(LUẬN văn THẠC sĩ) một số bài toán về dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Giáp MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Giáp MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Văn Quốc Hà Nội - 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Cách cho dãy số 1.1.3 Một vài dãy số đặc biệt 1.1.4 Giới hạn dãy số 1.2 Sơ lược phương pháp sai phân 11 1.3 Số học 14 1.3.1 Đồng dư thức 14 1.3.2 Một số định lý số học 15 Chương Tính chất số học dãy số 17 2.1 Tính chia hết 17 2.2 Tính chất số nguyên 36 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.3 Tính phương 46 2.4 Bài tập 57 60 Chương Giới hạn dãy số 3.1 Giới hạn tổng 60 3.2 Dãy hội tụ dãy số 65 3.3 Dãy số xác định phương trình 73 3.4 Bài tập 81 Kết luận 84 Tài liệu tham khảo 85 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời nói đầu Dãy số lĩnh vực khó rộng, đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế thường xuất toán dãy số Để giải toán dãy số địi hỏi người làm tốn phải có kiến thức tổng hợp số học, đại số, giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số đa dạng có nhiều tài liệu viết vấn đề này, tài liệu thường viết rộng vấn đề dãy số, vấn đề quan tâm nhiều tính chất số hoc tính chất giải tích dãy số Tính chất số học dãy số thể tính chia hết, tính nguyên, tính phương , tính chất giải tích có nhiều dạng quan trọng tốn tìm giới hạn dãy số Các toán dãy số thường toán hay khó, tác giả luận văn sưu tầm, chọn lọc phân loại theo chủ đề Luận văn với đề tài “Một số toán dãy số” có mục đích trình bày cách hệ thống, chi tiết tính chất số học dãy số, giới hạn dãy số Luận văn trình bày với chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương hệ thống lại kiến thức dãy số, số học, phương pháp sai phân dùng để giải toán chương sau Chương Tính chất số học dãy số Chương trình bày số vấn đề tính chất số học dãy số tính chia hết, tính nguyên, tính phương nêu phương pháp giải tốn, phân tích tốn cụ thể TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Chương Giới hạn dãy số Chương đề cập đến số toán giới hạn dãy số như: Giới hạn tổng, dãy hội tụ dãy số, dãy số xác định phương trình với phương pháp giải cụ thể cho dạng tốn Luận văn hồn thành với quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn khoa học TS Phạm Văn Quốc, thày tận tình bảo cách tập nghiên cứu khoa học, cách làm trình bày luận văn đồng thời thày có nhiều ý kiến quý báu để hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thày Nhân dịp tác giả xin cảm ơn khoa Tốn – Cơ – Tin học, phịng Sau đại học, phịng Cơng tác trị sinh viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà nội tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt hai năm học trình làm luận văn, cảm ơn Ban giám hiệu, bạn đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Trung Ngạn giúp đỡ cho tác giả công tác học tập thời gian qua, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Học viên Nguyễn Thành Giáp (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u :N∗ 7−→ R n 7−→ u(n) Dãy số thường viết dạng khai triển: u1 , u2 , , un , Trong un = u(n) gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Mỗi hàm số u xác định tập M = 1, 2, 3, , m với m ∈ N∗ gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , , um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối Dãy số (un ) gọi là: • Dãy đơn điệu tăng un+1 > un với n = 1, 2, (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so • Dãy đơn điệu khơng giảm un+1 ≥ un với n = 1, 2, • Dãy đơn điệu giảm un+1 < un với n = 1, 2, • Dãy đơn điệu không tăng un+1 ≤ un với n = 1, 2, Dãy (un ) gọi là: • Dãy số bị chặn tồn số M cho un < M , với N = 1, 2, • Dãy số bị chặn tồn số m cho un > m, với N = 1, 2, • Dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn Dãy số (un ) gọi tuần hoàn với chu kỳ k un+k = un , với n ∈ N Dãy số (un ) gọi dãy dừng tồn số N0 cho un = C với n ≥ N0 (C số, gọi số dừng) 1.1.2 Cách cho dãy số Dãy số cho công thức số hạng tổng quát: Ví dụ xét dãy số (un ) cho √ √  − n  + n −√ un = √ 2 5 Dãy số cho phương pháp truy hồi: Dãy số (un ) xác định   u1 = 1, u2 = 50  un+1 = 4un + 5un−1 − 1975, n = 2, 3, 4, Dãy số cho phương pháp mơ tả: Ví dụ xét dãy số (un ) cho bởi: a1 = 19, a2 = 98 Với số nguyên n ≥ 1, xác định an+2 số dư phép chia an + an+1 cho 100 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so 1.1.3 Một vài dãy số đặc biệt 1.1.3.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1.1.1 Dãy số u1 , u2 , u3 , gọi cấp số cộng với công sai d (d khác 0) un = un−1 + d với n = 2, 3, Tính chất: un = u1 + (n − 1)d uk = uk−1 + uk+1 với k = 2, 3, Nếu cấp số cộng có hữu hạn phần tử u1 , u2 , , un u1 +un = uk +un−k với k = 2, 3, , n − Sn = u1 + u2 + · · · + un = 1.1.3.2 n n (u1 + un ) = [2u1 + (n − 1)d] 2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.1.2 Dãy số u1 , u2 , u3 , gọi cấp số nhân với công bội q (q khác khác 1) un = un−1 q với n = 2, 3, Tính chất: un = u1 q n−1 với n = 2, 3, u2k = uk−1 · uk+1 với k = 2, 3, Sn = u1 + u2 + · · · + un = 1.1.3.3 u1 (q n − 1) q−1 Dãy Fibonacci Định nghĩa 1.1.3 Dãy u1 , u2 , xác định sau:   u1 = 1, u2 =  un = un−1 + un−2 , với n = 2, 3, (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so gọi dãy Fibonacci Bằng phương pháp sai phân tìm cơng thức tổng quát dãy là: √ √  + n  − n un = √ −√ 2 5 1.1.4 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.1.4 Ta nói dãy số (un ) có giới hạn số thực a hữu hạn với số dương ε (có thể bé tùy ý), ln tồn số n0 ∈ N (n0 phụ thuộc vào ε vào dãy số (un ) xét), cho với số n ∈ N, n ≥ n0 ta ln có |un − a| < ε Khi kí hiệu lim un = a n→+∞ lim un = a cịn nói dãy số (un ) hội tụ a Dãy số không hội tụ gọi dãy phân kì Định lý 1.1.5 Nếu dãy số hội tụ giới hạn Định lý 1.1.6 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass) a) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ b) Một dãy số tăng bị chặn hội tụ c) Một dãy số giảm bị chặn hội tụ Định lý 1.1.7 Nếu (un ) → a (vn ) ⊂ (un ), (vn ) 6= C (vn ) → a Định lý 1.1.8 (định lý kẹp giới hạn) Nếu với n ≥ n0 ta có un ≤ xn ≤ lim un = lim = a lim xn = a Định lý 1.1.9 (định lý Lagrange) Nếu hàm số f (x) liên tục [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) tồn c ∈ (a; b) thỏa mãn: f (b) − f (a) = f (c)(b − a) Định lý 1.1.10 (định lý trung bình Cesaro) Nếu dãy số (un ) có giới hạn u + u + · · · + u  n có giới hạn hữu hạn a dãy trung bình cộng n (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Bài tập 2.4.9 Cho dãy số (un ) thỏa mãn: un+2 = un un+1 2un − un+1 (n = 1, 2, ) Hãy tìm điều kiện cần đủ u1 , u2 để dãy cho có vơ hạn số hạng số ngun Bài tập 2.4.10 Cho dãy số (un ) xác định sau: u1 = 20, u2 = 100 un+1 = 4un + un−1 − 1976 n = 2, 3, Chứng minh tồn số dãy số chia hết cho 1996 59 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Chương Giới hạn dãy số 3.1 Giới hạn tổng Các toán tìm giới hạn tổng ta thu gọn tổng cách phân tích hạng tử tổng qt thành hiệu hạng tử nối tiếp để hạng tử triệt tiêu, cuối đưa tổng biểu thức cịn chứa xn , sau tìm lim xn Bài tập 3.1.1 Cho dãy số (xn ) (n = 1, 2, ) xác định sau: x1 = xn+1 = Đặt yn = n X i=1 p xn (xn + 1)(xn + 2)(xn + 3) + với n = 1, 2, , (n = 1, 2, ) Tìm lim yn n→+∞ xi + Lời giải Ta có x2 = xn > với n = 1, 2, xn+1 = p xn (xn + 1)(xn + 2)(xn + 3) + = p (x2n + 3xn )(x2n + 3xn + 2) + = x2n + 3xn + 60 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (1) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Từ suy xn+1 + = x2n + 3x2n + = (xn + 1)(xn + 2) 1 = − xn+1 + (xn + 1)(xn + 2) xn + xn + 1 ⇒ = − xn + xn + xn+1 + 1 ⇒ = Do yn = n X i=1 = n  X 1 1 = − − = xi + xi + xi+1 + x1 + xn+1 + i=1 1 − xn+1 + Từ (1) xk+1 = x2k + 3xk + > 3xk ≥ · 3k−1 = 3k Ta dễ dàng chứng minh quy nạp Nên lim yn = n→+∞ xn > 3n−1 (2) (vì (2) xn+1 > 3n )  Ta chứng minh lim xn = +∞ với cách khác: Dễ thấy (xn ) dãy tăng, giả sử lim xn = a (a ≥ 1) Nên ta có a= p a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + Suy a2 = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + hay a4 + 6a3 + 10a2 + 6a + = Rõ ràng phương trình khơng có nghiệm thỏa mãn a ≥ Vậy lim xn = +∞ Bài tập 3.1.2 (HSG QG năm 2009) Cho dãy số (xn ), n = 1, 2, xác định bởi:    x = 2q x2n−1 + 4xn−1 + xn−1   x = , n (n = 2, 3, ) n X Chứng minh dãy (yn ) (n = 1, 2, ) với yn = có giới hạn hữu hạn x i=1 i tìm giới hạn 61 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Lời giải Từ giả thiết ta có xn > với n ≥ Ta có q q x2n−1 + 4xn−1 + xn−1 x2n−1 + 4xn−1 − xn−1 xn − xn−1 = − xn−1 = >0 2 với n ≥ Do dãy (xn ) tăng Giả sử lim xn = a a > √ a2 + 4a + a ⇔a=0 (vô lý) a= Vậy lim xnq= +∞ x2n−1 + 4xn−1 + xn−1 Từ xn = với n ≥ suy x2n = (xn + 1)xn−1 ⇒ 1 = − với n ≥ 2 xn xn−1 xn Do n  X 1 1 1 1  = 2+ + + ···+ yn = − − − x2 x1 x1 x2 x2 x3 xn−1 xn i=1 i = 1 1 + − =6− với n ≥ 2 x1 x1 xn xn Suy yn < với n ≥ dãy (yn ) tăng yn = yn−1 + > yn−1 xn Vậy (yn ) có giới hạn hữu hạn lim yn = lim n→+∞ n→+∞  6−  = xn Bài tập 3.1.3 Xét dãy số (xn ) (n = 1, 2, 3, ) xác định bởi: x1 = xn+1 = (x + 1) với n = 1, 2, 3, n 1 + + ··· + Tìm lim Sn n→+∞ + x1 + x2 + xn Lời giải Ta tổng qt hóa tốn sau: Cho dãy (un ) thỏa mãn   u1 = a 2  un+1 = un + (b + c)un + c b−c Đặt Sn = 62 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Ta chứng minh Sn = n X i=1 un+1 1 = − Thật ta có ui + b u1 + c un+1 + c u2n + (b + c)un + c2 u2n + (b + c)un + bc = ⇒ un+1 + c = b−c b−c (un + b)(un + c) = b−c Từ un+1 + c = 1 1 − ⇒ = − un + c un + b un + b un + c un+1 + c Khai triển ước lượng 1 = − u1 + b u1 + c u2 + c 1 = − u2 + b u2 + c u3 + c 1 = − un + b un + c un+1 + c Do Sn = 1 − Từ vận dụng vào toán với b = 1, u1 + c un+1 + c c = −1 ta có Sn = 1 − =1− x1 − xn+1 − xn+1 − 1 (xn − 1)2 > với n ∈ N∗ nên dãy (xn ) dãy tăng Giả sử lim xn = a (a > 2) 2a = a2 + ⇒ a = (vô lý) Vậy Mà xn+1 − xn = n→+∞ lim xn = +∞ Do lim Sn = n→+∞ n→+∞ Bài tập 3.1.4 Cho dãy số (xn ) xác định bởi: x1 = 1, xn+1 = (2xn + 1)2012 + xn 2012 với n số nguyên dương Đặt (2x1 + 1)2011 (2x2 + 1)2011 (2x3 + 1)2011 (2xn + 1)2011 un = + + + ··· + 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2xn+1 + 63 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Tính lim un Lời giải Ta có xn+1 − xn = (2xn + 1)2012 với n ≥ Suy 2012 1 2(xn+1 − xn ) (2xn + 1)2011 − = = 2xn + 2xn+1 + (2xn + 1)(2xn+1 + 1) 1006(2xn+1 + 1) n n  X (2xi + 1)2011 X 1 ⇒ = 1006 − 2xi+1 + 2xi + 2xi+1 + i=1 i=1   = 1006 − 2x1 + 2xn+1 + Mặt khác xn+1 − xn ≥ nên (xn ) dãy số tăng với n ≥ Nếu (xn ) bị chặn lim xn tồn Đặt lim xn = a ⇒ a ≥ a= (2a + 1)2012 +a 2012 (vô lý) Suy (xn ) không bị chặn, hay lim xn = +∞, suy lim n→+∞ 2xn+1 + = Vậy lim un = n→+∞ 1006 Bài tập 3.1.5 Cho dãy số (xn ) với n = 1, 2, xác định bởi:   x1 = a, (a > 1), x2 =  xn+2 = xn − ln xn Đặt Sn = (n ∈ N∗ ) n−1 X k=1 Sn √ (n − k) ln x2k−1 (n ≥ 2) Tìm lim n→+∞ n Lời giải Nhận xét x2n = 1, n = 1, 2, ln = suy lim x2n = n→+∞ Tiếp theo, ta chứng minh dãy (x2n+1 ) có giới hạn Xét hàm số f (x) = x − ln x > với x > x Trước hết ta chứng minh phương pháp quy nạp, dãy (x2n+1 ) bị chặn liên tục đồng biến (1; +∞) f (x) = − 64 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Theo giả thiết x1 = a > 1, giả sử x2k+1 > f (x2k+1 ) > f (1) > nên hiển nhiên x2k+3 > tức dãy (x2n+1 ) bị chặn Tiếp theo ta chứng minh dãy (x2n+1 ) dãy giảm Thật x2n+1 > nên ln x2n+1 > Vì x2n+3 − x2n+1 = − ln x2n+1 < 0, tức dãy (x2n+1 ) dãy giảm Từ suy (x2n+1 ) có giới hạn c = lim x2n+1 Chuyển qua giới hạn dãy n→+∞ số, ta c = c − ln c ⇔ ln c = ⇔ c = Vậy dãy số (xn ) có giới hạn Theo định lý Cessaro, ta có x + x + · · · + x  2n lim =1 n→+∞ 2n hay  (x + x + · · · + x  2n+1 ) + (x2 + x4 + · · · + x2n ) lim =1 n→+∞ 2n   nx − (n − 1) ln x − (n − 2) ln x − · · · − ln x 1 2n−3 + n =1 ⇔ lim n→+∞ 2n a S Sn 1 a−1 n ⇔ lim = hay lim − + = n→+∞ n→+∞ n n 2 3.2 Dãy hội tụ dãy số Khi khảo sát hội tụ dãy số ta thường sử dụng định lý tính đơn điệu bị chặn, dãy khơng đơn điệu xét dãy với số chẵn, số lẻ Tuy nhiên có dãy số phức tạp, tăng giảm bất thường, trường hợp thể ta thường xây dựng dãy số phụ đơn điệu, chứng minh dãy số phụ có giới hạn, sau chứng minh dãy số ban đầu có giới hạn, dãy số phụ phải xây dựng từ dãy số 65 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Nhận xét Mọi dãy dãy hội tụ hội tụ ngược lại lim x2n = lim x2n+1 = a lim xn = a Một cách tổng quát ta có: Cho số nguyên m ≥ lim xmn+i = a với i = 0, 1, 2, , m − lim xn = a Bài tập 3.2.1 Dãy số (xn ) xác định công thức:   x = x =  5xn+2 = xn + 2xn+1 Chứng minh dãy (xn ) hội tụ Lời giải Xét dãy số (an ) xác định bởi: a0 = 1, an+1 = 2an , dễ thấy (an ) giảm dần Ta chứng tỏ max{x2n , x2n+1 } ≤ an , với n (1) Thật vậy, (1) với n = n = Giả sử (1) với n (an ) dãy giảm nên 5x2n+2 = x2n + 2x2n+1 ≤ 3an ⇒ x2n+2 ≤ an+1 Và 5x2n+3 = x2n+1 + 2x2n+2 ≤ an + 2an+1 ≤ 3an ⇒ x2n+3 ≤ an+1 Như (1) với n + hay (1) với n = 0, 1, 2, Dễ thấy xn > với n từ (1) theo nguyên lý kẹp ta có lim x2n = lim x2n+1 = ⇒ lim xn = Nhận xét: Việc đưa vào dãy phụ (an ) có tác dụng chặn hai dãy (x2n ) (x2n+1 ) làm chúng hội tụ điểm Có thể sử dụng phương pháp sai phân tìm số hạng tổng quát  − √6  n  + √6  n xn = C + C2 5 Thay giá trị x0 , x1 để tìm C1 , C2 từ tìm lim xn = 66 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Bài tập 3.2.2 Dãy (xn ) xác định bởi:   x0 , x1 , x2 ∈ (0; 1)  3xn+3 = x2 + x2 n n+2 Chứng minh dãy (xn ) hội tụ Lời giải Ta xét dãy số (an ) xác định bởi: a0 = max{x0 , x1 , x2 }, an+1 = 2a2n Dễ thấy dãy số (an ) giảm dần Ta chứng tỏ max{x3n , x3n+1 , x3n+2 } ≤ an với n (1) Thật (1) với n = 0, 1, 2, Giả sử (1) với n (an ) dãy giảm nên ta có 3x3n+3 = x23n + x23n+2 ≤ 2a2n ⇒ x3n+3 ≤ an+1 3x3n+4 = x23n+1 + x23n+3 ≤ a2n + a2n+1 ≤ 2a2n ⇒ x3n+4 ≤ an+1 3x3n+5 = x23n+2 + x23n+4 ≤ a2n + a2n+1 ≤ 2a2n ⇒ x3n+5 ≤ an+1 Như (1) với n + 1, theo nguyên lý quy nạp, (1) chứng minh Dễ thấy xn > Từ theo nguyên lý kẹp ta có lim x3n+i = (i = 0, 1, 2) lim xn = Từ cách chọn dãy số phụ ta có dãy số sau hội tụ với x0 , x1 , x2 , x3 thuộc (0; 1) 3xn+3 = x2n + xn+1 xn+2 , 3xn+3 x2n + x2n+2 + x2n+1 , = 3xn+3 = x2n + xn xn+1 , 6xn+4 = xn+1 xn+2 + x2n + 2xn xn+1 67 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Bài tập 3.2.3 Dãy (xn ) xác định bởi:   x0 , x1 , x2 >  xn+3 = √xn + xn+2 Chứng minh dãy (xn ) hội tụ Lời giải Ta xây dựng hai dãy (an ) (bn ) sau:     a0 = max{x0 , x1 , x2 , 2} b0 = min{x0 , x1 , x2 , 2}   an+1 = √2an bn+1 = √2bn Dãy (an ) dãy giảm dần 2, dãy (bn ) tăng dần Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh bn+1 ≤ min{x3n , x3n+1 , x3n+2 } ≤ max{x3n , x3n+1 , x3n+2 } ≤ an với n Từ dẫn đến lim x3n = lim x3n+1 = lim x3n+2 = suy lim xn = Bài tập 3.2.4 Cho dãy (xn ) (n = 0, 1, 2, ) xác định sau:   x0 , x1 , x2 số dương cho trước  xn+2 = √xn+1 + √xn + √xn−1 với n ≥ Chứng minh dãy (xn ) hội tụ tìm giới hạn dãy Lời giải Ta xây dựng hai dãy (an ) (bn ) sau:     a0 = max{x0 , x1 , x2 , 9} b0 = min{x0 , x1 , x2 , 9}   an+1 = 3√an , bn+1 = 3√bn , n = 0, 1, 2, n = 0, 1, 2, Dãy (an ) dãy giảm dần 9, dãy (bn ) tăng dần suy lim an = lim bn = n→+∞ n→+∞ Ta chứng minh bn+1 ≤ min{x3n , x3n+1 , x3n+2 } ≤ max{x3n , x3n+1 , x3n+2 } ≤ an với n (1) 68 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so Thật với n = (1) hiển nhiên Giả sử (1) với n = k, với n = k + ta có p √ √ √ bn ≤ bn+1 = bn ≤ x3k+3 = x3k+2 + x3k+1 + x3k ≤ √ ≤ an = an+1 ≤ an p √ √ √ bn ≤ bn+1 = bn ≤ x3k+4 = x3k+3 + x3k+2 + x3k+1 ≤ √ ≤ an = an+1 ≤ an p √ √ √ bn ≤ bn+1 = bn ≤ x3k+5 = x3k+4 + x3k+3 + x3k+2 ≤ √ ≤ an = an+1 ≤ an Vậy (1) với n = k + Theo nguyên lý quy nạp (1) với số tụ nhiên n Từ theo nguyên lý kẹp ta có lim x3n = lim x3n+1 = lim x3n+2 = lim an n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ = lim bn = ⇒ lim xn = n→+∞ n→+∞ Dưới số tốn tìm giới hạn dãy số dạng xn+1 = f (xn ) (dãy số xác định gọi cho dạng lặp) Đây dạng toán thường gặp toán tìm giới hạn dãy số, dãy số hồn tồn xác định biết f giá trị ban đầu x0 Do hội tụ dãy số phụ thuộc vào tính chất f (x) x0 Một đặc điểm quan trọng khác dãy số dạng a giới hạn dãy số a nghiệm phương trình x = f (x) Bài tập 3.2.5 Cho dãy số (xn ) xác định sau: x1 = 0, xn+1 =  xn với n ∈ N∗ 27 Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn tìm giới hạn Lời giải Nhận xét xn ≥ với n ∈ N∗ Xét hàm số  x nghịch biến khoảng [0; +∞) Khi xn+1 = f (xn ) với f (x) = 27 n ∈ N∗ f (x) ≤ f (0) nên ≤ xn ≤ Ta có x1 = 0, x2 = 1, x3 = nên 27 69 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so x1 ≤ x3 x4 = f (x3 ) ≤ f (x1 ) = x2 Bây ta chứng minh phương pháp quy nạp x2n−1 ≤ x2n+1 x2n+2 ≤ x2n với n ∈ N∗ Thật giả sử có x2n−1 ≤ x2n+1 f (x2n−1 ) ≥ f (x2n+1 ) nên x2n ≥ x2n+2 f (x2n ) ≤ f (x2n+2 ) suy x2n+1 ≤ x2n+3 Tương tự, giả sử có x2n ≥ x2n+2 f (x2n ) ≤ f (x2n+2 ) suy x2n+1 ≤ x2n+3 Vì f (x2n+1 ) ≥ f (x2n+3 ) suy x2n+2 ≥ x2n+4 Vậy dãy (x2n−1 ) dãy tăng dãy (x2n ) dãy giảm thuộc [0; 1] nên có giới hạn hữu hạn: lim x2n = a; lim x2n−1 = b n→+∞ n→+∞ Và a = lim x2n+2 = lim f (x2n+1 ) = lim f (f (x2n )) = f (f (a)) nên n→+∞ n→+∞ n→+∞  ( )a 27 a= ⇒a= 27 1 Vậy a = b = nên lim xn = n→+∞ 3 Bài tập 3.2.6 (HSG QG 2008) Cho dãy số thực (xn ) xác định sau: Tương tự ta tìm b = x1 = 0, x2 = xn+2 = 2−xn + với n = 1, 2, 3, Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải Xét hàm số f (x) = 2−x + xác định R Với n ∈ N∗ , ta có xn+4 = f (xn+2 ) = f (f (xn )) hay xn+4 = g(xn ), g hàm số xác định R g(x) = f (f (x)) với x ∈ R (1) Dễ thấy hàm số f giảm R, hàm số g tăng R Vì từ (1) suy với k ∈ {1; 2; 3; 4}, dãy (x4n+k ), n ∈ N dãy đơn điệu Hơn nữa, 70 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so từ cách xác định dãy (xn ) dễ thấy ≤ xn ≤ với n ∈ N∗ Do với k ∈ {1; 2; 3; 4}, dãy (x4n+k ) dãy hội tụ Với k ∈ {1; 2; 3; 4}, đặt lim x4n+k = ak ta có ≤ ak ≤ Hơn n→+∞ hàm số g liên tục R nên từ (1) suy g(ak ) = ak (2) Xét hàm số h(x) = g(x) − x [0; 2] Ta có h0 (x) = 2−(f (x)+x) · (ln 2)2 − < với x ∈ [0; 2] (do f (x)+x > với x ∈ [0; 2]) Suy ra, hàm số h giảm [0; 2] Vì có nhiều điểm x ∈ [0; 2] cho h(x) = hay g(x) = x Mà g(1) = nên từ (2) ta ak = với k ∈ {1; 2; 3; 4} Từ đây, dãy (xn ) hợp bốn dãy (x4n+k ) nên dãy (xn ) hội tụ lim xn = n→+∞ Bài tập 3.2.7 Cho dãy số thực (xn ) xác định bởi:    x1 = 2007   xn+1 = √ 3+ p xn với n ≥ x2n − 1/ Chứng minh dãy (xn ) bị chặn 2/ Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn tìm giới hạn Lời giải Hiển nhiên xn > xn+1 = √ √ √ xn 3+ p = 3+ x2n − s 1+ √ √ < + với n ≥ x2n − Vậy xn ≤ 2007 với n, suy dãy (xn ) bị chặn Hàm r √ √ x f (x) = + √ = 3+ 1+ 2 x −1 x −1 71 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so √ nghịch biến [ 3; +∞) nên chứng minh dãy (x2n ) (x2n+1 ) đơn điệu Theo 1/ dãy bị chặn nên có lim x2n = a, lim x2n+1 = b Từ xn+1 = √ 3+ p xn qua giới hạn, ta có x2n −  √ b   a = 3+ √   b2 −   ⇒a+ √    √   b = + √ a a2 − a a2 − =b+ √ b b2 − (*) √ √ > với x ≥ x2 − (x2 − 1) x2 − nên g(x) đồng biến Nên từ (∗) suy a = b hay Xét g(x) = x + √ x có g (x) = − lim x2n = lim x2n+1 ⇒ lim xn = a = b Lúc a nghiệm phương trình √ √ √ √ √ x + 15 + 15 ⇒ lim xn = ⇔x= x= 3+ √ 2 x2 − Bài tập 3.2.8 Cho dãy số (xn ) thỏa mãn:   x1 = √a, a > p  xn+1 = a − √a + xn với n ∈ N∗ Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn √ Lời giải Bằng quy nạp ta chứng minh ≤ xn ≤ a với n ∈ N∗ p √ √ Xét hàm f (x) = a − a + x, với x ∈ [0; a], có xn+1 = f (xn ) √ f (x) = − p < 0, với x ∈ [0; a] √ √ a− a+x a+x Suy f (x) hàm nghịch biến Do dãy (xn ) tách thành hai dãy (x2n ) (x2n+1 ), 72 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so dãy tăng dãy giảm, mặt khác lại có dãy (xn ) bị chặn nên tồn lim x2n = α, lim x2n+1 = β, α, β nghiệm phương trình s r q √ f (f (x)) = x ⇔ a − a + a − a + x = x s Xét hàm F (x) = F (x) = r a− q r a− a+ q a− √ √ a + x − x, với x ∈ [0; a] Ta có −1 q p p p √ √ √ √ a+ a− a+x a+ a− a+x a− a+x a+x √ Với x ∈ [0; a], ta có q √ r s r √ √ a+x≥ a− a+ a+ · a= r r √ √ √ √ 2 √ 2 √ − · 2> − · 2> a− a− · a= a− 2− 2 4 a− r = > √ p a+x· q √ √ a− a+ a· a> 0, 12 > 0, p √ Thay vai trò x a − a + x chứng minh tương tự ta có s r r q q √ √ a − a + a − a + x · a + a − a + x > 0, Suy F (x) < −0, < nên F (x) hàm nghịch biến, lại có F (0) > 0, √ F ( a) < nên phương trình F (x) = có nghiệm Do α = β Suy lim x2n = lim x2n+1 = lim xn Suy lim xn = T với T thỏa mãn f (f (T )) = T 3.3 Dãy số xác định phương trình Dãy số có mối quan hệ chặt chẽ với phương trình điều thấy rõ qua hai nội dung phương trình sai phân tuyến tính giải phương 73 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so(LUAN.van.THAC.si).mot.so.bai.toan.ve.day.so TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com