nguyên hàm

Bài toán vật lý • Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm • Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t) • Trong thực tế có khi ta gặp bài toán ngược là biết vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t) Từ đó ta có bài toán : Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F’(x)=f(x) &1. NGUYÊN HÀM I. Nguyªn hµm vµ tÝnh chÊt : II. 1. Nguyªn hµm : a. §Þnh nghÜa:     !"#  Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những hàm số nào a. F(x) = x 2 b. F(x) = x 2 + 3 c. F(x) = x 2 - 4 d. Tất cả các hàm số trên Hãy chọn phương án đúng Nhận xét • Mọi hàm số dạng F(x)=x 2 +C (C là hằng số tùy ý) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R • Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là nguyên hàm của hàm số trªn các khoảng x¸c ®Þnh$ % &   ' g x c x = Tổng quát ta có định lý b.Định lý: • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K thì: *Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. *Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C là một hằng số. F(x) + C (C thuéc R) gäi lµ hä c¸c nguyªn hµm cña f(x) kí hiệu : ( ). ( )f x dx F x C = + ∫ 2.Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1 : Tính chất 2 : Tính chất 3 : / ( ) ( )f x dx f x C = + ∫ ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x C k = + ≠ ∫ ∫ [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫ 3.Sự tồn tại nguyên hàm Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K 4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1. 0 2. 3. 1 4. 5. x dx dx x dx dx x e dx α = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 5. 6. cos . 7. sin . 1 8. cos 1 9. sin x a dx x dx x dx dx x dx x = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ C X + C 1 1 1 x C α α + + + ln x C + ln x a C a + Sinx + C - Cosx + C Tanx + C - cotx + C x e C + VD:Tính nguyên hàm 3 (3 )1 1 . x dx x + = ∫ 1 3 2 3 x dx x dx − + ∫ ∫ 1 4 2 3 2 4 x x C = + + 1 (2sin 2 )2, x x dx + − = ∫ 2 sin 2 2 x xdx dx − ∫ ∫ 2 2cos 2 ln 2 x x C =− − + 2sin 2 .cos3, x xdx = ∫ 1 .2( sin sin 3 ) 2 xdx xdx + ∫ ∫ 1 cos cos3 3 x x C = − − + Qua bài học ta đã biết - Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước - Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C [...]... f(x)=(2x2-5x+2)e-x trªn R 1 F( x ) = Hàm số là một nguyên 2 x hàm của hàm số nào sau đây? a f1 ( x ) = b f2 ( x ) = x 1 2x x c d f3 ( x ) = − f4 ( x ) = 1 4x x 1 4x x Bµi tËp T×m F(x) biÕt F ( x ) = ∫ 2 xdx vµ F(1)=3 H­íng dÉn: F(x)=x2+C Mµ F(1)=3 ⇒ 1+C=3⇒C=2 VËy F(x)=x2+2 II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số: a Định lý 1 : nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì : b.Phương pháp:... C / VD: tính các nguyên hàm sau 1 (2 x +1) dx ∫ B1: đặt u = 2x+1 B2: du = 2dx B3: 5 5 du (2 x +1) dx = ∫ u ∫ 2 1 1 1 6 6 5 = ∫ u du = u + C = (2 x + 1) + C 12 2 12 5 VD: tính các nguyên hàm sau 2 x ∫ 2 x +5.dx 3 B1: đặt u = x + 5 2 B2: du = 3x dx B3: 2 3 3 du ⇒ x dx = 3 2 du x x + 5.dx = ∫ u ∫ 3 1 3 3 2 3 2 2 2 2 = ∫ u du = u + C = ( x + 5) 2 + C 9 9 9 Cách 2 VD: tính các nguyên hàm sau 2 x ∫ x +5.dx...VD 2 Chứng minh Rằng : x C tan x.dx = tan x − + ∫ 2 Ta có : tan x.dx = ∫ 2 (1 + tan x − 1)dx ∫ 2 1 = ∫ ( 2 − 1)dx = tan x − x + C cos x 1 π  là nguyên Hàm số F( x ) = cos  − 2 x ÷ 2 3  hàm của hàm số nào sau đây? π 1 π   a c f1 ( x ) = sin  2 x − ÷ 3  b 1 π  f2 ( x ) = − sin  − 2 x ÷ 2 3  f3 ( x ) = sin  − 2 x ÷ 2 3  d π  f4 ( x ) = sin  − 2 x ÷ 3... sau 2 x ∫ x +5.dx 2 3 ⇒ u = x +5 B1: đặt u = x + 5 2u.du 2 2 B2: 2u.du = 3 x dx ⇒ x dx = 3 B3: 2u.du 3 ∫x 2 2 x + 5.dx = ∫ u 3 3 2 2 3 2 = ∫ u du = u + C 3 9 3 3 2 2 3 = ( x + 5) + C 9 VD: tính các nguyên hàm sau sin x.cos x.dx ∫ 2 3 u = sin x B1: đặt B2: du = cos x.dx B3: 2 ∫ sin 3 x.(1 − sin x) cos x.dx 2 = ∫ u (1 − u ).du = ∫ (u − u ) du 2 3 2 5 2 4 u u sin x sin x = − +C = − +C 3 5 3 5 3 5 . học ta đã biết - Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước - Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C . lý: • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K thì: *Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. *Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên. f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫ 3.Sự tồn tại nguyên hàm Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K 4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1. 0 2. 3. 1 4. 5. x dx dx x