Phương pháp tổng quát, các dạng bài tập và lời giải chi tiết cho chuyên đề cực trị để luyện học sinh giỏi. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ( ) 4 2 , 0 y ax bx c a = + + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn.
Ứng dụng vào phương trình - Nếu hàm số f đơn điệu K phương trình f ( x ) = có tối đa nghiệm Nếu f ( a ) = , a thuộc K x = a nghiệm phương trình f ( x ) = - Nếu f có đạo hàm cấp khơng đổi dấu K f ' hàm đơn điệu nên phương trình f ( x ) = có tối đa nghiệm K Nếu f ( a ) = f ( b ) = với a b phương trình f ( x ) = có nghiệm x = a x = b - Nếu f hàm liên tục a; b , có đạo hàm ( a; b ) phương trình f '( x ) = f (b) − f ( a ) có nghiệm c ( a; b ) b−a Đặc biệt, f ( a ) = f ( b ) = phương trình f ' ( x ) = có nghiệm c ( a; b ) hay hai nghiệm f có nghiệm đạo hàm f ' Chú ý: 1) Tung độ cực trị y = f ( x ) x = x0 : Hàm đa thức: y = q ( x ) y '+ r ( x ) y0 = r ( x0 ) Hàm hữu tỉ: y = f ( x ) = u ( x0 ) u ' ( x0 ) u ( x) y0 = = v ( x) v ( x0 ) v ' ( x0 ) Đặc biệt: Với hàm y = f ( x ) bậc có CĐ, CT y = q ( x ) y '+ r ( x ) phương trình đường thẳng qua CĐ, CT y = r ( x ) 2) Số nghiệm phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a Nếu f ' ( x ) 0, x hay f ' ( x ) 0, x f ( x ) = có nghiệm Nếu f ' ( x ) = có nghiệm phân biệt và: Với yC Ð yCT : phương trình f ( x ) = có nghiệm Với yC Ð yCT = : phương trình f ( x ) = có nghiệm (1 đơn, kép) Với yC Ð yCT : phương trình f ( x ) = có nghiệm phân biệt • Một số toán cực trị tổng quát Bài toán 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vng Lời giải tổng qt Với ab hàm số có ba điểm cực trị Do điểm A ( 0; c ) nằm Oy cách hai điểm B, C Nên tam giác ABC phải vuông cân A Điều tương đương với AB ⊥ AC (do AB = AC có sẵn rồi) b b2 b b2 Mặt khác ta có AB = − − ; − ; AC = − ; − 2a 4a 2a 4a Do AB ⊥ AC nên AB AC = b b4 b3 + = = −8 2a 16a a Bài toán 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Lời giải tổng quát Với ab hàm số có ba điểm cực trị Do AB = AC , nên ta cần tìm điều kiện để AB = BC Mặt khác ta có AB = AC = b4 b b − ; BC = − 16a 2a 2a Do AB = BC − b b4 2b b3 + = − = −24 2a 16a a a Bài toán 3: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c , ( a ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S Lời giải tổng quát Gọi H trung điểm BC lúc H nằm đường thẳng chứa đoạn thẳng BC (hình vẽ) b2 Lúc H 0; − AH = 0; − Diện tích tam giác ABC tính công thức: 4a 4a S ABC 1 b2 = AH BC S0 = − 4a b − 2a b −2b −b5 S = S0 = 16a a 32a Bài toán 4: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn Lời giải tổng quát Ở tốn ta có S02 = − b5 32a −b5 Do ta tìm Max 32a Bài toán 5: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ) có ba điểm cực trị A; B; C tạo thành tam giác ABC B; C Ox Lời giải tổng quát c c Tam giác ABC có hai điểm cực trị B; C Ox b − 4ac = − 4a = Bài toán 6: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ) có ba điểm cực trị A; B; C tạo thành tam giác ABC BC = kAB = kAC ; ( k ) Lời giải tổng quát b b Từ tốn tổng qt ban đầu ta có A ( 0; c ) , B − − ; − , C − − ; − 2a 4a 2a 4a AB = AC = b4 b b − ; BC = − 16a 2a 2a Ta có BC = kAB − b b4 b =k − b3k − 8a ( k − ) = 2a 16a 2a Bài tốn 7: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc đỉnh cân α Lời giải tổng quát Cách 1: Ta có cos = AB AC AB AC − AB cos = AB AC 8a + b3 + ( 8a − b3 ) cos = cos = Cách 2: b b b4 b4 + − − + cos = 2a 16a 2a 16a b3 + 8a b3 − 8a Gọi H trung điểm BC, tam giác AHC vng H có: tan = HC BC = BC − AH tan = 8a + b3 tan = AH AH 2 Bài tốn 8: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn Lời giải tổng quát Do tam giác ABC tam giác cân nên hai góc đáy Một tam giác khơng thể có hai góc tù, hai góc đáy tam giác ABC ln góc nhọn Vì để tam giác ABC tam giác có ba góc nhọn góc đỉnh phải góc nhọn Tức tìm điều kiện để BAC = góc nhọn Ở tốn ta vừa tìm cos BAC = cos = Để góc BAC nhọn b + 8a b − 8a b + 8a 0 b − 8a Cách khác để rút gọn công thức: Do cos = AB AC nên để góc nhọn AB AC AB AC AB AC Mà AB AC AB AC b b4 + b ( b3 + 8a ) 2a 16a Bài tốn 9: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp r Lời giải tổng qt Ta có S0 = p.r (cơng thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp) b5 S0 b2 32a r= = r= AB + AC + BC b b4 b b3 − + +2 − a 1 + − 2a 16a 2a 8a − Bài tốn 10: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp R Lời giải tổng qt Trước tiên ta có cơng thức sau: S ABC = AB.BC.CA 4R Gọi H trung điểm BC, AH đường cao tam giác ABC, nên AB.BC.CA AH BC = 4.R AH = AB 4R b b4 b4 b3 − 8a 4R = − + R= 16a 2a 16a a b Bài tốn 11: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có a Có độ dài BC = m0 b Có AB = AC = n0 Lời giải tổng quát Ở đầu Dạng ta có cơng thức b b A ( 0; c ) , B − − ; − , C − ; − với = b2 − 4ac 2a 4a 2a 4a AB = AC = b4 b b − ; BC = − 16a 2a 2a Do với ý a, b ta cần sử dụng hai công thức Đây hai công thức quan trọng, việc nhớ công thức để áp dụng điều cần thiết Bài tốn 12: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác a nhận gốc tọa độ O trọng tâm b nhận gốc tọa độ O làm trực tâm c nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp Lời giải tổng quát a Nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm a Ở cơng thức vừa nhắc lại tốn 9, ta có tọa độ điểm A, B, C cần áp dụng x +x +x y + yB + yC công thức xG = A B C ; yG = A (với G trọng tâm tam giác ABC) 3 b b = 3.0 0 + − − + − 2a 2a b2 Lúc ta có − + 3c = 2a b2 b c + − + c + − + c = 3.0 4a 4a b2 − 6ac = b Nhận gốc tọa độ O làm trực tâm Do tam giác ABC cân A, mà A nằm trục Oy nên AO vuông góc với BC Do để O trực tâm tam giác ABC ta cần tìm điều kiện để OB ⊥ AC OC ⊥ AB OB ⊥ AC OB AC = b b4 b2c + − = b + 8ab − 4ab 2c = 2a 16a 4a b3 + 8a − 4abc = c Nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp Để tam giác ABC nhận tâm O làm tâm đường tròn ngoại tiếp OA = OB = OC Mà ta ln có OB = OC , ta cần tìm điều kiện cho b b4 2b 2c OA = OB c = − + − + c b − 8ab c − 8ab = 2a 16a 4a b3 − 8a − 8abc = Bài tốn 13: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích Lời giải tổng quát Gọi M, N giao điểm AB, AC với trục hồnh, kí hiệu hình vẽ S OA Ta có ANM ~ ACB AMN = = (Do trục hoành chia tam giác ABC thành hai S ABC AH phần có diện tích nhau) AH = 2OA b2 = ac Tính đơn điệu hàm số Định nghĩa: Hàm số đồng biến nghịch biến K (với K khoảng (đoạn), nửa khoảng) gọi chung hàm số đơn điệu K Định lý Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm K a Nếu f ' ( x ) với x thuộc K hàm số f ( x ) đồng biến K b Nếu f ' ( x ) với x thuộc K hàm số f ( x ) nghịch biến K Chú ý Tóm lại, K: f ' ( x ) f ( x ) đồng biến f ' ( x ) f ( x ) nghịch biến Nếu khơng đổi K Định lý mở rộng Giả sử hàm số f ( x ) có đạo hàm khoảng K a Nếu f ' ( x ) với x K f ' ( x ) = số hữu hạn điểm K hàm số đồng biến K b Nếu f ' ( x ) với x K f ' ( x ) = số hữu hạn điểm K hàm số nghịch biến K c Nếu f ' ( x ) = với x K hàm số khơng đổi K Giả sử hàm số f ( x ) liên tục nửa khoảng a; b ) có đạo hàm khoảng ( a; b ) a Nếu f ' ( x ) (hoặc f ' ( x ) ) với x ( a; b ) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) nửa khoảng a; b ) b Nếu f ' ( x ) = với x ( a; b ) hàm số khơng đổi nửa khoảng a; b ) Giá trị lớn nhỏ hàm số Các dạng tốn Dạng tốn 1: Dùng định nghĩa tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Phương pháp chung Giả sử hàm số f xác định miền D ( D f ( x ) M , x D * M = max f ( x ) D x0 D : f ( x0 ) = M ) f ( x ) m, x D * m = f ( x ) D x0 D : f ( x0 ) = m Dạng tốn 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cách dựa vào miền giá trị hàm số Phương pháp chung Cho hàm số y = f ( x ) xác định D y0 f ( D ) phương trình y0 = f ( x ) có nghiệm f ( x ) y0 max f ( x ) D D Trong trường hợp biến số ta xét tốn tổng qt sau: Cho số thực x; y thỏa mãn điều kiện F ( x, y ) = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = G ( x; y ) Bước 1: Gọi T tập giá trị P Khi m T hệ phương trình sau có F ( x; y ) = nghiệm (1) G x ; y = m ( ) Bước 2: Tìm giá trị m để hệ (1) có nghiệm (thường đưa điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai), suy tập giá trị T P Từ suy giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = G ( x; y ) Dạng tốn 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số phương pháp hàm số Phương pháp chung Phương pháp 1: Sử dụng đạo hàm tính trực tiếp Cách 1: Thường dùng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng Tính f ' ( x ) Xét dấu f ' ( x ) lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên kết luận min, max Cách 2: Thường dùng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số liên tục đoạn a; b Tính f ' ( x ) Tìm điểm x1 ; x2 ; ; xn khoảng ( a; b ) , f ' ( x ) f ' ( x ) khơng xác định Tính f ( a ) ; f ( x1 ) ; f ( x2 ) ; ; f ( xn ) ; f ( b ) Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có M = m f ( x ) ; m = f ( x ) a ;b a ;b Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ) để tìm GTLN, GTNN Phương pháp Khi đặt ẩn phụ, cần ý số điều sau * Nếu đặt t = x t giả sử x −1;1 t 0;1 * Nếu đặt t = sin x (hoặc t = cos x ) ta suy t −1;1 * Nếu đặt t = sin x; t = cos x suy t 0;1 * Nếu đặt t = sin x cos x t − 2; * Nếu đặt t = x + ; x t x Dạng tốn 4: Sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Phương pháp chung Sử dụng số bất đẳng thức Bất đẳng thức AM – GM: Cho n số thực không âm x1 ; x2 ; ; xn ta có x1 + x2 + + xn n x1 x2 xn n Dấu “=” xảy x1 = x2 = = xn Bất đẳng thức Bunyakovsky: Với hai số ( a1 ; a2 ; ; an ) ( b1 ; b2 ; ; bn ) ta có: (a + a22 + + an2 )( b12 + b22 + + bn2 ) ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) Dấu “=” xảy ( i = 1; 2; ; n ) a a1 a2 = = = n với quy ước số bi b1 b2 bn tương ứng Hệ quả: ( a + b )( c + d ) 4abcd Đường tiệm cận 1) Lí thuyết đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( a; + ) , ( −;b ) ( −; + ) Đường thẳng y = y0 đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f ( x ) điều kiện sau thỏa mãn lim f ( x ) = y0 ; lim f ( x ) = y0 x →+ x →− Kết luận tiệm cận ngang đồ thị hàm phân thức Đặt f ( x ) = p ( x) q ( x) hàm phân thức, p ( x ) q ( x ) hàm đa thức Nếu bậc tử thức p ( x ) nhỏ bậc mẫu thức q ( x ) , y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) Nếu bậc tử thức p ( x ) bậc mẫu thức q ( x ) , y = a đường tiệm cận b ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) , a, b hệ số hạng tử có bậc cao đa thức tử số p ( x ) đa thức mẫu số q ( x ) Nếu bậc tử thức p ( x ) lớn bậc mẫu thức q ( x ) đồ thị hàm số y = f ( x ) khơng có tiệm cận ngang 2) Lí thuyết đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Định nghĩa Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f ( x ) điều kiện sau thỏa mãn lim f ( x ) = +, lim− f ( x ) = − , x → x0+ x → x0 lim f ( x ) = −, lim− f ( x ) = + x → x0+ x → x0 Chú ý: Nếu c số thực thỏa mãn q ( c ) = p ( c ) , đồ thị hàm số y = cận đứng x = c p ( x) q ( x) có tiệm Một số dạng toán thường gặp liên quan đến đường tiệm cận đồ thị hàm số Bài toán 1: Tìm điều kiện cho tổng khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b đến hai đường tiệm cận đồ thị hàm số nhỏ cx + d Lời giải tổng quát Từ kết ta có tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đồ thị hàm số tính cơng thức: d = d + d2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: d1 + d d1d = Dấu xảy d1 = d ad − bc =2 p c2 cx0 + d ad − bc = ( cx0 + d ) = ad − bc c c ( cx0 + d ) ax + b cho khoảng cách từ M cx + d đến đường tiệm cận đứng k lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang Bài tốn 2: Tìm điểm M ( x0 ; y0 ) đồ thị hàm số y = Lời giải tổng quát Ở kết ban đầu ta có: d1 = x0 + cx + d d a ad − bc = ; d = y0 − = c c c c ( cx0 + d ) Từ ta có d1 = kd x0 = − cx0 + d ad − bc = k c c ( cx0 + d ) d ad − bc kp với p = c c2 ax + b cho khoảng cách từ M cx + d đến điểm I ngắn nhất, biết I giao điểm hai đường tiệm cận Bài toán 3: Tìm điểm M ( x0 ; y0 ) đồ thị hàm số y = Lời giải tổng quát ax + b d a Ta có M x0 ; , I − ; cx0 + d c c d ax + b a − = d12 + d 22 2d1d (bất đẳng thức Cauchy) Khi IM = x0 + + c cx0 + d c 2 IM p , dấu xảy x0 = − d c p Sự tương giao hai đồ thị hàm số Bài toán tổng quát: Xét tương giao hai đồ thị ( C1 ) : y = f ( x ) ( C2 ) : y = f ( x ) Phương pháp chung Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số f ( x ) = g ( x ) (*) Bước 2: Số giao điểm ( C1 ) ( C2 ) số nghiệm phương trình (*) - Nếu phương trình (*) vơ nghiệm hai đồ thị hàm số khơng có điểm chung - Nếu phương trình (*) có nghiệm kép hai đồ thị hàm số tiếp xúc - Nếu phương trình (*) có n nghiệm hai đồ thị có n điểm chung ( n * ) Sự tương giao đồ thị hàm bậc ba ( C ) : y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d , ( a ) với trục hoành Cách 1: Phương pháp đại số Số giao điểm đồ thị ( C ) với trục hoành số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm ax3 + bx + cx + d = (1) Nếu (1) có nghiệm x = thì: x = (1) ( x − ) ( Ax + Bx + C ) = Ax + Bx + C = ( ) * Đồ thị ( C ) cắt trục hoành điểm phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm kép x = * Đồ thị ( C ) cắt trục hoành hai điểm phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm kép x phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x = * Đồ thị hàm số ( C ) cắt trục hoành điểm phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác Cách 2: Phương pháp hàm số Phương pháp dùng trường hợp ta không nhẩm nghiệm phương trình (1) * Trường hợp 1: Đồ thị ( C ) cắt trục hoành điểm + Hàm số y = f ( x ) cực trị (hình a) + y = f ( x ) có hai cực trị đồng thời yCD yCT (hình b) * Trường hợp 2: Đồ thị hàm số ( C ) cắt trục hoành hai điểm ( C ) tiếp xúc với Ox Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị yCD yCT = (hình 2) * Trường hợp 3: Đồ thị hàm số ( C ) cắt trục hoành điểm phân biệt đồ thị ( C ) có điểm cực trị yCD yCT (hình 3) * Trường hợp 4: Đồ thị hàm số ( C ) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hoành độ dương đồ thị hàm số ( C ) có hai điểm cực trị yCD yCT xCD 0; xCT a f hay ad ( ) ( ) * Trường hợp 5: Đồ thị hàm số ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ âm đồ thị ( C ) có hai điểm cực trị thỏa mãn yCD yCT xCD 0; xCT a f 0, hay ad ( ) ( ) Sự tương giao đồ thị hàm bậc bốn trùng phương ( C ) : y = f ( x ) = ax + bx + c, ( a ) với trục hoành Phương pháp chung Xét phương trình hồnh độ giao điểm ax + bx + c = (1) Đặt t = x ( t ) Khi (1) at + bt + c = ( ) * Đồ thị ( C ) khơng cắt trục Ox Phương trình (1) vơ nghiệm phương trình (2) vơ nghiệm có hai nghiệm âm * Đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm kép t = có hai nghiệm phân biệt có nghiệm t = nghiệm âm t * Đồ thị ( C ) cắt trục Ox hai điểm phân biệt Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm t nghiệm t = * Đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm Phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt Bài tốn đặc biệt: Tìm điều kiện m để đồ thị hàm số ( C ) : y = ax + bx + c cắt trục Ox tạ điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng Phương pháp chung Xét phương trình hồnh độ giao điểm ax + bx + c = (1) Đặt t = x , ( t ) (1) at + bt + c = ( ) Từ lý thuyết ta có điều kiện để đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt phương trình (2) ( 2) c có hai nghiệm dương phân biệt a b − a Khi phương trình (2) có nghiệm x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 với t1 t2 Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 t2 − t1 = t1 t2 = t1 t2 = 9t1 Lúc kết hợp với định lý Viet ta tìm điều kiện m ta có t2 = 9t1 t2 = 9t1 t2 = 9t1 c c c −b 9t1 = 9 t1t2 = = 9b = 100ac a a 10 a a b b b t1 + t2 = − a 10t1 = − a 10t1 = − a ax + b , ( ad − bc 0; c ) có đồ thị ( C ) Tìm điều kiện tham cx + d số m để đường thẳng d : y = kx + m cắt ( C ) hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K? Bài toán: Cho hàm số y = Phương pháp chung Bước 1: * Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d ta có: ax + b d = kx + m ax + b = ( cx + d )( kx + m ) (*); x − cx + d c g ( x ) = kcx + ( mc + kd − a ) x + md − b = 0, x − * Để d cắt (C ) d c hai điểm phân biệt g ( x ) = có hai nghiệm phân biệt khác c.k 0; d − d Giải hệ ta tìm m D1 (1) c g − c * Gọi A ( x1 ; kx1 + m ) , B ( x2 ; kx2 + m ) với x1 ; x2 hai nghiệm phân biệt phương trình g ( x) = Áp dụng định lý Viet ta có x1 + x2 = − mc + kd − a md − b (2) ; x1 x2 = c.k kc Bước 2: * Biến đổi điều kiện K dạng có chứa tổng tích x1 ; x2 (3) Kết hợp (1); (2); (3) ta thu điều kiện m