Tính đơn điệu của hàm số

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số 4 3 2 2 1y x x x= − + + 2 2 x y x − = + 2 2 2 x x y x − + = − 2 1 x y x = + ( 1) ( 0)y x x x= − > 2 1 4 3 y x x = − + 3 2 7 x y x − = + 2 2 3 2 2 1 x x y x x − + = + − 2 2 4 1y x x= − + + 2 3 4 16 16 2 3 y x x x x= + − − 4 2 8 5y x x= + + 2 2 9 x y x = − 2 2 3 1 x x y x − + = + 2 5 3 2 x x y x − + = − 2 25y x= − 4 3 1 5 2 y x x x= + − + 7 6 5 7 9 7 12 6 y x x x= − + + 1 3 x y x + = 2 3 1 x y x = + 2 2 3y x x= + + 2 2 3 1 x x y x − − + = + 2 8 9 5 x x y x − + = − 1 2 1 y x x = − + + 2 2 3 2 1 x x y x + = + 2 2 3y x x= − + 2 4y x= − 2 2y x x= − Vấn đề 2: Xác định tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) I. Cơ sở lý thuyết 1. Cho hàm số ( )y f x= xác định và có đạo hàm trên D * Hàm số đồng biến trên ( , ) '( ) 0, ( , )a b D khi f x x a b⊂ ≥ ∀ ∈ * Hàm số nghịch biến trên ( , ) '( ) 0, ( , )a b D khi f x x a b⊂ ≤ ∀ ∈ 2. Xét tam thức bậc hai 2 ( ) axf x bx c= + + , 0a ≠ * 2 0 ax 0 0 a bx c >  + + ≥ ⇔  ∆ ≤  * 2 0 ax 0 0 a bx c <  + + ≤ ⇔  ∆ ≤  II. Bài tập áp dụng A – HÀM ĐA THỨC Cho hàm số 3 2 3( 1) 3 ( 2) 1y x m x m m x= − − + − + . Tìm m để hàm số a. Đồng biến trên R b. Nghịch biến trên R Lời giải: TXĐ: D = R. 2 ' 3 6( 1) 3 ( 2)y x m x m m= − − + − a. Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y x≥ ∀ Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT 3 0 ' 6 9 0 3 2 a m m = >  ⇔  ∆ = + ≤  ⇔ ≤ − b. Hàm số nghịch biến trên R khi ' 0,y x≤ ∀ 3 0 ( ô ) ' 6 9 0 a v nghiem m = <  ⇔  ∆ = + ≤  Vậy: Không có giá trị nào để hàm số nghịch biến trên R Cho hàm số 2 ( )y x m x m= − − . Tìm m để hàm số nghịch biến trên R Lời giải: TXĐ: D = R 3 2 'y x mx m= − + − Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi ' 0,y x≤ ∀ 3 2 2 0, 1 0 0 0 x mx m x a m m ⇔ − + − ≤ ∀ = − <  ⇔  ∆ = ≤  ⇔ = Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa Cho hàm số 3 2 2 ( 1) 3y x x m x m= − + − + + . Tìm m để hàm số đồng biến trên R Lời giải: TXĐ: D = R. 2 ' 3 4 1y x x m= − + − Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y x≥ ∀ 2 3 4 1 0, 3 0 ' 3 7 0 7 3 x x m x a m m ⇔ − + − ≥ ∀ = >  ⇔  ∆ = − + ≤  ⇔ ≥ Vậy: Với 7 3 m ≥ thì yêu cầu bài toán được thỏa Cho hàm số 2 ( ) 6y x m x mx= − − + . Tìm m để hàm số luôn nghịch biến Lời giải: TXĐ: D = R. 2 ' 3 2y x mx m= − + − Hàm số nghịch biến trên R khi ' 0,y x≤ ∀ 2 2 3 2 0, 3 0 3 0 0 3 x mx m x a m m m ⇔ − + − ≤ ∀ = − <  ⇔  ∆ = − ≤  ⇔ ≤ ≤ Vậy: Với 0 3m ≤ ≤ thì điều kiện bài toán được thỏa Cho hàm số 3 2 3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − + . Tìm m để hàm số đồng biến trên R Lời giải: TXĐ: D = R Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT 2 ' 3 6 3(2 1)y x mx m= − + − Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y x≥ ∀ 2 2 3 6 3(2 1) 0, 1 0 ' 2 1 0 1 x mx m x a m m m ⇔ − + − ≥ ∀ = >  ⇔  ∆ = − + ≥  ⇔ = Vậy: Với m = 1 thì điều kiện bài toán được thỏa Cho hàm số 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x= − + − + + + . Tìm m để hàm số luôn luôn giảm Lời giải: TXĐ: D = R. 2 ' 2( 1) 3y x m x m= − + − + + Hàm số luôn luôn giảm khi ' 0,y x≤ ∀ 2 2 2( 1) 3 0, 1 0 ( ô ) ' 4 0 x m x m x a v nghiem m m ⇔ − + − + + ≤ ∀ = − <  ⇔  ∆ = − + ≤  Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán Cho hàm số 3 2 3 1y x mx x= − + − . Tìm m để hàm số luôn đồng biến Lời giải: TXĐ: D = R 2 ' 3 2 3y x mx= − + Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y x≥ ∀ 2 2 3 2 3 0, 3 0 ' 9 0 3 3 x mx x a m m ⇔ − + ≥ ∀ = >  ⇔  ∆ = − ≤  ⇔ − ≤ ≤ Vậy: Với 3 3m− ≤ ≤ thì điều kiện bài toán được thỏa Cho hàm số 3 2 1 ( 1) 2( 1) 2 3 y x m x m x= − − + − − . Tìm m để hàm số luôn tăng trên R Lời giải: TXĐ: D = R 2 ' 2( 1) 2( 1)y x m x m= − − + − Hàm số luôn tăng trên R khi ' 0,y x≥ ∀ 2 2( 1) 2( 1) 0, 1 0 ' ( 1)( 3) 0 1 3 x m x m x a m m m ⇔ − − + − ≥ ∀ = >  ⇔  ∆ = − − ≤  ⇔ ≤ ≤ Vậy: Với 1 3m ≤ ≤ thì điều kiện bài toán được thỏa Cho hàm số 3 2 1 1 3 (sin cos ) sin 2 3 2 4 y x m m x x m= − + + . Tìm m để hàm số đồng biến trên R Lời giải: TXĐ: D = R Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT 2 3 ' (sin cos ) sin 2 4 y x m m x m= − + + Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y x≥ ∀ 2 3 (sin cos ) sin 2 0, 4 1 0 1 2sin 0 1 2sin 0 2 2 2 6 6 12 12 x m m x m x a m m k m k k m k π π π π π π π π ⇔ − + + ≥ ∀ = >  ⇔  ∆ = − ≤  ⇔ − ≤ ⇔ − + ≤ ≤ + ⇔ − + ≤ ≤ + Cho hàm số 3 2 2 1y x mx x= + + + . Tìm m để hàm số đồng biến trên R Lời giải: TXĐ: D = R 2 ' 3 2 2y x mx= + + Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y x≥ ∀ 2 2 3 2 2 0, 3 0 ' 6 0 6 6 x mx x a m m ⇔ + + ≥ ∀ = >  ⇔  ∆ = − ≤  ⇔ − ≤ ≤ Vậy: Với 6 6m− ≤ ≤ thì điều kiện bài toán được thỏa Cho hàm số 3 2 (2 1) ( 2) 2y mx m x m x= − − + − − . Tìm m để hàm số luôn đồng biến Lời giải: TXĐ: D =R 2 ' 3 2(2 1) 2y mx m x m= − − + − Trường hợp 1: 0 ' 2 2m y x= ⇒ = − ⇒ m = 0 không thỏa yêu càu bài toán Trường hợp 2: 0m ≠ Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y x≥ ∀ 2 2 3 0 ' (2 1) 3 ( 2) 0 0 2 1 0 0 ( ô nghiem) 1 a m m m m m m m m v m = >  ⇔  ∆ = − − − ≤  >  ⇔  + + ≤  >  ⇔  = −  Vậy: Không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT Tìm m để hàm số 3 2 1 (3 2) 3 m y x mx m x − = + + − luôn đồng biến Lời giải: TXĐ: D = R 2 ' ( 1) 2 3 2y m x mx m= − + + − Trường hợp 1: 1 0 1 ' 2 1m m y x− = ⇔ = ⇒ = + ⇒ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: 1 0 1m m− ≠ ⇔ ≠ Hàm số luôn đồng biến khi ' 0,y x≥ ∀ 2 2 ( 1) 2 3 2 0, 1 0 ' 2 5 2 0 2 m x mx m x m m m m ⇔ − + + − ≥ ∀ − >  ⇔  ∆ = − + − ≤  ⇔ ≥ Vậy: Với 2m ≥ thì yêu cầu bài toán được thỏa Cho hàm số 3 2 1 3 y mx mx x= + − . Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến Lời giải: TXĐ: D = R 2 ' 2 1y mx mx= − + − Trường hợp 1: 0 ' 1 0m y= ⇒ = − < ⇒ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: 0m ≠ Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi ' 0,y x≤ ∀ 2 2 2 1 0, 0 ' 0 0 ( ô ) 0 1 mx mx x a m m m m v nghiem m ⇔ − + − ≤ ∀ = − <  ⇔  ∆ = − ≤  >  ⇔  ≤ ≤  Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa Định m để hàm số 3 2 1 2(2 ) 2(2 ) 5 3 m y x m x m x − = − − + − + luôn luôn giảm Lời giải TXĐ: D = R 2 ' (1 ) 4(2 ) 4 2y m x m x m= − − − + − Trường hợp 1: 1 1 ' 4 2 0 2 m y x x= ⇒ = − + ≤ ⇔ ≥ nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: 1m ≠ Hàm số luôn giảm khi 2 1 0 1 2 3 2 3 ' 2 10 12 0 a m m m m m m = − < >   ⇔ ⇔ ≤ ≤   ≤ ≤ ∆ = − + ≤   Cho hàm số 3 2 2 2 ( 2) ( 8) 1 3 m y x m x m x m + = − + + − + − . Tìm m để dồ thị hàm số nghịch biến trên R Lời giải: TXĐ: D = R Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT 2 ' ( 2) 2( 2) 8y m x m x m= + − + + − Trường hợp 1: 2 0 2 ' 10m m y+ = ⇔ = − ⇒ = − ⇒ m = -2 thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: 2m ≠ − Hàm số nghịch biến trên R khi ' 0,y x≤ ∀ 2 2 ( 2) 2( 2) 8 0, 2 0 ' ( 2) ( 2)( 8) 0 2 m x m x m x a m m m m m ⇔ + − + + − ≤ ∀ = + <  ⇔  ∆ = + − + − ≤  ⇔ < − KL: Với m < - 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa Cho hàm số 2 3 2 1 ( 1) ( 1) 3 5 3 y m x m x x= − + + + + . Tìm m để hàm số đồng biến trên R Lời giải: TXĐ: D = R 2 2 ' ( 1) 2( 1) 3y m x m x= − + + + Trường hợp 1: 2 1 0 1m m− = ⇔ = ± * 1 ' 4 3m y x= ⇒ = + ⇒ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán * 1 ' 3 0m y= − ⇒ = > ⇒ m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: 2 1 0 1m m− ≠ ⇔ ≠ ± Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y x≥ ∀ 2 2 2 2 ( 1) 2( 1) 3 0 1 0 2 2 4 0 1 2 m x m x m m m m m ⇔ − + + + ≥  − >  ⇔  ∆ = − + + ≤   ⇔ < − ∨ > Vậy: Với 1 2m m ≤ − ∨ > thì bài toán được thỏa Cho hàm số 3 2 1 ( 3) 2 3 y m x x mx= + − + . Tìm m để hàm số: a. Đồng biến trên R b. Nghịch biến trên R Lời giải: TXĐ: D = R 2 ' ( 3) 4y m x x m= + − + Trường hợp 1: 3 0 3 ' 4 3m m y x+ = ⇔ = − ⇒ = − − ⇒ m = -3 không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: 3m ≠ − . a. Hàm số luôn đồng biến khi ' 0,y x≥ ∀ 2 2 ( 3) 4 0, 3 0 3 4 0 1 m x x m x a m m m m ⇔ + − + ≥ ∀ = + >  ⇔  ∆ = − − + ≤  ⇔ ≥ b. Hàm số luôn nghịch biến khi ' 0,y x≤ ∀ Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT 2 2 ( 3) 4 0, 3 0 3 4 0 4 m x x m x a m m m m ⇔ + − + ≤ ∀ = + <  ⇔  ∆ = − − + ≤  ⇔ ≤ − Cho hàm số 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) 3 3 y mx m x m x= − − + − + . Xác định giá trị m để hàm số đã cho nghịch biến trên R Lời giải: TXĐ: D = R 2 ' 2( 1) 3( 2)y mx m x m= − − + − Trường hợp 1: 0 ' 2 6m y x= ⇒ = − ⇒ m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: 0m ≠ Hàm số nghịch biến trên R khi ' 0,y x≤ ∀ 2 2 2( 1) 3( 2) 0, 0 2 4 1 0 2 6 2 mx m x m x a m m m m ⇔ − − + − ≤ ∀ = <  ⇔  ∆ = − + + ≤  − ⇔ ≤ Cho hàm số ( ) 2 3 2 1 2 2 1 3 y m m x mx x= + + + + . Xác định m để hàm số sau đồng biến trên R Lời giải: TXĐ: D = R Ta có: ( ) 2 2 ' 2 2 2y m m x mx= + + + Xét 2 trường hợp: * 2 0 2 0 2 m m m m =  + = ⇔  = −  + m = 0 ⇒ ' 0,y x≥ ∀ nên m = 0 thỏa yêu cầu bài toán + m = - 2 1 ' 4 2 0 2 y x x⇒ = − + ≥ ⇔ ≤ nên m = -2 không thỏa điều kiện bài toán * 2 0 2 0 2 m m m m ≠  + ≠ ⇔  ≠ −  Hàm số đồng biến trên R khi 2 2 ' 0 2 0 4 0 0 4 0 y a m m m m m m >  + >  ⇔ ⇔ ≤ − ∨ ≥   ∆ ≤ − − ≤    Vậy với 4 0m m ≤ − ∨ ≥ thì điều kiện bài toán được thỏa Cho hàm số 2 3 2 ( 5 ) 6 6 6y m m x mx x= + + + − . Tìm m để hàm số đồng biến trên R Lời giải TXĐ: D = R Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT 2 2 ' 3( 5 ) 12 6y m m x mx= + + + Trường hợp 1: 2 5 0 0, 5m m m m+ = ⇔ = = − + 0 ' 6 0m y= ⇒ = > ⇒ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán + 5 ' 60 6m y x= − ⇒ = − + ⇒ m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: 2 5 0m m+ ≠ Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y x≥ ∀ 2 2 3( 5 ) 12 6 0,m m x mx x⇔ + + + ≥ ∀ 2 2 5 0 ' 2 10 0 0 5 a m m m m m  = + >  ⇔  ∆ = − ≤   ⇔ < ≤ Vậy: Với 0 5m≤ ≤ thì yêu cầu bài toán được thỏa B – HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Tìm m để hàm số 2 3 mx y x m − = + − luôn đồng biến Lời giải: TXĐ: { } \ 3D R m= − 2 2 3 2 ' ( 3) m m y x m − + = + − Hàm số luôn đồng biến khi ' 0, 3y x m≥ ∀ ≠ − 2 3 2 0 1 2 m m m m ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ Cho hàm số 2 2 2 1 x m x m y x + + − = + . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó Lời giải: TXĐ: { } \ 1D R= − 2 2 2 2 2 ' ( 1) x x m m y x + + − + = + Hàm số đồng biến trên tập xác định khi ' 0, 1y x≥ ∀ ≠ − 2 2 2 2 2 2 2 0, 1 1 0 3 0 ( 1) 2( 1) 2 0 1 13 1 13 2 2 x x m m x a m m m m m m ⇔ + + + − ≥ ∀ ≠ − = >   ⇔ ∆ = − − + ≤   − + − + + − ≠  + − ⇔ < ∨ > − − Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT Cho hàm số x y x m = − . Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định Lời giải: TXĐ: { } \D R m= 2 ' ( ) m y x m − = − Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi ' 0,y x m≥ ∀ ≠ 0 0 m m ⇔ − ≥ ⇔ ≤ Cho hàm số 2 2 ( 2) 2 2 1 mx m x m m y x − + + − + = − . Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó Lời giải: TXĐ: { } \ 1D R= 2 2 2 2 3 ' ( 1) mx mx m m y x + − + = − Trường hợp 1: 0 ' 0m y= ⇒ = ⇒ chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0 không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: 0m ≠ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi ' 0, 1y x≤ ∀ ≠ 2 2 3 2 2 2 2 3 0, 1 0 ' 2 0 1 2 .1 3 0 0 2 0 0, 6 0 mx mx m m x a m m m m m m m m m m m m ⇔ + − + ≤ ∀ ≠ = <   ⇔ ∆ = − ≤   + − + ≠  <   ⇔ − ≤   ≠ ≠  ⇔ < Cho hàm số 2 3 2 ( 1) 2 ( 2)m x mx m m y x m + − − − + = − . Tìm m để hàm số đồng biến trên R Lời giải: TXĐ: { } \D R m= 2 2 3 2 2 ( 1) 2( ) 2 ' ( ) m x m m x m m y x m + − + + + + = − Trường hợp 1: ( ) 2 2 1 ' 0, 1 1 m y x x = − ⇒ = > ∀ ≠ − ⇒ + m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: 1m ≠ − Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y x m≥ ∀ ≠ 2 2 3 2 2 2 3 2 ( 1) 2( ) 2 0, 1 0 2 2 0 ( 1) 2( ). 2 0 1 1 2 0 1 m x m m x m m x m a m m m m m m m m m m m m ⇔ + − + + + + ≥ ∀ ≠  = + >  ⇔ ∆ = − − ≤   + − + + + + ≠  > −   ⇔ ≥ −   ≠  ⇔ > − C – BÀI TẬP NÂNG CAO Cơ sở lý thuyết: Giả sử tồn tại ax ( ) x K m f x ∈ ( ) ( ), ax ( ) ( ) ( ) ( ), ax ( ) ( ) x K x K f x g m x K m f x g m f x g m x K m f x g m ∈ ∈ < ∀ ∈ ⇔ < ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ Giả sử tồn tại min ( ) x K f x ∈ ( ) ( ), min ( ) ( ) ( ) ( ), min ( ) ( ) x K x K f x g m x K f x g m f x g m x K f x g m ∈ ∈ > ∀ ∈ ⇔ > ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ Định m để hàm số 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) 3 3 y mx m x m x= − − + − + đồng biến trong khoảng (2; )+∞ Lời giải: TXĐ: D = R 2 ' 2( 1) 3( 2)y mx m x m= − − + − Điều kiện bài toán được thỏa khi 2 ' 0, 2 2( 1) 3( 2) 0, 2y x mx m x m x≥ ∀ > ⇔ − − + − ≥ ∀ > 2 2 6 , 2 2 3 x m x x x − + ⇔ ≥ ∀ > − + Xét hàm số 2 2 2 2 2 6 2 12 6 ( ) '( ) 2 3 ( 2 3) x x x g x g x x x x x − + − + = ⇒ = − + − + 3 6 '( ) 0 3 6 x g x x  = + = ⇔  = −   Bảng xét dấu x −∞ 3 6− 2 3 6+ +∞ g’(x) + 0 - - 0 + g(x) 2 3 0 Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net [...]... Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT − 6 3+ 2 6 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện bài toán được thỏa khi m ≥ 2 3 Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 − mx − 4 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) Lời giải TXĐ: D = R y ' = 3x 2 + 6 x − m Hàm số đồng biến trên ( −∞;0 ) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, 0) ⇔ 3 x 2 + 6 x − m ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, 0) ⇔ m ≤ 3 x 2 + 6 x = g ( x), ∀x ∈ (−∞, 0)... x = −1 Vẽ bảng biến thiên ta có m ≤ min g ( x ) = g (−1) = −3 ( −∞,0) Kết luận: Với m ≤ −3 thì điều kiện bài toán được thỏa Cho hàm số y = − x3 + 3 x 2 + mx − 2 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) Lời giải TXĐ: D = R y ' = −3 x 2 + 6 x + m Hàm số đồng biến trên (0, 2) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2) ⇔ −3 x 2 + 6 x + m ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2) ⇔ m ≥ 3x 2 − 6 x = g ( x), ∀x ∈ (0, 2) ⇔ m... m 3 1 2 Cho hàm số y = x − ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) x + Với giá trị nào của m thì hàm số đồng 3 3 2; +∞ ) biến trên [ Lời giải TXĐ: D = R y ' = mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2) Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT Trường hợp 1: m = 0 ⇒ y ' = 2 x − 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 nên không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: m ≠ 0 Hàm số đồng biến... = 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa Vấn đề 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình Giải các phương trình a x 2011 + x = 2 b x 2 + x − 1 = 5 Lời giải: a Đặt f ( x) = x 2011 + x ⇒ f '( x) = 2011x 2010 + 1 > 0 ⇒ f(x) là hàm số đồng biến Mặt khác: f (1) = 2 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình b Điều kiện x ≥ 1 và x = 1 không là nghiệm của phương trình Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net... hàm số đồng biến Mặt khác: f (2) = 5 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Giải phương trình x + 3 + x + 7x + 2 = 4 (1) Lời giải Điều kiện của phương trình 7 − 41 7 + 41 ≤x≤ 2 2 (*) (1) ⇔ x + 3 + x + 7 x + 2 − 4 = 0 Xét g ( x) = x + 3 + x + 7 x + 2 − 4 ⇒ g '( x ) = 1+ 7 2 x+3 1 + > 0, ∀x ∈ (*) 2 x + 3 2 x + 7x + 2 ⇒ g(x) là hàm số đồng biến Mặt khác: g(1) = 0 Vậy: x = 1 là nghiệm duy nhất của. .. 1  ≤ 0, ∀x ∈  − ; +∞ ÷ Hàm số nghịch biến trên  − ; +∞ ÷ khi y ' = 2 2 (2 x + 1)    2  3  1  ⇔ m ≥ −2 x 2 − 2 x − = g ( x), ∀x ∈  − ; +∞ ÷ 2  2  ⇔ m ≥ max g ( x)  1   − ; +∞ ÷  2   1  Ta có: g '( x) = −4 x − 2 < 0, ∀x ∈  − ; +∞ ÷  2   1 Vậy: m ≥ max  g ( x ) = g  − 2 ÷ = −1 1    − ; +∞ ÷ 2   Cho hàm số y = 2 x 2 + mx + 2 − m (Cm) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng... (2) = [2,+∞ ) 2 3 1 3 2 Tìm m để hàm số y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x − 4 đồng biến trên (0; 3) 3 Lời giải: TXĐ: D = R y ' = − x 2 + 2( m − 1) x + m + 3 Hàm số đồng biến trên (0; 3) ⇔ y ' = − x 2 + 2(m − 1) x + m + 3 ≥ 0, ∀x ∈ (0;3) ⇔ m(2 x + 1) ≥ x 2 + 2 x − 3 x2 + 2 x − 3 ⇔m≥ = g ( x) (*) 2x +1 2x2 + 2 x + 8 > 0, ∀x ∈ (0;3) Ta có: g '( x) = (2 x + 1) 2 ⇒ g(x) là hàm số đồng biến trên (0; 3) 12 ⇒ g... m 4; +∞ ) khi y ' = ≥ 0, ∀x ∈ [ 4; +∞ ) Hàm số đồng biến trên [ (2 x − 3) 2 ⇔ 2mx 2 − 6mx − 3 − m ≥ 0, ∀x ∈ [ 4; +∞ ) 3 = g ( x), ∀x ∈ [ 4; +∞ ) 2x − 6x −1 ⇔ m ≥ max g ( x) ⇔m≥ 2 x∈[ 4; +∞ ) −6(2 x − 3) < 0, ∀x ∈ [ 4; +∞ ) ⇒ g(x) là hàm số nghịch biến trên (2 x 2 − 6 x − 1) 2 max [ 4; +∞ ) nên m ≥ x∈[ 4;+∞) g ( x) = f (4) = 3 7 Ta có: g '( x) = Định m để hàm số y = −2 x 2 − 3 x + m nghịch biến trong...  ÷ ln + 2  ÷ ln < 0, ∀t 7 7 7 7 7 7 ⇒ f(t) là hàm nghịch biến trên R ⇒ phương trình f(t) = 0 có không quá 1 nghiệm trên R Mặt khác: f (1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình Vấn đề 4: Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình Giải bất phương trình 2 x 3 + 3x 2 + 6 x + 16 < 2 3 + 4 − x Lời giải Điều kiện xác định của bất phương trình là −2 ≤ x ≤ 4 Bất phương trình được... nghiệm của bất phương trình đã cho 1 1 + > 0, ∀x > −2 Xét f ( x) = x + 9 + 2 x + 4 ⇒ f '( x ) = 2 x+9 2x + 4 ⇒ f(x) là hàm số đồng biến trên (−2; +∞) Mặt khác: x + 9 + 2 x + 4 > 5 ⇔ f ( x) > f (0) ⇔ x > 0 So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 0 Giải bất phương trình 3 x + 4 + 2 2 x + 4 > 13 Lời giải Điều kiện xác định của bất phương trình x ≥ −2 Nhận xét x = -2 không là nghiệm của . LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số 4 3 2 2 1y x x x= − + + 2 2 x y x − = + 2 2 2 x x y x − + = − 2 1 x y x = + (. − 2 2y x x= − Vấn đề 2: Xác định tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) I. Cơ sở lý thuyết 1. Cho hàm số ( )y f x= xác định và có đạo hàm trên D * Hàm số đồng biến trên ( , ) '( ) 0,. + = − Trường hợp 1: 0 ' 0m y= ⇒ = ⇒ chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0 không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: 0m ≠ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi '