Phương pháp tổng quát, các dạng bài tập và lời giải chi tiết cho chuyên đề cực trị để luyện học sinh giỏi. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ( ) 4 2 , 0 y ax bx c a = + + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn.
Trang 1Ứng dụng vào phương trình
- Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình f x = có tối đa 1 nghiệm Nếu ( ) 0 f a =( ) 0, a thuộc K thì x = a là nghiệm duy nhất của phương trình f x = ( ) 0
- Nếu f có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu trên K thì f ' là hàm đơn điệu nên phương trình
( ) 0
f x = có tối đa 2 nghiệm trên K Nếu f a =( ) 0 và f b = với ( ) 0 ab thì phương trình ( ) 0
f x = chỉ có 2 nghiệm là x = a và x=b
- Nếu f là một hàm liên tục trên a b , có đạo hàm trên ; ( )a b; thì phương trình
( ) ( ) ( )
−
=
− có ít nhất một nghiệm c( )a b; Đặc biệt, nếu f a( )= f b( )=0 thì phương trình f '( )x =0 có ít nhất một nghiệm c( )a b;
hay giữa hai nghiệm của f thì có ít nhất một nghiệm của đạo hàm f '
Chú ý:
1) Tung độ cực trị y= f x( ) tại x = x0:
Hàm đa thức: y=q x y( ) '+r x( ) y0 =r x( )0
Hàm hữu tỉ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ( ) ( )0
0
' '
u x
Đặc biệt: Với hàm y= f x( ) bậc 3 có CĐ, CT và nếu y=q x y( ) '+r x( ) thì phương trình đường thẳng qua CĐ, CT là y=r x( )
2) Số nghiệm của phương trình bậc 3: ax3+bx2+ + =cx d 0,a0
Nếu f '( )x hay 0, x f '( )x thì 0, x f x = chỉ có 1 nghiệm ( ) 0
Nếu f '( )x =0 có 2 nghiệm phân biệt và:
Với yC Ð yCT 0: phương trình f x = chỉ có 1 nghiệm ( ) 0
Với yC Ð yCT = 0: phương trình f x = có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép) ( ) 0
Với yC Ð yCT 0: phương trình f x = có 3 nghiệm phân biệt ( ) 0
• Một số bài toán cực trị tổng quát
Bài toán 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 ( )
y=ax +bx +c a
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông
Lời giải tổng quát
Với ab thì hàm số có ba điểm cực trị 0
Trang 2Do điểm A( )0;c luôn nằm trên Oy và cách đều hai điểm B, C Nên tam giác ABC phải vuông cân tại A Điều này tương đương với AB⊥AC (do AB=AC có sẵn rồi)
Mặt khác ta có
= − − − = − −
Do AB⊥AC nên
2
2 16
AB AC
Bài toán 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 ( )
y=ax +bx +c a
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều
Lời giải tổng quát
Với ab thì hàm số có ba điểm cực trị 0
Do AB=AC, nên ta chỉ cần tìm điều kiện để AB=BC
Mặt khác ta có
4
Do vậy
2
2
24
2 16
AB BC
Bài toán 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=ax4+bx2+ , c
(a 0) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng S 0
Lời giải tổng quát
Gọi H là trung điểm của BC thì lúc này H nằm trên đường thẳng chứa đoạn thẳng BC (hình
vẽ)
Lúc này
2
b
Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:
2 2
2 2
0
ABC
= = − −
Bài toán 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 ( )
y=ax +bx +c a
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất
Lời giải tổng quát
Trang 3Ở bài toán 3 ta có 2
32
b S
a
= −
Do vậy ta chỉ đi tìm
5 3
32
b Max
a
−
Bài toán 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 ( )
y=ax +bx +c a
có ba điểm cực trị A; B; C tạo thành tam giác ABC trong đó ; B COx
Lời giải tổng quát
0
0
;
4
c
c
B C Ox
a
Bài toán 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 ( )
y=ax +bx +c a
có ba điểm cực trị A; B; C tạo thành tam giác ABC trong đó BC kAB kAC= = ; (k 0)
Lời giải tổng quát
Từ bài toán tổng quát ban đầu ta có ( )0; , ; , ;
4
2
Bài toán 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 ( )
y=ax +bx +c a
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc ở đỉnh cân bằng α
Lời giải tổng quát Cách 1:
Ta có
2
AB AC AB
AB AC
3
8
8
−
Cách 2:
Trang 4Gọi H là trung điểm của BC, tam giác AHC vuông tại H có:
Bài toán 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 ( )
y=ax +bx +c a
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn
Lời giải tổng quát
Do tam giác ABC là tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau Một tam giác không thể có hai góc
tù, do vậy hai góc ở đáy của tam giác ABC luôn là góc nhọn Vì thế cho nên để tam giác ABC là tam giác có ba góc nhọn thì góc ở đỉnh phải là góc nhọn Tức là tìm điều kiện để BAC= là góc
nhọn
Ở bài toán trên ta vừa tìm được
3 3
8
8
BAC
−
Để góc BAC nhọn thì
3 3
8 0 8
Cách khác để rút gọn công thức:
AB AC
AB AC
= nên để là góc nhọn thì . 0
AB AC
AB AC
3 2
2 16
Bài toán 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 ( )
y=ax +bx +c a
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp là r
Lời giải tổng quát
Ta có S0 = p r (công thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp)
5
2 3
0
2
2
b
a
−
Trang 5
Bài toán 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 ( )
y=ax +bx +c a
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R
Lời giải tổng quát
Trước tiên ta có các công thức sau: . .
4
ABC
AB BC CA S
R
Gọi H là trung điểm của BC, khi đó AH là đường cao của tam giác ABC, nên
AB BC CA
R
2
2
8
4
Bài toán 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 ( )
y=ax +bx +c a
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có
a Có độ dài BC=m0
b Có AB=AC= n0
Lời giải tổng quát
Ở ngay đầu Dạng 3 ta đã có các công thức
2
4
= −
4
Do vậy ở đây với các ý a, b ta chỉ cần sử dụng hai công thức này Đây là hai công thức quan trọng, việc nhớ công thức để áp dụng là điều cần thiết
Bài toán 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 ( )
y=ax +bx +c a
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác
a nhận gốc tọa độ O là trọng tâm
b nhận gốc tọa độ O làm trực tâm
c nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp
Lời giải tổng quát
a Nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm
a Ở công thức vừa nhắc lại ở bài toán 9, ta có tọa độ các điểm A, B, C thì chỉ cần áp dụng
(với G là trọng tâm tam giác ABC)
Trang 6Lúc này ta có
2
2 3.0
c a
+ − + + − + =
2
b Nhận gốc tọa độ O làm trực tâm
Do tam giác ABC cân tại A, mà A nằm trên trục Oy nên AO luôn vuông góc với BC Do vậy
để O là trực tâm của tam giác ABC thì ta chỉ cần tìm điều kiện để OB⊥AC hoặc OC⊥AB
2
3
c Nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp
Để tam giác ABC nhận tâm O làm tâm đường tròn ngoại tiếp thì OA OB OC= =
Mà ta luôn có OB=OC, do vậy ta chỉ cần tìm điều kiện cho
2
2
3
Bài toán 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 ( )
y=ax +bx +c a
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có
diện tích bằng nhau
Lời giải tổng quát
Gọi M, N là giao điểm của AB, AC với trục hoành, kí hiệu như hình vẽ
Ta có
2
1
~
2
AMN ABC
(Do trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau)
2
Trang 71 Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa: Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K (với K là một khoảng (đoạn), nửa
khoảng) được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K
Định lý
Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K
a Nếu f '( )x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K
b Nếu f '( )x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K
Tóm lại, trên K:
f x f x đồng biến
f x f x nghịch biến
Định lý mở rộng
1 Giả sử hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng K
a Nếu f '( )x 0 với mọi x K và f '( )x =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số đồng biến trên K
b Nếu f '( )x 0 với mọi x K và f '( )x =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số nghịch biến trên K
c Nếu f '( )x =0 với mọi x K thì hàm số không đổi trên K
2 Giả sử hàm số f x( ) liên tục trên nửa khoảng a b; ) và có đạo hàm trên khoảng ( )a b;
a Nếu f '( )x 0 (hoặc f '( )x 0) với mọi x( )a b; thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên nửa khoảng a b; )
b Nếu f '( )x =0 với mọi x( )a b; thì hàm số không đổi trên nửa khoảng a b; )
5 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Các dạng toán
Dạng toán 1: Dùng định nghĩa tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
6 Phương pháp chung
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D )
( )
, max
:
D
Chú ý
không đổi trên K
Trang 8* ( ) ( ) ( )
, min
:
D
Dạng toán 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách dựa
vào miền giá trị của hàm số
Phương pháp chung
Cho hàm số y= f x xác định trên D ( )
( )
y f D phương trình y0 = f x có nghiệm ( )
Trong trường hợp 2 biến số thì ta xét bài toán tổng quát sau:
Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện F x y( ), =0 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=G x y( );
Bước 1: Gọi T là tập giá trị của P Khi đó m T khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm ( )
( ) ( )
1
;
F x y
G x y m
=
=
Bước 2: Tìm các giá trị m để hệ (1) có nghiệm (thường đưa về điều kiện có nghiệm của
phương trình bậc hai), rồi suy ra tập giá trị T của P Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất của biểu thức P=G x y( );
Dạng toán 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp hàm
số
Phương pháp chung
Phương pháp 1: Sử dụng đạo hàm tính trực tiếp
Cách 1: Thường dùng khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng
1 Tính f '( )x
2 Xét dấu f '( )x và lập bảng biến thiên
3 Dựa vào bảng biến thiên kết luận min, max
Cách 2: Thường dùng khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một
đoạn a b ;
1 Tính f '( )x
Trang 92 Tìm các điểm x x1; 2; ;x n trên khoảng ( )a b , tại đó ; f '( )x bằng 0 hoặc f '( )x
không xác định
3 Tính f a( ) ( ) ( ); f x1 ; f x2 ; ; f x( ) ( )n ;f b
4 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có
( ) ( )
;
a b
a b
M = m f x m= f x
Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ) để tìm GTLN, GTNN
Phương pháp
Khi đặt ẩn phụ, cần chú ý một số điều sau
* Nếu đặt 2
t=x thì t và giả sử 0 x − 1;1 t 0;1
* Nếu đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì ta suy ra t − 1;1
* Nếu đặt t=sin2x t; =cos2x thì suy ra t 0;1
* Nếu đặt t=sinxcosx −t 2; 2
* Nếu đặt t x 1;x 0 t 2
x
Dạng toán 4: Sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số
Phương pháp chung
Sử dụng một số bất đẳng thức
1 Bất đẳng thức AM – GM:
Cho n số thực không âm x x1; 2; ;x n ta có
1 2
n n
n
x x x n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 =x2 = = x n
2 Bất đẳng thức Bunyakovsky:
Với hai bộ số (a a1; 2; ;a n) và (b b1; ; ;2 b n) ta có:
a +a + +a b + + +b b a b +a b + +a b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2
n n
a
b = b = =b với quy ước nếu một số b i nào đó (i=1; 2; ;n) bằng 0 thì a i tương ứng bằng 0
Hệ quả: ( 2 2)( 2 2)
4
a +b c +d abcd
Trang 106 Đường tiệm cận
1) Lí thuyết về đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Định nghĩa
Cho hàm số y= f x( ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a + , ; ) (−;b) hoặc (− + Đường thẳng ; ) y= y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm
số y= f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
( ) 0 ( ) 0
x f x y x f x y
Kết luận về tiệm cận ngang của đồ thị hàm phân thức
Đặt f x( ) p x( ) ( )
q x
= là một hàm phân thức, trong đó p x và ( ) q x là các hàm đa thức ( )
1 Nếu bậc của tử thức p x nhỏ hơn bậc của mẫu thức ( ) q x , thì ( ) y =0 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y= f x( )
2 Nếu bậc của tử thức p x bằng bậc của mẫu thức ( ) q x , thì ( ) y a
b
= là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y= f x( ), trong đó a, b lần lượt là hệ số của hạng tử có bậc cao
nhất của đa thức tử số p x và đa thức mẫu số ( ) q x ( )
3 Nếu bậc của tử thức p x lớn hơn bậc của mẫu thức ( ) q x thì đồ thị hàm số ( ) y= f x( ) không có tiệm cận ngang
2) Lí thuyết về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Định nghĩa
Đường thẳng x=x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số ( )
y= f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
Chú ý:
Nếu c là một số thực thỏa mãn q c = và ( ) 0 p c , thì đồ thị hàm số ( ) 0 ( )
( )
p x y
q x
= có tiệm
cận đứng x= c
Trang 11Một số dạng toán thường gặp liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Bài toán 1: Tìm điều kiện sao cho tổng khoảng cách từ điểm M x y( 0; 0) thuộc đồ thị hàm
số y ax b
cx d
+
=
+ đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là nhỏ nhất
Lời giải tổng quát
Từ các kết quả trên ta có tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số
được tính bằng công thức:
= +
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:
c
−
Dấu bằng xảy ra khi
2 0
0
cx d ad bc
Bài toán 2: Tìm điểm M x y( 0; 0) trên đồ thị hàm số y ax b
cx d
+
= + sao cho khoảng cách từ M
đến đường tiệm cận đứng bằng k lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang
Lời giải tổng quát
Ở kết quả ban đầu ta có:
0
0
;
+
cx d
Từ đây ta có
0
0
+
0
d
c
= − với p ad 2bc
c
−
Bài toán 3: Tìm điểm M x y( 0; 0) trên đồ thị hàm số y ax b
cx d
+
= + sao cho khoảng cách từ M
đến điểm I là ngắn nhất, biết I là giao điểm của hai đường tiệm cận
Lời giải tổng quát
0
0
−
Khi đó
2 2
0
2
ax b
+
2
, dấu bằng xảy ra khi x0 d p
c
= −
Trang 127 Sự tương giao của hai đồ thị hàm số
Bài toán tổng quát: Xét sự tương giao của hai đồ thị ( )C1 :y= f x( ) và ( )C2 :y= f x( )
Phương pháp chung Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số f x( )=g x( ) (*)
Bước 2: Số giao điểm của ( )C và 1 ( )C2 là số nghiệm của phương trình (*)
- Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì hai đồ thị hàm số không có điểm chung
- Nếu phương trình (*) có nghiệm kép thì hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau
- Nếu phương trình (*) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung ( *
n )
Sự tương giao của đồ thị hàm bậc ba
C y= f x =ax +bx + +cx d a với trục hoành
Cách 1: Phương pháp đại số
Số giao điểm của đồ thị ( )C với trục hoành là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
( )
0 1
ax +bx +cx+ =d
Nếu (1) có 1 nghiệm x= thì:
2
0 2
x
Ax Bx C
* Đồ thị ( )C cắt trục hoành tại duy nhất một điểm khi phương trình (1) có duy nhất một
nghiệm phương trình (2) có một nghiệm kép x=
* Đồ thị ( )C cắt trục hoành tại hai điểm khi phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt
phương trình (2) có một nghiệm kép x hoặc phương trình (2) có hai nghiệm phân
biệt trong đó có một nghiệm x=
* Đồ thị hàm số ( )C cắt trục hoành tại 3 điểm khi phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác
Cách 2: Phương pháp hàm số
Phương pháp này dùng trong trường hợp ta không nhẩm được nghiệm của phương trình (1)
* Trường hợp 1: Đồ thị ( )C cắt trục hoành tại một điểm khi
+ Hàm số y= f x( ) không có cực trị (hình a) hoặc
+ y= f x( ) có hai cực trị đồng thời y y 0 (hình b)
Trang 13* Trường hợp 2: Đồ thị hàm số ( )C cắt trục hoành tại hai điểm khi ( )C tiếp xúc với Ox
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và y CD.y CT =0 (hình 2)
* Trường hợp 3: Đồ thị hàm số ( )C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị ( )C
có 2 điểm cực trị và y CD.y CT 0 (hình 3)
* Trường hợp 4: Đồ thị hàm số ( )C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương
đồ thị hàm số ( )C có hai điểm cực trị và
0 0 hay 0
CD CT
CD CT
y y
* Trường hợp 5: Đồ thị hàm số ( )C cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm khi và chỉ
khi đồ thị ( )C có hai điểm cực trị thỏa mãn
0 0, hay 0
CD CT
CD CT
y y