(LUẬN văn THẠC sĩ) một số bài toán số học tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thanh Nhã MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC - TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH HÀ HUY KHOÁI HÀ NỘI, NĂM 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời mở đầu Lời cảm ơn Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng 1.1.2 Quy tắc nhân 1.1.3 Hoán vị 1.1.4 Chỉnh hợp 1.1.5 Tổ hợp 1.1.6 Nguyên lý bù trừ 1.1.7 Nguyên lý Dirichlet 1.1.8 Khai triển nhị thức Newton 1.2 Kiến thức số học 1.2.1 Tính chia hết 1.2.2 Biểu diễn số 1.2.3 Số nguyên tố 1.2.4 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ 1.2.5 Thuật toán Euclid 1.2.6 Đồng dư 1.2.7 Đồng dư tuyến tính 1.2.8 Thặng dư 1.2.9 Một số định lý quan trọng Một số tốn Số học - Tổ hợp 2.1 Tính chất số học 2.1.1 Tính chia hết 2.1.2 Biểu diễn số 2.1.3 Thuật toán Euclid số chung lớn 2.2 Bài toán chia kẹo Euler 2.3 Bất biến 2.4 Cực trị tập hợp rời rạc 2.5 Số phức - Tổ hợp toán liên quan đến ước TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 6 6 7 8 8 9 9 11 11 12 12 13 14 14 14 30 37 47 53 61 75 Một số tốn trị chơi Kết luận Tài liệu tham khảo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 86 96 97 Lời mở đầu Toán rời rạc đóng vai trị quan trọng tốn học có nội dung phong phú có nhiều ứng dụng đời sống thực tiễn Trong kì thi đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, toán tổ hợp xuất nhiều thường có nội dung khó Nhìn chung, việc phân loại tốn số học, đại số, giải tích, hình học tương đối rõ ràng việc phân loại tốn tổ hợp mơ hồ Chính đa dạng nên việc giảng dạy học tập chúng vấn đề khó khăn Hơn nữa, chương trình tốn phổ thơng, tài liệu tham khảo lĩnh vực tổ hợp ít, nên luận văn nhằm góp phần kiến thức nhỏ bé để hổ trợ cho việc học tập giảng dạy, bổ sung thêm tài liệu tham khảo tổ hợp Luận văn nhằm mục tiêu giới thiệu số tốn gọi thuộc loại "số học - tổ hợp" Thực khơng có "định nghĩa" cho loại toán Nên luận văn giới hạn việc đưa số toán thường gặp kì thi học sinh giỏi, mà việc giải chúng đòi hỏi phương pháp số học tổ hợp Bố cục luận văn chia thành ba chương: Chương : Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức số học (tính chia hết, biểu diễn số, số nguyên tố, bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất, đồng dư, thặng dư, số định lý quan trọng bao gồm: định lý Wilson, định lý Fermat, định lý phần dư Trung Hoa) số kiến thức tổ hợp (quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nguyên lý bù trừ, nguyên lý Dirichlet, khai triển nhị thức Newton) Chương : Một số toán Số học - Tổ hợp Mục đích chương trình bày số toán thuộc loại "số học - tổ hợp" theo chủ đề (tính chất số học , tốn chia kẹo Euler, bất biến, cực trị tập hợp rời rạc số phức), đồng thời tốn chúng tơi cố gắng phân tích để tiếp cận lời giải có bình luận Chương 3: Một số tốn trị chơi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Trong chương cuối cùng, giới thiệu số tốn trị chơi đặc biệt ứng dụng "tỉ số vàng" lời giải tốn trị chơi Mặc dù thân cố gắng nhiều trình thực hiện, thời gian có hạn kiến thức thân cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận bảo quý thầy cô bạn TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình GS TSKH Hà Huy Khoái Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011 − 2013 lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, ban giám hiệu tập thể giáo viên trường THPT chun Lê Q Đơn tỉnh Bình định quan tâm, tạo điều kiện động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Hà nội, tháng 11 năm 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng Nội dung quy tắc: Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 , m2 cách chọn đối tượng a2 , , mn cách chọn đối tượng an , cách chọn đối tượng (1 ≤ i ≤ n) không phụ thuộc vào cách chọn đối tượng aj n P (1 ≤ j ≤ n, i 6= j) có mi cách chọn đối tượng a1 , a2 , , i=1 an Để sử dụng tốt quy tắc ta chuyển sang ngôn ngữ tập hợp sau: Xét {A1 , A2 , , An } họ tập hợp hữu hạn cuả tập A cho hai tập khơng có phần tử chung, hợp tất tập A, n S A= Ai Khi đó, ta có i=1 |A| = |A1 | + |A2 | + + |An | = n X |Ai | i=1 1.1.2 Quy tắc nhân Nội dung quy tắc: Cho n đối tượng a1 , a2 , , an , có m1 cách chọn đối tượng a1 với cách chọn a1 có m2 cách chọn đối tượng a2 , sau với cách chọn a1 , a2 có m3 cách chọn đối tượng a3 , cuối với cách chọn a1 , a2 , , an−1 có mn cách chọn đối tượng an Như có m1 m2 mn cách chọn đối tượng a1 , a2 , , an Tương tự quy tắc cộng, ta chuyển sang ngơn ngữ tập hợp sau: Giả sử có n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk Khi đó, số cách chọn (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop gồm n phần tử (a1 , a2 , , an ) với ∈ Ai (1 ≤ i ≤ n) |A1 × A2 × × An | = m1 × m2 × × mn = n Y mk k=1 1.1.3 Hoán vị Định nghĩa 1.1 (Hốn vị khơng lặp) Giả sử A tập hợp hữu hạn gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử khác tập A theo thứ tự gọi hốn vị không lặp phần tử tập A, hay đơn giản xếp n phần tử tập A Khi đó, số hốn vị khơng lặp n phần tử kí hiệu Pn tính theo cơng thức Pn = n (n − 1) = n! Định nghĩa 1.2 (Hốn vị có lặp) Hốn vị phần tử xuất lần gọi hốn vị có lặp Kí hiệu P (n1 , n2 , , nk ) số hoán vị có lặp n phần tử gồm k loại, mà phần tử loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất ni lần tính theo cơng thức n! P (n1 , n2 , , nk ) = n1 !n2 ! nk ! 1.1.4 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.3 (Chỉnh hợp không lặp) Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử thứ tự tập A gọi chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử thuộc A Kí hiệu số chỉnh hợp không lặp chập k n Akn , tính cơng thức Akn = n! (n − k)! Định nghĩa 1.4 (Chỉnh hợp có lặp) Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi dãy có độ dài k phần tử tập X , mà phần tử lặp lại nhiều lần theo thứ tự định gọi chỉnh hợp có lặp chập k n phần tử thuộc tập X Kí hiệu số chỉnh hợp có lặp chập k n Akn , tính cơng thức Akn = nk (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop 1.1.5 Tổ hợp Định nghĩa 1.5 (Tổ hợp không lặp) Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (0 ≤ k ≤ n ) phần tử tập A gọi tổ hợp không lặp chập k n phần tử thuộc A Kí hiệu số tổ hợp không lặp chập k n Cnk , tính cơng thức Cnk = n! k! (n − k)! Định nghĩa 1.6 (Tổ hợp có lặp) Cho tập A = {a1 , a2 , , an } Một tổ hợp có lặp chập m (m không thiết phải nhỏ n) n phần tử thuộc A gồm m phần tử, mà phần tử phần tử A Kí hiệu số tổ hợp có lặp chập m n Cnm , tính công thức m Cnm = Cn+m−1 1.1.6 Nguyên lý bù trừ Giả sử M1 , M2 , , Mn tập hợp hữu hạn Khi ta có công thức tổng quát sau đây: |M1 ∪ M2 ∪ ∪ Mn | = n X i=1 + X X |Mi | − |Mi ∩ Mj | 1≤i có biểu diễn dạng tích số ngun tố (khơng kể thứ tự), tức n = pα1 pα2 pαk k , αi ∈ Z+ , p1 < p2 < < pk số nguyên tố Định lý 1.4 Tập hợp số nguyên tố vô hạn 1.2.4 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ Định nghĩa 1.8 Cho n > số nguyên không đồng thời không a1 , a2 , , an Số nguyên dương d lớn có tính chất d chia hết , i = 1, 2, , n gọi ước chung lớn n số a1 , a2 , , an Kí hiệu ƯCLN(a1 , a2 , , an ) hay (a1 , a2 , , an ) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 00 Hơn nữa, A = 1007 nên tập A muốn thỏa mãn điều kiện toán |A| = k > 1007 ⇒ k ≥ 1008 Ta chứng minh k ≥ 1008 thỏa mãn điều kiện (∗) Nhận xét Tổng ba số số chẵn ba số ba số chẵn hai số lẻ số chẵn Hơn nữa, tập A có hai số chẵn nên phải có số không bé Từ ý xét số chẵn số lẻ tập A Ta xét tập hợp A có 1008 phần tử có a số chẵn 1008 − a số lẻ Ta có hai trường hợp sau: Trường hợp số phần tử chẵn A nhỏ 100, tức số phần tử lẻ A 908 Ta xét 908 phần tử b1 < b2 < < b908 Dễ thấy b908 − b1 ≤ 2011 − = 2010 Đánh giá viết lại (b2 − b1 ) + (b3 − b2 ) + + (b908 − b907 ) < 2010 Có tất 907 hiệu nên tìm hiệu khơng vượt q   2010 < 907 Giả sử hiệu thỏa mãn bk+1 − bk ≤ Loại hiệu ra, ta cịn 906 hiệu tổng chúng không vượt 2008 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop 66 Tiếp tục tập luận trên, ta xét đánh giá 2010 − 2z < ⇔ z ≤ 711, 907 − z suy ta chọn 711 hiệu có giá trị khơng vượt q Giả sử hiệu có số lớn bk+1 − bk bk+1 − bk ≤ bk ≥ 1420 Do A có hai số chẵn nên có số chẵn khơng nhỏ gọi số a0 Khi ba a0 , bk , bk+1 thõa mãn điều kiện (∗) Trường hợp Số phần tử chẵn a 100, tức a ≥ 100 Giả sử 100 số chẵn a1 < a2 < < a100 a100 − a1 ≤ 2012 − = 2010 Ta thấy đánh giá viết lại (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) + + (a100 − a99 ) ≤ 2010   2010 Có tất 99 hiệu nên tồn số hiệu không vượt < 21 99 Tuy nhiên, số chẵn nên hiệu không vượt 20 Giả sử hiệu thỏa mãn điều ak+1 − ak ≤ 20 Loại hiệu ra, ta 98 hiệu tổng chúng không vượt 2010 − 20 = 1990   1990 < 21 Lập luận tương tự, ta tìm hiệu không vượt 98 2010 − 20z Tiếp tục ta thấy đánh giá < 21 thỏa mãn 99 − z ta tìm tất z hiệu mà giá trị chúng không vượt 20 Dễ thấy bất phương trình tương đương z < 69, nên ta chọn 68 hiệu có giá trị khơng vượt 20 Ta gọi hiệu có số lớn ak+1 − ak ak+1 − ak ≤ 20 dễ thấy ak ≥ 124 Tiếp tục ta gọi hiệu có số lớn thứ nhì aj+1 − aj aj+1 − aj ≤ 20 aj ≥ 120 Dễ dàng kểm tra (aj , ak , ak+1 ) thỏa mãn aj < ak < ak+1 aj ≥ 120 > 20 ≥ ak+1 − ak ⇒ aj + ak > ak+1 Rõ ràng ba thỏa mãn điều kiện (∗) Từ đây, suy tất tập A mà |A| = k ≥ 1008 thỏa mãn đề Vậy giá trị nhỏ cần tìm k = 1008 Bài tốn 2.60 Cho p số nguyên tố lẻ đặt S = {n1 , n2 , , nk } (các phần tử trùng nhau) tập hợp tất số phương nguyên (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop 67 tố với p Tìm số k nhỏ cho tồn tập A S thỏa mãn tích phần tử A đồng dư với theo modulo p Phân tích - Lời giải Để giải tốn này, sử dụng khái niệm nguyên thủy tính chất Gọi g nguyên thủy số nguyên tố p p−1 Ta chứng minh k = Thật vậy:  p−1 Nếu k < xét tập S = g , g , , g k phần tử g Khi đó, tích p−1 phần tử tập S có dạng g 2a với a < Do g nguyên thủy p nên g 2a không đồng dư với modulo p p−1 Như k ≥  Xét tập hợp S = {n1 , n2 , , nk } Vì 1, g, , g p−1 hệ thặng dư đầy đủ theo modulo p nên giả sử ni = g 2.αi với ≤ αi ≤ p − theo modulo p Do đó, tích phần tử tập S có dạng g 2.a a tổng phần tử tập J = {α1 , , αk } Bây ta chứng minh tập J ln tồn tập có tổng phần tử chia hết cho p−1 Thật vậy, ta xét số α1 , α1 + α2 , , α1 + α2 + + α p − , p−1 số p−1 Nếu số tồn số chia hết cho khẳng định chứng minh Ngược lại, tồn i < j cho   p−1 α1 + α2 + + αi ≡ α1 + α2 + + αj mod có tất Suy  p−1 αi+1 + αi+2 + + αj ≡ mod  Tóm lại, tập J tồn số phần tử cho tổng phần tử p−1 chia hết cho , ln tồn tập S cho tích phần tử tập g m(p−1) đồng dư với modulo p p−1 Vậy số nguyên k nhỏ Nhận xét Đây toán cực trị tập hợp rời rạc, kiến thức sử (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop 68 dụng để giải hoàn toàn số học, với khái niệm nguyên thủy Bài toán 2.61 (Bài toán tổng quát) Cho p số nguyên tố lẻ đặt m m S = {nm , n2 , , nk } tập hợp tất số phương nguyên tố với p Tìm số k nhỏ cho tồn tập A S thỏa mãn tích phần tử tậpA đồng dư với theo modulo p p−1 Đáp số toán là: kmin = m Nhận xét Bài toán thay số nguyên tố p số tự nhiên n có nguyên thủy Bài tốn 2.62 Tìm số ngun dương lớn N cho số tất số nguyên dương tập {1, 2, , N } chia hết cho số tất số nguyên tập chia hết cho Phân tích - Lời giải Đặt n o S = {1, 2, , N } , A3 = x ∈ S|x.3 , o n o n A5 = x ∈ S|x , A7 = x ∈ S|x Khi         N N N N |A3 | = , |A5 | = , |A7 | = , |A5 ∩ A7 | = 35 Theo yêu cầu toán |A3 | = |A5 ∪ A7 | Áp dụng nguyên lý bù trừ, ta có |A3 | = |A5 | + |A7 | − |A5 ∩ A7 | , hay         N N N N = + − 35 (1) Ta có N = 35k + r (k ∈ N, ≤ r ≤ 34), thay (1) ta         35k + r 35k + r 35k + r 35k + r = + − 35 Suy   hri hri hri 2k + r 11k + = 7k + + 5k + −k− , 35 hay   h i h i h i 2k + r r r r = + − 35 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.so.hoc.to.hop 69 Vì x − < [x] ≤ x < [x] + nên   h i h i h i 2k + r 2k + r r r r r r −1< = + − ≤ + − 3 35 Suy 2k < 34 r + ⇒ 2k < + ' 3, 97 35 35 ⇒ k ≤ Vì N = 35k + r ≤ 35 + 34 = 69 Thay N = 69, 68, 67, 66, 65 vào (1), ta thấy N = 65 thỏa mãn Nhận xét Bài toán tổ hợp có cách giải tự nhiên, ta phải biết kiến thức nguyên lý bù trừ biết kiến thức hàm phần nguyên Tương tự, sử dụng tính chất hàm phần ngun tốn sau: Do k ≤ Bài toán 2.63 (Chọn đội đội tuyển Việt Nam - 2008) Cho số nguyên dương n > Kí hiệu T tập hợp gồm n số nguyên dương Một tập S T gọi tập khuyết h n itrong T S có tính chất: Tồn số ngun dương c khơng vược cho với s1 , s2 hai số thuộc S ta ln có |s1 − s2 | = c Hỏi tập khuyết T có tối đa phần tử? Phân tích - Lời giải Trước hết ta thấy rằng: Nếu S tập khuyết T S = {n − x|x ∈ S} tập khuyết T Thật vậy: Giả sử ngược lại S tập T , tồn khuyết 0 0 hai số nguyên dương s1 , s2 ∈ S h n icho s1 − s2 = c với c số ngun dương khơng vượt q 0 , s = n − s Khi đó, xét tương ứng hai phần tử s = n − s 2 rõ ràng 0

s1 , s2 ∈ S |s1 − s2 | =