Skkn chuyên đề một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Tác giả chuyên đề: Phùng Văn Long Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Vĩnh Tường Huyện Vĩnh Tường-Tỉnh Vĩnh Phúc Đối tượng: Học sinh lớp Số tiết: 15 tiết I ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học mơn học có ý nghĩa đặc biệt với học sinh phổ thơng Nó giúp học sinh phát triển tư logic, phát triển lực trí tuệ hình thành phẩm chất đạo đức, mơn tốn mơn học cơng cụ nên việc học tốt mơn tốn giúp học sinh học tốt mơn học khác Tuy nhiên mơn tốn mơn học mang tính trừu tượng cao nên học sinh thường gặp khó khăn học tốn, song khơng mà toán học thiếu hấp dẫn người học Một những bộ phận rất quan trọng và hấp dẫn với học sinh giỏi là phân môn Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Nhưng phần khó mơn Tốn Bất đẳng thức là mợt vấn đề cổ điển của toán học sơ cấp ngày càng quan tâm phát triển, cũng là một phần toán học sơ cấp đẹp và thú vị nhất, vì thế cuốn hút rất nhiều sự quan tâm của học sinh, đặc biệt là học sinh giỏi, học sinh có khiếu học toán Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng thức toán sơ cấp đó là có rất nhiều bài toán hay và khó, thậm chí là rất khó Tuy nhiên cái khó ở không nằm ở gánh nặng về lượng kiến thức mà ở yêu cầu óc quan sát, linh cảm tinh tế và sức sáng tạo rồi rào của người học, vì thế người học có thể giải được bằng những kiến thức rất và việc hoàn thành được những chứng minh vậy là một niềm vui thực sự Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn tốn bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, lớn tốn có khả rèn luyện cho học sinh óc phán đốn tư logic, song phần lớn học sinh gặp khó khăn giải dạng tốn Đối với học sinh trung học sở, việc chứng minh bất đẳng thức thường có cơng cụ, học sinh chủ yếu sử dụng định nghĩa bất đẳng thức Cauchy để chứng minh Tuy nhiên việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh toán khác đa số trường hợp yêu cầu học sinh phải biết cách biến đổi cách hợp lý, chí phải tinh tế Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 1/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Bất đẳng thức Cauchy a Cho hai số thực không âm a,b Khi ta có: Dấu “=” xảy a=b b (Dạng tổng quát).Cho n số thực khơng âm Khi ta có: Dấu “=” xảy Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic mean- Geometric mean) Chứng minh: -Với n=2 bất đẳng thức hiển nhiên đúng và dấu bằng xảy và chỉ a1=a2 - Giả sử bất đẳng thức đúng đến n=k, tức là ta có: , dấu bằng xảy -Xét n=k+1.Với ta có: (1) Theo giả thiết quy nạp, suy (2) Dấu “=” (2) xảy (theo giả thiết quy nạp) Đặt và đó (2) dạng (3) Từ (3) ta có (4) Dễ dàng thấy rằng: Do nên suy Do đó bất đẳng thức Cauchy cũng đúng với n=k+1.Theo nguyên lý quy nạp ta suy bất đẳng thức Cauchy đúng Dấu bằng xảy Ví dụ Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 2/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Tốn Năm học 2013-2014 Ví dụ Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn Chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: Đẳng thức xảy Chứng minh tương tự, ta được: (Đẳng thức xảy ) (Đẳng thức xảy ) Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Đẳng thức xảy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Đẳng thức xảy Từ (1) (2), ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Chú ý: Nói chung, ta gặp tốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy ví dụ mà thường phải biến đổi tốn đến tình thích hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi biến đổi, ta thường sử dụng số hạng vế Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 3/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 cộng thêm số hạng thích hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi biến đổi, ta lưu ý số nhận xét sau: Nhận xét Số chiều BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng bậc cao Ví dụ Với số thực dương a, b, c, chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao 3, nên ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm Chẳng hạn, số hạng ứng với ba số Cứ vậy, ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Dấu đẳng thức xảy khi: Ví dụ Với số thực không âm a, b, c, chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 4/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Dấu đẳng thức xảy khi: Nhận xét Bậc số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bậc số hạng cần mô tả Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên trái có chứa mẫu, số hạng bên phải khơng chứa mẫu, ta cần khử mẫu cách thêm số hạng vào bên trái bất đẳng thức Bậc số hạng cần mô tả hai, nên bậc số hạng thêm vào hai Chẳng hạn, số hạng có chứa mẫu b, nên số hạng thêm vào phải chứa nhân tử b Bậc số hạng 2, nên ta cộng thêm vào ab Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: (1) Dấu đẳng thức xảy : Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 5/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Lại có, (2) Dấu đẳng thức xảy Từ (1) (2) suy ra: Dấu đẳng thức xảy Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên trái có chứa mẫu, số hạng bên phải khơng chứa mẫu, ta cần khử mẫu cách thêm số hạng vào bên trái bất đẳng thức Bậc số hạng cần mô tả một, nên bậc số hạng thêm vào Chẳng hạn, số hạng có chứa mẫu b, c bậc số hạng thêm vào nên số hạng thêm vào b, c: Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 6/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Dấu đẳng thức xảy Nhận xét Khi bậc khơng số hạng cộng thêm số Ví dụ Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện , chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Cho thay vào điều kiện ta tính Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = cộng với số hạng số, số hạng chứa biến thích hợp để mơ tả điều kiện bất đẳng thức cần chứng minh Chẳng hạn, với số hạng ab điều kiện xác định, ta sử dụng số hạng : Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 7/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Dấu đẳng thức xảy Ví dụ Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện , chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Biến đổi điều kiện, ta được: Cho thay vào điều kiện ta tính Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = cộng với số hạng số, số hạng chứa biến thích hợp để mơ tả điều kiện bất đẳng thức cần chứng minh Chẳng hạn, với số hạng số dương điều kiện, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho , ta có: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 8/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Giải Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Dấu đẳng thức xảy Nhận xét Ta cần để ý đến trường hợp đẳng thức xảy với a = b = c bất đẳng thức để thêm hệ số cho thích hợp Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Cho thay vào số hạng bên vế trái BĐT cần chứng minh, chẳng hạn số hạng nhân tử ta thu Mặt khác, số hạng lại có mẫu chứa Do đó, ta thêm vào số hạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = 3: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 9/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Dấu đẳng thức xảy khi: Ta làm tương tự với số hạng khác thu bất đẳng thức cần chứng minh Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Dấu đẳng thức xảy khi: Tương tự, ta có: Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Dấu đẳng thức xảy Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 10/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Áp dụng bất đẳng thức Ví dụ 1, ta có: Do đó, ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Ví dụ 14 Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: Đẳng thức xảy nào? Giải Chia hai vế cho Đặt , ta được: bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Đẳng thức xảy Nhận xét Sử dụng đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy Ví dụ 15 Với a, b, c dương, chứng minh rằng: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 16/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Tốn Năm học 2013-2014 Giải Đặt Ta có: Mặt khác, ta có: Chứng minh tương tự, ta được: Cộng vế với vế bất đẳng thức , ta được: Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 16 Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh rằng: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 17/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Giải Đặt Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên dương Ta có: Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Cộng vế với vế bất đẳng thức , ta được: Áp dụng bất đẳng thức , ta được: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 18/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Nhận xét Khi biến đổi ta điều chỉnh hệ số cho khử hết số hạng khơng có mặt bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 17 Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: Đẳng thức xảy nào? Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta có: Đẳng thức xảy Ví dụ 18 Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: Đẳng thức xảy nào? Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 19/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta có: Đẳng thức xảy MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 3.1 KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU 3.1.1.Ví dụ mở đầu: Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng: (Nguyễn Đức Tấn-“Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số”- NXB giáo dục-Tr 77) Lời giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng: Ta có: (Bất đẳng thức ln đóng) Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 20/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Dấu “=” xảy Năm học 2013-2014 a=b Do đó, ta có: (1) Tương tự, ta có: , dấu “=” xảy b=c (2) , dấu “=” xảy a=c Cộng (1),(2),(3) vế với (3) vế ta : (ĐPCM) Dấu “=” xảy a=b=c Nhận xét: Bất đẳng thức chứng minh gọn hay khơng “tự nhiên” tác giả đưa bất đẳng thức riêng Ta thấy tìm bất đẳng thức riêng tốn trở nên thật đơn giản, nhiên làm để tìm bất đẳng thức riêng đó, điều ta cần phải giải đáp cho học sinh giúp học sinh tìm bất đẳng thức riêng tương tự 3.1.2 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu Ví dụ 27: Cho số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3 Chứng minh rằng: Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số ta có: ? Như ta bất đẳng thức đổi chiều, ta khơng có điều phải chứng minh Tuy nhiên, thử biến đổi chút biểu thức cho ta thấy: , thật may mắn đến ta bất đẳng thức chiều Làm tương tự cho biểu thức lại cộng chúng lại ta điều phải chứng minh Lời giải: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 21/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Ta có: Tương tự ta có Cộng bất đẳng thức với vế với vế ta được: Mặt khác ta có: Từ suy Nhận xét: Như ta thấy qua phép biến đổi ta đưa biểu thức mà ta muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểu thức mang dấu âm, từ ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu mà bất đẳng thức chiều Đó kỹ thuật Cauchy ngược dấu Ví dụ 19: Chứng minh với số thực dương a,b,c ta ln có: Lời giải: Ta có: Dấu “=” xảy a=b Tương tự ta có: Dấu “=” xảy b=c Dấu “=” xảy a=c Cộng ba bất đẳng thức vế với vế ta : Dấu “=” xảy a=b=c Từ tốn Ví dụ Ví dụ ta có tốn tương tự sau: Ví dụ 20: Cho a,b,c,d số thực dương có tổng Chứng minh rằng: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 22/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Ví dụ 21:Cho a,b,c số thực dương có tổng Chứng minh rằng: Ví dụ 22: Cho a,b,c,d số dương có tổng Chứng minh rằng: Ví dụ 23: Cho a,b,c,d số thực dương có tổng Chứng minh rằng: Ví dụ 24:Chứng minh với số thực dương a,b,c,d ta ln có: Ví dụ 25: Chứng minh với số thực dương a,b,c,d ta ln có: Ví dụ 26: Chứng minh với số thực dương a,b,c có tổng 3,ta có: Ví dụ 27: Cho a,b,c số dương có tổng 3.Chứng minh rằng: Hướng dẫn Ta có: Từ ta cần chứng minh: (*) Vì Bây trở lại với Ví dụ mở đầu: Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu, ta có: Như vậy, ta có bất đẳng thức riêng mà tác giả Nguyễn Đức Tấn đưa Ví dụ mà giới thiệu Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 23/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 3.2 KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 3.2.1 Điểm rơi đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Ví dụ 28 : Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Phân tích:  Sai lầm thường gặp giải bài toán là: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm ta có: Vậy S=2  Nguyên nhân sai lầm: Min S=2 mâu thuẫn với giả thiết Tìm lời giải đúng: Vì bất đẳng thức Cauchy xảy dấu “=” tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau, nên thay cho việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số đẳng thức Cauchy cho cặp số thì ta sẽ áp dụng bất Khi đó để bất đẳng thức Cauchy xảy dấu “=” Mặt khác ta nhận thấy S đạt được a=3(trong điều kiện ).Do đó ta có sơ đồ điểm rơi ứng với a=3 a =3 Từ đó ta có lời giải đúng sau: Lời giải đúng: Ta có Dấu “=” xảy a=3 Vậy MinS= Ví dụ 29: Cho a,b là hai số dương có tích bằng 1.Chứng minh rằng Phân tích: Ta dự đoán dấu bằng bất đẳng thức đã cho xảy Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 24/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Với a=b=1 ta có sơ đồ điểm rơi: Từ đó ta có lời giải: Lời giải: Ta có: Dấu “=” xảy Ví dụ 30: Cho thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= Phân tích:  Sai lầm thường gặp : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm a,b,c và ta được: suy minT=4  Nguyên nhân sai lầm: minT=4 mâu thuẫn với giả thiết Tìm lời giải đúng: Vì dấu “=” xảy nên đó Sơ đồ điểm rơi: Lời giải đúng: Ta có: Dấu “=” xảy Vậy minT= Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 25/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 3.2.2 Điểm rơi đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Ví dụ 31: Cho và Tìm giá trị lớn nhất của Phân tích:  Sai lầm thường gặp: Tương tự: và Từ đó suy ra:  Nguyên nhân sai lầm: max S= thiết mâu thuẫn với giả Tìm lời giải đúng: Vì S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên MaxS đạt tại: Khi đó ta có Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Tương tự ta có: Từ đó suy Dấu “=” xảy Vậy MaxS= Ví dụ 32: Cho thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng Phân tích: Do vế trái của biểu thức cần chứng minh là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dấu “=” xảy Khi đó ta có: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 26/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Lời giải: Từ đó ta có : Tương tự: suy Dấu “=” xảy 3.3 KỸ THUẬT ĐỒNG BẬC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Ví dụ 33: Chứng minh rằng: Phân tích: Do cả hai vế là các biểu thức bậc nên biểu thức cộng thêm cũng phải có bậc Lại có cũng là biểu thức bậc 1, từ đó ta có lời giải sau: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Tương tự ta có: và Cộng các bất đẳng thức vế với vế ta được: hay Dấu “=” xảy a=b=c Ví dụ 34: Cho và Chứng minh rằng: Phân tích: Vì vế trái là một biểu thức có bậc nên ta sử dụng giả thiết để đưa bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức đồng bậc 2: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 27/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Khi đó biểu thức cộng thêm cũng phải là một biểu thức bậc Lời giải: Áp dụng bất dẳng thức Cauchy ta có: Tương tự ta có: Cộng các bất đẳng thức vế với vế ta được: Do Suy ra: Hay Dấu “=” xảy Một số ví dụ có cách giải tương tự Ví dụ 35: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: a) b) Ví dụ 36: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ví dụ 37: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ví dụ 38: Cho và Ví dụ 39:Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức và Ví dụ 40: Cho Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 28/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 III KẾT LUẬN Như vậy, ngoài việc áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy thì một số lượng lớn các bài toán cần phải áp dụng bất đẳng thức dưới những biến dạng và những kỹ thuật khác Các kỹ thuật này đã làm cho việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy trở lên phong phú và đa dạng nhiều Nó cũng giúp giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy mặc dù lượng kiến thức phải sử dụng là không nhiều song lại yêu cầu óc quan sát, linh cảm tinh tế và sức sáng tạo rồi rào để có những nhận dạng một cách chính xác và có những biến đổi hợp lý trước áp dụng bất đẳng thức Cauchy Với học giáo viên có phương pháp tiếp cận,một phương pháp giảng dạy khác điều tùy thuộc vào mức độ nhận thức học sinh Với chuyên đề trình độ học sinh khơng giống phương pháp giảng dạy khơng thể nhau.Vì người giáo viên càn phải tìm phương pháp dạy, cách tiếp cận vấn đề cho phù hợp với đối tượng học sinh Trên chuyên đề nhỏ mà thân tơi thấy rất càn thiết q trình bồi dưỡng học sinh giỏi,hy vọng chuyên đề góp phần nang cao chất lượng học sinh giỏi thân bạn đồng nghiệp thời gian tới Rất mong đóng góp ý kiến cá đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Vĩnh tường, ngày 01 tháng năm 2014 Người viết Phùng Văn Long Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường skkn Trang 29/31 Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy Skkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchySkkn.chuyen.de.mot.so.ky.thuat.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy