Skkn báo cáo kết quả nghiên cứu ứng dụng sáng kiến phương pháp tọa độ để giải một số bài toán cực trị

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ Vĩnh Phúc, năm 2020 skkn MỤC LỤC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Trang Lời giới thiệu Tên sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu Mô tả chất sáng kiến PHẦN NỘI DUNG 3 Một số ví dụ áp dụng PHẦN KẾT LUẬN Những thơng tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sán kiến 17 17 17 Đánh giá lợi ích thu theo ý kiến tác giả 17 skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiu Trong chơng trình giáo dục toán học trờng phổ thông trung học, phơng pháp toạ độ chiếm vị trí quan trọng Nói đến phơng pháp toạ độ, ngời thờng hay nghĩ đến toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị nh toán hình học giải tích Tuy nhiên nhiều ngời nghĩ phơng pháp toạ độ cho ta lời giải hay toán sơ cấp: Giải phơng trình - giải bất phơng trình - chứng minh bất đẳng thức - tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Thậm chí phơng pháp toạ độ giúp ta giải toán số học - Suy luận logíc - Hình học tổ hợp - Hình học tuý, mà đối tợng xa vời với phơng pháp toạ độ Cùng với phơng pháp khác, phơng pháp toạ độ phơng pháp hữu hiệu để giải nhiều toán sơ cấp Phơng pháp toạ độ dùng để giải toán chứa Cái hồn hình học mà nhiên ta cha nhìn thấy Do nên đa phơng pháp toạ độ vào giải toán sơ cấp chơng trình phổ thông trung học, nhằm trang bị thêm phơng pháp giải tập ứng dụng phơng pháp toạ độ Đó nhận thức ý tởng chọn đề tµi nµy “Phương pháp tọa độ để giải số tốn cực trị” Do ®iỊu kiƯn thêi gian, đề tài đa ra: Phơng pháp toạ độ với toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số - thông qua vài ví dụ Hy vọng rằng: Phơng pháp toạ độ đem lại cho bạn thoải mái - sáng - lý thú Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri Dĩ nhiên, trình nghiên cứu không tránh khỏi khuyết điểm Mong bạn đồng nghiệp góp ý vµ bỉ sung Tên sáng kiến: “Phương pháp tọa độ để giải số toán cực trị” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng tốn học - Mục đích: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán cực trị Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu: Tháng 10/2017 Mô tả chất sáng kiến: Néi dung đề tài Để giải toán tìm giá trị lớn nhỏ phơng pháp toạ độ, ngời ta thờng sử dụng tính chất sau: - Trong tất đờng gấp khúc nối hai điểm A B cho trớc đờng thẳng nối AB đờng thẳng có độ dài ngắn - Cho điểm M đờng thẳng d ( mặt phẳng (P)) cho trớc Khi đó, độ dài đờng vuông góc kẻ từ M xuống d ( xuống (P)) ngắn đờng xiên kẻ từ M xuống đờng thẳng (mặt phẳng) - Trong tam giác nội tiếp đờng tròn, tam giác có chu vi diện tích lớn Nếu phép biến đổi đó, toán quy kiện hình học nói trên, nên dùng phơng pháp toạ độ để giải Ngời ta sử dụng hai bất đẳng thức sau: Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri (Chú ý điều kiện xảy dấu véc tơ phơng, chiều có hai vectơ vectơ không) M Ngoài ý mét sè kÕt qu¶ sau (tù chøng minh) : Cho đoạn AB, M0 đoạn AB Ta cã:  = Max{M0A,M0B} Cho f(x) liªn tơc trªn tập D tồn A M B Phơng trình có nghiệm Bất phơng trình có nghiệm Bất phơng trình có nghiệm Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri Sau vài ví dụ minh hoạ 1.1 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: f(x,y) = cos2x + cos2y Trªn miỊn D = {(x, y: sinx + siny = } Lời giải: Đặt u = sinx; v = siny Khi ®ã ta cã: cos2x + cos2y = - 2(u2 + v2) XÐt bµi toán mới: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: F(u,v) = u2 + v2 miền D1 = {(u, v): } A 1/ v H VÏ hƯ trơc Ouv B (2) =2-2 1/ (1) 1/ 1/ =2-2 u Lóc ta có mối liên hệ: Tập D1 đoạn thẳng AB (phần đờng thẳng u + v = nằm hình vuông) Dễ thấy A(- ; 1) & B(1; - ) NÕu M(u; v)  D1 th× u2 + v2 = OM2 VËy = Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri = Theo (1) ta cã: = ; =- 1.2 Ví dụ 2: Tìm GTLN & NN hàm số: f(x, y) = x + y2 trªn miỊn: D= x Lêi gi¶i: -2 -4 B A -2 x C O VÏ hƯ trơc Oxy -8 DƠ thÊy điểm (x; y) thoả mÃn hệ toàn tam giác ABC Ta thấy x2 + y2 = OM2 ( Gäi D lµ miỊn dµng bc hƯ) Ta cã: = = Max {OA2, OB2, OC2} = 20 Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri = MinOH2 = = (v× ) Tãm lại: = 20 = 1.3 Ví dụ 3:Tìm GTNN cđa hµm sè: f(x, y, z, t) = z2 + t2 - 2xz - 2yt - z Trªn miỊn D = { (x, y, z, t): x2+ y2 = 1; z2- t + = 0} Lêi gi¶i: Víi (x, y, z, t)  D, ta cã: f(x, y, z, t) = (x - z)2 + (y - t)2 - x2 - y2 - =(x - z)2 + (y - t)2 - (1) Khi (x, y, z, t) D điểm M(x; y) nằm đờng tròn đơn vị; điểm N(z, t) nằm Parabol: v = u2 + Ta cã: (x - z)2 + (y - t)2 = MN2 Râ rµng: MinMN2 = M0N02 = Trong M0(0; 1) N0(0; 3) Từ (1) suy ra: f(x, y, z, t)  (x, y, z, t) D Mặt khác, x = 0, y = 1, z = 0, t = f(x, y, z, t) = 0, mà (0, 1, 0, )D VËy = v N(z,t) 3N M1 O Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn M(x,y ) u Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri 1.4 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè: víi x  R f(x) = Lời giải: Ta viết lại f(x) dới dạng: f(x) = (1) XÐt hƯ trơc Oxy víi ®iĨm A( ; ); B( ; ); C(x ; 0) Khi ®ã tõ (1) ta cã: f(x) = CA + CB  AB Trong ®ã AB = Do ®ã: f(x)  Mặt khác, giả sử AB cắt Ox tại C0 Ta cã: C0A + C0B = AB Nh vËy, đặt x0 = OC0 f(x0) = = y C x A C0 B x VËy : Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri 1.5 VÝ dơ 5: T×m GTLN & GTNN cđa hµm sè: f(x, y) = 4x + 3y Trªn miỊn: D = {(x, y): x2 + y2 + 16 = 8x + 6y} Lêi gi¶i: NÕu (x, y)  D, ta cã: x2 + y2 = 8x + 6y  (x - 4)2 + (y - 3)2 = Nghĩa là: D đờng tròn tâm O1(4; 3) bán kính R = (x, y) D, ta cã: f(x, y) = 4x + 3y = với M(x; y) nằm đờng tròn Nối OO1 cắt đờng tròn D điểm M1, M2, ta ®ỵc: = OM1 = OO1 - M1O1 = - = 22 = 10 M O =8+ 82 = 40, =8+ y VËy: O M(x ,y) M x = OM2= OO1 +O1M2 =5 + = 1.6 Ví dụ 6: Tìm GTLN & GTNN hàm sè: víi x  R f(x) = Lêi gi¶i: 10 Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri Gọi m giá trị tuỳ ý hàm số f(x) Điều có nghĩa phơng trình sau (ẩn x) có nghiệm: = m (1) Đặt u = ; v = sinx y ®ã (1)  B XÐt hƯ trơc Ouv: x O A DƠ thấy (3), (4), (5) biểu diễn cung nhỏ, A(1; -1); B(1; 1)  (u + v)2 + 2(u + v) - 2m - = Tõ (2) ta cã:  u + v = -1 + (u + v) = -1 - loại (vì không cắt cung Từ nhận thấy (1) có nghiệm đờng thẳng : u + v = -1 + c¾t cung tøc lµ  -1 + 1 2 3  -  m  VËy = vµ = -1 11 Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn ) Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri 1.7 VÝ dô 7: Tìm GTLN & GTNN hàm số f(x) = đoạn [0; 2] Lời giải: Viết f(x) dới dạng: f(x) = (1) Xét phơng trình tham số: Đặt = u; = m (2) = v Khi ®ã: v (2)  B XÐt hƯ trơc Ouv: A - u O - Thấy hệ (3), (4), (5) có nghiệm đờng thẳng cắt cung phần t thứ AB đờng tròn tâm O báb kính Đờng thẳng qua A( Đờng thẳng ; 0) có dạng: tiếp tuyến cung , 12 Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn có dạng: Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri Tõ ®Êy thÊy hƯ (3), (4), (5) cã nghiƯm đờng thẳng nằm hai đờng thẳng nói  VËy = vµ 1.8 VÝ dơ 8: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f(x) = (p, q hai số cho trớc) Lời giải Xét : Trên mặt phẳng toạ độ xét điểm A(x - p; ) & B(x - q; ) Khi ®ã: f(x) = = OA + OB Râ rµng cã: OA + OB AB Mà AB = không đổi với vị trí A B Vậy ta có f(x)  (1) y y=- y= O A B x Dấu = xảy A, O, B thẳng hàng Ta có: mà A, O, B thẳng hàng 13 Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri Do AB không đổi với vị trí A, B nên ta có: (2) XÐt ( p = q = 0) Lóc nµy f(x) = 2|x|  Min f(x) = (3) Tãm l¹i, với trờng hợp ta có: 1.9 Ví dụ 9: Tìm GTLN & GTNN hàm số: f(x, y) = x - y Trên miền: D= Lời giải: Miền xác định D cần lấy giá trị lớn nhỏ hàm f(x, y) đợc biểu diễn bëi miỊn g¹ch chÐo sau: y 14 Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skknA Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri -2 O B C x Chó ý rằng: Đồ thị hàm số x - y = suy từ đồ thị hàm số x - y = mét lỵng (- ) theo trơc Oy Gọi () giá trị tuỳ ý f(x, y) D Điều có nghĩa hệ sau Èn (, x, y) cã nghiƯm: Gi¶i hƯ ta có: Suy toạ độ điểm A( ) Đờng thẳng x - y =  qua A  = - - Đờng tròn (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25 cắt trục hoành B(2; 0) & C(10; 0) Đờng thẳng x - y =  qua B  = Khi ®ã: x-y=-4- & x - y = hai vị trí giới hạn mà đờng thẳng x - y = cắt miền D 15 Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri Từ suy ra: , 1.10 VÝ dô 10: Cho a, b , c, h bốn số dơng cho trớc; x, y, z ba số thực thay đổi cho ax + by + cz = k (1) ( k số cố định cho trớc) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè: f(x, y, z) = víi (x, y, z) thoả mÃn điều kiện (1) Lời giải: Xét hƯ trơc Ouv: A(ah, ax); B((a + b)h; ax + by); C((a + b + c)h; cã: OA = BC = ah ax + by O ax ax + by + cz = k v A (a+b)h Ta B C (a+b+c) h u ax + by + cz) 16 Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn ; AB = ; Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri VËy f(x, y, z) = OA + OB + OC (2) & OA + AB + BC độ dài đờng gấp khúc OABC nối hai điểm cố định O(0; 0) & C((a+b+c)h; k) Ta cã: OC = Tõ (2) suy ra: f(x, y, z)  OC = (3) DÊu = (3) s¶y O, A, B, C thẳng hàng Nh vậy: (4) Tõ (3) vµ (4) ta cã: Minf(x, y, z) = 1.11 VÝ dô 11: Cho xi, yj (i = 1,2, , n) 2n số thực thoả mÃn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = Lời giải: Trong mặt phẳng xét hệ tọ độ Oxy: Gọi Mk điểm có toạ độ Nh ®iĨm , k= 1, 2, , n sÏ n»m trªn đờng thẳng x + y = (vì giả thiết x+ y =1) DÔ thÊy: (k = 1, 2, , n) y 17 Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri O x Mn H Mk Mk1 M1 Tõ ®ã suy ra: A = OM1 + M1M2 + M2M3 + + Mn-1Mn Gäi H chân đờng vuông góc kẻ từ O đến đờng thẳng x + y = 1, OH = Râ rµng: OM1 + M1M2 + + Mn-1Mn  OH, hay A  (1) DÊu b»ng s¶y (1) O, M1, M2, , Mn thẳng hàng & Mn  H   x1 = x2 = = xn = y1 = y2 = = yn = VËy MinA = 18 Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri 19 Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri Kết luận Bài toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số loại toán phức tạp chơng trình THPT Cách giải phong phú - đa dạng Mặt khác, phơng pháp toạ độ phơng pháp học sinh - có phần trừu tợng Khi vận dụng phơng pháp toạ độ, học sinh cần nắm vững kiến thức toạ độ Có t lôgic khéo léo Vận dụng đợc phơng pháp giúp học sinh phát triển t - ý thøc rÌn lun kiÕn thøc vµ tạo say mê học tập, hứng thú học tập Thông qua vài ví dụ trên, nhằm giúp học sinh thấy đợc ý nghĩa phơng pháp vận dụng vào toán, giúp học sinh phần tự tin ý thức phơng pháp (kiến thức) toạ độ, mà có ví dụ với phơng pháp sơ cấp đơn không giải đợc phức tạp - Nhng phơng pháp toạ độ lời giải lại đơn giản, ngắn gọn dễ hiểu Do ®iỊu kiƯn thêi gian cịng nh tinh thÇn häc hái, đa số ví dụ đơn giản trên, nhằm đạt đợc số yêu cầu mà Mong đóng góp chân tình bạn đồng nghiệp, nhằm hoàn thiện, thờng xuyên có t tởng nh suy nghĩ đến phơng pháp mµ tríc ta Ýt nghÜ tíi Những thơng tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến -Phương pháp áp dụng số toán cực trị -Áp dụng với đối tượng học sinh giỏi, học sinh khá, bồi dưỡng học sinh giỏi Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả Giáo viên có cách sử lý linh hoạt, cách nhìn tinh tế số tốn cực trị Học sinh có thêm phương pháp thật bổ ích để sử lí số tốn cực trị Từ em có niềm đam mê u thích mơn tốn 20 Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri skkn Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri Skkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.triSkkn.bao.cao.ket.qua.nghien.cuu.ung.dung.sang.kien.phuong.phap.toa.do.de.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri