Trong tứ diện, gọi d là trục của đường tròn đáy đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đáy thì tâm mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của 2
Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục tiêu và nhiệm vụ của đề tài, tôi đã áp dụng các phương pháp nghiên cứu bao gồm quan sát, tổng kết kinh nghiệm và phân tích tổng hợp lý thuyết.
Phần nội dung
Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Học sinh hay gặp khó khăn và ngại khó khi học toán hình học không gian
Học sinh hiện nay thường chỉ tiếp thu kiến thức từ sách giáo khoa mà chưa thực sự áp dụng hay tìm hiểu sâu hơn Họ thường giải bài tập theo hình thức trắc nghiệm mà không phát triển khả năng tư duy và phân tích kiến thức.
Nội dung và hình thức của giải pháp
Trong phần này, tôi sẽ tóm tắt các khái niệm liên quan đến hình tứ diện và các yếu tố cơ bản của nó, nhằm tạo nền tảng cho việc trình bày giải pháp trong các phần tiếp theo Hình tứ diện là một loại đa diện có bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác, và nó có vai trò quan trọng trong hình học không gian.
+Hình chóp có đáy là một tam giác gọi là hình tứ diện , hình tứ diện cùng với miền trong của nó gọi là khối tứ diện
Hình tứ diện là một khối đa diện có bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác Trong hình tứ diện, mỗi mặt có một đỉnh đối diện, với tổng cộng bốn đỉnh và sáu cạnh Hai cặp cạnh được gọi là đối diện khi chúng không chia sẻ điểm chung.
Hình tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng nhau, trong khi tứ diện vuông đỉnh O, ký hiệu là OABC, có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc Ngoài ra, tứ diện trực tâm ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau.
+ Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau gọi là tứ diện gần đều b) Trọng tâm tứ diện
+Điểm G gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD nếu GA GB GC GD 0
+Trọng tứ diện, các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối đồng quy tại trung điểm mỗi cạnh và là trọng tâm của tứ diện
Trong tứ diện, các đường thẳng nối từ đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện đồng quy tại trọng tâm tứ diện và chia đoạn đó theo tỉ số 1
3 (GA=3GG’, A là đỉnh và G’ là trọng tâm tam giác đáy của tứ diện) c) Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tứ diện
+ Mặt cầu gọi là ngoại tiếp tứ diện nếu nó đi qua các đỉnh của tứ diện
+ Mặt cầu gọi là nội tiếp tứ diện nếu nó tiếp xúc tất cả các mặt của tứ diện và tâm của mặt cầu nằm trong hình tứ diện
+ Mặt cầu gọi là bàng tiếp tứ diện nếu nó tiếp xúc tất cả các mặt của tứ diện và tâm của nó nằm ngoài hình tứ diện
+ Mặt cầu gọi là nội tiếp khung của tứ diện nếu nó tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện
Mặt cầu được gọi là bàng tiếp khung của tứ diện khi nó tiếp xúc với 6 đường thẳng chứa 6 cạnh của tứ diện, đồng thời có ít nhất một tiếp điểm không nằm trên cạnh của tứ diện.
Trong tứ diện, trục d của đường tròn đáy là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đáy Tâm mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của hai trục tùy ý hoặc là giao điểm của một trục và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên Nếu có cạnh bên OA và trục d đồng phẳng, ta cần dựng đường trung trực của cạnh bên OA trong mặt phẳng (d, OA).
Tứ diện đều, có tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp và giao điểm các đường cao là trọng tâm của tứ diện d) Tứ diện nội tiếp hình hộp
Khi chọn 4 đỉnh từ 8 đỉnh của hình hộp mà không có hai đỉnh nào nằm trên cùng một cạnh, ta sẽ tạo thành một tứ diện, được gọi là tứ diện nội tiếp hình hộp Ví dụ, tứ diện BDA C là một tứ diện nội tiếp trong hình hộp ABCD A B C D .
Mỗi tứ diện đều có một hình hộp ngoại tiếp duy nhất Hình hộp ngoại tiếp gần như đều của tứ diện thường là hình hộp chữ nhật.
+Thể tích khối hộp gấp 3 lần thể tích tứ diện nội tiếp nó
2.3.2 Bài toán liên quan đến hình tứ diện vuông
Phần này tập trung vào các bài toán định lượng liên quan đến định lý Pythagore, bất đẳng thức hình học về các cạnh và góc giữa cạnh bên và mặt đáy, cũng như diện tích các mặt của hình tứ diện Nội dung bao gồm các bài toán thường gặp trong kỳ thi HSG tỉnh lớp 12, với lời giải được trình bày theo hướng phát triển từ đề bài.
Bài tập 2.1 Cho tứ diện vuông O.ABC đỉnh O, có OA a OB b OC , , c đường cao OH, Gọi S S ABC ,S 1 S OAB ,S 2 S OBC ,S 3 S OCA Chứng minh: a) 1 2 1 2 1 2 1 2 , (2.1.1).
Phân tích và lời giải a) Chứng minh 1 2 1 2 1 2 1 2
Đẳng thức OH = OA + OB + OC là một công thức quan trọng trong tứ diện vuông, thường xuất hiện trong sách giáo khoa lớp 11 Việc chứng minh đẳng thức này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ các yếu tố định lượng mà còn phát triển tư duy logic trong việc giải quyết bài toán Bài toán cũng đưa ra H như hình chiếu, tạo điều kiện cho học sinh khai thác và áp dụng kiến thức một cách hiệu quả.
Trong bài toán hình học này, việc xác định vị trí của điểm H trên mặt phẳng (ABC) là rất quan trọng, vì nó ảnh hưởng đến cách khai thác bài toán Học sinh cần tìm hiểu hình chiếu H để dễ dàng định vị H thông qua mặt phẳng (OAH) vuông góc với BC Điều này dẫn đến kết luận rằng H là trực tâm của tam giác ABC Nếu K là chân đường cao từ A của tam giác ABC, thì OK sẽ là chân đường cao của tam giác OBC từ O Bằng cách áp dụng hệ quả của định lý Pythagore, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách hiệu quả.
OK OB OC , tiếp tục áp dụng hệ thức trên cho tam giác vuông AOK ta được
Chứng minh rằng diện tích S của tam giác ABC bằng tổng diện tích của các tam giác OAB, OBC và OCA, tức là S = S1 + S2 + S3, có thể giúp học sinh liên hệ đến định lý Pythagore Tuy nhiên, công thức này cũng có thể khiến các em cảm thấy lúng túng khi lần đầu tiếp cận bài toán.
Có nhiều hướng chứng minh (2.1.2) nhưng ở đây tôi trình bày theo hướng thác triển của của bài toán (2.1.1) một cách tự nhiên
S OA OB do đó, quy đồng vế phải của
OA OB OB OC OA OC
OH vấn đề còn lại của bài toán chính là chứng minh
Rất dễ nhận thấy rằng
OA OB OC AH AK OK BC AK OK BC AK HK AK BC
OH HA HK HK HK
Từ đó ta có điều cần chứng minh:
Nhận xét: Một hướng khác để giải bài toán là áp dụng công thức hình chiếu cos ,(2.2).
Tam giác ΔHBC là hình chiếu vuông góc của tam giác ΔOBC lên mặt phẳng (ABC), do đó diện tích SΔOBC bằng SΔOHC nhân với cos OKH Qua phép biến đổi đơn giản, học sinh có thể chứng minh được điều này Hơn nữa, học sinh cũng có thể khai thác thêm các kiến thức liên quan để củng cố hiểu biết.
2 ABC ABC ( HBC HBA HCA )
S S S S S cũng được kết quả tương tự
Bài tập 2.2 Cho tứ diện vuông O.ABC đỉnh O, có OA a OB b OC , , c Gọi
S S S S S S S S và r là bán kính đường tròn nội tiếp của hình tứ diện Chứng minh rằng S 1 S 2 S 3 S r a b c
Trong tứ diện vuông, luôn tồn tại mặt cầu nội tiếp, và bài viết này không trình bày chứng minh sự tồn tại của mặt cầu ngoại tiếp mà tập trung vào việc khai thác đẳng thức (2.1.2) thông qua bán kính của mặt cầu Nếu gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, học sinh sẽ nhận ra rằng bán kính r chính là chiều cao của khối chóp I.ABC, từ đó chúng ta có được đẳng thức liên quan.
OABC IABC IOBC IOAB IOAC
Vậy ta có được điều cần chứng minh S 1 S 2 S 3 S. r a b c
Bài tập 2.3 Cho tứ diện vuông O.ABC đỉnh O, có OA a OB b OC , , c đường cao OH, Gọi S S ABC ,S 1 S OAB ,S 2 S OBC ,S 3 S OCA Chứng minh: a) 1 , (2.1.4).
Chỉ cần thay đổi diện mạo một chút có thể tăng cường sự tự tin và gây ấn tượng với người khác Sự thay đổi hình thức có thể dẫn đến những thay đổi lớn trong cách tiếp cận và giải quyết vấn đề Do đó, khi đối diện với một vấn đề, việc xem xét cách thức trình bày và hình thức có thể mang lại những định hướng giải quyết mới mẻ và hiệu quả hơn.
Phần kết luận
Kết luận
Trong bài viết này tôi đã trình bày những vấn đề sau:
Khai thác các yếu tố hình học đặc trưng của hình tứ diện đặc biệt như tứ diện trực tâm, tứ diện gần đều, tứ diện vuông
Sử dụng tính chất của hình hộp ngoại tiếp tứ diện là một kỹ thuật hữu ích giúp học sinh giải quyết các bài toán trắc nghiệm trong kỳ thi THPT Quốc gia
Thác triển là phương pháp xây dựng các bài toán mới từ bài toán gốc Tác giả đã phân tích kỹ lưỡng các yêu cầu của đề bài, giúp học sinh làm quen với tư duy giải toán hình học một cách hiệu quả.
Kiến nghị
Để nâng cao hiệu quả áp dụng các đề tài sáng kiến kinh nghiệm, tôi đề xuất Sở Giáo dục tổ chức hội thảo báo cáo và thảo luận về các đề tài này Đồng thời, việc phổ biến thông tin trên các website của ngành sẽ giúp học sinh và giáo viên dễ dàng tham khảo và trao đổi hơn.