luận văn thạc sĩ phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp tách giải bài toán chấp nhận tách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HỒNG NHÂN PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HỒNG NHÂN PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH Chuyên ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Danh sách ký hiệu ii Mở đầu 1 Một số kiến thức 1.1 Bài toán chấp nhận tách không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Bài tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert 16 Một số bổ đề cần thiết 17 1.2 Phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách 21 2.1 Phương pháp lặp ẩn 21 2.1.1 Mô tả phương pháp 21 2.1.2 Sự hội tụ phương pháp 22 Phương pháp lặp 26 2.2.1 Mô tả phương pháp 26 2.2.2 Sự hội tụ phương pháp 26 2.2 Tài liệu tham khảo download by : skknchat@gmail.com 38 luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach ii Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R tập số thực H không gian Hilbert thực X khơng gian tuyến tính C tập đóng lồi H A tốn tử tuyến tính giới nội T tốn tử phi tuyến hx, yi tích vô hướng hai vectơ x y kxk chuẩn vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn * x xn hội tụ yếu x F ix(T ) tập điểm bất động T I ánh xạ đơn vị PC phép chiếu từ H lên C KM Krasnosel’skii-Mann luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach Mở đầu Đề tài luận văn nghiên cứu toán chấp nhận tách số phương pháp giải: Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert tương ứng H1 H2 Bài tốn chấp nhận tách phát biểu: Tìm điểm x∗ với tính chất x∗ ∈ C Ax∗ ∈ Q, (1) A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính giới nội Bài tốn chấp nhận tách không gian Hilbert hữu hạn chiều đề xuất Censor Flfving để mơ hình hóa tốn ngược xuất khơi phục ảnh y học Mới đây, người ta tìm thấy tốn dùng để mơ hình hóa xạ Lưu ý tốn chấp nhận tách (1) phát biểu dạng phương trình bất động
PC I − γAT (I − PQ ) A x∗ = x∗ (2) đây, AT ánh xạ đối ngẫu A, PC PQ phép chiếu mêtric tương ứng lên C Q Ta thấy, x∗ nghiệm toán chấp nhận tách (1)
x∗ điểm bất động PC I − γAT (I − PQ ) A Từ suy ta sử dụng phương pháp tìm điểm bất động giải toán chấp nhận tách Một thuật toán giải toán (1) thuật toán CQ Byrne Thuật toán sử dụng phương pháp chiếu gradient (GPM) toán cực tiểu lồi Tiếp đó, Byrne áp dụng bước lặp cho luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach thuật toán CQ Zhao sử dụng bước lặp cho thuật toán CQ nhiễu giải toán chấp nhận tách Chúng ta biết thuật toán CQ thuật toán KM cho toán chấp nhận tách không thiết hội tụ mạnh không gian Hilbert vô hạn chiều Mới đây, Wang Xu đề xuất thuật toán CQ cải biên với hội tụ mạnh cách đưa vào đường cong xấp xỉ cho tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert vơ hạn chiều nhận nghiệm có chuẩn cực tiểu toán chấp nhận tách giới hạn mạnh đường cong xấp xỉ Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K9Y (khóa 2015–2017); Nhà trường phòng chức Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, lãnh đạo đơn vị công tác quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K9Y (khóa 2015–2017), đồng nghiệp động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Trần Hồng Nhân luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach Chương Một số kiến thức Chương gồm mục: Mục 1.1 giới thiệu không gian Hilbert thực số tính chất khơng gian Hilbert; trình bày định nghĩa toán tử đơn điệu toán chấp nhận tách khơng gian Hilbert thực Mục 1.2 trình bày số bổ đề bổ trợ cho chương Các kiến thức chương viết sở tổng hợp tài liệu [1], [2] 1.1 Bài toán chấp nhận tách không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Hilbert a) Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi khơng gian tuyến tính R với cặp (x, y) ∈ X × X, phần tử X, ta gọi tổng x y, ký hiệu x + y; với α ∈ R x ∈ X, phần tử X, gọi tích α x, ký hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: (1) x + y = y + x với x, y ∈ X (tính chất giao hốn); (2) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp); (3) tồn phần tử không X, ký hiệu 0, cho: x + = + x với x ∈ X; luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach (4) với x ∈ X, tồn phần tử đối x, ký hiệu −x, cho x + (−x) = với x ∈ X; (5) · x = x · = x, với x ∈ X (1 phần tử đơn vị); (6) α(βx) = (αβ)x, với α, β ∈ R, với x ∈ X; (7) (α + β)x = αx + βx, với α, β ∈ R, với x ∈ X; (8) α(x + y) = αx + αy, với α ∈ R, với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian tuyến tính trường số thực R Tích vơ hướng khơng gian H ánh xạ từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu h., i, thỏa mãn điều kiện sau: (1) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H (2) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H (3) hαx, yi = αhx, yi với x, y ∈ H α ∈ R (4) hx, xi > x 6= hx, xi = x = Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy (1) hx, αyi = αhy, xi với x, y ∈ H α ∈ R; (2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với x, y, z ∈ H Định nghĩa 1.1.4 Khơng gian tuyến tính H với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert Định lí 1.1.5 (bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com (1.1) luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach Chứng minh Với số thực α với x, y ∈ H ta có ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α2 hy, yi Từ suy ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ với x, y ∈ H Hay |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi với x, y ∈ H Định lý chứng minh Dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.1) xảy x y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.1.6 Khơng gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định p kxk = hx, xi với x ∈ H (1.2) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng p Hàm số kxk = hx, xi với x ∈ H chuẩn H Chứng minh Thật vậy, từ điều kiện (4) Định nghĩa 1.1.2 ta có kxk > x 6= kxk = x = với x ∈ H Từ điều kiện (1) (3) Định nghĩa 1.1.2 ta suy kαxk = |α|.kxk với α ∈ R x ∈ H Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn ta có |hx, yi| ≤ kxk.kyk với x, y ∈ H Từ với x, y ∈ H ta có: hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi
2 ≤ kxk2 + 2kxk.kyk + kyk2 = kxk + kyk Suy kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ H luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com (1.3) 0 Dễ dàng thấy rằng, A toán tử tuyến tính Do đó, A tốn tử tuyến tính liên tục Ví dụ Cho X = Rk , Y = Rm , A(ξ1 , ξ2 , , ξk ) = (η1 , η2 , , ηm ) với ηi = k X aij ξj i = 1, 2, 3, , m, (1.7) j=1 aij số Ma trận   a a1k  11        am1 · · · amk ma trận toán tử A Thật vậy, (1.7) dạng tổng qt tốn tử tuyến tính từ Rk vào Rm Cho A toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm Gọi e1 , e2 , , ek f1 , f2 , , fk sở Rk Rm cho với x = (ξ1 , ξ2 , , ξk ) ∈ Rk , y = (η1 , η2 , , ηm ) ∈ Rm : x= k X ξj ej j=1 y= m X ηi fi i=1 luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach 15 với e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , ek = (0, 0, , 1), f1 = (1, 0, , 0), f2 = (0, 1, , 0), , fm = (0, 0, , 1) Vì A tốn tử tuyến tính nên Ax = k X ξj (Aej ) j=1 Đặt Ax = (η1 , η2 , , ηm ) Aej = (a1j , a2j , , amj ) ta có (1.7) Cho H không gian Hilbert thực, C tập H Định nghĩa 1.1.21 Tập C ⊂ H tập lồi với x1 , x2 ∈ C với số thực λ ∈ [0, 1] ta có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C Từ định nghĩa ta thấy tập ∅ tập lồi Định nghĩa 1.1.22 Hàm f : C → R gọi là: (i) lồi C với λ ∈ [0, 1], với x, y ∈ C f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ; (ii) lồi chặt C với λ ∈ (0, 1), với x, y ∈ C, x 6= y f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) Định nghĩa 1.1.23 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi L-liên tục Lipschitz C, tồn số L > cho kA(x) − A(y)k ≤ L kx − yk ∀x, y ∈ C luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach 16 Nếu < L < A ánh xạ co, L = A ánh xạ khơng giãn Định nghĩa 1.1.24 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi là: (i) đơn điệu C, hA(x) − A(y), x − yi ≥ ∀x, y ∈ C; (ii) η-đơn điệu mạnh C, tồn số η dương cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ η kx − yk2 ∀x, y ∈ C (iii) hemi-liên tục (hemicontinuous) C A(x+ty) * Ax t → với x, y ∈ C demi-liên tục (demicontinuous) C từ xn → x suy Axn * Ax n → ∞ (iv) C hAx, xi = +∞, kxk→+∞ kxk lim 1.1.2 x ∈ C Bài toán chấp nhận tách không gian Hilbert Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert tương ứng H1 H2 Bài tốn chấp nhận tách phát biểu: Tìm điểm x∗ với tính chất x∗ ∈ C Ax∗ ∈ Q, (1.8) A : H1 → H2 toán tử tuyến tính giới nội Lưu ý tốn chấp nhận tách (1.8) phát biểu dạng phương trình bất động PC (I − γA∗ (I − PQ ) A) x∗ = x∗ , luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com (1.9) luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach 17 đây, A∗ ánh xạ đối ngẫu A, PC PQ phép chiếu mêtric tương ứng lên C Q Ta thấy, x∗ nghiệm toán chấp nhận tách (1.8) x∗ điểm bất động PC (I − γA∗ (I − PQ ) A) Từ suy ta sử dụng phương pháp tìm điểm bất động giải tốn chấp nhận tách  Thuật toán 1.1.25 Cho điểm xuất phát x0 , dãy lặp xk k≥0 tạo trình lặp   xk+1 = (1 − βk ) xk + βk PC (1 − αk )U xk , k ≥ 0, (1.10) U = I − γA∗ (I − PQ ) A, {αk } {βk } hai dãy số thực [0,1] Định lý 1.1.26 Cho {αk } {βk } hai số thực (0,1) thỏa mãn điều kiện sau (C1) (C2) lim αk = k→∞ P∞ k=0 αk = ∞, lim |αk − αk+1 | = 0, k→∞ < lim inf βk ≤ lim sup βk < k→∞  k k→∞ Khi đó, x tạo (1.10) hội tụ mạnh đến điểm C ∩ A−1 (Q) (C3) 1.2 Một số bổ đề cần thiết Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng h., i chuẩn ||.|| tương ứng, cho K tập lồi đóng khác rỗng H Ta gọi f : K → H κ − co tồn số κ ∈ [0, 1) cho ||f (x) − f (y)|| ≤ κ||x − y|| với x, y ∈ K Một tốn tử tuyến tính giới nội B gọi dương mạnh H tồn số α > cho hBx, xi ≥ α||x||2 , ∀x ∈ H luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach 18 Một ánh xạ F : C → H gọi đơn điệu hF x − F y, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân VI tìm điểm x∗ ∈ C với tính chất hF x∗ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C Nhắc lại phép chiếu mêtric từ H lên K, kí hiệu PK định nghĩa sau, với x ∈ H, PK x phần tử K với tính chất ||x − PK x|| = {||x − y|| : y ∈ K} Ta biết PK thỏa mãn hx − y, PK x − PK yi ≥ ||PK x − PK y||2 , ∀x, y ∈ H Hơn nữa, PK đặc trưng tính chất sau: (1.11) hx − PK x, y − PK xi ≤ 0, ||x − y||2 ≥ ||x − PK x||2 + ||y − PK x||2 , với x ∈ H y ∈ K Xét vài toán tử phi tuyến đưa Cho T : H → H tốn tử phi tuyến (a) T khơng giãn ||T x − T y|| ≤ ||x − y|| với x, y ∈ H (b) T không giãn chặt ||2T − I|| không giãn Tương đương, T = (I + S)/2, S : H → H khơng giãn Hay nói cách khác, T không giãn chặt ||T x − T y||2 ≤ hT x − T y, x − yi , x, y ∈ H luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach 19 (c) T toán tử trung bình T = (1 − τ )I + τ S, τ ∈ (0, 1) S : H → H không giãn Trong trường hợp này, ta nói T τ trung bình Một ánh xạ không giãn chặt 12 − trung bình Ta biết PK I − PK tốn tử khơng giãn chặt Chúng tơi sử dụng số kí hiệu sau: • F ix(T ) đặt cho tập điểm bất động T ; • xn * x đặt cho hội tụ yếu {xn } đến x; • xn → x đặt cho hội tụ mạnh {xn } đến x Bổ đề 1.2.1 Cho K tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho T : K → K ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= ∅ Khi T nửa đóng K, nghĩa xn * x ∈ K xn − T xn → 0, x = T x Bổ đề 1.2.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Giả sử ánh xạ F : C → H đơn ánh liên tục yếu đoạn (tức F (x + ty) * F (x) t → 0) Khi bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ C, hF x∗ , x − x∗ i ≥ 0, x ∈ C tương đương với bất đẳng thức biến phân đối ngẫu x∗ ∈ C, hF x, x − x∗ i ≥ 0, x ∈ C Bổ đề 1.2.3 Cho {xn } {zn } dãy bị chặn không gian Banach X cho {βn } dãy [0,1] với < lim inf βn ≤ lim sup βn < n→∞ n→∞ luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach 20 Giả sử xn+1 = (1 − βn )zn + βn xn với số nguyên n ≥ lim sup(||zn+1 − zn || − ||xn+1 − xn ||) ≤ n→∞ lim ||zn − xn || = n→∞ Bổ đề 1.2.4 Giả sử {an } dãy số thực không âm thỏa mãn an+1 ≤ (1 − γn )an + δn , đây{γn } dãy (0,1) {δn } dãy thỏa mãn P∞ (1) n=1 γn = ∞; P (2) lim supn→∞ δn /γn ≤ ∞ n=1 |δn | < ∞ Thì limn→∞ an = Kết luận chương Chương trình bày sơ lược không gian Hilbert trường số thực số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi tốn tử đơn điệu Trong chương chúng tơi trình bày toán chấp nhận tách số bổ đề cần thiết làm sở nghiên cứu cho chương luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach 21 Chương Phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách Chương gồm mục Trong mục 2.1, chúng tơi trình bày phương pháp lặp ẩn giải toán chấp nhận tách Mục 2.2 dành cho việc giới thiệu phương pháp lặp cho toán Các tài liệu tham khảo chương [3], [4] 2.1 Phương pháp lặp ẩn 2.1.1 Mô tả phương pháp Xét toán chấp nhận tách (1.8) khơng gian Hilbert Tơi xin trình bày thuật tốn để xấp xỉ nghiệm (1.8) Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert tương ứng H1 H2 Cho f : C → H1 κ − co A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính giới nội B : H1 → H1 toán tử tự liên hợp, dương chặt với hệ số α > Lấy hai số σ γ cho < γ < 2/ρ (A∗ A) < σκ < α, ρ (A∗ A) bán kính phổ (A∗ A) Ánh xạ xác định sau: Wt := PC [tσf + (I − tB) (I − γA∗ (I − PQ ) A)] Ta thấy Wt ánh xạ từ C vào C Lưu ý PC , I − γA∗ (I − PQ ) A luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach 22 không giãn ||I − tB|| ≤ − tα Ở đây, với x, y ∈ C, ta có: ||Wt x − Wt y|| = ||PC [tσf (x) + (I − tB) (I − γA∗ (I − PQ ) A) x] − PC [tσf (y) + (I − tB) (I − γA∗ (I − PQ ) A) y] || ≤ ||I − tB|| × || (I − γA∗ (I − PQ ) A) x − (I − γA∗ (I − PQ ) A) y|| + tσ||f (x) − f (y) || ≤ tσκ||x − y|| + (1 − tα) ||x − y|| = [1 − (α − σκ) t] ||x − y||
Vì vậy, Wt có điểm Theo Wt ánh xạ co t ∈ 0, α−σκ bất động thuộc C, ta kí hiệu xt , xác định bởi: xt = PC [tσf (xt ) + (I − tB) (I − γA∗ (I − PQ ) A) xt ] , (2.1)
t ∈ 0, α−σκ 2.1.2 Sự hội tụ phương pháp Sau đây, chúng tơi trình bày hội tụ lưới {xt } định nghĩa (2.1) Định lí 2.1.1 Với t → 0+ lưới {xt } định nghĩa (2.1) hội tụ mạnh đến điểm x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q) cho hσf (x∗ ) − Bx∗ , x˜ − x∗ i ≤ ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) Chứng minh Lấy x˜ điểm thuộc C ∩ A−1 (Q) Xét tập U = I − γA∗ (I − PQ ) A Ta viết lại (2.1) sau:   xt = PC [tσf (xt ) + (I − tB) U xt ] , t ∈ 0, α − σκ luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com (2.2) luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach 23 Theo ta có: ||xt − x˜|| = ||PC [tσf (xt ) + (I − tB) U xt ] − x˜|| ≤ ||tσ (f (xt ) − f (˜ x)) + (I − tB) (U xt − x˜) + t (σf (˜ x) − B x˜) || ≤ tσ||f (xt ) − f (˜ x) || + ||I − tB|| ||U xt − x˜|| + t||σf (˜ x) − B x˜|| ≤ tσκ||xt − x˜|| + (1 − tα) ||xt − x˜|| + t||σf (˜ x) − B x˜|| = [1 − (α − σκ) t] ||xt − x˜|| + t||σf (˜ x) − B x˜|| Do đó: ||xt − x˜|| ≤ ||σf (˜ x) − B x˜|| α − σκ Khi đó, {xt } giới nội {f (xt )} , {U xt } {BU xt } giới nội Từ (2.1) ta có: ||xt − PC [U xt ]|| = ||PC [tσf (xt ) + (I − tB) U xt ] − PC [U xt ] || ≤ t||σf (xt ) − BU xt || Dẫn đến: lim ||xt − PC [U xt ] || t→0 (2.3) Tiếp theo, chúng tơi xin trình bày việc chứng minh {xt } compắc định
chuẩn tương đối t → 0+ Giả thiết {tn } ⊂ 0, α−σκ với tn → 0+ n → ∞ Đặt xn = xtn Từ (2.3) ta có lim ||xn − PC [U xn ] || = n→∞ (2.4) Đặt yt = tσf (xt ) + (I − tB) U xt , theo ta có xt = PC [yt ], với x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) thì: xt − x˜ = xt − yt + yt − x˜ = xt − yt + tσ (f (xt ) − f (˜ x)) + (I − tB) (U xt − x˜) + t (f (˜ x) − B x˜) luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com (2.5) luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach 24 Bằng cách sử dụng tính chất (1.11) phép chiếu mêtric, ta có: hxt − yt , xt − x˜i ≤ (2.6) Kết hợp (2.5) (2.6), ta ||xt − x˜|| = hxt − yt , xt − x˜i + tσ hf (xt ) − f (˜ x), xt − x˜i + h(I − tB) (U xt − x˜) , xt − x˜i ≤ tσ||f (xt ) − f (˜ x)|| ||xt − x˜|| + ||I − tB|| ||U xt − x˜|| ||xt − x˜|| + t hσf (˜ x) − B x˜, xt − x˜i ≤ tσκ||xt − x˜||2 + (1 − αt)||xt − x˜||2 + t hσf (˜ x) − B x˜, xt − x˜i = [1 − (α − σκ) t] ||xt − x˜||2 + t hσf (˜ x) − B x˜, xt − x˜i Vì vậy: ||xt − x˜||2 ≤ hσf (˜ x) − B x˜, xt − x˜i α − σκ Đặc biệt: ||xn − x˜||2 ≤ hσf (˜ x) − B x˜, xn − x˜i , x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) (2.7) α − σκ Vì {xn } giới nội nên tồn dãy {xni } {xn } hội tụ yếu đến điểm {x∗ } Khơng làm tính tổng quát ta giả sử {xn } hội tụ yếu đến {x∗ } Chú ý (2.4) sử dụng Bổ đề 1.2.1 để nhận x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q) Khi đó, ta thay x∗ cho x˜ (2.7) để nhận ||xn − x∗ ||2 ≤ hσf (x∗ ) − Bx∗ , xn − x∗ i α − σκ Sau đó, từ xn * x∗ kéo theo xn → x∗ Điều chứng minh tính compắc tương đối lưới {xt } với t → + Khi n → ∞ (2.7), ta luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach 25 có ||x∗ − x˜||2 ≤ hσf (˜ x) − B x˜, x∗ − x˜i , x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) α − σκ Điều kéo theo x∗ ∈ Ω xác định bất đẳng thức biến phân hσf (˜ x) − B x˜, x˜ − x∗ i ≤ 0, x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) (2.8) Nhờ Bổ đề 1.2.2, (2.8) tương đương với bất đẳng thức biến phân đối ngẫu hσf (x∗ ) − Bx∗ , x˜ − x∗ i ≤ 0, ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) Đây (2.2) Theo tính nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.2) ta suy điểm hội tụ tập {xt } (t → 0+) x∗ Do xt → x∗ Điều kết thúc chứng minh Lấy B = I (2.1) ta có hệ sau Hệ 2.1.2 Với t → 0+, lưới {xt } xác định xt = PC [tσf (xt ) + (1 − t) (I − γA∗ (I − PQ ) A) xt ] , t ∈ 0, 1−σκ (2.9)
hội tụ đến điểm x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân sau x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q) hσf (x∗ ) − x∗ , x˜ − x∗ i ≤ 0, (2.10) ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) Lấy f = (2.9) ta có hệ sau Hệ 2.1.3 Với t → 0+ lưới {xt } định nghĩa xt = PC [(1 − t) (I − γA∗ (I − PQ ) A) xt ] , t ∈ (0, 1) (2.11) hội tụ đến điểm x∗ nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách (1.8) luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach 26 Chứng minh Nếu lấy f = 0, (2.9) rút gọn thành (2.11) Vì vậy, xt → x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q) mà thỏa mãn h−x∗ , x˜ − x∗ i ≤ 0, ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) Vì thế, ||x∗ ||2 ≤ h−x∗ , x˜i ≤ ||x∗ || ||˜ x|| ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) Do mà kéo theo ||x∗ || ≤ ||˜ x|| với x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) Điều nghĩa x∗ nghiệm chuẩn cực tiểu toán chấp nhận tách (1.8) Điều kết thúc chứng minh 2.2 2.2.1 Phương pháp lặp Mơ tả phương pháp Thuật tốn 2.2.1  Cho điểm tùy ý x0 , ta định nghĩa xk k≥0 dãy lặp xk+1 = (1 − βk )xk + βk PC αk σf (xk ) +βk PC (I − αk B) [I − γA∗ (I − PQ )A]xk , với k ≥ 0, {αk } {βk } hai dãy thực [0,1]  Với dãy lặp xk k≥0 ta xác định xk+1 dựa vào xk biết 2.2.2 Sự hội tụ phương pháp Định lý 2.2.2 Giả sử dãy {αk } {βk } thỏa mãn điều kiện sau: P (C1) lim αk = ∞ k=0 αk = ∞, k→∞ luan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tachluan.van.thac.si.phuong.phap.lap.an.va.phuong.phap.lap.tach.giai.bai.toan.chap.nhan.tach download by : skknchat@gmail.com (2.12)