Luận văn thạc sĩ một số bài toán số học trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ PHƢƠNG THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ PHƢƠNG THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN - 2019 c „I HÅC THI NGUY–N TRìNG I HC KHOA HC Lả Phữỡng ThÊo MậT Sẩ B€I TON SÈ HÅC TRONG HœNH HÅC PHNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2019 c „I HC THI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC Lả Phữỡng Th£o MËT SÈ B€I TON SÈ HÅC TRONG HœNH HÅC PHNG Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M số: 8460113 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa håc: PGS.TS NGUY™N VI›T HƒI Th¡i Nguy¶n - 2019 c i Lới cÊm ỡn  hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa PGS.TS Nguyạn Viằt HÊi, GiÊng viản cao cĐp Trữớng Ôi hồc HÊi Phỏng Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhỳng iÃu thƯy  dnh cho tỉi Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng  o tÔo, Khoa ToĂn Tin, quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K11 (2018 - 2020) Trữớng Ôi hồc khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc Tæi xin gûi lới cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! HÊi Phỏng, thĂng nôm 20 Ngữới viát Luên vôn Lả Phữỡng ThÊo c ii Danh mửc h¼nh 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tam gi¡c Pythagore: BC = AB + AC Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], ÷íng cao a Tam giĂc Heron theo sỹ tông dƯn cừa cÔnh lợn nhĐt Tam giĂc Pythagore cỡ bÊn v c¡c b¡n k½nh r, , rb , rc T½nh ch§t c¡c cevian 12 13 19 2.1 Hai nghi»m l  tam gi¡c vng vỵi m = 27 2.2 Hai nghi»m l  tam gi¡c tò vỵi m = 29 2.3 Tam giĂc cÔnh tỹ nhiản ngoÔi tiáp ữớng trỏn 31 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Tù gi¡c húu t Tù gi¡c húu t cõa Brahmagupta ë d i ữớng cho, chu vi, diằn tẵch tự giĂc Düng tù gi¡c Brahmagupta tø tam gi¡c Heron Hai ÷íng ch²o AB, BC ∈ P (IMO 1968, #1), C¡ch gi£i thù ba c 42 44 45 47 52 54 iii Danh mưc b£ng 1.1 Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n 11 1.2 Hå tam gi¡c Heron phö thuëc λ, vỵi 10 gi¡ trà λ 23 2.1 Ba cÔnh l cĐp số cởng 33 2.2 B i to¡n P = nS vỵi n = 31 38 2.3 B i to¡n P = nS vỵi n = 42 40 c iv Mửc lửc Giợi thiằu luên vôn Tam giĂc Pythagore v  tam gi¡c Heron 1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c Heron 1.1.1 C¡c bë ba Pythagore 1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron 1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vỵi r, , rb , rc ∈ N 1.3 Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc λ Tam giĂc cÔnh nguyản vợi hằ thực giỳa S v P 2.1 Tam giĂc cÔnh nguyản vợi S = m.P, m ∈ N 2.1.1 Thuªt to¡n Goehl v  thuªt toĂn Markov 2.1.2 Hai trữớng hủp tham số nguyản 2.2 Tam giĂc cÔnh nguyản vợi P = nS, n ∈ N 2.2.1 Tr÷íng hđp n l  sè nguy¶n tè 2.2.2 Tr÷íng hđp n l  hđp sè 2.2.3 Tr÷íng hđp ri¶ng: Tam gi¡c Pythagore 10 18 24 24 25 32 35 36 38 39 Mởt số vĐn à liản quan 41 Ti liằu tham khÊo 58 3.1 Tự giĂc cõ cÔnh v ữớng ch²o húu t 41 3.2 X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta 45 3.3 Giỵi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic 50 c Giỵi thi»u luên vôn Mửc ẵch cừa à ti luên vôn NhiÃu bi toĂn, khĂi niằm hẳnh hồc liản quan ¸n sè håc °c bi»t câ nhúng b i to¡n ho n ton thuởc lắnh vỹc số hồc nhữ bở ba Pythagore, tam gi¡c Heron, º gi£i quy¸t nhúng b i to¡n n y thữớng phÊi giÊi phữỡng trẳnh Diophantine, phữỡng trẳnh Pythagore, phữỡng trẳnh Pell, v nhiÃu kián thực sƠu và số nguyản tè nâi ri¶ng v  sè håc nâi chung · t i ny trẳnh by nhiÃu vĐn à cừa số hồc Ăp dửng vo hẳnh hồc, mang lÔi nhỳng kát quÊ sƠu sưc và bi toĂn hẳnh hồc giÊi bơng kián thực số hồc Mửc ẵch cừa à ti l: - Trẳnh b y hai b i to¡n: t¼m c¡c tam gi¡c Pythagore, t¼m cĂc tam giĂc Heron trữớng hủp tờng quĂt Nảu cĂc thuêt toĂn tẳm nghiằm cừa cĂc bi toĂn t CĂc trữớng hủp riảng xĂc nh tam giĂc Heron: Bi toĂn HG tẳm tam giĂc Heron vợi r, , rb , rc ∈ N, tam gi¡c câ cĂc cÔnh lêp thnh cĐp số cởng, lữợi nguyản cĂc tam gi¡c Heron, - Sû dưng c¡c ki¸n thùc cừa số hồc nhữ: lỵ thuyát chia hát, sỹ phƠn tẵch mởt số tỹ nhiản thnh cĂc số nguyản tố, giÊi phữỡng trẳnh Diophantine, cĂc lêp luên số hồc nõi chung,  nghiản cựu mởt số trữớng hủp riảng quan trồng cừa bi toĂn tẳm tam giĂc cÔnh nguyản thọa m¢n mët ba i·u ki»n sau S = mP ; P = nS hay R/r = N ∈ N - N¶u c¡c b i to¡n li¶n quan v  c¡ch gi£i quy¸t chóng: Tù gi¡c húu t, tù gi¡c Brahmagupta; Bỗi dữùng nông lỹc dÔy cĂc chuyản à khõ trữớng THCS v THPT gõp phƯn o tÔo hồc sinh gi¡i mỉn H¼nh håc c 2 Nëi dung cừa à ti, nhỳng vĐn à cƯn giÊi quyát Dỹa vo cĂc ti liằu [2], [3], [4], [6] luên vôn tr¼nh b y mët sè b i to¡n hay v· tam gi¡c nguy¶n v  cơng l  nhúng b i to¡n khâ hay g°p cĂc ký thi hồc sinh giĂi ToĂn nữợc v quốc tá Nởi dung luên vôn chia lm ch÷ìng: Ch÷ìng Tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c Heron B i to¡n t¼m bë ba Pythagore l  b i to¡n sè hồc quen thuởc, nhiản khổng th khổng nhưc lÔi cĂc kát quÊ  cõ nhiÃu cổng trẳnh Viằc l m n y cơng coi l  bê sung c¡c ki¸n thùc cỡ bÊn Ưu tiản cừa bi toĂn t Bi toĂn tẳm tam giĂc Heron dăn tợi nhiÃu trữớng hủp riảng thú v v kát thúc mởt kát quÊ têng qu¡t: Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc tham số Chữỡng ny bao gỗm: 1.1 Bi toĂn tẳm tam gi¡c Pythagore v  tam gi¡c Heron 1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vỵi r, , rb , rc ∈ N 1.3 Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc Chữỡng Tam giĂc cÔnh nguyản vợi hằ thực giỳa S v P Nởi dung chữỡng ny à cêp án hai bi toĂn và tẳm tam giĂc cÔnh nguyản thọa mÂn iÃu kiằn phử: Tẳm tam giĂc cÔnh nguyản vợi S = mP v tẳm tam giĂc cÔnh nguyản vợi P = nS CĂc k thuêt số hồc ữủc vên dửng giÊi cĂc phữỡng trẳnh Diophantine dÔng c biằt dăn tợi cĂc thuêt toĂn giÊi bi toĂn bơng cĂc phƯn mÃm tin hồc Chữỡng ny bao gỗm cĂc mửc sau: 2.1 Tam giĂc cÔnh nguyản vợi S = mP, m N 2.2 Tam giĂc cÔnh nguyản vợi P = nS, n N Chữỡng Mởt số vĐn à liản quan Chữỡng xt bi to¡n tam gi¡c nguy¶n mð rëng cho tù gi¡c húu t vợi phữỡng phĂp tiáp cên tữỡng tỹ chữỡng v  Ph²p düng tù gi¡c húu c 44 Hẳnh 3.2: Tự giĂc hỳu t cừa Brahmagupta Nhữ vêy, (, ) l mởt im hỳu t trản ữớng cong bªc     αX (Y − c)2 − − γY (X + c)2 − = (3.1) - Gi£ sû r¬ng (ξ, η) l  nghi»m húu t cõa (3.1) th¼ ta câ tam gi¡c húu t ABE v  BEC º câ tù gi¡c húu t ta c¦n c¡c tam gi¡c AED v  CED l  húu t, h¼nh - Gi£ sû AD = l, DC = m, ED = δ Tam gi¡c AED ÷đc x¡c ành l + δ + cα bði tham sè húu t x = vỵi α δ (x − c)2 − l x − c2 + = v  = α 2x α 2x m + δ c ta cõ Tữỡng tỹ, vợi tam giĂc CED l§y y = 2x δ (y + c)2 − m y − c2 + = v  = γ 2y γ 2y ?? Khi â, (x, y) s³ l im hỳu t trản ữớng bêc ba     αY (X − c)2 − − γX (Y + c)2 − = c (3.2) 45 Ngữủc lÔi náu (x, y) l im hỳu t trản ữớng cong bêc ba (3.2) cho cĂc số hỳu t v l số dữỡng thẳ ta cõ c¡c tam gi¡c húu t AED v  α γ CED Nhữ vêy, náu (, ) l im hỳu t trản ữớng bêc ba (3.1) ko theo ABC l tam giĂc hỳu t, thẳ mồi im hỳu t trản (3.2) cho tam gi¡c húu t ACD , s³ x¡c ành mët tù gi¡c húu t ABCD 3.2 X¡c ành c¡c yáu tố cừa tự giĂc Brahmagupta Nởi dung phƯn ny tr¼nh b y c¡ch düng tù gi¡c Brahmagupta düa v o gâc Heron, tam giĂc Heron Ta hÂy nhưc lÔi mởt số kián thực liản quan Sau Ơy ta s bờ sung thảm mởt số kián thực và gõc Heron Hẳnh 3.3: ở di ữớng cho, chu vi, diằn tẵch tự giĂc Hẳnh 3.3 ch mởt cung AB cừa ữớng trán b¡n k½nh R Gi£ sû C v  C 0B = π \ + AC \ l  iºm trản ữớng trỏn nơm và phẵa cừa AB Ta cõ: ACB v AB = 2R sin Kỵ hi»u S, s l  di»n t½ch v  nûa chu vi tù gi¡c ABCD ta câ s (ac + bd)(ad + bc) e= (3.3) ab + cd c 46 s f= S= q (ac + bd)(ab + cd) ad + bc (3.4) s = (a + b + c + d) (3.5) (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) (3.6) N¸u d = tù gi¡c trð th nh tam gi¡c v  cæng thùc (3.6) th nh cæng thùc Heron nêi ti¸ng C¡c cỉng thùc (3.3), (3.4), (3.6) l  nhỳng cổng thực c trững cừa tự giĂc nởi tiáp cụng nhữ cổng thực Ptolemy ối vợi tự giĂc nởi tiáp nh nghắa 3.2 Mởt gõc ữủc gồi l gõc Heron n¸u sin v  cỉ sin cõa nâ l  c¡c sè húu t 2t − t2 θ V¼ sin θ = , cos θ = vỵi t = tan n¶n gâc θ l  húu t 2 1+t 1+t θ v  ch¿ tan l  sè húu t Rã r ng têng v  hi»u c¡c gâc Heron l  gâc Heron N¸u tam gi¡c ABC ta °t A B C t1 = tan , t2 = tan , t3 = tan 2 th¼ s³ câ t l» thùc a : b : c = t1 (t2 + t3 ) : t2 (t3 + t1 ) : t3 (t1 + t2 ) Tø â suy tam gi¡c l  húu t v  ch¿ c¡c gâc cõa nâ l  gâc Heron Ph²p düng tù gi¡c Brahmagupta V¼ c¡c gâc èi di»n tù gi¡c nëi b B b ≤ π v  C, b D b ≥ π Tù gi¡c nëi ti¸p ti¸p bị n¶n ta câ thº gi£ sû A, 2 π b b ABCD l hẳnh chỳ nhêt v ch A = B = nâ l  h¼nh thang b b \ \ v  ch¿ A = B Gi£ sû CAD = CBD = θ Tù gi¡c nëi ti¸p ABCD l  b B, b θ l  c¡c gâc Heron tù gi¡c húu t v  ch¿ c¡c gâc A, N¸u ABCD l  mët tù gi¡c Brahmagupta m cĂc cÔnh AD v BC khổng song song, kỵ hiằu E = AD BC Trản hẳnh , gi£ sû EC = α, ED = β AB EB EA Vẳ EAB ECD nản = = = (chng hÔn) Nghắa l CD ED EC a +b β+d = = =λ c β α ?? c 47 hay  α β a = λc, b = λβ − α, d = λα − β, λ > max ,  (3.7) Hỡn nỳa, theo nh lỵ sin e = 2R sin B = 2R sin D = R ·α ρ f = 2R sin A = 2R sin C = R ·β ρ (3.8) â l bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc ECD Theo ành H¼nh 3.4: Düng tù gi¡c Brahmagupta tø tam giĂc Heron lỵ Ptolemy, ac + bd = ef v  R2 · α · β = c2 λ + ( )( ) Phữỡng trẳnh ny ữủc viát lÔi nhữ sau  2 + − c2 R =λ − λ+1 ρ αβ = λ2 − 2λ cos E + = (λ − cos E)2 + sin2 E c 48 hay    R R − λ + cos E + λ − cos E = sin2 E ρ ρ L÷u ỵ rơng sin E, cos E l hỳu t vẳ E l  gâc Heron Theo thù tü ta thu ÷đc c¡c gi¡ trà húu t cõa R v  λ, ta °t R − λ − cos E = t sin E ρ R sin E + λ + cos E = ρ t vỵi sè húu t t n o â Tø â ta câ     ρ c R = sin E t + = t+ t t   1 − − cos E λ = sin E t θ Tø c¡c biºu thùc biºu di¹n R v  λ rã r ng t = tan D C N¸u °t t1 = tan , t2 = tan èi vỵi c¡c gâc Heron C v  D th¼ 2 (t1 + t2 ) (1 − t1 t2 ) (t1 + t2 )2 − (1 − t1 t2 )2 v  sin E = cos E = 2 (1 + t1 ) (1 + t2 ) (1 + t21 ) (1 + t22 )

B¬ng c¡ch chån c = t + t21 + t22 , th¼ tø (3.8) ta câ
2


2 tt1 + t21 + t22 tt2 + t21 + t22 α= , β= (t1 + t2 ) (1 − t1 t2 ) (t1 + t2 ) (1 − t1 t2 ) v tứ (3.7) ta cõ cÔnh v ữớng cho, diằn tẵch cừa tự giĂc nởi tiáp: a = (t (t1 + t2 ) + (1 − t1 t2 )) (t1 + t2 − t (1 − t1 t2 ))
b = + t21 (t2 − t) (1 + tt2 )

c = t + t21 + t22
d = + t22 (t1 − t) (1 + tt1 )

e = t1 + t2 + t22

f = t2 + t2 + t21 
 
 S = t1 t2 2t (1 − t1 t2 ) − (t1 + t2 ) − t2 (t1 + t2 ) t + (1 − t1 t2 ) − t2 c 49 v  ÷íng kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp tự giĂc


+ t21 + t22 + t2 2R = n q v B¬ng c¡ch thay t1 = , t2 = v  t = vỵi m, n, p, q, u, v ∈ N  o m p u c¡c ng thực trản ta thu ữủc tự giĂc Brahmagupta Mồi tự giĂc Brahmagupta Ãu ữủc dỹng theo cĂch ny Vẵ dö 3.2.1 (Düng tù gi¡c Brahmagupta tø tam gi¡c Heron) Tø tam gi¡c Heron ECD vỵi c : α : β = 14 : 15 : 13 Ð ¥y t1 = v , t2 = (v  t3 = ) Bơng cĂch t t = tẵnh ữủc cĂc cÔnh tự giĂc u Brahmagupta a = (7u − 4v)(7u + 4v), b = 13(u − 2v)(2u + v), c = 65uv, d = 5(2u − 3v)(3u + 2v)

e = 30 u2 + v , f = 26 u2 + v

S = 24 2u2 + 7uv − 2v 7u2 8uv 7v Náu lĐy u = 3, v = thẳ ữủc (a, b, c, d, e, f, S) = (323, 91, 195, 165, 300, 260, 28416) Vợi u = 11, v = ta nhên ữủc tự giĂc m cÔnh v ữớng cho Ãu l cừa 65 Rút gồn lÔi ta ữủc (a, b, c, d, e, f, S) = (65, 39, 33, 25, 52, 60, 1344) Tự giĂc nởi tiáp ữớng trỏn ữớng kẵnh 65 Vẵ dử 3.2.2 Náu lĐy ECD l tam giĂc vuổng vợi cÔnh CD : EC : ED =

m2 + n2 : 2mn : m2 − n2 ta ÷đc

a = m2 + n2 u2 − v b = ((m − n)u − (m + n)v)((m + n)u + (m − n)v)
c = m2 + n2 uv d = 2(nu − mv)(mu + nv)
e = 2mn u2 + v

f = m2 − n2 u2 + v


S = mn m2 − n2 u2 + 2uv − v u2 − 2uv − v c 50 √ Ð ¥y u m m+n > , Ta câ tù gi¡c Brahmagupta tø c¡ch düng n y: v n m−n n/m v/u a b c d e f S 2R 1/2 1/2 1/4 1/5 75 13 40 36 68 51 966 85 60 16 25 33 52 39 714 65 V½ dử 3.2.3 Náu gõc ữủc chồn cho A + B = thẳ cÔnh BC l ữớng kẵnh cừa tự giĂc ABCD Khi õ, − t3 t1 + t2 − + t1 t2 = = + t3 t1 + t2 + − t1 t2 n q (m + n)q − (m − n)p °t t1 = , t2 = v  t = ta thu ÷đc tù gi¡c m p (m + n)p − (m − n)q Brahmagupta:

a = m2 + n2 p2 + q

b = m2 − n2 p2 + q t = tan c = ((m + n)p − (m − n)q)((m + n)q − (m − n)p)

d = m2 − n2 p2 − q
e = 2mn p2 + q
f = 2pq m2 + n2 Sau ¥y l  hai tù gi¡c cư thº t1 t2 t a b c d e f s 2/3 1/3 3/11 65 25 33 39 60 52 1344 3/4 1/2 1/3 25 15 15 24 20 192 3.3 Giỵi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic Mởt số bi thi Olympic sau Ơy ữủc phĂt biu dữợi dÔng bi toĂn số hồc v ữủc giÊi nhớ cĂc k thuêt cừa số hồc Vẵ dử 3.3.1 (IMO 1955-1956, b i 3) Cho a, b, c l  c¡c sè tỹ nhiản thọa mÂn a2 + b2 = c2 Chựng minh rơng: a Cõ ẵt nhĐt số a,b chia hát cho 3; b Cõ ẵt nhĐt sè a,b chia h¸t cho 4; c Cõ ẵt nhĐt số a,b,c chia hát cho c 51 Chùng minh a N¸u c£ a v b khổng chia hát cho thẳ cừa a2 + b2 chia cho s³ l  iÃu õ l khổng th vẳ a2 + b2 bơng c2 vợi c N b Náu (a, b, c) = Khi â a, b cơng nguy¶n tè cịng Thêt vêy náu p l ữợc nguyản tố no â cõa a, b th¼ v¼ a2 + b2 = c2 suy p cụng l ữợc cừa c2 v cừa c TrĂi vợi giÊ thiát (a, b, c) = C¡c sè a, b khỉng thº cịng ch®n, chóng cụng khổng ỗng thới l Thêt vêy, náu a = 2k + 1, b = 2l + sè a2 + b2 = 4(k + l2 ) + 4(k + l) + 2, rã r ng câ d÷ chia cho 4, â, c2 chia cho ch¿ câ d÷ l  ho°c Do â, mët sè a, b l  ch®n, sè l l ( c l số l) Khổng mĐt tẵnh chĐt tờng quĂt, coi a -chđn, b -l Tứ cổng thùc thùc Pythagore ta  a 2 c + b c − b = · 2 c+b cb Vẳ b v c l nản , N, tờng hai số ny bơng số l c nản mởt 2 chóng ph£i l´, sè ph£i ch®n Suy tẵch cừa chúng bơng (a/2)2 l số chđn, tực a/2 chđn hay a chia hát cho Náu (a, b, c) = d > 1, tực l tỗn tÔi a1 , b1 , c1 N, (a1 , b1 , c1 ) = cho a = da1 , b = db1 , c = dc1 Ta rót a21 + b21 = c21 m  theo trản mởt số, chng hÔn a1 chia hát cho 4, tùc l  a chia h¸t cho c Số khổng chia hát cho cõ dÔng 5k hoc 5k Tứ õ thĐy bẳnh ph÷ìng sè chia cho cho d÷ l  ho°c N¸u a v  b ·u khỉng chia hát cho thẳ cừa a2 + b2 chia cho l  +1 = 2, (1 + 4) − = 0, (4 + 4) − = M°t kh¡c, v¼ a2 + b2 = c2 chia cho ch¿ câ d÷ l  0,1,4 Nh÷ vªy, a2 + b2 = c2 chia cho ch cõ bơng 0, tực c l cừa Tõm lÔi cõ ẵt nhĐt số sè a, b, c l  bëi cõa V½ dư 3.3.2 (IMO 1970-1971, bi 4) Chựng minh rơng náu cĂc số tỹ nhiản x, y, z thọa mÂn xn + y n = z n th¼ min(x, y) ≥ n Chùng minh Gi£ sû c¡c sè tü nhi¶n x, y, z, n thäa m¢n xn + y n = z n Khổng mĐt tẵnh chĐt tờng quĂt, ta coi x ≤ y V¼ z n = xn + y n > y n n¶n z > y v  â, z ≥ y + Theo nhà thùc Newton z n ≥ (y + 1)n = y n + C1n y n−1 + + ≥ y n + ny n−1 (3.9) So s¡nh (3.9) vợi phữỡng trẳnh Ưu dăn án xn ny n1 , vẳ x y nản xn nxn1 hay x n Nhữ vêy, min(x, y) = x ≥ n c 52 V½ dư 3.3.3 (IMO 1973-1974, b i 6) Mởt n- giĂc nỗi ữủc chia thnh cĂc tam giĂc bi cĂc ữớng cho cừa nõ thọa mÂn: (a) Mội nh tam giĂc cõ mởt số chđn cĂc ữớng ch²o v  (b) khỉng câ ÷íng ch²o n o g°p im Chựng minh rơng n chia hát cho Chựng minh Trữợc hát ta cõ nhên xt sau: Náu n- giĂc lỗi A1 A2 An k ÷đc mët sè n o â c¡c ÷íng ch²o v  tø méi ¿nh A1 A2 An−1 ·u câ sè ch®n c¡c ữớng cho thẳ tứ nh An cụng cõ số chđn cĂc ữớng cho  giÊi bi toĂn ta quy nÔp theo n Khi n = 3, kát luên hiºn nhi¶n Gi£ sû n > v  b i to¡n úng vợi mồi số tỹ nhiản r thọa mÂn r n Khi õ náu mởt têp hủp c¡c ÷íng ch²o cõa r− gi¡c chia nâ th nh c¡c tam gi¡c v  thäa c¡c i·u ki»n (a) v  (b) thẳ r chia hát cho Gồi P l têp hđp c¡c ÷íng ch²o cõa n- gi¡c m  chia nâ th nh c¡c tam gi¡c thäa m¢n i·u ki»n (a) v  (b) Gi£ sû tø ¿nh A n o â cõa n- giĂc cõ ẵt nhĐt ữớng cho thuởc P Ta chồn ữớng cho AB, AC xuĐt phĂt tứ A, \ thuëc P cho: ph¦n gâc A AB chựa mởt số chđn cĂc ữớng cho \ khỉng câ mët ÷íng ch²o i tø A, thc P , cán ph¦n cõa gâc BAC n o, i tø A thuởc têp hủp P (hẳnh ) Khi õ ữớng ch²o BC thc tªp hđp P X²t a gi¡c AA1 B , tø méi ¿nh cõa nâ s³ câ mởt số chđn cĂc ữớng cho thuởc P Theo nhên xt trản tứ nh B cụng s cõ mởt số chđn cĂc ữớng cho thuởc P ?? Hẳnh 3.5: Hai ÷íng ch²o AB, BC ∈ P c 53 iÃu tữỡng tỹ xÊy ối vợi cĂc a giĂc BB1 C v  CC1 A V  méi a gi¡c AA1 B, BB1 C, CC1 A số cÔnh Ãu nhọ hỡn n nản theo giÊ thiát quy nÔp số cÔnh mội a giĂc chia hát cho Tờng số cÔnh cừa a gi¡c â l  n + v  câ thảm cÔnh AB, BC, CA Số n + chia h¸t cho 3, suy n chia h¸t cho Suy i·u ph£i chùng minh V½ dư 3.3.4 (IMO 1968, b i 1) Chùng minh r¬ng câ mët v  ch mởt tam giĂc cõ ở di cĂc cÔnh l cĂc số tỹ nhiản liản tiáp v cõ mởt gõc gĐp ổi gõc khĂc Chựng minh Ta trẳnh by theo c¡ch: \ = α v  C¡ch Gi£ sû ∆ABC câ BC = a, AC = b, AB = c, ABC \ = Theo nh lỵ sin BAC b a sin 2α a a = =⇒ = cos α = =⇒ cos α = sin α sin sin b 2b Theo nh lỵ cổ sin: cos α =
a a2 + c − b = =⇒ a2 c = b a2 + c2 − b2 2ac 2b V¼ a, b, c ∈ N nản b|a2 c - Náu b giỳa a v c thẳ b nguyản tố vợi a, vợi c v b khổng th l ữợc cừa a2 c Do â b ho°c l  sè nhä nh§t ho°c l  sè lợn nhĐt số tỹ nhiản liản tiáp - Náu b nhọ nhĐt thẳ b|b + hoc b|(b + 2)2 tüy theo a = b + hay c = b+2 N¸u x£y a = b+2, b|b+2 thẳ b = (dăn án tam giĂc suy bián)

hoc b = dăn án b à a2 + c2 − b2 = 42 + +32 22 = 42 = a2 c, mƠu thuăn vợi a = 3, c = 4, b = Vªy b khổng chia hát b + Nhữ thá b|(b + 2)2 (khi c = b + 2) Tø ¥y, b|(b + 2)2 − b2 − 4b = 4, tùc b = 1, 2, • b = 1, c = 3, a = V tam gi¡c suy bi¸n; • b = 2, c = 4, a = ⇒ 2.(9 + 16 − 4) = 42 = a2.c = 36, vổ lỵ!; ã b = 4, c = 6, a = V thọa mÂn giÊ thiát Vêy tam giĂc nhĐt thọa mÂn à bi l tam gi¡c (4, 5, 6) C¡ch Tam gi¡c ABC câ A = 2B ⇒ C = 180◦ − 3B , vªy sin C = sin 3B Ta câ sin2 A = sin2 2B = sin B cos B sin 2B = sin B(sin B + sin 3B) = sin B(sin B + sin C) p dửng nh lỵ sin, ta câ a2 = b(b + c) c 54 N¸u b l cÔnh nhọ nhĐt thẳ (b+2)2 = b2 +b(b+1), suy (b−4)(b−1) = Ch¿ câ b = 4, c = 5, a = thọa mÂn CĂc trữớng hủp khĂc Ãu dăn án tam giĂc suy bián hoc mƠu thuăn CĂch (khổng dũng lữủng giĂc) GiÊ Hẳnh 3.6: (IMO 1968, #1), C¡ch gi£i thù ba sû cÔnh l a, b, c v C = 2B K²o d i AC ¸n D cho CD = BC = a \ = ABC \ Tø â, tam giĂc ABC v ADB ỗng \ = ACB Khi õ, CDB dÔng Rút ng thực c2 = b(a + b), lêp luên nhữ cĂch Vẵ dử 3.3.5 (IMO 2009, b i 5) T¼m h m sè f tø têp số nguyản dữỡng án têp số nguyản dữỡng cho vợi mồi a, b nguyản dữỡng tỗn tÔi tam giĂc khổng suy bián cõ ở di cĂc cÔnh l: a, f (a) v  f (b + f (a) − 1) Chùng minh ¥y l  b i to¡n khâ vøa thuëc chuyản à số hồc vứa thuởc chuyản à phữỡng trẳnh h m câ nhi·u c¡ch lªp luªn líi gi£i, cĂch chúng tổi trẳnh by lới giÊi chi tiát C¡ch Gi£ sû f thäa m¢n · b i Ta chùng minh f (1) = Thªt vªy, gi£ sû K = f (1) − > 0, gåi m l  gi¡ trà nhä nh§t cõa f v  b l  số bĐt ký cho f (b) = m Vẳ [1, m = f (b) v  f (b + f (1) 1) = f (b + k)] tÔo thnh mët tam gi¡c n¶n ph£i câ f (b + k) < + f (b) Tẵnh nhọ nhĐt cừa m k²o theo f (b + k) = m v  b¬ng quy nÔp ta cõ f (n + nk) = m, n N LÔi tỗn tÔi tam giĂc vợi cÔnh [b + nk, f (1), f (m)] n¶n ph£i câ b + nK < f (1) + f (m) vỵi mội n mƠu thuăn ny ko theo f (1) = c 55 Ba sè [a, = f (1), f (f (a))] l cÔnh tam giĂc vợi mồi a Do â, a − < f (f (a)) < a + n¶n f (f (a)) = a v  f l  mët song ¡nh Ti¸p theo ta câ f (a), f (b), f (b + a − 1) l  cÔnh tam giĂc vợi mồi a, b N+ °t z = f (2), rã r ng z > V¼ [f (z), f (z), f (2z − 1)] tÔo thnh tam giĂc nản phÊi cõ f (2z 1) < f (z) + f (z) = 2f (f (z)) = Nhữ vêy, f (2z 1) 1, 2, V¼ f l  song ¡nh v  f (1) = 1, f (2) = n¶n f (2z − 1) = Ta s³ chùng minh f (k) = (k − 1)z − k + vỵi måi k ∈ N M»nh · â â óng vỵi k = 1, 2, gi£ sû nâ óng vỵi måi sè 1, 2, , k V¼ [f ((k − 1)z − k + 1), f (z), f (kz − k + 1)] tÔo thnh tam giĂc nản phÊi cõ f (kz − k + 1) ≥ k + H m f ìn ¡nh n¶n f (kz − k + 1) 6= i trø kz − k + = (i − 1)z − i + 2, tùc k + = i Vªy f (kz − k + 1) = k + ho°c f (k + 1) = kz k + v php quy nÔp hon thnh Thảm vo õ, f l hm tông: náu z > th¼ = f (z) > f (2) = z, vổ lỵ Vêy z = v f (k) = 2(k − 1) − k + = k Cuèi cüng f (x) = x, ∀x ∈ N+ , câ ë d i x, y = f (y) v  z = f (y) + f (x) − = x + y tÔo thnh mởt tam giĂc thọa mÂn à bi Thêt vêy, Vẳ x 1, y ≥ n¶n ph£i câ z ≥ max x, y = |x − y| v  z < x + y Vêy tam giĂc vợi ở di nõi trản thỹc sỹ tỗn tÔi, khổng suy bián Nghắa l cõ nhĐt hm ỗng nhĐt trản N+ l nghiằm CĂch Nghiằm l hm ỗng nhĐt f (x) = x vỵi x ∈ N+ º chùng minh c¡c khÊ nông khĂc khổng nghiằm ta chia lm bữợc sau: B1 Ta câ f (1) = B2 Vỵi måi z ∈ N+ , ta câ f (f (z)) = z Ch¿ vi»c °t x = z, y = B3 Vỵi måi z ∈ N, z ≥ 1, ta câ f (z) ≤ z B4 Theo B2 , B3 câ z = f (f (z)) ≥ f (z) ≥ z v  f (z) = z vỵi ∀z ∈ N+ Ta x²t b i to¡n thi Olympic quèc tá 2016 (IMO 2016, bi 3) Theo nhữ têp th ởi tuyn Viằt nam nhên xt: Ơy l mởt bi to¡n khâ nh§t · thi 2016, Nga · ngh Bi toĂn à cêp án mởt a giĂc nguyản, cĂc nh nơm trản ữớng trỏn v cõ tẵnh chĐt °c bi»t º gi£i nâ, ki¸n thùc dịng ¸n khỉng cƯn cao xa tữ phÊi rĐt sĂng tÔo c 56 V½ dư 3.3.6 (IMO-2016, b i 3) Cho P = A1 A2 Ak l mởt a giĂc lỗi mt phng CĂc nh cõ tồa ở nguyản v nơm trản mởt ữớng trỏn Mởt số tỹ nhiản n l thọa mÂn bẳnh phữỡng ở di mội cÔnh cừa P Ãu chia hát cho n Gồi S l diằn tẵch cõa P , chùng minh 2S l  sè tü nhi¶n chia hát cho n Chựng minh Ta ch nảu ỵ tững giÊi quyát nhữ sau: Coi P l a giĂc khổng cõ ữớng cho no m bẳnh phữỡng ở di chia h¸t cho n  ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ PHƢƠNG THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... cì b£n ln l  số chẵnh phữỡng  ab (iii) Diằn tẵch S = l số tỹ nhiản chđn Trong hai số a, b cõ óng mët sè l´; v  c l  sè l´ (iv) Trong sè a, b, c câ óng mët sè chia h¸t cho c (v) Trong sè a,... = A2 (số chẵnh phữỡng), a, b N thẳ a v b phÊi cõ dÔng a = u2 Ãw, b = v w vỵi u, v, w ∈ N Câ th giÊi thẵch nhữ sau: náu số lữủng gen p a l l thẳ số lữủng gen p cõ b cụng s l l, vẳ vêy số lữủng