2

x - ;

2

2x - 4 và

3

1 2

x -

b)

1

4

x + ;

1

2x +8 và

3 4

2( 4)( 4)

x

4 2( 4)( 4)

x

2( 4)( 4)

x

+

c) 2

1

x - ;

2 1

x - và

2 1

1 (x- 1)(x+ 1);

( 1)( 1)

x

+

( 1)( 1)

x

d)

1

2x ;

2

x - và

3

2

2 ( 2)

x

x x

;

4

2 ( 2)

x

x x - ;

3

2 (x x - 2)

Bài 41 Tìm mẫu thức chung của hai phân thức: 2 2

;

x + x+ x + x+

Bài 42 Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:

và

+

2 2

3 4 1; 3 4;

25

x x x

a) 2 2 2

7 , 11 , 5

xz x y y z

6 , 11

7xy z 14x y z

;

2

Bài 45 Cho hai phân thức

1

x a- và

2

x b- với a<b a) Hãy xác định a và b biết rằng khi quy đồng mẫu thức chúng trở thành những phân thức có mẫu thức chung là x2- 5x+6 ĐS: a=2,b=3

b) Với a và b tìm được hãy viết hai phân thức đã cho và hai phân thức thu được sau khi quy đồng với mẫu thức chung là x2- 5x+ 6

ĐS:

1 2

x - và

2 3

x - ;

3 ( 2)( 3)

x

( 2)( 3)

x

Bài 46 Cho hai phân thức 2

1

x - ax và

2

x b- với a<b

Trang 15

a) Hãy xác định a và b biết rằng khi quy đồng mẫu thức chúng trở thành những phân thức có mẫu thức chung là x3- 5x2+6x ĐS: a=2,b=3

b) Với a và b tìm được hãy viết hai phân thức đã cho và hai phân thức thu được sau khi quy đồng với mẫu thức chung là x3- 5x2+6x

ĐS: 2

1 2

x - x và

2 3

x - ;

3 ( 2)( 3)

x

2

( 2)( 3)

Bài 47 Cho hai phân thức 2

2

x - ax và

1

x b

-+ với a b>; 0 a) Hãy xác định a và b biết rằng khi quy đồng mẫu thức chúng trở thành những phân thức có mẫu thức chung là x3- x2- 6x ĐS: a =3; b =2

b) Với a và b tìm được hãy viết hai phân thức đã cho và hai phân thức thu được sau khi quy đồng với mẫu thức chung là x3- x2- 6x

ĐS: 2

2 3

x - x và

1 2

x

-+ ;

( 2)( 3)

x

+

( 2)( 3)

Tiêu đề	Phân Thức Đại Số
Trường học	Trường Trung Học Cơ Sở
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	bài tập

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	630,62 KB