Kết luận: ♣ Một phân thức đại số hay nói gọn là phân thức là một biểu thức có dạng AB, trong đó ,A B là hai đa thức và B khác đa thức 0 ♣ A được gọi là tử thức hoặc tử và B được gọi là
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 TOÁN LỚP CƠ BẢN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website: tailieumontoan.com Môc lôc Trang PHẦN Các chuyên đề Chương Phân thức đại số Chương Phương trình bậc hàm số bậc Chương Mở đầu tính xác suất biến cố Chương Tam giác đồng dạng Chương 10 Một số hình khối thực tiễn PHẦN Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 521 Website: tailieumontoan.com CHƯƠNG VI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Bài 21 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A LÝ THUYẾT 1) Phân thức đại số 36 x − x − x + Ví dụ 1: Các biểu thức ; ; ; gọi phân thức đại số x 3x + 2x + Kết luận: A ♣ Một phân thức đại số ( hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng , B A, B hai đa thức B khác đa thức ♣ A gọi tử thức ( tử) B gọi mẫu thức ( mẫu) Nhận xét: ♣ Mỗi đa thức coi phân thức với mẫu thức Đặc biệt, số số coi phân thức đại số Ví dụ 2: a) Trong biểu thức: x+ y −x x2 + ; ; ; − 6; biểu thức không cho ta − y x − y2 phân thức? b) Viết mẫu thức phân thức câu a x Đây có phân thức khơng? Vì sao? Ví dụ 3: Cho biểu thức 1+ x 2) Hai phân thức Kết luận: A C A C gọi A D = B C Kí hiệu = ♣ Hai phân thức B D B D x (1 + x ) x có hay khơng? Ví dụ 4: Hai phân thức 1− x 1− x Giải x (1 + x ) x Vì x (1 + x ) (1 − x ) = x − x − x x nên = 1− x − x2 1− x Ví dụ 5: Cho Khẳng định hay sai? Vì sao? = x + x + 1 − x3 3) Điều kiện xác định giá trị phân thức giá trị cho biến x −1 Ví dụ 6: Cho phân thức Tính giá trị phân thức = x 2,= y x +y Giải −1 Với = x 2,= y giá trị phân thức là: = +3 ( ) ( ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Tính giá trị phân thức x = x −9 Giải 4 Tại x = giá trị phân thức = giá trị khơng tính −9 Nên để giá trị phân thức xác định ta cần có điều kiện biến để làm cho giá trị mẫu khác Kết luận: A điều kiện biến để giá trị mẫu thức B khác ♣ Điều kiện phân thức B ♣ Để tính giá trị phân thức giá trị cho trước biến ta thay giá trị cho trước biến vào phân thức tính giá trị biểu thức số nhận Chú ý: ♣ Ta cần quan tâm tới điều kiện xác định biến tính giá trị phân thức Ví dụ 7: Cho phân thức x2 − Ví dụ 8: Viết điều kiện xác định phân thức tính giá trị phân thức x = 6− x Giải Điều kiện xác định phân thức − x ≠ ⇒ x ≠ −2 22 − −1 Tại x = thỏa mãn điều kiện giá trị phân thức = 6−2 B BÀI TẬP MẪU ( BT SGK) 5x − Bài 1: Viết tử thức mẫu thức phân thức Bài 2: Trong cặp phân thức sau, cặp phân thức có mẫu giống nhau? x −1 x +1 −20 x 4x 3x − 3x − c) a) b) 2 3x + 3( x + 2) 3y 5y x +1 x +1 Bài 3: Vì kết luận sau đúng? −6 3y x + x + 3x = a) b) = −4 y y 5x Bài 4: Viết điều kiện xác định phân thức c) x ( x + 1) 16 x − = −3 x − 4x x2 + x − Tính giá trị phân thức x3 + tại= x 0;= x 1;= x Bài 5: Một ô tô chạy với vận tốc trung bình x ( km / h ) a) Viết biểu thức biểu thị thời gian ô tô ( tính giờ) chạy hết quãng đường 120 km b) Tính thời gian tơ 120 km trường hợp vận tốc trung bình ô tô 60 km / h C BÀI TẬP TỰ LUYỆN I Trắc nghiệm Câu 1: Trong biểu thức sau, đâu phân thức? −0 x2 + B A C −7 D x− y x Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 2: Mẫu thức phân thức A x (1+ x ) B x (1 + x ) ( x − y ).y2 ( x − y ).y2 C (1+ x ) D ( x − y ) A M B N A A M = B N B A B = M N C A N = M B D A N = A M Câu 4: Để tìm điều kiện xác định phân thức ta cần làm gì? A Cho mẫu thức tìm x B Cho tử thức tìm x C Cho mẫu thức khác tìm x D Cho tử thức khác tìm x Câu 5: Một phân thức có điều kiện xác định biến x x ≠ Giá trị phân thức x = là: A B C Là giá trị khác D Khơng có giá trị Câu 6: Trong khẳng định sau, đâu khẳng định sai x−2 1 x x2 − y x x2 C = A B = x− y = D = x+ y y xy x x −4 x+2 Câu 3: Để hai phân thức Câu 7: Điều kiện xác định phân thức A x ≠ x−5 là: x2 − C x ≠ −2 B x ≠ Câu 8: Giá trị phân thức x − 100 x = 10 là: x100 − y A B 10 000 D Khơng tính thiếu giá trị y 100 C 10 có giá trị giá trị x x −5 26 26 B x = C x = 5 Câu 9: Để giá trị phân thức A x = D x ≠ ±2 26 Câu 10: Để phân thức A x ∈ {0; 1} D x = x+4 nhận giá trị số tự nhiên giá trị x là: x − 16 B x ∈ {2; 4} C x ∈ {3; 5} D x ∈ {4; 16} II Tự luận: Bài 1: Hãy giải thích sau phân thức sau lại y 20 xy = 1) 28 x 4) 26 ( x + 5) = x ( x + 5) x x3 + 7) = x+2 x − 2x + x y 3x3 y 2) = 15 x 5) x2 ( x + 2) x ( x + 2) x = x+2 − x x2 − x + 8) = 3+ x − x2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 3) ( x − y )2 ( = ( x − y) ( x − y )3 ) x x2 − = x2 − x 6) x +1 x − x − x − 3x + 9) = x +1 x −1 Website: tailieumontoan.com Bài 2: Các phân thức sau có hay khơng? x+3 x + 3x a) 2x − x2 − 5x ( x + 1)2 x + x2 + x Bài 3: Tìm điều kiện xác định phân thức sau x−2 5x 4x 2) 3) 1) x+3 2x + 3x − 5) 9) x −1 x2 − 3x − 13) 2x − 6x 17) x+ y ( x − )( x + y ) x + 2024 8) x − y2 4) x2 x2 − y 11) x2 − x2 + x + 12) 14) x − 3x 15) x+ y−2 x2 − y 2 x − 2) ( 16) 10) c) ( − x )2 7) 6) x2 − ( x − 3) b) ( x − )3 (9 − x ) 18) x −3 x (4 + x) 3− x ( ) 19) x x −1 (x x2 − x x x − x +1 ) − ( x + 1) 20) x− y ( x + y )( x + y ) Bài 4: Tính giá trị phân thức sau 3x − x x = −2 1) x +1 3) x2 + x + ( x − 3)2 x = x2 − 4x + a) Tìm điều kiện xác định A b) Tính giá trị phân thức A x = c) Tìm giá trị x để phân thức A có giá trị Bài 5: Cho phân thức A = 2) x = −3 x2 − x 4) x2 − x = x ( x − 2) x2 + 2x + Bài 6: Cho phân thức B = x2 − a) Tìm điều kiện xác định B b) Tìm giá trị x để phân thức có giá trị x2 + x + x2 − Bài 8: Cho phân thức D = x+2 x + 3x + a) Tìm điều kiện xác định C a) Tìm điều kiện xác định D b) Tính giá trị phân thức C x = b) Tìm giá trị x để phân thức D nhận c) Tìm giá trị x để phân thức C nhận giá trị giá trị c) Tính giá trị phân thức D x = Bài 9: Tìm giá trị x để phân thức sau nhận giá trị Bài 7: Cho phân thức C = x2 − 1) A = x + 2x 2) B = 3x + x − 4) D = 3x − x + x3 + x − x − 5) E = x + 2x − x2 − x−3 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 3) C = x2 − x + 2x + x + 10 x + 12 6) G = x3 − x Website: tailieumontoan.com Bài 22: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A LÝ THUYẾT 1) Tính chất phân thức x Ví dụ 1: Cho phân thức Nhân từ mẫu phân thức với 2x ta phân thức x− y nào? Phân thức có với phân thức Ví dụ 2: Với phân thức x hay không? x− y x ( x + 1) tử mẫu có chung nhân tử ( x + 1) y ( x + 1) x ( x + 1) : ( x + 1) So sánh phân thức nhận với phân Viết kết biểu thức sau y ( x + 1) : ( x + 1) thức ban đầu Kết luận: ♣ Nếu nhân từ mẫu phân thức với đa thức khác đa thức ta phân thức phân thức cho A A M Cụ thể: = với M ≠ B B M ♣ Nếu từ mẫu phân thức có nhân tử chung chia tử mẫu cho nhân tử chung ta phân thức phân thức cho A: N A = ( N nhân tử chung) Cụ thể: B:N B Chú ý: ♣ Nếu đối dấu từ mẫu phân thức phân thức phân thức A −A A −A = cho: = B −B B −B 2x + 2 Ví dụ 3: Dùng tính chất phân thức giải thích = x −1 x −1 −3 Ví dụ 4: Giải thích = 2 x −1 1− x 2) Vận dụng Kết luận ♣ Muốn rút gọn phân thức đại số ta làm sau: + Phân tích tử mẫu thành nhân tử ( cần) để tìm nhân tử chung + Chia từ mẫu cho nhân tử chung Ví dụ 5: Rút gọn phân thức ( x − xy xy − y ) ♣ Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức làm cho phân thức cho thành phân thức có mẫu thức phân thức cho + Phân tích mẫu thành nhân tử tìm mẫu thức chung + Tìm nhân tử phụ cách chia mẫu thức chung cho mẫu Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com + Nhân tử mẫu phân thức với nhân tử phụ tưởng ứng 1 Ví dụ 6: Quy đồng mẫu hai phân thức sau 3x − x 2x + 2x Giải 1 1 = = x + x x ( x + 1) 3x − x 3x ( x − ) MTC : x ( x + 1)( x − ) Khi 3( x − 2) ( x + 1) 1 = = x ( x − ) x ( x − )( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1)( x − ) Ví dụ 7: Quy đồng mẫu thức hai phân thức sau 1 3x − x −1 B BÀI TẬP MẪU ( BT SGK) Bài 1: Dùng tình chất phân thức , giải thích kết luận sau a) ( x − )3 = ( x − ) x2 − x b) x Bài 2: Tìm đa thức thích hợp cho dấu ? 1− x x −1 = −5 x + x − y−x = 4− x x−4 Bài 3: Rút gọn phân thức sau: x + 10 a) 25 x + 50 b) 45 x ( − x ) 15 x ( x − 3) ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) 2 c) x +1 x2 − a) Rút gọn phân thức cho, kí hiệu Q phân thức nhận b) Tính giá trị P Q x = 11 So sánh hai kết Bài 4: Cho phân thức P = Bài 5: Tìm a cho hai phân thức sau ax ( x − 1) 5x x +1 (1 − x )( x + 1) Bài 6: Quy đồng mẫu thức phân thức sau a) − 2x x −8 Bài 7: Quy đồng mẫu thức phân thức sau x +1 a) ; 2− x x + x − 4x + b) x x2 − x2 + x + 1 2x x − xy + y ; b) 3x + y x − y x − xy + y x2 − x x + 3x + Bài 8: Cho hai phân thức 16 − x 27 x3 − a) Rút gọn hai phân thức cho b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận câu a Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong câu sau, đâu tính chất phân số A A+ M A A M = = B A ( N ≠ 0) B B+M B B N A A M A A−M = = D C ( M ≠ 0) B B M B B−M Câu 2: Chọn khẳng định khẳng định sau A Đổi dấu tử phân thức, ta phân thức phân thức cho B Đổi dấu mẫu phân thức, ta phân thức phân thức cho C Đổi dấu tử mẫu phân thức, ta phân thức phân thức cho D Cả ba ý Câu 3: Chọn câu thể cách rút gọn phân thức A A M A A: M = = A B ( M nhân tử chung A, B ) ( M ≠ 0) B B M B B:M A A M A A M = = D ( M nhân tử chung A, B ) C ( M ≠ 0) B B:M B B M x ( x − 1) Câu 4: Nhân tử chung tử mẫu phân thức ( x − 1)3 A x ( x − 1) B Câu 5: Mẫu thức chung hai phân thức A ( x − y ) B C ( x − 1) ( x − 1)3 D x 1 x− y x+ y ( x + y) C ( x − y )( x + y ) D x− y x+ y x −1 vễ phân thức có mẫu dương ta phân thức −5 x −1 x −1 1− x 1− x B C D − A 5 −5 −5 ta hai phân thức Câu 7: Quy đồng mẫu hai phân thức x x− y Câu 6: Để đối dấu mẫu phân thức A x− y x x− y B x− y 3x x( x − y) x( x − y) C x− y x( x − y) x( x − y) D x( x − y) x( x − y) Câu 8: Chọn khẳng định sai khẳng định sau A Để chứng minh hai phân thức ta quy đồng mẫu hai phân thức B Để chứng minh hai phân thức ta rút gọn hai phân thức C Để chứng minh hai phân thức ta dùng tích chéo D Cả ba câu sai Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 9: Rút gọn phân thức A a + b + c ( a + b )2 − c ta phân thức nào? a+b+c C ( a + b + c ) B a + b − c D ( a + b − c ) 2 II Tự luận: Bài 1: Dùng tính chất phân thức, rút gọn phân thức sau 1) 5) 9) x2 y 2) xy xy 9y x ( x + 2) 6) x2 ( + x ) x ( x − 1) x3 (1 − x ) x − x2 13) x −1 x − xy 17) y − x2 21) 25) xy + x 9y + ( x − 3) x3 − x 10) 12 x3 y 3) 18 xy 15 x ( x + ) 7) 20 x ( x + ) x5 y ( x − y ) 11) 14 xy ( x − y ) x − 3x 14) − x2 2x − y 18) x − y2 22) 15 x y 4) x3 y 45 x ( − x ) 15 x ( x − 3) 8) 10 xy ( x + y ) 15 xy ( x + y ) x − 3x 15) x − 9x xy + 19) 9y + x − xy y − xy 23) 3x y − 3x 26) x ( y − 1) 27) x3 (1 − x ) x3 y ( x − y ) x − 10 xy 20) x2 + x x +1 24) x − xy x − xy 36 ( x − ) 28) 32 − 16 x x2 + x + 1) x3 + x x2 − x + 2) x − 12 x x2 + 5x + 3) x + 4x + x2 − x + 4) x − x + 15 3x + x − 5) x − x − 10 x − x + 12 6) x − x − 24 x + x + 12 7) x + 12 x x + 14 x + 8) 3x + 3x x − x − 20 9) x − 16 x3 − x + x x2 − x3 − x + x x2 − Bài 3: Tìm đa thức A để 13) 1) 3x y A = xy y A x − 3x 4) = x + x2 − 11) x3 − x − x + 1 − x3 12) x3 − x − x + 1 + x3 14) x3 + 3x + 3x + x3 + x 15) x − x3 x3 − 3x + 3x − x − x2 x 2) = 5x − x A 5) 5( y − x) x − xy = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 A x + 3x = 3) x − x2 − x− y A 6) 12 x y ( y − x ) Bài 2: Dùng tính chất phân thức, rút gọn phân thức sau 10) x2 − 16) 3x − x 10 xy − x 2 x2 − y 2(2 y − x) 12) xy ( x − 1) x + x3 + 24 x = 2x −1 A