Luận văn thạc sĩ một số bài toán về quan hệ chia hết, số nguyên tố và định giá p adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN LÊ MINH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ CHIA HẾT, SỐ NGUYÊN TỐ VÀ ĐỊNH GIÁ P−ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN LÊ MINH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ CHIA HẾT, SỐ NGUYÊN TỐ VÀ ĐỊNH GIÁ P −ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN LÊ MINH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ CHIA HẾT, SỐ NGUYÊN TỐ VÀ ĐỊNH GIÁ P −ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2016 c i Mục lục Mở đầu Chương Quan hệ chia hết, số nguyên tố 1.1 Quan hệ chia hết 1.1.1 Quan hệ chia hết 1.1.2 Ước chung lớn thuật toán Euclid 1.2 Số nguyên tố hợp số 1.3 Định lý số học 1.4 Biểu diễn số hàm tổng chữ số 1.4.1 Biểu diễn số tự nhiên theo số 1.4.2 Hàm tổng chữ số số tự nhiên Chương Số mũ, định giá p−adic vận dụng 2.1 Định lý Euler số mũ 2.1.1 Định lý Euler Định lý Fermat nhỏ 2.1.2 Số mũ theo modulo 2.2 Định giá p-adic vp (n) 2.2.1 Khái niệm định giá p-adic 2.2.2 Định giá 2−adic 2.3 Kết Wolstenholme, Thue, Schur 2.4 Vận dụng giải số thi học sinh giỏi 2.4.1 Vận dụng số mũ 2.4.2 Vận dụng định giá p−adic 2.4.3 Vận dụng kết Thue, Schur 2.4.4 Vận dụng Định lý số học Kết luận Tài liệu tham khảo c 3 10 12 14 14 16 19 19 19 20 21 21 25 26 30 30 35 37 38 40 41 Mở đầu Số học ln coi nữ hồng Tốn học chứa đựng nhiều vẻ đẹp tư logic Khơng nhiều ngành tốn học khác, Số học tồn nhiều giả thuyết chưa có câu trả lời mà học sinh hiểu với kiến thức trung học sở Quá trình tìm kiếm lời giải cho giả thuyết làm nhiều tư tưởng lớn, nhiều lý thuyết lớn toán học nảy sinh Nếu trước đây, Số học xem lĩnh vực toán học lý thuyết túy, xa rời thực tiễn ngày nay, nhờ có phát triển mạnh mẽ cơng nghệ máy tính mà nhiều thành tựu Số học có ứng dụng trực tiếp vào lĩnh vực bảo mật thơng tin, mật mã, số hóa Do Số học mệnh danh nữ hoàng tư nên tốn Số học ln ln xuất giữ vị trí quan trọng kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Số học cầu nối tự nhiên đưa học sinh tiếp cận với khoa học đại Vì việc trang bị kiến thức Số học cho học sinh phổ thông cần thiết Bản thân giáo viên giảng dạy mơn Tốn cấp THCS Trong q trình giảng dạy ôn thi học sinh giỏi, thường xuyên gặp toán số học đặc biệt toán quan hệ chia hết số nguyên tố Vì vậy, tơi chọn đề tài: “Một số toán quan hệ chia hết, số nguyên tố định giá p-adic” nhằm tìm hiểu sâu quan hệ chia hết, số nguyên tố cách vận dụng để giải toán đề thi học sinh giỏi, đặc biệt việc tìm hiểu bổ đề nâng, định giá p-adic cách vận dụng chúng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương Trong chương luận văn tập trung trình bày số kiến thức lý thuyết chia hết: quan hệ chia hết, số nguyên tố hợp số, ước chung lớn thuật tốn Euclid, trình bày định lý số học, biểu diễn số tự nhiên theo số hàm tổng chữ số c Chương Trong chương luận văn tập trung trình bày số mũ, định giá p-adic, vận dụng kết đạt vào việc giải số toán số học đề thi học sinh giỏi Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo PGS TS Đàm Văn Nhỉ - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin gửi tới thầy, giáo khoa Tốn - Tin, phòng Sau Đại học, Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên thầy giáo, giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K8B khóa 2014 2016 lời cảm ơn sâu sắc cơng lao dạy dỗ suốt q trình giáo dục, đào tạo nhà trường Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THCS Đằng Hải - Hải An - Hải Phòng, bạn bè đồng nghiệp bạn học viên động viên giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn Hải Phòng, tháng 08 năm 2016 Học viên Nguyễn Lê Minh c Chương Quan hệ chia hết, số nguyên tố 1.1 1.1.1 Quan hệ chia hết Quan hệ chia hết Định nghĩa 1.1.1 Cho hai số nguyên a, b ∈ Z, b 6= Số nguyên a gọi chia hết cho số nguyên b hay b chia hết a tồn c ∈ Z thỏa mãn a = bc Nếu số nguyên a chia hết cho a gọi số chẵn; Cịn số ngun a khơng chia hết cho a gọi số lẻ Trong nhiều trường hợp, thay cho việc nói a chia hết cho b ta viết a b nói b chia hết a viết b | a.1 Khi a = bc b gọi ước a Sau ta có tính chất quan hệ chia hết (1) | a với a ∈ Z (2) a | a với a ∈ Z, a 6= (3) Nếu a | b b | c a | c với a, b, c ∈ Z b 6= (4) Nếu a | b |a| |b| với a, b ∈ Z b 6= (5) Nếu a | bi với a, bi ∈ Z, i = 1, , n, a | n P bi xi với xi ∈ Z i=1 (6) Nếu a | b b | a a = b a = −b với a, b ∈ Z a, b 6= Định lý 1.1.2 [Phép chia có dư] Với cặp số nguyên a, b ∈ Z, b 6= 0, tồn cặp số nguyên q, r ∈ Z cho a = qb + r, với r < |b| Theo thông lệ quốc tế, người ta hay dùng ký hiệu b | a thay cho a b c Chứng minh: Sự tồn tại: Đặt T = {n|b| cho n|b| a, n ∈ Z} Vì |b| > nên −|a||b| −|a| a Do −|a||b| ∈ T, T 6= ∅ Vì T tập bị chặn nên T có số lớn m|b| Từ m|b| a ta suy r = a−m|b| > r ∈ Z Ta lại có (m+1)|b| = m|b|+|b| > m|b| Do tính lớn m|b| T nên (m + 1)|b| > a Như |b| > a − m|b| = r ta có a = qb + r với r < |b| Tính nhất: Giả sử có hai biểu diễn a = qb + r với r < |b| a = q1 b + r1 với r1 < |b| Trừ vế cho vế, ta r − r1 = b(q1 − q) Nhưng |r − r1 | < |b| |q1 − q||b| < |b| Vậy q = q1 hiển nhiên r = r1 Trong biểu diễn a = qb + r, r < |b|, định lý trên, q gọi thương r gọi số dư phép chia a cho b Rõ ràng r = b | a Ví dụ 1.1.3 Ta có ví dụ sau: (1) Với a = 57, b = 14 q = r = (2) Với a = −82, b = −17 q = r = (3) Với a = −51, b = 10 q = −6 r = 1.1.2 Ước chung lớn thuật toán Euclid Ước chung lớn Cho a, b số nguyên không đồng thời 0, tập hợp ước chung a b hữu hạn Định nghĩa 1.1.4 Ước chung lớn hai số a b không đồng thời số nguyên lớn ước a b Ta kí hiệu ước chung lớn gcd(a, b) (a, b) Định nghĩa 1.1.5 Các số nguyên a, b gọi nguyên tố (a, b) = Định lý 1.1.6 Cho a b hai số nguyên khơng đồng thời 0, tồn số nguyên x0 , y0 cho ax0 + by0 = (a, b) Hơn {ax + by; x, y ∈ Z} = {k(a, b); k ∈ Z} c Chứng minh: Đặt S = {ax + by; x, y ∈ Z} gọi d số nguyên dương nhỏ thuộc S Giả sử x0 , y0 hai số nguyên cho ax0 +by0 = d Ta chứng minh {kd; k ∈ Z} = S Thật vậy, hiển nhiên {kd; k ∈ Z} ⊂ S Xét phần tử tùy ý u = ax1 + by1 ∈ S Bởi Định lý ??, tồn hai số nguyên q, r với u = dq + r r < d Mặt khác r = u − dq = a(x1 − x0 q) + b(y1 − y0 q) ∈ S Suy r = u = dq Hơn nữa, từ a, b ∈ S nên theo d | a d | b, dẫn đến d ước chung a, b, d (a, b) Lại có d = ax0 + by0 nên (a, b)|d, (a, b) d Tóm lại d = (a, b) Từ chứng minh ta nhận hệ sau: Hệ 1.1.7 (1) Ước chung lớn a, b số nguyên dương nhỏ biểu diễn dạng ax + by với x, y ∈ Z (2) Mọi ước chung a, b ước (a, b) (3) Nếu a, b, c, d ∈ Z \ {0}, a = bc + d (a, b) = (b, d) (4) (0, a) = |a| với a ∈ Z, a 6= Thuật tốn Euclid Để tìm ước chung lớn hai số, thường phân tích số thành nhân tử Ví dụ (55, 85) = (5 · 11, · 17) = 5; (225, 180) = (32 · 52 , 32 · · 22 ) = 32 · = 45 Tuy nhiên việc tìm ước chung lớn theo cách thực khó hai số cho lớn Hãy thử tìm (1324567908, 25367892)? Bằng cách sử đụng phép chia với dư, Định lý ??, người ta thuật tốn cho phép tìm ước chung lớn hai số cách nhanh chóng, thuật tốn Euclid Định lý 1.1.8 [Thuật toán Euclid] Cho a, b ∈ Z, b > Thực liên tiếp phép chia có dư, ta có a = q0 b + r1 với < r1 < b, b = q1 r1 + r2 với < r2 < r1 r1 = q2 r2 + r3 với < r3 < r2 rn−2 = qn−1 rn−1 + rn với < rn < rn−1 rn−1 = qn rn , qn > Khi (a, b) = rn c Chứng minh: Đặt d = (a, b), d | ri với i rn Suy d rn từ rn > Bằng quy nạp ta suy rn | rn−j với j n Do rn | a rn | b Bởi định nghĩa (a, b) ta suy rn = (a, b) Chú ý rằng, (a, b) = (b, r) nên ta giả thiết hai số nguyên a b không âm a > b Như nhận xét trên, (a, b) số nguyên dương nhỏ biểu diễn dạng ax + by với x, y ∈ Z Vấn đề đặt tìm x, y nào? Thuật tốn Euclid cho ta cách tìm chúng qua kết đây: Định lý 1.1.9 Nếu d = (a, b) có x, y ∈ Z thỏa mãn d = ax + by Chứng minh: Xây dựng hai dãy số nguyên (ai ), (bi ) theo công thức truy hồi cho ri = a + bi b, i = 0, 1, 2, với r0 = r Vì r = a−q0 b, nên ta chọn a0 = 1, b0 = −q0 có r0 = r = a0 a+b0 b Từ a1 a + b1 b = r1 = b − q1 r0 = b − q1 (a0 a + b0 b) nên ta chọn a1 = −q1 a0 = −q1 , b1 = − q1 b0 = + q0 q1 Tổng quát, ai+1 a + bi+1 b = ri+1 = ri−1 − qi+1 ri = ai−1 a + bi−1 b − qi+1 (ai a + bi b) ta chọn công thức  a = b = −q 0 truy hồi  a = −q 1 b = + q q 1  a i+1 = ai−1 − qi+1 i+1 = bi−1 − qi+1 bi , i > b Vì qm = nên x = am−1 , y = bm−1 thỏa mãn xa + yb = (a, b) Ví dụ 1.1.10 Với a = 1832, b = 234, ta có (a, b) = a · (−41) + b · 321 = Hệ 1.1.11 Cho a, b ∈ Z không đồng thời khơng Khi (a, b) = tồn x, y ∈ Z để ax + by = Tổng quát ta có hệ sau: Hệ 1.1.12 Cho a, b ∈ Z khơng đồng thời khơng Khi (a, b) = d tồn x, y ∈ Z để ax + by = d d ước chung a b c  Chứng minh: Ta có (a, b) = d a b , d d  = Theo Hệ b a ?? tồn x, y ∈ Z để x + y = Nhân hai vế với d ta có d d ax + by = d Hệ 1.1.13 Cho a, b, c ∈ Z không đồng thời không Nếu (a, c) = 1, (b, c) = (ab, c) = Chứng minh: Theo Hệ ?? tồn x, y, z, t ∈ Z để ax + cy = 1, bz + ct = Nhân vế với vế ta có = (ax + cy)(bz + ct) = abxy + c(axt + byz + cyt) Vẫn theo Hệ ?? ta có (ab, c) = Hệ 1.1.14  Cho số nguyên tố p số nguyên tuỳ ý m Khi p p | m (1) (m, p) = 1 p - m (2) Nếu p | ab p | a p | b Định nghĩa 1.1.15 Cho số nguyên a1 , , an ∈ Z không đồng thời Số nguyên d gọi ước chung d | với i = 1, , n Hiển nhiên +1, −1 ước chung tập hữu hạn số nguyên Ký hiệu tập tất ước chung a1 , , an ∈ Z uc(a1 , , an ) ta thấy tập khác rỗng Ví dụ uc(18, −15, 21) = {1, −1, 3, −3} Định nghĩa 1.1.16 Cho số nguyên a1 , , an ∈ Z không đồng thời Số nguyên d gọi ước chung lớn d số nguyên lớn ước chung Ta kí hiệu ước chung lớn (a1 , a2 , , an ) Như vậy, số nguyên d ước chung lớn a1 , , an ∈ Z d | , i = 1, , n, c | , i = 1, , n, c | d Khi số nguyên d ước chung lớn a1 , , an −d ước chung lớn a1 , , an Người ta ký hiệu ước chung lớn a1 , , an qua (a1 , , an ) chọn |d| Dễ thấy rằng, (a1 , , an ) số nguyên dương lớn nằm tập uc(a1 , , an ) Chú ý Mọi số nguyên ước Vậy uc(0, , 0) = Z khơng có (0, , 0) Vì ta không xét trường hợp Từ việc chứng minh ước chung lớn cho hai số, tổng qt lên tính chất sau cho nhiều số: c ... g? ?p toán số học đặc biệt toán quan hệ chia hết số nguyên tố Vì vậy, tơi chọn đề tài: ? ?Một số toán quan hệ chia hết, số nguyên tố định giá p- adic? ?? nhằm tìm hiểu sâu quan hệ chia hết, số nguyên tố. .. HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN LÊ MINH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ CHIA HẾT, SỐ NGUYÊN TỐ VÀ ĐỊNH GIÁ P ? ?ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương ph? ?p Tốn sơ c? ?p Mã số: 60... Đổi từ hệ k-phân sang hệ th? ?p phân từ hệ th? ?p phân sang hệ k -phân Đổi từ hệ th? ?p phân sang hệ k-phân: Ví dụ biểu diễn số 3791 hệ thất phân Để thực liên ti? ?p ph? ?p chia 3791 thương ph? ?p chia cho