MỘT ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC - Full 10 điểm

B Ộ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO TẠ O TRƯỜNG ĐẠ I H ỌC SƯ PHẠ M TP H Ồ CHÍ MINH  Tr ầ n Minh M ỘT ĐẶ C TÍNH C Ủ A H Ệ HÀM L Ặ P AFFINE HYPERBOLIC LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN H Ọ C Thành ph ố H ồ Chí Minh - 2012 B Ộ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO TẠ O TRƯỜNG ĐẠ I H ỌC SƯ PHẠ M TP H Ồ CHÍ MINH  Tr ầ n Minh M ỘT ĐẶ C TÍNH C Ủ A H Ệ HÀM L Ặ P AFFINE HYPERBOLIC Chuyên ngành : Hình h ọ c và tôpô Mã s ố : 60 46 10 LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN H Ọ C NGƯỜI HƯỚ NG D Ẫ N KHOA H Ọ C TS NGUY Ễ N HÀ THANH Thành ph ố H ồ Chí Minh - 2012 L Ờ I C ẢM ƠN  Đầ u tiên, tôi xin bày t ỏ lòng bi ế t ơn sâu sắc đế n TS Nguy ễ n Hà Thanh, ngườ i đã nhiệt tình hướ ng d ẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành lu ận văn này Tôi xin trân tr ọ ng c ảm ơn các Thầy Cô đã nhiệ t tình gi ả ng d ạ y, truy ề n th ụ cho h ọ c viên cao h ọ c khóa 21 chúng tôi nh ữ ng ki ế n th ức cơ bả n, nh ữ ng công c ụ , phương pháp nghiên cứ u khoa h ọ c hi ệ u qu ả để chúng tôi có th ể t ự tin cho vi ệ c h ọ c và hoàn thành lu ận văn tố t nghi ệ p Tôi xin chân thành c ảm ơn b an lãnh đạ o và chuyên viên phòng Khoa h ọ c công ngh ệ – Sau đạ i h ọ c, ban ch ủ nhi ệ m và các Th ầ y Cô là gi ả ng viên khoa Toán – Tin c ủa trường Đạ i h ọc sư phạ m Thành ph ố H ồ Chí Minh đã tạ o điề u ki ệ n t ố t nh ấ t cho chúng tôi hoàn thành khóa h ọ c Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn học viên cùng khóa đã luôn chia sẽ buồn vui, hỗ trợ lẫn nhau, giúp đỡ nhau cùng vượt qua những lúc khó khăn trong suốt quá trình học tập Bên cạnh đó, tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn là học viên cao học chuyên ngành hình học và tôpô các khóa trước đã nhiệt tình chia sẽ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Cu ố i cùng, tôi xin bày t ỏ lòng bi ết ơ n sâu s ắc đế n nh ững ngườ i thân yêu trong gia đình tôi, những ngườ i luôn bên c ạ nh động viên, giúp đỡ tôi v ề m ọ i m ặ t M Ụ C L Ụ C  M Ở ĐẦ U 1 1 Lý do ch ọn đề tài 1 2 M ục đích nghiên c ứ u 2 3 Đối tượ ng nghiên c ứ u 3 4 Ph ạ m vi nghiên c ứ u 4 5 Phương ph áp nghiên c ứ u 4 Chương 1 : KI Ế N TH Ứ C CHU Ẩ N B Ị 6 1 1 Các khái ni ệ m và ký hi ệ u 6 1 2 Các ví d ụ và nh ậ n xét 13 Chương 2: ĐẶ C TÍNH C Ủ A H Ệ HÀM L Ặ P 19 2 1 Hyperbolic kéo theo phân th ớ điể m 20 2 2 Phân th ớ điể m kéo theo s ự t ồ n t ạ i c ủ a m ột điể m h ấ p d ẫ n 21 2 3 M ộ t h ệ hàm l ặ p v ớ i m ột điể m h ấ p d ẫ n thì co rút tôpô 24 2 4 Phép co rút tôpô thì không xuyên tâm đố i 31 2 5 M ộ t h ệ hàm l ặp affine không xuyên tâm đố i là hyperbolic 32 T ổ ng k ết chương 2 38 Chương 3 : S Ự T Ồ N T Ạ I H Ệ HÀM L Ặ P AFFINE HYPERBOLIC 39 3 1 S ự t ồ n t ạ i c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p affine phân th ớ điể m h ạ n ch ế theo bao affine c ủ a t ậ p h ợ p t ự đồ ng d ạ ng 39 3 2 S ự t ồ n t ạ i c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic 42 K Ế T LU Ậ N 44 TÀI LI Ệ U THAM KH Ả O 47 Trang 1 M Ở ĐẦ U 1 Lý do ch ọn đề tài Hình h ọc Fractal đượ c bi ết đế n t ừ năm 1975, do Benoit Mandelbrot đã c ủ ng c ố t ừ hàng trăm năm ý tưở ng và s ự phát tri ển ban đầ u c ủ a môn hình h ọ c này Dù còn r ấ t m ớ i nhưng hình học Fractal thu hút đượ c s ự quan tâm c ủ a nhi ề u nhà toán h ọc như Michael F Barnsley, V Ervin, D Hardin, J Lancaster, John E Hutchinson, Masayoshi Hata, Jun Kigami, Atsushi Kameyama, Bernd Kieninger H ệ hàm l ặp đượ c gi ớ i thi ệ u l ần đầ u b ởi John E Huntchinson [7] năm 1981 khi ông nghiên c ứ u v ề “Fractal và tính t ự đồ ng d ạng” và đượ c ph ổ bi ế n b ởi Michael F Barnsley năm 1988 Nó cung cấp phương tiệ n nghiên c ứ u các mô hình hình h ọ c t ự đồ ng d ạ ng trong t ự nhiên Ngày nay, hình h ọ c Fractal đượ c xem như là môn nghiên cứu cơ b ả n dành riêng cho ứ ng d ụng đồ h ọ a máy tính hi ện đạ i Năm 2004, k hi nghiên c ứ u v ề kho ả ng cách trên các t ậ p h ợ p tôpô t ự đồ ng d ạ ng trong hình h ọ c Fractal và các ứ ng d ụ ng c ủ a nó, Atsushi Kameyama đã nêu ra mộ t v ấn đề c ầ n quan tâm là: “Cho m ộ t t ậ p h ợ p tôpô t ự đồ ng d ạ ng, có hay không s ự t ồ n t ạ i c ủ a m ộ t h ệ liên k ế t c ủ a các ánh x ạ co rút?” V ớ i nhi ề u công trình nghiên c ứ u v ề hình h ọ c Fractal, Michael F Barnsley cũng đã quan tâm đế n vi ệ c tìm ra câu tr ả l ờ i cho v ấn đề này G ầ n đây nhất, năm 2011, kế t qu ả nghiên c ứ u c ủ a ông cùng v ớ i Ross Atkins, Trang 2 Andrew Vince, David C Wilson cho ta th ấ y r ằ ng các v ấn đề mà Atsushi Kameyama đã đặ t ra là h ợ p lý Nghiên c ứu sâu hơn về m ố i liên h ệ gi ữ a h ệ hàm l ặ p affine và h ệ hàm l ặp affine hyperbolic, ta xác định đượ c m ột đặ c tính c ủ a h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic Đặ c tính này bao hàm câu tr ả l ờ i kh ẳng đị nh cho câu h ỏ i c ủ a Atsushi Kameyama v ớ i các t ậ p h ợ p t ự đồ ng d ạ ng c ả m sinh t ừ các phép bi ế n đổ i affine trên m  2 M ục đích nghiên cứ u Năm 2002, Bernd Kieninger [10] nghiên cứ u v ề h ệ hàm l ặ p trên không gian compact Hausdorff Trong nh ững năm thậ p niên 70, R F Williams [19] và Solomon Leader [12] có các công trình nghiên c ứ u v ề phép co rút Trong kho ả ng nh ững năm 1970 đế n 2006, nhi ề u công trình nghiên c ứ u khác v ề hình h ọ c l ồi đã đượ c quan tâm t ớ i b ở i các nhà toán h ọ c: R Tyrrell Rockafellar [15], Rolf Schneider [17], Roger Webster [18], Maria Moszyńska [13] Ti ế p c ậ n v ớ i các k ế t qu ả nghiên c ứ u khoa h ọc này, nó hướng chúng ta đế n các v ấ n đề có liên quan quanh bài toán như - Tính hyperbolic và phân th ớ điể m c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p affine - S ự t ồ n t ạ i c ủ a m ột điể m h ấ p d ẫ n c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p afiine - Tính co rút tôpô c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p affine - H ệ hàm l ặ p affine v ới tính không xuyên tâm đố i c ủ a nó Các m ố i liên h ệ gi ữ a các y ế u t ố ở trên như thế nào? Nó quy ết định điề u gì trong vi ệ c tìm ra câu tr ả l ờ i cho v ấn đề c ủ a Atsushi Kameyama? Chúng s ẽ đượ c làm sáng t ỏ thông qua vi ệ c nghiên c ứ u v ấn đề dưới đây: Trang 3 V ấn đề 1 N ế u   1 2 ; , , , m N f f f   F là m ộ t h ệ hàm l ặ p affine, thì các phát bi ể u sau đây là tương đương (1) F là hyperbolic (2) F là phân th ớ điể m (3) F có m ột điể m h ấ p d ẫ n (4) F là m ộ t co rút tôpô theo v ậ t l ồ i K nào đó chứ a trong m  (5) F không xuyên tâm đố i theo v ậ t l ồ i K nào đó chứ a trong m  Ngoài ra, b ằ ng cách t ổ ng h ợ p các m ố i liên h ệ trên ta xác đị nh đượ c m ộ t đặ c tính v ề s ự t ồ n t ạ i c ủ a h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic, thông qua v ấn đề 2 sau đây V ấn đề 2 N ế u   1 2 ; , , , m N f f f   F là m ộ t h ệ hàm l ặ p affine v ớ i ánh x ạ mã hoá : m p    , thì F là hyperbolic trên bao affine c ủ a ( ) p  Đặ c bi ệ t, n ế u ( ) p  ch ứ a m ộ t t ậ p con m ở khác r ỗ ng c ủ a m  , thì F là hyperbolic trên m  3 Đối tượ ng nghiên c ứ u Như trên đã đề c ập, đối tượ ng nghiên c ứ u c ủ a lu ận văn là “ đặ c tính c ủ a h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic” Trang 4 4 Ph ạ m vi nghiên c ứ u Ở v ấn đề 1, phân tích các tính ch ất đượ c phát bi ểu tương đương củ a h ệ hàm l ặ p affine, chúng tôi thi ế t l ậ p m ố i liên h ệ gi ữ a h ệ hàm l ặ p affine và h ệ hàm l ặp affine hyperbolic Đây là nề n t ảng căn bản để nghiên c ứ u sâu hơn v ề các tính ch ấ t c ủ a h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic Bên c ạnh đó, vấn đề 2 cũng s ẽ làm rõ m ụ c tiêu chính c ủ a lu ận văn và ch ỉ ra đặ c tính v ề s ự t ồ n t ạ i c ủ a h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic V ấn đề c ủ a Atsushi Kameyama đượ c nh ắc đế n t ừ đầu cũng đượ c tr ả l ờ i t ừ đây 5 Phương pháp nghiên c ứ u T ổ ng h ợ p và hoàn thi ệ n nh ữ ng k ế t qu ả đã có từ nh ữ ng bài báo khoa h ọ c và các tài li ệ u có liên quan trên th ế gi ớ i Lu ận văn đượ c vi ết thành 3 chương Ph ần đầ u c ủa chương 1 chứ a các khái ni ệ m, thu ậ t ng ữ và định nghĩa đượ c dùng trong su ố t n ộ i dung c ủ a lu ận văn Phầ n ti ế p theo c ủa chương chứ a các ví d ụ và nh ậ n xét v ề các h ệ hàm l ặp và điể m h ấ p d ẫ n c ủ a chúng có liên quan t ới định lý 1 và đị nh lý 2 N ộ i dung chính c ủ a lu ận văn là nghiên cứ u vi ệ c ch ứ ng mi nh hai đị nh lý 1 và 2, ch ứng minh hai định lý này đượ c phân b ố ch ủ y ếu vào chương 2 và chương 3 Chương 2, ta nghiên cứu đặ c tính c ủ a h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic v ớ i các tính ch ất đượ c phát bi ểu tương đương trong định lý 1 như : F là hyperbolic, F là phân th ớ điể m, F có m ột điể m h ấ p d ẫ n, F là m ộ t phép co rút tôpô theo v ậ t l ồ i m K   , F không xuyên tâm đố i theo v ậ t l ồ i m K   Trang 5 Ti ếp theo đó, ta nghiên cứ u s ự t ồ n t ạ i c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p affine hyperbolic trên m ộ t không gian con affine c ủ a m  trong n ội dung chương 3 Trang 6 Chương 1 KI Ế N TH Ứ C CHU Ẩ N B Ị Trước tiên, chúng tôi đưa ra cơ sở lý thuy ế t nh ằ m ph ụ c v ụ cho vi ệ c nghiên c ứu các chương tiế p theo M ụ c tiêu c ủa chương này là hệ th ố ng toàn b ộ các ký hi ệ u, khái ni ệm và đ ịnh nghĩa đượ c s ử d ụ ng trong su ố t lu ận văn Ngoài ra, chúng tôi đề c ập đế n vài ví d ụ và nh ậ n xét quan tr ọ ng minh h ọ a cho m ụ c tiêu nghiên c ứ u lu ận văn H ầ u h ế t các ki ế n th ức đượ c trình bày ng ắ n g ọ n, liên k ế t ch ặ t ch ẽ v ớ i nhau để làm rõ các v ấn đề trong nh ữ ng ph ầ n ti ếp theo sau Để tìm hi ể u chi ti ế t, ta có th ể tham kh ả o thêm trong các tài li ệ u [6], [7], [9], [10], [11] và [19] đượ c trích d ẫn tương ứ ng trong n ội dung chương 1 1 Các khái ni ệ m và ký hi ệ u Ta xét m  như là một không gian vectơ, mộ t không gian affine và m ộ t không gian mêtric Ta xác đị nh m ột điể m   1 2 , , , m m x x x x    v ới vectơ mà các tọ a độ c ủ a nó là 1 2 , , , m x x x Ta ký hi ệ u 0 m   là m ột điể m trong m  mà các t ọa độ c ủ a nó là 0 Cơ sở đị nh chu ẩn đượ c ký hi ệ u là   1 2 , , , m e e e Tích trong gi ữ a , m x y   đượ c ký hi ệ u là , x y Trang 7 2-chu ẩ n c ủ a m ột điể m m x   là 2 , x x x  và mêtric Euclide  : 0, m m E d        được xác đị nh b ở i   2 , E d x y x y   v ớ i m ọ i , m x y   Dưới đây là các ký hiệu và qui ướ c s ẽ đượ c dùng trong su ố t lu ận văn (1) M ộ t th ể l ồ i là m ộ t t ậ p con l ồ i compact c ủ a m  có ph ầ n trong khác r ỗ ng (2) V ớ i t ậ p m B   , bao l ồ i c ủ a B đượ c ký hi ệ u là   conv B (3) V ớ i t ậ p m B   , bao affine c ủ a B , đượ c ký hi ệ u là   aff B , là không gian affine con nh ỏ nh ấ t ch ứ a B , nghĩa là giao củ a t ấ t c ả các không gian affine con ch ứ a B (4)  là ký hi ệ u c ủ a t ậ p con compact khác r ỗ ng c ủ a m  , và d  ký hi ệ u mêtric Hausdorff trên  Khi đó   , m d   là m ộ t không gian mêtric đầy đủ (5) Cho X và Y là hai t ậ p con khác r ỗ ng c ủ a không gian mêtric ( , ) m d  Kho ả ng cách Hausdorff ( , ) d X Y  c ủa chúng xác đị nh b ở i ( , ) max sup inf ( , ), sup inf ( , ) y Y x X x X y Y d X Y d x y d x y                     tương đương ( , ) inf{ 0 : , } d X Y X Y Y X e e e      trong đó Trang 8 : { : ( , ) } x X X z M d z x e e      Minh h ọ a kho ả ng cách Hausdorff c ủ a hai t ậ p X và Y (6) M ộ t mêtric d trên m  đượ c g ọ i là tương đương Lipschitz v ớ i E d n ế u có các h ằ ng s ố r và R sao cho       , , , E E rd x y d x y Rd x y   v ớ i m ọ i , m x y   N ếu hai mêtric tương đương Lipschitz thì chúng cả m sinh tôpô gi ố ng nhau trên m  , nhưng điều ngượ c l ạ i thì không c ầ n thi ết là đúng (7) V ớ i b ấ t k ỳ hai t ậ p con A và B c ủ a m  , ký hi ệ u   : : , A B x y x A y B      được dùng để ký hi ệ u phép tr ừ theo t ừ ng điể m c ủ a các ph ầ n t ử trong hai t ậ p h ợ p (8) V ớ i m ộ t s ố nguyên dương N ,   1,2, , N    là ký hi ệ u t ậ p h ợ p c ủ a t ấ t c ả các dãy vô h ạ n c ủ a các ký hi ệ u   1 k k s   thu ộ c b ả ng   1,2, , N T ậ p h ợ p  đượ c trang b ị tôpô tích M ộ t ph ầ n t ử c ủ a s   cũng sẽ đượ c ký Trang 9 hi ệ u b ằ ng cách ghép 1 2 3 s s s s  , trong đó k s ký hi ệ u thành ph ầ n th ứ k c ủ a s Khi  đượ c trang b ị tôpô tích thì nó là không gian Hausdorff compact Ngoài ra, vài khái ni ệ m v ề bán kính ph ổ và bán kính ph ổ n ối cũng đượ c nh ắc đế n trong ví d ụ 3 4 (9) Bán kính ph ổ c ủ a m ộ t ma tr ậ n vuông ho ặ c c ủ a m ộ t toán t ử tuy ế n tính b ị ch ặ n là ch ặ n trên c ủ a các giá tr ị tuy ệt đố i c ủ a các ph ầ n t ử trong ph ổ c ủ a nó C ụ th ể hơ n, cho 1 , , n l l là các giá tr ị riêng c ủ a ma tr ậ n vuông A c ấ p n Khi đó bán kính phổ ( ) A r c ủa nó được xác định như sau:   ( ) max i i A r l  Ph ổ c ủ a m ộ t ma tr ậ n là t ậ p h ợ p các giá tr ị riêng c ủ a nó (10) Bán kính ph ổ n ố i (the joint spectral radius) c ủ a m ộ t t ậ p h ợ p các ma tr ậ n 1 { , , } n n n M A A     được xác định như sau:   1 1/ ( ) lim max : k k i i i k M A A A M r      H ệ th ố ng l ại các định nghĩa hệ hàm l ặ p và các khái ni ệ m có liên quan như sau: Định nghĩa 1 1 1 (H ệ hàm l ặ p) N ế u N là s ố nguyên dương và : m m n f    , 1,2, , n N  , là các ánh x ạ liên t ụ c, thì   1 2 ; , , , m N f f f   F đượ c g ọ i là m ộ t h ệ hàm l ặ p Trang 10 T ừ đó, ta mở r ộ ng thành khái ni ệ m h ệ hàm l ặ p affine, là m ộ t khái ni ệ m quan tr ọng đượ c nh ắc đế n h ầ u h ế t trong c ả lu ận văn N ế u m ỗ i f  F là m ộ t ánh x ạ affine trên m  , thì F đượ c g ọ i là m ộ t h ệ hàm l ặ p affine Định nghĩa 1 1 2 (H ệ hàm l ặ p co rút) M ộ t h ệ hàm l ặ p   1 2 ; , , , m N f f f   F là co rút khi m ỗ i n f là phép co rút C ụ th ể là, có m ộ t s ố  0,1 n a    sao cho         , , E n n n E d f x f y d x y a  v ớ i m ọ i , m x y   , v ớ i m ọ i n Định nghĩa 1 1 3 (H ệ hàm l ặ p hyperbolic) M ộ t h ệ hàm l ặ p   1 2 ; , , , m N f f f   F đượ c g ọ i là hyperbolic n ế u có m ộ t mêtric trên m  tương đương Lipschitz với mêtric đã cho sao cho mỗ i n f là phép co rút Định nghĩa 1 1 4 (Ánh x ạ mã hóa) M ộ t ánh x ạ liên t ụ c : m p    đượ c g ọ i là m ộ t ánh x ạ mã hóa v ớ i h ệ hàm l ặ p   1 2 ; , , , m N f f f   F n ế u, v ớ i m ỗ i 1,2, , n N  , sơ đ ồ sau đây giao hoán (1 1 1) n n s f m m p p           Trang 11 Trong đó : n s    ký hi ệ u ánh x ạ nâng ngược được xác đị nh b ở i   n s n s s  Ánh x ạ mã hóa đượ c Jun Kigami [11] và Kameyama [9] s ử d ụng như m ộ t công c ụ để xác đị nh t ậ p h ợ p t ự đồ ng d ạng Như vậ y, trong bài này, nó được dùng để xác định điể m h ấ p d ẫ n c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p Định nghĩa 1 1 5 (H ệ hàm l ặ p phân th ớ điể m) M ộ t h ệ hàm l ặ p   1 2 ; , , , m N f f f   F là phân th ớ điể m n ế u, v ớ i m ỗ i 1 2 3 s s s s    , gi ớ i h ạ n v ề bên ph ả i c ủ a (1 1 2)     1 2 : lim k k f f f x s s s p s      t ồ n t ại, độ c l ậ p theo x v ớ i s c ố đị nh, và ánh x ạ : m p    là m ộ t ánh x ạ mã hóa Không khó để ch ỉ ra r ằ ng bi ể u th ứ c (1 1 2) là ánh x ạ mã hóa duy nh ấ t c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p phân th ớ điể m Khái ni ệ m v ề m ộ t h ệ hàm l ặ p phân th ớ điểm là tương tự v ớ i khái ni ệ m c ủ a Kieninger [10] Tuy nhiên, trong ph ạ m vi lu ận văn này nó đượ c thi ế t l ậ p trong không gi an mêtric đầy đủ Định nghĩa 1 1 6 (Ký hi ệ u ( ) B F v ớ i m ộ t h ệ hàm l ặ p) V ớ i m ộ t h ệ hàm l ặ p   1 2 ; , , , m N f f f   F xác đị nh :    F b ở i 1 ( ) ( ) N n n B f B    F (Ký hi ệ u F tương tự đượ c dùng cho h ệ hàm l ặ p và ánh x ạ ) Trang 12 V ớ i B   , cho ( ) k B  F ký hi ệ u s ự h ợ p thành c ấ p k c ủ a F , nghĩa là, h ợ p c ủ a 1 2 ( ) k f f f B s s s    trên m ọ i 1 2 k s s s độ dài là k Định nghĩa 1 1 7 (Điể m h ấ p d ẫ n c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p) M ộ t t ậ p h ợ p A   đượ c g ọ i là m ộ t điể m h ấ p d ẫ n c ủ a m ộ t h ệ hàm l ặ p   1 2 ; , , , m N f f f   F n ế u (1 1 3) ( ) A A  F và (1 1 4) lim ( ) k k A B    F , gi ớ i h ạ n theo mêtric Hausdorff, v ớ i m ọ i B   N ế u m ộ t h ệ hàm l ặ p có m ột điể m h ấ p d ẫ n A , thì rõ ràng A là điể m h ấ p d ẫ n duy nh ất Ta cũng biế t r ằ ng m ộ t h ệ hàm l ặ p hyperbolic có m ột điể m h ấ p d ẫn Năm 1981, Jonh E Huntchinon [7] đã chứng minh điề u này Ông quan sát r ằ ng m ộ t h ệ hàm l ặ p co rút F c ả m sinh m ộ t ánh x ạ co rút :    F , t ừ k ế t qu ả kéo theo b ởi đị nh lý ánh x ạ co rút Ch ươ ng ti ế p theo ch ỉ ra r ằ ng m ộ t h ệ hàm l ặ p phân th ớ điể m F có m ộ t điể m h ấ p d ẫ n A , và hơn nữ a, n ế u p là ánh x ạ mã hóa c ủ a F thì ( ) A p   Thườ ng thì  được xét như là “đị a ch ỉ ” c ủa điể m ( ) p s trong điể m h ấ p d ẫ n Có nhi ề u cách ti ế p c ậ n v ớ i khái ni ệ m c ủ a m ộ t h ệ t ự đồ ng d ạ ng mà không ph ụ thu ộc vào không gian xung quanh Năm 2001, trong tài liệ u fractals c ủ a Jun Kigami [11] có ví d ụ ch ỉ ra m ộ t cách ti ế p c ậ n v ớ i khái ni ệ m trên, cách ti ế p c ậ n này b ắt đầ u v ới ý tưở ng c ủ a ánh x ạ mã hóa liên t ụ c p và xác định điể m h ấ p d ẫn như ( ) p  là có hi ệ u qu ả Trang 13 1 2 Các ví d ụ và nh ậ n xét Ph ầ n này ch ứ a các ví d ụ và nh ậ n xét có liên quan t ới các đị nh lý 1 và 2 trong n ộ i dung chính c ủ a lu ận văn Ví d ụ ngay dưới đây cho ta 2 ( ; ) f   F là m ộ t h ệ hàm l ặ p phân th ớ điể m, tuy nhiên hàm f  F là ánh x ạ không co rút dưới mêtric thông thườ ng trên 2  Thông qua đó, nó cho thấ y s ự c ầ n thi ế t c ủ a vi ệ c tái thi ế t l ậ p m ộ t mêtric tương đương với mêtric thông thường, để m ỗ i n f  F là phép co rút dướ i mêtric m ớ i này Ví d ụ 1 2 1 Xét m ộ t h ệ hàm l ặ p affine bao g ồ m m ột hàm đơn tuyế n tính trên 2  đượ c cho b ở i ma tr ậ n 1 8 0 2 0 f               Chú ý r ằ ng giá tr ị riêng c ủ a f b ằ ng 1 2  Khi     1 2 1 2 1 2 0 0 0 lim lim 0 0 0 n n n n n f T T                                      Trong đó T là ma tr ậ n chuy ển cơ sở , h ệ hàm l ặ p này là phân th ớ điể m Tuy nhiên, khi 0 2 1 0 f                            , ánh x ạ không là co rút dưới mêtric thông thườ ng trên 2  Trang 14 Tuy nhiên, phát bi ểu 1 đả m b ả o cho ta có th ể thi ế t l ậ p (mã hóa l ạ i) trên 2  m ột mêtric tương đương vì thế f là m ộ t phép co rút Trong tài li ệ u h ệ hàm l ặp affine, đôi khi đượ c gi ả đị nh r ằ ng các giá tr ị riêng c ủ a các ph ầ n tuy ế n tính c ủ a các h ệ hàm l ặ p affine có giá tr ị tuy ệt đố i nh ỏ hơn 1 Nh ư ng gi ả thi ết này không đủ để kéo theo b ấ t k ỳ phát bi ể u nào trong năm phát biểu đượ c cho tro ng đị nh lý 1 Lúc đó hệ hàm l ặ p affine ( ; ) m f  là phân th ớ điể m n ế u và ch ỉ n ế u các giá tr ị riêng c ủ a ph ầ n tuy ế n tính c ủ a f có giá tr ị tuy ệt đố i hoàn toàn nh ỏ hơn 1, m ộ t phát bi ểu tương tự không th ể đượ c t ạ o n ế u s ố hàm trong h ệ hàm l ặ p l ớn hơn 1 Ví d ụ 1 2 2 Xét h ệ hàm l ặ p affine   2 1 2 ; , f f   F , trong đó 1 1 8 0 2 0 f               và 1 8 2 0 2 0 f               Như đượ c chú thích trong ví d ụ 1 2 1 1 2 0 lim lim 0 n n n n f u f u                    v ới vectơ u b ấ t k ỳ Do đó, cả   2 1 1 ; f   F và   2 2 2 ; f   F là phân th ớ điể m Tích c ủ a chúng là ma tr ậ n Trang 15 1 2 1 64 4 0 0 f f                , vì th ế   1 2 1 4 lim lim 0 0 n n n n f f                                   Suy ra h ệ hàm l ặ p   2 1 2 ; , f f   F không là phân th ớ điể m Do v ậy, điề u ki ệ n các thành ph ầ n tuy ế n tính c ủ a các hàm trong h ệ hàm l ặ p có giá tr ị tuy ệt đố i c ủ a các giá tr ị riêng nh ỏ hơn 1 không đượ c phát bi ể u như một điề u ki ện tương đương trong đị nh lý 1 Nh ậ n xét Trong khi ch ứ ng minh m ộ t h ệ hàm l ặ p hyperbolic là phân th ớ điể m trong định lý 1 là đúng ngay cả không gi ả đị nh r ằ ng h ệ hàm l ặ p là affine, thì điều ngượ c l ại không đúng trong trườ ng h ợ p t ổ ng quát Th ậ t v ậ y, năm 2004, Atsushi Kameyama [9] đã chỉ ra r ằ ng t ồ n t ạ i m ộ t h ệ hàm l ặp điể m th ớ không là hyperbolic Ví d ụ 1 2 3 Xét h ệ hàm l ặ p tuy ế n tính   2 1 2 ; , L L   F , trong đó 1 1 8 0 2 0 L               và 2 cos sin sin cos a a L aR a a q q q q q                 , trong đó R q dùng để ch ỉ vi ệ c quay m ộ t góc q , và 0 1 a   Trang 16 Khi đó 1 n L có các giá tr ị riêng 1 2 n  trong khi các giá tr ị riêng c ủ a 2 n L cùng có độ l ớ n 1 n a  Ví d ụ , n ế u ta ch ọ n 8 q p  và 31 32 a  thì ít đượ c xác minh r ằ ng các giá tr ị riêng c ủ a 1 2 L L và 2 1 L L có độ l ớ n nh ỏ hơn 1 và có mộ t trong các giá tr ị riêng c ủ a 1 2 2 L L L là 1,4014… Suy ra, trong trườ ng h ợp này, độ l ớ n các giá tr ị riêng c ủ a các toán t ử tuy ế n tính 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 , , , , , L L L L L L L L t ấ t c ả đề u ít hơn 1, nhưng   1 2 2 n L L L x không h ộ i t ụ khi 2 x   là m ột vectơ riêng bấ t kì c ủ a 1 2 2 L L L tương ứ ng v ớ i giá tr ị riêng 1,4014… Nó kéo theo h ệ hàm l ặ p   2 1 2 ; , L L  không là phân th ớ điể m B ằ ng cách s ử d ụng ý tưởng cơ bản tương tự, đơn giản để ch ứ ng minh r ằ ng, khi đưa ra bấ t kì m ộ t s ố nguyên dương M , ta có th ể ch ọ n a g ầ n b ằ ng 1 và q g ầ n b ằng 0 theo cách như vậ y thì các giá tr ị riêng c ủ a 1 2 k L L L s s s (trong đó {1,2} j s  v ớ i 1,2, , j k  , v ớ i k M  ) t ấ t c ả đều có độ l ớn ít hơn 1, trong khi 1 2 M L L có giá tr ị riêng c ủa độ l ớ n l ớn hơn 1 Điều này đượ c liên h ệ t ớ i bán kính ph ổ n ố i c ủ a c ặ p toán t ử tuy ế n tính và t ớ i các gi ả đị nh h ữ u h ạ n có liên quan Như vậ y, b ằng ý tưở ng c ủ a ví d ụ 1 2 3, nó m ở ra m ột hướ ng nghiên c ứ u v ề m ộ t phát bi ể u m ới tương đương với năm phát biểu đã biết trong đị nh lí 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH



Tr ần Minh

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH



Tr ần Minh

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

L ỜI CẢM ƠN



Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, truyền

thụ cho học viên cao học khóa 21 chúng tôi những kiến thức cơ bản, những công cụ, phương pháp nghiên cứu khoa học hiệu quả để chúng tôi có thể tự tin cho việc học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa

học công nghệ – Sau đại học, ban chủ nhiệm và các Thầy Cô là giảng viên khoa Toán – Tin của trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất cho chúng tôi hoàn thành khóa học

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn học viên cùng khóa đã luôn chia sẽ buồn vui, hỗ trợ lẫn nhau, giúp đỡ nhau cùng vượt qua những lúc khó khăn trong suốt quá trình học tập

Bên cạnh đó, tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn là học viên cao học chuyên ngành hình học và tôpô các khóa trước đã nhiệt tình chia sẽ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình tôi, những người luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tôi về

mọi mặt

M ỤC LỤC



M Ở ĐẦU 1

1 Lý do ch ọn đề tài 1

2 M ục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 3

4 Phạm vi nghiên cứu 4

5 Phương pháp nghiên cứu 4

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 Các khái ni ệm và ký hiệu 6

1.2 Các ví dụ và nhận xét 13

Chương 2: ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP 19

2.1 Hyperbolic kéo theo phân th ớ điểm 20

2.2 Phân thớ điểm kéo theo sự tồn tại của một điểm hấp dẫn 21

2.3 M ột hệ hàm lặp với một điểm hấp dẫn thì co rút tôpô 24

2.4 Phép co rút tôpô thì không xuyên tâm đối 31

2.5 M ột hệ hàm lặp affine không xuyên tâm đối là hyperbolic 32

T ổng kết chương 2 38

Chương 3: SỰ TỒN TẠI HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC 39

3.1 Sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm hạn chế theo bao affine c ủa tập hợp tự đồng dạng 39

3.2 S ự tồn tại của một hệ hàm lặp affine hyperbolic 42

K ẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

M Ở ĐẦU

1 Lý do ch ọn đề tài

Hình học Fractal được biết đến từ năm 1975, do Benoit Mandelbrot đã

củng cố từ hàng trăm năm ý tưởng và sự phát triển ban đầu của môn hình học này Dù còn rất mới nhưng hình học Fractal thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học như Michael F Barnsley, V Ervin, D Hardin, J Lancaster, John E Hutchinson, Masayoshi Hata, Jun Kigami, Atsushi Kameyama, Bernd Kieninger

Hệ hàm lặp được giới thiệu lần đầu bởi John E Huntchinson [7] năm

1981 khi ông nghiên cứu về “Fractal và tính tự đồng dạng” và được phổ biến

bởi Michael F Barnsley năm 1988 Nó cung cấp phương tiện nghiên cứu các

mô hình hình học tự đồng dạng trong tự nhiên Ngày nay, hình học Fractal được xem như là môn nghiên cứu cơ bản dành riêng cho ứng dụng đồ họa máy tính hiện đại

Năm 2004, khi nghiên cứu về khoảng cách trên các tập hợp tôpô tự đồng dạng trong hình học Fractal và các ứng dụng của nó, Atsushi Kameyama

đã nêu ra một vấn đề cần quan tâm là:

“Cho một tập hợp tôpô tự đồng dạng, có hay không sự tồn tại của một

hệ liên kết của các ánh xạ co rút?”

Với nhiều công trình nghiên cứu về hình học Fractal, Michael F Barnsley cũng đã quan tâm đến việc tìm ra câu trả lời cho vấn đề này Gần đây nhất, năm 2011, kết quả nghiên cứu của ông cùng với Ross Atkins,

Andrew Vince, David C Wilson cho ta thấy rằng các vấn đề mà Atsushi Kameyama đã đặt ra là hợp lý

Nghiên cứu sâu hơn về mối liên hệ giữa hệ hàm lặp affine và hệ hàm

lặp affine hyperbolic, ta xác định được một đặc tính của hệ hàm lặp affine hyperbolic Đặc tính này bao hàm câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của Atsushi Kameyama với các tập hợp tự đồng dạng cảm sinh từ các phép biến đổi affine trên m

2 M ục đích nghiên cứu

Năm 2002, Bernd Kieninger [10] nghiên cứu về hệ hàm lặp trên không gian compact Hausdorff Trong những năm thập niên 70, R F Williams [19]

và Solomon Leader [12] có các công trình nghiên cứu về phép co rút Trong khoảng những năm 1970 đến 2006, nhiều công trình nghiên cứu khác về hình

học lồi đã được quan tâm tới bởi các nhà toán học: R Tyrrell Rockafellar [15], Rolf Schneider [17], Roger Webster [18], Maria Moszyńska [13] Tiếp

cận với các kết quả nghiên cứu khoa học này, nó hướng chúng ta đến các vấn

đề có liên quan quanh bài toán như

- Tính hyperbolic và phân thớ điểm của một hệ hàm lặp affine

- Sự tồn tại của một điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp afiine

- Tính co rút tôpô của một hệ hàm lặp affine

- Hệ hàm lặp affine với tính không xuyên tâm đối của nó

Các mối liên hệ giữa các yếu tố ở trên như thế nào? Nó quyết định điều

gì trong việc tìm ra câu trả lời cho vấn đề của Atsushi Kameyama? Chúng sẽ được làm sáng tỏ thông qua việc nghiên cứu vấn đề dưới đây:

V ấn đề 1

Nếu  m; , , ,1 2 

N

f f f

 

F là một hệ hàm lặp affine, thì các phát biểu sau đây là tương đương

(1) F là hyperbolic (2) F là phân thớ điểm (3) F có một điểm hấp dẫn (4) F là một co rút tôpô theo vật lồi K nào đó chứa trong m

(5) F không xuyên tâm đối theo vật lồi K nào đó chứa trong m

Ngoài ra, bằng cách tổng hợp các mối liên hệ trên ta xác định được một đặc tính về sự tồn tại của hệ hàm lặp affine hyperbolic, thông qua vấn đề 2 sau đây

V ấn đề 2

Nếu  m; , , ,1 2 

N

f f f

 

F là một hệ hàm lặp affine với ánh xạ mã hoá

p    , thì F là hyperbolic trên bao affine của p ( )

Đặc biệt, nếu p ( ) chứa một tập con mở khác rỗng của m, thì F là hyperbolic trên m

3 Đối tượng nghiên cứu

Như trên đã đề cập, đối tượng nghiên cứu của luận văn là “ đặc tính của hệ hàm lặp affine hyperbolic”

4 Ph ạm vi nghiên cứu

Ở vấn đề 1, phân tích các tính chất được phát biểu tương đương của hệ hàm lặp affine, chúng tôi thiết lập mối liên hệ giữa hệ hàm lặp affine và hệ hàm lặp affine hyperbolic Đây là nền tảng căn bản để nghiên cứu sâu hơn về các tính chất của hệ hàm lặp affine hyperbolic

Bên cạnh đó, vấn đề 2 cũng sẽ làm rõ mục tiêu chính của luận văn và

chỉ ra đặc tính về sự tồn tại của hệ hàm lặp affine hyperbolic Vấn đề của Atsushi Kameyama được nhắc đến từ đầu cũng được trả lời từ đây

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp và hoàn thiện những kết quả đã có từ những bài báo khoa học

và các tài liệu có liên quan trên thế giới

Luận văn được viết thành 3 chương

Phần đầu của chương 1 chứa các khái niệm, thuật ngữ và định nghĩa được dùng trong suốt nội dung của luận văn Phần tiếp theo của chương chứa các ví dụ và nhận xét về các hệ hàm lặp và điểm hấp dẫn của chúng có liên quan tới định lý 1 và định lý 2

Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu việc chứng minh hai định lý

1 và 2, chứng minh hai định lý này được phân bố chủ yếu vào chương 2 và chương 3

Chương 2, ta nghiên cứu đặc tính của hệ hàm lặp affine hyperbolic với các tính chất được phát biểu tương đương trong định lý 1 như : F là hyperbolic, F là phân thớ điểm, F có một điểm hấp dẫn, F là một phép co rút tôpô theo vật lồi K   m, F không xuyên tâm đối theo vật lồi K   m

Tiếp theo đó, ta nghiên cứu sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine hyperbolic trên một không gian con affine của m trong nội dung chương 3

Chương 1

Trước tiên, chúng tôi đưa ra cơ sở lý thuyết nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu các chương tiếp theo Mục tiêu của chương này là hệ thống toàn

bộ các ký hiệu, khái niệm và định nghĩa được sử dụng trong suốt luận văn Ngoài ra, chúng tôi đề cập đến vài ví dụ và nhận xét quan trọng minh họa cho

mục tiêu nghiên cứu luận văn

Hầu hết các kiến thức được trình bày ngắn gọn, liên kết chặt chẽ với nhau để làm rõ các vấn đề trong những phần tiếp theo sau Để tìm hiểu chi

tiết, ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [6], [7], [9], [10], [11] và [19] được trích dẫn tương ứng trong nội dung chương

1.1 Các khái niệm và ký hiệu

Ta xét m như là một không gian vectơ, một không gian affine và một không gian mêtric

Ta xác định một điểm  1, , ,2  m

m

x  x x x   với vectơ mà các tọa

độ của nó là x x1, , ,2 x m

Ta ký hiệu 0   là một điểm trong m m mà các tọa độ của nó là 0

Cơ sở định chuẩn được ký hiệu là e e1, , ,2 e m Tích trong giữa ,x y   được ký hiệu là m x y,

2-chuẩn của một điểm x   là m

2 ,

x  x x và mêtric Euclide



E

d      được xác định bởi d x y E  ,  x y 2 với mọi

x y  

Dưới đây là các ký hiệu và qui ước sẽ được dùng trong suốt luận văn

(1) Một thể lồi là một tập con lồi compact của m có phần trong khác

rỗng

(2) Với tập B   , bao lồi của B được ký hiệu là m conv B 

(3) Với tập B   , bao affine của B , được ký hiệu là m aff B , là không gian affine con nhỏ nhất chứa B , nghĩa là giao của tất cả các không

gian affine con chứa B

(4)  là ký hiệu của tập con compact khác rỗng của m, và d ký

hiệu mêtric Hausdorff trên  Khi đó m,d là một không gian mêtric đầy đủ

(5) Cho X và Y là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric

(m, )d Khoảng cách Hausdorff d X Y( , ) của chúng xác định bởi

( , ) max sup inf ( , ),sup inf ( , )



tương đương

trong đó

: { : ( , ) }

x X



Minh h ọa khoảng cách Hausdorff của hai tập X và Y

(6) Một mêtric d trên m được gọi là tương đương Lipschitz với d E

nếu có các hằng số r và R sao cho

Nếu hai mêtric tương đương Lipschitz thì chúng cảm sinh tôpô giống nhau trên m, nhưng điều ngược lại thì không cần thiết là đúng

(7) Với bất kỳ hai tập con A và B của m, ký hiệu

điểm của các phần tử trong hai tập hợp

(8) Với một số nguyên dương N ,  1,2, ,N là ký hiệu tập hợp

của tất cả các dãy vô hạn của các ký hiệu  sk k1 thuộc bảng 1,2, ,N

Tập hợp  được trang bị tôpô tích Một phần tử của s   cũng sẽ được ký

hiệu bằng cách ghép s  s s s1 2 3 , trong đó s ký hiệu thành phần thứ k k

của s Khi  được trang bị tôpô tích thì nó là không gian Hausdorff compact

Ngoài ra, vài khái niệm về bán kính phổ và bán kính phổ nối cũng được

nhắc đến trong ví dụ 3.4

(9) Bán kính ph ổ của một ma trận vuông hoặc của một toán tử tuyến

tính bị chặn là chặn trên của các giá trị tuyệt đối của các phần tử trong phổ

của nó

Cụ thể hơn, cho l1, ,ln là các giá trị riêng của ma trận vuông A cấp

n Khi đó bán kính phổ ( )r A của nó được xác định như sau:

 

( ) max i

i

A

Phổ của một ma trận là tập hợp các giá trị riêng của nó

(10) Bán kính ph ổ nối (the joint spectral radius) của một tập hợp các ma

n

M  A A    được xác định như sau:

1/

( ) lim max i i k k : i

k

r



Hệ thống lại các định nghĩa hệ hàm lặp và các khái niệm có liên quan như sau:

Định nghĩa 1.1.1 (Hệ hàm lặp)

Nếu N là số nguyên dương và : m m

n

f    , n 1,2, ,N, là các ánh xạ liên tục, thì  m; , , ,1 2 

N

f f f

 

Từ đó, ta mở rộng thành khái niệm hệ hàm lặp affine, là một khái niệm quan trọng được nhắc đến hầu hết trong cả luận văn

Nếu mỗi f  F là một ánh xạ affine trên m, thì F được gọi là một

h ệ hàm lặp affine

Định nghĩa 1.1.2 (Hệ hàm lặp co rút)

Một hệ hàm lặp  m; , , ,1 2 

N

f f f

 

F là co rút khi mỗi f là phép co n

rút

Cụ thể là, có một số an  0,1 sao cho d f x f y E n   , n an E d x y ,

với mọi ,x y   , với mọi m n

Định nghĩa 1.1.3 (Hệ hàm lặp hyperbolic)

Một hệ hàm lặp  m; , , ,1 2 

N

f f f

 

một mêtric trên m tương đương Lipschitz với mêtric đã cho sao cho mỗi f n

là phép co rút

Định nghĩa 1.1.4 (Ánh xạ mã hóa)

Một ánh xạ liên tục p   : m được gọi là một ánh xạ mã hóa với hệ

hàm lặp  m; , , ,1 2 

N

f f f

 

F nếu, với mỗi n 1,2, ,N , sơ đồ sau đây giao hoán

(1.1.1)

n

n

s

f

Trong đó s    ký hiệu ánh xạ nâng ngược được xác định bởi n :

 

n

Ánh xạ mã hóa được Jun Kigami [11] và Kameyama [9] sử dụng như

một công cụ để xác định tập hợp tự đồng dạng Như vậy, trong bài này, nó được dùng để xác định điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp

Định nghĩa 1.1.5 (Hệ hàm lặp phân thớ điểm)

Một hệ hàm lặp  m; , , ,1 2 

N

f f f

 

F là phân th ớ điểm nếu, với mỗi

1 2 3

s s s s   , giới hạn về bên phải của

(1.1.2)  : lim 1 2 k  

k fs fs f xs

p s



tồn tại, độc lập theo x với s cố định, và ánh xạ p   : m là một ánh xạ

mã hóa

Không khó để chỉ ra rằng biểu thức (1.1.2) là ánh xạ mã hóa duy nhất

của một hệ hàm lặp phân thớ điểm Khái niệm về một hệ hàm lặp phân thớ điểm là tương tự với khái niệm của Kieninger [10] Tuy nhiên, trong phạm vi

luận văn này nó được thiết lập trong không gian mêtric đầy đủ

Định nghĩa 1.1.6 (Ký hiệu ( )F B với một hệ hàm lặp)

Với một hệ hàm lặp  m; , , ,1 2 

N

f f f

 

1

( ) N n( )

n



 

F (Ký hiệu F tương tự được dùng cho hệ hàm lặp và ánh xạ.)

Với B   , cho Fk( )B ký hiệu sự hợp thành cấp k của F , nghĩa là,

hợp của fs1  fs2   f Bsk( ) trên mọi s s s độ dài là k 1 2 k

Định nghĩa 1.1.7 (Điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp)

Một tập hợp A  được gọi là một điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp

 m; , , ,1 2 

N

f f f

 

(1.1.3) A F( )A và

(1.1.4) lim k( )

k



 F  , giới hạn theo mêtric Hausdorff, với mọi

B  

Nếu một hệ hàm lặp có một điểm hấp dẫn A, thì rõ ràng A là điểm

hấp dẫn duy nhất Ta cũng biết rằng một hệ hàm lặp hyperbolic có một điểm

hấp dẫn Năm 1981, Jonh E Huntchinon [7] đã chứng minh điều này Ông quan sát rằng một hệ hàm lặp co rút F cảm sinh một ánh xạ co rút

:   

F , từ kết quả kéo theo bởi định lý ánh xạ co rút

Chương tiếp theo chỉ ra rằng một hệ hàm lặp phân thớ điểm F có một điểm hấp dẫn A, và hơn nữa, nếu p là ánh xạ mã hóa của F thì A p  ( ) Thường thì  được xét như là “địa chỉ” của điểm ( )p s trong điểm hấp dẫn

Có nhiều cách tiếp cận với khái niệm của một hệ tự đồng dạng mà không phụ thuộc vào không gian xung quanh Năm 2001, trong tài liệu fractals của Jun Kigami [11] có ví dụ chỉ ra một cách tiếp cận với khái niệm trên, cách tiếp

cận này bắt đầu với ý tưởng của ánh xạ mã hóa liên tục p và xác định điểm

hấp dẫn như ( )p  là có hiệu quả

1.2 Các ví d ụ và nhận xét

Phần này chứa các ví dụ và nhận xét có liên quan tới các định lý 1 và 2 trong nội dung chính của luận văn

Ví dụ ngay dưới đây cho ta F  ( ; )2 f là một hệ hàm lặp phân thớ điểm, tuy nhiên hàm f  F là ánh xạ không co rút dưới mêtric thông thường trên  Thông qua đó, nó cho thấy sự cần thiết của việc tái thiết lập một 2 mêtric tương đương với mêtric thông thường, để mỗi f  F n là phép co rút dưới mêtric mới này

Ví dụ 1.2.1

Xét một hệ hàm lặp affine bao gồm một hàm đơn tuyến tính trên 2

được cho bởi ma trận

1 8

0 2 0



Chú ý rằng giá trị riêng của f bằng 1

2

 Khi

 

 

1

1 2

0 0 0

0 0 0

n n

n





Trong đó T là ma trận chuyển cơ sở, hệ hàm lặp này là phân thớ điểm

Tuy nhiên, khi 0 2

f      

  

   

   

   , ánh xạ không là co rút dưới mêtric thông thường

trên 2