Skkn hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12

MỤC LỤC Tran g A.Đặt vấnđề I.Lời nói đầu .2 II.thực trạng vấn đề B.Giải vấn đề I Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng .3 II Các dạng tập thường gặp .3 C.Kêt luận .20 skkn HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 A.ĐẶT VẤN ĐỀ I Lời nói đầu Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,… Ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điều kiện cực trị Đây là dạng Toán khó, chỉ có chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học cao đẳng Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu thấy là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán về một bài toán quen thuộc II.Thực trạng vấn đề Trong thưc tế giảng dạy, nhận thấy nhiều học sinh bị mất kiến thức bản hình học không gian, không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp độ không gian Đặc biệt nói đến tốn cực trị hình học em “ Sợ” Trước làm chuyên đề khảo sát lớp 12A 12B với tống số 90 học sinh, kết đạt sau Số lượng Tỉ lệ ( %) Không Nhận biết, nhận biết vận dụng 60 20 66,7 22,2 Nhận biết biết vận dụng, chưa giải hoàn chỉnh 9,9 Nhận biết biết vận dụng, giải hoàn chỉnh 1.1 Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần u thích mơn, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, yêu thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu.Tôi mạnh dạn viết chuyên đề “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị hình học giải tích lớp 12” skkn B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α) -Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α) -Viết phương trình đường thẳng MH(qua M và vuông góc với (α)) - Tìm giao điểm H của MH và (α) *Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với Mqua mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình chiếuH của M lên (α), dùng công thức trung điểm suy tọa độ M’ b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d: -Viết phương trình tham số của d - Gọi H có tọa độ theo tham số t - H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d -Tìm t, suy tọa độ của H II Các dạng tập thường gặp 1.Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ và đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M đường thẳng d hay mặt phẳng (α) cho có giá trị nhỏ nhất Lời giải: -Tìm điểm I thỏa -Biến đổi :  Tìm vị trí của M đạt giá trị nhỏ nhất Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = ba điểm , Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho : 1) có giá trị nhỏ 2) có giá trị nhỏ , skkn Giải: Gọi điểm G thỏa thì G là trọng tâm của tam giác ABC và G(0;-2;1) 1) Ta có = = nhỏ M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α) MG nhận làm vecto chỉ phương có giá trị Phương trình tham số MG Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = Vậy với M(-2; 0; -2) thì có giá trị nhỏ nhất 2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa Ta có , vậy Ta có: = = có giá trị nhỏ M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (α) Phương trình tham số MI: Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: Vậy với thì đạt giá trị nhỏ nhất Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An và n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+ ….+ kn = k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) cho tổng T = đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất Lời giải: - Tìm điểm I thỏa -Biến đổi : T = = skkn = = + +2 + Do không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng Chú ý: - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất MI nhỏ nhất Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + = và ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) 1) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất Giải:1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa thì I là trung điểm AB và Ta có: MA2 + MB2 = = Do không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α) Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp Phương trình tham số MI: Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: skkn Nhận xét: Với I là trung điểm AB thì MA2 + MB2 = 2MI2 + , AB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α) 2)Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa Hay Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = Do không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất MJ nhỏ nhất hay M là hình chiếu của J mặt phẳng (α) Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp Phương trình tham số MJ: Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: Vậy với thì MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình: và các điểm A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất 2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất Giải: 1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa Hay: skkn Ta có MA2 - 2MB2 = Do không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d Đường thẳng d có vtcp , phương trình tham số d: , M là hình chiếu vng góc I lên d nên Vậy với thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất 2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa ABC và G(2; 1; 1) Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = thì G là trọng tâm tam giác = = Do không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d , Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì Vậy với thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = và hai điểm A,B không thuộc (α) Tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất Lời giải: 1.Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < thì A, B nằm về hai phía với (α) Để MA + MB nhỏ nhất M thuộc AB hay M là giao điểm của (α) và AB skkn 2.Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một phía với (α) Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α) Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ nhất M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α) và A’B Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình:x – 2y – 2z + = và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất Giải: Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α) Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất M là giao điểm của AB và (α) Đường thẳng AB qua điểm B, nhận làm vecto chỉ phương Phương trình tham số của AB: Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: + t – 2(-t)- 2.2 + = Hay là điểm cần tìm Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = và ba điểm A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất 2) có giá trị lớn nhất Giải: 1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một phía của (α) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất M là giao điểm của A’B với (α) Đường thẳng AA’ qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận làm vecto chỉ phương Phương trình tham số AA’: Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A (α) ứng với t của phương trình skkn + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 6t – = hay t = Do H là trung điểm AA’ nên A’B có vtcp Phương trình tham số A’B: Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: + t – + 2(1 – 3t) = Vậy với hay thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất 2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α) Ta thấy Nên đạt giá trị lớn nhất M thuộc A’C ở phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α) Đường thẳng A’C có vtcp Phương trình tham số A’C: Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = Vậy với thì hay có giá trị lớn nhất Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm điểm M đường thẳng d cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất Lời giải: - Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t - Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB - Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy t - Tính tọa độ của M và kết luận Ví dụ 1: Cho đường thẳng và hai điểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; - 3) Hãy tìm điểm M d cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất skkn Giải: Đường thẳng d có phương trình tham số qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp và Ta có = 14 -10 – = Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d (P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận làm vecto pháp tuyến Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = hay 2x – 2y + z + = Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất M là giao điểm của d và mp(P) Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình: + 4t + + 4t + + t + = Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng: Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo Tìm các điểm M d1, N d2 là chân đoạn vuông góc chung của hai đường Lời giải: - Lấy M và N ( tọa độ theo tham số) - Giải hệ phương trình phương của d1 và d2 ) - Tìm tọa độ M, N và kết luận và ( là các véctơ chỉ Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng , 1) Chứng minh d1, d2 chéo 2) Tìm điểm M và N cho độ dài MN ngắn nhất Giải: 1) d1 qua M1(5; -1; 11), có vtcp d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp Ta có [ ] = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168 Hay d1 và d2 chéo 2) M và N cho độ dài MN ngắn nhất và chỉ MN là độ dài đoạn vuông góc chung của d1 và d2 10 skkn Phương trình tham số của hai đường thẳng d1: M , d2: nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; + 3t’) - 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7) Ta có Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) Vậy với M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn nhất bằng Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1) Tìm điểm M d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất Giải: - Lấy điểm M d, Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB - Tam giác MAB có diện tích S = đạt giá trị nhỏ nhất MH nhỏ nhất, hay MH là đoạn vuông góc chung của AB và d Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp AB qua A(1; 2; 3) và (0; -2;-2) = với là véc tơ chỉ phương của AB Phương trình tham số AB M(2 + t; 4+ t; -2) ,H(1; 2+ t’;3+t’) , -t -1; t’ – t -2; t’ +5) 11 skkn Ta có Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) đó MH = , AB = Diện tích Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất Giải: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R = MN và chỉ MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc chung của d và Ox Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp [ ] = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2 nên d và Ox chéo Với M(0; t; 2- t) d, N(t’; 0; 0) Ox và t’; -t; t – 2) Ta có Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O Mặt cầu (S) có tâm I (0 , bán kính R = Phương trình mặt cầu (S): Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A và cách B một khoảng lớn nhất Lời giải: Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (α), đó tam giác ABH vuông tại H và khoảng 12 skkn cách d(B; (α)) = BH ≤ AB Vậy d(B; (α)) lớn nhất bằng AB A ≡ H, đó (α) là mặt phẳng qua A và vuông góc với AB Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất Giải: (α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất (α) là mặt phẳng qua D và vuông góc với DI (α) nhận làm vecto pháp tuyến Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 2x + y – 5z + 15 = Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua B Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn nhất Giải: Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn nhất (α) qua B và vuông góc với AB là véctơ pháp tuyến của (α) R = AB=3 Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không qua A Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α), K là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H≡ K, đó (α) là mặt phẳng qua ∆ và vuông góc với AK Hay (α) qua ∆ và vuông góc với mp(∆, A) Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất Giải: Mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất (α) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(ABC) 13 skkn , (ABC) có véctơ pháp tuyến (α)cóvéctơpháptuyến Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 3x + 2y + z – 11 = Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α) qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất Lời giải: Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm (α) và vuông góc với AB Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) đó d(B; (α)) = BH ≥ BK Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất K ≡ H hay ∆ là đường thẳng qua hai điểm A, K Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = và điểm A (-3; 3; -3) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5) một khoảng : 1) Nhỏ nhất 2) Lớn nhất Giải: Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến 1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α) Phương trình BH: Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình: 2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + + t + 15= hay H(-2; 7; 3) Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất ∆ qua hai điểm A, H vậy chỉ phương của ∆ là véc tơ Phương trình của ∆: 2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất ∆ là đường thẳng nằm (α), qua A và vuông góc với AB 14 skkn ∆ có véctơ chỉ phương Phương trình của ∆: Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d: 1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua d và B 2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆1 lớn nhất 3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆2 nhỏ nhất Giải: 1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp , (α) qua B nhận làm véctơ pháp tuyến Phương trình (α): x + y + z – = 2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), để d(A, ∆ 1) nhỏ nhất ∆1 qua hai điểm B,H Phương trình tham số AH: Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình: + t + + t -1 + t – = ∆1 nhận Ta thấy và phẳng (α)) làm véc tơ chỉ phương không cùng phương nên d và ∆1 cắt (do cùng thuộc mặt Vậy phương trình ∆1: 3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆ ) lớn nhất K ≡ B hay ∆2 nằm (α)và vuông góc với AB Ta có ∆2 nhận làm véc tơ chỉ phương, mặt khác và không cùng phương nên d và ∆2 cắt (do cùng thuộc mặt phẳng (α)) 15 skkn Phương trình ∆2: Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm (α) và không qua A Tìm đường thẳng ∆ nằm (α), qua A cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất Lời giải: Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao điểm của d với (α) Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vuông góc của B lên (P) và d1 Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là BH và BH ≤ BI nên BH lớn nhất I ≡ H, đó ∆ có vtcp Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: , mặt phẳng (α): 2x – y – z + = và điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua A cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất Giải:Đường thẳng d có vtcp (1; 2; -1), (α) có vtpt (2; -1; 1) Phương trình tham số d: Gọi B là giao điểm của d và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: 2+ 2t – – 2t – 3+ t + = t = -1 B(0; 0; 4) Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d Phương trình tham số đường thẳng d1: Gọi I là hình chiếu vuông góc của B lên d1 I(-1 + t; + 2t; – t), (-1 + t; + 2t;-5– t) Ta có -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = t = -1 I(-2; -1; 2) 16 skkn Đường thẳng ∆ có vtcp = (-5; -10; 4) Phương trình ∆: Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường thẳng ∆ Trong các đường thẳng qua A và song song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất Giải: Mặt phẳng (α) qua A và song song với (P) có phương trình: x + y – z + 2= => d nằm (α) Đường thẳng ∆ có vtcp (2;1;-3), (α) có vtpt (1;1;-1) Phương trình tham số ∆: Gọi B là giao điểm của ∆ và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: -1+ 2t + t – (4- 3t) + = t= B(0; ; ) Xét ∆1 là đường thẳng qua A và song song với ∆ Phương trình tham số đường thẳng ∆1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên ∆1 (1 + 2t; t - ; -3t).Ta có =( ; ; )= Đường thẳng d có vtcp H(1 + 2t; -1 + t; – 3t) + 4t + t - + 9t = t= (26; -43; 3) = = (40; 29; 69) Phương trình d : Bài toán 5: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α), qua A và tạo với d góc lớn nhất, nhỏ nhất 17 skkn Lời giải: Vẽ đường thẳng d1 qua A và song song với d Trên d1 lấy điểm B khác A là điểm cố định, gọi K, H là hình chiếu vuông góc của B lên (α) và ∆ Ta có sin(d, ∆) = ≥ Do vậy góc (d, ∆) nhỏ nhất K ≡ H hay ∆ là đường thẳng AK Góc (d, ∆) lớn nhất bằng 900 ∆ d và ∆ có vtcp Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – = 0, điểm A(1; 2; -2) và đường thẳng d: 1) Viết phương trình đường thẳng ∆1 nằm (α), qua A và tạo với d một góc lớn nhất 2) Viết phương trình đường thẳng ∆2 nằm (α), qua A và tạo với d một góc nhỏ nhất Giải: (α) có vectơ pháp tuyến , d có vectơ qua điểm M(-2; 1; 3) Ta thấy A (α) mặt khác nên d không song song hoặc nằm (α) 1) ∆1 tạo với d một góc lớn nhất ∆1 d Do đó ∆1 có vectơ chỉ phương = (-3; 3; ) = -3(1; -1; 0) Phương trình tham số của ∆1: 2) Xét đường thẳng d1 qua A và song song với d Phương trình d1: , lấy điểm B(2; 3; -1) d1 Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) Phương trình tham số của BK , tọa độ của K ứng với t là nghiệm của phương trình : 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) – (- – t) – = 9t + = hay t = 18 skkn ∆2 tạo với d một góc nhỏ nhất nó qua hai điểm A và K, ∆2 qua A(1; 2; -2), có vectơ chỉ phương Phương trình ∆2 : Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) và đường thẳng d: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d và tạo với AB một góc nhỏ nhất Giải: Đường thẳng d có vectơ Xét mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với d ∆ nằm (α) (α) nhận làm vectơ pháp tuyến Phương trình (α): 2x + y + z – = Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α), BH có vectơ Phương trình tham số của BH , tọa độ của H ứng với t là nghiệm của phương trình: 4t -2 + t + t – = 6t – = hay H( ) ∆ tạo với AB một góc nhỏ nhất nó qua hai điểm A và H, ∆ qua A(1; 0; 0), có vectơ chỉ phương Phương trình ∆ : C KẾT LUẬN Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, kinh nghiệm rút trước hết học sinh phải nắm kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức cách hợp lý với đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinh 19 skkn Những điều thực nêu có số tác dụng học sinh,cụ thể : Các em tỏ say mê, hứng thú với dạng toán coi thành cơng người giáo viên Kết thúc đề tài khảo sát lạicho em học sinh lớp 12A,12B Kết sau: Số lượng Tỉ lệ ( %) Không Nhận biết, nhận biết vận dụng 0.0 3.3 Nhận biết biết vận dụng, chưa giải hoàn chỉnh 27 30 Nhận biết biết vận dụng , giải hoàn chỉnh 60 66,7 Rõ ràng em có tiến Như chắn phương pháp mà nêu đề tài giúp em phận loại tập nắm vững phương pháp làm trình bầy giúp em tự tin học tập thi Tuy kết qủa chưa thật mong đợi, với trách nhiệm người thầy, chừng mực tơi bớt băn khoăn học trị làm tốt tốn: “ Cực trị hình học giải tích lớp 12 ” Tơi nghĩ : tiến thành đạt học sinh ln mục đích cao cả, nguồn động viên tích cực người thầy Do vậy, mong ước chia sẻ với quý đồng nghiệp số suy nghĩ sau: Một tốn có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc khơng dễ Do chuyên đề rất nhiều chuyên đề, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán, thể tốn từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh khơng sợ đứng trước tốn khó mà dần tạgây hứng thú say mê mơn tốn, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song khuôn khổ thời gian có hạn người viết ví dụ, tốn điển hình Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thiện hơn./ 20 skkn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng5 năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Văn Tân Hồ Thị Mai ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ Vĩnh Lộc, Ngày 14 tháng n ăm 2013 Thay mặt HĐKH sở Chủ Tịch Nguyễn Văn Tân 21 skkn VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 Hình học 12 nâng cao, Bài tập hình học 12 nâng cao – nhà XBGD năm 2008 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2010 Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 22 skkn ...HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 A.ĐẶT VẤN ĐỀ I Lời nói đầu Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các... kiến thức học, tạo tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu.Tôi mạnh dạn viết chuyên đề ? ?Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị hình học giải tích lớp 12? ?? skkn B GIẢI QUYẾT... tin học tập thi Tuy kết qủa chưa thật mong đợi, với trách nhiệm người thầy, chừng mực tơi bớt băn khoăn học trị làm tốt tốn: “ Cực trị hình học giải tích lớp 12 ” Tơi ln nghĩ : tiến thành đạt học