4 Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH.... 13 Chương 2 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN.... 86 Trang 5 Lời nói đầu Nhu cầu nâng cao chất lượng đào tạo sinh viên và c
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Phương pháp Cholesky
Các bước cơ bản của phương pháp này là
** Tìm 2 ma trận tam giác
** Giải hệ sau đây tìm Y
(1.1.6) Đó chính là nghiệm của hệ (1.1.1)
AX = L(UX) = LY = B Để tìm L , U ta tìm lần lượt hàng 1 của U , cột 1 của L , hàng 2 của U , cột 2 của L
, theo công th ứ c t ổ ng quát sau đây
= ỡùù ù = - ồ Ê ùù ùùù ớù - ồ ùù ù = > ùù ùùợ
(1.1.7) Để đơn giản ta chỉ xét n = 3 và các bước tìm nghiệm
Giải hệ sau đây bằng phương pháp Cholesky 1 1 2 3 3
0 x x x x x x x ỡù + = ùùù + + = ớù ùù - = ùợ
If DK=2 then Writeln('Khong tinh duoc');
Phương pháp lặp Gauss-Seidel
n n n n n n n a x a x b a x a x b ỡù + + = ùù ùùớ ùù ù + + = ùùợ
* Điều kiện lặp: A có đường chéo trội, có nghĩa là
* Điều kiện hội tụ: A xác định dương, có nghĩa là a11 > 0 , 11 12 11 21 12 22 13 23
* Đưa hệ (1.2.1) về hệ tương đương
' n n n n n n n n n n n n n x c x c x b x c x c x c x b x c x c - x - c - x - b ỡùù = + + + ùù ùù ù = + + + + ùớ ùù ùù ùù = + + + + ùùợ
(1.2.4) bằng cách: chuyển các x K ( k ≠ i ) của phương trình thứ i sang vế phải và chia 2 vế cho a ii , i = 1, , n
* Thay xấp xỉ ban đầu X (0) = (x1 (0) xn (0)) của nghiệm vào (1.2.4) để tìm xấp xỉ thứ nhất
' n n n n n n n n n x c x c - x - c - x - b ỡùù ùù ùù ùù ùù ùù ùùớ ùù ùù ùù ùù ùù ùù = + + + + ùùợ
Như vậy ta đã sử dụng các giá trị x 1 (1) , , x i (1) được tính ở các hàng trên để tìm các giá trị x i+1 (1) , , x n (1) , i =1, , n – 1, ở các hàng dưới
(1.2.6) trong đó εx> 0 , cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở X (1)
* Ngược lại, có nghĩa là
(1.2.7) ta lại thay xấp xỉ thứ nhất X (1) = (x 1 (1) x n (1) ) của nghiệm vào (1.2.4) để tìm xấp xỉ thứ hai
' n n n n n n n n n x c x c - x - c - x - b ỡùù ùù ùù ùù ùù ùù ùùớ ùù ùù ùù ùù ùù ùù = + + + + ùùợ
Ta tiếp tục cho đến xấp xỉ thứ k : X (k) = (x 1 (k) x n (k) ) của nghiêm theo công thức
- - - - ỡùù ùù ùù ùù ùù ùù ùùớ ùù ùù ùù + ùù ùù ùù = + + + + ùùợ
(1.2.9) và dừng lại ở X (k) khi thoả mãn
(1.2.11) trong đó M là số bước lặp tối đa cho trước mà ta phải dừng lại mặc dù tại bước lặp thứ M – 1 vẫn chưa đảm bảo sai số
Giải hệ sau đây bằng phương pháp Gauss-Seidel 1 1 2 2 3 3
2 4 1 x x x x x x x x x ỡù - + = ùùù - + = - ớù ùù - + = ùợ với X (0) = (0 0 0) , εx = 0,15 và M 10
* Kiểm tra điều kiện đường chéo trội ⎜a11 ⎜= ⎜5 ⎜> ⎜– 1 ⎜ + ⎜2 ⎜= ⎜a12 ⎜ +
* Kiểm tra điều kiện xác định dương: a11 = 5 > 0
Sau khi đổi dấu 2 vế của phương trình thứ 2 ta tính được
* Đưa hệ đã cho về hệ tương đương theo công thức (1.2.4)
0,5 0,25 0,25 x x x x x x x x x ỡù = - + ùùù = + + ớù ùù = + + ùợ
* Thay xấp xỉ ban đầu X (0) = (0 0 0) của nghiệm vào vế phải tìm xấp xỉ thứ nhất
X (1) = (x1 (1) x2 (1) x3 (1)) của nghiệm theo công thức (1.2.5) với n = 3
0,2.0 0,4.0 1,2 1,2 0,25.1,2 0,25.0 0,5 0,8 0,5.1,2 0,25.0,8 0,25 1,05 x x x ỡù = - + = ùù ùù = + + = ớù ùù ù = + + = ùợ
* Tìm xấp xỉ thứ hai X (2) = (x1 (2) x2 (2) x3 (2)) của nghiệm theo công thức (1.2.8)
0,2.0,8 0,4.1,05 1,2 0,94 0,25.0,94 0,25.1,05 0,5 0,9975 0,5.0,94 0,25.0,9975 0,25 0,969375 x x x ỡù = - + = ùù ùù = + + = ớù ùù ù = + + = ùợ
* Tìm xấp xỉ thứ ba X (3) = (x1 (3) x2 (3) x3 (3)) của nghiệm theo công thức (1.2.9) :
0,2.0,9975 0,4.0,969375 1,2 1,01175 0,25.1,01175 0,25.0,969375 0,5 0,995281 0,5.1,01175 0,25.0,995281 0,25 1,004695 x x x ỡù = - + = ùù ùù = + + ằ ớù ùù ù = + + ằ ùợ
Như vậy ta dừng ở xấp xỉ thứ 3 của nghiệm với độ chính xác cho trước
Writeln('Nhap ma tran AB : N hang, N+1 cot ’);
Writeln('N cot dau la cac cot cua ma tran A’);
Writeln('cot thu N+1 la cot cac he so tu do B ’);
Begin Write('AB[',I,J,']=');Readln(AB[I,J]); end;
Write(' So buoc lap toi da KMAX=');Readln(KMAX);
Write(' Sai so EPS =');Readln(EPS);
{ Kiem tra tinh cheo troi }
{ Khi tinh cheo troi thoa man ta nhap xap xi ban dau }
Writeln(‘ Nhap xap xi ban dau X’);
Begin Write('X0[',I,']=');Readln(X0[I]); end; end;
While ((K ùù ùù ù > ớù ùù ù = ùùợ
(2.1.15) trong đó M là số bước lặp tố đa cho trước mà ta phải dừng lại, mặc dù đến bước lặp thứ M – 1 vẫn chưa đảm bảo sai số đối với nghiệm và sai số đối với hàm
Chú ý Điều kiện (2.1.13) được thoả mãn khi ln ln 2 b a k e x
Xấp xỉ bằng phương pháp chia đôi nghiệm của phương trình sinx – 3x + 2 = 0 với [a ; b] = [0 ; 1] , εx = 0,01 , εf = 0,01 và M = 10
* F(x) = sinx – 3x + 2 nên ta có F '(x) = cosx – 3 < 0 , ∀x
Vậy ta dừng ở xấp xỉ thứ tư của nghiệm x (4) = 0,9375
A,B,C,YA,YB,YC,EPSX:Real;
{Giải phương trình sinx – 3x + 2 = 0 trên [A;B] }
Write(' Sai so theo X : EPSX = ');Readln(EPSX);
M:=1+Trunc((ln(B- A)- ln(EPSX))/ln(2));
Writeln('So buoc lap toi thieu la',M);
If YC=0 then DK:=3 Else
Writeln('Nghiem chinh xac la ',C);
Writeln('Nghiem xap xi la X(',K,')=',C);
Writeln('Chon A va B sai.Phai chon lai A,B');
Phương pháp dây cung
Giải gần đúng phương trình
Nội dung của phương pháp
Nghiệm chính xác x* được xấp xỉ bởi x là hoành độ giao điểm dây cungAB với trục 0x
* Tính xấp xỉ thứ nhất của nghiệm là x (1) theo công thức y
⎜F(x (1) ) ⎜ ≤ εf (2.2.5) A trong đó εf > 0 , cho trước (sai số đối với hàm) thì ta dừng ở x (1)
* Ngược lại, có nghĩa là
(2.2.6) thì tìm xấp xỉ thứ hai của nghiệm là x (2) bởi công thức
(2.2.7) trong đó a (1) = a (0) , b (1) = x (1) nếu F(a (0) )F(x (1) ) < 0 hoặc a (1) = x (1) , b (1) = b (0) nếu F(b (0) )F(x (1) ) < 0
(2.2.8) trong đó εx > 0 , cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở x (2)
* Ngược lại, có nghĩa là
:Ta lặp cho đến xấp xỉ thứ k của nghiệm là
- (2.2.10) trong đó a (k - 1) = a (k - 2) , b (k - 1) = x (k - 1) nếu F(a (k - 2) )F(x (k - 1) ) < 0 hoặc a (k - 1) = x (k - 1) , b (k - 1) = b (k - 2) nếu F(b (k - 2) )F(x (k - 1) ) < 0 và dừng ở x (k) khi thoả mãn một trong các điều kiện
- ỡù - > ùù ùù ù > ớù ùù ù = ùùợ
(2.2.13) trong đó M là số bước lặp tối đa cho trước mà ta phải dừng lại, mặc dù đến bước lặp thứ M – 1 vẫn chưa đảm bảo sai số đối với nghiệm và sai số đối với hàm
Xấp xỉ nghiệm của phương trình sau đây bằng phương pháp dây cung : sinx – 3x +
* F(x) = sinx – 3x + 2 nên ta có F '(x) = cosx – 3 < 0 , ∀x
Vậy ta dừng ở xấp xỉ thứ hai của nghiệm x (2) ằ 0,934774
A,B,C,YA,YB,YC,EPSF:Real;
{ Giải phương trình sinx – 3x + 2 = 0 trên [A;B] }
Write(' Sai so theo ham : EPSF =');Readln(EPSF);
Write(' So buoc lap toi da M =');Readln(M);
If YC=0 then DK:=2 else
If ABS(YC) < EPSF then DK:=3;K:=K+1; end;
Writeln('Nghiem xap xi la X(',K–1,') = ',C);
Writeln('Nghiem chinh xác la',C);
Writeln('Chua dam bao sai so va ta dung o X',K,')=',C);
Giải gần đúng phương trình
Nội dung của phương pháp
Nghiệm chính xác x* được xấp xỉ bởi x là hoành độ giao điểm tiếp tuyến với trục 0x
* Ta tính xỉ thứ nhất của nghiệm theo công thức y
= - F x (2.3.4) y = F(x) x trong đó 0 a x x* b x (0) = a nếu F(a)F ”(a) > 0 hoặc x (0) = b nếu F(b)F ”(b) > 0
(2.3.5) trong đó εx > 0 , cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở x (1)
* Ngược lại, có nghĩa là
(2.3.7) trong đó εf > 0 cho trước (sai số đối với hàm) thì ta dừng ở x (1)
* Ngược lại, có nghĩa là
(2.3.8) ta tính xấp xỉ thứ 2 theo công thức
Ta tính cho đến xấp xỉ thứ k của nghiệm là
(2.3.10) và dừng lại ở x (k) khi thoả mãn một trong các điều kiện
- ỡù - > ùù ùù ù > ớù ùù ù = ùùợ
(2.3.13) trong đó M là số bước lặp tối đa cho trước mà ta phải dừng lại, mặc dù đến bước lặp thứ M – 1 vẫn chưa đảm bảo sai số đối với nghiệm và sai số đối với hàm
Xấp xỉ nghiệm của phương trình sau đây bằng phương pháp tiếp tuyến sinx – 3x + 2 = 0 với [a ; b] = [0 ; 1] , εx = 0,01 , εf
Vậy ta dừng ở xấp xỉ thứ hai của nghiệm x (2) ằ 0,936265
Giải gần đúng phương trình
Nội dung của phương pháp
Giải phương trình sau đây tương đương với (2.4.1) x = ϕ(x)
(2.4.4) trong đó hàm ϕ(x) thoả mãn các điều kiện:
* Cho tuỳ ý xấp xỉ ban đầu của nghiệm là x (0) ∈ [a;b]
* Tính xấp xỉ thứ nhất của nghiệm là x (1) = ϕ (x (0) )
(2.4.7) trong đó εx > 0, cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở x (1)
* Ngược lại, có nghĩa là
(2.4.9) trong đó εf > 0, cho trước (sai số đối với hàm) thì ta dừng ở x (1)
* Ngược lại, có nghĩa là
(2.4.10) ta tính xấp xỉ thứ hai của nghiệm là x (2) = ϕ (x (1) )
Ta tính cho đến xấp xỉ thứ k của nghiệm là x (k) = ϕ (x (k - 1) ) và dừng ở x (k) khi thoả mãn một trong các điều kiện
- ỡù - > ùù ùù ù > ớù ùù ù = ùùợ
(2.4.13) trong đó M là số bước lặp tối đa cho trước mà ta phải dừng lại, mặc dù đến bước lặp thứ M – 1 vẫn chưa đảm bảo sai số đối với nghiệm và sai số đối với hàm
Lúc này phương pháp lặp hội tụ và hơn nữa với ký hiệu nghiệm chính xác là x* thì
Xấp xỉ nghiệm của phương trình sau đây bằng phương pháp lặp đơn x 3 – x – 1 = 0 với x ( 0) = 1 , εx = 0,05 , εf = 0,05 , [a ; b]
* Cách biến đổi x = x 3 – 1 = ϕ(x) không thoả mãn (2.4.6) vì ϕ (2) = 7 ∉ [1 ; 2]
* Cách biến đổi x = 3 x + 1 = ϕ(x) thoả mãn (2.4.5) và (2.4.6) vì
Giá trị lớn nhất của ϕ’(x) là ϕ’(1) ( ) 2
Giá trị nhỏ nhất của ϕ’(x) là ϕ’(2) ( ) 2
Giá trị lớn nhất của ϕ(x) là ϕ (2) = 3 2 1 + ằ 1,442250
Giá trị nhỏ nhất của ϕ(x) là ϕ (1) = 3 1 1 + ằ 1,259921 cho nên ϕ(x) ∈ [1 ; 2] , ∀x ∈ [1 ; 2]
Vậy ta dừng ở xấp xỉ thứ ba của nghiệm x (3) ằ 1,322354
2.5 Phương pháp Newton-Raphson cho hệ phương trình
Giải hệ phương trình phi tuyến
( , , ) 0 n n n f x x f x x ỡù = ùùù ớù ùù = ùợ
(2.5.1) trong đó các hàm fi(x1, , xn), i =1, , n có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và bị chặn
Nội dung của phương pháp
Xấp xỉ hệ đã cho bởi hệ dừng ở đạo hàm riêng cấp 1 theo khai triển Taylor của hàm nhiều biến f i (x1, , xn) ằ f i (x1 (0), , xn (0)) + 1 (0) (0) ( (0) )
(2.5.2) trong đó X (0) = (x (0) xn (0)) là xấp xỉ ban đầu của nghiệm được cho trước
* Tính tại xấp xỉ ban đầu X (0) = (x1 (0) xn (0)) của nghiệm
* Tính ma trận nghịch đảo (J(X (0) )) - 1
* Tìm xấp xỉ thứ nhất X (1) = (x 1 (1) x n (1) ) của nghiệm theo công thc
(2.5.8) trong đó εx > 0, cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở X (1)
* Ngược lại, có nghĩa là
Ta dừng lại ở xấp xỉ thứ k của nghiệm
X (k) = X (k - 1) – (J(X (k - 1) )) - 1 F(X (k - 1) ) (2.5.11) thoả mãn một trong các điều kiện sau đây
(2.5.13) trong đó M là số bước lặp tối đa cho trước mà ta phải dừng lại, mặc dù đến bước lặp thứ M – 1 vẫn chưa đảm bảo sai số đối với nghiệm
Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp Newton-Raphson
2 3 20 4 0 x x x x x x x ỡù + - - + = ùù ớù ù + - - = ùợ với X (0) = (0 0) , εx
Vì vậy ta dừng ở xấp xỉ thứ hai của nghiệm X (2) = ( 0,093468 – 0,193519 )
Write('Xap xi ban dau X (0) ');
Write('So buoc lap toi da la');Readln(M);
{ D11 là đạo hàm riêng của F1 theo X1 tại (X10,X20),
D12 là đạo hàm riêng của F1 theo X2 tại (X10,X20),
D21 là đạo hàm riêng của F2 theo X1 tại (X10,X20),
D22 là đạo hàm riêng của F2 theo X2 tại (X10,X20) }
If (ABS(F11)+ABS(F22) < EPS) then DK:=3 ELSE
Writeln('Xap xi cua nghiem la '):
Writeln('Chua hoi tu va ta dung o xap xỉ');
2.6 Phương pháp lặp Seidel cho hệ phương trình
Giải hệ phương trình phi tuyến
( 1 , , ) 0 f x x n f n x x n ỡù = ùùù ớù ùù = ùợ
(2.6.1) trong đó các hàm fi(x1, , xn), i =1, , n có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và bị chặn
Nội dung của phương pháp
Giải hệ sau đây tương đương vơi hệ (2.6.1) :
( , , ) n n n n x g x x x g x x ỡù = ùùù ớù ùù = ùợ
* Thay xấp xỉ ban đầu X (0) = (x1 (0) xn (0)) của nghiệm vào vế phải của (2.6.2) để tìm xấp xỉ thứ nhất của nghiệm là X (1) = (x1 (1) xn (1))
, , , , n n n n n n x g x x x g x x x x g x x x - x ỡùù = ùù ùù ù = ùùớ ùù ùù ùù = ùùùợ
Như vậy các giá trị x 1 (1) , , x i (1) đã tìm được ở các hàng trên được thay vào các hàng dưới để tính cácgiá trị x i+1 (1) , , x n (1) , i = 1 , , n – 1
(2.6.5) trong đó εx > 0, cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở X (1)
* Ngược lại, có nghĩa là
(2.6.6) thay xấp xỉ thứ nhất X (1) = (x1 (1) xn (1)) của nghiệm vào vế phải của (2.6.2) để tìm xấp xỉ thứ hai của nghiệm là X (2) = (x1 (2) xn (2))
, , , , n n n n n n x g x x x g x x x x g x x x - x ỡùù = ùù ùù ù = ùùớ ùù ùù ùù = ùùùợ
Ta dừng lại ở xấp xỉ thứ k của nghiệm là X (2) = (x1 (2) xn (2)) theo công thức
- - ỡùù = ùù ùù ù = ùùớ ùù ùù ùù = ùùùợ
(2.6.8) thoả mãn một trong các điều kiện sau đây
(2.6.10) trong đó M là số bước lặp tối đa cho trước mà ta phải dừng lại, mặc dù đến bước lặp thứ M – 1 vẫn chưa đảm bảo sai số đối với nghiệm
Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp lặp Seidel
2 3 20 4 0 x x x x x x x ỡù + - - + = ùù ớù ù + - - = ùợ với X (0) = (0 0) , εx = 0,3, M=5 trong miền 0 ≤ x1 ≤ 1
* Đưa hệ đã cho về hệ tương đương
* Kiểm tra điều kiện (2.6.3) với 0 ≤ x1 ≤ 1 , – 1 ≤ x2 ≤ 1
* Thay xấp xỉ ban đầu của nghiệm là X (0) để tìm xấp xỉ thứ nhất X (1) = (x1 (1) x2 (1)) theo công thức (2.6.4)
* Tính sai số theo công thức (2.6.5)
* Thay xấp xỉ thứ nhất của nghiệm là X (1) để tìm xấp xỉ thứ hai X (2) = (x1 (2) x2 (2)) theo công thức (2.6.7)
* Tính sai số theo công thức (2.6.9)
Vậy ta dừng ở xấp xỉ thứ hai của nghiệm X (2) = (0,09318 – 0,193192)
Begin G1:= 0.1*X1*X1*X1 + 0.1*X1*X1 – 0.2*X2*X2 + 0.1; end; Function G2(X1,X2:Real):Real;
Writeln('Xap xi ban dau X(0) cua nghiem');
Write(' Nhap EPSX>EPS ,EPSX=');Readln(EPSX);
Write('So buoc lap toi da la M = ');Readln(M);
While ((KEPS)) do
Writeln('Xấp xi cua nghiem la X1[',K1,']=',X1[K1],'X2[ ',K1,']=',X2[K1]); end ELSE
Writeln(' Chua hoi tu va ta dung o xap xi ');
1- Giải phương trình e x – x – 2 = 0 trên [a;b] = [1;2] với εx = εf = 0,01 , M = 10 và với εx = εf = 0,001 , M = 20 a- Phương pháp chia đôi b-
Phương pháp dây cung c- Phương pháp tiếp tuyến d- Phương pháp lặp đơn khi x (0)
Nghiệm xấp xỉ khi x (0) = 1,5 là x (4) = 1,149535 Nghiệm xấp xỉ khi x (0) 1,3 là x (5) = 1,146346
2- Giải phương trình xcosx – 3x +1 = 0 trên [a;b] = [0;1] với εx = εf = 0,01 , M = 12 và với εx = εf = 0,001 , M = 20 a- Phương pháp chia đôi b-
Phương pháp dây cung c- Phương pháp tiếp tuyến d- Phương pháp lặp đơn khi x (0)
Nghiệm xấp xỉ khi x (0) = 0,5 là x (2) = 0,475163 Nghiệm xấp xỉ khi x (0) 0,2 là x (5) = 0,473679
3- Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel, Newton-Raphson
4- Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel, Newton-Raphson
5- Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel, Newton-Raphson
(Viết lại chương trình tương ứng cho n = 3)
1* Nêu ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp chia đôi, dây cung, tiếp tuyến, lặp đơn
2* Viết chương trình PASCAL cho phương pháp tiếp tuyến, lặp đơn
3* Nêu ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp Seidel, Newton-Raphson
4* Bạn hãy chạy chương trình PASCAL đã có để giải các ví dụ Nếu có điều gì chưa thoả mãn thì chủ động viết lại chương trình (có thể bằng ngôn ngữ lập trình bậc cao khác) và giải lại các ví dụ, các bài tập.
Phương pháp lặp đơn
Giải gần đúng phương trình
Nội dung của phương pháp
Giải phương trình sau đây tương đương với (2.4.1) x = ϕ(x)
(2.4.4) trong đó hàm ϕ(x) thoả mãn các điều kiện:
* Cho tuỳ ý xấp xỉ ban đầu của nghiệm là x (0) ∈ [a;b]
* Tính xấp xỉ thứ nhất của nghiệm là x (1) = ϕ (x (0) )
(2.4.7) trong đó εx > 0, cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở x (1)
* Ngược lại, có nghĩa là
(2.4.9) trong đó εf > 0, cho trước (sai số đối với hàm) thì ta dừng ở x (1)
* Ngược lại, có nghĩa là
(2.4.10) ta tính xấp xỉ thứ hai của nghiệm là x (2) = ϕ (x (1) )
Ta tính cho đến xấp xỉ thứ k của nghiệm là x (k) = ϕ (x (k - 1) ) và dừng ở x (k) khi thoả mãn một trong các điều kiện
- ỡù - > ùù ùù ù > ớù ùù ù = ùùợ
(2.4.13) trong đó M là số bước lặp tối đa cho trước mà ta phải dừng lại, mặc dù đến bước lặp thứ M – 1 vẫn chưa đảm bảo sai số đối với nghiệm và sai số đối với hàm
Lúc này phương pháp lặp hội tụ và hơn nữa với ký hiệu nghiệm chính xác là x* thì
Xấp xỉ nghiệm của phương trình sau đây bằng phương pháp lặp đơn x 3 – x – 1 = 0 với x ( 0) = 1 , εx = 0,05 , εf = 0,05 , [a ; b]
* Cách biến đổi x = x 3 – 1 = ϕ(x) không thoả mãn (2.4.6) vì ϕ (2) = 7 ∉ [1 ; 2]
* Cách biến đổi x = 3 x + 1 = ϕ(x) thoả mãn (2.4.5) và (2.4.6) vì
Giá trị lớn nhất của ϕ’(x) là ϕ’(1) ( ) 2
Giá trị nhỏ nhất của ϕ’(x) là ϕ’(2) ( ) 2
Giá trị lớn nhất của ϕ(x) là ϕ (2) = 3 2 1 + ằ 1,442250
Giá trị nhỏ nhất của ϕ(x) là ϕ (1) = 3 1 1 + ằ 1,259921 cho nên ϕ(x) ∈ [1 ; 2] , ∀x ∈ [1 ; 2]
Vậy ta dừng ở xấp xỉ thứ ba của nghiệm x (3) ằ 1,322354
Phương pháp Newton-Raphson cho hệ phương trình
Giải hệ phương trình phi tuyến
( , , ) 0 n n n f x x f x x ỡù = ùùù ớù ùù = ùợ
(2.5.1) trong đó các hàm fi(x1, , xn), i =1, , n có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và bị chặn
Nội dung của phương pháp
Xấp xỉ hệ đã cho bởi hệ dừng ở đạo hàm riêng cấp 1 theo khai triển Taylor của hàm nhiều biến f i (x1, , xn) ằ f i (x1 (0), , xn (0)) + 1 (0) (0) ( (0) )
(2.5.2) trong đó X (0) = (x (0) xn (0)) là xấp xỉ ban đầu của nghiệm được cho trước
* Tính tại xấp xỉ ban đầu X (0) = (x1 (0) xn (0)) của nghiệm
* Tính ma trận nghịch đảo (J(X (0) )) - 1
* Tìm xấp xỉ thứ nhất X (1) = (x 1 (1) x n (1) ) của nghiệm theo công thc
(2.5.8) trong đó εx > 0, cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở X (1)
* Ngược lại, có nghĩa là
Ta dừng lại ở xấp xỉ thứ k của nghiệm
X (k) = X (k - 1) – (J(X (k - 1) )) - 1 F(X (k - 1) ) (2.5.11) thoả mãn một trong các điều kiện sau đây
(2.5.13) trong đó M là số bước lặp tối đa cho trước mà ta phải dừng lại, mặc dù đến bước lặp thứ M – 1 vẫn chưa đảm bảo sai số đối với nghiệm
Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp Newton-Raphson
2 3 20 4 0 x x x x x x x ỡù + - - + = ùù ớù ù + - - = ùợ với X (0) = (0 0) , εx
Vì vậy ta dừng ở xấp xỉ thứ hai của nghiệm X (2) = ( 0,093468 – 0,193519 )
Write('Xap xi ban dau X (0) ');
Write('So buoc lap toi da la');Readln(M);
{ D11 là đạo hàm riêng của F1 theo X1 tại (X10,X20),
D12 là đạo hàm riêng của F1 theo X2 tại (X10,X20),
D21 là đạo hàm riêng của F2 theo X1 tại (X10,X20),
D22 là đạo hàm riêng của F2 theo X2 tại (X10,X20) }
If (ABS(F11)+ABS(F22) < EPS) then DK:=3 ELSE
Writeln('Xap xi cua nghiem la '):
Writeln('Chua hoi tu va ta dung o xap xỉ');
Phương pháp lặp Seidel cho hệ phương trình
Giải hệ phương trình phi tuyến
( 1 , , ) 0 f x x n f n x x n ỡù = ùùù ớù ùù = ùợ
(2.6.1) trong đó các hàm fi(x1, , xn), i =1, , n có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và bị chặn
Nội dung của phương pháp
Giải hệ sau đây tương đương vơi hệ (2.6.1) :
( , , ) n n n n x g x x x g x x ỡù = ùùù ớù ùù = ùợ
* Thay xấp xỉ ban đầu X (0) = (x1 (0) xn (0)) của nghiệm vào vế phải của (2.6.2) để tìm xấp xỉ thứ nhất của nghiệm là X (1) = (x1 (1) xn (1))
, , , , n n n n n n x g x x x g x x x x g x x x - x ỡùù = ùù ùù ù = ùùớ ùù ùù ùù = ùùùợ
Như vậy các giá trị x 1 (1) , , x i (1) đã tìm được ở các hàng trên được thay vào các hàng dưới để tính cácgiá trị x i+1 (1) , , x n (1) , i = 1 , , n – 1
(2.6.5) trong đó εx > 0, cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở X (1)
* Ngược lại, có nghĩa là
(2.6.6) thay xấp xỉ thứ nhất X (1) = (x1 (1) xn (1)) của nghiệm vào vế phải của (2.6.2) để tìm xấp xỉ thứ hai của nghiệm là X (2) = (x1 (2) xn (2))
, , , , n n n n n n x g x x x g x x x x g x x x - x ỡùù = ùù ùù ù = ùùớ ùù ùù ùù = ùùùợ
Ta dừng lại ở xấp xỉ thứ k của nghiệm là X (2) = (x1 (2) xn (2)) theo công thức
- - ỡùù = ùù ùù ù = ùùớ ùù ùù ùù = ùùùợ
(2.6.8) thoả mãn một trong các điều kiện sau đây
(2.6.10) trong đó M là số bước lặp tối đa cho trước mà ta phải dừng lại, mặc dù đến bước lặp thứ M – 1 vẫn chưa đảm bảo sai số đối với nghiệm
Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp lặp Seidel
2 3 20 4 0 x x x x x x x ỡù + - - + = ùù ớù ù + - - = ùợ với X (0) = (0 0) , εx = 0,3, M=5 trong miền 0 ≤ x1 ≤ 1
* Đưa hệ đã cho về hệ tương đương
* Kiểm tra điều kiện (2.6.3) với 0 ≤ x1 ≤ 1 , – 1 ≤ x2 ≤ 1
* Thay xấp xỉ ban đầu của nghiệm là X (0) để tìm xấp xỉ thứ nhất X (1) = (x1 (1) x2 (1)) theo công thức (2.6.4)
* Tính sai số theo công thức (2.6.5)
* Thay xấp xỉ thứ nhất của nghiệm là X (1) để tìm xấp xỉ thứ hai X (2) = (x1 (2) x2 (2)) theo công thức (2.6.7)
* Tính sai số theo công thức (2.6.9)
Vậy ta dừng ở xấp xỉ thứ hai của nghiệm X (2) = (0,09318 – 0,193192)
Begin G1:= 0.1*X1*X1*X1 + 0.1*X1*X1 – 0.2*X2*X2 + 0.1; end; Function G2(X1,X2:Real):Real;
Writeln('Xap xi ban dau X(0) cua nghiem');
Write(' Nhap EPSX>EPS ,EPSX=');Readln(EPSX);
Write('So buoc lap toi da la M = ');Readln(M);
While ((KEPS)) do
Writeln('Xấp xi cua nghiem la X1[',K1,']=',X1[K1],'X2[ ',K1,']=',X2[K1]); end ELSE
Writeln(' Chua hoi tu va ta dung o xap xi ');
1- Giải phương trình e x – x – 2 = 0 trên [a;b] = [1;2] với εx = εf = 0,01 , M = 10 và với εx = εf = 0,001 , M = 20 a- Phương pháp chia đôi b-
Phương pháp dây cung c- Phương pháp tiếp tuyến d- Phương pháp lặp đơn khi x (0)
Nghiệm xấp xỉ khi x (0) = 1,5 là x (4) = 1,149535 Nghiệm xấp xỉ khi x (0) 1,3 là x (5) = 1,146346
2- Giải phương trình xcosx – 3x +1 = 0 trên [a;b] = [0;1] với εx = εf = 0,01 , M = 12 và với εx = εf = 0,001 , M = 20 a- Phương pháp chia đôi b-
Phương pháp dây cung c- Phương pháp tiếp tuyến d- Phương pháp lặp đơn khi x (0)
Nghiệm xấp xỉ khi x (0) = 0,5 là x (2) = 0,475163 Nghiệm xấp xỉ khi x (0) 0,2 là x (5) = 0,473679
3- Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel, Newton-Raphson
4- Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel, Newton-Raphson
5- Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel, Newton-Raphson
(Viết lại chương trình tương ứng cho n = 3)
1* Nêu ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp chia đôi, dây cung, tiếp tuyến, lặp đơn
2* Viết chương trình PASCAL cho phương pháp tiếp tuyến, lặp đơn
3* Nêu ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp Seidel, Newton-Raphson
4* Bạn hãy chạy chương trình PASCAL đã có để giải các ví dụ Nếu có điều gì chưa thoả mãn thì chủ động viết lại chương trình (có thể bằng ngôn ngữ lập trình bậc cao khác) và giải lại các ví dụ, các bài tập.
NỘI SUY GIÁ TRỊ HÀM SỐ
Công thức nội suy Gregory-Newton tiến
* Các mốc quan sát xk cách đều với h là khoảng cách giữa 2 mốc quan sát liên tiếp
* Các giá trị quan sát fk = f(xk)
* Tính f(x) khi x ở khoảng đầu các mốc quan sát
* Chọn x0 là một trong các mốc đầu quan sát và gần x nhất
* Lập bảng số gia hữu hạn tiến xk = x0 + kh fk Δfk Δ 2 fk Δ 3 fk Δ 4 fk x - 1 f - 1 Δf - 1 x 0 f 0 Δ 2 f - 1 Δf0 Δ 3 f - 1 x1 f 1 Δ 2 f0 Δ 4 f - 1 Δf1 Δ 3 f0 x2 f2 Δ 2 f1 Δf2 x3 f3
Số gia hữu hạn tiến bậc một là Δfk = fk + 1 – fk
Số gia hữu hạn tiến bậc hai là Δ 2 fk = Δf k + 1 – Δf k
Số gia hữu hạn tiến bậc ba là Δ 3 fk = Δ 2 fk + 1 – Δ 2 fk
* Để thuận tiện cho cho việc tra cứu các số liệu, ta đóng khung các giá trị và lấy đó làm chuẩn
* Giá trị cột thứ 3 trở đi được tính bằng cách lấy giá trị dưới trừ giá trị trên tương ứng cùng cột trước
Nguyên tắc này còn áp dụng cho các bảng số gia hữu hạn về sau
Vế phải là đa thức bậc N
Tính gần đúng giá trị f( – 3) từ bảng số liệu xk – 4 – 2 0
* Ở đây ta thấy rằng xk là các mốc cách đều với h = 2 và x = – 3 ở khoảng đầu các mốc quan sát xk nên ta chọn x0 = – 4
* Bảng số gia hữu hạn tiến tương ứng xk = – 4 + 2k fk Δfk Δ 2 fk Δ 3 fk Δ 4 fk Δ 5 fk x 0 = – 4 – 64
* Theo công thức (3.1.1) ta tính được f(–3) 64 56 0, 5 48 0, 5(0, 5 1) 48 0, 5(0, 5 1)(0, 5 2)
Write('So moc quan sat la N+1,N=');Readln(N);
Writeln('Cac moc quan sat cach deu la');
Writeln('Cac gia tri quan sat tuong ung');
Write('Can noi suy gia tri ham tai XNS=');Readln(XNS);
Writeln('Gia tri noi suy Y(‘,XNS.’) =',SUM);
Công thức nội suy Gregory-Newton lùi
* Các mốc quan sát xk cách đều với h là khoảng cách giữa 2 mốc quan sát liên tiếp
* Các giá trị quan sát fk = f(xk)
* Tính f(x) khi x ở khoảng cuối các mốc quan sát
* Chọn x0 là một trong các mốc cuối quan sát và gần x nhất
* Lập bảng số gia hữu hạn lùi xk = x0 + k.h fk ∇fk ∇ 2 fk ∇ 3 fk ∇ 4 fk ∇ 4 fk x - 4 f - 4
Số gia hữu hạn lùi bậc một là ∇fk = fk – fk - 1
Số gia hữu hạn lùi bậc hai là ∇ 2 fk = ∇fk – ∇fk - 1
Số gia hữu hạn lùi bậc ba là ∇ 3 fk = ∇ 2 fk – ∇ 2 fk - 1
Vế phải là đa thức bậc N
Từ bảng số liệu sau đây hãy tính gần đúng giá trị f(2,2) xk – 2 – 1 0
* Ở đây ta thấy rằng xk là các mốc cách đều với h = 1 và x = 2,2 ở vào khoảng cuối bảng giá trị xk nên ta chọn x0 = 2
* Bảng số gia hữu hạn lùi tương ứng xk = 2 + k fk ∇f k ∇ 2 fk ∇ 3 fk ∇ 4 fk ∇ 5 fk x - 4 = – 2 16
* Theo công thức (3.2.1) ta tính được f(2,2) 16 15 0, 2 14 0, 2(0, 2 1) 12 0, 2(0, 2 1)(0, 2 2) 24 0, 2(0, 2 1)(0, 2 2)(0, 2 3)
Công thức nội suy Gauss
* Các mốc quan sát xk cách đều với h là khoảng cách giữa 2 mốc quan sát liên tiếp
* Các giá trị quan sát fk = f(xk)
* Tính f(x) khi x ở khoảng giữa các mốc quan sát
* Chọn x0 là một trong các mốc giữa quan sát và gần x nhất
* Lập bảng số gia hữu hạn trung tâm xk = x0 + k.h fk δfk + 0,5 δ 2 fk δ 3 fk + 0,5 δ 4 fk δ 5 fk + 0,5 x - 2 f - 2 δf - 1,5 x - 1 f - 1 δ 2 f - 1 δf - 0,5 δ 3 f - 0,5 x 0 f 0 δ 2 f 0 δ 4 f 0 δf 0,5 δ 3 f0,5 δ 5 f 0,5 x 1 f 1 δ 2 f 1 δ 4 f1 δf 1,5 δ 3 f1,5 x 2 f 2 δ 2 f 2 δf 2,5 x 3 f 3
Số gia hữu hạn trung tâm bậc một là δfk + 0,5 = fk + 1 – fk
Số gia hữu hạn trung tâm bậc hai là δ 2 fk = δfk + 0,5 – δfk - 0,5
Số gia hữu hạn trung tâm bậc ba là δ 3 fk + 0,5 = δ 2 fk + 1 – δ 2 fk
Số gia hữu hạn trung tâm bậc bốn là δ 4 fk = δ 3 fk + 0,5 – δ 3 fk - 0,5
Vế phải là đa thức bậc N, trong đó
Tính gần đúng giá trị f(2,6) từ bảng số liệu xk – 4 – 1 2
* Ở đây ta thấy rằng xk là các mốc cách đều với h = 3 và x = 2,6 ở vào khoảng giữa các mốc quán sát nên ta chọn x0 = 2
* Bảng số gia hữu hạn trung tâm tương ứng xk = 2 + 3k fk δfk + 0,5 δ 2 fk δ 3 fk + 0,5 δ 4 fk δ 5 fk + 0,5 x - 2 = – 4 – 1
* Theo công thức (3.3.1) ta tính được f (2,6) 5 3 0, 2 1 0, 2(0, 2 1) 4 0, 2(0, 2 1)(0, 2 1)
Công thức nội suy Lagrange
* Các mốc quan sát bất kỳ xk , k = 0 , , N
* Các giá trị quan sát tương ứng fk= f(xk)
* Tìm giá trị gần đúng của f(x) , x0 < x < xN
* Công thức nội suy Lagrange được cho như sau
Ta có thể rút ra cách đơn giản như sau để triển khai (3.4.1):
Vế phải có N+1 số hạng
Số hạng thứ k, k = 0, , N có 2 thừa số: Thừa số thứ hai là fK còn thừa số thứ nhất là phân số mà tử số có N thừa số không có (x – xK), mẫu số cũng có N thừa số như tử số khi thay x bởi xK
Tìm giá trị gần đúng của f(2,6) từ bảng số liệu: xk – 4 –1 2
Giải Áp dụng công thức (3.4.1) với N = 5 , x0 = – 4 , , x5 = 11 , x = 2,6 f (2,6) ( ( 2,6 1 2,6 2 2,6 5 2,6 8 2,6 11 )( )( )( )( )( )( )( )( ) ) ( )
Write('So moc quan sat la N+1, N=');Readln(N);
Writeln('Cac moc quan sat bat ky la');
Writeln('Cac gia tri quan sat tuong ung la');
Write('Can noi suy gia tri ham tai XNS=');Readln(XNS);
SH:=SH*(XNS–X[J])/(X[K] –X[J]);SUM:=SUM+SH; end;
Writeln('Gia tri noi suy F(‘,XNS,’)=',SUM);
Công thức nội suy Newton
* Các mốc quan sát bất kỳ xk , k = 0 , , N
* Các giá trị quan sát tương ứng fk = f(xk)
* Tìm giá trị gần đúng của f(x), x0 < x < xN
* Công thức nội suy Newton được cho như sau f(x) ≈ D00 + D11(x – x0) + D22(x – x0)(x – x1) + + DNN(x – x0)(x – x1)
Tính giá trị gần đúng của f(2,6) từ bảng số liệu xk – 4 –1 2 5
Write('So diem moc N+1,N=');Readln(N);
Writeln('Cac moc quan sat bat ky va cac gia tri quan sat tuong ung');
Writeln('Gia tri noi suy Y(‘,XNS,’)=',SUM);
Công thức bình phương nhỏ nhất
* Các mốc quan sát bất kỳ xk , k = 0 , , N
* Các giá trị quan sát tương ứng fk = f(xk)
* Tìm giá trị gần đúng của f(x), x0 < x < xN
* Ta tìm đa thức bậc M
Các hệ số của PM(x) được tìm từ hệ M + 1 phương trình , M + 1 ẩn số sau đây:
+ + + + = ồ ồ ồ ồ ồ ùù ùùù ùù ùù ùù ùù ùù ùùợ
( 1) k k k k k k k k k k k a N a x f a x a x x f ỡùù ù + + ồ = ồ ùù ùớ ùù ù ồ + ồ = ồ ùù ùợ
( 1) k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k a N a x a x f a x a x a x x f a x a x a x x f ỡùù ù + + ồ + ồ = ồ ùù ùù ùùù + + = ớ ồ ồ ồ ồ ùù ùù ùù ù ồ + ồ + ồ = ồ ùù ùợ
Tính giá trị gần đúng của f(2,6) với M =1 và M = 2 từ bảng số liệu : xk – 4 –
* Với M = 1 theo công thức (3.6.4) ta cần giải hệ
* Với M = 2 theo công thức (3.6.5) giải hệ
6a 21a 231a 56 21a 231a 1911a 454 231a 1911a 19635a 4256 ỡù + + = ùùù + + = ị ớù ùù + + = ùợ
Write('So diem quan sat la N+1,N=');Readln(N);
Write('Bac cua da thuc noi suy la M=');Readln(M);
Writeln('Cac moc quan sat bat ky va cac gia tri quan sat tuong ung'); For K:= 0 to N do
If AB = 0 then DK:=2 Else
SUM:=SUM-A[I,J]*Z[J];Z[I]:=(SUM+A[I,M2])/P0; end; end;
Writeln('Cac he so theo luy thua tang dan cua da thuc noi suy la') For I:= 0 to M do
1- Cho bảng số liệu xk – 2 0 2 4 6 8 10 fk 1 5 8 12 18 20 25
Tính gần đúng f(– 1,5), f(– 0,4), f(3,5) và f(8,2) Đs: x0 = – 2 , h = 2 , 1,5 ( 2) 0, 25 u − − − 2
2- Tìm xấp xỉ của f(0,5) , f(1,5) , f(– 0,5) từ bảng số liệu xk – 4 – 2 – 1 0 1 3 fk – 1 0 2 5 8 10 a- Bằng phương pháp nội suy Newton (f(0,5) ≈ 6,558594) b- Bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất với M = 1 và M = 2
3- Cho bảng số liệu xk(độ cao : m) 0 400 800 1200 1600 2000 fk(áp suất: mm thuỷ ngân) 750 675 610 580 540 500
Tính áp suất ở độ cao 125m, 900m, 1950m
4- Cho bảng số liệu xk(khoảng cách đến nhà máy:m) 50 100 200 250 350 500 fk(gam bụi than/10m 3 không khí) 150 120 70 50 40 30
Tính lượng bụi than trong 10m 3 không khí ở vị trí cách nhà máy 300m ,150m , 400m a- Bằng phương pháp nội suy Newton b- Bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất với M = 1 và M = 2 c- Bằng phương pháp Lagrange
5- Cho bảng số liệu xk(độ sâu: m) 10 20 30 40 50 60 fk(gam phù sa/1m 3 nước) 1 3 7 10 12 14
Tính lượng phù sa trong 1m 3 nước ở độ sâu 32m (7,697856 g)
6- Cho bảng số liệu về độ sâu của hồ (đơn vị là m) xk (khoảng cách từ bờ) 5 15 25 35 45 55 fk (độ sâu) 2,1 9,3 11,2 15,4 18,6 22,5
Tìm độ sâu của hồ tại điểm cách bờ 50m (19,726171 m)
1* Nêu những điểm giống nhau, khác nhau của ba phương pháp nội suy Gregory-
Newton tiến, lùi và Gauss
2* Viết chương trình PASCAL cho các phương pháp Gregory-Newton lùi và Gauss
3* Nêu ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp Lagrange, Newton và bình phương nhỏ nhất
4* Hãy chạy chương trình PASCAL đã có để giải các ví dụ Nếu có điều gì chưa thoả mãn thì chủ động viết lại chương trình (có thể bằng ngôn ngữ lập trình bậc cao khác) và giải lại các ví dụ, các bài tập.
XẤP XỈ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Xấp xỉ giá trị đạo hàm theo tỷ sai phân
Dựa vào định nghĩa ( ) lim
D ® D ta có giá trị gần đúng khi Δf = f(x + h) – f(x – h) , Δx = 2h
Cho bảng số liệu xk fk
Xấp xỉ giá trị đạo hàm theo công thức Richardson
* Cho các mốc quan sát cách đều xk = x0 + kh , k = – N , , N , trong đó h là khoảng cách giữa 2 mốc quan sát liên tiếp
* Các giá trị quan sát tương ứng fk = f(xk)
Tính f '(x) với x là một trong các mốc quan sát
* h0 = h.2 m trong đó m ≥ 1 , nguyên và chọn m lớn nhất sao cho x + h0 và x – h0 trùng với các mốc quan sát và không vượt ra ngoài các mốc quan sát
Lúc này đảm bảo sai số nhỏ nhất
Cho bảng số liệu xk fk
Tính gần đúng giá trị f'(1,06)
Giải Ở đây x = 1,06, h = 0,01 nên ta chọn h 0 = 0,01.2 2 = 0,04 (m = 2) là tốt nhất k = 1 H 1 = 1 1 h 0
* Nếu chọn h 0 =0,01.2 (m = 1 thì chỉ tính được D22 nên kém chính xác hơn
* Nếu chọn h 0 = 0,01.2 3 (m = 3) thì x + H1 = 1,06 + 0,08 = 1,12 vượt ra ngoài mốc quan sát (và cũng như vậy với m ≥ 4 ) nên không tính được f’(x)
{Tìm đạo hàm của F(X)= log 10 X = ln(X)/ln(10) tại X0 tương ứng}
Write(' Tinh dao ham cua F(X) tai X0 =');Readln(X0);
Write(' Sai so EPS =');Readln(EPS);
While ((JEPS)) do
Writeln('Dao ham cua F(',X0,')=',D[N,N]) ELSE Writeln('Chua hoi tu');
Xấp xỉ giá trị đạo hàm theo công thức nội suy với các mốc cách đều
a- Công th ứ c n ộ i suy Gregory-Newton ti ế n
Khi x ở khoảng đầu các mốc quan sát
+ + - - - + ú û (4.3.1) với sai số là O h ( ) N b- Công th ứ c n ộ i suy Gregory-Newton lùi
Khi x ở khoảng cuói các mốc quan sát
+ + + + + - ú û (4.3.2) với sai số là O h ( ) N c- Công th ứ c n ộ i suy Gauss
Khi x ở khoảng giữa các mốc quan sát
+ + - + ú ú úû (4.3.3) với sai số là O h ( ) N
Cho bảng số liệu : xk fk
1* Tính gần đúng giá trị của f '(1,065)
* h = 0,01, x = 1,065 ở vào khoảng đầu các mốc quan sát nên ta chọn x0 = 1,06
* Bảng số gia hữu hạn tiến xk = 1,06 + 0,01k fk Δfk Δ 2 fk Δ 3 fk Δ 4 fk x0 = 1,06 0,025306
2* Tính gần đúng giá trị của f '(1,092)
* h = 0,01, x = 1,092 ở vào khoảng cuối các mốc quan sát nên ta chọn x0 = 1,09
* Bảng số gia hữu hạn lùi xk = 1,06 + 0,01k fk ∇fk ∇ 2 fk ∇ 3 fk ∇ 4 fk x- 3 = 1,06 0,025306
1! 2! 3! f f f u u u h ộ ẹ ẹ ẹ ự ê + + + + + ú ê ú ở ỷ Thay h = 0,01 và u = x x - h 0 = 1,092 1,09 0,01 - = 0,2 ta tính được f '(1,092) ằ ộ ờ ờ ở 0,004002 - 0,000038 2! ( 2.0,2 + 1 ) + 3! 0 ( 3.0,2 2 + 6.0,2 2 + ỳ ) ự ỷ 0,01 1 ằ 0,39754
3* Tính gần đúng giá trị của f '(1,077)
* h = 0,01 , x = 1,077 ở vào khoảng giữa các mốc quan sát nên ta chọn x0 = 1,08
* Bảng số gia hữu hạn trung tâm xk = 1,08 + 0,01k fk δfk + 0,5 δ 2 fk δ 3 fk + 0,5 δ 4 fk x- 2 =1,06 0,025306
= é ê ê d 1! f 0,5 + d 2 2! f 0 ( 2 u - + 1 ) d 3 3! f 0,5 ( 3 u 2 - 1 ) ờở + d 4! f 0 ( 4 u 3 - 6 u 2 - 2 u + ỳ 2 ) ự ỳ 1 h úû Thay h = 0,01 và u = x x - h 0 = 1,077 1,08 0,01 - = – 0,3 ta tính được f '(1,077)ằ ộ ờ ờở 0,004002 - 0,000038 2! ( 2 0,3 1 ( - ) - ) + 0,000003 3! ( 3 0,3 ( - ) 2 - 1 )
4.4 Xấp xỉ giá trị đạo hàm theo công thức nội suy với các mốc bất kỳ a- Công th ứ c n ộ i suy Lagrange
Sau đó ta tính f ’(x) b- Công th ứ c n ộ i suy Newton f(x) ≈ D00 + D11(x – x0) + D22(x – x0)(x – x1) + + DNN(x – x0)(x – x1) (x – xN–1) (4.4.2) trong đó
Sau đó ta tính f ’(x) c- Công th ứ c bình ph ươ ng nh ỏ nh ấ t
Tính f(x) theo công thức bình phương nhỏ nhất Sau đó tính f ’(x)
Cho bảng số liệu : xk – 2,1 – 1,5 – 0,5 0,4 1 fk 12 9,8 6,2 5 4,3 a- Bằng công thức Lagrange tính f ’(0,3) b- Bằng công thức Newton.tính f ’(0) c- Bằng công thức bình phương nhỏ nhất với M = 1 tính f ’(x)
+ 0,460526(x 3 + 4,1x 2 + 4,95x + 1,575) – 0,291737(x 4 + 3,7x 3 + 6,361x 2 – 0,405x – 0,63) f '(x) ằ – 3,666667 + 0,041667(2x + 3,6) + 0,460526(3x 2 + 8,2x + 4,95) – 0,291737(4x 3 + 11,1x 2 + 12,722x –0,405) f '(0) ằ – 3,666667 + 0,041667(2.0 + 3,6) + 0,460526(3.0 2 + 8,2.0 + 4,95) – 0,291737(4.0 3 + 11,1.0 2 + 12,722.0 –0,405) ằ – 1,118909 c- Với M = 1 theo công thức (3.6.4) ta cần giải hệ
2,1 12 1,5 9,8 0,5 6,2 0,4.5 1.4,3 a a a a ỡù + + - - - + + = + + + + ùù ùù ộ ự ù - - - + + + - + - + - + + í ê ú ù ở ỷ ùù ù = - + - + - + + ùùợ
PT + PT ® PT Û ỡù - = ùớ ùùợ
Write('So diem moc quan sat la N+1, N=');Readln(N);
Writeln('Cac moc quan sat bat ky la');
Writeln('Cac gia tri quan sat tuong ung’ );
Writeln('Gia tri gan dung cua dao ham tai X[0] la',DF);
4.5 Xấp xỉ giá trị tích phân xác định A
Xuất phát từ ý nghĩa hình học của tích phân xác định : y = f(x) b ( ) a f x dx
∫ = Diện tích hình thang cong aABb 0 a b x a- Công th ứ c hình thang
* Chia [a ; b] thành N đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia xk = a + kh : h b a
* Chia [a ; b] thành 2N đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia xk = a + kh : h = b a 2 - N , k = 0 , , 2N
1 sin x x dx ò theo công thức hình thang với các điểm chia xk =1 + 0,1k ; k = 0 , , 10 ( N = 10 Û h = 0,1 ) và tính sai số
1 sin x dx ũ x ằ 0,1 2 sin1 sin 2 2 sin1,1 sin1,2 sin1,9
* Sai số là E10 = 0,1 ( 2 - x 2 + 2)sin 12 x - 2 cos x x (2 1) - £ 1200 1 ; 1 < ξ < 2
2 e dx x ò theo công thức Simpson với các điểm chia xk = 2 + 0,15k , k = 0, ,12 (2N = 12 Û h = 0,15)
3* Tính gần đúng diện tích hình thang cong aABb sau đây : k 0 1 2 3
Theo công thức hình thang
S aABb ằ 0,2 2 [2 + 1,6 + 2(1,2 + 1,6 + 1 + 1,1 + 1)] = 1,54 (đvdt) Theo công thức Simpson
{ Tính tích phân xác định của hàm f(x) = sin x x trên [a;b] }
Write('So diem chia N+1,N=');Readln(N);
Write('Gia tri xap xi cua tich phan la',SUM);
{ Tính tích phân xác định b e x 2 dx a ∫ } BEGIN
Write('So diem chia 2N+1,N=);Readln(N);
Writeln('Gia trị gan dung cua tich phan la',SUM);
Với công thức hình thang độ chính xác tương ứng là 0(h 2 ), nhưng còn phụ thuộc vào hàm đã cho, nên việc đánh giá sai số rất phức tạp Vì vậy vấn đề là chia nhỏ
[a ; b] đến mức nào ta có thể tin tưởng rằng đã đủ đảm bảo độ chính xác cho trước mà không cần chia nhỏ hơn nữa Muốn vậy ta dựa vào dãy quy tắc như sau
- , j = 1 , 2 , ta có các điểm chia tương ứng là xk = a + kh j , k = 0 , , 2 j = n , x0 = a , xn = b và ký hiệu
* ST j ằ a f(x)dx b ò tính theo công thức hình thang
* SS j ằ a f(x)dx b ò tính theo công thức Simpson a- Dãy quy t ắ c hình thang
(4.6.3) trong đó ε > 0, cho trước (sai số đối với tích phân) thì ta dừng ở ST2
STj ≈ h j 2 {f(x0) + f(xn) + 2[f(x1) + f(x2) + + f(xn - 1)]} (4.6.9) và dừng lại nếu thoả mãn một trong 2 điều kiện sau đây
(4.6.11) trong đó M là số bước lặp tối đa mà ta phải dừng, mặc dù đến bước lặp thứ M –
1 vẫn chưa đảm bảo sai số b- Dãy quy t ắ c Simpson
⎜SS3 – SS2 ⎜ ≤ ε (4.6.14) thì ta dừng ở SS3
SSj = 4ST j - 3 ST j 1 - (4.6.17) và dừng lại nếu thoả mãn một trong 2 điều kiện sau đây
(4.6.19) trong đó M là số bước lặp tối đa mà ta phải dừng, mặc dù đến bước lặp thứ M –
1 vẫn chưa đảm bảo sai số
Với ε = 0,01 và M = 10 hãy tính gần đúng giá trị 2 3 2
- ò + a- Theo dãy quy tắc hình thang b- Theo dãy quy tắc Simpson
Giải a- Theo dãy quy tắc hình thang
ST 5 ằ 4,978296 b- Dãy qui tắc Simpson
ST,SS: Array[0 15] of real
{Tính gần đúng gía trị b 3 5x 1 2 a ∫ + dx }
Write('Can duoi A=');Readln(A); Write('Can tren B=');Readln(B);
Write('So lan lap,M=');Readln(M);
SUM:=SUM+F(A+H*(2*K-1));ST[J]:=ST[J– 1]/2+H*SUM;
Writeln('Gia tri gan dung cua tich phan');
Writeln(' Day hinh thang Day Simpson');
Writeln('ST[',J,']=',ST[J],' SS[',J,']=',(4*ST[J] –ST[J–1])/3);
− + a- Tính f(0,05) , f(0,06) , , f(0,09) , f(0,10) , , f(0,14) , f(0,15) b- Bằng phương pháp Richardson hãy tính gần đúng f'(0,1) , ε = 0,001 , M = 10 Đs: 1,129579 f'(0,1) , ε = 0,001 , M = 20 Đs: 1,129579 f'(0,1) , ε = 0,0001 , M = 10 Đs: 1,129818 f'(0,1) , ε = 0,0001 , M = 5 Đs: Chưa hội tụ f'(– 1,3) , ε = 0,01 , M = 5 Đs: 4,136889 f'(– 1,3) , ε = 0,001 , M = 10 Đs: 4,138170
2- Tính f’(0,06) theo công thức Richardson theo bảng số liệu xk 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 fk 1,12 1,18 1,30 1,50 1,75 1,90 2,10 2,15 2,25 2,30 Đs : 17,977778
3- Dùng công thức Gregory-Newton tiến a- Tính f'(1,01) với bảng số liệu xk 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 fk 4,321 8,600 12,837 17,033 21,189 Đs: 430,03333 b- Tính f'(10,6) với bảng số liệu xk 10,6 10,7 10,8 10,9 fk 25,306 29,384 33,424 37,426 Đs: 40,97
4- Cho bảng số liệu x 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 fk 4,321 8,600 12,837 17,033 21,189
Tính f'(1,028) bằng công thức Gauss, Lagrange,Newton
5- Cho bảng số liệu về độ cao của ngọn núi (đơn vị là m) : xk ( khoảng cách từ chân núi ) 10 20 30 40 50 60 fk ( độ cao của sườn núi ) 5,2 8,1 15,3 30,4 60,5 82,6
Tìm độ dốc của sườn núi tại điểm cách chân núi 11m ( f’(11)?) Đs : – 0,568763
6- Tính gần đúng bằng công thức Simpson với 2N = 10 : 2,2
7- Tính gần đúng bằng công thức Simpson với 2N = 10 : 3,2 cos2
8- Tính gần đúng bằng qui tắc Hình thang, Simpson
9- Tính gần đúng diện tích hình phẳng sau đây bằng công thức hình thang và Simpson y
10- Khi đo một khu đất (đơn vị là 100m) ta có bảng số liệu sau đây : xk fk xk fk xk fk f
Tính gần đúng diện tích S ABCDEA của khu đất trên bằng công thức Simpson Đs : 0,784667(10000m 2 ) D – 0,6
11- Tính gần đúng bằng dãy qui tắc Hình thang, Simpson với ε = 0,01 và M = 15 a- 2 2
0 ∫ e − x cos x dx Đs: a- Dãy qui tắc Hình thang Dãy qui tắc Simson
TS 8 = 14,382125 b- Dãy qui tắc Hình thang
1* Nêu ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp tỷ sai phân và Richardson
2* Viết chương trình PASCAL cho các phương pháp tỷ sai phân
3* Viết chương trình PASCAL cho các phương pháp nội suy với các mốc cách đều và bất kỳ
4* Nêu những điểm giống nhau, khác nhau của hai phương pháp hình thang, Simpson
5* Hãy chạy chương trình PASCAL đã có để giải các ví dụ Nếu có điều gì chưa thoả mãn thì chủ động viết lại chương trình (có thể bằng ngôn ngữ lập trình bậc cao khác) và giải lại các ví dụ, các bài tập.
Dãy quy tắc
Với công thức hình thang độ chính xác tương ứng là 0(h 2 ), nhưng còn phụ thuộc vào hàm đã cho, nên việc đánh giá sai số rất phức tạp Vì vậy vấn đề là chia nhỏ
[a ; b] đến mức nào ta có thể tin tưởng rằng đã đủ đảm bảo độ chính xác cho trước mà không cần chia nhỏ hơn nữa Muốn vậy ta dựa vào dãy quy tắc như sau
- , j = 1 , 2 , ta có các điểm chia tương ứng là xk = a + kh j , k = 0 , , 2 j = n , x0 = a , xn = b và ký hiệu
* ST j ằ a f(x)dx b ò tính theo công thức hình thang
* SS j ằ a f(x)dx b ò tính theo công thức Simpson a- Dãy quy t ắ c hình thang
(4.6.3) trong đó ε > 0, cho trước (sai số đối với tích phân) thì ta dừng ở ST2
STj ≈ h j 2 {f(x0) + f(xn) + 2[f(x1) + f(x2) + + f(xn - 1)]} (4.6.9) và dừng lại nếu thoả mãn một trong 2 điều kiện sau đây
(4.6.11) trong đó M là số bước lặp tối đa mà ta phải dừng, mặc dù đến bước lặp thứ M –
1 vẫn chưa đảm bảo sai số b- Dãy quy t ắ c Simpson
⎜SS3 – SS2 ⎜ ≤ ε (4.6.14) thì ta dừng ở SS3
SSj = 4ST j - 3 ST j 1 - (4.6.17) và dừng lại nếu thoả mãn một trong 2 điều kiện sau đây
(4.6.19) trong đó M là số bước lặp tối đa mà ta phải dừng, mặc dù đến bước lặp thứ M –
1 vẫn chưa đảm bảo sai số
Với ε = 0,01 và M = 10 hãy tính gần đúng giá trị 2 3 2
- ò + a- Theo dãy quy tắc hình thang b- Theo dãy quy tắc Simpson
Giải a- Theo dãy quy tắc hình thang
ST 5 ằ 4,978296 b- Dãy qui tắc Simpson
ST,SS: Array[0 15] of real
{Tính gần đúng gía trị b 3 5x 1 2 a ∫ + dx }
Write('Can duoi A=');Readln(A); Write('Can tren B=');Readln(B);
Write('So lan lap,M=');Readln(M);
SUM:=SUM+F(A+H*(2*K-1));ST[J]:=ST[J– 1]/2+H*SUM;
Writeln('Gia tri gan dung cua tich phan');
Writeln(' Day hinh thang Day Simpson');
Writeln('ST[',J,']=',ST[J],' SS[',J,']=',(4*ST[J] –ST[J–1])/3);
− + a- Tính f(0,05) , f(0,06) , , f(0,09) , f(0,10) , , f(0,14) , f(0,15) b- Bằng phương pháp Richardson hãy tính gần đúng f'(0,1) , ε = 0,001 , M = 10 Đs: 1,129579 f'(0,1) , ε = 0,001 , M = 20 Đs: 1,129579 f'(0,1) , ε = 0,0001 , M = 10 Đs: 1,129818 f'(0,1) , ε = 0,0001 , M = 5 Đs: Chưa hội tụ f'(– 1,3) , ε = 0,01 , M = 5 Đs: 4,136889 f'(– 1,3) , ε = 0,001 , M = 10 Đs: 4,138170
2- Tính f’(0,06) theo công thức Richardson theo bảng số liệu xk 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 fk 1,12 1,18 1,30 1,50 1,75 1,90 2,10 2,15 2,25 2,30 Đs : 17,977778
3- Dùng công thức Gregory-Newton tiến a- Tính f'(1,01) với bảng số liệu xk 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 fk 4,321 8,600 12,837 17,033 21,189 Đs: 430,03333 b- Tính f'(10,6) với bảng số liệu xk 10,6 10,7 10,8 10,9 fk 25,306 29,384 33,424 37,426 Đs: 40,97
4- Cho bảng số liệu x 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 fk 4,321 8,600 12,837 17,033 21,189
Tính f'(1,028) bằng công thức Gauss, Lagrange,Newton
5- Cho bảng số liệu về độ cao của ngọn núi (đơn vị là m) : xk ( khoảng cách từ chân núi ) 10 20 30 40 50 60 fk ( độ cao của sườn núi ) 5,2 8,1 15,3 30,4 60,5 82,6
Tìm độ dốc của sườn núi tại điểm cách chân núi 11m ( f’(11)?) Đs : – 0,568763
6- Tính gần đúng bằng công thức Simpson với 2N = 10 : 2,2
7- Tính gần đúng bằng công thức Simpson với 2N = 10 : 3,2 cos2
8- Tính gần đúng bằng qui tắc Hình thang, Simpson
9- Tính gần đúng diện tích hình phẳng sau đây bằng công thức hình thang và Simpson y
10- Khi đo một khu đất (đơn vị là 100m) ta có bảng số liệu sau đây : xk fk xk fk xk fk f
Tính gần đúng diện tích S ABCDEA của khu đất trên bằng công thức Simpson Đs : 0,784667(10000m 2 ) D – 0,6
11- Tính gần đúng bằng dãy qui tắc Hình thang, Simpson với ε = 0,01 và M = 15 a- 2 2
0 ∫ e − x cos x dx Đs: a- Dãy qui tắc Hình thang Dãy qui tắc Simson
TS 8 = 14,382125 b- Dãy qui tắc Hình thang
1* Nêu ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp tỷ sai phân và Richardson
2* Viết chương trình PASCAL cho các phương pháp tỷ sai phân
3* Viết chương trình PASCAL cho các phương pháp nội suy với các mốc cách đều và bất kỳ
4* Nêu những điểm giống nhau, khác nhau của hai phương pháp hình thang, Simpson
5* Hãy chạy chương trình PASCAL đã có để giải các ví dụ Nếu có điều gì chưa thoả mãn thì chủ động viết lại chương trình (có thể bằng ngôn ngữ lập trình bậc cao khác) và giải lại các ví dụ, các bài tập.
XẤP XỈ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Xấp xỉ nghiệm phương trinh vi phân cấp một
Tại x* cho trước, tính gần đúng nghiệm y(x*) của phương trình y' = f(x,y) (5.1.1) thoả mãn điều kiện y(x0) = y0 (5.1.2) a- Ph ươ ng pháp Euler
Trên cơ sở định nghĩa đạo hàm y' (x) 0
* Đặt h = x * - n x 0 ⇔ n = x * - h x 0 (5.1.3) trong đó n là số khoảng chia nhỏ, h là độ dài các đoạn chia nhỏ
* Các điểm chia tương ứng xk = x0 + kh , k = 0 , 1 , 2 , , n ta có yk = y(xk)
* Ta tính yk+1 ằ yk + hf(xk , yk) (5.1.4)
* Lần lượt ta tìm được y1 , y2 , yn ằ y(x*) (5.1.5)
Bảng Euler xk = x0 + kh yk Ak = hf(xk , yk) yk + 1 = yk +
xn - 1 = x0 + (n – 1)h yn - 1 An - 1 = hf(xn – 1 , yn - 1) yn = yn -
1 + An - 1 b- Phương pháp Runge-Kutta bậc hai
* Đặt h = x * - n x 0 ⇔ n = x * - h x 0 trong đó n là số khoảng chia nhỏ, h là độ dài các đoạn chia nhỏ
* Các điểm chia tương ứng xk = x0 + kh , k = 0 , 1 , 2 , , n Û yk = y(xk)
* Tính yk + 1 ằ yk + A k + 2 C k (5.1.7) trong đó
Ak = hf(xk , yk) , Bk = yk + Ak , Ck = hf(xk + 1 , Bk) (5.1.8)
* Lần lượt ta tìm được y1 , y2 , yn ằ y(x*) (5.1.9) với sai số là O(h 3 )
Bảng Runge-Kutta bậc hai xk = x0 + kh yk Ak = hf(xk , yk) Bk = yk + Ak Ck = hf(xk + 1 , Bk) yk + 1 = yk +
+ A n - 1 + 2 C n - 1 c- Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn yk+1 ≈ y k + A k + 2B k + 6 2C k + D k
Ak = hf(xk,yk) Bk = hf k ,
⎝ ⎠ Dk hf(xk+1,yk+Ck) với sai số là 0(h 5 )
Tương tự ta lập Bảng Runge-Kutta bậc bốn có 7 cột
Tìm giá trị gần đúng của y(0,4) từ phương trình y' = cos(x + 2y) – xy 2 thoả mãn điều kiện y(0) = 1 với h 0,1 a- Bằng phương pháp Euler b- Bằng phương pháp Runge-Kutta bậc hai c- Bằng phương pháp Runge-Kutta bậc bốn
Giải n = x * - h x 0 = 0,4 0 0,1 - = 4 a- Bảng Euler xk = 0 + 0,1k yk Ak = 0.1[cos(xk + 2yk) – xky 2 k] yk + 1 = yk + Ak x0 = 0 1 – 0,041615 0,958385 x1 = 0,1 0,958385 – 0,052319 0,906067 x2 = 0,2 0,906067 – 0,059134 0,846933 x3 = 0,3 0,846933 – 0,062575 0,784358 Vậy y(0,4) ằ 0,784358 b- Bảng Runge-Kutta bậc hai xk = 0+0,1k yk Ak = 0,1[cos(xk + 2yk) – xky 2 k] Bk = yk + Ak x0 = 0 1 – 0,041615 0,958385 x1 = 0,1 0,953033 – 0,051248 0,901785 x2 = 0,2 0,898307 – 0,057446 0,840861 x3 = 0,3 0,839006 – 0,060723 0,778283
Ck = 0,1[cos(xk + 1 + 2Bk) – xk + 1Bk 2] yk + 1 = yk + A k + 2 C k
Vậy y(0,4) ằ 0,777716 c Giá trị gần đúng của nghiệm theo Runge-Kutta bậc bốn y(0) = 1 y(0,1) ≈ 0,953242 y(0,2) ≈ 0,898575 y(0,3) ≈ 0,839216 y(0,4) ≈ 0,777798
{Giải phương trình y' = cos(x+2y) – xy 2 thỏa mãn điều kiện y(x 0 ) = y 0 }
Writeln('Dieu kien ban dau ');
Writeln('Gia tri gan dung’);
Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình vi phân cấp một
Tính gần đúng nghiệm x(t*), y(t*) tại t* cho trước của hệ phương trình
( , , ) x f t x y y g t x y ỡù Â= ùớ ù Â= ùợ (5.2.1) thoả mãn điều kiện x(t0) = x0 , y(t0) = y0 (5.2.2) a- Phương pháp Euler
* Đặt h = t * - n t 0 ⇔ n = t * - h t 0 (5.2.3) trong đó n là số khoảng chia nhỏ, h là độ dài đoạn chia nhỏ
* Các điểm chia tương ứng tk = t0 + kh, k = 0,1,2, , n Û xk = x(tk) , yk = y(tk)
Như vậy lần lượt ta tìm được x1 , y1 , x2 ,y2 , xn ằ x(t*) , yn ằ y(t*) (5.2.5)
(5.2.7) trong đó ⎜y” ⎜≤ Qy , g y ả Ê ả Ry b- Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn
* Đặt h = t * - n t 0 ⇔ n = t * - h t 0 trong đó n là số khoảng chia nhỏ, h là độ dài đoạn chia nhỏ
* Các điểm chia tương ứng tk = t0 + kh, k = 0,1,2, , n Û xk = x(tk) , yk = y(tk)
A1 = h.f(tk , xk , yk) B1 = h.g(tk , xk , yk)
A4 = h.f(tk + h , xk + A3 , yk + B3) B4 = h.g(tk + h , xk +
A3 , yk + B3) xk + 1 ằ xk + A 1 + 2A 2 + 6 2A 3 + A 4 yk + 1 ằ yk +
Như vậy lần lượt ta tìm được x1 , y1 , x2 ,y2 , xn ằ x(t*) , yn ằ y(t*)
⎪⎩ thoả mãn x(0) = 6 , y(0) = 4 tìm xấp xỉ của x(0,1) và y(0,1) với h = 0,02 a- Bằng phương pháp Euler b- Bằng phương pháp Runge-Kutta bậc bốn
Giải n = t * - h t 0 = 0,1 0 0,02 - = 5 a- Phương pháp Euler x1 = x(0,02) = x0 + hf(t0 , x0 , y0) = 6 + 0,02(6 + 2.4) = 6,28 y1 = y(0,02) = y0 + hg(t0 , x0 , y0) = 4 + 0,02(3.6 + 2.4) = 4,52 x2 = x(0,04) = x1 + hf(t1 , x1 , y1) = 6,28 + 0,02(6,28 + 2.4,52) = 6,5864 y2 = y(0,04) = y1 + hg(t1 , x1 , y1) = 4,52 + 0,02(3.6,28 + 2.4,52) = 5,0776 x3 = x(0,06) = x2 + hf(t2 , x2 , y2) = 6,5864 + 0,02(6,5864 + 2.5,0776) = 6,931232 y3 = y(0,06) = y2 + hg(t2 , x2 , y2) = 5,0776 + 0,02(3.6,5864 + 2.5,0776) = 5,675888 x4 = x(0,08) = x3 + hf(t3 , x3 , y3) = 6,921232 + 0,02(6,921232 + 2.5,675888) ằ
Vậy x(0,1) ằ 7,685115 , y(0,1) ằ 7,008127 b- Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn
Tương tự ta tìm được: x2 = x(0,04) ằ 6,615622 , y2 = y(0,04) ằ 5,119486 x3 = x(0,06) ằ 6,968525 , y3 = y(0,06) ằ 5,743965 x4 = x(0,08) ằ 7,547432 , y4 = y(0,08) ằ 6,416533 x5 = x(0,10) ằ 7,776973 , y5 = y(0,10) ằ 7,141272
{ Giải hệ phương trình vi phân 2
Writeln(' Dieu kien ban dau');
Write(' Can tinh gia tri xap xi cua X,Y tai Tc =');Readln(Tc);
Write(' So diem chia N = ');Readln(N);
Writeln(’Gia tri gan dung tai cac diem chia’);
Xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân cấp 2
Tính gần đúng nghiệm x (t*) tại t* cho trước của phương trình x''(t) = f(t , x(t) , x'(t)) (5.3.1) thoả mãn điều kiện x(t0) = x0 , x'(t0) = x'0 (5.3.2)
Ta có thể đưa (5.3.1) về hệ phương trình như sau x'(t) y(t) y'(t) f(t , x(t), y(t)) ỡù = ùớ ù = ùợ (5.3.3) x(t0) = x0 , y(t0) = x'0 (5.3.4)
Giải phương trình x''(t) + 4x'(t) + 5x(t) = 0 thoả mãn điều kiện x(0) = 3 , x'(0) = – 5 tìm giá trị gần đúng của x(0,4) với h = 0,1
* Ta có hệ tương ứng x'(t) y'(t) 5x(t) 4y(t) y(t) ỡù = ùớ ù = - - ùợ với điều kiện x(0) = 3 , y(0) = – 5
Chẳng hạn bằng phương pháp Euler ta tìm được x(0,1) ≈ x = x + hy = 3 + 0,1(–5) = 2,5 y(0,1) ≈ y1 = y0 + hf(t0 , x0 , y0) = – 5 + 0,1[–5.3 – 4(– 5)] = – 4,5 x(0,2) ≈ x2 = x1 + hy1 = 2,5 + 0,1(– 4,5) = 2,05 y(0,2) ≈ y2 = y1 + hf(t1 , x1 , y1) = – 4,5 + 0,1[–5.2,5 – 4(– 4,5)] = – 3,95 x(0,3) ≈ x3 = x2 + hy2 = 2,05 + 0,1(– 3,95) = 1,655 y(0,3) ≈ y3 = y2 + hf(t2 , x2 , y2) = – 3,95 + 0,1[–5.2,05 – 4(– 3,95)] = – 3,395 x(0,4) ≈ x4 = x3 + hy3 = 1,655 + 0,1(–3,395) = 1,3155
Xấp xỉ nghiệm phương trình đạo hàm riêng
Trong thực tế ta thường gặp các bài toán sau đây
* Các bài toán về trường điện từ, động lực học chất lỏng, trạng thái cân bằng nhiệt, khuyếch tán dẫn đến phương trình Laplace 2 2 u 2 2 u x y ả ả ả + ả = 0
* Các bài toán về truyền nhiệt, thẩm thấu chất lỏng, chất khí dẫn đến phương trình
* Các bài toán về dao động dây, dao động điện dẫn đến phương trình
Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp sai phân để giải gần đúng các phương trình trên đây a- Gi ả i g ầ n đ úng ph ươ ng trình
2 2 u 2 2 u x y ả ả ả + ả = 0 (5.4.1) trong miền chữ nhật a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d (5.4.2) thoả mãn điều kiện biên u x = a , c £ y £ d = v1(y) (5.4.3) u x = b , c £ y £ d = v2(y) (5.4.4) u a £ x £ b y , = c = v3(y) (5.4.5) u a £ x £ b y , = d = v4(y) (5.4.6) v1(c) = v3(a) , v1(d) = v4(a) (5.4.7) v2(c) = v3(b) , v2(d) = v4(b) (5.4.8)
Ta chia đều [a ; b] bởi các điểm xi = a + ih , h = b a - n , i = 0 , 1 , , n
Ta chia đều [c ; d] bởi các điểm yJ = c + jk , k = d c m - , j = 0 , 1 , , m
Như vậy ta được lưới có (n+1).(m+1) điểm lưới trong đó có (n – 1)(m – 1) điểm lưới bên trong và 2(n+m) điểm lưới trên biên
Với các điểm lưới bên trong ta ký hiệu: uij = u(xi , yj) , i = 1 , , n – 1 , j = 1 , , m – 1 (5.4.9) và ta xấp xỉ
Với các điểm lưới trên biên ta ký hiệu ua j = v1(yj ) ( = u 0J tương ứng) , j = 0 , , m
(5.4.12) ub j = v2(yj ) ( = u nJ tương ứng) , j = 0 , , m
Như vậy việc giải phương trình (5.4.1) với điều kiện biên (5.4.3) – (5.4.8) được thay bởi giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính với (n – 1)(m – 1) phương trình, (n
– 1)(m – 1) ẩn số trong công thức (5.4.9) Để đơn giản ta xét trương hợp n = 3, m = 4 ta có hệ sau đây :
2 u 2 23 2 u 2 23 x y ả ả ả + ả ằ u 33 - 2 2 u h 23 + u 13 + u 24 - 2 2 u 23 k + u 22 = 0 Như vậy ta có hệ 6 phương trình 6 ẩn số sau đây:
2(h k)u hu ku ku hu hu 2(h k)u hu ku ku hu 2(
12 h k)u ku ku hu ku 2(h k)u hu hu ku ku
13 22 23 24 33 hu 2(h k)u hu ku ku hu 2(h k)u hu ku ỡùù ùù ùù ùù ùù ớù ùù ùù - + + - = ùù ù - - + + = + ùùợ b- Gi ả i g ầ n đ úng ph ươ ng trình u t 2 2 u x ả ả ả = ả (5.4.16) trong miền
(5.4.17) thoả mãn điều kiện biên
Ta chia đều [c – a ; c + a] bởi các điểm ti = c – a+ih , h = 2a n , i = 0 , 1 , , n
Ta chia đều [d – b ; d + b] bởi các điểm xJ = d – b+jk , k = 2b m , j = 0 , 1 , , m
Như vậy ta được lưới có (n + 1).(m + 1) điểm lưới, trong đó có s.tr điểm lưới bên trong có nghĩa là các điểm (ti , xj ) thoả mãn
(5.4.19) và s.b điểm lưới trên biên có nghĩa là các điểm (ti , xJ ) thoả mãn:
Với các điểm lưới bên trong ta ký hiệu uij = u(ti , xj ) (5.4.21) và ta xấp xỉ
∂ ∂ u t ij ≈ u i + 1 j 2 − h u i − 1 j (5.4.22) với sai số là O(h 2 ) u 2 ij 2 u i j 1 2 2 u k ij u i j 1 x
Với các điểm lưới trên biên ta ký hiệu uij (biên) = v(ti , xj) (5.4.24)
Như vậy việc giải phương trình (5.2.16) với điều kiện biên (5.2.18) được thay bởi giải gần đúng hệ s.tr phương trình đại số tuyến tính với s.tr ẩn số uiJ xác định bởi (5.2.21) thoả mãn (5.2.24) c- Gi ả i g ầ n đ úng ph ươ ng trình
2 2 u a 2 2 2 u t x ả ả ả = ả (5.4.25) trong tam giác có ba đỉnh là
A(tA , xA) , B(tB , xB) , C(tC , xC) (5.4.26) thoả mãn điều kiện biên u ( , ) t x ∈ AB = v1(t , x) (5.4.27) u ( , ) t x ∈ BC = v2(t , x) (5.4.28) u ( , ) t x ∈ AC = v3(t , x) (5.4.29) v1(tA , xA) = v3(tA , xA) (5.4.30) v1(tB , xB) = v2(tB , xB) (5.4.31) v2(tC , xC) = v3(tC , xC) (5.4.32)
Gọi t0 = min(tA , tB , tC) t* = max(tA , tB , tC) (5.4.33) x0 = min(xA , xB , xC) x* = max(xA , xB , xC) (5.4.34)
Ta chia đều [t0 ; t*] bởi các điểm ti = t0 + ih , h = t* t - n 0 , i = 0 , 1 , , n
Ta chia đều [x0 ; x*] bởi các điểm xJ = x0 + jk , k = x* x - m 0 , j = 0 , 1 , , m
Như vậy ta được lưới có (n + 1).(m + 1) điểm lưới, trong đó có st điểm lưới bên trong có nghĩa là các điểm (ti , xj ) thoả mãn t0 < ti < t* , x0 < xj < x* và sb điểm lưới trên biên có nghĩa là các điểm (t b i , x b j ) thoả mãn t b i là hoành độ giao điểm ti với biên x b j là tung độ giao điểm xj với biên
Với các điểm lưới bên trong ta ký hiệu: uij = u(ti , xj ) (5.4.35) và ta xấp xỉ u 2 ij 2 u i 1 j 2 2 u ij h u i 1 j t
∂ (5.4.36) với sai số là O(h 2 ) u 2 ij 2 u i j 1 2 2 u k ij u i j 1 x
Với các điểm lưới trên biên ta ký hiệu uij (biên) = v(t b i , x b j) Như vậy việc giải phương trình (5.4.25) với điều kiện biên (5.4.26) - (5.4.32) được thay bởi giải gần đúng hệ st phương trình đại số tuyến tính với st ẩn số uij xác định bởi
1* Giải phương trình 2 2 u 2 2 u x y ả ả ả + ả = 0 trong miền chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1 , 1 ≤ y ≤ 3 thoả mãn điều kiện biên u x = 0 , 1 £ y £ 3 = y – 3 u x = 1 , 1 £ y £ 3 = – y 2 u 0 £ x £ 1 , y = 1= x – 2 u 0 £ x £ 1 , y = 3= − 9 3 x
Với n = 3, m = 4 ta có h = 1 0 - 3 = 1 3 , k = 3 1 - 4 = 1 2 và các điểm lưới trên biên có giátrị tương ứng như sau u00 = u(0;1) = – 2 u10 = u 1 ;1
Ta có hệ phương trình tuyến tính sau đây
- - + = - ùù ùùù ùù ùù ùù ùù ùùợ
2* Giải phương trình u t 2 2 u x ả ả ả = ả trong miền ( 2 3) 2 ( 2 2) 2 1
+ ≤ thoả mãn điều kiện biên ( 3) 2 ( 2) 2 1
Ta chia đều [3 – 2 ; 3 + 2] bởi các điểm ti = 3 – 2 + ih , h = 2.2 4 = 1 , i = 0,1,2,3,4
Ta chia đều [2 – 1 ; 2 + 1] bởi các điểm xJ = 2 – 1 + jk , k = 2.1 4 = 0,5 , j = 0,1,2,3,4
Lúc này ta có s.tr = 9 điểm lưới bên trong uij , i,j =1,2,3 và s.b = 4 điểm lưới trên biên uij , i,j = 2,4
Ta có các phương trình sau đây x
Ta có các phương trình sau đây : u 11 u 2 11 2 t x
0 < a1 b1 , ab1 1 , a3 b2 , ab2 1 , ab3 3 , a3 b3 , a1 b4 , ab4 3 < 1 (a10) Để đơn giản ta chỉ xét a1 b1 = ab1 1 = a3 b2 = ab2 1 = ab3 3 = a3 b3 = a1 b4 = ab4 3 = 1
Thay ub1 1 , , u24 vừa tìm được vào (a1) , , (a9) ta có hệ phương trình
2u u 4u 69,004 ỡùù ùù ùù ùù ùù ùù ùù ùớ ùù ùù ùù ùù ùù - - + + = ùù ùù - - + = ùợ Giải hệ trên đây ta được u11 ằ 3,399008 u21 ằ 7,558824 u31 ằ 10,76850 u12 ằ 7,214778 u22 ằ 15,80240 u32 ằ 17,11298 u13 ằ 15,43175 u23 ằ 28,99507 u33 ằ 33,05626 3* Giải gần đúng phương trình 2 2 u 2 2 2 u t x ả ả ả = ả trong tam giác có ba đỉnh là A(– 1 ; 2) , B(2 ; 1) , C(0 ; – 2) thoả mãn điều kiện biên u ( , ) t x ∈ AB BC AC , , = 1 x Giải A 2
Ta có t0 = min(– 1 ; 2 ; 0) = – 1 , t* = max(– 1 ; 2 ; 0) = 2 x0 = min( 2 ; 1 ; – 2) = – 2 , x* = max( 2 ; 1 ; – 2) = 2 B
Ta chia đều [– 1; 2] bởi các điểm ti = – 1 + i , h = 2 ( 1) - - 3 , i = 0,1, 2 , 3 – 1 0
Ta chia đều [– 2 ; 2 ] bởi các điểm xJ = – 2 + j , k = 2 ( 2) - - 4 , j = 0,1, 2 , 3 , 4 C
Như vậy ta có st = 5 điểm lưới bên trong (ti , xJ ) : i = 1 , j = 1 , 2 , 3 i = 2 , j = 2 , 3 và sb = 9 điểm lưới trên biên như hình vẽ
∂ = ∂ ⇒ u 3 3 b − 2 2.1 u 23 + u 13 = 2 u 2 3 b − 2 2.1 u 23 + u 22 (a5) trong đó từ điều kiện biên ta có, chẳng hạn ub1 1 = ub2 1 = ub2 2 = ub2 3 = u1 b3 = ub1 3 = ub1 2 = u3 b3 = u2 b3 = u10 1 (a6)
Rút gọn lại ta được hệ phương trình:
- ỡù - = ùù ù + - = ùù ùù - - = - ớù ùù + - =
1- Tìm xấp xỉ của nghiệm của phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và
Runge-Kutta bậc hai, bậc 4 a- y' = sin(3x– y 2 ) +x 2 y , y(1) = – 1 với h = 0,1 tính gần đúng y(1,4) b- y' = e xy + x 2 2 1
+ + , y(–1) = 0 với h = – 0,1 tính gần đúng y(–1,3) Đs:
Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn : a- y(1,4) ≈ – 1,376031 b- y(–1,3) ≈ –
2- Bằng phương pháp Runge - Kutta bậc hai giải phương trình vi phân y’ = e xy + cos(x – 3y) thoả mãn điều kiện y(– 1) = 0 tìm y(– 0,7) với h = 0,1 Đs : y(0,4) ≈ 0,312014
3- Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Runge-Kutta bậc hai y’= sin(2x 2 – y) + xy 2 biết y(– 1) = 1 , h = 0,1 tìm y(– 0,8) Đs : y(0,4) ≈ 0,943695
4- Tìm xấp xỉ x(– 0,7) với h = – 0,1 từ phương trình vi phân x''(t) – 2tx'(t) + 3t 2 x(t) 4t 3 thoả mãn điều kiện x(–1) = 2 , x'(–1) = – 3 a- Bằng phương pháp Euler b- Bằng phương pháp Runge-Kutta bậc bốn Đs: a- Bằng phương pháp Euler : x(– 0,7) ≈ 2,916097
5- Giải phương trình vi phân cấp hai : x’’(t) – sint.x’(t) + e t x(t) = 0 thoả mãn điều kiện x(0) = 1 , x’(0) = – 1 tìm tìm x(0,03) với h = 0,01
2 3 2 x'(t) e 2 xy y'(t) ln(2t 3x 4y ) ỡù = + - ùù ớù ù = - + ùợ thoả mãn điều kiện x(0) = 1 , y(0) = – 2 tìm x(0,05) , y(0,05) với h = 0,01
7- Giải hệ phương trình vi phân x'(t) e cosy xy x y'(t) ln(x y) siny
⎪⎩ thoả mãn điều kiện x(0) = 1 , y(0) 0 tìm x(0,3) , y(0,3) với h = 0,1 Đs : x(0,3) ≈ 2,141989 , y(0,3) ≈ 0,076686
8- Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp Euler : x'(t) sin(e 5 x 1) y 2 y'(t) xy ỡù = - + ùù ớù ù = ùợ với x(1) = 0 , y(1) = 1 , h = 0,1 tìm x(1,3) , y(1,3) Đs : x 3 ≈ 0,335724
9- Giải các phương trình vi phân sau đây a- x'''(t) – 2sint.x"(t) + 3cost.x'(t) – tx(t) = tgt thoả mãn điều kiện x(1) = – 1 , x'(1) = 2 , x"(1) = 0
Tính x(0,5) với h = – 0,1 và x(1,3) vơi h = 0,05 b- x (4) (t) + e x x"(t) – x'(t) + 5x(t) = ln( t + 1) thoả mãn điều kiện x(0) = 1 , x'(0) = – 1, x"(0) = 0, x"'(0) = 3
Hd: Đưa về hệ phương trình vi phân a- x'(t) y'(t) z(t) y(t) z (t) 2sint.z 3cost.y tx tgt ỡù = ùùù = ớù ùù Â = - + + ùợ thoả mãn điều kiện x(1) = – 1 , y(1) = 2 , z(1) = 0 với h = 0,05 b - x x'(t) y(t) y'(t) z(t) z (t) w(t) w (t) e z y 5 x ln t ỡù = ùù ù = ùù ớù Â = ùù ùù Â = - + - + ùợ thoả mãn điều kiện x(0) = 1 , y(0) = –1, z(0) = 0, w(0) = 3 vơi h = 0,1 và sử dụng phương pháp Euler hoặc Runge-Kutta bậc bốn
2 1 x − y − + ≤ thoả mãn điều kiện biên ( 3) 2 ( 2) 2
Ta chia đều [3 – 2 ; 3 + 2] bởi các điểm xi = 3 – 2 + ih , h = 2.2 4 = 1 , i = 0,1,2,3,4
Ta chia đều [2 – 1 ; 2 + 1] bởi các điểm yJ = 2 – 1 + jk , k = 2.1 4 = 0,5 , j = 0,1,2,3,4
0,5 b- Trong tam giác ba đỉnh A(–1 ; 2) , B(2 ; 1) , C(0 ; –2) thoả mãn điều kiện biên u(biên) = – 2 với cách chia thành lưới bởi các điểm chia như sau xi = –1 + i , i = 0 , , 3 yj = – 2 + j , j = 0 , , 4
∂ ∂ = ∂ ∂ a- Trong miền chữ nhật 0 ≤ t ≤ 1 , 1 ≤ x ≤ 3 với n = 3 , m = 4 thoả mãn điều kiện biên u t = 0 , 1 ≤ x ≤ 3= x – 3 u t = 1 , 1 ≤ x ≤ 3= – x 2 u 0 ≤ ≤ t 1 , x = 1= t – 2 u 0 ≤ ≤ t 1 , x = 3 9 3 t
− b- Trong tam giác có ba đỉnh A(–1 ; 2) , B(2 ; 1) , C(0 ; – 2) thoả mãn điều kiện biên
: u(biên) = – 2 với cách chia thành lưới bởi các điểm chia như sau ti = –1 + i , i = 0 , , 3 xj = – 2 + j , j = 0 , , 4
12- Giải gần đúng phương trình 2 2 u 4 2 2 u t x
2 1 t − + x − ≤ thoả mãn điều kiện biên ( 3) 2 ( 2) 2
4 b- Trong miền chữ nhật 0 ≤ t ≤ 1 , 1 ≤ x ≤ 3 với n = 3 , m = 4 thoả mãn điều kiện biên u t = 0 , 1 ≤ x ≤ 3 = x – 3 u t = 1 , 1 ≤ x ≤ 3 = – x 2 u 0 ≤ ≤ t 1 , x = 1= t – 2 u 0 ≤ ≤ t 1 , x = 3 9 3 t
1* Nêu ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp Euler, Runge-Kutta bậc hai, bốn
2* Viết chương trình PASCAL cho các phương pháp Euler, Runge-Kutta bậc hai
3* Trình bày cách xấp xỉ nghiệm hệ phương trình vi phân cấp một phương pháp
Runge-Kutta bậc hai và áp dụng giải Ví dụ 5.2
4* Viết chương trình PASCAL cho các phương pháp Runge-Kutta bậc hai, bốn để giải hệ phương trình vi phân cấp một 5* Hãy chạy chương trình PASCAL cho phương pháp Cholesky để giải Ví dụ 5.4
6* Trình bày tương tự dãy quy tắc xấp xỉ giá trị tích phân xác định thuật toán giải phương trình vi phân cấp một theo phương pháp Euler, Runge-Kutta bậc hai, bốn Sau đó nêu ví dụ và lập chương trình PASCAL
7* Hãy chạy chương trình PASCAL đã có để giải các ví dụ Nếu có điều gì chưa thoả mãn thì chủ động viết lại chương trình (có thể bằng ngôn ngữ lập trình bậc cao khác) và giải lại các ví dụ, các bài tập
Leonhard Euler Joseph-Louis de Lagrange (1707-1783) (1736-1813)
Nhà xuất bản Khoa Học Kỹ Thuật-1995 Phạm Phú Triêm - Nguyễn Bường
Giải tích số- Thuật toán - Chương trình PASCAL
Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia- 2000 Phạm Phú Triêm
Nhập môn đại số tuyến tính
Nhà xuất bản Xây dựng-2004