Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ TRANG HÀM CỰC TRỊ SICIAK CỦA HÌNH CÂU PHỨC VÀ UNG DUNG VAO XAP XI DA THUC LUAN VAN THAC SI TOAN HOC Trang 2 ĐẠI HỌC THÁI NG
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
DƯƠNG THỊ TRANG
HÀM CỰC TRỊ SICIAK CỦA HÌNH CÂU
PHỨC VÀ UNG DUNG VAO XAP XI DA THUC
LUAN VAN THAC SI TOAN HOC
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
DƯƠNG THỊ TRANG
HÀM CỰC TRỊ SICIAK CỦA HÌNH CÂU
PHỨC VÀ ỨNG DỤNG VÀO XÂP XỈ ĐA THỨC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu
Trang 3Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Quang Diệụ Các tài liệu trong luận văn là trung thực
Toi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc
Tác giả
Dương Thị Trang
Trang 4Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chỉ bảo
nghiêm khắc của thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Quang Diệụ Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầỵ
Tồi xin cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán - Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã luôn quan tâm và tạo điều kiện cho tôi trong suốt
quá trình học tập và làm luận văn nàỵ
Cuối cùng, tôi xin bày tổ lòng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ, anh chị và
những người thân yêu trong gia đình cũng như những bạn bè thân thiết của tôi đã luôn động viên, quan tâm giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn
và khuyến khích tôi học tập
Trang 5Muc luc
Trang bia phu i
Lời cam đoan li
Trang 6Mở đầu
Định lí cổ điển Bernstein-Walsh cho ta tốc độ xấp xỉ một hàm chỉnh
hình bởi các đa thức trên một lân cận của một tập compact với phần bù liên thông trong C Định lí này đã được mở rộng trong trường hợp nhiều
biến bởi Siciak Trong đó khái niệm phần bù liên thông trong C được thay bằng khái niệm "lồi đa thức" trong (C*® Mục đích của đề tài là nghiên cứu
một dạng của định lí xấp xỉ Siciak nhưng lần này bởi các đa thức mà bậc được tính theo bậc Buclid hoặc tổng quát hơn chúng ta sẽ nghiên cứu hàm cực trị Siciak đối với cách xác định bậc đa thức mới nàỵ Cụ thể như sau,
nếu C |0, o)# là tập lồi, compact với phần trong khác rỗng thì ta đặt Poly(nP) := {p(z) = » cJz”:c € Ch
JEenPn(Zt)4
Khi P = {(ø, Za) : #I, za > 0,1 + + za < 1} thì Polu(nwP) = Tạ
không gian con các đa thức với bậc < ø Hàm cực trị Siciak của (P, FE)
được định nghĩa bởi
Vp.g(2z) := sup{u(2) : u € PSH(C%),ulz <0,u < sup log |z7| +C} Ta sẽ tính toán tường minh hàm cực trị của Siciak kiểu này và ứng dụng
vào việc xấp xi các hàm chỉnh hình vào hàm hữu tỉ bởi các đa thức trong Poly(nP)
Chúng ta sẽ trình bày lại một số kết quả cơ bản trong các bài báo [2] va [3]
cua T.Bloom, L.Bos, N.Levenberg, S.Ma°u và F.Piazzon Nội dung chính là những công thức tường minh của ham cuc tri Siciak cho lớp đa thức
Poly(nP) và ứng dụng của hàm này vào việc đánh giá tốc độ xấp xỉ hàm chỉnh hình bởi những đa thức trong Polg(nP)
Luận văn được chia thành 2 chương Chương 1 trình bày các kiến thức về
hàm đa điều hòa dưới, hàm cực trị Siciak Chương 2 trình bày về hàm cực
Trang 7Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Các kiến thúc chuẩn bị lấy trong [1]
1.1 Hàm đa điều hòa dưới
Định nghĩa 1.1 G¡¿ sử C C” là tập mở, u : D —> [—œo, +00) la ham mửa liên tục trên, không đồng nhất bằng —oo trên mọi thành phần liên thông của D Hàm u gọt là đa điều hòa dưới trên D ( uiếtu c PSH(D))
nếu uới mọi a € D ouà b € C", hàm À —> u(a + ÀbÙ) là điều hòa dưới hoặc
bằng —co trên mọi thành phân liên thông của tập {À €(Œ :a+ Àbc€ DỊ Dinh ly 1.1 Gid stu: D — [—co, +00) 1a ham ntia liên tục trên, không
đồng nhất bing —oo trên mọi thành phần liên thông của D C C" Kh¿ đó
u € PSH(D)khi va chi khi vdi moi a € D,b € C” sao cho {a+ Ab: AEC, |A| <1} CD
ta có
27
u(a) < = / u(a + €%)d0 :=I(u, a, 6) 7T
Trang 8Định lý 1.2 Giá sử D CC" là tập mở va u € C?(D) Khi d6u €
82
PSH(D) khi va chi khi Hessian H,(z) = tan đương, nghia la vdi moi w = (wi, We, ., Wn) € C”, “ Pu H,(z)(w, w) = » Bz Og ei > 0 ) của u tại z rác định Dinh ly 1.3 Gid st D € C” la tap mé va u € PSH(D) Khi đó uới mới b= (bì, bạ, .Đn ) €(C*" ‡a có n 82u — tai moi z € D theo nghĩa suụ rộng, nghĩa là uới mọi @ € GŒ§°(D), > 0 | u(z) < £e(2)b,b) > đÀ(z) > 0 D 2 ở đó < Ly(z)b,b) >= Vein spe (bide la dang Levi ctia tai z j Ngược lại, nếu 0u € Lị, (D) sao cho vdi moi z € D, moi b = (bì, bạ, bạ) EC” , “Oy 52m (z)b;B„ > 0 — Theo nghĩa suụ rộng thà hàm tu — lim(v *%Xe) là hàm đa điều hòa đưới trên c->
D à bằng hầu khắp nơi trên D
Dinh lý 1.4 Giá sử D là tập mở trong C”
(i) Néu u,v € PSH(D) thi max{u,v} € PSH(D) va néu a, B > 0 thà œu + 8u € PSH(D) Nghĩa là PHS(D) là nón lồị
(it) Néu day {u;};>\ C PSH(D) là dấu giảm thà u = lim u¿ hoặc là ham
da điều hòa dưới trên D hoặc = —co
(itt) Néu {u;} C PSH(D) là dấu hội tụ đều trên mọi tập compact cia D tới hàm u : D —> R thàìu c PSH(D)
(iv) Giả sử {uy }aei C PSH(D) sao cho u = sup{utg : a € I} la bi chan
trên dia phuong Khi dé chinh quy hoa nửa liên tục trén u* € PSH(D)
Trang 9Mệnh đề 1.1 Giá sử D là một miền trong C” va u € PSH(D),u # const Khi dé u khéng dat cuc dai toan thể trên D Hơn nữa nếu D là bị chặn thà uới mọt z € D ta có
u(z) < sup {lim sup u(z)} wedD D3z->u›
Định lý 1.5 Giả sử ƒ : D — D' là ánh za chinh hinh riéng gitta hai
mién trong C" uà u € PSH(D) Khi dé ham
v(z) = max {u(w) : w € f-'(z)},z € D! la ham da điều hòa dưới trên D'
Bồ đề 1.1 Giả sử {U;};>ì C PSH(D) là bị chặn trên đều địa phương trong tập mở D c C" Giả sử uới mỗi z € ]D
lim sup u;(2) < M, M là hằng số 7J—>œo
Khi đó uới mọi e > 0 uà mọi K € D là tập compact, tồn tai jo sao cho Vj > 7o ta có supu;(z) < M +ec
zek
Mệnh đề 1.2 Giả sử D C C" là tập md, w € D 1a tap con mở thực sự,
khác rỗng của D Gid stu € PSH(D),v € PSH(w) valimsup,_,, u(r) < 0(9) vdi moi y € OWN D Khi dé
w= max{u,v} — trong w
Trang 101.2 Ham cutc tri Siciak
Ứng dụng của hàm cực trị Siciak nằm ở bất đẳng thức sau:
Giả sử P là đa thức trên C” và B(ø,z) là hình cầu tâm ø bán kính r trong
n Plz ` Z,
C” Ham u(z) = dẹP log Pin > € L va ulgary < 0 Ta cé:
1 |P(z)| llz—all n
deg P 108 lPlis B(a,r) < max (0, log ¬ Vz € C ` =
Do đó ta có bất đẳng thức sau mà được gọi là bất đắng thức Bernstein-
Walsh:
Trang 11Chương 2
Hàm cực trị kết hợp với vật thể lỗi
2.1 Hàm cực trị Siclak
Cho P là một vật thể lồi, P C (RT)# = |0, œ)# ta có thể xác định được
P-ham cuc tri Vp x liên kết với K Giả sử P C (R?)* là một compact lồi
đặt trong (RT)# với P0 khác rỗng Cho P C (RT)# sao cho >›`CkP,kcZ"
trong đó
So = {(a1, ., 0g) € R#:zq, ,#a4 > 0, 1+ + øa < 1}
là là đơn hình don vị
Xét các không gian đa thức hữu hạn chiều
Poly(nP) :={p(z)= YS cJz”:cjC(C} JenPn\(Z+)4
chon = 1,2, , J = (7\, ; 7a)
Trường hợp P = )_ ta có Poly(n `) = 7, không gian thông thường đa
thức chỉnh hình của bậc nhiều nhất n trong Cở
Trong trường hợp := {(x1, ,a) € (Rt)? : (z†+ + z9)! < 1}, phần không âm của một hình cầu ỉ# trong (R#)T,1 < g< ©œ
Lưu ý, ị = >> va khi dé Poly(nP,) = P, trong khi P, 1a một phần của hinh cau Euclide trong cực dương "octant" va vi vay Poly(nP») tuong tng
với không gian đa thức của " euclde degree" nhiều nhất n được xét bởi
Trang 12Tồn tại một số nguyên dương nhỏ nhất A = ẲP) > 1 sao cho PC A}
Ta có
Poly(nP) C Poly(An >>) = Pan với mọi n
Dat dy := dim(Poly(nP)), dy, = O(n“) No xuat phát từ phần lồi của P,
khi d6
Pn © Poly(nP), pm € Poly(mP) => pạ.p„ € Polg((n + m)P) Với hàm chỉ hướng của vật thể lồi P là:
@p(Z\, %g):= sup (Z1i+ + raya)
(y1; -Ya)EP
Xét P,óp > 0 trên (R?)“ với óp(0) = 0 Xác định hàm chi hướng kiểu
logarith
Hp(2) := suplog |7] := dp (log 21, , log |2ạ JEP
Với |z?| := |zi|?! |za|22 cho J = (7t, 7a) 6€ P (các thành phần 7, khong cần là số nguyên), ta có
Hp(2) > } max log* |z| = ‡ max |[max(0,log |z/|)| — —
Hp được sử dụng để định nghĩa tổng quát của các lép Lelong L(C%), tập hợp của tất cả các hàm đa điều hòa dưới w trên C° với thuộc tính œ{z) — log |z| = 0, |z| —> œ ; và
L*(C2) = {u € L(C4) : u(z) > log” |z| + C„}
trong đó / là hằng số phụ thuộc Cho một tập E C CC”, một định nghĩa hàm cực trị toàn cục
Vz(2) := sup u(2) : u € L(C?),u < 0 trên EF}
Trang 13Vx(2z) = max|0,sup{aem log |p(2)| : |lellx = max Ip()| < 1)]:
Hơn nữa,
Vi(z) := limsup Vg(C) € Lt(C%)
Cz
khi không đa cực, tức là tồn tại một hàm đa điều hòa dưới u trén lan can cua K sao cho u = —oo trén K hay u = —oọ
Dinh nghia
Lp = Lp(C4) := {u € PSH(C4) : u(z) — Hp(z) = 0, |z| > oo}, Lp, = Lp.(C%) = {u € Lp(C4) : u(z) > Ap(z) + Cy}
Khi đó Le = L(C*) va Ly 4 = L*(C*) Cho E C C°, hàm cực trị P của E dugc cho béi
Vp(2) := lim sup,_,„ Vp,g(€)
trong đó
Vp,g(2) := sup{u(2) : u € Lp(C2),u < 0 trên }
Cho P=}, và Wp = Vy, =K€ C# là compact, trong trường hợp nay Vpx c6 thé dat được bằng cách sử dụng đa thức Chú ý, - log |p„| € Lp , pn € Poly(nP) Mệnh dé 2.1 Cho K Cc C4 la compact va khong da cực Khi do: 1 Vpx = lim — log ®„ n—>œ †\,
hội tụ điểm trên Cử ta có
®,(z) = sup{|Pn(z)| : Pn € Poly(nP), ||Pallx < 1}
Trang 14Lưu ¥, Vex = 0 trén bao 1éi da thitc K của K Ngoài ra, nếu W liên tục, thì Vpx cũng vậỵ
Bậc xấp xỉ của các hàm chỉnh hình bằng đa thức trong Polg(nP) được
khái quát bởi một định lý của Bernstein-Walsh, với công thức
Kết quả sau đây được lấy trong [3] về xấp xỉ hàm chỉnh hình bởi P— đa thức
Dinh lý 2.1 Cho K la compact va PL-chinh quị Cho R > 1,
0à đặt Ô\p := {z: Vpg(2z) <} Cho ƒ liên tục trên K
(1) Néu K = K, limsup,,,., Dăf, P, K)/” < 1/R thi f là giới hạn trên
K cua mét ham chinh hinh trong ©ìp,
(2) Néu P là một tập đặt biệt uà ƒ là giới hạn đến K ctia mot ham chinh
hành trong Âìn, khi đó lim sup D„(ƒ, P, K)1“ < 1/R 7n„—>©O Chitng minh (1) Giả sử lim sup Dl" =1/R n—-Co
Đối với R > 1 Ta chi ra rang néu p, € Poly(nP) thda min D, = If —Pnllx, sau dé chudi pp + 3 };" (p„ — Pn—1) hoi tu đều địa phương trên
Trang 15Từ ø và ## là các số tùy ý thỏa mãn 1 < p< R’ < R, nén
Po + oP (Pn — Pn—1) hi tu déu địa phương trên )p đến một hàm chỉnh
hinh F’ Ty (2.1), F = f trên K
Để chứng minh (2) chúng ta lưu ý rằng Poiy(nP) là một không gian véc
tơ hữu hạn Với n> k trong d6 > CkP ,k € Z* va dat Q\, , Qa„ là cơ sé cho Poly(nP) Cho R > 0 ta được
Dr:= {z€ Ct: |Q,(2)| < R*,j = 1, , dạ}
Oo
B6é dé 2.1 Cho P là một tap đc biét va cho ƒ là chỉnh hành trong
mot ving lan cận của Dịp Khi đó uới mỗi 36 nguyén duong m, ton tai Gm € Poly(mP) sao cho véi moi p < R,
I[ƒ — Gmllp, < BỤừ/R)”
trong đó B là một hằng số độc lập uới m
Chứng rm¿nh Cho ?n = sn, là bội sỗ nguyên của n„ tồn tại
Gm € Poly(mP) sao cho véi moi p < R,
lf — Gmllp, < B(p/R)”™™
trong đó Ö là hang sé cla m Dat S : C4 > C® thông qua
5) := (Q1(2) , đa, (2))-
Khi đó S(C#) là một tập con giải tích của C“» và (2p) là một tập con
giải tích của đa đĩa
An:= {Cc C” : |G| < R",j = 1, , dạ}
Chọn fỉị > R sao cho f 1a chỉnh hình trên vùng lân cận của /2p, Cho # là chỉnh hình trong một vùng lân cận của Ấp, C C“ sao cho Fo 8 = ƒ
trên Dạ,
Trang 16Dat 6, := RY, B:= R", vaa:= p” Do đó œ < 8 < 6ị Đặt
FC) := » FC?
là chuỗi Taylor của F trong khoảng 0 € CC“ Theo ước tính cia Cauchy
Trang 17Đề xây dựng da thức \, , Qa„, do đó cho øœ lớn các tập 2g xấp xỉ các tap con Or cla Vex Goi K C C2 compact, ta xdc dinh
®,(z) = sup{|Pn(2)| : Pn € Poly(nP), max||Pn|lx < 1}
Ta có K C C° compact và không đa cực 1
VeK = lim — log ®,, noo NY
hội tụ điểm trên C4; va néu ® := e”** 1A lién tuc , su hdi tu 1A thống nhất cục bộ trên Cở Ta giả định sự liên tục của ® trong Dinh ly 2.1.Ta sẽ sử dụng các điểm Fekete và đa thức nội suy Lagrange để chứng minh Đặt
{e” };=t a„ 1 don thttc co ban cho Poly(nP) trong dé d, = dim(Poly(nP))
và đặt {an;};—i, d„ C K 1a điểm Fekete của thứ tự n cho K, Poly(nP); tức là
IV DMz(am, ., aạa,)| := | det[et° (aax)]zk=t, d.i
là tối đa trong số tất cả các d„— bộ điểm trong K Sau đó đa thức nội suy Lagrange cơ bản VDM„(dm, , Z, Gng ) — IM) (z) := ¡ ) VDM,(đmI, ,dna,) ˆ J pe nl f= 1, dn tạo thành co sé cho Poly(nP) bo sung những tính chất (1) (107 IIx = 13 (2)ăz) := max¿=, „ [db (z)| < ®„(2) cho z € C4; (3)®„(2) < dzú„(2) cho z € C4
Trang 18Ngoài ra nếu ||pz||x < 1, Ipn(z)| < dnthn(z) cho z € C* Cho R > 0, ta cd Qe := {z€C?: O(z) < R}={z€C?: Vex(z) < log R} Xác định Dạ := {z € CẺ: 9ạ(z) < R"} = {z c C4: |" (z)|< R*, j = 1, , dạ}, (2.2)
ta c6 Op C Dp voi ® — eVK > @}" > gu" Chú ý Dp phụ thuộc vào n
trong khi Qe không phụ thuộc vào n
Bo dé 2.2 Cho0< Ri < R, tổn tai no sao cho vdi moi n > no, Dr, C Ốp Chitng minh Ta cd rl" > di" Or” Do đó, nếu £ < 1, Wn(z)/” > t®(z),
cho n > ng trong dé np phu thudc vao z Vi ta gia stt ® 1a lién tuc, ta cd thé chọn nạ không phụ thuộc vào z cho z nằm trong một tập compact; tức là cho z € Ôap
Ta lay t = R,/R L]
Mệnh đề 2.2 Cho P là một tập đặc biệt, K là compact uà PL— chính quị Đặt R > 1, uà ƒ là chỉnh hành trên Or Sau dé cho bat ki R' < R các
ña thúc nội suụ Lagrange L„(ƒ) cho ƒ liên kết uới uùng Fekete cho K,P
thoa man
l[ƒ — Lă)|lx < B/(R)"
trong đó B là một hằng số độc lập tới n
Trang 20Cho K C C° là môt tap compact va dé pt là độ đo Borel hữu hạn trên
K thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov, tức là với mỗi € > 0 tén tai hằng số C(e) > 0 sao cho, với mọi đa thức chỉnh hình p € C[z],
llp|lx < Œ()(1 + e)°°#)||rz¿„) (2.4)
Định nghĩa 2.1 Cho một đa thức chỉnh hành p € C[z] (z € C2) Ta đặt
deg, (p) := inf{n € Z* : p € Poly(nP)} vd vdi a € (Z*)4,
la|p := inf{t € Rt : z® € Poly(tP)},
nghĩa là quụ tắc cổ điển Minkowski cua vector a vdi P Luu y
degp(z”) — 1 < |a|p < degp(z®) (2.5)
Trang 21Trong đó K biểu thị bao lồi đa thúc của K
Ching minh Theo giả thiết thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov (2.4) ta có lim sup 1 log |po(z)| < Vex(z), 2 e C#\ É a degp(Pa) Khi d6, deg p(pa) = degp(z°), tir (2.5) ta cé 1 ˆ
lim sup 77 log Ipz(z)| < Vp(2), z e C4\ K Để chứng minh ngược lại, đầu tiên ta dựa vào Mệnh đề 2.1 ta có
1
Vinx (2) = Jim, (sup log [p(2)|:p € Poly(nP),Iplle <1) n—00 Tụ
Cho q € Poly(nP) sao cho ||q||k < 1 Ta mé rong g trong chuỗi trực giao của nó với cơ sở {pq : degp(pa) < n} tiie la q(z) ¬ » CoPăz) ắenP tai Ca = [ 4(z)pă2)dp(2) Vì |la|lÌlx < 1 ta có
lea| < I Ipăz)|dw(z) < 4/u(K)
bởi bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Như vậy
ăz)| < dim(Poly(nP))/u(K) max |păz)| = dny/u(K) max, [po (2)|- (2.7)
Cho z € C?\ K va dat a, 1A diém lớn nhất sao cho
Pa, (20)| = max |păz))|'
Trang 22Lưu ý thực tế thứ tự được chọn trú trọng đến deg,, ta có „ < rn gợi ý
degp(z) < deg,(z°) nghia là dãy degp(z°") dang tăng đơn điệụ Hơn nữa, chuỗi đa chỉ số {œ„} thỏa mãn lim, ;¿¿ degp(2z3“) = +oọ Nếu không, giả sử degp(z2“=) < M cho moi n, khi đó với mọi đa thức g(2z) thỏa mãn Ila|l < 1, ta có Iq(Zo)| < đan) max |pă20)| do d6 Vp x(z) = 0, mau thuẫn Vậy ta c6 limy+o |@n|p = +00 , 4p dung (2.6) va (2.7) ta có 1 Vp.y(zo) < lim sup ¬ log |pa„(2zo)| noo Tuy nhiên, như đã chú ý trước dé, |an|p < degp(z) < n và 1
lim sup jap log |păz)| > Vex (Zo)
Ta được điều phải chứng minh O
Ta xét trường hợp đặc biệt
K = Ba:= {2 €C?: |z| <1}
Trang 23T(z) := {t: 2; AO}
Theo Định lí 2.2 trong trường hợp này hàm cực trị được xác định bởi lim sup của các dãy đơn thức được chuẩn hóạ Do đó tính compact địa
phương của không gian hữu chiều mọi dãy các bộ đa chữ số được chuẩn hóa œ(7)/|œ(7)|p có một điểm giới hạn và do đó đầu tiên ta nên xem xét
các chuỗi hội tụ như vậỵ
Bồ đề 2.3 Giả sử {o(7) € (2F)“} là một chuỗi uô hạn gồm nhiều chỉ số riêng biệt được đặt như trên, sao cho i € I(z) => œ;(7) = 0, oà ta có lim a0) =0c(R')' J>e |œ(j)|p Khi |0|p = 1 vai € I(z) > 6; = 0 Ta có Ị
lim ———— log |€ă „220 = Fy(6; z
“15 ante 3 0;log(0;) + »x log x |
¡e1(z) ¿€1(z) ieI(z) i€I(z)
Chứng tnznh Dựa trên công thức của Stirling
log(m!) = mlog(m) — m + O(log(m)) và lim;_,so |œ(7)|p = oọ L] Mệnh đề 2.3 Cho z € C?\ K ta có VẹK(z)= max tạ(0; z) 0c(RT†)#,|0|p=1 2) = 5] Dodou \zi|”) =3 00) + (S54) (S20) f
Chứng minh Bất kỳ siêu phẳng nao cé dang {w € C2: w; = 0} hinh cau đơn vị, hàm cực trị và các điểm z sao cho i ¢ I(z), hàm (6; z) tất cả sẽ
Trang 24trở thành một vấn đề tương tự nhưng cho các không gian con có số chiều thấp hơn Dé không mất tính tổng quát ta giả sử z¿ # 0,1 < ¿ < đ tức là I(z) = {1,2, , đ}
Vì K = ÖBạ là lồi đa thức, theo Định lý 2.2 ta có
Vp.x(z) = limsup —— log |c„z'| cho z € C2\ K
œ |@jp
Trang 25Hay tương đương
log(lz|Ÿ) — log(6;) = log(|za|”) — log(6a), 1 < ¡ < d ©log(|z|2/;) = log(|za|Ÿ/6a), 1 < ¡ < d ©l|z|2/8; = |za|/8;, 1 < ¿ < d zỉ cú, = fay Lay tổng hai về ta có d l= ».= ay lz;|” = đãi _ “all i=1 l<i<d vay nén zal? 0= — # lả „ al? lai" a4 2¡ 4 = Cap = iz’ l<;? < d Thay các giá trị Ø; vào biểu thức Fÿ ta có kết quả, — { > s =) m1 2” os (2) = log(|z)) =1
Có ít nhất một 6; —= 0 Nhưng trong trường họp này ta đưa bài toán có
Trang 26Mà các đơn thúc tạo thành một cơ sở trực giao cho nên các sấp xi Ly tot nhất tương đương tới các chuỗi Taylor Trong trường hợp nàu ta có thể
w(t & (21/2)? (z2/2)""*
fi (Zz, 22) => (+) 4 1— 2/2 + 1 — 2/2 | k=0
uiết
uới |Z\|,|za| < 2 trên K Lưu ú uới mọi q > 1 bậc của z† oà z‡ đều là k Cu thé, rap xỉ La tốt nhất cho ƒ\ trên K bậc n, cho mọi q > 1 là
n k k
Pn(21, 22) = »_ (5 + 4)
k=0
Trang 27Chitng minh Xét trudng hop q = 1 khi P, = >> Theo Ménh dé 2.4 hàm cực trị là log(|z|) Vì vậy ta có 2 mịn a2 JzÍ + |za[” =ạ 224+22=- Ta chứng minh điều này như sau 2 + |zo|? = 2 , 2 + |ả + 2 212 „mịn al + [eel = min lal” + le + a1] = min r?+{a!+2a2r?cos(26) + r®H⁄2 >0 0€|0,2n] =minr2 + {a* — 2a2r? + r®\12 (cho 6 = 1/2) r>0 =minr? + {(ả — r?)?}1/? r>0 =minr* + |ả —r?| r>0 ‘Sr khir<a — S0 |2r2—da2 khir>a
Cho r = a,6 = 17/2, tite lA z; = ia, ma 22 = —a* — 2? = 0
Cho bất ky gid tri co > q > 1, ta luu ¥ Poly(nP,) > Poly(nP,) va do đó phép xấp xi sai số
Dạ(b, K, Dị) < Dn( fo, K, Pr)
vì vậy ta có
min Vp x(z)> mịn Vp, (2) = log(a)
nin Ve,x(2) 2 min Vp,,«(z) = log(a)
Mặt khác Vp, x (ia, 0) = Vp, x (ia, 0) = log(a) va min V; in P,,K(Z) < log(a) z) < log(a)
Trang 28Xap zỉ Lạ tốt nhất được tính bằng chudi Taylor: ym 1 kk, (2122 f(z, 22) = 1 — 2122 = E=0 c T+————— 1— 2122 voi |z122| < 1 trên K Độ lớn của sai số trên K dé dang bi rang budc bởi 2—(m+1) —1-—1/2 Néu m = n/2(b6 qua lam tron số) thà xrấp rỉ ƒs bằng da thúc: (z¡za)m*1 1 — 2122 —9—m max |z|<1 pa{( Z1; Z2) = 5 } Z1Z5 0<k<n/2 Mệnh đề 2.5 Giỏ sử d = 2, cho |z| > 1 ta có
9 {log(|z2|”) — log(1 — |z1|?)} whe |zi|? < 1/2, |zs|Ÿ > 1/2
Vp Bo(2) = 4 5{log(|21|*) — log(1 — |z2|*)} khá || > 1/2, zl’ < 1/2
log(z,) + log(zz) + log(2) khi |z|? > 1/2, |ze|? > 1/2 Chitng minh Néu z; = 0, thi Vp_p,(z) = log(|z2|), nghia la Vp_p,(z) la
hàm cực trị đơn biến z¿ Tương tự, nếu z¿ = 0 thì Vp,pg,(z) = log(|zi|) nghĩa là Vpup,(2) là hàm cực trị đơn biến zị Do đó giả sử zị, 2a # 0 và giá trị lớn nhất của (6; z) vượt quá sự ràng buộc
Bp, = { (61, 42) : 0 < 01,9 < 1}
Truéc tién xét diéu kién trén cia su rang buéc: 02 = 1,0 < 6; < 1 Giá tri bién tai 6; = 0 = 1
1
Fy( (1, 1);2) = 5 {log( 2?) + log( zả) — 0 + 210g(2)}
= log(|z1|) + log(|z2|) + log(2) (2.8)
là một để cử cho giá trị lớn nhat( trong khi 6; = 0,6) = 1 thi khong) Do đó ta có:
8 1
9g, fan bs 2) = 5 {log(|zil") — log(@1) + log(@i + 1)} = 0
<=> log(|z1|*) = log(Ø¡) — log(@1 + 1) = log(@1/(@1 + 1)
<= |x)? = O1/(A1 + 1)
<=> 6 = |a|"/(1—lal’) (lal 41)
Trang 29Dễ dàng kiểm tra được 6; = |z1|?/(1 — |zi|?) € [0, 1] nếu |z¡|? < §, ta tinh 2 1—|z,| |z|” zỉ |z|” zỉ — ] 1) 1 1 1— la "8 (1— la J T\TSlaP 2/8 (T—laäE ” ~ 2 (los(lz2l?) — log(1 — |z\|} FĂIaP/0 = i1)2)= 3| al 3 log(|z1|") + log(|z2|") Ta cho rằng giá trị này trong trường hợp |z¡|Ÿ < 1/2 lớn hơn giá trị (2.8) Thật vậy
2(log(lzzl?) — log(1 — |z1l?)} > log(|21|) + log(lz:|) + los(2)
+ 5 {log(|22|*) — log(t — |zal?)} > 5 {loă|21!*) + log( zal?) + log(4)}
<=> — log(1 — |zi|*) > log(|z1|*) + log(4) <= log(4|zi|(1— |z|?)) < 0
« 4|z|“(1— |z\|Ÿ)) < 1
Tóm lại ta cố
z{log(|za|?) — log(1 — |zi|?)} khú |z|? < 1/2
Trang 30Kết luận
Luận văn nghiên cứu hàm cực trị Siciak của hình cầu phức và ứng dụng vào xấp xỉ đa thức Các kết quả đạt được bao gồm:
1 Định lý 2.1 về tốc độ xấp xỉ của một hàm chỉnh hình trên tập compact
lồi đa thức bởi các P—đa thức
2 Định lý 2.2 về biểu diễn hàm cực trị Vpx thông qua các P—da thitc
3 Mệnh đề 2.3 về biểu diễn hàm cực trị Siciak Vp và # là hình cầu đơn
VỊ