Toán 7

Lần thứ hai người ta lấy đi tiếp 15số kg gạo còn lại của bao thứ nhất; 14số kg gạo còn lại của bao thứ hai; 13số kg gạo cònlại của bao thứ ba; 12số kg gạo còn lại của bao thứ tư thì số k

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN NÔNG CỐNG GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM LẦN 7

Năm học 2023 - 2024 Môn: Toán 7

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu 1.(4.0 điểm)

1 Tính giá trị của các biểu thức sau (tính hợp lý nếu có thể) a)

25 (2 3) ( ) 2024

b)

1.2.3 2.4.6 4.8.12 7.14.21 1.3.5 2.6.10 4.12.20 7.21.35

c)

2 5 6 7

5 6 7 2

C

   

, biết

2 5 6 7

5 6 7 2

b  c  d  a và a b c d , , , 0

Câu 2 (4.0 điểm)

2

8

x

b) Bốn bao gạo có tổng cộng 375kg Lần thứ nhất người ta lấy đi 1kg ở bao thứ nhất; 2kg ở bao thứ hai; 3kg ở bao thứ ba; 4kg ở bao thứ tư Lần thứ hai người ta lấy đi tiếp

1 5

số kg gạo còn lại của bao thứ nhất;

1

4số kg gạo còn lại của bao thứ hai;

1

3số kg gạo còn lại của bao thứ ba;

1

2số kg gạo còn lại của bao thứ tư thì số kg gạo còn lại sau lần lấy thứ hai của bốn bao bằng nhau Tìm số kg gạo mỗi bao lúc đầu

Câu 3.(4.0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn: x y   2 xy  4

b) Tìm số nguyên tố ab a b  0, biết ab ba là số chính phương

Câu 4.(6.0 điểm)Cho ABC có ba góc nhọn, AB AC , trung tuyến AM Trên nửa mặt.

phẳng bờ AB chứa điểm , C vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và AE AB Trên nửa

mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD AC .

1 Chứng minh: BD=CE

2 Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN MA . Chứng minh:

ACN   BAC và ADECAN.

3 Gọi giao điểm của DE với AB, AC lần lượt là Q, P Chứng minh: AP < AQ

Câu 5.(2 điểm) Cho P = 1+

1

2+

1

3+

1

4+ .+

1

4034 và Q = 1+

1

3+

1

5+

1

7+ +

1 4033

Chứng tỏ rằng:

P

Q<1

2017 2018

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2023 - 2024 MÔN: TOÁN - LỚP 7

1(4

điểm) a)

25 (2 3) ( ) 2024

4 2 2

5 2 3 1

1

5 36 1

4 119

4



 

    

 

   





0,5

0,5

b)

1.2.3 2.4.6 4.8.12 7.14.21 1.3.5 2.6.10 4.12.20 7.21.35

1.2.3(1 2.2.2 4.4.4 7.7.7)

1.3.5.(1 2.2.2 4.4.4 7.7.7)

1.2.3

1.3.5

2

5







0,5

0,5

c)

2 5 6 7

5 6 7 2

C

   

, biết

2 5 6 7

5 6 7 2

b  c  d  a và a b c d , , , 0

Đặt

2 5 6 7

5 6 7 2

b  c  d  a = k

4

2 5 6 7

5 6 7 2

k

1

k

   C 4

1,0

2.(4

điểm) a) Tìm x, biết  2

8

x

Ta có 2x 3 2x12x  3 1 2x 2x  3 1 2x 4 4với mọi x

Dấu ‘=’ xảy ra khi

(2 3)(1 2 ) 0

x  x     x

Lại có

2

2

5( 1) 2 2

x

x

Dấu ‘=’ xảy ra khi x = -1

2

8

x





 



 Vậy x = -1

0,5 0,5

0,5 0,5

b) Bốn bao gạo có tổng cộng 375kg Lần thứ nhất người ta lấy đi 1kg ở

bao thứ nhất; 2kg ở bao thứ hai; 3kg ở bao thứ ba; 4kg ở bao thứ tư Lần

thứ hai người ta lấy đi tiếp

1

5 số kg gạo còn lại của bao thứ nhất;

1

4số kg gạo còn lại của bao thứ hai;

1

3số kg gạo còn lại của bao thứ ba;

1

2số kg gạo còn lại của bao thứ tư thì số kg gạo còn lại sau lần lấy thứ hai của bốn

bao bằng nhau Tìm số kg gạo mỗi bao lúc đầu

Gọi số kg gạo 4 bao lúc đầu lần lượt là: x +1; y +2; z + 3; t + 4 (kg)

Với x, y, z, t > 0

Sau khi lấy đi lần thứ nhất thì số kg gạo mỗi bao còn lại lần lượt là x, y, z,

t (kg) và tổng số kg gạo còn lại của 4 bao là 375 – (1+2+3+4) = 365 (kg)

nên x + y + z + t = 365

Sau khi lấy đi lần thứ hai thì số kg gạo mỗi bao còn lại lần lượt là:

4 3 2 1

; ; ;

5x 4y 3z 2t

Ta có

4 3 2

5 4 3 2 15 16 18 24

      

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

365 5

15 16 18 24 15 16 18 24 73

x y z t x y z t  

  

Suy ra x = 5.15 = 75; y = 5.16 = 80; z = 5.18 = 90; t = 5.24 = 120

Vậy số kg gạo mỗi bao lúc đầu lần lượt là: 76; 82; 93; 124 (kg)

0,25

0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,5

3

(4

điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn: x y   2 xy  4

Ta có: x y   2 xy  4 suy ra x  2 xy y   4 0 

Lập bảng

Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy (x; y) cần tìm là (1; -3) ; (4; 0) ; (0; 4) ; (-3; 1)

0,5 0.5

0.5

0.5

b) Tìm số nguyên tố ab a b  0, biết ab ba là số chính phương

Ta có:

2

9( )

3 ( )

ab ba a b b a

ab ba a b

ab ba a b

ab ba là số chính phương khi (a - b) là số chính phương

Do a, b là các chữ số và 0a b, 9,a b 0nên 0  a b 8

0,25 0,25

Suy ra (a - b) là SCP khi a - b = 1 hoặc a – b = 4

+ Nếu a – b = 1  ab21,32, 43,54,65,76,87,98

Mà ab là số nguyên tố nên ab = 43 thỏa mãn

+ Nếu a – b = 4  ab51,62,73,84,95 mà ab là số nguyên tố ab = 73

Vậy ab = 43 và ab = 73

0,5 0,5 0,5

Bài 4

(6

điểm)

Cho ABC có ba góc nhọn, AB AC , trung tuyến AM Trên nửa mặt.

phẳng bờ AB chứa điểm , C vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và

AE AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD

vuông góc với AC và AD AC .

1 Chứng minh: BD=CE

2 Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN MA .

Chứng minh: ACN 1800  BAC và ADE CAN.

3 Gọi giao điểm của DE với AB, AC lần lượt là Q, P

Chứng minh: AP < AQ

1 Xét ABD và AEC có: AD AC gt ( )và

AE AB gt BAD CAE cùng phụ vớiBAC )

ABD AEC c g c BD CE

2,0

2)Xét ABM và NCM có:

AM MN gt BM CM gt AMB NMC  đ đ)

( )

ABM NCM c g c ABM NCM

Do đó: ACN ACB BCN ACB ABC 1800  BAC dfcm ( )

+Ta có: DAE DAC BAE BAC     1800 BAC DAE ACN 

Xét ADE và ACN có: CN AE(cùng bằng AB),

AC AD gt DAE ACN cmt 

2,0

P

( )

ADE CAN cgc

AQP QAD QDA APQ PAE PEA   

Mà AB AC nên AE AD  ADE AED

Theo chứng minh trên ta có: QAD PAE 

Từ đó suy ra QAD QDA PAE PEA   

Hay AQP APQ  AP AQ

2,0

Bài 5

(2

điểm)

Cho P = 1+

1

2+

1

3+

1

4+ .+

1

4034 và Q = 1+

1

3+

1

5+

1

7+ +

1 4033 Chứng tỏ rằng:

P

Q<1

2017 2018

Đặt K = P – Q = 4034

1

6

1 4

1 2

1









1

7

1 5

1 3

1

1     

1

6

1 4

1

1    

= 2K

1

(1) Lại có:         4034 K

1

6

1 4

1 2

1 2

1

2

1 2

1 2

1 2

2017



 2 2017

1 K



(2)

Từ (1) và (2) suy ra Q > K K

K

2017

2018

2017 

Do đó 2018

2017



Q

K

2018

2017 





Q

Q K

2017 1



Q P

0.5

0.5 0.5 0.5