MỘT ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC - Full 10 điểm

B Ộ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO TẠ O TRƯỜNG ĐẠ I H ỌC SƯ PHẠ M TP H Ồ CHÍ MINH  Tr ầ n Minh M ỘT ĐẶ C TÍNH C Ủ A H Ệ HÀM L Ặ P AFFINE HYPERBOLIC LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN H Ọ C Thành ph ố H ồ Chí Minh - 2012 B Ộ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO TẠ O TRƯỜNG ĐẠ I H ỌC SƯ PHẠ M TP H Ồ CHÍ MINH  Tr ầ n Minh M ỘT ĐẶ C TÍNH C Ủ A H Ệ HÀM L Ặ P AFFINE HYPERBOLIC Chuyên ngành : Hình h ọ c và tôpô Mã s ố : 60 46 10 LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN H Ọ C NGƯỜI HƯỚ NG D Ẫ N KHOA H Ọ C TS NGUY Ễ N HÀ THANH Thành ph ố H ồ Chí Minh - 2012 L Ờ I C ẢM ƠN  Đầ u tiên, tôi xin bày t ỏ lòng bi ế t ơn sâu sắc đế n TS Nguy ễ n Hà Thanh, ngườ i đã nhiệt tình hướ ng d ẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành lu ận văn này Tôi xin trân tr ọ ng c ảm ơn các Thầy Cô đã nhiệ t tình gi ả ng d ạ y, truy ề n th ụ cho h ọ c viên cao h ọ c khóa 21 chúng tôi nh ữ ng ki ế n th ức cơ bả n, nh ữ ng công c ụ , phương pháp nghiên cứ u khoa h ọ c hi ệ u qu ả để chúng tôi có th ể t ự tin cho vi ệ c h ọ c và hoàn thành lu ận văn tố t nghi ệ p Tôi xin chân thành c ảm ơn b an lãnh đạ o và chuyên viên phòng Khoa h ọ c công ngh ệ – Sau đạ i h ọ c, ban ch ủ nhi ệ m và các Th ầ y Cô là gi ả ng viên khoa Toán – Tin c ủa trường Đạ i h ọc sư phạ m Thành ph ố H ồ Chí Minh đã tạ o điề u ki ệ n t ố t nh ấ t cho chúng tôi hoàn thành khóa h ọ c Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn học viên cùng khóa đã luôn chia sẽ buồn vui, hỗ trợ lẫn nhau, giúp đỡ nhau cùng vượt qua những lúc khó khăn trong suốt quá trình học tập Bên cạnh đó, tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn là học viên cao học chuyên ngành hình học và tôpô các khóa trước đã nhiệt tình chia sẽ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Cu ố i cùng, tôi xin bày t ỏ lòng bi ết ơ n sâu s ắc đế n nh ững ngườ i thân yêu trong gia đình tôi, những ngườ i luôn bên c ạ nh động viên, giúp đỡ tôi v ề m ọ i m ặ t M Ụ C L Ụ C  M Ở ĐẦ U 1 1 Lý do ch ọn đề tài 1 2 M ục đích nghiên c ứ u 2 3 Đối tượ ng nghiên c ứ u 3 4 Ph ạ m vi nghiên c ứ u 4 5 Phương ph áp nghiên c ứ u 4 Chương 1 : KI Ế N TH Ứ C CHU Ẩ N B Ị 6 1 1 Các khái ni ệ m và ký hi ệ u 6 1 2 Các ví d ụ và nh ậ n xét 13 Chương 2: ĐẶ C TÍNH C Ủ A H Ệ HÀM L Ặ P 19 2 1 Hyperbolic kéo theo phân th ớ điể m 20 2 2 Phân th ớ điể m kéo theo s ự t ồ n t ạ i c ủ a m ột điể m h ấ p d ẫ n 21 2 3 M ộ t h ệ hàm l ặ p v ớ i m ột điể m h ấ p d ẫ n thì co rút tôpô 24 2 4 Phép co rút tôpô thì không xuyên tâm đố i 31 2 5 M ộ t h ệ hàm l ặp affine không xuyên tâm đố i là hyperbolic 32 T ổ ng k ết chương 2 38 Chương 3 : S Ự T Ồ N T Ạ I H Ệ HÀM L Ặ P AFFINE HYPERBOLIC 39 3 1 S ự t ồ n t ạ i c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p affine phân th ớ điể m h ạ n ch ế theo bao affine c ủ a t ậ p h ợ p t ự đồ ng d ạ ng 39 3 2 S ự t ồ n t ạ i c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic 42 K Ế T LU Ậ N 44 TÀI LI Ệ U THAM KH Ả O 47 Trang 1 M Ở ĐẦ U 1 Lý do ch ọn đề tài Hình h ọc Fractal đượ c bi ết đế n t ừ năm 1975, do Benoit Mandelbrot đã c ủ ng c ố t ừ hàng trăm năm ý tưở ng và s ự phát tri ển ban đầ u c ủ a môn hình h ọ c này Dù còn r ấ t m ớ i nhưng hình học Fractal thu hút đượ c s ự quan tâm c ủ a nhi ề u nhà toán h ọc như Michael F Barnsley, V Ervin, D Hardin, J Lancaster, John E Hutchinson, Masayoshi Hata, Jun Kigami, Atsushi Kameyama, Bernd Kieninger H ệ hàm l ặp đượ c gi ớ i thi ệ u l ần đầ u b ởi John E Huntchinson [7] năm 1981 khi ông nghiên c ứ u v ề “Fractal và tính t ự đồ ng d ạng” và đượ c ph ổ bi ế n b ởi Michael F Barnsley năm 1988 Nó cung cấp phương tiệ n nghiên c ứ u các mô hình hình h ọ c t ự đồ ng d ạ ng trong t ự nhiên Ngày nay, hình h ọ c Fractal đượ c xem như là môn nghiên cứu cơ b ả n dành riêng cho ứ ng d ụng đồ h ọ a máy tính hi ện đạ i Năm 2004, k hi nghiên c ứ u v ề kho ả ng cách trên các t ậ p h ợ p tôpô t ự đồ ng d ạ ng trong hình h ọ c Fractal và các ứ ng d ụ ng c ủ a nó, Atsushi Kameyama đã nêu ra mộ t v ấn đề c ầ n quan tâm là: “Cho m ộ t t ậ p h ợ p tôpô t ự đồ ng d ạ ng, có hay không s ự t ồ n t ạ i c ủ a m ộ t h ệ liên k ế t c ủ a các ánh x ạ co rút?” V ớ i nhi ề u công trình nghiên c ứ u v ề hình h ọ c Fractal, Michael F Barnsley cũng đã quan tâm đế n vi ệ c tìm ra câu tr ả l ờ i cho v ấn đề này G ầ n đây nhất, năm 2011, kế t qu ả nghiên c ứ u c ủ a ông cùng v ớ i Ross Atkins, Trang 2 Andrew Vince, David C Wilson cho ta th ấ y r ằ ng các v ấn đề mà Atsushi Kameyama đã đặ t ra là h ợ p lý Nghiên c ứu sâu hơn về m ố i liên h ệ gi ữ a h ệ hàm l ặ p affine và h ệ hàm l ặp affine hyperbolic, ta xác định đượ c m ột đặ c tính c ủ a h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic Đặ c tính này bao hàm câu tr ả l ờ i kh ẳng đị nh cho câu h ỏ i c ủ a Atsushi Kameyama v ớ i các t ậ p h ợ p t ự đồ ng d ạ ng c ả m sinh t ừ các phép bi ế n đổ i affine trên m  2 M ục đích nghiên cứ u Năm 2002, Bernd Kieninger [10] nghiên cứ u v ề h ệ hàm l ặ p trên không gian compact Hausdorff Trong nh ững năm thậ p niên 70, R F Williams [19] và Solomon Leader [12] có các công trình nghiên c ứ u v ề phép co rút Trong kho ả ng nh ững năm 1970 đế n 2006, nhi ề u công trình nghiên c ứ u khác v ề hình h ọ c l ồi đã đượ c quan tâm t ớ i b ở i các nhà toán h ọ c: R Tyrrell Rockafellar [15], Rolf Schneider [17], Roger Webster [18], Maria Moszyńska [13] Ti ế p c ậ n v ớ i các k ế t qu ả nghiên c ứ u khoa h ọc này, nó hướng chúng ta đế n các v ấ n đề có liên quan quanh bài toán như - Tính hyperbolic và phân th ớ điể m c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p affine - S ự t ồ n t ạ i c ủ a m ột điể m h ấ p d ẫ n c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p afiine - Tính co rút tôpô c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p affine - H ệ hàm l ặ p affine v ới tính không xuyên tâm đố i c ủ a nó Các m ố i liên h ệ gi ữ a các y ế u t ố ở trên như thế nào? Nó quy ết định điề u gì trong vi ệ c tìm ra câu tr ả l ờ i cho v ấn đề c ủ a Atsushi Kameyama? Chúng s ẽ đượ c làm sáng t ỏ thông qua vi ệ c nghiên c ứ u v ấn đề dưới đây: Trang 3 V ấn đề 1 N ế u   1 2 ; , , , m N f f f   F là m ộ t h ệ hàm l ặ p affine, thì các phát bi ể u sau đây là tương đương (1) F là hyperbolic (2) F là phân th ớ điể m (3) F có m ột điể m h ấ p d ẫ n (4) F là m ộ t co rút tôpô theo v ậ t l ồ i K nào đó chứ a trong m  (5) F không xuyên tâm đố i theo v ậ t l ồ i K nào đó chứ a trong m  Ngoài ra, b ằ ng cách t ổ ng h ợ p các m ố i liên h ệ trên ta xác đị nh đượ c m ộ t đặ c tính v ề s ự t ồ n t ạ i c ủ a h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic, thông qua v ấn đề 2 sau đây V ấn đề 2 N ế u   1 2 ; , , , m N f f f   F là m ộ t h ệ hàm l ặ p affine v ớ i ánh x ạ mã hoá : m p    , thì F là hyperbolic trên bao affine c ủ a ( ) p  Đặ c bi ệ t, n ế u ( ) p  ch ứ a m ộ t t ậ p con m ở khác r ỗ ng c ủ a m  , thì F là hyperbolic trên m  3 Đối tượ ng nghiên c ứ u Như trên đã đề c ập, đối tượ ng nghiên c ứ u c ủ a lu ận văn là “ đặ c tính c ủ a h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic” Trang 4 4 Ph ạ m vi nghiên c ứ u Ở v ấn đề 1, phân tích các tính ch ất đượ c phát bi ểu tương đương củ a h ệ hàm l ặ p affine, chúng tôi thi ế t l ậ p m ố i liên h ệ gi ữ a h ệ hàm l ặ p affine và h ệ hàm l ặp affine hyperbolic Đây là nề n t ảng căn bản để nghiên c ứ u sâu hơn v ề các tính ch ấ t c ủ a h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic Bên c ạnh đó, vấn đề 2 cũng s ẽ làm rõ m ụ c tiêu chính c ủ a lu ận văn và ch ỉ ra đặ c tính v ề s ự t ồ n t ạ i c ủ a h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic V ấn đề c ủ a Atsushi Kameyama đượ c nh ắc đế n t ừ đầu cũng đượ c tr ả l ờ i t ừ đây 5 Phương pháp nghiên c ứ u T ổ ng h ợ p và hoàn thi ệ n nh ữ ng k ế t qu ả đã có từ nh ữ ng bài báo khoa h ọ c và các tài li ệ u có liên quan trên th ế gi ớ i Lu ận văn đượ c vi ết thành 3 chương Ph ần đầ u c ủa chương 1 chứ a các khái ni ệ m, thu ậ t ng ữ và định nghĩa đượ c dùng trong su ố t n ộ i dung c ủ a lu ận văn Phầ n ti ế p theo c ủa chương chứ a các ví d ụ và nh ậ n xét v ề các h ệ hàm l ặp và điể m h ấ p d ẫ n c ủ a chúng có liên quan t ới định lý 1 và đị nh lý 2 N ộ i dung chính c ủ a lu ận văn là nghiên cứ u vi ệ c ch ứ ng mi nh hai đị nh lý 1 và 2, ch ứng minh hai định lý này đượ c phân b ố ch ủ y ếu vào chương 2 và chương 3 Chương 2, ta nghiên cứu đặ c tính c ủ a h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic v ớ i các tính ch ất đượ c phát bi ểu tương đương trong định lý 1 như : F là hyperbolic, F là phân th ớ điể m, F có m ột điể m h ấ p d ẫ n, F là m ộ t phép co rút tôpô theo v ậ t l ồ i m K   , F không xuyên tâm đố i theo v ậ t l ồ i m K   Trang 5 Ti ếp theo đó, ta nghiên cứ u s ự t ồ n t ạ i c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic trên m ộ t không gian con affine c ủ a m  trong n ội dung chương 3 Trang 6 Chương 1 KI Ế N TH Ứ C CHU Ẩ N B Ị Trước tiên, chúng tôi đưa ra cơ sở lý thuy ế t nh ằ m ph ụ c v ụ cho vi ệ c nghiên c ứu các chương tiế p theo M ụ c tiêu c ủa chương này là hệ th ố ng toàn b ộ các ký hi ệ u, khái ni ệm và đ ịnh nghĩa đượ c s ử d ụ ng trong su ố t lu ận văn Ngoài ra, chúng tôi đề c ập đế n vài ví d ụ và nh ậ n xét quan tr ọ ng minh h ọ a cho m ụ c tiêu nghiên c ứ u lu ận văn H ầ u h ế t các ki ế n th ức đượ c trình bày ng ắ n g ọ n, liên k ế t ch ặ t ch ẽ v ớ i nhau để làm rõ các v ấn đề trong nh ữ ng ph ầ n ti ếp theo sau Để tìm hi ể u chi ti ế t, ta có th ể tham kh ả o thêm trong các tài li ệ u [6], [7], [9], [10], [11] và [19] đượ c trích d ẫn tương ứ ng trong n ội dung chương 1 1 Các khái ni ệ m và ký hi ệ u Ta xét m  như là một không gian vectơ, mộ t không gian affine và m ộ t không gian mêtric Ta xác đị nh m ột điể m   1 2 , , , m m x x x x    v ới vectơ mà các tọ a độ c ủ a nó là 1 2 , , , m x x x Ta ký hi ệ u 0 m   là m ột điể m trong m  mà các t ọa độ c ủ a nó là 0 Cơ sở đị nh chu ẩn đượ c ký hi ệ u là   1 2 , , , m e e e Tích trong gi ữ a , m x y   đượ c ký hi ệ u là , x y Trang 7 2-chu ẩ n c ủ a m ột điể m m x   là 2 , x x x  và mêtric Euclide  : 0, m m E d        được xác đị nh b ở i   2 , E d x y x y   v ớ i m ọ i , m x y   Dưới đây là các ký hiệu và qui ướ c s ẽ đượ c dùng trong su ố t lu ận văn (1) M ộ t th ể l ồ i là m ộ t t ậ p con l ồ i compact c ủ a m  có ph ầ n trong khác r ỗ ng (2) V ớ i t ậ p m B   , bao l ồ i c ủ a B đượ c ký hi ệ u là   conv B (3) V ớ i t ậ p m B   , bao affine c ủ a B , đượ c ký hi ệ u là   aff B , là không gian affine con nh ỏ nh ấ t ch ứ a B , nghĩa là giao củ a t ấ t c ả các không gian affine con ch ứ a B (4)  là ký hi ệ u c ủ a t ậ p con compact khác r ỗ ng c ủ a m  , và d  ký hi ệ u mêtric Hausdorff trên  Khi đó   , m d   là m ộ t không gian mêtric đầy đủ (5) Cho X và Y là hai t ậ p con khác r ỗ ng c ủ a không gian mêtric ( , ) m d  Kho ả ng cách Hausdorff ( , ) d X Y  c ủa chúng xác đị nh b ở i ( , ) max sup inf ( , ), sup inf ( , ) y Y x X x X y Y d X Y d x y d x y                     tương đương ( , ) inf{ 0 : , } d X Y X Y Y X e e e      trong đó Trang 8 : { : ( , ) } x X X z M d z x e e      Minh h ọ a kho ả ng cách Hausdorff c ủ a hai t ậ p X và Y (6) M ộ t mêtric d trên m  đượ c g ọ i là tương đương Lipschitz v ớ i E d n ế u có các h ằ ng s ố r và R sao cho       , , , E E rd x y d x y Rd x y   v ớ i m ọ i , m x y   N ếu hai mêtric tương đương Lipschitz thì chúng cả m sinh tôpô gi ố ng nhau trên m  , nhưng điều ngượ c l ạ i thì không c ầ n thi ết là đúng (7) V ớ i b ấ t k ỳ hai t ậ p con A và B c ủ a m  , ký hi ệ u   : : , A B x y x A y B      được dùng để ký hi ệ u phép tr ừ theo t ừ ng điể m c ủ a các ph ầ n t ử trong hai t ậ p h ợ p (8) V ớ i m ộ t s ố nguyên dương N ,   1,2, , N    là ký hi ệ u t ậ p h ợ p c ủ a t ấ t c ả các dãy vô h ạ n c ủ a các ký hi ệ u   1 k k s   thu ộ c b ả ng   1,2, , N T ậ p h ợ p  đượ c trang b ị tôpô tích M ộ t ph ầ n t ử c ủ a s   cũng sẽ đượ c ký Trang 9 hi ệ u b ằ ng cách ghép 1 2 3 s s s s  , trong đó k s ký hi ệ u thành ph ầ n th ứ k c ủ a s Khi  đượ c trang b ị tôpô tích thì nó là không gian Hausdorff compact Ngoài ra, vài khái ni ệ m v ề bán kính ph ổ và bán kính ph ổ n ối cũng đượ c nh ắc đế n trong ví d ụ 3 4 (9) Bán kính ph ổ c ủ a m ộ t ma tr ậ n vuông ho ặ c c ủ a m ộ t toán t ử tuy ế n tính b ị ch ặ n là ch ặ n trên c ủ a các giá tr ị tuy ệt đố i c ủ a các ph ầ n t ử trong ph ổ c ủ a nó C ụ th ể hơ n, cho 1 , , n l l là các giá tr ị riêng c ủ a ma tr ậ n vuông A c ấ p n Khi đó bán kính phổ ( ) A r c ủa nó được xác định như sau:   ( ) max i i A r l  Ph ổ c ủ a m ộ t ma tr ậ n là t ậ p h ợ p các giá tr ị riêng c ủ a nó (10) Bán kính ph ổ n ố i (the joint spectral radius) c ủ a m ộ t t ậ p h ợ p các ma tr ậ n 1 { , , } n n n M A A     được xác định như sau:   1 1/ ( ) lim max : k k i i i k M A A A M r      H ệ th ố ng l ại các định nghĩa hệ hàm l ặ p và các khái ni ệ m có liên quan như sau: Định nghĩa 1 1 1 (H ệ hàm l ặ p) N ế u N là s ố nguyên dương và : m m n f    , 1,2, , n N  , là các ánh x ạ liên t ụ c, thì   1 2 ; , , , m N f f f   F đượ c g ọ i là m ộ t h ệ hàm l ặ p Trang 10 T ừ đó, ta mở r ộ ng thành khái ni ệ m h ệ hàm l ặ p affine, là m ộ t khái ni ệ m quan tr ọng đượ c nh ắc đế n h ầ u h ế t trong c ả lu ận văn N ế u m ỗ i f  F là m ộ t ánh x ạ affine trên m  , thì F đượ c g ọ i là m ộ t h ệ hàm l ặ p affine Định nghĩa 1 1 2 (H ệ hàm l ặ p co rút) M ộ t h ệ hàm l ặ p   1 2 ; , , , m N f f f   F là co rút khi m ỗ i n f là phép co rút C ụ th ể là, có m ộ t s ố  0,1 n a    sao cho         , , E n n n E d f x f y d x y a  v ớ i m ọ i , m x y   , v ớ i m ọ i n Định nghĩa 1 1 3 (H ệ hàm l ặ p hyperbolic) M ộ t h ệ hàm l ặ p   1 2 ; , , , m N f f f   F đượ c g ọ i là hyperbolic n ế u có m ộ t mêtric trên m  tương đương Lipschitz với mêtric đã cho sao cho mỗ i n f là phép co rút Định nghĩa 1 1 4 (Ánh x ạ mã hóa) M ộ t ánh x ạ liên t ụ c : m p    đượ c g ọ i là m ộ t ánh x ạ mã hóa v ớ i h ệ hàm l ặ p   1 2 ; , , , m N f f f   F n ế u, v ớ i m ỗ i 1,2, , n N  , sơ đ ồ sau đây giao hoán (1 1 1) n n s f m m p p           Trang 11 Trong đó : n s    ký hi ệ u ánh x ạ nâng ngược được xác đị nh b ở i   n s n s s  Ánh x ạ mã hóa đượ c Jun Kigami [11] và Kameyama [9] s ử d ụng như m ộ t công c ụ để xác đị nh t ậ p h ợ p t ự đồ ng d ạng Như vậ y, trong bài này, nó được dùng để xác định điể m h ấ p d ẫ n c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p Định nghĩa 1 1 5 (H ệ hàm l ặ p phân th ớ điể m) M ộ t h ệ hàm l ặ p   1 2 ; , , , m N f f f   F là phân th ớ điể m n ế u, v ớ i m ỗ i 1 2 3 s s s s    , gi ớ i h ạ n v ề bên ph ả i c ủ a (1 1 2)     1 2 : lim k k f f f x s s s p s      t ồ n t ại, độ c l ậ p theo x v ớ i s c ố đị nh, và ánh x ạ : m p    là m ộ t ánh x ạ mã hóa Không khó để ch ỉ ra r ằ ng bi ể u th ứ c (1 1 2) là ánh x ạ mã hóa duy nh ấ t c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p phân th ớ điể m Khái ni ệ m v ề m ộ t h ệ hàm l ặ p phân th ớ điểm là tương tự v ớ i khái ni ệ m c ủ a Kieninger [10] Tuy nhiên, trong ph ạ m vi lu ận văn này nó đượ c thi ế t l ậ p trong không gi an mêtric đầy đủ Định nghĩa 1 1 6 (Ký hi ệ u ( ) B F v ớ i m ộ t h ệ hàm l ặ p) V ớ i m ộ t h ệ hàm l ặ p   1 2 ; , , , m N f f f   F xác đị nh :    F b ở i 1 ( ) ( ) N n n B f B    F (Ký hi ệ u F tương tự đượ c dùng cho h ệ hàm l ặ p và ánh x ạ ) Trang 12 V ớ i B   , cho ( ) k B  F ký hi ệ u s ự h ợ p thành c ấ p k c ủ a F , nghĩa là, h ợ p c ủ a 1 2 ( ) k f f f B s s s    trên m ọ i 1 2 k s s s độ dài là k Định nghĩa 1 1 7 (Điể m h ấ p d ẫ n c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p) M ộ t t ậ p h ợ p A   đượ c g ọ i là m ộ t điể m h ấ p d ẫ n c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p   1 2 ; , , , m N f f f   F n ế u (1 1 3) ( ) A A  F và (1 1 4) lim ( ) k k A B    F , gi ớ i h ạ n theo mêtric Hausdorff, v ớ i m ọ i B   N ế u m ộ t h ệ hàm l ặ p có m ột điể m h ấ p d ẫ n A , thì rõ ràng A là điể m h ấ p d ẫ n duy nh ất Ta cũng biế t r ằ ng m ộ t h ệ hàm l ặ p hyperbolic có m ột điể m h ấ p d ẫn Năm 1981, Jonh E Huntchinon [7] đã chứng minh điề u này Ông quan sát r ằ ng m ộ t h ệ hàm l ặ p co rút F c ả m sinh m ộ t ánh x ạ co rút :    F , t ừ k ế t qu ả kéo theo b ởi đị nh lý ánh x ạ co rút Ch ươ ng ti ế p theo ch ỉ ra r ằ ng m ộ t h ệ hàm l ặ p phân th ớ điể m F có m ộ t điể m h ấ p d ẫ n A , và hơn nữ a, n ế u p là ánh x ạ mã hóa c ủ a F thì ( ) A p   Thườ ng thì  được xét như là “đị a ch ỉ ” c ủa điể m ( ) p s trong điể m h ấ p d ẫ n Có nhi ề u cách ti ế p c ậ n v ớ i khái ni ệ m c ủ a m ộ t h ệ t ự đồ ng d ạ ng mà không ph ụ thu ộc vào không gian xung quanh Năm 2001, trong tài liệ u fractals c ủ a Jun Kigami [11] có ví d ụ ch ỉ ra m ộ t cách ti ế p c ậ n v ớ i khái ni ệ m trên, cách ti ế p c ậ n này b ắt đầ u v ới ý tưở ng c ủ a ánh x ạ mã hóa liên t ụ c p và xác định điể m h ấ p d ẫn như ( ) p  là có hi ệ u qu ả Trang 13 1 2 Các ví d ụ và nh ậ n xét Ph ầ n này ch ứ a các ví d ụ và nh ậ n xét có liên quan t ới các đị nh lý 1 và 2 trong n ộ i dung chính c ủ a lu ận văn Ví d ụ ngay dưới đây cho ta 2 ( ; ) f   F là m ộ t h ệ hàm l ặ p phân th ớ điể m, tuy nhiên hàm f  F là ánh x ạ không co rút dưới mêtric thông thườ ng trên 2  Thông qua đó, nó cho thấ y s ự c ầ n thi ế t c ủ a vi ệ c tái thi ế t l ậ p m ộ t mêtric tương đương với mêtric thông thường, để m ỗ i n f  F là phép co rút dướ i mêtric m ớ i này Ví d ụ 1 2 1 Xét m ộ t h ệ hàm l ặ p affine bao g ồ m m ột hàm đơn tuyế n tính trên 2  đượ c cho b ở i ma tr ậ n 1 8 0 2 0 f               Chú ý r ằ ng giá tr ị riêng c ủ a f b ằ ng 1 2  Khi     1 2 1 2 1 2 0 0 0 lim lim 0 0 0 n n n n n f T T                                      Trong đó T là ma tr ậ n chuy ển cơ sở , h ệ hàm l ặ p này là phân th ớ điể m Tuy nhiên, khi 0 2 1 0 f                            , ánh x ạ không là co rút dưới mêtric thông thườ ng trên 2  Trang 14 Tuy nhiên, phát bi ểu 1 đả m b ả o cho ta có th ể thi ế t l ậ p (mã hóa l ạ i) trên 2  m ột mêtric tương đương vì thế f là m ộ t phép co rút Trong tài li ệ u h ệ hàm l ặp affine, đôi khi đượ c gi ả đị nh r ằ ng các giá tr ị riêng c ủ a các ph ầ n tuy ế n tính c ủ a các h ệ hàm l ặ p affine có giá tr ị tuy ệt đố i nh ỏ hơn 1 Nh ư ng gi ả thi ết này không đủ để kéo theo b ấ t k ỳ phát bi ể u nào trong năm phát biểu đượ c cho tro ng đị nh lý 1 Lúc đó hệ hàm l ặ p affine ( ; ) m f  là phân th ớ điể m n ế u và ch ỉ n ế u các giá tr ị riêng c ủ a ph ầ n tuy ế n tính c ủ a f có giá tr ị tuy ệt đố i hoàn toàn nh ỏ hơn 1, m ộ t phát bi ểu tương tự không th ể đượ c t ạ o n ế u s ố hàm trong h ệ hàm l ặ p l ớn hơn 1 Ví d ụ 1 2 2 Xét h ệ hàm l ặ p affine   2 1 2 ; , f f   F , trong đó 1 1 8 0 2 0 f               và 1 8 2 0 2 0 f               Như đượ c chú thích trong ví d ụ 1 2 1 1 2 0 lim lim 0 n n n n f u f u                    v ới vectơ u b ấ t k ỳ Do đó, cả   2 1 1 ; f   F và   2 2 2 ; f   F là phân th ớ điể m Tích c ủ a chúng là ma tr ậ n Trang 15 1 2 1 64 4 0 0 f f                , vì th ế   1 2 1 4 lim lim 0 0 n n n n f f                                   Suy ra h ệ hàm l ặ p   2 1 2 ; , f f   F không là phân th ớ điể m Do v ậy, điề u ki ệ n các thành ph ầ n tuy ế n tính c ủ a các hàm trong h ệ hàm l ặ p có giá tr ị tuy ệt đố i c ủ a các giá tr ị riêng nh ỏ hơn 1 không đượ c phát bi ể u như một điề u ki ện tương đương trong đị nh lý 1 Nh ậ n xét Trong khi ch ứ ng minh m ộ t h ệ hàm l ặ p hyperbolic là phân th ớ điể m trong định lý 1 là đúng ngay cả không gi ả đị nh r ằ ng h ệ hàm l ặ p là affine, thì điều ngượ c l ại không đúng trong trườ ng h ợ p t ổ ng quát Th ậ t v ậ y, năm 2004, Atsushi Kameyama [9] đã chỉ ra r ằ ng t ồ n t ạ i m ộ t h ệ hàm l ặp điể m th ớ không là hyperbolic Ví d ụ 1 2 3 Xét h ệ hàm l ặ p tuy ế n tính   2 1 2 ; , L L   F , trong đó 1 1 8 0 2 0 L               và 2 cos sin sin cos a a L aR a a q q q q q                 , trong đó R q dùng để ch ỉ vi ệ c quay m ộ t góc q , và 0 1 a   Trang 16 Khi đó 1 n L có các giá tr ị riêng 1 2 n  trong khi các giá tr ị riêng c ủ a 2 n L cùng có độ l ớ n 1 n a  Ví d ụ , n ế u ta ch ọ n 8 q p  và 31 32 a  thì ít đượ c xác minh r ằ ng các giá tr ị riêng c ủ a 1 2 L L và 2 1 L L có độ l ớ n nh ỏ hơn 1 và có mộ t trong các giá tr ị riêng c ủ a 1 2 2 L L L là 1,4014… Suy ra, trong trườ ng h ợp này, độ l ớ n các giá tr ị riêng c ủ a các toán t ử tuy ế n tính 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 , , , , , L L L L L L L L t ấ t c ả đề u ít hơn 1, nhưng   1 2 2 n L L L x không h ộ i t ụ khi 2 x   là m ột vectơ riêng bấ t kì c ủ a 1 2 2 L L L tương ứ ng v ớ i giá tr ị riêng 1,4014… Nó kéo theo h ệ hàm l ặ p   2 1 2 ; , L L  không là phân th ớ điể m B ằ ng cách s ử d ụng ý tưởng cơ bản tương tự, đơn giản để ch ứ ng minh r ằ ng, khi đưa ra bấ t kì m ộ t s ố nguyên dương M , ta có th ể ch ọ n a g ầ n b ằ ng 1 và q g ầ n b ằng 0 theo cách như vậ y thì các giá tr ị riêng c ủ a 1 2 k L L L s s s (trong đó {1,2} j s  v ớ i 1,2, , j k  , v ớ i k M  ) t ấ t c ả đều có độ l ớn ít hơn 1, trong khi 1 2 M L L có giá tr ị riêng c ủa độ l ớ n l ớn hơn 1 Điều này đượ c liên h ệ t ớ i bán kính ph ổ n ố i c ủ a c ặ p toán t ử tuy ế n tính và t ớ i các gi ả đị nh h ữ u h ạ n có liên quan Như vậ y, b ằng ý tưở ng c ủ a ví d ụ 1 2 3, nó m ở ra m ột hướ ng nghiên c ứ u v ề m ộ t phát bi ể u m ới tương đương với năm phát biểu đã biết trong đị nh lí 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH  Trần Minh MỘT ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH  Trần Minh MỘT ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC Chuyên ngành : Hình học tơpơ Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN  Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh, người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy Cơ nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho học viên cao học khóa 21 kiến thức bản, công cụ, phương pháp nghiên cứu khoa học hiệu để tự tin cho việc học hồn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo chuyên viên phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học, ban chủ nhiệm Thầy Cơ giảng viên khoa Tốn – Tin trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho chúng tơi hồn thành khóa học Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến bạn học viên khóa ln chia buồn vui, hỗ trợ lẫn nhau, giúp đỡ vượt qua lúc khó khăn suốt trình học tập Bên cạnh đó, tơi gửi lời cảm ơn đến bạn học viên cao học chuyên ngành hình học tơpơ khóa trước nhiệt tình chia kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thân u gia đình tơi, người bên cạnh động viên, giúp đỡ mặt MỤC LỤC  MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm ký hiệu 1.2 Các ví dụ nhận xét 13 Chương 2: ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP 19 2.1 Hyperbolic kéo theo phân thớ điểm 20 2.2 Phân thớ điểm kéo theo tồn điểm hấp dẫn 21 2.3 Một hệ hàm lặp với điểm hấp dẫn co rút tơpơ 24 2.4 Phép co rút tơpơ khơng xun tâm đối 31 2.5 Một hệ hàm lặp affine không xuyên tâm đối hyperbolic 32 Tổng kết chương 38 Chương 3: SỰ TỒN TẠI HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC 39 3.1 Sự tồn hệ hàm lặp affine phân thớ điểm hạn chế theo bao affine tập hợp tự đồng dạng 39 3.2 Sự tồn hệ hàm lặp affine hyperbolic 42 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học Fractal biết đến từ năm 1975, Benoit Mandelbrot củng cố từ hàng trăm năm ý tưởng phát triển ban đầu mơn hình học Dù cịn hình học Fractal thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Michael F Barnsley, V Ervin, D Hardin, J Lancaster, John E Hutchinson, Masayoshi Hata, Jun Kigami, Atsushi Kameyama, Bernd Kieninger Hệ hàm lặp giới thiệu lần đầu John E Huntchinson [7] năm 1981 ông nghiên cứu “Fractal tính tự đồng dạng” phổ biến Michael F Barnsley năm 1988 Nó cung cấp phương tiện nghiên cứu mơ hình hình học tự đồng dạng tự nhiên Ngày nay, hình học Fractal xem môn nghiên cứu dành riêng cho ứng dụng đồ họa máy tính đại Năm 2004, nghiên cứu khoảng cách tập hợp tôpô tự đồng dạng hình học Fractal ứng dụng nó, Atsushi Kameyama nêu vấn đề cần quan tâm là: “Cho tập hợp tôpô tự đồng dạng, có hay khơng tồn hệ liên kết ánh xạ co rút?” Với nhiều cơng trình nghiên cứu hình học Fractal, Michael F Barnsley quan tâm đến việc tìm câu trả lời cho vấn đề Gần nhất, năm 2011, kết nghiên cứu ông với Ross Atkins, Trang Andrew Vince, David C Wilson cho ta thấy vấn đề mà Atsushi Kameyama đặt hợp lý Nghiên cứu sâu mối liên hệ hệ hàm lặp affine hệ hàm lặp affine hyperbolic, ta xác định đặc tính hệ hàm lặp affine hyperbolic Đặc tính bao hàm câu trả lời khẳng định cho câu hỏi Atsushi Kameyama với tập hợp tự đồng dạng cảm sinh từ phép biến đổi affine m  Mục đích nghiên cứu Năm 2002, Bernd Kieninger [10] nghiên cứu hệ hàm lặp không gian compact Hausdorff Trong năm thập niên 70, R F Williams [19] Solomon Leader [12] có cơng trình nghiên cứu phép co rút Trong khoảng năm 1970 đến 2006, nhiều cơng trình nghiên cứu khác hình học lồi quan tâm tới nhà toán học: R Tyrrell Rockafellar [15], Rolf Schneider [17], Roger Webster [18], Maria Moszyńska [13] Tiếp cận với kết nghiên cứu khoa học này, hướng đến vấn đề có liên quan quanh tốn - Tính hyperbolic phân thớ điểm hệ hàm lặp affine - Sự tồn điểm hấp dẫn hệ hàm lặp afiine - Tính co rút tơpơ hệ hàm lặp affine - Hệ hàm lặp affine với tính khơng xun tâm đối Các mối liên hệ yếu tố nào? Nó định điều việc tìm câu trả lời cho vấn đề Atsushi Kameyama? Chúng làm sáng tỏ thông qua việc nghiên cứu vấn đề đây: Trang Vấn đề Nếu F   m; f1, f2, , fN  hệ hàm lặp affine, phát biểu sau tương đương (1) F hyperbolic (2) F phân thớ điểm (3) F có điểm hấp dẫn (4) F co rút tôpô theo vật lồi K chứa m  (5) F không xuyên tâm đối theo vật lồi K chứa m  Ngoài ra, cách tổng hợp mối liên hệ ta xác định đặc tính tồn hệ hàm lặp affine hyperbolic, thông qua vấn đề sau Vấn đề Nếu F   m; f1, f2, , fN  hệ hàm lặp affine với ánh xạ mã hoá p :   m , F hyperbolic bao affine p()  Đặc biệt, p() chứa tập mở khác rỗng m , F  hyperbolic m  Đối tượng nghiên cứu Như đề cập, đối tượng nghiên cứu luận văn “ đặc tính hệ hàm lặp affine hyperbolic” Trang 4 Phạm vi nghiên cứu Ở vấn đề 1, phân tích tính chất phát biểu tương đương hệ hàm lặp affine, thiết lập mối liên hệ hệ hàm lặp affine hệ hàm lặp affine hyperbolic Đây tảng để nghiên cứu sâu tính chất hệ hàm lặp affine hyperbolic Bên cạnh đó, vấn đề làm rõ mục tiêu luận văn đặc tính tồn hệ hàm lặp affine hyperbolic Vấn đề Atsushi Kameyama nhắc đến từ đầu trả lời từ Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp hoàn thiện kết có từ báo khoa học tài liệu có liên quan giới Luận văn viết thành chương Phần đầu chương chứa khái niệm, thuật ngữ định nghĩa dùng suốt nội dung luận văn Phần chương chứa ví dụ nhận xét hệ hàm lặp điểm hấp dẫn chúng có liên quan tới định lý định lý Nội dung luận văn nghiên cứu việc chứng minh hai định lý 2, chứng minh hai định lý phân bố chủ yếu vào chương chương Chương 2, ta nghiên cứu đặc tính hệ hàm lặp affine hyperbolic với tính chất phát biểu tương đương định lý : F hyperbolic, F phân thớ điểm, F có điểm hấp dẫn, F phép co rút tôpô theo vật lồi K  m , F không xuyên tâm đối theo vật lồi K  m   Trang Tiếp theo đó, ta nghiên cứu tồn hệ hàm lặp affine hyperbolic không gian affine m nội dung chương  Trang Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trước tiên, đưa sở lý thuyết nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu chương Mục tiêu chương hệ thống toàn ký hiệu, khái niệm định nghĩa sử dụng suốt luận văn Ngồi ra, chúng tơi đề cập đến vài ví dụ nhận xét quan trọng minh họa cho mục tiêu nghiên cứu luận văn Hầu hết kiến thức trình bày ngắn gọn, liên kết chặt chẽ với để làm rõ vấn đề phần sau Để tìm hiểu chi tiết, ta tham khảo thêm tài liệu [6], [7], [9], [10], [11] [19] trích dẫn tương ứng nội dung chương 1.1 Các khái niệm ký hiệu Ta xét m không gian vectơ, không gian affine  không gian mêtric Ta xác định điểm x  x 1,x 2, ,x m    m với vectơ mà tọa độ x 1,x 2, ,x m Ta ký hiệu 0 m điểm m mà tọa độ   Cơ sở định chuẩn ký hiệu e1,e2, ,em  Tích x,y  m ký hiệu x,y  Trang 2-chuẩn điểm x   m x  x,x mêtric Euclide dE : m m  0,  xác định dE x,y  x y với  x,y  m  Dưới ký hiệu qui ước dùng suốt luận văn (1) Một thể lồi tập lồi compact m có phần khác  rỗng (2) Với tập B   m , bao lồi B ký hiệu conv B (3) Với tập B   m , bao affine B , ký hiệu aff B , không gian affine nhỏ chứa B , nghĩa giao tất không gian affine chứa B (4)  ký hiệu tập compact khác rỗng  m , d  ký hiệu mêtric Hausdorff  Khi m,d   không gian mêtric đầy đủ (5) Cho X Y hai tập khác rỗng không gian mêtric ( m,d) Khoảng cách Hausdorff d (X,Y ) chúng xác định   d (X,Y )  max sup inf d(x,y), sup inf d(x,y)  x X yY yY x X  tương đương d (X,Y )  inf{e  : X Ye,Y  X e} Trang X e :  {z  M : d(z,x)  e} x X Minh họa khoảng cách Hausdorff hai tập X Y (6) Một mêtric d m gọi tương đương Lipschitz với d E  có số r R cho rd E x,y  d x,y  Rd E x,y với x,y  m  Nếu hai mêtric tương đương Lipschitz chúng cảm sinh tơpơ giống  m , điều ngược lại khơng cần thiết (7) Với hai tập A B  m , ký hiệu A  B : x  y : x  A,y  B dùng để ký hiệu phép trừ theo điểm phần tử hai tập hợp (8) Với số nguyên dương N ,   1,2, ,N  ký hiệu tập hợp  tất dãy vô hạn ký hiệu sk  thuộc bảng 1,2, ,N  k 1 Tập hợp  trang bị tơpơ tích Một phần tử s   ký Trang hiệu cách ghép s  s1s2s , sk ký hiệu thành phần thứ k s Khi  trang bị tơpơ tích khơng gian Hausdorff compact Ngồi ra, vài khái niệm bán kính phổ bán kính phổ nối nhắc đến ví dụ 3.4 (9) Bán kính phổ ma trận vng tốn tử tuyến tính bị chặn chặn giá trị tuyệt đối phần tử phổ Cụ thể hơn, cho l1, ,ln giá trị riêng ma trận vuông A cấp n Khi bán kính phổ r(A) xác định sau: r(A)  max  li  i Phổ ma trận tập hợp giá trị riêng (10) Bán kính phổ nối (the joint spectral radius) tập hợp ma trận M  {A1, , An }  nn xác định sau:    1/k r(M )  lim max Ai1   Aik : Ai  M k  Hệ thống lại định nghĩa hệ hàm lặp khái niệm có liên quan sau: Định nghĩa 1.1.1 (Hệ hàm lặp) Nếu N số nguyên dương fn : m  m , n  1,2, ,N ,  ánh xạ liên tục, F   m; f1, f2, , fN  gọi hệ hàm lặp Trang 10 Từ đó, ta mở rộng thành khái niệm hệ hàm lặp affine, khái niệm quan trọng nhắc đến hầu hết luận văn Nếu f  F ánh xạ affine  m , F gọi hệ hàm lặp affine Định nghĩa 1.1.2 (Hệ hàm lặp co rút) Một hệ hàm lặp F   m; f1, f2, , fN  co rút fn phép co rút Cụ thể là, có số an  0,1 cho dE fn x, fn y  andE x,y với x,y  m , với n  Định nghĩa 1.1.3 (Hệ hàm lặp hyperbolic) Một hệ hàm lặp F   m; f1, f2, , fN  gọi hyperbolic có mêtric m tương đương Lipschitz với mêtric cho cho f n  phép co rút Định nghĩa 1.1.4 (Ánh xạ mã hóa) Một ánh xạ liên tục p :   m gọi ánh xạ mã hóa với hệ  hàm lặp F   m; f1, f2, , fN  nếu, với n  1,2, ,N , sơ đồ sau giao hoán  sn   (1.1.1) p p m fn m    Trang 11 Trong sn :    ký hiệu ánh xạ nâng ngược xác định sn s  ns Ánh xạ mã hóa Jun Kigami [11] Kameyama [9] sử dụng công cụ để xác định tập hợp tự đồng dạng Như vậy, này, dùng để xác định điểm hấp dẫn hệ hàm lặp Định nghĩa 1.1.5 (Hệ hàm lặp phân thớ điểm) Một hệ hàm lặp F   m; f1, f2, , fN  phân thớ điểm nếu, với s  s1s2s   , giới hạn bên phải (1.1.2) p s : lim fs1  fs2   fsk x  k  tồn tại, độc lập theo x với s cố định, ánh xạ p :   m ánh xạ  mã hóa Khơng khó để biểu thức (1.1.2) ánh xạ mã hóa hệ hàm lặp phân thớ điểm Khái niệm hệ hàm lặp phân thớ điểm tương tự với khái niệm Kieninger [10] Tuy nhiên, phạm vi luận văn thiết lập không gian mêtric đầy đủ Định nghĩa 1.1.6 (Ký hiệu F (B) với hệ hàm lặp) Với hệ hàm lặp F   m; f1, f2, , fN  xác định F :    N F (B)   fn(B) n 1 (Ký hiệu F tương tự dùng cho hệ hàm lặp ánh xạ.) Trang 12 Với B   , cho F k(B) ký hiệu hợp thành cấp k F , nghĩa là, hợp fs1  fs2   fsk (B) s1s sk độ dài k Định nghĩa 1.1.7 (Điểm hấp dẫn hệ hàm lặp) Một tập hợp A   gọi điểm hấp dẫn hệ hàm lặp F   m; f1, f2, , fN  (1.1.3) A  F (A) (1.1.4) A  lim F k(B), giới hạn theo mêtric Hausdorff, với B   k  Nếu hệ hàm lặp có điểm hấp dẫn A , rõ ràng A điểm hấp dẫn Ta biết hệ hàm lặp hyperbolic có điểm hấp dẫn Năm 1981, Jonh E Huntchinon [7] chứng minh điều Ông quan sát hệ hàm lặp co rút F cảm sinh ánh xạ co rút F :    , từ kết kéo theo định lý ánh xạ co rút Chương hệ hàm lặp phân thớ điểm F có điểm hấp dẫn A , nữa, p ánh xạ mã hóa F A  p() Thường  xét “địa chỉ” điểm p(s) điểm hấp dẫn Có nhiều cách tiếp cận với khái niệm hệ tự đồng dạng mà không phụ thuộc vào không gian xung quanh Năm 2001, tài liệu fractals Jun Kigami [11] có ví dụ cách tiếp cận với khái niệm trên, cách tiếp cận bắt đầu với ý tưởng ánh xạ mã hóa liên tục p xác định điểm hấp dẫn p() có hiệu Trang 13 1.2 Các ví dụ nhận xét Phần chứa ví dụ nhận xét có liên quan tới định lý nội dung luận văn Ví dụ cho ta F  ( 2; f ) hệ hàm lặp phân thớ điểm, nhiên hàm f  F ánh xạ không co rút mêtric thơng thường  Thơng qua đó, cho thấy cần thiết việc tái thiết lập mêtric tương đương với mêtric thông thường, để fn  F phép co rút mêtric Ví dụ 1.2.1 Xét hệ hàm lặp affine bao gồm hàm đơn tuyến tính  cho ma trận 0 2  f     0 Chú ý giá trị riêng f  Khi  n  0 0 2n 1  n T    lim f  limT   n n   1  0 0  2 Trong T ma trận chuyển sở, hệ hàm lặp phân thớ điểm 0 2 Tuy nhiên, f     , ánh xạ không co rút mêtric thông thường 1 0  Trang 14 Tuy nhiên, phát biểu đảm bảo cho ta thiết lập (mã hóa lại) mêtric tương đương f phép co rút  Trong tài liệu hệ hàm lặp affine, giả định giá trị riêng phần tuyến tính hệ hàm lặp affine có giá trị tuyệt đối nhỏ Nhưng giả thiết không đủ để kéo theo phát biểu năm phát biểu cho định lý Lúc hệ hàm lặp affine ( m; f ) phân thớ điểm giá trị riêng phần tuyến tính f có giá trị tuyệt đối hồn tồn nhỏ 1, phát biểu tương tự khơng thể tạo số hàm hệ hàm lặp lớn Ví dụ 1.2.2 Xét hệ hàm lặp affine F   2; f1, f2, 0 2 0 1 8 f1    f2     0 2 0 Như thích ví dụ 1.2.1 n n 0 lim f1 u  lim f2 u    với vectơ u n n 0  Do đó, F1   2; f1 F2   2; f2 phân thớ điểm Tích chúng ma trận Trang 15 4  f1  f2    , 64  0 n 1  n   lim f1  f2    lim     n 0 n     Suy hệ hàm lặp F   2; f1, f2 không phân thớ điểm Do vậy, điều kiện thành phần tuyến tính hàm hệ hàm lặp có giá trị tuyệt đối giá trị riêng nhỏ không phát biểu điều kiện tương đương định lý Nhận xét Trong chứng minh hệ hàm lặp hyperbolic phân thớ điểm định lý khơng giả định hệ hàm lặp affine, điều ngược lại không trường hợp tổng quát Thật vậy, năm 2004, Atsushi Kameyama [9] tồn hệ hàm lặp điểm thớ không hyperbolic Ví dụ 1.2.3 Xét hệ hàm lặp tuyến tính F   2;L1,L2, 0 2  L2  a cos q a sin q L1     aRq , 0 a sin q  a cos q  Rq dùng để việc quay góc q ,  a  Trang 16 Khi L1n có giá trị riêng 1 2n giá trị riêng L2n có độ lớn a n  Ví dụ, ta chọn q  p a  31 32 xác minh giá trị riêng L1L2 L2L1 có độ lớn nhỏ có giá trị riêng L1L2L2 1,4014… Suy ra, trường hợp này, độ lớn giá trị riêng tốn tử tuyến tính L1,L2,L12,L1L2,L2L1,L22 tất 1, L1L2L2n x không hội tụ x   vectơ riêng L1L2L2 tương ứng với giá trị riêng 1,4014… Nó kéo theo hệ hàm lặp  2;L1,L2 không phân thớ điểm Bằng cách sử dụng ý tưởng tương tự, đơn giản để chứng minh rằng, đưa số nguyên dương M , ta chọn a gần q gần theo cách giá trị riêng Ls1Ls2 Lsk (trong s j  {1,2} với j  1,2, ,k , với k  M ) tất có độ lớn 1, L1L2M có giá trị riêng độ lớn lớn Điều liên hệ tới bán kính phổ nối cặp tốn tử tuyến tính tới giả định hữu hạn có liên quan Như vậy, ý tưởng ví dụ 1.2.3, mở hướng nghiên cứu phát biểu tương đương với năm phát biểu biết định lí