THÔNG TIN TÀI LIỆU
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN MỸ ĐỨC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ BỘT XUYÊN ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ LĨNH VỰC: TOÁN HỌC TÁC GIẢ: NGUYỄN TRỌNG TUÂN CHỨC VỤ: GIÁO VIÊN NĂM HỌC : 2012-2013 skkn MỤC LỤC Nội dung Trang TT Sơ yếu lý lịch A Phần mở đầu B Phần nội dung I Cơ sở khoa học 5 II Giải pháp thực hiện Bất đẳng thức cauchy (côsi) Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy (côsi) 7 10 2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi 2.2 Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cợng kết hợp chọn điểm rơi 16 2.3 Phương pháp đổi biến số 2.4 Các bất đẳng thức thường dùng suy từ bất đẳng thức Cauchy (Côsi) Kết 22 26 38 11 C Kết luận và khuyến nghị 39 12 D Tài liệu tham khảo 41 skkn CỘNG HOÀ XĂ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc o0o SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ tên : NGUYỄN TRỌNG TUÂN Ngày tháng năm sinh : 05/10/1976 Năm vào ngành : 10/09/1997 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: TrườngTHCS Bột Xun- Mỹ Đức-Hà Nội Trình độ chuyên môn : Đại học Bộ môn giảng dạy : Toán học Khen thưởng : Giáo viên dạy giỏi cấp thành phố Chiến sĩ thi đua cấp sở skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Trong nhà trường phổ thơng mơn Tốn có vai trị, vị trí ý nghĩa quan trọng góp phần phát triển nhân cách, lực trí tuệ chung phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái qt hóa, ….Rèn luyện đức tính người lao động thời kỳ tính cẩn thận, xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ Bên cạnh tri thức kỹ tốn học với phương pháp làm việc toán học trở thành công cụ để học tập môn học khác nhà trường, công cụ nhiều ngành khoa học khác nhau, công cụ để hoạt động đời sống thực tế tốn học thành phần khơng thể thiếu trình độ văn hóa phổ thông Chứng minh bất đẳng thức dạng tốn phổ biến quan trọng chương trình tốn phổ thông, thường gặp kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào trường chuyên, lớp chọn Để giải loại tốn địi hỏi học sinh phải biết cách vận dụng thành thạo nội dung kiến thức học bên cạnh cịn phải biết phân tích tốn cách hợp lý tìm lời giải cho tốn Tuy nhiên chương trình tốn THCS thời lượng dành cho nội dung khơng nhiều học sinh thường gặp nhiều khó khăn gặp dạng Các toán chứng minh bất đẳng thức đa dạng phong phú Xét lý luận thực tiễn dạy học chứng tỏ chúng có hiệu việc phát triển tư cho học sinh Xuất phát từ những đặc điểm trên, nhằm góp phần vào việc “ Phát triển tư khoa học” và tăng cường ở các em ý thức, lực vận dụng một cách sáng tạo những điều đã học cho học sinh giai đoạn nay, qua thực tiễn kiểm tra giảng dạy học sinh trường , tơi nhận thấy việc hình thành kiến thức kĩ sử dụng Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ), vận dụng cách sáng tạo nhất, thơng minh việc học tốn, sống cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Đó lý chọn đề tài Phạm vi thời gian thực đề tài Chuyên đề được sử dụng nhằm bồi dưỡng cho học sinh giỏi lớp và học sinh dự thi vào các trường chuyên Nghiên cứu phương pháp giải toán bất đẳng thức, cực trị thông qua “rèn luyện kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi)” đặc biệt phương pháp chứng minh tập vận dụng để giúp học sinh học tốt hình thành kiến thức, kĩ mới, vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo việc học toán sống Thời gian thực năm ( Năm học 2012-2013) Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Mục đích nghiên cứu: Có nhiều phương pháp áp dung chứng minh bất đẳng thức : biến đổi tương đương, sử dụng bất đẳng thức bản, làm trội, làm giảm, quy nạp… Trong việc sử dụng bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Tchebychev,…có vị trí đặc biệt quan trọng Rèn luyện kỹ giải loại tốn có ý nghĩa quan trọng học sinh: Giúp em củng cố hệ thống hoá nhiều kiến thức , vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo kiến thức bậc học THCS để có cách giải thơng minh phù hợp Bên cạnh giúp cho em ln ln có suy nghĩ khoa học, giúp em đạt hiệu cao công việc sống đời thường Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp « Rèn luyện kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) » phần quan trọng chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị chương Toán THCS Đối tượng khảo sát, thực nghiệm Học sinh lớp trường THCS Bột Xun, đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn dự thi cấp thành phố huyện Mỹ Đức Phương pháp nghiên cứu Để tiến hành làm đề tài này sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: +) Phương pháp nghiên cứu tài liệu bổ trợ +) Phương pháp quan sát và so sánh, đối chiếu +) Thao giảng, trao đổi ý kiến với các đồng nghiệp quá trình gảng dạy +) Tổng hợp những kinh nghiệm, phương pháp mới lớp học +) Đánh giá kết quả ban đầu và điều chỉnh bổ xung +) Kiểm tra đánh giá cuối cùng và hoàn chỉnh công việc B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ KHOA HỌC Cơ sở lý luận Xu đổi mạnh mẽ Giáo dục nói chung Giáo dục THCS nói riêng lấy học sinh làm trung tâm, giáo viên người hướng dẫn, tổ chức hoạt động nhằm phát huy lực chung cho học sinh, đáp ứng với việc bước đầu hình thành người cho xã hội đại không ngừng phát triển Học tốn giải tốn có vị trí quan trọng chương trình cấp THCS, học sinh cần phải học có phương pháp học tập, phương pháp giải toán độc đáo Muốn học sinh cần phải phát triển kỹ vận dụng phương pháp giải toán cách tốt nhất, nhanh nhất, hay tạo thói quen thành thạo phát triển khả tư duy, trí thơng minh cho học sinh Chính vậy, cấp THCS, việc phát triển trí thơng minh cho em thơng qua mơn Tốn cần thiết Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Chứng minh bất đẳng thức là một những chuyên đề hay và khó có tác dụng rất tốt việc rèn luyện khả tư và phát triển trí thông minh cho học sinh Cơ sở thực tiễn 2.1 Thực trạng học tập của học sinh Qua khảo sát cho thấy phần lớn học sinh lúng túng đứng trước toán về bất đẳng thức hoặc cực trị, em chưa biết cách phân tích tốn để áp dụng phương pháp cách hợp lý Một số em khá, giỏi dừng lại mức giải tập đơn giản mà đường lối giải có sẵn 2.2 Thực tế giảng dạy của giáo viên Do thời lượng dành cho nội dung về bất đẳng thức và cực trị không nhiều, lại nằm rải rác chương trình THCS nên những năm vừa qua chuyên đề bất đẳng thức và cực trị chưa được quan tâm nhiều vì vậy đa số học sinh gặp khó khăn gặp các bài toán loại này 2.3 Khảo sát thực tế trước thực hiện đề tài Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 9C 32 11 Đối với đội tuyển học sinh giỏi của huyện Mỹ Đức các em cũng chưa có kỹ phân tích tìm tòi lời giải bài toán một cách khoa học mà chỉ giải được các bài tập đơn giản đặc biệt các em gặp nhiều khó khăn đối với các bài toán phải có cách tách hợp lý II GIẢI PHÁP THỰC HIỆN( NỘI DUNG CHỦ YẾU CỦA ĐỀ TÀI) BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CƠSI) Cho n số khơng âm: ta có Đẳng thức xảy * Dạng cụ thể ( số, số ) n = 2: x, y : n = 3: x, y, z : 2.1 2.1 Đẳng thức xảy x = y Đẳng thức xảy x = y = z Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Hệ 1: Nếu hai số dương thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Chứng minh: Giả sử hai số dương x y có tổng x + y = S khơng đổi Khi đó, nên Đẳng thức xảy x = y Do đó, tích xy đạt giá trị lớn x = y Hệ 2: Nếu hai số dương thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Chứng minh: Giả sử hai số dương x y có tích x.y = P khơng đổi Khi đó, nên Đẳng thức xảy x = y Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ Ứng dụng: x = y Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ nhỏ CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) 2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “ ”.Đánh giá từ tổng sang tích Bài 1: Cho x > chứng minh rằng: Giải Do Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có Đẳng thức xảy thỏa mãn đk x > Lời bình Đây tốn đơn giản cần áp dụng trực tiếp bđt côsi ta có lời giải tốn Tuy nhiên ta gặp tốn có nội dung đơn giản Bài 2: Chứng minh rằng: Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Giải Ta có Đẳng thức xảy Lời bình Lời giải thiếu tự nhiên, lại tách ? Điều dựa phân tích sau: +) Dễ thấy đẳng thức xảy x = +) Khi sử dụng bđt cơsi đẳng thức xảy hai số ta có: Bài 3: Chứng minh rằng: Giải Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 = 2|xy| ta có: Sai lầm thường gặp Sử dụng bđt x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 x2 + y2 2xy Do đó: Cách giải sai ví dụ 24 = 2.3.4 (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Lời bình +) Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế không không âm +) Cần ý rằng: x2 + y2 = 2|xy| x, y khơng biết âm hay dương +) Nói chung ta gặp tốn sử dụng BĐT Cơsi tốn nói mà phải qua vài phép biến đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT Cơsi +) Trong tốn dấu “ ” đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số, cặp số Bài 4: Cho hai số dương x, y thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Giải Biến đổi áp dụng giả thiết bđt cơsi ta có Dấu “=” xảy Vậy MinP = 21 x = y = Lời bình Một câu hỏi đặt nghĩ thành phần Liệu có thành phần khác khơng ? diều giải sau Với < m < ta có Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Đẳng thức xảy Đây điểm mấu chốt toán Bài 5: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Giải : Áp dụng bđt côsi cho hai số dương ta có Cộng theo vế bđt (1), (2), (3) ta Dấu “=” xảy Vậy Lời bình Rõ ràng bđt đưa thiếu tự nhiên, có lời giải vậy ? Tuy nhiên suy luậnsau hồn tồn thấy điều Khơng tính tổng quát, giả sử tồn số m, n, p thỏa mãn m > n > p > Áp dụng bđt cơsi cho hai số dương ta có Do Ta cần xác định m, n, p cho 10 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs b Vì x, y, z ba số dương nên áp dụng bđt côsi cho ba số ta có ( đẳng thức xảy x = y = z ) ( đẳng thức xảy ) Do Đẳng thức xảy : Vậy đẳng thức xảy x = y = z Chú ý: (2) cịn viết dạng sau: c Do áp dụng bđt cơsi Ta có: Vận dụng giải tập 2.4.1 Áp dụng bất đẳng thức (1) ( Đẳng thức xảy x = y ) Bài Cho số: x > 0, y > thỏa mãn Giải: Để ý rằng: 27 Chứng minh rằng: ; Áp dụng (1) Ta có Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Mà ( Do x + y > ) ( Do ( x + y )2 > ) Vậy ( Đẳng thức xảy ) Bài 2: Cho số: x > 0, y > thỏa mãn Chứng minh rằng: Giải: Do x > 0, y > áp dụng (1-4) ta có: Mà ( Đẳng thức xảy ) Kết hợp toán tốn ta có tốn sau: Bài 3: Cho số: x > 0, y > thỏa mãn Chứng minh rằng: Giải Ta có: +) Theo 1: ( *) +) Theo 2: (**) Cộng theo vế ( *) (**) ta Hay ( Đẳng thức xảy ) Lời bình +) Do vai trị x y bình đẳng nên ta dự đoán đẳng thức xảy x = y = 5, từ +) Nhận thấy bất đẳng thức tồn giá trị biến để có đẳng thức nên chuyển thành toán cực trị đại số 28 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs +) Sử dụng kết hợp với bất đẳng thức cô-si, số bất đẳng thức khác ta số toán sau: Bài 4: ( Thi chọn học sinh giỏi lớp thành phố Hà Nội năm học: 2008-2009 ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P, biết , với a > 0, b > * Nhận xét : Với biểu thức mà vai trị biến bình đẳng cực trị thường đạt giá trị biến +) Xuất phát từ cách giải ( toán 1) ta viết biểu thức P dạng: Giải tương tự (bài tốn 1) ta có: (*) (Đẳng thức xảy khi: a = b = 2) Đến nhiều học sinh nghĩ sử dụng bđt Cô-si cho hai số dương : đẳng thức xảy Mâu thuẫn với điều kiện xảy đẳng thức (*) Vậy phải tách ? +) Từ bđt (1-4) ta thấy với m, n số dương (Đẳng thức xảy khi: a = b) Nên ln tìm GTNN biểu thức dạng ( Với m > 0, n > 0) +) Với điều kiện a = b = Vậy nên tách Từ ta đến cách giải sau: Giải Ta có +) Do a > 0, b > Giải tương tự (bài tốn 1) ta có (*) 29 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs ( Đẳng thức xảy ) +) Do a > 0, b > 0, áp dụng bđt cơ-si ta có (**) ( Đẳng thức xảy ) +) Do a > 0, b > Giải tương tự (bài tốn 2) ta có (***) ( Đẳng thức xảy ) Cộng theo vế bđt (*), (**), (***) ta (Đẳng thức xảy Vậy : ) a = b = Bài 5: ( Thi chọn học sinh giỏi lớp tỉnh Hà Tây năm học: 2007-2008 ) Cho x, y, z > thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức * Nhận xét Vai trò biến x, y, z bình đẳng nên cực trị thường đạt biến Giải Áp dụng (2) ta có : Mà ; Suy ( Đẳng thức xảy khi: ) 30 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Cmtt ta có ( Đẳng thức xảy ) ( Đẳng thức xảy ) Cộng vế bđt ta có ( Đẳng thức xảy kết hợp với ) Ta có ( Đẳng thức xảy khi: ) Vậy Bài 6: ( Thi tuyển sinh vào 10, THPT chuyên Toán-Tin, Đại học Vinh năm học: 2002-2003 ) Chứng minh a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = a + b + c Giải Áp dụng (1-2) ta có : Đẳng thức xảy Mâu thuẫn giả thiết Do khơng xảy đẳng thức Vậy Cmtt ta có Cộng theo vế bđt ta có: 31 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Bài 7: ( Thi tuyển sinh vào 10, chun Tốn, thành phố Hải Phịng năm học: 2003-2004 ) Cho số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = Chứng minh Giải Trước hết ta chứng minh bđt: (*) Đẳng thức xảy x = y = z Thật Dễ thấy (**) với giá trị x, y, z đẳng thức xảy x = y = z Vậy Áp dụng bất đẳng thức (1) (*) ta có Đẳng thức xảy vơ lí Do dấu “=” khơng xảy Vậy 2.4.2 Áp dụng bất đẳng thức Bài 8: (Thi vào chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội 1992-1993) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Giải Do Áp dụng bđt (2) ta có Đẳng thức xảy 32 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Mặt khác Suy Đẳng thức xảy Bài Chứng minh : (*) Giải Ta biến đổi (*) tương đương: (đpcm ) Lời bình Nhận thấy tổng tử mẫu phân thức a + b + c nên ta tìm cách quy đồng tử nhằm làm xuất thừa số chung Bài 10 Chứng minh : Giải Ta biến đổi tương đương BĐT sau: (đpcm ) Đẳng thức xảy a = b = c Bài 11 Chứng minh : , Nesbit) Giải Ta biến đổi tương đương BĐT sau: 33 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn (BĐT Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs (đpcm) Đẳng thức xảy a = b = c Bài 12 Cmr (*) Giải Ta biến đổi BĐT sau: Đẳng thức xảy a = b = c Ta cịn vận dụng bất đẳng thức vào giải sáng tạo toán chứa bất đẳng thức hình học tìm cực trị hình học Bài 13: Cho tam giác ABC có cạnh a Gọi đường vng góc từ điểm M nằm tam giác đến cạnh BC, CA, AB MD, ME, MF Xác ddingj vị trí M để: a đạt giá trị nhỏ Tính giá trị b đạt giá trị nhỏ Tính giá trị Giải Gọi chiều cao tam giác ABC h ta dễ thấy Đặt MD = x; ME = y; MF = z Ta có khơng đổi a Áp dụng bđt (2) ta có b Áp dụng bđt (2) ta có 34 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Trong hai trường hợp đẳng thức xảy x = y = z, M tâm cua tam giác ABC Bài 14: (Thi chọn học sinh giỏi lớp Hà Nội năm học 2011-2012) Chứng minh rằng: Điều kiện cần đủ để tam giác có đường cao h1; h2; h3 bán kính đường trịn nội tiếp r tam giác là: Giải Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác ứng với đường cao h1; h2; h3 Ta có Vậy +) Nếu tam giác ta dễ cm: h1 = h2 = h3 +) Nếu Áp dụng bđt (2-1) ta có Dấu “=” xảy h1 = h2 Dấu “=” xảy h2 = h3 Dấu “=” xảy h3 = h1 Cộng theo vế bđt ta Dấu “=” xảy h1 = h2 = h3 tam giác cho tam giác Vậy: Điều kiện cần đủ để tam giác có đường cao h1; h2; h3 bán kính đường trịn nội tiếp r tam giác là: 35 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs 2.4.3 Áp dụng bất đẳng thức Bài 15 CMR: Giải Ta có : Dấu “ = ” xảy Bài 16 CMR: Giải Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b hạng tử đầu a phân tích sau : Dấu “ = ” xảy a = b = Bài 17 CMR : Giải Nhận xét : mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a Chuyển đổi tất biểu thức sang biến a điều mong muốn việc xử lí với biến đơn giản Biến tích thành tổng mặt mạnh BĐT Cơsi Do : Ta có đánh giá mẫu số sau: 36 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Vậy: Dấu “ = ” xảy Lời bình +) Trong việc xử lí mẫu số ta sử dụng kĩ thuật đánh giá từ TBN sang TBC nhằm làm triệt tiêu biến b +) Đối với phân thức việc đánh giá mẫu số, tử số từ TBN sang TBC hay ngược lại phải phu thuộc vào dấu BĐT Bài tập vận dụng Cho a > 0, b > 0, a + b = Chứng minh a b Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác gọi p nửa chu vi tam giác Chứng minh: 3.(Thi chọn học sinh giỏi lớp huyện Mỹ Đức năm 2012-2013) Cho a, b, c, d > Chứng minh (Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán-tin, Đại học KHTN Hà Nội, 20022003) Cho x, y, z > thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) với ba đường cao AA1, BB1, CC1 cắt (O) lần D, E, F Xác định dạng tam giác ABC cho a đạt giá trị nhỏ Tính giá trị b đạt giá trị nhỏ Tính giá trị Trong tam giác ngoại tiếp đường tròn (O; r) xác định dạng tam giác cho tổng độ dài ba đường cao đạt giá trị nhỏ Tính giá trị Cho tam giác ABC, M thuộc miền tam giác Gọi MA, MB, MC thứ tự giao với BC, AC, AB D, E, F Chứng minh: 37 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs a) ; b) c) ; d) e) ; Cho ; ; f) CMR : (Thi ts vào lớp 10 chuyên toán tỉnh Hà Tây, 2003-2004) Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 10 (Thi ts vào lớp 10 chuyên toán tỉnh Hà Tây, 2005-2006) Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Trên tơi trình bày số phương pháp nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ sử dụng bất đẳng thức cauchy (côsi) chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị Đề tài triển khai năm học 2012-2013 Kết Trong năm học 2012 – 2013, tơi phân cơng giảng dạy mơn Tốn lớp bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán huyện Mỹ Đức Tôi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy cho học sinh Sau áp dụng, nhận thấy đa số em có kỹ vận dụng giải tập tương đối tốt Với cách phân loại cụ thể với mức độ tăng dần em dễ tiếp thu Bên cạnh em rèn luyện kỹ tập vận dụng sau phương pháp qua em thấy tự tin, hứng thú học tập Kết đối chứng sau chứng tỏ điều Trước đề tài thực Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 9C 32 11 Giỏi 10 Khá 15 Trung bình Yếu Sau thực đề tài Lớp 9A Sĩ số 32 38 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Ngồi tốn gặp kỳ thi chọn học sinh giỏi trường, học sinh giỏi cấp huyện, thành phố, thi tuyển sinh vào trường chuyên em giải toán đạt kết cao C KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận khuyến nghị Các toán bất đẳng thức hay cực trị thường tập khó để đạt hiệu cao địi hỏi giáo viên khơng nắm vững kiến thức mà cịn phải tìm tịi phương pháp giúp học sinh dễ hiểu tiếp thu cách dễ nhất, nhanh nhất, biết chuyển nội dung khó thành nội dung đơn giản, gần gũi với em Bằng phương pháp nêu đề tài hệ thống tập xây dựng từ dễ đến khó giúp học sinh tiếp cận rèn luyện kỹ cách nhẹ nhàng, tự nhiên Thông qua lời bình sau tập em khơng nắm vững kiến thức, kỹ tìm lời giải mà cịn tìm hiểu nguồn gốc cách xây dựng đề tốn qua giúp em bước đầu có ý thức sáng tạo ý tưởng mới, hay từ nội dung cách để em rèn luyện khả tư duy, phát triển trí tuệ nhằm đáp ứng địi hỏi sống sau Trong trình thực đề tài, tơi khơng tránh khỏi thiếu sót định Với mục đích khắc sâu kiến thức cho học sinh nâng cao chất lượng dạy học nhà trường, tơi mong bảo, góp ý nhóm chun mơn hội đồng khoa học sở Điều giúp đỡ, động viên tơi nhiều q trình giảng dạy sau Bài học kinh nghiệm Trong trình thực đề tài qua thực tiễn giảng dạy môn tốn tơi rút số kinh nghiệm a Với toán cần hướng dẫn cho em nắm phương pháp giải toán bản, vận dụng giải thành thạo dạng loại tốn sau đưa tập nâng cao yêu cầu học sinh phải độc lập suy nghĩ suy nghĩ sáng tạo giải b Cần thường xuyên ôn lại loại toán học c Nếu điều kiện học sinh tiếp thu tốt khái qt hoá tổng quát hoá toán cách giải d Cần hướng dẫn học sinh tìm tịi nhiều cách giải biết chọn cách giải hay để trình bày vào làm e Tạo cho học sinh tiềm tin khát vọng cố gắng nỗ lực kết ngày cao g Chỉ giúp đỡ học sinh việc tìm tịi lời giải khơng có giúp đỡ giáo viên em không vượt qua phương pháp gợi mở Tránh giải toán cho học sinh h Rèn cho học sinh nếp suy nghĩ khoa học, không thoả mãn với kết đạt 39 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs i Kỹ trình bày lời giải tốn phải chặt chẽ có sở khoa học phạm trù kiến thức cho phép bậc học Trên điều rút qua trình thực đề tài trình giảng dạy thân nhiều năm giúp học sinh học tốt có niềm đam mê mơn tốn Tơi xin chân thành cảm ơn ! Xác nhận của thủ trưởng quan Tôi xin cam đoan: Đây là SKKN của viết, không chép nội dung của người khác Mỹ Đức ngày10 tháng năm 2013 Người làm đề tài Nguyễn Trọng Tuân D TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạp chí Tốn học tuổi trẻ – Nhà xuất Giáo dục Nâng cao phát triển Toán – Tác giả : Vũ Hữu Bình Nâng cao phát triển Tốn – Tác giả : Vũ Hữu Bình Tuyển chọn đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên môn Toán 40 Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs skkn Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs Skkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcsSkkn.ren.ky.nang.su.dung.bat.dang.thuc.cauchy.(cosi).cho.hoc.sinh.thcs
Ngày đăng: 29/12/2023, 01:15
Xem thêm: