Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai

Ngày nay, Logic mờ đợc ứng dụng trong thực tiễn đặc biệt là trong lĩnh vực dự báo, khai phá tri thức, điều khiển mờ… Tuy nhiên, việc tính tốn và xử lý thơng tin dựa trên tập mờ loại hai

TËp mê lo¹i hai

vµ suy diÔn víi tËp mê lo¹i hai

bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học bách khoa hà nội

-

luận văn thạc sĩ khoa học

Tập mờ loại hai

và suy diễn với tập mờ loại hai

Abstract

Type-2 Fuzzy sets and Type-2 Fuzzy logic system are very useful and used more and more to solve the proplems which are difficultly or can not detemine exactly input information My subject research about Type 2 Fuzzy -Sets, Reasoning with Type-2 Fuzzy Sets It includes four chapter

In chapter 1, Primers about fuzzy sets, I presents the concepts of fuzzy set

and fuzzy logic

In chapter 2, Type-2 Fuzzy Set, presents the concepts of Type 2 fuzzy set and properties of Type 2 Fuzzy Set: Type- -2 membership function, upper and lower membershipt function, the footprint of uncertainty (FOU), set theoretic operations on Type-2 Fuzzy set

-Chapter 3, Reasoning with Type-2 fuzzy sets This chapter presents concepts about Type 2 relations and compositions, the similarity between a -pair of type-2 fuzzy sets Two mathods reasoning are presented: reasoning on basic of composition and reasoning with type 2 similarity.-

Chapter 4, Interal Type 2 Fuzzy logic system - , This chapter present the concepts about Interval Type-2 Fuzzy sets, set theoretic operations on Interval Type 2 Fuzzy set, meet and joint on interval sets;Resoning on -Interval Type 2 Fuzzy set; The Back- -propagation method to designing Interval Singleton Type Fuzzy Logic System

Môc lôc

Chơng 1 C¬ b¶n vÒ tËp mê ………7

1.1 TËp mê ……… 7

1.2 C¸c phÐp to¸n tËp hîp trªn tËp mê ……… 8

1.3 Quan hÖ mê ………10

1.3.1 Quan hÖ mê trªn cïng kh«ng gian ……… 10

1.3.2 Quan hÖ mê vµ phÐp hîp thµnh trªn c¸c kh«ng gian kh¸c nhau ……13

1.4 C¬ b¶n vÒ suy diÔn mê……….14

1.5 Nguyªn lý më réng ………17

1.6 KÕt luËn ch¬ng ……… 18

Chơng 2 TËp mê lo¹i hai ……… 19

2.1 Giíi thiÖu chung ……… 19

2.2 Hµm thuéc lo¹i hai ……….19

2.2.1 Kh¸i niÖm tËp mê lo¹i hai ……….19

2.2.2 §Þnh nghÜa tËp mê lo¹i hai vµ c¸c kh¸i niÖm ……… 19

2.2.3 Hµm thuéc trªn vµ hµm thuéc díi ……… 26

2.3 TËp mê lo¹i hai nhóng ……… 27

2.4 C¸c phÐp to¸n trªn tËp mê lo¹i hai ……….30

2.4.1 Hîp cña c¸c tËp mê lo¹i hai ……….30

2.4.2 Giao cña c¸c tËp mê lo¹i hai……… 32

2.4.3 PhÇn bï cña mét tËp mê lo¹i hai ………33

2.5 KÕt luËn ch¬ng ……… 36

Chơng 3 Suy diÔn víi tËp mê lo¹i hai ……… 37

3.1 Quan hÖ mê lo¹i hai vµ phÐp hîp thµnh ……….37

3.1.1 Kh¸i niÖm chung……… 37

3.1.2 Quan hÖ mê lo¹i hai vµ phÐp hîp thµnh trªn cïng mét kh«ng gian ……… 38

3.1.3 Quan hÖ mê lo¹i hai vµ phÐp hîp thµnh trªn c¸c kh«ng gian kh¸c nhau ……… 41

3.1.4 PhÐp hîp thµnh cña mét tËp mê lo¹i hai vµ mét quan hÖ mê lo¹i hai ……… 42

3.2 TÝch §ª-c¸c cña c¸c tËp mê lo¹i hai ……….43

3.3 C¸c d¹ng luËt mờ………45

3.4 Mét sè phng ph¸p suy diÔn mê lo¹i hai……….46

3.4.1 Suy diÔn mê dùa vµo phÐp hîp thµnh……… 46

3.4.2 Suy diÔn mê dùa trªn sù tng tù cña c¸c tËp mê ……… 48

3.5 NhËn xÐt ……….57

Chơng 4 HÖ logic mê lo¹i hai kho¶ng ………

59

4.1 §Þnh nghÜa ……… 59

4.2 Hµm thuéc trªn vµ hµm thuéc díi cña tËp mê lo¹i hai kho¶ng …… 60

4.3 PhÐp to¸n hîp vµ giao cña tËp mê lo¹i hai kho¶ng ……….62

4.4 Suy diÔn víi tËp mê lo¹i hai kho¶ng ………63

4.5 G¶m lo¹i vµ khö mê ……….68

4.6 ThiÕt kÕ hÖ logic mê lo¹i hai kho¶ng b»ng phng ph¸p lan truyÒn ngîc BP (Back-Propagation) ……….70

4.7 øng dông cña hÖ logic mê lo¹i hai kho¶ng ……….76

4.8 KÕt luËn ch¬ng ………79

KÕt luËn ……….80

Tµi liÖu tham kh¶o………81

Môc lôc

Môc lôc 1

Danh môc h×nh vÏ 3

Më ®Çu 5

Ch¬ng 1 C¬ b¶n vÒ tËp mê 7

1.1 TËp mê 7

1.2 C¸c phÐp to¸n tËp hîp trªn tËp mê 8

1.3 Quan hÖ mê 10

1.3.1 Quan hÖ mê trªn cïng kh«ng gian 10

1.3.2 Quan hÖ mê vµ phÐp hîp thµnh trªn c¸c kh«ng gian kh¸c nhau 13 1.4 C¬ b¶n vÒ suy diÔn mê 14

1.5 Nguyªn lý më réng 17

1.6 KÕt luËn ch¬ng 18

Ch¬ng 2 tËp mê lo¹i hai 19

2.1 Giíi thiÖu chung 19

2.2 Hµm thuéc lo¹i hai 19

2.2.1 Kh¸i niÖm tËp mê lo¹i hai 19

2.2.2 §Þnh nghÜa tËp mê lo¹i hai vµ c¸c kh¸i niÖm 19

2.2.3 Hµm thuéc trªn vµ hµm thuéc díi 27

2.3 TËp mê lo¹i hai nhóng 27

2.4 C¸c phÐp to¸n trªn tËp mê lo¹i hai 30

2.4.1 Hîp cña c¸c tËp mê lo¹i hai 30

2.4.2 Giao cña c¸c tËp mê lo¹i hai 32

2.4.3 PhÇn bï cña mét tËp mê lo¹i hai 33

2.5 KÕt luËn ch¬ng 36

Ch¬ng 3 Suy diÔn víi tËp mê lo¹i hai 37

3.1 Quan hÖ mê lo¹i hai vµ phÐp hîp thµnh 37

3.1.1 Kh¸i niÖm chung 37

3.1.2 Quan hÖ mê lo¹i hai vµ phÐp hîp thµnh trªn cïng mét kh«ng gian 38

3.1.3 Quan hÖ mê lo¹i hai vµ phÐp hîp thµnh trªn c¸c kh«ng gian kh¸c nhau 41

3.1.4 PhÐp hîp thµnh cña mét tËp mê lo¹i hai vµ mét quan hÖ mê lo¹i hai 42

3.2 TÝch §ª-c¸c cña c¸c tËp mê lo¹i hai 43

3.3 C¸c d¹ng luËt mê 45

3.4 Mét sè ph¬ng ph¸p suy diÔn mê lo¹i hai 46

3.4.1 Suy diÔn mê dùa vµo phÐp hîp thµnh 46

3.4.2 Suy diÔn mê dùa trªn sù t¬ng tù cña c¸c tËp mê 48

3.5 NhËn xÐt 57

Ch¬ng 4 HÖ logic mê lo¹i hai kho¶ng 59

4.1 §Þnh nghÜa 59

4.2 Hµm thuéc trªn vµ hµm thuéc díi cña tËp mê lo¹i hai kho¶ng 60

4.3 PhÐp to¸n hîp vµ giao cña tËp mê lo¹i hai kho¶ng 62

4.4 Suy diÔn víi tËp mê lo¹i hai kho¶ng 63

4.5 Gi¶m lo¹i vµ khö mê 68

4.6 ThiÕt kÕ hÖ logic mê lo¹i hai kho¶ng b»ng ph¬ng ph¸p lan truyÒn ngîc BP (Back-Propagation) 70

4.7 øng dông cña hÖ logic mê lo¹i hai kho¶ng 76

4.8 KÕt luËn ch¬ng 79

KÕt luËn 80

Tµi liÖu tham kh¶o 81

Danh mục hình vẽ Hình 1-1: Các hàm độ thuộc cho xe nội địa và xe ngoại nhập dựa trên tỷ lệ

à ∪ , (c) (x )

B A

à ∩ , (d) (x )

Hình 2-2: Ví dụ về hàm thuộc loại hai ……… 21

Hình 2-3: (a): một tập mờ loại hai Gaussian (b): hàm thuộc thứ cấp

Gaussian tại x = 4 ……… 23

Hình 2-4 ……… 24

Hình 2-6: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung

bình m không chắc chắn ……… 26

không chắc chắn ……… 26

mờ loại hai……… 28

gắn với hàm thuộc loại hai đợc biểu diễn trong Hình 2-2……… 29

gian rời rạc Miền tô đen trong mặt phẳng x-u là FOU ……… 60

Hình 4-3: Xác định f l và fl (a) sử dụng minimum t norm (b) sử dụng product t-norm ……… …67

-Hình 4-4: Xác định à ~ B l(y) (a) sử dụng minimum t-norm (b) sử dụng

product t-norm ……… 67

Mở đầu

Lý thuyết tập mờ loại hai đợc Zadeh đa ra từ năm 1975 Tập mờ loại hai ngày càng đợc khẳng định vị trí u việt của mình trong việc cải thiện và nâng cao chất lợng xử lý thông tin so với nhiều phơng pháp truyền thống khác Ngày nay, Logic mờ đợc ứng dụng trong thực tiễn đặc biệt là trong lĩnh vực dự báo, khai phá tri thức, điều khiển mờ…

Tuy nhiên, việc tính toán và xử lý thông tin dựa trên tập mờ loại hai nói chung có độ phức tạp rất lớn, điều này đã ảnh hởng không nhỏ tới khả năng ứng dụng của tập mờ loại hai vào giải quyết các bài toán thực tế Chính vì vậy, những năm trở lại đây, lý thuyết tập mờ loại hai nhận đợc rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học Một trong những hớng nghiên cứu đó là tìm ra các phơng pháp làm giảm độ phức tạp tính toán trong các hệ logic mờ loại hai

Suy diễn với tập mờ loại hai là một khâu quan trọng trong hệ logic mờ loại hai Phơng pháp suy diễn quyết định rất lớn tới chất lợng và độ phức tạp tính toán của toàn hệ Với mục đích tìm hiểu nghiên cứu về tập mờ loại 2,

đợc sự hớng dẫn của PGS.TS Trần Đình Khang – Khoa CNTT Đại Học -

Bách Khoa Hà Nội, tôi lựa chọn đề tài “Tập mờ loại hai và suy diễn với tập

mờ loại hai“ Đề tài thực hiện tìm hiểu nghiên cứu những vấn đề cơ bản

đối với tập mờ loại hai, một số phơng pháp suy diễn đối với tập mờ loại hai tổng quát và tập mờ loại hai khoảng

Đề tài đợc chia thành các phần sau:

Chơng 1 Cơ bản về tập mờ: Chơng này trình bày các khái niệm cơ bản

về tập mờ nói chung làm cơ sở để tìm hiểu, nghiên cứu các đặc trng của tập

mờ loại hai

Chơng 2 Tập mờ loại hai: Tập mờ loại hai là sự phát triển và mở rộng

của tập mờ loại một nhằm khắc phục những nhợc điểm của tập mờ loại một Chơng này trình bày những khái niệm và những đặc trng cơ bản của tập

mờ loại hai Các phép toán tập hợp trên tập mờ loại hai cũng đợc trình bày ở

đây, các phép toán này là công cụ không thể thiếu để thực hiện các phép suy diễn mờ

Chơng 3 Một số phơng pháp suy diễn trên tập mờ loại hai: Chơng

này trình bày một số phơng pháp suy diễn với tập mờ loại hai Hai phơng pháp suy diễn đợc trình bày ở đây đó là phơng pháp suy diễn dựa trên

phép hợp thành và phơng pháp suy diễn dựa trên độ tơng tự Từ đó đa ra những phân tích đánh giá, đây là một cơ sở quan trọng để lựa chọn phơng pháp suy diễn phù hợp khi thiết kế và xây dựng các ứng dụng logic mờ

Chơng 4: Tập mờ loại hai khoảng: Tập mờ loại hai tổng quát bộc lộ

một số nhợc điểm nh độ phức tạp tính toán lớn Do có cấu trúc đặc biệt nên việc tính toán và suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng có độ phức tạp nhỏ hơn rất nhiều lần so với tập mờ loại hai tổng quát Chính vì vậy, tập mờ loại hai khoảng thờng đợc ứng dụng trong các hệ logic mờ Chơng này trình bày những đặc trng cơ bản của tập mờ loại hai khoảng và phơng pháp suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng

Chơng 1 Cơ bản về tập mờ 1.1 Tập mờ

à , khi X liên tục

F = X x x

F ( ) /

∑ à , khi X rời rạc

ở đây, các kí hiệu ∫ và ∑ không phải là phép tích phân và tổng đại số

mà là tập hợp tất cả các phần tử x ∈X kết hợp với giá trị độ thuộc

1

) (x

F

Dà

x

) (x

Ví dụ 1-1:

Hình 1-1 mô tả việc phân loại tập các ô tô thành hai tập nội địa (D) và

ngoại nhập (F) theo tỷ lệ phần trăm các linh kiện đợc sản xuất trong nớc

ở đây, F và D là các tập mờ có các hàm thuộc tơng ứng là (x )

có dạng hình tam giác, hình thang, Gaussian v.v Các hàm thuộc thờng

đợc lựa chọn một cách tùy ý trên cơ sở kinh nghiệm của ngời sử dụng về lĩnh vực liên quan hoặc phơng pháp tính toán tối u mà họ lựa chọn

B A

B A

) (x

A

à = 1 - (x )

A

àXét ví dụ sau:

) (x

≤

≤

− ], 0 5 1 )

5 0 ( 1 /[

1

5 0 0 , 0

x

x nếu nếu

(1-4)

(1-5)

(1-6)

(1-7)

(x )

B

) 707 0 ( 1

à ∪ , (x )

B A

Chẳng hạn, Zadeh định nghĩa hai phép toán hợp và giao cho tập mờ nh sau:

(1-8)

0.707 0.5

) (x

B A

à ∪

(b)

0.707 0.5

) (x

B A

à ∩

x

1

0.707 0.5

) (x

Bà

x

1

) (x

Bà

B A

à ∪ , (c) (x )

B A

à ∩ , (d) (x )

Bà(c)

1 Phép hợp: (x )

B A

à ∩ = ( x ) ( x )

B

àSau đó, Klir và Yuan định nghĩa hai phép toán t conorm cho phép hợp và -

t norm c- ho phép giao sử dụng cho tập mờ:

Phép toán t conorm (còn gọi là s norms) đợc sử dụng cho phép hợp, đợc -

-ký hiệu là ⊕ Maximum và phép tổng đại số là phép toán t-conorm Dới

đây là hai ví dụ về t conorm:

nếu nếu

1

0

0 x y

y x

nếu nếu

0

1

1 x y

y x

Việc định nghĩa các t-conom, t norm và phép lấy phần bù khác nhau sử dụng trong lý thuyết tập mờ cung cấp cho chúng ta một sự lựa chọn phong phú hơn khi xây dựng hệ logic mờ

-1.3 Quan hệ mờ

Quan hệ mờ thể hiện độ thuộc của sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của

sự kết hợp, sự ảnh hởng hoặc tính chất liên kết giữa các phần tử của hai hay nhiều tập mờ

1.3.1 Quan hệ mờ trên cùng không gian

là một tập mờ trong không gian của tích Đê-các UìV Tập mờ này là tập con của UìV và đợc đặc trng bởi hàm thuộc ( yx, )

R

à , với x ∈U và y∈V R(U,V) = {((x,y),à )| (x,y)∈ à

(1-9) (1-10)

(1-11)

(1-12)

(1-13)

(1-14)

Ví dụ 1-3: Giả sử U và V là hai tập các số thực Xét quan hệ mờ mục “

tiêu x là gần với mục tiêu y” Hàm thuộc của quan hệ mờ này đợc xác định

nh sau:

} 0 , 5 /

|)

| 5 max{(

|) (| x y x y

àHàm thuộc của quan hệ này đợc diễn tả trong Hình 1-3 Chú ý rằng khoảng cách giữa hai mục tiêu x và y đợc xác định bởi |x- , y| đợc hiểu nh

là một biến phụ thuộc

Vì các quan hệ mờ là các tập mờ trong không gian Đê-các nên lý thuyết tập hợp và các phép toán số học có thể đợc định nghĩa và sử dụng đối với các quan hệ mờ này bởi việc sử dụng các phép toán hợp, giao, lấy phần bù

mà chúng ta đã định nghĩa ở các phần trớc Giả sử R(U,V) và S(U,V) viết tắt là R và S là hai quan hệ mờ trong cùng không gian tích Đê-các UxV Các phép hợp và giao của hai quan hệ này với các thành phần của nó đợc định nghĩa:

) , ( y x

S R∩

à = àR( y x , ) ∗ àS( y x , )

) , ( y x

S R∪

à = àR( y x , ) ⊕ àS( y x , )

ở đây, ∗ là các t norm và - ⊕ là các t conorm

với v“ và “u nhỏ hơn v“; và quan hệ mờ “u gần v“ hoặc “u nhỏ hơn v“ Tất cả các quan hệ này cùng không gian tích Đê-các UxV Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng U={u1, u2} = {2, 12} và V ={v1, v2, v3} = {1, 7, 13} Chúng ta sẽ tính toán giá trị độ thuộc của các thành phần trong phép hợp và giao của hai quan hệ này Hàm thuộc cho các quan hệ mờ “gần” và “nhỏ” ký

1

5

|x y| -

|) (| x y

hiệu là àc( v u , ) và às( v u , ) Các số trong àc( v u , )và às( v u , )đợc chọn để phù hợp với khái niệm sự so sánh hai số trong U và V

Giả sử dùng minimum t-norm (∧) và maximum t conorm (- ∨) cho các phép hợp và giao khi đó:

) , ( ) , ( ) , ( i j c i j s i j

s

c u v à u v à u v

ở đây, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3 Sử dụng các công thức (1-21) và (1-22), ta có:

Từ (1-23) và (1 24) chúng ta thấy rằng - “u gần v“ hoặc “u nhỏ hơn v“

phù hợp hơn nhiều so với “u gần v“ và “u nhỏ hơn v“ bởi vì giá trị độ

thuộc

) ( v u

1 0 4 0 9 0

3 2

v

≡ ) , ( v u

c à

1 6 0 0

3 2

v

≡ ) , ( v u

s à

1 6 0 9 0

3 2

1 0 4 0 0

≡

∩s( v u , )

c à

3 2

v

(1-23)

(1-24) (1-19)

(1-20)

1 .2 Quan hệ mờ và phép hợp thành trên các không gian khác nhau 3

Định nghĩa 1- 5:

Giả sử R(U,V) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các UìV và S(V,W) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các VìW có các hàm thuộc tơng ứng là ( y x , )

có hàm thuộc ( z x , )

S R

à o đợc định nghĩa:

) , ( z x

S R

à o = supy∈ V[àR(x,y)∗àS(y,z)]

ở đây toán tử supremum chính là hàm maximum và toán tử ∗ là một tnorm, chẳng hạn nh hàm minimum Nh vậy, sup star ở đây đợc hiểu nh -các sup-min và sup product tơng đơng với- các max-min và max-product

Đê-các UìV, ở đây U={u1, u2} và V={v1,v2,v3}, với các giá trị đợc cho nh sau: U={2,12}, V={1,7,13}; giá trị độ thuộc của quan hệ mờ này đợc cho bởi (1-19) Và mb một quan hệ mờ “v lớn hơn nhiều w“ trên không gian

VìW, ở đây W={w1, w2}={4.8}, giá trị độ thuộc ( w v , )

mb

à đợc cho trong (1-26) dới đây:

) , ( w v

1

6 0 0

3 2 1

2 1

v v v

w w

Phát biểu “u gần v“ và “v lớn hơn nhiều w“ thể hiện phép hợp thành

giữa hai quan hệ mờ c và mb nó là một tập mờ có hàm thuộc ( w u , )

mb c

xác định theo (1 25) và minimun- -tnorm nh sau:

) ,

à ∧ ] ∨ [ ( , 2) ( 2, j)

mb i

∨ [

) ( )

( i 3 mb 3 j

c

w v v

) ,

mb c

à o nh sau:

) , ( w u

mb c

1 0 9 0

4 0

2 1

2 1

u u

w w

Chú ý:

Trong trờng hợp V = U, khi đó hàm thuộc àR(x,y) trở thành àR(x) hoặc

àR(y), ví dụ quan hệ mờ “y là một số trung bình và y nhỏ hơn z” vì V=U,

khi đó phép hợp thành sup-star trong (1 25) trở thành:

-supy ∈ V[àR(x,y)∗àS(y,z)] = supx ∈ U[àR(x)∗ àS(x,z)]

đây chỉ là hàm của một biến đầu ra z Nh vậy, chúng ta có thể đơn giản

à o , và ta có

) (z

S R

à o = supx∈ U[àR(x)∗àS(x,z)]

1.4 Cơ bản về suy diễn mờ

Luật mờ là một thành phần chính trong hệ logic mờ Trong Logic mờ các

luật thờng đợc phát biểu dới dạng mệnh đề if “ then (nếu “ thì):

If x is A, then y is B, với x ∈ X và y ∈ Y(nếu x là A thì y là B, với x ∈ X và y ∈ Y)Mệnh đề trên là một quy tắc thể hiện mối quan hệ giữa hai tập mờ A và B, hàm thuộc của mối quan hệ này ký hiệu là ( y x , )

B A

à → , với àA→ B(x,y) [0,1]

Hàm thuộc của mối quan hệ mờ giữa hai tập mờ A và B có thể đợc xác

định theo các Công thức (1-32) – -(1 34) dới đây:

) , ( y x

B A

B A

B A

Trong logic rõ, một luật chỉ đợc đốt cháy nếu và chỉ nếu giả thiết trùng với vế trái của luật và kết quả chính là vế phải của luật Trong logic mờ, luật

đợc đốt cháy với một độ thuộc khác 0 của sự tơng tự giữa giả thiết và vế trái của luật; và kết quả là một độ thuộc khác 0 của sự tơng tự giữa kết luận

và vế phải của luật

Luật mờ dạng Modus Ponen tổng quát là một kết cấu mờ; ở đây, quan hệ

mờ thứ nhất là một tập mờ đơn thuần A* Do vậy, sử dụng (1 31), - *( y )

B

ànhận đợc từ phép hợp thành sup star nh sau:-

) (

* y

B

à = sup [ *( x ) ( x , y )]

B A A

X

x∈ à ∗à →

Để hiểu rõ hơn về (1 35), chúng ta sẽ xem xét ví dụ sau đây Trong ví dụ này, chúng ta giả sử rằng tập mờ A* là một tập mờ đơn trị (singleton), còn gọi là bộ mờ hóa đơn trị

x x x

Với bộ mờ hóa đơn trị, -(1 35) trở thành:

) (

* y

B

à = sup [ *( x ) ( x , y )]

B A A

X

x∈ à ∗à →

= sup [ ( x ' , y ), 0 ]

B A X

x∈ à → = ( x ' , y )

B A

à →Nh vậy, với bộ mờ hóa đơn trị việc tính toán supermum dễ dàng hơn, bởi

vì *( x )

A

à chỉ khác không tại một điểm duy nhất, x’

B A

à → , khi đó (1-37) trở thành

) (

A

à trong hình (b) đợc chọn một cách tùy ý với ( x ' )

A

à ∈ [0,1] Cuối cùng, chúng ta xác định đợc 1- min[ ( x ' )

Bà

−

1

y

) ( x ' A

1.5 Nguyên lý mở rộng

Công cụ để tính toán các phép hợp, giao và phần bù của một tập mờ loại hai là nguyên lý mở rộng của Zadeh (1975); Dubois và Prade (1980) Sau

đây là nguyên lý mở rộng tổng quát

Tích Đê-các của r tập rõ bất kỳ X1, X2, …, Xr , ký hiệu X1 ìX2 ì…ìXr là một tập rõ của tập tất cả các bộ r phần tử đợc đánh chỉ số (x1, x2, …, xr) với

xi ∈ Xi , i = 1 r

X = X1ìX2ì…ìXr = {(x1, x2, …, xr) | x1 ∈ X1, …, xr ∈ Xr}

Gọi f là một ánh xạ từ không gian X vào không gian Y, khi đó:

y = f(x1, x2, …, xr) ∈ YTiếp theo, giả sử A1, A2, …Ar lần lợt là các tập mờ loại một trong X1, X2,

…Xr Khi đó, nguyên lý mở rộng cho phép chúng ta ánh xạ r tập mờ loại một

A1, A2, …Ar thành một tập mờ loại một B đợc xác định trên Y qua một hàm

f nh sau, B = f(A1, A2, …Ar) với:

à à

à à

) ( 0

)}

( , ), ( ), ( min{

sup ) (

1 ) ( )

, , (

2 1

1 2 1 2 1

y if

f x x x y

f

x x

x

y

r A A

à } Nếu có nhiều hơn một bộ số (x1, …, xr) cho cùng một giá trị y = f(x1, x2, …, xr), khi đó ( y )

B

à đợc xác định là giá trị lớn nhất của các min( ( 1)

A1, A2, …Ar lần lợt xác định trên X1, X2, …Xrqua hàm f đợc định nghĩa:

(1-38)

B = f(A1, A2, …Ar) = ( 1) ( ) / ( 1, , )

1 1

r r

r

x x f x

àcho trờng hợp Xi , i =1 r là không gian rời rạc

Ví dụ nếu f(x1, x2) = x1x2/(x1+x2) khi đó:

B = f(A1, A2) =

2 1

2 1

1 ) ( ) / (

2 2

1

x x x

A X

Tập mờ trong chơng này có độ thuộc của mỗi phần tử trong không gian nền là một số thực thuộc đoạn [0, 1], do đó đợc gọi là tập mờ loại một để phân biệt với khái niệm tập mờ loại hai đợc đa ra ở chơng tiếp theo

(1-39)

(1-40)

Chơng 2 tập mờ loại hai 2.1 Giới thiệu chung

Trong Chơng một đã đề cập những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết tập

mờ Tuy nhiên, lý thuyết tập mờ thông thờng (tập mờ loại một) tiềm ẩn những mâu thuẫn nhất định Đó là để phát triển bất cứ hệ logic mờ nào, ngời thiết kế phải xây dựng hàm thuộc cho các tập mờ sử dụng trong hệ, hay là phải mô tả sự không chắc chắn bằng các hàm thuộc rõ ràng, chắc chắn Điều đó có nghĩa là việc biểu diễn sự không chắc chắn lại sử dụng các

độ thuộc mà bản thân chúng là các số thực chính xác

Năm 1975, Zadeh giới thiệu khái niệm tập mờ loại hai nhằm giải quyết vấn đề trên Đó là thay vì độ thuộc là một số thực nh với tập mờ thông thờng, với tập mờ loại hai, độ thuộc là một tập mờ loại một trên đoạn [0, 1] Tập mờ loại hai thờng đợc sử dụng trong những trờng hợp khó xác định chính xác giá trị độ thuộc của các phần tử trong không gian nền Trong chơng này sẽ đề cập đến khái niệm tập mờ loại hai, các phép toán và các tính chất trên nó

2.2 Hàm thuộc loại hai

2.2.1 Khái niệm tập mờ loại hai

Đối với tập mờ loại một, độ thuộc của các phần tử là các giá trị số thực trong khoảng [0, 1] Trong trờng hợp chúng ta không thể xác định đợc giá trị độ thuộc của các phần tử, khi đó chúng ta có sử dụng các tập mờ loại một

đề biểu diễn giá trị độ thuộc đó Mở rộng tập mờ loại một bằng cách cho phép các độ thuộc là các tập mờ loại một trong khoảng [0, 1] ta đợc khái niệm tập mờ loại hai Một trong những u điểm của tập mờ loại hai so với tập mờ loại một đó là nó cho phép biểu diễn các giá trị độ thuộc bằng các giá trị mờ, các giá trị ngôn ngữ chứ không phải là các giá trị số hoàn toàn chính xác

2.2.2 Định nghĩa tập mờ loại hai và các khái niệm

Hình 2-1 (a) biểu diễn hàm thuộc của một tập mờ loại một Dịch chuyển các điểm trên đồ thị này sang phải và sang trái một đoạn không nhất thiết bằng nhau, vết mờ đợc tạo ra nh Hình 2-1 (b) Tại một giá trị cụ thể của x gọi là x’, giá trị hàm thuộc không còn là một giá trị đơn nữa, mà là một tập

các giá trị nằm trong đoạn giao cắt của đờng x = x’ với vệt mờ Nh vậy, chúng ta có thể gán một biên độ phân tán cho mỗi điểm Thực hiện việc gán biên độ cho tất cả các điểm x ∈ X, chúng ta tạo ra một hàm thuộc ba chiều – một hàm thuộc loại hai, đặc trng cho tập mờ loại hai

thuộc loại hai ~ ( x , u )

Aà

hàm thuộc loại một, (c) FOU

thẳng đứng đậm trong hình thể hiện một giá trị ~( x , u )

A

à , tơng ứng với một cặp giá trị (x, u) xác định

Trong Định nghĩa 2 1, giới hạn các giá trị u: - ∀u ∈ Jx ⊆ [0, 1], điều này phù hợp với ràng buộc của một tập mờ loại một: 0 (x )

Aà

≤ ≤ 1 Nếu vết mờ (nh trong ví dụ Hình 2-1 (b)) biến mất thì hàm thuộc loại hai sẽ giảm thành hàm thuộc loại một Hơn nữa, việc giới hạn 0 ~( x , u )

Aà

≤ ≤ 1 cũng phù hợp ràng buộc giá trị của một hàm thuộc nằm trong khoảng [0,1]

~ x

A =

) ' (

Sử dụng (2-3), A~ có thể đợc biểu diễn lại dới dạng:

A~ = {(x, ~ ( x )

A

à ) | ∀ x∈ X} hoặc

A~ = x x

X

x A

/ ) (

x

X x

f ( ) / ] / [ ∫

∫

∈

∈

, Jx ⊆ [0,1]

cấp của x Trong (2-5), Jx là độ thuộc sơ cấp của x, ở đây Jx ⊆ [0,1] với ∀x

∈ X

thứ cấp Trong (2-5), fx(u) là một độ thuộc thứ cấp; trong (2-1), ~ ( x ,' u ' )

A

( x’ ∈ X và u’ ∈ U) là một độ thuộc thứ cấp

Nếu X và Jx là các tập rời rạc khi đó vế phải của (2 5) có thể đợc biểu diễn lại nh (2-6) dới đây:

-x u u

J f

A x X u x

x

/ ] / ) ( [

u

x i i

/ ] / ) ( [

1

∑ ∑

= ∈

= f uk xM

1

/ )]

( [ 1

là không giống nhau Tuy nhiên, nếu việc rời rạc hóa dọc theo mỗi biến uik là nh nhau thì khi đó Mi = M2 = … = MN = M

Ví dụ 2-2: Trở lại Hình 2-2, hàm thuộc thứ cấp tại x = 1 là a / 0 + b / 0.2 + c / 0.4 Các giá trị độ thuộc sơ cấp của nó tại x = 1 là u = 0, 0.2, 0.4 và các

độ thuộc thứ cấp kết hợp với chúng là a, b, c

Khi fx(u) = 1 với ∀u ∈ Jx ⊆ [0, 1] thì các hàm thuộc thứ cấp là các tập khoảng Nếu điều này là đúng với mọi x ∈ X, khi đó chúng ta gọi tập mờ loại hai này là tập mờ loại hai khoảng và chúng ta có hàm thuộc lọai 2 khoảng Tập mờ loại hai khoảng sẽ đợc trình bày chi tiết ở Chơng bốn

tại điểm trung tâm của độ thuộc sơ cấp của x và giá trị hàm thuộc thứ cấp

(2-4)

(2-5)

(2-6)

của fx(u) đạt tại trung điểm của Jx Một hàm thuộc loại hai Gaussian đợc diễn tả ở Hình 2-3

tập mờ loại hai, A~, là một miền giới hạn, đợc gọi là chân đế của độ không chắc chắn (FOU) FOU là hợp của tất cả các độ thuộc sơ cấp

Hình 2-3: (a): Một tập mờ loại hai Gaussian

(b): Hàm thuộc thứ cấp Gaussian tại x = 4

(a)

(b)

u

u

thuộc thứ cấp của một hàm thuộc loại hai Trong các ứng dụng, FOU là một

căn cứ đầu tiên để chúng ta lựa chọn các hàm thuộc loại hai phù hợp

Vùng tô đen trong Hình 2-4 (a) minh họa FOU của một tập mờ loại hai

một khoảng với hai điểm xác định với các hàm thuộc tam giác Gọi a là giá

trị trung bình của của các điểm bên trái của khoảng, b là giá trị trung bình

của các điểm bên phải của khoảng và độ lệch chuẩn của các điểm bên trái là

δa, của các điểm bên phải là δb Chúng ta định nghĩa hai khoảng không

chắc chắn tơng ứng với hai điểm a và b là [a -

δ a, a +

δ a] và [b - δb, b + δb] Gọi r là khoảng cách giữa hai điểm a và b Gọi T là trung

u 0.7

0

1

)( 1

~ x

Aà

u 0.8

0

1

)( 2

~ x

Aà

0.4 Hình 2-4 (b): Các hàm thuộc sơ cấp àA~(x1)và à~A(x2) tại hai

điểm x1 và x2 Các hàm thuộc sơ cấp này là các tập mờ khoảng

thẳng song song với trục u đi qua trung điểm T của a và b cắt với đờng

u = 1 FOU đợc xác định là hợp của tam giác ((0, a - δa), (0, a + δa),

(a+r/2,1)) và tam giác ((0, b -δb ), (0, b+δb), (b-r/2,1)) (Hình 2 5)

-Định nghĩa 2-6: Giả sử àA(x | p1, p2, …, pv) trong đó p1, p2, …, pv là các tham số, các giá trị pi biến đổi trong một miền giá trị Pi ,(pi ∈Pi)xác định một

họ hàm thuộc loại một Một hàm thuộc sơ cấp (gọi tắt là MF) đợc định nghĩa là một hàm thuộc loại một bất kỳ trong trong họ hàm thuộc loại một trên:

-Các ví dụ sau đây minh họa việc xác định một FOU từ một họ MF

Xét hàm thuộc sơ cấp Gaussian với độ lệch chuẩn δ không đổi và giá trị

trung bình m biến đổi trong khoảng [m1, m2]:

, m ∈ [m1, m2]

Tơng ứng với mỗi giá trị m chúng ta sẽ nhận đợc một đờng cong độ

thuộc khác nhau Họ các đờng cong này xác định một FOU, nh Hình -(2 6)

Ví dụ 2-6: Họ hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn

không chắc chắn

Xét hàm thuộc sơ cấp Gaussian với giá trị trung bình m không đổi và độ

lệch chuẩn δ biến đổi trong khoảng [δ 1, δ 2] :

, δ ∈ [δ1, δ2]

Tơng ứng với mỗi giá trị δ chúng ta sẽ nhận đợc một đờng cong độ

thuộc khác nhau Họ các đờng cong này xác định một FOU, nh Hình -(2 7)

(2-8)

(2-9)

1

x m1 m2

Hình 2-6: FOU của hàm thuộc sơ cấp

Gaussian với tham số giá trị trung

2.2.3 Hàm thuộc trên và hàm thuộc dới

Khái niệm FOU có thể đợc diễn tả bởi một khái niệm khác đó là hàm thuộc trên và hàm thuộc dới

thuộc loại một, là hai đờng biên FOU của một tập mờ loại hai A~ Hàm thuộc trên đợc gắn với đờng biên trên của FOU(A~) và đợc ký hiệu là

àA~(x), ∀x ∈ X Hàm thuộc dới đợc gắn với đờng biên dới của FOU( A~) và đợc ký hiệu là àA~(x), ∀x ∈ X

àA~(x) ≡ FOU (A~) ∀x ∈ X

àA~(x) ≡ FOU (A~) ∀x ∈ X Vì miền trị của một hàm thuộc thứ cấp nằm trong khoảng [0,1] nên hàm thuộc trên và hàm thuộc dới luôn luôn tồn tại

Từ (2-7), chúng ta thấy rằng FOU (A~) =  x∈X J x và FOU (A~) =  x ∈X J x, ở

đây J x và J x ký hiệu bao trên và bao dới của J x Nh vậy, àA~(x) = J x

f

)]

( ), ( [ ~ ~ ( ) / ] /

A A

u u

fà à

2.3 Tập mờ loại hai nhúng

nhúng A~ đợc định nghĩa:

e

A~ = f x x

X x

/ ] / ) ( [∫

Tập A~e đợc nhúng trong tập A~ Có vô số các tập mờ loại hai đợc nhúng trong A~ khi X và U là hai không gian liên tục.

Tại mỗi giá trị của x, hàm thuộc của A~e nhận duy nhất một giá trị độ thuộc sơ cấp θ , (θ ∈Jx) và đợc kết hợp với một độ thuộc thứ cấp fx( θ ) Hình 2-8 là một ví dụ về một tập mờ loại hai nhúng

Nh vậy, một tập mờ loại hai A~ có thể đợc hiểu là một tập hợp các tập

mờ loại hai A~e, đợc gọi là các tập mờ loại hai nhúng trong A~

Khi tính toán với tập mờ loại hai, chúng ta thờng rời rạc hóa không gian

X và U nh trong (2 6) Khi đó, sẽ có một số hữu hạn các tập mờ loại hai nhúng A~e trong A~

nhúng A~e có N phần tử là các giá trị độ thuộc sơ cấp ký hiệu là θ1, θ2, …,

θN với θi ∈J xi,(i = 1 N) và mỗi giá trị độ thuộc sơ cấp θi này đợc kết hợp với duy nhất một giá trị độ thuộc thứ cấp

) (θi

fxi, (i = 1 N)

x /

θ , θ ∈ Jx ⊆ U = [0,1]

Tập Ae là tập tất cả các độ thuộc sơ cấp của tập mờ loại hai nhúng A~e

đợc định nghĩa trong (2-14) Có vô số tập mờ loại một nhúng Ae của A~e khi hai tập X và U liên tục

Định nghĩa 2-11: Cho hai không gian rời rạc X và U, trong mỗi tập

J x1, J x2, , J xN, là N độ thuộc sơ cấp của tập mờ loại hai A~ , ta chọn duy nhất một phần tử θi (θi ∈J xi , i =1 N) ta đợc N phần tử và tạo thành một tập mờ loại một nhúng đợc xác định nh sau:

Ví dụ 2-7: Hình 2-9 thể hiện hai tập mờ loại hai nhúng của hàm thuộc

loại hai đợc diễn tả trong Hình 2-2 Tơng ứng với mỗi tập mờ loại hai nhúng đó là các tập mờ loại một nhúng: 0 / 1 + 0.4 / 2 + 0.8 / 3 + 0.8 / 4 + 0.4 / 5 (Hình 2-9 (a)) và 0.2 / 1 + 0.8 / 2 + 0.6 / 3 + 0.2 / 4 +0.2 / 5 (Hình 2-9 (b))

(2-17) (2-16)

) , (

~ x u

Aà

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

1 2 3 4 5 x

1

2.4 Các phép toán trên tập mờ loại hai

Trong phần này đề cập tới các phép toán tập hợp đối với tập mờ loại hai nói chung Các phép toán tập hợp bao gồm phép hợp, giao, phần bù

Cho hai tập mờ loại hai A~ và B~ xác định trên cùng không gian X:

2.4.1 Hợp của các tập mờ loại hai

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

~ x u

A

à

1

Hình 2-9: Một tập mờ loại hai nhúng và một tập mờ loại một nhúng

đợc gắn với hàm thuộc loại hai đợc biểu diễn trong Hình 2-2

(b)

(2-18)

(2-19)

Hợp của hai tập mờ loại hai A~ và B~ là một tập mờ loại hai đợc xác định nh sau:

A~ ∪ B~ ⇔ ~ ~( x , v )

B A

J vhx

và hàm ϕ đóng vai trò là của hàm f trong biểu thức (1-39 ) trong hơng Cmột, là một hàm t-conorm của các hàm độ thuộc thứ cấp ~ ( x )

A

à và ~ ( x )

B

à , ( ~( x )

-Theo công thức (1-39) ở Chơng một, chúng ta có thể biểu diễn lại (2-21) nh trong (2-22) dới đây:

) / ) ( ,

/ ) (

J u f u u J g

x

w x

w x

ϕ

∗

∫ ∫∈ ∈Khi ϕ là phép toán maximun ∨ , khi đó, từ (2-21) và (2-22) chúng ta có:

v x( ) /

∫∈ = ( u ) g ( w ) /( u w )

J J f x

u u w xx

w x

∨

∗

ở đây, dấu ∗ thể hiện một minimum hoặc một hàm nào đó

Một cách khác để diễn tả (2-23) theo hàm thuộc thứ cấp của A~ và B~,

Biểu thức (2-24) chỉ ra rằng, để xác định một phép tuyển giữa hai hàm thuộc thứ cấp ~( x )

A

à và ~( x )

B

à , trớc tiên, ta phải xác định tất cả các giá trị

v ≡ u ∨ w ,với mọi cặp u, w có thể (với u Ju

x

∈ và w Jw

x

∈ là các độ thuộc sơ cấp của A~ và B~ tơng ứng); tơng ứng với mỗi cặp u, w , ta xác định các độ thuộc thứ cấp của ~ ~( x )

B A

à ∪ theo phép toán t norm giữa hai độ thuộc thứ cấp của ~ ( x )

Trong trờng hợp có nhiều hơn một cặp giá trị u và w cho cùng một giá trị

u ∨ w, khi đó trong phép tuyển, chúng ta sẽ chọn giá trị độ thuộc lớn nhất

Ví dụ: Nếu hai cặp giá trị (u1, w1) và (u2, w2) có cùng giá trị u1∨ w1 = u2∨ w2

= θ , thì giá trị độ thuộc thứ cấp tơng ứng với θ đợc chọn là maximum(fx(u1)∗gx(w1), fx(u2)∗gx(w2))

2 4.2 Giao củ a các tập mờ loại hai

] 1 , 0 [

⊆

J v x

ở đây:

v v

J vhx

Từ công thức (1-39 )ở Chơng một, -26) có thể (2 đợc biểu diễn lại:

) / ) ( ,

/ ) (

J u f u u J g

x

w x

w x

v x( ) /

∫∈ = ( u ) g ( w ) /( u w )

J J f x

u u w xx

w x

∧

∗

ở đây, dấu ∗ thể hiện một minimum hoặc một hàm nào đó

Ta có thể biểu diễn (2-28) theo hàm thuộc thứ cấp của của A~ và B~, ~ ( x )

à , trớc tiên, ta phải xác định tất cả các giá trị

v ≡ u ∧ w ,với mọi cặp u, w có thể (với u Ju

x

∈ và w Jw

x

∈ là các độ thuộc sơ

cấp của A~ và B~ tơng ứng); tơng ứng với mỗi cặp u, w , ta xác định các độ

thuộc thứ cấp của ~ ~ ( x )

B A

à ∪ theo phép toán t-norm giữa hai độ thuộc thứ cấp của ~( x )

Trong trờng hợp có nhiều hơn một cặp giá trị u và w cho cùng một giá trị

u ∧ w, khi đó trong phép tuyển, chúng ta sẽ chọn giá trị độ thuộc lớn nhất

Ví dụ nếu hai cặp giá trị (u1, w1) và (u2, w2) có cùng giá trị u1 ∨ w1 = u2 ∨ w2

= θ , thì giá trị độ thuộc thứ cấp tơng ứng với θ đợc chọn là

Trong biểu thức này ~( x )

~ x

A

à = ( u ) /( 1 u )

J u fx

Aà

ơ , x∈ X

ở đây ơ ký hiệu cho phép toán phủ định Sử dụng ký hiệu ~ ( x )

Aà

ơ để thể hiện đó là phần bù của ~( x )

ơ cho ∀x

∈ X

mờ loại hai, chúng ta xem xét ví dụ sau đây Cho hai tập mờ loại hai, A~ và

B~:

A~=

x

1 0 / 7 0 0

Từ (2-29), sử dụng mini t-norm và maximum t-conorm, ta có:

∧

∧

+ 0 0.8

9.05.0

∧

∧

+ 0.1 0.4

3.07.0

∧

∧

+ 0.1 0.8

9.07.0

ơ = 0.5/(1 0) + 0.7/(1 0.1) = 0.5/1 + 0.7/0.9- -

(singleton), A~ và một tập mờ loại hai, B~ Tập mờ loại hai đơn trị, A~ là một tập mờ loại hai có hàm thuộc đợc xác định nh sau:

) , (

1 / 1

x x

x x

Tập mờ loại hai B~ đợc diễn tả bởi hàm thuộc ~( x , w )

B

) , (

( 0

/ 1

' ) ' ( 1

/ 1

~

~

x x x

x x x

/ 1

' )

' ( 1

/

x x

x x x

/ 1

] 1 , 0 [ '

)]

1 /(

)

'

x x

J and x x w

w J

w

x x

W X

(2-32)

(2-33)