skkn mới nhất skkn hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài tích phân đặc biệt

Trang 1

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU cọ nh nh HT nghành HH 2 1.1 Lý do chọn đề tài - cc CS n1 nnHỲ nHY TY nh nh nh nhàn 2 1.2 Mục đích nghiên cứỨu -. -.ccccc 2222222 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu - cc- sec Sen re 3

1.4 Phuong pháp nghiên cứu -.- < < << +2 3 1.5 Những điểm mới của sáng kiẾn - -ccccccccc S22 3

2 NOI DUNG CUA SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lÍ luận - cc 1091110 ST ng cv vớ 3 2.2 Thực trạng 8 3 2.3 Các giải pháp thực hiện .-ccc c2 cccŸŸccẰ 4 2.4 Hidu qua cla sang kién o.oo cece cece cece cca cce cee ece eee cea cea key 20

3 KET LUAN, KTEN NGHỊ CC c2 se 20 3.1 K@t an eeeeeeeeeceeceecceceeceeeeeceeeeeaeeeaeenteeteeeeeseeeeeeeeees 20

Trang 2

1 MO DAU

1.1 Ly do chon dé tai

Nền giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới Một trong các nội dung đối mới đó là thay đối hình thức kiểm tra đánh giá kỳ thi

THPT Quốc Gia Đối với bộ mơn Tốn, từ năm 2017 thay hình thức thi tự luận

được tiễn hành lâu nay băng hình thức thi trắc nghiệm Hình thức này là mới đối với thầy và trò, nhưng đã được các nước phát triển trên thế giới áp dụng lâu nay Cùng với sự thay đổi hình thức thi thì đề thi cũng có sự thay đổi về hình thức và nội dung Trong đề thi không còn nhiều câu hỏi hóc búa, đòi hỏi phải suy luận và tính toán dài dòng, nhưng bên cạnh đó lại xuất hiện các cách hỏi mới không quá khó nhưng yêu cầu học sinh khi học phải hiểu đầy đủ và cặn kẽ các vấn đề

Chủ đề tích phân là một trong những chủ đề quan trọng ở chương trình toán giải tích lớp 12, đồng thời là một nội dung trong kì thi THPTQG Thông qua đề minh họa của Bộ Giáo Dục chúng ta thấy: Ngoài những câu hỏi yêu cầu tính tốn tích phân thơng thường giống như lâu nay vẫn gặp trong đề thi tự luận, còn xuất hiện những dạng bài tập mới như các bài toán thực tế, hoặc cách hỏi mới đó là các bài tập yêu câu tính tích phân nhưng không cho biểu thức Thực chất đề giải quyết những câu hỏi như trên học sinh vẫn sử dụng các công thức, phương pháp quen thuộc đã học Nhưng qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khá bối rối khi gặp các bài tính tích phân không cho biểu thức, các em không biết tính như thế nào, hay dùng phương pháp nào để tính

Xuất phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn đề tài : “Hướng dẫn học sinh lớp 12

Trang 3

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra một số dạng bài tập và phương pháp giải tương ứng giúp học sinh củng cô kiến thức, hình thành kĩ năng giải toán phát triển tư duy sáng tạo Đồng thời thúc đây hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giảng day

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12

- Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính tích phân 1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ thong, mang internet

- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bất bài học của học sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông

- Phuong pháp tống kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm trong tô bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đối ý kiến với đồng nghiệp

1.5 Những điểm mới của sáng kiến

- Phân loại các dạng bài tập tính tích phân hàm an - Đưa ra một số bài tập để học sinh tự luyện

2 NỘI DUNG SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận

Trang 4

Học sinh vốn quen thuộc với các bài tập tích phân mà biểu thức tính tích phân có công thức rõ ràng, tương ứng với từng dạng bài tập đều đã có phương pháp giải rõ ràng, một số bài các em còn có thể sử dụng sự hỗ trợ của máy tính Casio Nhưng với hình thức thi mới, cách hỏi mới xuất hiện các dạng bài tập yêu cầu tính tích phân nhưng không biết biểu thức tính mà chỉ biết một số tích chất của nó Khi gặp những bài tập này đa số học sinh thường lúng túng trong quá trình tìm lời giải, các em không biết phải biến đối như thế nào hay phải sử dụng công thức nào, ngay cả những học sinh khá giỏi cũng gặp phải vấn đề như vậy 2.3 Các giải pháp thực hiện

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp sau:

- Bố sung, hệ thống những kiến thức cơ bản

- Phân dạng bài tập đưa ra dấu hiệu và phương pháp giải tương ứng - Dưa ra một hệ thống ví dụ và bài tập trắc nghiệm khách quan tăng dần từ dễ đến khó, tăng dần từ mức độ nhận biết, thông hiểu lên vận dụng Giúp cho các em làm quen dần với dang bai tap nay Dan hình thành kỹ năng giải toán cũng như tính chính xác và linh hoạt trong quá trình giải toán

- Đối mới trong việc kiểm tra, đánh giá Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh

2.3.1 Các bài toán tích phân đặc biệt

Dạng 1: Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân

Ví dụ 1 Cho i xjdx =2 va fein }dx =5, Tinh / = i[3ris v) — g(x) fav [2]

Phân tích bài toán: Để tính tích phân trên ta sử dụng hai công thức sau:

b

iL x)-—g(x #w=[ là ‘dx —| g(x) xa; Ji ede = AL fx) voi ke

a

Trang 5

Ta có: /=[[3/(x\ —gLxI Ww =3{/ If Ixidy—[g xJdx=3.2—S5=],

Ụ

Vậy ¡=[[3/1 x] — g(x) jdx=

Vi du 2 Cho [vis c)dxš =3 va [rls z|dz=7 Tinh tich phan / = [rie t\dt [2]

Phân tích bài toán: Để tính tích phân trên ta sử dụng công thức sau

b b

[rl x)dx = [/I t\dt

a a

Loi giai:

Ta có: [ri Jarre (ldx =3: [rin iat ={ f\2\de=7

Suy ra: / =[ZI f] di = a t\dt—| P| t\dt=7-3=4 Vay / =[/I t\dt =4 b Ví dụ 3 Cho hàm số / x).ø|x) liên tục trên |ø:Đ| và J[2/( x) —3g(x) |=4 ad 5 b [ris |dx=Š; Tính tích phân / = | gx) dx, [3] ad

Phân tích bài toán: Để tính tích phân trên ta sử dụng hai công thức sau:

Erin ~ glx) r= [fade fala v)dx; JM f | x)dx =k|/Ix v)dx voi ke

Và coi / là ân của phương trình bậc nhất để giải

Lời giải:

b

Ta có: |[2/IxI—3glxI | =3[In “SỈ: ( xjdx=10-3/

Trang 6

b Vay / =|g( x) dx = 2 q Ví dụ 4 Cho hàm số /| x) có đạo hàm trên doan | 1:3] va f(1) =1:/(3) = Tính tích phan / = [ /'\x]dx [3] Phân tích bài toán: Ta sử dụng tính chất [71 f'|xjdx= f(x) +C véicla hăng số Lời giải: 3 ayy Ta có: [ns vdv= fl x\) = f13)—f(1)=7-1=6 Vay I=] vị =6

Dang 2: Sir dung phương pháp đi biến

Trong bai todn ngoai biéu thie /(*) con xuất hiện biểu thức /((x))

( biểu thức này có thể năm ở giả thiết của bài toán hoặc ở tích phân cần tính), và

sự tương ứng về cận nếu ta đổi biến í = (3)

Với một số bài tập ngoài phương pháp đổi biến ta còn có thể sử dụng cách chọn hàm Cách thức này có thể chấp nhận được đối với hình thức thi trắc nghiệm Thông thường ta hay nghĩ đến việc chọn hàm bậc nhất, tức gia su

f(x)=ax+b(abe ), Ty cae gia thiét ta tìm được a, Ð suy ra hàm số /(Y) và

tính tích phân Với cách này học sinh yếu và trung bình dễ tiếp nhận hơn vì thao

tác tìm hàm /(x) thường không liên quan đến những phép biến đối tích phân

Trang 10

t/|2x =I| -Ïnx Thực hiện đổi biến số | dx va tinh |—d từ đó ta có được X Vx 4 4 [=| f\|x)dv= [/\- sjav= [fs ) dx, | Lời giải Xét / [/Ixia ét /=| flxidx= (2x —Í nà Ix jit ive fea (1) xX=|Ì—‹ —( Vx x Vx 4 4 Inx| 4 Ta có: [ty = [Insdllnx| =' nx) , Hở (2) l + l xe ON | l Dat t =2Vx —1= dt =—~d\ Doi can x =1l> t=lx=4>1=3 Vx 4 f|2Vx-1 Khi do aa t\dt =jrim | dày (3) X Từ (),@)và G)tag6:j V3 á-[rIm \dx=2In° 2, 4

>] = [ f(x) dv=2 In’ 2 Vay [= [vis )dx =21n° 2,

Dạng 3: Sử dụng công thức tích phân từng phân

Ví dụ 1 Cho hàm số y= /(x) có đạo hàm / (+) théa man | (2-1) f(a = 10

f+ (0) =8 Tinh 7= f(x) de [3]

Trang 11

Phân tích bài toán: Tw gia thiét bai ton |{2*-1) /"| x) dv=10 ta nghĩ đến

công thức tích phân từng phân

Lời giải

fu(x)=2x-1 ju'|x)=2 at => |

- jv" x)= f'| x lv x)= f(x]

Trang 12

0 u(x} =F [x] u'| x)= f |x| Xét | 2`./\xJdš Đặt v'(x|=2" vị x] = 2" 3ln2 | -1=[2.F(x\dv= 2° Fix | 31n2 () | Và, | | — 2"ƒ/|xladv= | tind | | 24ln2_ 3ln2

= [=< +3In2 Vay J=—43In2

Ví dụ 4 Cho hàm sé f(x) va g(x) liên tục, có đạo hàm trên - thỏa mãn /10)./142)#0, g[x]./'tx) =x|x—2).c` Tính 7 =f x} g'| x) dx, [3] Loi giai: fulx) = flo h x} = f'(x) pa, J v(x} = g(x) J=/|x|øl| xf | x) g{xjdxv = f|2)g{2)—/(0).g{ 0} fro — 2)e'dx () Vậy Í= -|xl x—2le'dv= 4 0 Dạng 4 Sử dụng một số tính chất đặc biệt của hàm số

Bằng phương pháp đổi biến số ta chứng mình được các tính chất sau :

+ Hàm số / | x) là hàm chẫn và liên tục trén [—a:a] (voi a > 0), thi:

—a

ir x|dx = fr xjdx, (1)

+ Ham sé f(x) la ham lẻ và liên tục trên |—asa| (với z>0), thi:

Trang 13

[rls ‘\dv =0, (2) —=Œ + Hàm số /(xÌ liên tục và tuần hoàn với chu kỳ T thì: T J [| x)dx= [/I: " f | x\dx (3) + Với z>0 và hàm số / | xÌ chẵn và liên tục trên I—61| thì: pos dx [ra |dv, (4) a +]

+Ham s6 f(x} lién tuc trên | 0; z7] thi:

Trang 14

bod ee Vay p= [ean -Ï \ Ví dụ 2 Tính tích phân / = [In{x+Vx° +1)de, [4] =| Phân tích bài toán: Ta có / | x) = In| xtVx° +1 | là ham lẻ Khi đó ta sử dụng công thức (2) Lời giải Ta có /|x) = In| x+Vx +Ï | là hàm lẻ trên đoạn | —l:l| nên theo (2) ta có: | [= [Im|x+vx' +l]adw=0 -]

Ví dụ 3 Cho hai hàm số /| x).øÍ x) liên tuc trén |—2:2] va f(x) 1a ham chin,

Trang 15

20187 Ta có: / = [vi —cos2xdx + Ỉ Vl—cos2xdx + + | Vl—cos2xdx, 20177 20187 Suy ra [= | Vl—cos2xdx = 201 svi —cos2xdx = 201 s/2[sn xdx 01&z

J=~2018/2cosxi, =403642, Vậy /= j vI~ cos2xdx = 403642,

Ví dụ 5 Cho [vis |} dx =2018 Tinh tich phan / = io ae dx [3]

Trang 16

Ví dụ 7 Tính tích phân 7 - ee [4] SIn"X + COS X Phân tích bài toán: Ta sử dụng công thức (6) Lời giải Đặt v= 2= dịc =, Đổi cận x=0S/=ia '=2=1=0,

: Lr Asin x : 4cost - đlƒ — | : 4eos x ~ AX

,(Sin.x+cosx} „Í siInf + eos/] »[ SI1.V +€OS Y]Ì 2 4sinx 2 4cosx 2 4 » ( SIn.x + cos x} o | SIn.x + cOS Y] o | SIN.Y + COS.X )° “ 1 Suy ra 2/ =2] "¬= =¬ 4=>l= 2 ° Cos” ( — 4 | 0 Vậy / " 4sinx “dự = o | SI.Y + COs x)

Dạng 5 Một số tích phân liên quan đến /'(x) va ham hop

Trang 19

| khi O<x<l - x+Ï - Tính =[ /(xl#x [3] Bài 1 Cho hàm số /Í x) = mm khi [|<x<3 0 | 4 L2 #£Í Bài 2 Cho hàm số /l*), biết ir tan x) dx = “= 4/7 Ix) dx—-2.- Tính ) x +i | 1=|f(x\dx B] 0) xẻ -Á IR Ll ein2 et (Nx jo /14a Tứ Bài 3 Cho biết | cotx/| sin” x} dx = | dx =1, Tinh [3] TT xX 4 } 8

4 sin’ x +cos’ x x |sin.x

Bài 4 Tính các tích phan: / = | ——~—————-dx, al inh cac tich phan | 54] J= | 4] dx [4 [4]

4 2

Bài 5 Tính các tích phân: ; - _—M Y kt: J= Vcosx dx [4]

sin” x +cos" x , Vsin X +VCOSX 2018 7T sin Bài 6 Tính các tích phan: = [ Vl+sin2xd: J=[- Y3 øy [áỊ 0 „l+sin" v Bài 7 Cho /Í x] thỏa mãn /| x j+24(+ = 3x; ve] > nn | 5 x [3] l Bài 8 Cho hàm sé f(x) =x° +4° —3x° —x +1; Tinh / = | f'(x\ fo (x) dx [3] 0

Bài 9 Cho hàm số /| x) liên tục trên thỏa mãn

f(x) + #(=x) =V2+2cos2x Tính tích phân Ji,

Trang 20

= thỏa mãn /| 0] =0, Bài 10 Cho hàm số /l x) có đạo hàm liên tục ụ 5 va [sinx f(x d= Tinh tich phan [ris ) dx: [3] lan =— itt 0

2.4 Hiệu quả của sáng kiến

Trang 21

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa, ngăn gọn và hâu hêt các em vận dụng tot

3.2 Kiến nghị

Nhà trường cân tạo điều kiện nhiều hơn nữa cho giáo viên trong việc tiếp xúc với các loại sách tham khảo có chất lượng trên thị trường, đồng thời cũng cần có tủ sách lưu lại các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên đã được xếp loại, các chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham

khảo

Các cơ quan quản lý giáo dục trong tỉnh cân phát triên rộng rãi các sáng kiên kinh nghiệm của giáo viên, đặc biệt là các sáng kiên đã được xêp loại đê đông nghiệp tham khảo, học hỏi Qua đó nâng cao hiệu quả của các sáng kiên kinh nghiệm trong ứng dụng vào thực tế nhà trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sơ suất, thiểu sót Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý xây dựng, bố sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn

Toi xin chan thanh cam on!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ _ 7hanh Hóa, ngày 25 tháng Š năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của

người khác (Ký và ghi rõ họ tên)

Trang 22

Mai Văn Ngọc

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa giải tích 12, tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Doan, Tran Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thăng, nhà xuất bản giáo dục

năm 2008

2 Đề thi minh họa mơn Tốn năm 2017, 2018 của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo 3 Đề thi thử THPTQG mơn tốn của các Sở Giáo Dục, các trường THPT trong

cả nước

4.Tuyến chọn những bài ôn luyện thi vào đại học cao đăng, tác giả Nguyễn

Trọng Bá, Lê Thống Nhất, Nguyễn Phú Trường, nhà xuất bản giáo dục, năm

2001