luận văn thạc sĩ một số bài toán về đường tròn tiếp xúc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ NĂM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRỊN TIẾP XÚC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ NĂM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRỊN TIẾP XÚC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2018 download by : skknchat@gmail.com i Danh möc h¼nh 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 B i to¡n Feuerbach Düng ÷íng trán Thebault nh lỵ Thebault Bờ sung tẵnh chĐt cừa t¥m I B i to¡n cì b£n a) P Q i qua I ; b) P Q i qua IC c) P Q i qua IA ; d) P Q i qua IB CĂc trữớng hủp cừa nh lỵ Thebault Tø b i to¡n Thebault ¸n nh lỵ Feuerbach Mằnh à 1.3 nh lỵ Feuerbach ối vợi ữớng trỏn bng tiáp IMO 2012 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 B i to¡n Malfatti Tờng diằn tẵch cĂc hẳnh trỏn Malfatti khæng Nghi»m cõa b i to¡n Malfatti gèc Lới giÊi Ôi số Lới giÊi Ôi số-hẳnh hồc cừa Schellbach Khi R = 21 ; a = sin α, b = sin β, c = sin γ Ph²p düng phö v  ph²p düng phö Php dỹng bơng phƯn mÃm GeoGebra, nôm B i to¡n A B i to¡n B 10 11 12 13 14 16 17 18 ph£i l  lỵn nh§t 2013 20 21 24 25 26 28 29 30 32 33 3.1 arbelos - hẳnh "con dao thủ ống giƯy" 39 3.2 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos 41 3.3 nh lỵ Bankoff thù nh§t 42 download by : skknchat@gmail.com ii 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 Ba c¡ch düng ÷íng trán nởi tiáp arbelos ABC CĂch dỹng thự tữ cừa ữớng trỏn nởi tiáp Cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v thự hai nh lỵ Bankoff thự hai C°p ÷íng trán Archimedes thù ba v thự tữ Cp ữớng trỏn Archimedes thự nôm v  thù s¡u C°p ÷íng trán thù b£y, thù t¡m C°p ÷íng trỏn thự chẵn v cp thự mữới C°p thù m÷íi mët v  c°p thù m÷íi hai download by : skknchat@gmail.com 43 45 46 47 48 49 50 51 52 luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc iii Mưc lưc Líi c£m ìn Mð ¦u Tø b i to¡n Thebault ¸n b i to¡n Feuerbach 1.1 Giỵi thi»u v· hai b i to¡n: b i to¡n Thebault v  b i to¡n Feuerbach 1.1.1 B i to¡n Feuerbach 1.1.2 B i to¡n Thebault 1.2 B i to¡n cì b£n 1.2.1 p dưng b i to¡n cì bÊn chựng minh nh lỵ Thebault 1.2.2 Tứ nh lỵ Thebault án nh lỵ Feuerbach 1.3 p döng B i to¡n Malfatti 2.1 Giỵi thi»u b i to¡n Malfatti 2.2 Líi gi£i b i to¡n Malfatti gèc 2.3 Líi gi£i b i to¡n Malfatti 2.3.1 CĂch dỹng Ôi số 2.3.2 C¡ch dỹng Ôi số-hẳnh hồc cừa Schellbach 2.4 Mët sè b i to¡n kiºu Malfatti gèc 2.4.1 Hai bi toĂn Malfatti ối ngău 2.4.2 B i to¡n Malfatti cho tam gi¡c ·u v  h¼nh vng 2.4.3 B i to¡n Malfatti cho ÷íng trán ÷íng trỏn tiáp xúc hẳnh hồc arbelos vi 4 12 14 17 20 20 22 24 24 26 31 31 34 37 38 3.1 Mët sè b i to¡n ìn gi£n 38 luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc iv 3.2 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos 3.2.1 Tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos 3.2.2 C¡ch düng ÷íng trán nëi ti¸p arbelos ABC 3.3 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes arbelos 3.3.1 C°p ÷íng trán Archimedes thù nhĐt v thự hai 3.3.2 Cp ữớng trỏn Archimedes thù ba v  thù t÷ 3.3.3 CĂc cp ữớng trỏn Archimedes thự nôm v thự s¡u 3.3.4 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes thù b£y v  thù t¡m T i li»u tham kh£o luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com 40 40 44 45 45 48 49 50 54 luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc v BÊng kỵ hiằu stt 10 11 Kỵ hiằu O9 ρa (ABC) (O) (OA , rA ) [ABC] (P Q) O(r) ab t= a+b (Wk ), (Wk0 ) (CXY ) Nởi dung kỵ hiằu TƠm ữớng trỏn Euler BĂn kẵnh ữớng trỏn bng tiáp Ab ữớng trỏn i qua iºm A, B, C 11 ÷íng trán tƠm O 17 TƠm, bĂn kẵnh ữớng trỏn Malfatti Ab 24 Hẳnh arbelos 22 Nỷa ữớng trỏn ữớng kẵnh P Q 38 ữớng trỏn tƠm O, bĂn kẵnh r 38 BĂn kẵnh ữớng trỏn Archimedes 45 Cp ữớng trỏn Archimedes ữớng trỏn Bankoff hẳnh arbelos 46 47 luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc vi Líi c£m ìn º hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa PGS.TS Nguyạn Viằt HÊi, GiÊng viản cao cĐp Trữớng Ôi hồc HÊi Phỏng Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhỳng iÃu thƯy  dnh cho tổi Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn o tÔo, Khoa ToĂn-Tin, quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K10B (2016 - 2018) Trữớng Ôi hồc khoa Hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tổi hon thnh khõa hồc Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! HÊi Phỏng, thĂng 10 nôm 2018 Ngữới viát Luên vôn Vụ Th Nôm luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc M Ưu Mửc ẵch cừa à ti luên vôn CĂc bi toĂn và ữớng trán ln l  nhúng b i to¡n ÷đc c¡c nh  to¡n hồc quan tƠm NhiÃu bi toĂn và sỹ tiáp xúc cừa cĂc ữớng trỏn  gưn liÃn vợi tản tuời cõa c¡c nh  to¡n håc nh÷ b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach, b i to¡n Malfatti, c¡c b i to¡n v· ÷íng trán h¼nh håc arbelos ("h¼nh dao cõa thđ õng giƯy") Sỹ dăn dưt tứ bi toĂn ny sang b i to¡n kh¡c cịng c¡c ùng dưng cõa chóng ¢ mang lÔi nhiÃu kát quÊ tuyằt với cừa hẳnh hồc Euclide  hiu biát thảm và cĂc cĂc ữớng trỏn tiáp xúc, khai thĂc cĂc tẵnh chĐt, cĂch xĂc nh chóng, ¡p dưng ÷đc v o c¡c b i to¡n kh¡c, tỉi  chồn à ti "Mởt số bi toĂn và ữớng trỏn tiáp xúc" Mửc ẵch cừa à ti l: -Tẳm hiu cĂc bi toĂn liản quan án cĂc ữớng trỏn ti¸p xóc: b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach, b i to¡n Malfatti, cĂc bi toĂn và ữớng trỏn tiáp xúc h¼nh håc arbelos - Tr¼nh b y méi b i to¡n vợi nhỳng nởi dung ữủc cêp nhêt, theo trẳnh tỹ: xuĐt cừa bi toĂn, cĂch giÊi quyát mợi cừa b i to¡n v  c¡c b i to¡n li¶n quan - C¡c kát luên khoa hồc rút tứ cĂc bi toĂn v  ¡p döng º gi£i to¡n håc sinh giäi ð phờ thổng - Bỗi dữùng nông lỹc dÔy cĂc chuyản à khõ trữớng THCS v THPT gõp phƯn o tÔo hồc sinh hồc giọi mổn Hẳnh hồc luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 2 Nëi dung cõa · ti, nhỳng vĐn à cƯn giÊi quyát Trẳnh by mởt c¡ch h» thèng c¡c b i to¡n nâi tr¶n, ¡p dưng ữủc cĂc tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn tiáp xúc vo cĂc bi toĂn khĂc Nởi dung luên vôn chia lm chữỡng: Chữỡng Tứ bi toĂn Thebault án bi to¡n Feuerbach X²t hai b i to¡n : b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach v  mèi li¶n h» giúa chóng B i to¡n Feuerbach l  mët nhúng b i to¡n µp ³ nhĐt cừa hẳnh hồc phng Euclide trÊi qua nhiÃu nôm thĂng vợi nhiÃu cĂch chựng minh Chữỡng ny bao gỗm: 1.1 Giỵi thi»u v· hai b i to¡n: b i to¡n Thebault v  b i to¡n Feuerbach 1.2 B i to¡n cì b£n 1.3 p dửng Chữỡng Bi toĂn Malfatti Giợi thiằu bi to¡n Malfatti v  b i to¡n Malfatti gèc Tr¼nh b y chi ti¸t líi gi£i b i to¡n to¡n Malfatti cho tam gi¡c bĐt ký, giÊi thẵch Ưy ừ tÔi cĂc ữớng trán Malfatti khæng l  nghi»m cõa b i to¡n Malfattigèc v  Ơu l nghiằm úng cừa bi toĂn õ Chữỡng ny bao gỗm cĂc mửc sau: 2.1 Giợi thiằu bi toĂn Malfatti 2.2 Líi gi£i cõa b i to¡n Malfatti gèc 2.3 Líi gi£i b i to¡n Malfatti 2.4 Mët sè b i to¡n kiu Malfatti gốc Chữỡng ữớng trỏn tiáp xúc hẳnh hồc arbelos Hẳnh hồc arbelos nghiản cựu cĂc nỷa ữớng trỏn tiáp xúc, chỳ "arbelos" ữủc ghp tứ c¡i α, %, β, η, λ, θ, ς th nh (% ) Hẳnh arbelos l ba nỷa ữớng trỏn vợi cĂc ữớng kẵnh trản mởt ữớng thng Theo quan im trỹc quan, ngữới ta gồi arbelos l "hẳnh dao cõa thđ âng gi¦y" luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 40 Chùng minh Xem \ \ = h¼nh 3.1b) Ta câ c¡c gâc vuæng AU C = ADB b , D, b Vb cõa tù gi¡c CU DV ·u b¬ng 1v Suy \ CV B = 1v n¶n ba gâc U tù gi¡c CU DV l  h¼nh nhêt Bi toĂn 3.3 GiÊ thiát nhữ bi toĂn trản, õ ữớng thng U V l tiáp tuyán cừa hai nûa ÷íng trán (AC) v  (CB) Chùng minh Gåi O l  trung iºm CD Ta câ" \ \ \ AU C = 900 , U AC = 900 − U CA \ \ \ \ LÔi cõ U CD = 1v − U CA n¶n AU C =U CD, vªy ∆U O1 C ∼ ∆U CD \ \ \ v  suy U\ O1 C = U OD V¼ C, O, D th¯ng h ng n¶n CU O+U OD = 0 \ \ \ \ 180 hay U O1 C + U OC = 180 m  O1 CO = 90 n¶n O1 U C = 900 hay O1 U U O Nhữ thá U V tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AC) tÔi U Hon ton tữỡng tỹ, U V tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (CB) tÔi V 3.2 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos Ta xt nh nghắa ữớng trỏn nởi tiáp, phĂt biu v chựng minh mởt số tẵnh chĐt  tứ õ cõ cĂc cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp mởt Arbelos 3.2.1 Tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos nh nghắa 3.1 Cho Arbelos ABC ữớng trỏn tiáp xúc ngoi vợi (BC), (CA) tÔi X, Y v tiáp xúc vợi (AB) tÔi Z ữủc gồi l ữớng trán nëi ti¸p cõa arbelos ABC Ba iºm X, Y, Z l cĂc tiáp im Mằnh à 3.1 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC cõ bĂn kẵnh = ab(a + b) a2 + ab + b2 Chùng minh Gåi l tƠm v l bĂn kẵnh ữớng trỏn nëi ti¸p , °t \ ωOO2 = θ Theo ành lỵ cổsin Ăp dửng vo O1 O, O2 O: O1 ω = Oω + OO12 + 2Oω.OO1 cosθ O2 ω = Oω + OO22 + 2Oω.OO2 cosθ luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 41 H¼nh 3.2: ữớng trỏn nởi tiáp arbelos tữỡng ữỡng vợi (a + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + b2 + 2b(a + b − ρ)cosθ (b + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + a2 + 2a(a + b − ρ)cosθ Khû cosθ ta ÷đc a(a + ρ)2 + b(b + ρ)2 + b2 = (a + b)(a + b − ρ)2 + ab2 + ba2 Khai triºn hai vá v giÊn ữợc ta ữủc phữỡng trẳnh bêc nhĐt èi vỵi ρ: a3 + b3 + 2(a2 + b2 )ρ = (a + b)2 + ab(a + b) − 2(a + b)2 ρ hay ρ = ab(a + b) a + ab + b2 Trong [5], P.Woo  ữa cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp cừa hẳnh arbelos rĐt ỡn giÊn, tĐt cÊ Ãu suy tø vi»c ph¡t hi»n iºm thc ÷íng trán Ngay sau Ơy ta s trẳnh by cĂc tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn nởi tiáp Tứ õ suy cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp hẳnh arbelos Mằnh à 3.2 (nh lỵ Bankoff thự nhĐt) GiÊ sỷ Q1, Q2 l trung im nỷa ữớng trỏn (AC), (BC) Vợi kỵ hiằu nhữ nh nghắa ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos ABC thẳ i, A, C, X, Z nơm trản ữớng trỏn, tƠm l Q1 ii, B, C, Y, Z nơm trản ữớng trỏn, tƠm l Q2 luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 42 Hẳnh 3.3: nh lỵ Bankoff thự nhĐt Chùng minh Xem h¼nh 3.3 Gåi D l  giao cõa nỷa ữớng trỏn ữớng kẵnh AB vợi ữớng thng CtAB Lữu ỵ rơng ta cõ AB.AC = AD2 Xt php nghch Êo vợi ữớng trỏn nghch Êo l (A, AD) Hai iºm B, C l  nghàch £o cõa nhau, cán AB l  ÷íng th¯ng k²p ƒnh cõa c¡c nûa ÷íng trán (AB), (AC) t÷ìng ùng l  c¡c ÷íng thng `, `0 vuổng gõc vợi AB , lƯn lữủt i qua C v  B Nûa ÷íng trán (AB) trỹc giao vợi AB (kp) nản cụng l nỷa ữớng trỏn kp ữớng trỏn nởi tiáp (XY Z) nghch Êo thnh ữớng trỏn tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (BC) v cĂc ữớng thng `, `0 tữỡng ựng tÔi im P, Y , Z Vẳ nỷa ữớng trán (BC) k²p n¶n c¡c iºm A, X, P th¯ng h ng; c¡c iºm Y , Z , c¦n thäa m¢n i·u ki»n º BP Z v  CP Y l cĂc ữớng thng tÔo vợi AB cĂc gõc 450 Ta lÔi cõ ữớng thng BP Z i qua trung iºm L cõa ÷íng trán (AB) ƒnh nghàch £o cõa nâ l  ÷íng i trán i qua A, C, X, Z V¼ ph²p nghàch £o b£o ton gõc nản ữớng trỏn ny cụng tÔo vợi AB gâc 450 Do â t¥m cõa nâ l  trung im Q1 cừa ữớng trỏn (AC) PhƯn thự hai hon to n t÷ìng tü luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 43 Hẳnh 3.4: Ba cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC M»nh · 3.3 C¡c ÷íng th¯ng AX, BY, CZ cưt tÔi im S trản ữớng trỏn nởi tiáp (XYZ) Chùng minh Xem h¼nh 3.4 b) Ta ln câ A, X, Q2 th¯ng h ng, B, Y, Q1 th¯ng h ng Gåi S = AQ2 ∩ (XY Z) v  x²t php nghch Êo vợi ữớng trỏn nghch Êo l A(AD) ƒnh nghàch £o cõa S l  S = AQ2 ∩(Q2 Y Z ) 0 0Z = Q 0 0 \ \ \0 \ Lữu ỵ rơng AS S Z = Q2 Y Z = 45 = ABZ n¶n A, B, S , Z thuởc mởt ữớng trỏn Bơng cĂch xt Ênh nghàch £o cõa ÷íng trán n y ta rót CZ chùa S Nâi c¡ch kh¡c AQ2 v  CZ c­t tÔi im S trản ữớng trỏn (XY Z) Cụng giống nhữ vêy ối vợi BQ1 v CZ Mằnh · 3.4 Gåi M l  trung iºm cõa nûa ÷íng trỏn (AB) ối xựng vợi nỷa ữớng trỏn (AB) cừa arbelos ABC Khi â, c¡c iºm A, B, X, Y nơm trản ữớng trỏn tƠm M v CZ i qua M Chùng minh Xem h¼nh 3.4 c) V¼ C, Q2, Y nơm trản ữớng thng tÔo vợi AB gõc 450 nản Ênh nghch Êo cừa nõ l mởt ữớng trỏn i qua A, B, X, Y cụng tÔo vợi AB gõc 450 TƠm cừa ữớng trỏn ny phÊi l  trung iºm M cõa nûa ÷íng trán (AB) èi xùng vỵi nûa (AB) cõa arbelos qua AB Nèi M n¶n iºm A, Z , B, M \ = 450 = BZ \ AM , nâ c­t ` ð M V¼ BAM ỗng viản Sỷ dửng php nghch Êo ta suy CZ i qua M luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 44 3.2.2 CĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC Ta câ nhi·u c¡ch düng ÷íng trán nëi t¸p mët arbelos: C¡ch düng (Suy tø m»nh · 3.2), h¼nh 3.4 a)) - Düng Q1 , Q2 l  trung iºm c¡c nûa ÷íng trán (AB), (CB) - Düng ÷íng trán Q1 (Q1 A) c­t c¡c nûa ÷íng trán (CB), (AB) lƯn lữủt X, Y - Dỹng ữớng trán Q2 (Q2 B) c­t c¡c nûa ÷íng trán (AC), (AB) lƯn lữủt Y, Z - ữớng trỏn ngoÔi tiáp XY Z l ữớng trỏn cƯn dỹng CĂch dỹng (Suy tø m»nh · 3.3), h¼nh 3.4 b)) - Düng X = AQ2 ∩ (CB), Y = BQ1 = ∩(AC), gåi S l  giao cõa c¡c ÷íng th¯ng AQ2 , BQ1 - ữớng trỏn ngoÔi tiáp XY Z l ữớng trỏn cƯn dỹng CĂch dỹng (Suy tứ mằnh · 3.4), h¼nh 3.4 c)) - Düng M l  trung im nỷa ữớng trỏn ối xựng vợi nỷa ữớng trỏn (AB) Arbelos - Düng ÷íng trán M (M A), nõ cưt cĂc nỷa ữớng trỏn (CB), (AC) lƯn lữủt ð X, Y - Düng ÷íng th¯ng M C , nâ c­t nûa ÷íng trán (AB) ð Z - ÷íng trỏn ngoÔi tiáp XY Z l ữớng trỏn cƯn dỹng Ta lÔi thĐy rơng tƠm cừa (XY Z) chẵnh l giao cừa cĂc ữớng thng nối X, Y, Z lƯn lữủt l tƠm cĂc nỷa ữớng trỏn (BC), (AC), (AB) Tuy nhiản ta cõ th dỹng tƠm mởt cĂch ỡn giÊn hỡn, bơng cĂch ch cƯn dỹng hai hẳnh vuổng (hẳnh 3.5) Ta kỵ hiằu tƠm cừa (XY Z) l ω º sû döng v· sau luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 45 Hẳnh 3.5: CĂch dỹng thự tữ cừa ữớng trỏn nởi tiáp 3.3 CĂc cp ữớng trỏn Archimedes arbelos CĂc cp ữớng trỏn cõ tẵnh chĐt giống c°p ÷íng trán Archimedes ÷đc ph¡t hi»n v  cỉng bè nhiÃu cĂc bi bĂo khoa hồc gƯn Ơy Cp ữớng trỏn thự nhĐt chẵnh Archimedes tẳm ra, chựng minh ữủc chúng cõ bĂn kẵnh bơng khổng phử thuởc vo v trẵ cừa im C trản AB 3.3.1 Cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v thự hai Mằnh à 3.5 (nh lỵ Archimedes) Hai ữớng trỏn tiáp xúc vợi CD, vợi nỷa ữớng trỏn O(a+b) v mët hai nûa ÷íng trán O1(a), O2(b) câ b¡n k½nh t = a ab khỉng phư thc v o trẵ cừa C trản AB +b Chựng minh Xt ữớng trỏn tiáp xúc vợi cĂc nỷa ữớng trỏn O(a + b), O1 (a) v CD Kỵ hiằu t l bĂn kẵnh ữớng trỏn Bơng cĂch tẵnh khoÊng cĂch tứ tƠm ữớng trỏ ny tợi AB theo cĂch ta cõ phữỡng trẳnh (a + b t)2 (a b − t)2 = (a + t)2 − (a − t)2 ab a+b Do t½nh èi xùng cõa biu thực ối vợi a, b ta suy ữớng trán thù hai cơng câ b¡n k½nh t Tø â, t = luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 46 H¼nh 3.6: Cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v thự hai Hai ữớng trỏn nõi trản l cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt Php dỹng ữớng trỏn Archimedes ữủc thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau - Dỹng Q1 , Q2 l trung iºm nûa ÷íng trán (AB) v  CB - Düng K = O1 Q2 ∩ O2 Q1 , th¼ K ∈ CD v  KC = KC = ab Chó ỵ rơng a+b ab = t - bĂn kẵnh cừa c¡c ÷íng trán Archimedes a+b - Düng M1 , M2 ∈ AB cho CM1 = CM2 = KC - Düng W1 = O1 (O1 M2 ) ∩ M1 u vợi M1 uAB õ l tƠm Archimedes thự nhĐt - Düng W10 = O2 (O2 1M1 ) ∩ M2 v vợi M1 vAB õ l tƠm Archimedes thự hai Trản hẳnh 3.6 ta kỵ hiằu (W1 ), (W10 ) Sau Archimedes ngữới ta tẳm ữủc ab khĂ nhiÃu cĂc cp ữớng trỏn cõ bĂn kẵnh v cõ tẵnh chĐt tiáp xúc a+b giống nhữ thá Chúng tổi s lƯn lữủt trẳnh by mởt số cp, cõ cÊ nhỳng cp ữủc phĂt hiằn nhỳng nôm gƯn Ơy Cp ữớng trỏn (W2 ), (W20 ) lƯn lữủt l hẳnh chiáu cừa (W1 ), (W10 ) lản AB õ l  c°p ÷íng trán Archimedes thù hai, c¡c c°p ÷íng trán (W1 ), (W20 ) luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 47 câ ti¸p tuy¸n chung i qua B , cán c¡c c°p (W10 ), (W2 ) câ ti¸p tuy¸n chung i qua A, hẳnh 3.6 Cp ny ữủc phĂt hiằn bi C.W Dodge, cổng bố tÔp chẵ Math Mag.,72(1999) Hẳnh 3.7: nh lỵ Bankoff thự hai Mằnh à 3.6 (nh lỵ Bankoff thự hai) GiÊ sỷ ữớng trỏn nởi tiáp cừa arbelos [ABC] tiáp xúc hai nỷa ữớng trỏn (AC) v (CB) tữỡng ựng tÔi X,Y Khi õ ÷íng trán i qua C, X, Y cơng câ b¡n kẵnh bơng t = a ab +b Chựng minh Ró rng ữớng trỏn (CXY ) l ữớng trỏn nởi tiáp cõa tam gi¡c ωO1 O2 v  ωX = ωY = t, O1 X = O1 C = a, O2 Y = O2 C = b Nûa chu vi cõa tam gi¡c CO1 O2 b¬ng (a + b)2 ab(a + b) a + b + t = (a + b) + = a + ab + b2 a2 + ab + b2 S BĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc ữủc tẵnh theo cổng thực r = p s r abt ab.ab(a + b) ab r= = = a+b+t (a + b)3 a+b â ch½nh l  b¡n k½nh t cõa ÷íng trán Archimedes ÷íng trán CXY â câ tản gồi l ữớng trỏn Bankoff, hẳnh 3.7 Kát quÊ n y ch¿ mèi quan h» giúa ÷íng trán nëi tiáp arbelos v ữớng trỏn Bankoff (cụng l ữớng trỏn Archimedes) ỗng thới ữớng trỏn Bankoff lÔi l ữớng trỏn nëi tieps cõa tam gi¡c ωO1 O2 luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 48 3.3.2 C°p ÷íng trán Archimedes thự ba v thự tữ Hẳnh 3.8: Cp ữớng trỏn Archimedes thự ba v thự tữ Kỵ hiằu thảm I l  trung iºm cung AB ÷íng vng gâc vợi AB , i qua O, C lƯn lữủt cưt Q1 Q2 ð I, J Khi â ta câ CJ = 2t v  v¼ O v  C èi xùng qua trung im cừa O1 O2 nản theo tẵnh chĐt ữớng trung bẳnh hẳnh thang ta cõ: OI = (a + b) − 2t K²o theo II = 2t lữu ỵ rơng OQ1 = OQ2 v vẳ I v J lÔi ối xựng qua trung im cõa Q1 Q2 n¶n câ JJ = II = 2t Tứ õ suy ra: hai ữớng trỏn tƠm (W3 ), (W30 ) méi ÷íng trán i qua I, J v tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn lợn nhĐt cừa arbelos Ãu cõ bĂn kẵnh bơng t õ l c°p ÷íng trán Archimedes thù ba cõa arbelos [ABC], xem hẳnh 3.8a Cp ny ữủc phĂt hiằn bi Thomas Schoch, Germany Nôm 1970 T.Schoch  lữu ỵ rơng cõ rĐt nhiÃu ữớng trỏn Archimedes hẳnh Arbelos ab GiÊ sỷ t = nhữ trản Náu U V l tiáp tuyán chung ngo i cõa hai a+b nûa ÷íng trán nhä hẳnh arbelos v tiáp xúc vợi dƠy cung HK cừa nỷa ữớng trỏn lợn Gồi W4 = O1 W O2 U V¼ O1 U = a, O2 V = b v  O1 C a ab = n¶n W4 = = t iÃu õ nghắa l ữớng trỏn W4 (t) i CO2 b a+b qua C v  ti¸p xóc vỵi HK ð iºm N Gåi M l  trung iºm cõa HK V¼ O v  C èi xùng qua trung iºm cõa O1 O2 n¶n OM + CN = O1 U + O2 V = a + b Tø â suy (a + b) − OM = CN = 2t Nghắa l ữớng trỏn tiáp xúc vợi dƠy HK v cung HK cõ bĂn kẵnh t ữớng trỏn tƠm W40 ny tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AB) im Q Cp ữớng trỏn tƠm W4 (t), (W40 (t) gåi l  c°p ÷íng trán Archimedes thù tữ, hẳnh 3.8b) luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 49 3.3.3 CĂc cp ữớng trỏn Archimedes thự nôm v thự sĂu Hẳnh 3.9: Cp ữớng trỏn Archimedes thự nôm v thự sĂu Nôm 2005, Frank Power  phĂt hiằn c°p ÷íng trán Archimedes (W5 ), (W50 ) v  (W6 ), (W60 ), xem [3] M»nh · 3.7 ữớng trỏn tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AB) v tiáp xúc vợi OQ1 Q1 (Hoc tiáp xúc vợi OQ2 Q2 ) cõ bĂn kẵnh t = a ab +b Chùng minh Câ hai ÷íng trán tiáp xúc vợi OQ1 Q1, trản hẳnh 3.9 ta kỵ hiằu tƠm l W5 v W50 Xt ữớng trỏn tƠm W5 , bĂn kẵnh r Ta cõ cĂc tam gi¡c vng OQQ1 v  OW5 Q1 n¶n: OQ21 = O1 Q21 + OO12 = a2 + b2 , thay v o ¯ng thùc sau OW52 = Q1 W52 + OQ21 ⇐⇒ (a − b − r)2 = (a2 + b2 ) + r2 ab Tẵnh toĂn nhữ thá thu ữủc (W50 ) cụng cõ bĂn kẵnh t Tứ õ, r = a+b Hon ton tữỡng tỹ, ta cõ thảm c°p (W6 ), (W60 ) C°p ÷íng trán (W5), (W50 ) v  (W6), (W60 ) cán ÷đc gåi l  c°p ữớng trỏn kiu Pewer Ta s giợi thiằu thảm cp nhữ vêy luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 50 3.3.4 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes thù b£y v  thù tĂm Gồi M l trung im cừa CD, kỵ hiằu im xuyản tƠm ối cừa ữớng kẵnh ữớng trỏn CD, vng gâc vỵi OM v  U1 , U2 Chú ỵ rơng OC = (a b)2 v vẳ CD = ab nản OD2 = a2 − ab + b2 v  OU12 = a2 + b2 Hẳnh 3.10: Cp ữớng trỏn thự bÊy, thự tĂm BƠy giớ xt cp ữớng trỏn bơng nhau, mội ữớng trỏn tiáp xúc O(a+b) v tiáp xúc vợi tÔi U1 v U2 BĂn kẵnh r cừa cĂc ữớng trán n y thäa m¢n (a + b − r)2 = OU12 + r2 Thay c¡c ¯ng thù tr¶n v o phữỡng trẳnh ab thu ữủc: r = Vêy ta câ c°p ÷íng trán Archimedes thù b£y kiºu a+b Power (W7 ), (W70 ) Bơng cĂch lĐy ối xúng qua OM ta câ c°p ÷íng trán Archimedes thù t¡m kiºu Power (W8 ), (W80 ), h¼nh 3.10 Hai c°p n y ÷đc ph¡t hi»n bði Floor van Lamoen (St Wilibrordcollege, Fruitlaan 3, 4462 EP Goes, The Netherlands) N«m 2014, Dao Thanh Oai v  Tran Quang Hung cơng giỵi thi»u c°p ÷íng trán Archimedes Forum Geometricorum: c°p (W9 ), (W90 ) v  0 c°p (W10 ), (W10 ) tr¶n h¼nh 3.11 cõa Dao Thanh Oai; c°p (W11 ), (W11 ) v cp (W12 ), (W12 ) trản hẳnh 3.12 cõa Tran Quang Hung ab(a + b)2 Chùng minh rơng diằn tẵch IO1O2 bơng a2 + ab + b2 v  I c¡ch AB mët kho£ng b¬ng 2ρ B i to¡n 3.4 luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 51 B i to¡n 3.5 Chựng minh rơng cĂc tiáp im cừa I() vợi cĂc nỷa ữớng trỏn cõ th xĂc nh ơng cĂch: X,Z l  giao cõa Q1(Q1A) vỵi hai nûa O1 (a), O(a+b), cán X, Z l  giao cõa Q2 (Q2 B) vợi hai nỷa O2 (b), O(a+b) Hẳnh 3.11: Cp ữớng trỏn thự chẵn v cp thự mữới Bi toĂn 3.6 (T O Dao) Trản hẳnh 3.11, giÊ sỷ A' B' l cĂc hẳnh chiáu vuổng gõc cừa D trản tiáp tuyán tÔi K v H cừa ữớng trỏn ữớng kẵnh AB, tữỡng ựng CĂc ữớng trỏn ữớng kẵnh DA' v DB' l  c¡c ÷íng trán Archimedes B i to¡n 3.7 (T O Dao) Trản hẳnh 3.11, giÊ sỷ A1A2 v B1B2 l tiáp tuyán cừa hai ữớng trỏn (AC), (CB) vợi A1, B1 ∈ AB v  A1A2 = a, B1 B2 = b Gåi W10 = CQ1 ∩ A1 B2 , W10 = CQ2 ∩ B1 A2 Khi â cĂc ữớng trỏn tƠm W10, W10 i qua C l  c¡c ÷íng trán Archimedes B i to¡n 3.8 (Q H Tran) Trản hẳnh 3.12, cĂc ữớng thng vuổng gõc vợi AB tÔi O1, O2 cưt (AB) tữỡng ựng tÔi E, F Kỵ hiằu W11 = AF 0 (AC), W11 = BE (CB) thẳ cĂc ữớng trỏn tƠm W11 , W11 tiáp xúc vỡi CD l cĂc ữớng trán Archimedes luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 52 B i toĂn 3.9 (Q H Tran) Trản hẳnh 3.12, giÊ sỷ W12 l giao cừa AD vợi nỷa ữớng trỏn (AO2) v W120 l giao cừa BD vợi nỷa ữớng trỏn (BO1 ) CĂc ữớng trỏn tƠm W12 v W12 tiáp xúc vợi CD l cĂc ữớng trỏn Archimedes Hẳnh 3.12: C°p thù m÷íi mët v  c°p thù m÷íi hai B i to¡n 3.10 (÷íng trán cõa Schoch) ÷íng trán C nởi tiáp tam giĂc cong b giợi hÔn bi nûa ÷íng trán O(a+b) v  c¡c ÷íng trán A(2a), B(2b) Chựng minh rơng C l ữớng trỏn Archimedes luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc 53 Kát luên cừa luên vôn Luên vôn  trẳnh by ữủc cĂc kát quÊ sau Trẳnh by hai bi toĂn nời tiáng vợi hữợng chùng minh mỵi: B i to¡n Thebault v  b i to¡n Feuerbach xu§t ph¡t tø b i to¡n cì b£n v  têng qu¡t hâa Tr¼nh b y líi gi£i b i to¡n Malfatti v· dỹng ữớng trỏn v trẳnh by tữớng minh và nghi»m cõa b i to¡n Malfatti gèc còng ba b i to¡n kiu Malfatti (cho tam giĂc Ãu, hẳnh vuổng v ữớng trán) Ph¡t biºu v  tr¼nh b y líi gi£i mët số bi toĂn và ữớng trỏn tiáp xúc hẳnh hồc Arbelos ữa cĂc kát quÊ và cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos ABC v giợi thiằu 12 cp ữớng trỏn Archimedes cừa Arbelos CĂc kát quÊ ny mợi ữủc cổng bố cĂc bi bĂo gƯn Ơy: [2], [4], [5], [7] Chúng tổi nhên thĐy cĂc hữợng nghiản cựu tiáp theo: - Tẳm thảm và cĂc bi toĂn ựng dửng kát quÊ cừa cĂc nh lỵ luên vôn Tẳm hiu sƠu thảm và hẳnh hồc Arbelos - Sỷ dửng cĂc php bián hẳnh thẵch hủp hoc phữỡng phĂp tồa ở  nghiản cựu sƠu và cĂc bi toĂn ang xt Mc dũ  rĐt cố gưng luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng hÔn chá, khiám khuyát TĂc giÊ rĐt mong sỹ gõp ỵ, bờ sung cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cừa cĂc ỗng nghiằp nhơm lm cho kát quÊ nghiản cựu hon chnh v cõ ẵch hỡn Xin chƠn thnh cÊm ỡn luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc luan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xucluan.van.thac.si.mot.so.bai.toan.ve.duong.tron.tiep.xuc