THÔNG TIN TÀI LIỆU
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH LỚP 12 KHI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC Người thực hiện: Đỗ Thị Hồng Hạnh Chức vụ: Hiệu trưởng SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ - NĂM 2017 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Phần 1: Mở đầu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phần 2: Nội dung Chương I: Cơ sở lí luận Nội dung chương trình 1.1 Định nghĩa tính đơn điệu hàm số 1.2 Tính chất hàm số đồng biến, nghịch biến 1.3 Cơng thức tính đạo hàm 1.4 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số 1.5 Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số 1.6 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số 1.7 Về phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Sai lầm thường gặp giải toán Chương II: Thực trạng đề tài Chương III: Biện pháp thực kết đề tài I Biện pháp thực II Nghiên cứu thực tế Phân tích sai lầm thơng qua số ví dụ minh họa 1.1 Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số 1.2 Sai lầm chứng minh bất đẳng thức 1.3 Sai lầm giải toán liên quan tới đạo hàm 1.4 Sai lầm giải toán liên quan tới cực trị hàm số 10 1.5 Sai lầm giải toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số 1.6 Sai lầm viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 13 15 Bài tập tương tự 15 III 16 Kết nghiên cứu Phần 3: Kết luận kiến nghị 18 Tài liệu tham khảo 20 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thơng, đạo hàm khái niệm quan trọng, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có chương trình Giải tích lớp 12 Đạo hàm công cụ để giải nhiều toán đề thi THPT QG đề thi học sinh giỏi tỉnh Mặc dù ứng dụng đạo hàm rộng vậy, q trình giảng dạy tơi nhận thấy em học sinh hay gặp khó khăn đến việc vận dụng đạo hàm để giải tình toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số Các em thường hay mắc sai lầm không hiểu rõ chất kiến thức liên quan đến đạo hàm Ví dụ, học cực trị, học sinh thường hiểu cực đại hàm số lớn cực tiểu; hay mặc định cực đại giá trị lớn hàm số Từ thực trạng trên, để giúp học sinh nắm kiến thức đạo hàm, có kỹ ứng dụng đạo hàm để giải tốn liên quan đến khảo sát hàm số, tơi chọn đề tài "Phân tích số sai lầm học sinh lớp 12 ứng dụng đạo hàm để giải tốn cách khắc phục " II Mục đích nghiên cứu Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinh hiểu chất vấn đề Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo III Đối tượng nghiên cứu Các toán liên quan đến đạo hàm ứng dụng đạo hàm để giải toán giải tích lớp 12 IV Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc Nội dung chương trình (Chương I - Giải tích 12 - Ban bản) Học sinh cần nắm số vấn đề sau (liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) 1.1 Định nghĩa tính đơn điệu hàm số: + Hàm số y = f(x) đồng biến khoảng K với x1, x2 thuộc K, x1 < x2 f(x1) < f(x2) + Hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng K với x1, x2 thuộc K, x1 < x2 f(x1) > f(x2) 1.2 Tính chất hàm số đồng biến, nghịch biến: + Nếu f(x) g(x) hai hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D tổng f(x) + g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với hiệu f(x) - g(x) + Nếu f(x) g(x) hai hàm số dương, đồng biến (hoặc nghịch biến) D tích f(x)g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với tích f(x)g(x) f(x) g(x) hai hàm số không dương D 1.3 Cơng thức tính đạo hàm: Hàm số hợp y u có đạo hàm y ' = .u 1.u' (*) + Công thức (*) với số mũ số + Nếu khơng ngun cơng thức (*) u nhận giá trị dương 1.4 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số: + Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K (Kí hiệu K khoảng, đoạn nửa khoảng) a Nếu f '(x) > với x K hàm số f(x) đồng biến K b Nếu f '(x) < với x K hàm số f(x) nghịch biến K c Nếu f '(x) = với x K hàm số f(x) khơng đổi K * Quy tắc để xét tính đơn điệu hàm số điều kiện đủ điều kiện cần Định lí mở rộng: hàm số y = f(x) xác định có đạo hàm K, f '(x) ³ ( f '( x) £ ), x K dấu "=" xảy hữu hạn điểm thuộc K hàm số y = f(x) đồng biến(nghịch biến) K skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc 1.5 Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số: + Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng K = (x0 h; x0 h) có đạo hàm K K \ x0 , với h > a Nếu f '(x) > khoảng (x0 h; x0) f '(x) < khoảng (x0; x0 h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) b Nếu f '(x) < khoảng (x0 h; x0) f '(x) > khoảng (x0; x0 h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) + Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng (x0 h;x0 h) , với h > Khi đó: a Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > x0 điểm cực tiểu b Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < x0 điểm cực đại * Quy tắc để tìm điểm cực trị hàm số điều kiện đủ điều kiện cần Do vậy, điều ngược lại nói chung khơng 1.6 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số: f(x) m , x D f(x) M , x D f ( x ) , M max D x0 D : f(x0 ) M x0 D : f(x0) m m f(x) D * Nếu f(x) m , x D (hay f(x) M , x D ) không x0 D : f(x0) m (hay x0 D : f(x0) M ) dấu "=" khơng xảy Khi đó, m (hay M) khơng phải giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f(x) miền D * Khi tìm giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f(x) miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) cần chuyển đổi điều kiện để toán tương đương 1.7 Về phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x): + Tiếp tuyến điểm M0(x0;y0) (C) có phương trình: y = f '(x0).(x - x0) + y0 + Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, qua điểm M1(x1;y1) có phương trình: f(x) k(x x1) y1 y = k.(x - x1) + y1 Trong hệ số góc k thỏa mãn hệ: f '(x) k (*,*) * Nếu điểm M1(x1;y1) nói thuộc (C) hệ số góc k thỏa mãn hệ (*,*) Trong trường hợp này, số tiếp tuyến nhiều tiếp tuyến Sai lầm thường gặp giải toán 2.1 Sai lầm tốn xét tính đơn điệu hàm số, khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số hay không ý tới điểm tới hạn hàm số skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc 2.2 Sai lầm toán chứng minh bất đẳng thức, khơng nhớ xác tính đơn điệu hàm số để vận dụng vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến 2.3 Sai lầm việc giải toán liên quan tới đạo hàm, vận dụng sai cơng thức tính đạo hàm hay hiểu sai cơng thức đạo hàm hàm số lũy thừa với số mũ thực 2.4 Sai lầm việc giải toán liên quan tới cực trị hàm số, vận dụng sai điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng (a;b) 2.5 Sai lầm việc giải tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D, chuyển đổi sang tốn khơng tương đương 2.6 Sai lầm việc giải tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) hàm số CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tế, học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải khó khăn sau: - Khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số khoảng, khơng hiểu xác định nghĩa điểm tới hạn hàm số - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 - Không nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D - Không nắm vững chất khác tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số với tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đồ thị hàm số cho CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI I Biện pháp thực Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích kỹ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp phân tích, tổng hợp, tìm đốn, loại trừ, quy lạ quen Đổi phương pháp dạy học (Lấy học sinh làm trung tâm) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế - Tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới giảng Đổi việc kiểm tra, đánh giá - Kết hợp tự luận trắc nghiệm khách quan với mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng thấp - vận dụng cao - Giáo viên đánh giá học sinh - Học sinh đánh giá học sinh Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học cho phù hợp với loại đối tượng học sinh, cho học sinh sai lầm thường mắc phải giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - toán liên quan Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập Phân dạng tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức - Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập tương tự, tập nâng cao - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển tốn, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo II Nghiên cứu thực tế Phân tích sai lầm thơng qua số ví dụ minh họa 1.1 Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số * Các em thường mắc phải sai lầm khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số Ví dụ minh họa 1: skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc Xét tính đơn điệu hàm số: y f(x) x x Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = ¡ \ { - 1} Ta có: y' (x 1)2 0,x D Bảng biến thiên: x -1 -∞ y' y + + ∞ + 1 Suy ra: Hàm số đồng biến (- ¥ ; - 1) È (- 1; +¥ ) Phân tích: Lời giải rồi, ta khơng ý đến kết luận tốn! Chú ý rằng: hàm số y = f(x) đồng biến tập D với x1, x2 thuộc D, x1 < x2 f(x1) < f(x2) Trong kết luận toán, ta lấy x1 = - Î D x2 = Î D x1 < x2 f(x1) = > - = f(x2) ? Lời giải là: Tập xác định: D = ¡ \ { - 1} Ta có: y' (x 1)2 0,x D Bảng biến thiên: x -¥ y' y +¥ -1 + + +¥ -¥ Suy ra: Hàm số đồng biến khoảng (- ¥ ; - 1) (- 1; +¥ ) * Nhiều em không ý đến điểm tới hạn hàm số, việc xét dấu đạo hàm y' bị sai Ví dụ minh họa 2: Xét tính đơn điệu hàm số: y f(x) x 1 4 x2 Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = [- 2; ] skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc Ta có: y' 1 x x2 ; y' 1 x x2 x x2 x2 x2 x x Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) ln giữ ngun dấu, f '(0) > nên ta có bảng biến thiên sau: x -2 2 y' - + -3 - 2- -1 y Suy ra: hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) nghịch biến khoảng (- 2; - 2) ( 2; 2) Phân tích: Nếu để ý bảng biến thiên ta thấy điều vô lý đoạn é - 2; - ù ê úgiá trị hàm số giảm từ -3 xuống - ??? Thực - ë û điểm tới hạn hàm số Lời giải là: Ta có: y' 1 Tập xác định: D = [- 2; ] x x2 x x y' 1 x2 x x 2 4 x 4 x x Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) ln giữ ngun dấu, f '(0) > nên ta có bảng biến thiên sau: x y' -2 + - 2- y -3 Suy ra: hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) nghịch biến khoảng ( 2; 2) 1.2 Sai lầm chứng minh bất đẳng thức * Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm không nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban bản) ỉ pư ÷ Chứng minh rằng: tanx > x, vi " x ẻ ỗ ỗ ỗ0; ữ ÷ è ø skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc Một số học sinh trình bày sau: ỉ pư ÷ Xét hàm số f(x) = tanx - x, vi x ẻ ỗ ỗ ỗ0; ữ ữ ố ø - = tan x > , " x Ỵ cos2 x Ta có: f '(x) = ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ, suy hm s f(x) ng bin trờn ỗ ố 2ữ ứ ổ pử ữ khong ỗ ỗ ỗ0; ữ ữ ố ø Từ x > Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - hay tanx > x, vi " x ẻ ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ ỗ ố 2ữ ứ Phõn tớch: Li giải đúng, sai lầm nằm đâu(?) Sau kết luận f(x) ỉ pư ÷thì từ x > Þ f(x) > f(0) ??? ng bin trờn khong ỗ ỗ ỗ0; ữ ữ ố ø ỉ pư 0; ÷ Sai lầm l ẽ ỗ ỗ ữ ỗ ố 2ữ ứ Nhớ rằng: f(x) đồng biến đoạn [a; b ] (tức f(x) liên tục [a; b ] f '(x)> với " x Ỵ ( a; b) ) với " x1 , x Ỵ [a; b ], x1 > x2 Þ f (x1 ) > f (x2 ) Lời giải là: é pö 0; ÷ Xét hàm số f(x) = tanx - x, vi x ẻ ữ ữ 2ứ ộ pö - = tan x ³ , " x ẻ ờ0; ữ ữ, du "=" xy x = 0, suy ê ø cos x ë 2÷ é pư 0; ÷ hàm số f(x) đồng biến nửa khoảng ê ÷ ê ø ë 2÷ Ta có: f '(x) = Từ x > Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - hay tanx > x, với " x ẻ ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ ỗ è 2÷ ø * Các em hay mắc sai lầm vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến Ví dụ minh họa 4: Chứng minh với " x Ỵ ¡ , x > - x.ex > - e Một số học sinh trình bày sau: Xét hàm số f(x) = x, g(x) = e x hàm đồng biến ¡ Suy hàm số h(x) = x.ex tích hai hàm đồng biến nên đồng biến ¡ Suy ra, từ x > - Þ h(x) > h(-1) hay x.e x > - e Phân tích: skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 10 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc Lời giải sai lầm chỗ: tích hai hàm đồng biến hàm đồng biến hai hàm dương (!) Lời giải là: Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) ³ , " x ³ - , dấu "=" xảy x= -1 Suy ra, hàm số đồng biến nửa khoảng [- 1; +¥ ) Từ x > - Þ f(x) > f(-1) hay x.e x > - "x >- e 1.3 Sai lầm giải toán liên quan tới đạo hàm * Sai lầm vận dụng công thức tính đạo hàm Ví dụ minh họa 5: Tính đạo hàm hàm số y = (2x+1)x.với x > - , x¹ Một số học sinh trình bày sau: Ta có y' = x(2x +1) x- (2x +1) ' = 2x.(2x +1) x- Phân tích: Lời giải vận dụng cơng thức ( u ) ' = a u u ' Vận dụng sai, cơng thức áp dụng cho số mũ a số a a- Lời giải là: Điều kiện: x > - , x ¹ (khi y > 0) y' 2x Từ y = (2x+1)x Þ ln y = x.ln(2x +1) Þ (ln y ) ' = ( x.ln(2x +1)) ' Þ y = ln(2x +1) + 2x +1 é 2x ù ú Þ y ' = (2x +1) x êln(2x +1) + ê 2x +1ú ë û * Sai lầm tính đạo hàm hàm số điểm Các em hay mắc phải sai lầm dạng áp dụng công thức ( u ) ' = a u u ' , a Ỵ ¡ , qn a khơng ngun cơng thức u nhận giá trị dương a a- Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số y = x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = - Một số học sinh trình bày sau: Với x = - ta có y = (- 1)2 = Ta có y = x y '(-1) = - 13 suy y ' = x 2 2 -1 2ù = = (- 1) = (- 1) = é ( 1) ú ë û 3 3ê 3 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 11 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc 3 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (x +1) +1 hay y = x + Phân tích: Sai lầm em không ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương Vì vậy, viết (- 1)- khơng (!) Lời giải là: Với x = - ta có y = (- 1)2 = 2x 2 Ta có y3 = x2 Þ (y3)'= (x2)' Þ 3.y2 y ' = 2x Þ y ' = 3y = Þ y '(-1) = x Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =- 2 (x +1) +1 hay y =- x + 3 1.4 Sai lầm giải toán liên quan tới cực trị hàm số * Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu hàm số em qn điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần Quy tắc: y ' > , " x ẻ (a; b) ị hm s đồng biến khoảng (a;b) y ' < , " x ẻ (a; b) ị hm s nghch biến khoảng (a;b) Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ minh họa 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x - mx2 + x- đồng biến ¡ Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = ¡ ïì a > ïỵ D ' < y ' = 3x2 - 2mx + Hàm số đồng biến ¡ Û y ' > , " x Ỵ ¡ Û ïíï ìï >0 Û ïí Û ïïỵ m - < 30 Û ïí Û ïïỵ m - £ 3£ m£ skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 12 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc * Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị hàm số em quên điều kiện đủ điều kiện cần Quy tắc: ìï f '(x ) = Þ x điểm cực tiểu ïíï ïỵ f ''(x ) > ïì f '(x ) = Þ x điểm cực đại ïíï ïỵ f ''(x ) < Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số y = f(x) = mx4 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x = ? Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2 ïì f '(0) = ïì 4m.0 = Û ïí Điều kiện để hàm số đạt cực đại x = là: ïíï hệ vơ nghiệm m ïïỵ 12m.0 < ïỵ f ''(0) < Vậy khơng tồn giá trị m để hàm số đạt cực đại x = Phân tích: Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = Û x = Bảng biến thiên: x -∞ y' y + 0 +∞ - -¥ -¥ Suy hàm số đạt cực đại x = (!) Vậy lời giải sai đâu ??? ìï f '(x ) = Þ x0 điểm cực đại hàm số, điều Nhớ rằng, x0 thỏa mãn ïíï f ''( x ) < 0 ïỵ ngược lại chưa (!) Vì x điểm cực đại f ''(x 0) = Lí điều kiện f ''(x0) < điều kiện đủ để hàm số g(x) = f '(x) nghịch biến lân cận (x0 - h; x0 + h) (với h > 0), đó: ìïï f '(x) > f '(x0 ) = 0, " x Ỵ (x - h; x ) Þ x0 điểm cực đại hàm số í ïïỵ f '(x) < f '(x0 ) = 0, " x Ỵ (x ; x +h) Lời giải là: xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0) skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 13 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc m = 0: Ta có y = f(x) = hàm nên hàm số khơng có cực trị m > 0: Ta có y ' = 4mx , y ' = Û x = Lập bảng biến thiên ta thấy x điểm cực tiểu hàm số m < 0: Ta có y ' = 4mx , y ' = Û x = Lập bảng biến thiên ta thấy x điểm cực đại hàm số Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = m < Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x = ? Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx ìï f '(0) = Û Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x = là: ïíï ïỵ f ''(0) > ïìï 4.03 +3m.02 = í ïï 12m.02 + 6m.0 > î hệ vô nghiệm m Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = Phân tích: Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + y ' = 4x3 , y ' = Û x = Bảng biến thiên: x y' -¥ +¥ +¥ - y + +¥ Suy hàm số đạt cực tiểu x = (!) Lời giải là: Cách 1: ïì f '(x) < 0, " x Ỵ (- h;0) (1) Để hàm số đạt cực tiểu x = ïíï (với h > 0) ïỵ f '(x) > 0, " x Î ( ; h) (2) ìï " x Î (- h;0) ï ïìï " x Ỵ (- h;0) 3m ïì " x Ỵ (- h;0) ï Û í Û ïí ³ Û m £ (1') (1) Û íï 3m Û ïïỵ 4x + 3m < ïï x < ïỵ 4x + 3mx < ỵï skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 14 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc ìï " x Ỵ (0; h) Û (2) Û ïíï ïỵ 4x + 3mx > ïìï " x ẻ (0; h) ùùợ 4x + 3m > ïìï " x Ỵ (0; h) 3m Û ïí £ Û m ³ (2') 3m Û ïï x > 4 ỵï Từ (1') (2') suy m = Vậy với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = Cách 2: xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0) m = 0: Ta có y = x4 + có y ' = 4x3 , y ' = Û x = Bảng biến thiên: -¥ x y' +¥ y - + +¥ +¥ Suy hàm số đạt cực tiểu x = m > 0: Ta có y ' = x 2(4x + 3m) , y ' = Û x = x = - 3m Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = m < 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m), y ' = Û x = x = - 3m Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = Kết luận: với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = 1.5 Sai lầm giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số * Các em thường mắc sai lầm không nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = f(x) = cos x + ỉ 1 ÷ + 2ỗ cosx + ỗ ữ ỗ ữ- è cos x cosx ø Một số học sinh trình bày sau: Đặt t = cosx + 1 Þ cos x + = t2 - cosx cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - = (t+1)2 - ³ - 4, " t Ỵ ¡ Vậy f (x) =- , t = - skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 15 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc Phân tích: Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ hàm g(t), " t Ỵ ¡ Có thể thấy t = - không tồn giá trị x để cosx + = - (!) cosx f(x) m , x D x0 D : f(x0 ) m in f(x) Nhớ rằng, số m mD Lời giải là: ü ïì p ï , với x Ỵ D = ¡ \ íï + kp , k ẻ Â ý ùùỵ cosx ùợ 1 Þ t = cosx + = cosx + ³ cosx cosx Đặt t = cosx + Dấu "=" xảy cosx = Khi đó: cos x + = t2 - cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t ³ ): t g '(t) -¥ -2 - +¥ - -1 +¥ + g(t) + +¥ -3 g(t) = - f(x) = Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m t2 D Đạt t = - Û cosx + =- cosx Û cosx =- x =p+k 2p , k ẻ Â 1.6 Sai lầm viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;4) Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = - 3x2 + 6x y skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com -1 -5 16 x skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc Ta có: A Điểm A(-1;4) Î đồ thị (C) suy phương trình tiếp tuyến là: y = f '(-1).(x+1)+4 Û y =- 9(x +1) + Û y =- 9x - Phân tích: Phương trình tiếp tuyến y =- 9x - tiếp tuyến A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên kẻ từ A Nhưng có tiếp tuyến đồ thị (C) qua A mà không nhận A làm tiếp điểm Lời giải là: Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(-1;4) có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm: ïìï - x3 + 3x = k ( x +1) + í (I) ïï k =- 3x + 6x ỵ éx = 2, k = ïìï x3 - 3x - = ê Û Û Hệ (I) íï ê k =3 x + x ëx =- 1, k =- ïỵ Từ ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = y = - 9x - Bài tập tương tự Bài tập 1: Xét tính đơn điệu hàm số sau: a y = 2x + 1- x b y = x + x +1 x +1 c y = cosx - sinx Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau khơng có cực trị: y= x + 2mx - x- m Bài tập 3: Tìm cực trị hàm số sau: a y = (7 - x) x + b y = cosx - sinx c y = sin2x Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị x = 1: æ y = x - mx +ỗ ỗ ỗm ố 2ữ x +5 ữ ø 3÷ Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau đồng biến ¡ : y= (a - 1)x3 + ax +( 3a - 2) x Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 17 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc a y = x + 3x - 72x + 90 đoạn [- 5;5] é 3p ù ú ë ú û 0; b y = 2sinx + sin2x đoạn ê ê c y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + Bài tập 7: Cho hàm số y = (x + 1)2 (2 - x) , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(2;0) Bài tập 8: Chứng minh bất đẳng thức sau: x - x a e - e ³ 2ln x + 1+ x , " x ³ x ù b 8sin + sin 2x > 2x, " x Ỵ é ë0; pû Bài tập 9: Với giá trị tham số m phương trình: x - x = m( x - 1) có nghiệm thực phân biệt ? ( ) III Kết nghiên cứu Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy kết đạt có khả quan Cụ thể qua số kết thu hoạch khảo sát tình hình giải tập tốn lớp có học lực tương đương nhau, lớp 12A9 áp dụng đề tài lớp 12A10 chưa áp dụng đề tài, kết sau: Bài số 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x mx đạt cực tiểu x xm Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12A9 (số học sinh tham gia khảo sát: 35) Số lượng 28 Không giải Giải sai Giải Phần trăm 5,71% 14,29% 80% Lớp 12A10 (số học sinh tham gia khảo sát: 35) Số lượng 16 11 Không giải Giải sai Giải Phần trăm 22,86% 45,72% 31,42% 2x Bài số 2: Xét tính đơn điệu hàm số y f(x) 3x Số liệu thống kê qua bảng sau đây: skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 18 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc Lớp 12A9 (số học sinh tham gia khảo sát: 35) Số lượng 30 Không giải Giải sai Giải Phần trăm % % % Lớp 12A10 (số học sinh tham gia khảo sát: 35) Số lượng 22 Không giải Giải sai Giải Phần trăm % % % p Bài số 3: Chứng minh: s inx + t anx > 2x, " x Î (0; ) Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12A9 (số học sinh tham gia khảo sát: 35) Không giải Giải sai Giải phương pháp Số lượng 25 Phần trăm % % % Lớp 12A10 (số học sinh tham gia khảo sát: 35) Không giải Giải sai Giải Số lượng 15 13 Phần trăm % % % Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, toán liên quan ; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ I Kết luận skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 19 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc Thông qua sai lầm học sinh, ta biết cách nhìn nhận nó, kịp thời uốn nắn sửa chữa giúp học sinh ghi nhớ lâu tri thức học, đồng thời giúp học sinh tránh sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm mặt tư Trước hết, đề tài nhằm cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định đạo hàm ứng dụng đạo hàm, với kiến thức liên quan, người học có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho riêng mình; người học quay trở lại để kiểm chứng lí thuyết trang bị để làm tốn Từ thấy lơgic tốn học nói chung chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy đạo hàm công cụ "mạnh" để giải nhiều toán ; nữa, toán giải cơng cụ đạo hàm lời giải tỏ ngắn gọn hơn, đẹp Nói riêng, với học sinh kiến thức đạo hàm tương đối khó, em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học Đó chưa kể sách giáo khoa giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng chí mang tính hàn lâm ; nội dung học sinh tiếp cận thêm có hội học sâu (chủ yếu bậc Đại học) Ở cấp độ trường THPT, đề tài áp dụng phần để cải thiện phần chất lượng mơn, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học; giúp học sinh hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học, giúp em tránh khỏi lúng túng trước tốn đặt khơng mắc phải sai lầm thường gặp II Kiến nghị Như nói, đạo hàm có nhiều ứng dụng ứng dụng khảo sát, vẽ đồ thị hàm số giải toán liên quan Ngồi ra, đạo hàm cịn cơng cụ sắc bén để giải nhiều dạng toán khác giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình; chứng minh bất đẳng thức Chính lẽ đó, tơi hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ bé vào việc giải dạng toán nêu trên; tài liệu tham khảo cho em học sinh trình skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 20 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc học tốn ơn thi tốt nghiệp thi vào trường Đại học, Cao đẳng Trung học chuyên nghiệp Trong khuôn khổ viết này, tơi khơng có tham vọng phân tích hết sai lầm học sinh khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng khoa học, quý thầy cô Về khả áp dụng sáng kiến: Áp dụng giảng dạy cho HS THPT Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2017 Tơi cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Đỗ Thị Hồng Hạnh skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 21 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Đại số Giải tích 12 - Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn - Nhà xuất Giáo dục; [2] Bài tập Đại số Giải tích 12 - Tác giả: Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục; [3] Sách giáo khoa Đại số Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan - Nhà xuất Giáo dục; [4] Bài tập Đại số Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm - Nhà xuất Giáo dục; [5] Các giảng luyện thi mơn tốn - Tác giả: Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất - Nhà xuất Giáo dục; [6] Toán nâng cao Đại số Giải tích 12 - Tác giả: Nguyễn Tuấn Khơi, Nguyễn Vĩnh Cận - Nhà xuất Đại học Sư phạm; [7] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất Giáo dục; [8] Đề thi tuyển sinh mơn Tốn - Tác giả: Phan Đức Chính, Đăng Khải Nhà xuất Giáo dục; [9] Các đề thi đại học năm trước; [10] Các đề thi thử đại học năm trước; [11] Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10, 11, 12 tỉnh năm trước skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 22 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đỗ Thị Hồng Hạnh Chức vụ đơn vị công tác: Hiệu trưởng trường THPT Lê Lợi TT Tên đề tài SKKN Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại C 2000 - 2001 A 2001 - 2002 B 2007 - 2008: B 2008 - 2009 B 2010 - 2011 C 2011 - 2012 Sở GD&ĐT B 2012 - 2013 Sở GD&ĐT C 2013 -2014 Sở GD&ĐT C 2014 - 2015 Cấp đánh giá xếp loại (Phịng, Sở, Tỉnh ) Tìm tịi lời giải tốn hình học khơng gian phép tương tự hình học Sở GD&ĐT phẳng Hướng dẫn học sinh giải phương trình Sở GD&ĐT bất phương trình phương pháp đạo hàm Hướng dẫn học sinh giải toán xác Sở GD&ĐT suất Hướng dẫn học sinh giải tập phần số Sở GD&ĐT phức Một số biện pháp quản lý nhăm nâng Sở GD&ĐT cao chất lượng giáo dục đạo đức cho học sinh trường THPT Lê Lợi Hướng dẫn học sinh giải tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ thể tích khối đa diện, khối tròn xoay phương pháp chiều biến thiên hàm số NCKHSPUD: Ứng dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad việc nâng cao chất lượng dạy học số chủ đề hình học khơng gian lớp 11 cho học sinh lớp 11 trường THPT Lê Lợi Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Sử dụng phương pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức Sở GD&ĐT skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc download by : skknchat@gmail.com 23 skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc skkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phucskkn.moi.nhat.phan.tich.mot.so.sai.lam.cua.hoc.sinh.lop.12.khi.ung.dung.dao.ham.de.giai.toan.va.cach.khac.phuc
Ngày đăng: 03/01/2024, 01:32
Xem thêm: