Chuyen de dao ham toan 11 le minh tam

Số e Đạo hàm của đồ thị hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm Tiếp tuyến có phương trình:  Nếu hàm số biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian thì biểu

Đạo hàm

 Tính đạo hàm bằng định nghĩa: Để tính đạo hàm của hàm số y  f x   tại x 0  a b; , ta thực hiện theo các bước sau:

 Bước 2 Lập và rút gọn tỉ số     0

Cho hàm số xác định trên khoảng và

 Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của tại điểm , tức là:

Trong định nghĩa & quy tắc trên đây, thay bởi ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số tại điểm

Chú ý ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị   C của hàm số y  f x   và điểm M x y  0; 0    C Xét M x f x  ;    là một diểm di chuyển trên   C Đường thẳng MM 0 là một cát tuyến của   C

Hệ số góc của cát tuyến MM 0 được tính bởi công thức    

 Khi cho x dần tới x 0 thì M di chuyển trên   C tới M 0

Giả sử cát tuyến MM 0 có vị trí giới hạn là M T 0 thì M T 0 được gọi là tiếp tuyến của   C tại

M 0 và M 0 được gọi là tiếp điểm

Cho hàm số và điểm

⑴ Vẽ đồ thị và tính

⑵ Vẽ đường thẳng qua có hệ số góc Nhận xét về vị trí tương đối giữa và

Số e

Đạo hàm của đồ thị hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm

Tiếp tuyến có phương trình:

 Nếu hàm số biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian thì biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm

 Nếu hàm số biểu thị nhiệt độ theo thời gian thì biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm

Người ta còn biết rằng là số vô tỉ và (Số thập phân vô hạn không tuần hoàn)

 D ạ ng 1 Tính đạo hàm tại 1 điểm bằng định nghĩa

 Để tính đạo hàm của hàm số tại , ta thực hiện theo các bước sau:

 Bước 2 Lập và rút gọn tỉ số với và

 Hàm số có đạo hàm tại điểm

 Hàm số có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó

Tính đạo hàm bằng định nghĩa tại một điểm của các hàm số sau:

Tìm để hàm số có đạo hàm tại

 D ạ ng 2 Tính đạo hàm tại 1 điểm bất kỳ trên (a;b) bằng định nghĩa

Tính đạo hàm bằng định nghĩa của các hàm số sau:

 D ạ ng 3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Ý nghĩa hình học: (Phương trình tiế p tuy ế n)

Cho hàm số có đồ thị ,

Phương trình tiếp tuyến tại có dạng:

Trong đó: hoành độ tiếp điểm tung độ tiếp điểm hệ số góc tiếp tuyến

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

 Bước 3 Hoàn thiện phương trình tiếp tuyến cần tìm

Viết phương trình tiếp tuyến của

⑴ Đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

⑵ Đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

⑶ Đồ thị hàm số tại điểm có tung độ

 D ạ ng 4 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

 Ý nghĩa vật lý: (quãn g đườ ng, nhi ệt độ, điện lượ ng)

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là (t được tính bằng giây, s được tính bằng mét)

⑴ Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

⑵ Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm

Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số

(t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb) Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm

 D ạ ng 5 Tìm tham số để hàm số có đạo hàm tại x 0

 Cho hàm số hoặc Tìm tham số m để hàm số có đạo hàm tại

 Bước 2 Hàm số liên tục tại

 Bước 4 Hàm số có đạo hàm tại

Cho hàm số Tìm để hàm số có đạo hàm tại

Cho hàm số Tìm , thì hàm số có đạo hàm tại ?

Câu 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ:

Câu 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm (nếu có):

Câu 3 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ (nếu có):

Câu 5 Tìm tham số để hàm số có đạo hàm tại x 0

 có đạo hàm tại điểm x1

 có đạo hàm tại điểm x1.

Câu 6 Cho hàm số y x 2 2x4 có đồ thị   C

⑴ Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của   C tại điểm có hoành độ x 0 1 thuộc   C

⑵ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có x 0 0 thuộc   C

⑶ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có y 0  1 thuộc   C

⑷ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến bằng 4

⑸ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y 1 3x.

⑴ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của   C với trục Oy

⑵ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của   C với trục Ox

⑶ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của   C với đường thẳng y x 1.

⑷ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

⑸ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y 1 3x

Câu 8 Cho hàm số y x  3 2x1 có đồ thị   C

⑴ Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số trên tại điểm có x0.

⑵ Viết phương trình tiếp tuyến của hầm số biết nó có k 2.

⑶ Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số trên, biết nó tạo với hai trục Oxy một tam giác vuông cân tại O

Câu 9 Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình s  2 t 2   t 1   m

⑴ Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t2s

⑵ Tìm vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ t0tới t2s

Câu 10 Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s s t    trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét Thực hiện các yêu cầu dưới đây:

⑴ Với s s t      t 3 3 t 2 thì vận tốc của vật tại thời điểm t3s là bao nhiêu?

⑵ Với s s t      t 2 7 t thì vận tốc của vật tại thời điểm t4s là bao nhiêu?

⑶ Với   1 3 12 2 s s t  2t  t thì vận tốc của vật tại thời điểm t10s là bao nhiêu?

⑷ Với s s t      t 3  6 t 2  4 thì vận tốc của vật tại thời điểm t3s là bao nhiêu?

⑸ Với s s t     2 t 3   t 10 thì vận tốc của vật tại thời điểm t3s là bao nhiêu?

⑹ Với s s t     3 t 3  4 t 2  t thì vận tốc của vật tại thời điểm t4s là bao nhiêu?

⑺ Với s s t     2 t 2   3 t 7 thì vận tốc của vật tại thời điểm t6s là bao nhiêu?

  thì vận tốc của vật tại thời điểm t2s là bao nhiêu?

⑼ Với s s t     1 2  t 4  3 t 2  thì vận tốc của vật tại thời điểm t4s là bao nhiêu?

⑽ Với s s t      t 3 3 t 2  9 t thì vận tốc của vật tại thời điểm t5s là bao nhiêu?

Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t^2, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét Thời gian cần thiết để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là một yếu tố quan trọng trong phân tích chuyển động.

⑴ Với s t    10   t 9 t 2  t 3 trong khoảng 10 giây đầu tiên

⑵ Với s   t   t 3  9 t 2   t 10 trong 12 giây đầu tiên

⑶ Với s t      t 3 6 t 2 trong 10 giây đầu tiên

⑷ Với   1 3 6 2 s t  2t  t trong 10 giây đầu tiên

⑸ Với   1 3 9 2 s t  2t  t trong 10 giây đầu tiên

⑹ Với   1 3 6 2 s t  3t  t trong 9 giây đầu tiên

⑺ Với   2 1 3 s t  t 6t trong 5 giây đầu tiên

Câu 12 Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s s t    trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét

⑴ Với s s t     2 t 4  6 t 2   3 t 1 thì gia tốc của vật tại thời điểm t3s là bao nhiêu?

⑸ Với s s t      t 3 3 t 2   5 t 2 thì gia tốc của vật tại giây thứ 3 là bao nhiêu?

⑹ Với s s t      t 3 3 t 2   3 t 10 thì gia tốc của vật tại thời điểm vật dừng lại là bao nhiêu?

⑻ Với   2 3 2 2 4 s s t 3t  t  t thì gia tốc của vật tại thời điểm t2s là bao nhiêu?

Câu 13 Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s s t    trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét Hỏi:

⑴ Gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu với s s t      t 3 3 t 2  9 t là bao nhiêu?

⑵ Gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu với s s t      t 3 3 t 2   9 t 27 là bao nhiêu?

⑶ Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu với s s t       t 3 3 t 2  9 t là bao nhiêu?

⑷ Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu với s s t      t 3 3 t 2 là bao nhiêu?

⑸ Vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng không với s s t     2 t 3  3 t 2  4 t , là bao nhiêu?

⑹ Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu với   1 3 3 2 36 s s t 3t  t  t là bao nhiêu?

⑺ Gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu với s s t       t 3 3 t 2   9 t 2020 là bao nhiêu?

⑻ Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu với s s t     2 t 3  3 t 2  4 t là bao nhiêu?

⑼ Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu với s  s t    t t  2    3 t 9  2024 là bao nhiêu?

⑽ Vận tốc tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất trong 20 giây đầu tiên với

3 Đạo hàm hàm số lượng giác

⑴ Hàm số ysinx có đạo hàm trên và  sin x    cos x

⑵ Hàm số ycosx có đạo hàm trên và  cos x     sin x

⑶ Hàm số ytanx có đạo hàm tại mọi x 2 k và   2 tan 1 x cos

⑷ Hàm số ycotx có đạo hàm tại mọi x k và   2 cot 1 x sin

4 Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

⑴ Hàm số ye x có đạo hàm trên   e x   e x

Hàm số có đạo hàm trên và

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM

5 Các quy tắc tính đạo hàm

6 Đạo hàm của hàm hợp

6.1 Khái niệm hàm số hợp

6.2 Đạo hàm của hàm số hợp

Giả sử các hàm số có đạo hàm trên khoảng

Giả sử có một hàm số xác định trên một khoảng nhất định, với tập giá trị bao gồm một khoảng khác Nếu hàm số này được xác định trên một miền cụ thể, thì nó được gọi là hàm số hợp của hàm số ban đầu với hàm số đã cho.

Nếu hàm số có đạo hàm tại và hàm số có đạo hàm tại thì hàm số hợp có đạo hàm tại là

Từ đó ta có các kết quả sau:

 Ý nghĩa cơ họ c c ủa đạ o hàm c ấ p hai

Một chuyển động có phương trình s  f t   thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số

Cho hàm số có đạo hàm tại mọi điểm

Nếu hàm số lại có đạo hàm tại thì ta gọi đạo hàm của là đạo hàm cấp hai của hàm số tại , kí hiệu là hoặc

 D ạ ng 1 Tính đạo hàm đa thức – hữu tỉ – căn thức

 Áp dụng quy tắc đạo hàm:

 Áp dụng công thức đạo hàm:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

 D ạ ng 2 Tính đạo hàm lượng giác

 D ạ ng 3 Tính đạo hàm mũ – logarit

Câu 14 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

⑸ ycos 2 3x ⑹ sin cos sin cos x x y x x

Câu 18 Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:

Câu 19 Tính đạo hàm cấp 3 tại các điểm được chỉ ra dưới đây

⑴ Cho hàm số y 3x 3 3x 2  x 5 Tính giá trị của y   3  2017 

⑷ Cho hàm số ycos 2 x Tính giá trị của   3 y  3

⑴ Với hàm số y 2x x 2 ta có y y 3   1 0

⑵ Với hàm số y x x 2 1 ta có  y x   3 y    1 0

⑶ Với hàm số y x sinx ta có xy   2  y   sin x   xy  0

⑸ Với hàm số ycot2x ta có y 2y 2  2 0.

⑽ Với hàm số y 1x 2 ta có y y 2 xy y 0

Câu 21 Cho f x    x 4  4 x 2  3 và g x     3 10 x  7 x 2 Giải phương trình f      x  g x   0

Câu 22 Cho hàm số f x    x 3  3 x 2  4 x  6 Giải bất phương trình f    x  f x     1

Câu 23 Cho hàm số y x 3 3x 2 4x6 Giải bất phương trình y 0

Câu 24 Cho hàm số y  f x     5 x  1  3  4  x  1  Giải phương trình f    x  0

Câu 25 Cho hàm số   2 cos 3 y f x   x 

  Tìm các nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình f   4   x   8

2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 3

3 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm 4

Bài tập  Dạng 1 Tính đạo hàm tại 1 điểm bằng định nghĩa

 Dạng 1 Tính đạo hàm tại 1 điểm bằng định nghĩa 5

 Dạng 2 Tính đạo hàm tại 1 điểm bất kỳ trên (a;b) bằng định nghĩa 8

 Dạng 3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 10

 Dạng 4 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm 12

 Dạng 5 Tìm tham số để hàm số có đạo hàm tại x 0 13

Luyện tập  Bài 02 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A Lý thuyết 1 Đạo hàm hàm số y  x n

Đạo hàm hàm số lượng giác

Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

Đạo hàm của hàm hợp

Giả sử có một hàm số xác định trên một khoảng nhất định, với tập giá trị nằm trong khoảng đó Nếu hàm số này được xác định trên một khoảng khác, thì nó được gọi là hàm số hợp của hai hàm số.

Đạo hàm cấp hai

2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 3

3 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm 4

Bài tập  Dạng 1 Tính đạo hàm đa thức – hữu tỉ – căn thức

 Dạng 1 Tính đạo hàm tại 1 điểm bằng định nghĩa 5

 Dạng 2 Tính đạo hàm tại 1 điểm bất kỳ trên (a;b) bằng định nghĩa 8

 Dạng 3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 10

 Dạng 4 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm 12

 Dạng 5 Tìm tham số để hàm số có đạo hàm tại x 0 13

 Bài 02 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

3 Đạo hàm hàm số lượng giác 39

4 Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit 39

5 Các quy tắc tính đạo hàm 40

6 Đạo hàm của hàm hợp 40

 Dạng 1 Tính đạo hàm đa thức – hữu tỉ – căn thức 42

 Dạng 2 Tính đạo hàm lượng giác 44

 Dạng 3 Tính đạo hàm mũ – logarit 46

 Tính đạo hàm bằng định nghĩa: Để tính đạo hàm của hàm số y  f x   tại x 0  a b; , ta thực hiện theo các bước sau:

 Bước 2 Lập và rút gọn tỉ số     0

Cho hàm số xác định trên khoảng và

 Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của tại điểm , tức là:

Trong định nghĩa & quy tắc trên đây, thay bởi ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính

Chú ý ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM

2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

⑴ Vẽ đồ thị   C và tính f    1

⑵ Vẽ đường thẳng d qua M có hệ số góc f    1 Nhận xét về vị trí tương đối giữa d và   C Đường thẳng d cắt   C tại hai điểm O   0 0 ; và M   2 4 ;

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị   C của hàm số y  f x   và điểm M x y  0; 0    C Xét M x f x  ;    là một diểm di chuyển trên   C Đường thẳng MM 0 là một cát tuyến của   C

Hệ số góc của cát tuyến MM 0 được tính bởi công thức    

 Khi cho x dần tới x 0 thì M di chuyển trên   C tới M 0

Cho hàm số và điểm

⑴ Vẽ đồ thị và tính

⑵ Vẽ đường thẳng qua có hệ số góc Nhận xét về vị trí tương đối giữa và

Giả sử cát tuyến MM 0 có vị trí giới hạn là M T 0 thì M T 0 được gọi là tiếp tuyến của   C tại

M 0 và M 0 được gọi là tiếp điểm

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến M T 0 là 0        

3 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

4 Số e Đạo hàm của đồ thị hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm

Tiếp tuyến có phương trình:

Người ta còn biết rằng là số vô tỉ và (Số thập phân vô hạn không tuần hoàn)

 D ạ ng 1 Tính đạo hàm tại 1 điểm bằng định nghĩa

 Hàm số có đạo hàm tại điểm

Tính đạo hàm bằng định nghĩa tại một điểm của các hàm số sau:

 Lời giải Để hàm số có đạo hàm tại x  1 thì trước hết f   x phải liên tục tại x  1

Vậy a2 là giá trị cần tìm

Tìm để hàm số có đạo hàm tại

 D ạ ng 2 Tính đạo hàm tại 1 điểm bất kỳ trên (a;b) bằng định nghĩa

Tính đạo hàm bằng định nghĩa của các hàm số sau:

 D ạ ng 3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

⑴ Đồ thị hàm số y x 2 2x4   C tại điểm có hoành độ x 0 0

 Ý nghĩa hình học: (Phương trình tiế p tuy ế n)

Cho hàm số có đồ thị ,

Phương trình tiếp tuyến tại có dạng:

Trong đó: hoành độ tiếp điểm tung độ tiếp điểm hệ số góc tiếp tuyến

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

 Bước 3 Hoàn thiện phương trình tiếp tuyến cần tìm

Viết phương trình tiếp tuyến của

⑴ Đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

⑵ Đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

⑶ Đồ thị hàm số tại điểm có tung độ

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  y    0 x   0    y 0   y 2 x  4

⑵ Đồ thị hàm số y x 3 1   C tại điểm có hoành độ x 0 1

Hệ số góc của tiếp tuyến của   C tại điểm có hoành độ x 0 1 là k  y    1  3

Tung độ tiếp điểm tại điểm có hoành độ x 0 1 là y x   0 2

⑶ Đồ thị hàm số y2x 2 3   C tại điểm có tung độ y 0  1

Hệ số góc của tiếp tuyến của   C tại điểm có hoành độ x 0 1 là k  y    1  4

Hệ số góc của tiếp tuyến của   C tại điểm có hoành độ x 0  1 là k  y       1 4

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  y     1 x   1    y      1 y 4 x 5

 D ạ ng 4 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

⑴ Tính đạo hàm của hàm số f t   tại điểm t 0.

⑵ Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t5

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t5: f    5  2 5 4   14   m s

 Ý nghĩa vật lý: ( quãng đườ ng, nhi ệt độ, điện lượ ng)

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là (t được tính bằng giây, s được tính bằng mét)

⑴ Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

⑵ Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm

Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số

(t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb) Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm

 D ạ ng 5 Tìm tham số để hàm số có đạo hàm tại x 0

Hàm số có đạo hàm tại x0 f x   liên tục tại x0 lim x  0  2 x 2   x a   f   0   a 0

       Hàm số liên tục tại x1 nên 1 a b  2 Đạo hàm phải f   1 lim x 1  f x     x 1 f 1 lim x 1  ax b x  a 1 1 b  lim x 1  a x  x 1 1  lim x 1  a a

Hàm số có đạo hàm tại x1 f      1   f  1    a 1

 Cho hàm số hoặc Tìm tham số m để hàm số có đạo hàm tại

 Bước 2 Hàm số liên tục tại

 Bước 4 Hàm số có đạo hàm tại

Cho hàm số Tìm để hàm số có đạo hàm tại

Cho hàm số Tìm , thì hàm số có đạo hàm tại ?

Câu 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ:

Ta có f    2  lim x  2 f x     x   2 f 2  lim x  2 2 x x 3   2 16  lim x  2 2  x 2  2 x  4   24

Câu 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm (nếu có):

  Tính f    3 Đạo hàm phải f   3 lim x 3  f x     x 3 f 3 lim x 3  2 x 3 x  2 3 3 3  lim x 3  2 2

  Đạo hàm trái f   3 lim x 3  f x     x 3 f 3 lim x 3  x 2 x  2 3 3 3  lim x 3   x 3  6

Suy ra f      3   f  3  Hàm số không tồn tại đạo hàm tại x3

 Tính f    0 Đạo hàm phải f   0 lim x 0  f x     x 0 f 0 lim x 0  x 2 x 1 1 lim x 0    x 0

 Đạo hàm trái f   0 lim x 0  f x     x 0 f 0 lim x 0  1 2 x x 1 lim x 0    2 2

    Đạo hàm phải f    0   lim x  0  f x     x   0 f 0  lim x  0  x x  0  1 Đạo hàm trái f   0 lim x 0  f x     x 0 f 0 lim x 0  x x 0 1

    Đạo hàm phải f    0   lim x  0  f x     x   0 f 0  lim x  0  2 x x  0  lim x  0  2 x x  2 Đạo hàm trái f    0   lim x  0  f x     x   0 f 0  lim x  0  0 0 x   lim x  0  0 x  0

     Đạo hàm phải f   1 lim x 1  f x     x 1 f 1 lim x 1  3 x x 1 2 1 lim x 1  3  x x 1 1  3

  f x      f 1    Đạo hàm phải f   1 lim x 1  f x     x 1 f 1 lim x 1  3 x x 1 2 1 lim x 1  3  x x 1 1  3

   Đạo hàm trái f    1   lim x  1  f x     x   1 f 1  lim x  1  x x   1 2  1  lim x  1  x x   1 1  1

     Đạo hàm phải f   0 lim x 0  f x     x 0 f 0 lim x 0  x 2023 x  2023  lim x 0  x x 1

 Đạo hàm trái f   0 lim x 0  f x     x 0 f 0 lim x 0  2023 x x  2023  lim x 0  x x 1

      Đạo hàm phải f   0 lim x 0  f x     x f 0 lim x 0  x 2 x 2 x lim x 0   x 2  2

      Đạo hàm trái f   0 lim x 0  f x     x f 0 lim x 0   x 2 x 2 x  lim x 0    x 2   2

  Đạo hàm trái f   0 lim x 0  f x     x 0 f 0 lim x 0  x x 1 x 0 lim x 0  x 1 1 1

 Hàm số liên tục tại x1

 Hàm số không liên tục tại x1 nên hàm số không có đạo hàm tại điểm x1

1 lim lim lim lim lim x x x x x f x x x x x f x x x x

 Hàm số liên tục tại x3

 Đạo hàm của hàm số tại x 0 3:       2

 Hàm số liên tục tại x1 Đạo hàm trái f   1 lim x 1  f x     x 1 f 1 lim x 1  x x 2 1 1 lim x 1   x 1  1 1 2

   Hàm số liên tục tại x1

Hàm số không liên tục tại x0

Thừa nhận kết quả bên trên, ta được      

Câu 5 Tìm tham số để hàm số có đạo hàm tại x 0

⑵ Tìm a b ; để hàm số   2 1 khi 0

 có đạo hàm tại điểm x0

Hàm số có đạo hàm tại x1 f x   liên tục tại x1 lim x  1 f x      f 1   a 2

⑵ Tìm a b; để hàm số   2 1 khi 0

 có đạo hàm tại điểm x0

1 1 lim lim lim lim x x x x f f x ax bx f x ax b b

Hàm số liên tục tại x0 nên      b 1 1 b 2 Đạo hàm phải f   0 lim x 0  f x     x f 0 lim x 0  ax 2 2 x x 1 1 lim x 0   ax 2  2

       Đạo hàm trái f   0 lim x 0  f x     x f 0 lim x 0  ax x 1 1 lim x 0    a a

Hàm số có đạo hàm tại x0 f      0   f  0     a 2

Vậy với a 2,b 2 thì hàm số có đạo hàm tại x0

1 1 1 lim lim 1 lim lim lim x x x x x f f x x x x f x ax b b

Hàm số liên tục tại x0 nên      

0 1 lim lim lim lim x x x x f x f xx x x f  x  x  x x 

  Đạo hàm trái f    0   lim x  0  f x     x   0 f 0  lim x  0  ax b b   x  lim x  0  ax   x 1 1  lim x  0  ax x  lim x  0  a a 

Hàm số có đạo hàm tại điểm x0  f      0   f  0    a 1.

Vậy với a1;b1 thì hàm số có đạo hàm tại x0

 có đạo hàm tại điểm x1.

3 2 1 lim lim lim lim x x x x f a f x ax x a f x x bx b

Hàm số liên tục tại x1 nên      

1 1 lim lim lim x x x f x f ax x a f ax a a x x

Hàm số có đạo hàm tại điểm x1  f      1   f  1   2 a      2 a 3 a 1

Vậy với a 1;b3 thì hàm số có đạo hàm tại x1

Câu 6 Cho hàm số y x 2 2x4 có đồ thị   C

⑷ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến bằng 4

 Tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Hệ số góc của tiếp tuyến của   C tại điểm có hoành độ x 0 1 thuộc   C là k  y    1  4

 Phương trình tiếp tuyến là y  y    1 x   1    y 1   y 4 x  5

 Phương trình tiếp tuyến là y  y     3 x   3    y      3 y 4 x 13

⑷ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 4

Gọi M x y  0; 0  là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị   C với hệ số góc k 4

Phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k 4là y   4  x      3  1 y 4 x 13

Vì tiếp tuyến song song với đưởng thẳng y 1 3xnên tiếp tuyến có hệ số góc k 3 Gọi M x y  0; 0  là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị   C với hệ số góc k 4

Phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k 3là 3 5 11 3 41

⑶ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của   C với đường thẳng y x 1.

⑷ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

⑸ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y 1 3x

 Tính đạo hàm bằng định nghĩa:

 Tính đạo hàm bằng công thức:

Vì   C không cắt Oy nên không tồn tại tiếp tuyến thỏa YCBT

Tọa độ giao điểm của  C với trục Ox là   1 0 ; 

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là   1 1  0 1 1

⑶ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của   C với đường thẳng y x 1

Tọa độ giao điểm của  C với y x   1 là nghiệm của

Phương trình tiếp tuyến là 1 1 4 3 7

⑷ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 k 3

Gọi M x y  0; 0  là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị   C với hệ số góc 1 k 3

 Phương trình tiếp tuyến là 1   1 2 1 1

  Phương trình tiếp tuyến là 1  1  1 1

⑸ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đưởng thẳng

Tiếp tuyến đó vuông góc với đưởng thẳng y3x4

Tiếp tuyến hệ số góc 1 k 3

 Phương trình tiếp tuyến là 1   1 2 1 1

  Phương trình tiếp tuyến là 1  1  1 1

Câu 8 Cho hàm số y x  3 2x1 có đồ thị   C

⑴ Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số trên tại điểm có x0

 Tính đạo hàm bằng công thức:

⑴ Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số trên tại điểm có x0

Hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số tại điểm có x0 là k  y    0  3 0 2    2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M   0 1 ; có dạng: y   2 ( x      0 ) 1 y 2 x 1

Cách 1: Gọi phương trình đoạn chắn cắt 2 trục tọa độ và tạo với 2 trục 1 tam giác vuông cân tại O có dạng x y 1 y b 1 x b x b a b ,  0 ; a b    d a b a a

  d là tiếp tuyến của   C thì 3 0 2 2 b x   a

Có 4 phương trình tiếp tuyến ứng với các điểm tiếp xúc và hệ số góc trên như sau

Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến của (C) thỏa mãn YCBT có dạng   d : y  kx b 

 Có 4 phương trình tiếp tuyến ứng với các điểm tiếp xúc và hệ số góc trên như sau

Câu 9 Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình s  2 t 2   t 1   m

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t2slà: 4 2 1 9    m s / 

Trong khoảng thời gian từ t0s t 2sthì chất điểm di chuyển được quãng đường:

Vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian 2s kể từ thời điểm t0 là: 9 0 4 5  

Câu 10 Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s s t    trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét Thực hiện các yêu cầu dưới đây:

  thì vận tốc của vật tại thời điểm t2s là bao nhiêu?

⑼ Với s s t     1 2  t 4  3 t 2  thì vận tốc của vật tại thời điểm t4s là bao nhiêu?

Chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = f(t), với thời gian t tính bằng giây và khoảng cách S tính bằng mét Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất cần được xác định.

⑴ Với s t    10   t 9 t 2  t 3 trong khoảng 10 giây đầu tiên

Vận tốc tại thời điểm t là v t      s t    3 t 2  18 t  1 trên đoạn 0 10; 

Vậy vận tốc đạt được giá trị lớn nhất bằng 24      t 3 0 t 3   s

⑵ Với s   t   t 3  9 t 2   t 10 trong 12 giây đầu tiên

Vận tốc tại thời điểm t là v t    S t '     3 t 2  18 t  1 trên đoạn 0 12; 

⑶ Với s t      t 3 6 t 2 trong 10 giây đầu tiên

Vận tốc tại thời điểm t là v t      s t    3 t 2  12 t trên đoạn 0 10; 

Vậy vận tốc đạt được giá trị lớn nhất bằng 12     t 2 0 t 2   s

⑷ Với   1 3 6 2 s t  2t  t trong 10 giây đầu tiên

Vận tốc tại thời điểm t là     3 2 12 v t s t  2t  t trên đoạn 0 10; 

⑸ Với   1 3 9 2 s t  2t  t trong 10 giây đầu tiên

Vận tốc tại thời điểm t là     3 2 18 v t s t  2t  t trên đoạn 0 10; 

⑹ Với   1 3 6 2 s t  3t  t trong 9 giây đầu tiên

Vận tốc tại thời điểm t là v t      s t     t 2 12 t trên đoạn 0 9; 

⑺ Với   2 1 3 s t  t 6t trong 5 giây đầu tiên

Vận tốc tại thời điểm t là     2 1 2 v t s t  t 2t trên đoạn 0 5; 

Vận tốc tại thời điểm t là     3 2 6 v t s t  2 t  t trên đoạn 0 5; 

Câu 12 Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s s t    trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét

⑴ Với s s t     2 t 4  6 t 2   3 t 1 thì gia tốc của vật tại thời điểm t3s là bao nhiêu?

⑵ Với s s t     4 t 3  10 t  9 thì gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc bằng 2 là bao nhiêu?

⑶ Với s s t      t 3 3 t 2  5 thì gia tốc của vật tại tại giây thứ 10 là bao nhiêu?

⑷ Với s s t      t 3 3 t 2   9 t 1 thì gia tốc của vật tại tại thời điểm vật dừng lại là bao nhiêu?

⑹ Với s s t      t 3 3 t 2   3 t 10 thì gia tốc của vật tại thời điểm vật dừng lại là bao

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t    2 t 4  6 t 2   3 t 1    8 t 3  12 t  3

Gia tốc của chuyển động là: a t      v t   24 t 2  12

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t3s là: a   3  24 9 12   228  m/s 2 

⑵ Với s s t     4 t 3  10 t  9 thì gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc bằng 2 là bao nhiêu?

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t   12 t 2  10

Gia tốc của chuyển động là: a t    v t     24 t

⑶ Với s s t      t 3 3 t 2  5 thì gia tốc của vật tại tại giây thứ 10 là bao nhiêu?

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t   3 t 2  6 t

Gia tốc của chuyển động là: a t      v t    6 t 6

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t10slà: a   10  6 10 6   54  m/s 2 

⑷ Với s s t      t 3 3 t 2   9 t 1 thì gia tốc của vật tại tại thời điểm vật dừng lại là bao nhiêu?

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t   3 t 2   6 t 9

Tại thời điểm chất điểm dừng lại thì v0 2 1 

  Gia tốc của chất điểm tại thời điểm chất điểm dừng lại là a   3 6 3 6  12

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t   3 t 2   6 t 5

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t3s là: a   3  6 3 6   12  m/s 2 

⑹ Với s s t      t 3 3 t 2   3 t 10 thì gia tốc của vật tại thời điểm vật dừng lại là bao nhiêu?

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t '  3 t 2   6 t 3

Tại thời điểm chất điểm dừng lại thì v0 3t 2     6t 3 0 t 1

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm chất điểm dừng lại là a   1 6 1 6  0

⑺ Với v t     8 t 3 t 2 thì gia tốc của vật khi vận tốc của vật là 11 m s / .là bao nhiêu?

Gia tốc của chuyển động là: a t    v t '     8 6 t

⑻ Với   2 3 2 2 4 s s t  3t  t  t thì gia tốc của vật tại thời điểm t2s là bao nhiêu?

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t '  2 t 2   4 t 1

Gia tốc của chuyển động là: a t      v t    4 t 4

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t10slà: a   2  4 2   4 12  m/s 2 

Câu 13 Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s s t    trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét Hỏi:

⑵ Gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu với s s t      t 3 3 t 2   9 t 27 là bao nhiêu?

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t '  3 t 2   6 t 9

Khi vận tốc triệt tiêu ta có   0 3 2 6 9 0 1

          (vì t0) Khi đó gia tốc là a   1  6 1 6 12   m/s 2

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t '   3 t 2   6 t 9

Gia tốc của chuyển động là: a t      v t     6 t 6

Khi gia tốc triệt tiêu ta có a t        0 6 t 6 0 t 1

Khi đó vận tốc là v   1   3 1 2  6 1 9 12   m/s

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t '  3 t 2  6 t

Khi gia tốc triệt tiêu ta có a t       0 6 t 6 0 t 1

Khi đó vận tốc là v   1  3 1 2  6 1   3 m/s

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t '  6 t 2   6 t 4

Gia tốc của chuyển động là: a t      v t   12 t  6

Khi gia tốc triệt bằng 0 có   0 12 6 0 1 a t   t   t 2 Khi đó vận tốc là

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t     t 2 6 t 36

Gia tốc của chuyển động là: a t    v t     2 t  6

Khi đó vận tốc là v   3  3 2  6 3 36   27 m/s

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t    3 t 2   6 t 9

Gia tốc của chuyển động là: a t    v t       6 t 6

Khi vận tốc triệt tiêu ta có   2 1  

Khi đó gia tốc là a  v t      6 3 6    12  m/ s 2 

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t   6 t 2   6 t 4

Gia tốc của chuyển động là: a t    v t     12 t  6

Khi gia tốc triệt tiêu ta có   0 12 6 0 1 a t   t   t 2

Khi đó vận tốc là 1 5 2 5

Vận tốc của chuyển động là: v t      s t     t 2 6 t 9

Gia tốc của chuyển động là: a t    v t '     6 t 6

Khi đó vận tốc là v   1   12 m/s 2

Vận tốc của chuyển động là:     1 3 3 2 12 10 v t s t 3t  t  t Gia tốc của chuyển động là: a t    v t       t 2 6 t 12     t 3 2  3

Gia tốc đạt được giá trị bé nhất bằng 3     t 3 0 t 3   s

Khi đó vận tốc của vật bằng v   3  28   m/s

3 Đạo hàm hàm số lượng giác

4 Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

⑵ Hàm số ya x có đạo hàm trên   a x   a x ln a

⑶ Hàm số ylog a x có đạo hàm tại mọi x0  log  1 a x ln x a

⑷ Hàm số ylnx có đạo hàm tại mọi x0   ln x 1

5 Các quy tắc tính đạo hàm

6 Đạo hàm của hàm hợp

Giả sử hàm số \( f \) được xác định trên khoảng \( I \) với tập giá trị chứa khoảng \( J \), và hàm số \( g \) được xác định trên \( J \) Khi đó, hàm số \( g \circ f \) được gọi là hàm số hợp của hàm số \( f \) với hàm số \( g \).

  s f t là gia tốc tức thời của chuyển động s s t    tại thời điểm t Ta có a t    f t   

 sin  cos sin   cos cos sin  y x  x x x

2 2 .cos sin 2sin2 1 2sin2 2sin2 1 4sin2 1 y x x x x x x

2 2 tan cot tan tan tan sin cos sin y x x x x x x x x

Ta có y    sin x   e sin x  cos e x sin x

2 3 2 3 log ln ln ln ln x x x x x x y x x x x x x

 cos  sin 2 cos sin  2  sin 3 +2cos sin 2 y  x  x x x   x x x

 sin 2 sin 2  2 sin cos 2 cos 2 y  x x   x x x

2 1 2 1 2 1 2 cos sin cos sin cos cos cos cos x x x x y x x x x

  2 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x y x x

  2 cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x

2 sin cos sin cos sin cos x x x x x x

2 2 sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos x x x x x x x x x

 tan cot  2  tan cot  tan cot x x y x x x x

2 2 cos sin sin cos tan cot sin cos tan cot x x x x x x x x x x

2 2 cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x

2 cos sin sin cos sin cos x x x x x x

2 1 2 1 sin cos sin cos sin sin x x x x x x x x x x x x x x x

  2 sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos

  2 cos cos sin sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x x x x

2 cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x x x

 y    sin 2 x  sin 2 x     sin 2 x     sin 2 x    2 sin cos x x  2 cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x

 y    sin 2 x  2 cos 2 x     sin 2 x     2 cos 2 x    2 cos 2 x  4 sin 2 x

 2 sin 2 x    cos 2 x     x  4 sin cos x x 2 sin 2 x 1 2 sin 2 x 2 sin 2 x 1 4 sin 2 x 1

 y     sin sin  x       sin x    cos sin  x   cos x  cos sin  x 

 y     cos x  cos sin  x       cos x    cos sin  x    cos x    cos sin  x   

          sinx cos sinx cosx cosx sin sinx

  2   sinx cos sinx cos x sin sinx

Ta có: y' 2sin cosx x sin2x

⑹ Với hàm số yxtanx ta có x y 2   2  x 2  y 2   1  y   0

⑺ Với hàm số ytanx ta có y   y 2 1 0

⑻ Với hàm số y x 2 1 ta có y y 2 xyy

⑼ Với hàm số y x 2 1 ta có y y 2   xyy

Khi đó: xy   2  y   sin x   xy

cos sin sin cos sin sin x x x x x x x x x x x

Ta có ycot2x, điều kiện: 2 0 sin k2 x  x ,k

⑹ Với hàm số yxtanx ta có x y 2   2  x 2  y 2   1  y   0

Ta có yxtanx, điều kiện: 0 cos x   x 2 k ,k

tan tan tan tan cos cos x x x x x x x x x x x

tan tan tan tan tan x  x x x x  x x x x x

2x 2x tan x 2x tanx 2x tan x 2x 2x tanx 2x tan x 2x tan x

⑺ Với hàm số ytanx ta có y   y 2 1 0

Ta có yxtanx, điều kiện: 0 cos x   x 2 k ,k

⑻ Với hàm số y x 2 1 ta có y y 2 xyy

⑼ Với hàm số y x 2 1 ta có y y 2   xyy

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 1

                  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  ( ; ] [ ;1 3 )

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T    ; 1 

Vậy tập nghiệm của phương trình là 17

Tiêu đề	Đạo Hàm
Tác giả	Lê Minh Tâm
Thể loại	Biên Soạn

Định dạng
Số trang	98
Dung lượng	3,64 MB