luận văn thạc sĩ một số kết quả về tính bị chặn của tích phân dao động

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Xâm MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Xâm MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:TS VŨ NHẬT HUY Hà Nội - Năm 2019 z Mửc lửc M Ưu Kián thực chuân b 1.1 1.2 1.3 1.4 PhƠn hoÔch ỡn v Tẵch chêp Khæng gian c¡c h m gi£m nhanh S (Rn) Ph²p bi¸n êi Fourier 1.4.1 Ph²p bi¸n êi Fourier khæng gian c¡c h m gi£m nhanh S (Rn) 1.4.2 Bi¸n êi Fourier khæng gian L1(Rn) 13 Ănh giĂ tẵch phƠn dao ởng Stein-Wainger 14 ìợc lữủng chuân cừa toĂn tỷ tẵch phƠn dao ởng 26 Kát luên Ti liằu tham khÊo 40 40 2.1 Ănh giĂ cên dữợi cừa tẵch phƠn dao ëng 14 2.2 Ănh giĂ cên trản cừa tẵch phƠn dao ởng 22 3.1 Bê · 26 3.2 Tẵch phƠn dao ởng vợi hm pha lai a thùc 30 z luan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dong Líi c£m ìn Trữợc trẳnh by nởi dung chẵnh cừa luên vôn, tỉi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v  s¥u sưc nhĐt cừa mẳnh tợi TS Vụ Nhêt Huy, vẳ sỹ giúp ù, ch bÊo tên tẳnh, nhỳng lới ởng viản vổ ỵ nghắa cừa ThƯy suốt quĂ trẳnh tổi hon thnh luên vôn tốt nghiằp Tổi cơng xin ch¥n th nh c¡m ìn sü gióp ï cõa c¡c th¦y gi¡o, cỉ gi¡o khoa To¡n - Cì - Tin hồc, trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - Ôi hồc Quốc gia H Nởi v Khoa Sau Ôi hồc,  nhiằt tẳnh truyÃn thử kián thực v tÔo iÃu kiằn giúp ù tổi hon thnh khõa Cao hồc Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn án gia ẳnh, bÔn b  luổn ởng viản, khuyán khẵch, giúp ù tổi rĐt nhiÃu suốt thới gian nghiản cựu v hồc têp Mc dũ  cố gưng rĐt nhiÃu v nghiảm túc quĂ trẳnh nghiản cựu mợi lm quen vợi cổng tĂc nghiản cựu khoa hồc v cỏn hÔn chá và thới gian thỹc hiằn nản luên vôn khổng th trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt TĂc giÊ kẵnh mong nhên ữủc ỵ kián õng gõp cừa cĂc thƯy cổ v cĂc bÔn  luên vôn ữủc hon thiằn hỡn H Nởi, nôm 2019 Nguyạn Th XƠm luan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dong z luan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dong M Ưu Tẵch phƠn dao ởng  thu hót nhi·u sü quan t¥m cõa c¡c nh  To¡n hồc v cĂc nh Vêt lỵ tứ xuĐt hiằn cỉng tr¼nh Th²orie Analytique de la Chaleur cõa Joseph Fourier vo nôm 1822 NhiÃu bi toĂn Lỵ thuyát phữỡng trẳnh Ôo hm riảng, hẳnh hồc Ôi số, lỵ thuyát xĂc suĐt, lỵ thuyát số; cĂc bi toĂn và quang hồc, ¥m håc, cì håc l÷đng tû, ·u câ thº ữa và viằc nghiản cựu cĂc tẵch phƠn dao ởng Tẵch phƠn dao ởng  v ang ữủc sỷ dửng nhi·u ùng dưng kh¡c v  thu hót ÷đc nhiÃu sỹ quan tƠm tứ cĂc nh nghiản cựu [3-6] NhiÃu nh nghiản cựu  rĐt nộ lỹc  ữợc tẵnh trỹc tiáp giĂ tr tẵch phƠn dao ởng v tốc ở suy giÊm cừa chuân cừa Tẵch phƠn dao ëng Fourier (xem [3, 5, 6] ) Ngo i ph¦n mð Ưu, kát luên v ti liằu tham khÊo, luên vôn ữủc chia lm ba chữỡng: Chữỡng 1: Kián thực chuân b Chữỡng ny luên vôn trẳnh by cĂc khĂi niằm, tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa phƠn hoÔch ỡn v, tẵch chêp v mởt số nh lẵ quan trồng cừa php bián ời Fourier trản khổng gian cĂc hm giÊm nhanh S (Rn ) v  L1 (Rn ) Ch÷ìng 2: ¡nh giĂ tẵch phƠn dao ởng Stein-Wainger Chữỡng ny trẳnh by và viằc Ănh giĂ cên trản v cên dữợi cừa tẵch phƠn dao ởng ký d Z eiP (x) I() = R dx , x v ữợc lữủng cĂc cên trản v cên dữợi ny thổng qua bêc cừa a thùc P (x) Nëi dung ch÷ìng n y ÷đc tham kh£o [4] Chữỡng 3: Ănh giĂ chuân cừa toĂn tỷ dao ởng Trong chữỡng ny, s tẳm hiu tẵch phƠn dao ởng Fourier dÔng: Z (T )(x) = eiλS(x,y) ψ(x, y)φ(y)dy, R â S(x, y) l  mët h m pha nhªn gi¡ trà thüc, ψ(x, y) l  h m khÊ vi vổ hÔn cõ giĂ compact v l mët tham sè Nëi dung ch÷ìng n y ÷đc tham kh£o [3] luan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dong z luan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dong Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny, luên vôn trẳnh by cĂc khĂi niằm, tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa phƠn hoÔch ỡn v, tẵch chêp v php bián ời Fourier Nởi dung chữỡng ny ữủc tham khÊo chẵnh cĂc ti liằu [1], [2] 1.1 PhƠn hoÔch ỡn v nh nghắa 1.1 Cho Ω l  mët tªp hđp Rn Mët hå ám ữủc cĂc cp {(j , j )}j=1, õ Ωj l  tªp mð Rn, ϕj l  h m thuëc lợp cĂc hm khÊ vi vổ hÔn trản Rn, ữủc gồi l mởt phƠn hoÔch ỡn v cừa têp náu cĂc tẵch chĐt sau ữủc thọa mÂn:
{Ωj }∞ j=1 l  mët phõ mð cõa Ω, Ω ⊂ Uj=1 Ωj , ≤ ϕj (x) ≤ 1, x ∈ Ω, j = 1, 2, , P∞ ϕj ∈ C0∞ (Rn ), supp ϕj ⊂ Ωj , j = 1, 2, , j=1 ϕj (x) = 1, x ∈ Ω ∞ Ta cán gåi {ϕj }j=1 l  ph¥n hoÔch ỡn v ựng vợi phừ m {j }j=1 cừa têp Ta cõ nh lỵ sau và phƠn hoÔch ỡn v nh lỵ 1.1 Cho K l mởt têp compact Rn, hồ hỳu hÔn {Uj }Nj=1 l mởt phừ m cừa K Khi õ, tỗn tÔi mởt hồ hỳu hÔn cừa hm khÊ vi vổ hÔn {j }Nj=1 xĂc nh mởt phƠn hoÔch ỡn v ựng vợi phừ m {Uj }Nj=1 cừa têp K Trữợc chựng minh nh lỵ ta xt hm : Rn R l  h m ÷đc x¡c ành nh÷ sau: ( ρ(x) := kxk −1 , Ce 0, n¸u kxk < náu kxk õ, C l hơng sè cho Z ρ(x)dx = Rn luan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dong z luan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dong Hm cõ cĂc tẵnh chĐt : C0∞ (Rn ), suppρ  = B[0, 1] = x ∈ R n Z kxk ≤ , ρ(x) ≥ 0, ρ(x)dx = 1, Rn v  ρ l  h m ch¿ phư thc v o kxk Vỵi méi  > 0, ta x²t h m ρ nh÷ sau x ρ(x) = −n ρ  H m ρ cơng câ c¡c t½nh ch§t cõa h m ρ, cư thº l  ρ ∈ C0∞ (Rn ), suppρ  = B[0, ] = x ∈ R n luan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dong Cho h m ϕ ∈ S (Rn ), â lim xα Dβ ϕ (x) = kxk→∞ ∀α, β ∈ Zn+ V½ dư 1.1 Khỉng gian C0∞(Rn) l  khæng gian cõa khæng gian c¡c h m gi£m nhanh S (Rn) V½ dư 1.2 Cho h m sè ϕ (x) = e−kxk , x ∈ Rn Khi â ϕ l  h m sè thuëc khæng gian c¡c h m gi£m nhanh S (Rn) 1.4 Ph²p bi¸n êi Fourier 1.4.1 Ph²p bi¸n êi Fourier khỉng gian c¡c h m gi£m nhanh S (Rn ) ành ngh¾a 1.3 Cho h m f ∈ S (Rn) Bi¸n êi Fourier cõa h m f kỵ hiằu l fb() hay F (f ) (), l h m ÷đc x¡c ành bði F (f ) (ξ) = fb(ξ) = (2π)−n/2 Z e−ihx,ξi f (x) dx Rn â x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, ξ = (ξ1, ξ2, , ξn) ∈ Rn ành ngh¾a 1.4 Bián ời Fourier ngữủc cừa hm f S (Rn) l  h m ÷đc x¡c ành bði F −1 ∨ −n/2 Z eihx,ξi f (ξ) dξ (f ) (x) = f (x) = (2π) Rn â x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, ξ = (ξ1, ξ2, , ξn) Rn Tứ nh nghắa trản ta dng suy ra: Bián ời Fourier (v ngữủc cừa nõ) l tuyán tẵnh, nghắa l: F[1 f1 + f2 ] = λ1 F[f1 ] + λ2 F[f2 ] v  F −1 [λ1 f1 + λ2 f2 ] = λ1 F −1 [f1 ] + λ2 F −1 [f2 ] B¥y gií ta xt cĂc tẵnh chĐt cừa bián ời Fourier, bián êi Fourier ng÷đc cõa h m thc khỉng gian c¡c h m gi£m nhanh S (Rn ) luan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dong z luan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dong ành lỵ 1.2 Cho hm S (Rn) Khi õ Fϕ, F −1ϕ ∈ S (Rn) v  • Dα Fϕ (ξ) = (−i)|α| F (xα ϕ (x)) (ξ) , Dα F −1 ϕ (ξ) = i|α| F −1 (xα ϕ (x)) (ξ) • ξ α Fϕ (ξ) = (−i)|α| F (Dα ϕ (x)) (ξ) , ξ α F −1 ϕ (ξ) = i|α| F −1 (Dα ϕ (x)) (ξ) Chựng minh Theo nh nghắa php bián ời Fourier cõa h m ϕ thuëc khæng gian c¡c h m gi£m nhanh S (Rn ) câ (Fϕ) (ξ) = (2π) −n/2 Z (1.1) eihx,i (x) dx Rn p dửng nh lỵ và tẵnh khÊ vi cĂc tẵch phƠn phử thuởc tham số, ta cõ Ôo hm D (F) () vợi mồi α ∈ Zn+ v  Dξα (Fϕ) (ξ) = Dξα  (2π) −n/2 Z −ihx,ξi e  ϕ (x) dx Rn −n/2 Z (1.2) (−ix)α e−ihx,ξi ϕ (x) dx = (2π) Rn |α| −n/2 |α| α Z e−ihx,ξi xα ϕ (x)dx = (−i) (2π) Rn = (−i) F (x ϕ (x)) () tẵch phƠn Z eihx,i x (x) dx ∀ϕ ∈ S (Rn ) , ∀ϕ ∈ S (Rn ) Rn hëi tö tuy»t èi v  ·u theo ξ Rn v  måi α ∈ Zn+ V¼ −ihx,ξi α x ϕ (x) ≤ |x|α |ϕ (x)| ∀ϕ ∈ S (Rn ) e Do h m ϕ ∈ S (Rn ) n¶n Z |x|α |ϕ (x)| dx ∀α ∈ Zn+ Rn hëi tö tuy»t èi v  ·u theo ξ Rn Do õ, tỗn tÔi Ôo hm D (F) (), dăn án F C (Rn ) Vẳ thá mội Rn , , Zn+ , câ   lim ξ β Dxγ e−ihx,ξi ϕ (x) = kxk→∞ ∀ϕ ∈ S (Rn ) Sỷ dửng php tẵnh tẵch phƠn tứng phƯn || lƯn cho (1.2), ta ữủc Z D (F) () = ξ −β (2π)−n/2 e−ihx,ξi (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx Rn 10 luan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dong z
luan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dongluan.van.thac.si.mot.so.ket.qua.ve.tinh.bi.chan.cua.tich.phan.dao.dong Nhữ vêy, vợi mội α, β ∈ Zn+ , câ ξ β Dξα (Fϕ) (ξ) = (2π) −n/2 Z (1.3) e−ihx,ξi (−iDx )β (−ix)α (x) dx,
Rn nhên thĐy rơng Z eihx,i (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx
Rn
≤ sup Dxβ (−x)α ϕ (x) (1 + kxk)n+1 Z x∈Rn dx Rn (1 + kxk)n+1 (1.4) K¸t hđp (1.3) v (1.4), ta nhên ữủc sup