Cơ sở lí thuyếtĐể giải tốt các bài toán tính số đo góc thì học sinh tối thiểu phải nắm vững các kiến thức sau:- Trong tam giác:+ Tổng số đo ba góc trong tam giác bằng .+ Biết hai góc ta
1 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP CHUN ĐỀ 5: HÌNH HỌC DẠNG I: GĨC TRONG TAM GIÁC I Cơ sở lí thuyết Để giải tốt tốn tính số đo góc học sinh tối thiểu phải nắm vững kiến thức sau: - Trong tam giác: + Tổng số đo ba góc tam giác + Biết hai góc ta xác định góc cịn lại + Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với - Trong tam giác cân: biết góc ta xác định hai góc cịn lại - Trong tam giác vng: + Biết góc nhọn, xác định góc cịn lại + Cạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng có số đo - Trong tam giác vng cân: góc nhọn có số đo - Trong tam giác đều: góc có số đo - Đường phân giác góc chia góc hai góc có số đo - Hai đường phân giác hai góc kề bù tạo thành góc có số đo - Hai đường phân giác hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo - Hai góc đối đỉnh - Tính chất góc so le trong, so le ngồi, đồng vị, hai góc cung phía, … Khi giải tốn tính số đo góc cần ý: Vẽ hình xác, với số liệu đề để có hướng chứng minh Phát tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vuông cân, tam giác cân hình vẽ Chú ý liên hệ góc tam giác, liên hệ cạnh góc tam giác, phát cặp tam giác Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất góc đặc biệt, cặp góc Trong đường phụ vẽ thêm, vẽ đường phân giác, đường vng góc, tam giác đều, … Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ góc Xét đủ trường hợp số đo góc xảy (ví dụ góc nhọn, góc tù, …) Trong thực tế, để giải tốn tính số đo góc ta thường xét góc nằm mối liên hệ với góc hình đặc biệt nêu xét góc tương ứng suy kết Tuy nhiên, đứng trước tốn khơng phải lúc gặp thuận lợi, đưa trường hợp mà có nhiều địi hỏi người đọc phải tạo "điểm sáng bất ngờ" đường kẻ phụ, hình vẽ phụ… từ mối quan hệ giả thiết, kết luận kiến thức, kỹ học trước giải Chúng ta xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” “chìa khố “ thực thụ để giải dạng toán II Một số dạng tốn hướng giải Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác Bài tốn Cho có , có , lấy cho Tính số đo Nhận xét Ta cần tìm thuộc có Ta thấy có liên hệ rõ nét góc mà góc , mặt khác Từ đây, ta thấy yếu tố xuất liên quan đến tam giác Điều giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ tam giác A Hướng giải M Cách (Hình 1) Vẽ (D, A phía so với BC) Nối A với D Ta có (c.c.c) => Lại có (c.g.c) => D B C => Cách (Hình 2) Vẽ (M, D khác phía so với AC) Ta có => A (c.g.c) => cân D, => Từ (1) (2) suy M (1) D (2) Từ hướng giải thử giải Bài toán1 theo phương án sau: Vẽ (C, D khác phía so với AB) Vẽ (B, D khác phía so với AC) Vẽ (D, C khác phia so với AB) B C ………………………… Lập luận tương tự ta có kết Bài tốn Cho cân A, Đường cao AH, điểm E, F theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho A Tính Hướng giải Vẽ cân A, => => => , mặt khác D (gt) mà , F E (B, D khác phía so với AC) (gt) => cân F , FD chung B H C Do AH đường cao tam giác cân BAC => , => (g.c.g) => (vì => đều), (gt) cân A mà Nhận xét Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ giả thiết từ mối liên hệ suy cân F Với hướng suy nghĩ giải Bài toán theo cách sau: Vẽ đều, F, D khác phía so với AB (H.1) Vẽ đều, F, D khác phía so với AB (H.2) A A ………………… D F F D E E H B C B (H.1) H C (H.2) Bài toán Cho , Điểm E nằm Nhận xét cho Tính Xuất phát từ biết, ta có cân E Với yếu tố giúp ta nghĩ đế việc dựng hình phụ tam giác Hướng giải Vẽ (I, B phía so với AE) A (c.g.c) I Ta có mà E ( => đều) C B A Khai thác Chúng ta giải Bài tốn theo cách sau: Vẽ E (D, E khác phía so với AC) C B D Một số toán tương tự Bài toán 3.1 Cho , Kẻ tia Kẻ AD cho (B, D phía so với AC) Tính Bài tốn 3.2 Cho , (B, H khác phía so với AC) Tính Bài tốn 3.3 Cho Điểm M nằm tam giác cho Tính Bài toán Cho M điểm nằn tam giác cho Tính Nhận xét Xuất phát từ giả thiết liên hệ góc với ta có Từ nghĩ đến giải pháp dựng tam giác Hướng giải D Cách (H.1) Vẽ A (A, D phía so với BC) Dễ thấy (c.g.c) cân B, B A Cách (H.2) Vẽ C M (g.c.g) (D, A khác phía so với BC) C M cân A Từ có hướng giải tương tự D B Bài tốn Cho cho Kẻ tia Trên tia lấy điểm D cho phía so với BC) Tính Nhận xét (A, D khác Ta thấy xuất góc mà , đồng thời với Điều làm nảy sinh suy nghĩ vẽ hình phụ tam giác A Hướng giải I Cách Vẽ (I, A phía so với BC) Ta thấy C (c.g.c) B (c.g.c) D x A Cách Vẽ (E, B khác phía so với AC) Từ ta có cách giải tương tự E C B D x Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền Bài tốn Tính góc tam giác ABC biết đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc Phân tích A +/ Đường cao AH, trung tuyến AM chia K thành ba góc cân A (Đường cao đồng thời phân giác) B C H M đồng thời trung tuyến +/ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến HM = HB = Kẻ MK BM = liên quan đến MC AC K Khi có sơ sơ đồ phân tích Hướng giải Vì K Xét có AH đường cao ứng với BM AH đường phân giác ứng với cạnh BM (vì Nên cân đỉnh A => H trung điểm BM Xét có AM cạnh huyền chung ) (gt) (cạnh huyền – góc nhọn) (hai cạnh tương ứng) Xét có , KM = MC ta tính Vậy Bài toán Cho Đường cao AH AH = BC D trung điểm A AB Tính D Hướng giải B cân C => CD phân giác => Nhận xét H C 10 Suy nghĩ chứng minh vng có cân xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ AH = BC Thực hai yếu tố giúp ta nghĩ đến tam giác vng có góc Bài tốn Cho có ba góc nhọn Về phía ngồi ABD ACE I trực tâm ta vẽ tam giác , H trung điểm BC Tính Phân tích nửa tam giác =>, vẽ thêm đường phụ để xuất nửa tam giác (còn lại) => Trên tia đối tia HE lấy điểm F cho HE = HF Hướng giải Trên tia đối tia HE lấy điểm F cho HE = HF Ta có Ta có IA = IB (vì E đều) A D I Mà B F cân I mà 10 H C