BỘ SÁCH ĐỀ THI TOÁN LỚP 11 CUỐI KÌ 1 Với mục tiêu làm cho quá trình học toán trở nên thú vị và hấp dẫn, đề tài hy vọng sẽ đóng góp vào việc nâng cao chất lượng giáo dục toán học ở cấp độ trung học, đồng thời giúp học sinh phát triển tư duy logic, sự sáng tạo và kỹ năng giải quyết vấn đề những yếu tố quan trọng cho sự thành công trong học vụ và sự nghiệp sau này.
NGUYỄN CHÍ NHÂN – NGUYỄN HỒNG GIA KHANG ƠN TẬP CUỐI KÌ I TỐN HỌC 11 ………………………………….………………………………….……………………………….……………………………………….…… ………………………………….………………………………….……………………………….……………………………………….…… ………………………………….………………………………….……………………………….……………………………………….…… ………………………………….………………………………….……………………………….……………………………………….…… ………………………………….………………………………….……………………………….……………………………………….…… ………………………………….………………………………….……………………………….……………………………………….…… TỐN 11 ĐỀ ƠN TẬP CUỐI KỲ I – SỐ A TRẮC NGHIỆM Câu 1: [MAP] Hai phương trình gọi tương đương A Có tập xác định B Có số nghiệm C Có dạng phương trình D Có tập hợp nghiệm Câu 2: [MAP] Tập xác định hàm số y = tan x là: π B R \ + kπ , k ∈ Z C R 2 Câu 3: [MAP] Tìm tập xác định D hàm số y cot x sin x cos x A R \ {0} π A D = R \ + kπ , k ∈ Z 2 C D R \ {kπ , k ∈ Z } = D R \ {kπ , k ∈ Z } π B D = R \ + k 2π , k ∈ Z 2 D D R \ {k 2π , k ∈ Z } = 5π Câu 4: [MAP] Số nghiệm phương trình cos x = đoạn 0; A B C D Câu 5: [MAP] Chọn khẳng định sai? π A Tập xác định hàm số y = cot x \ + kπ , k ∈ 2 B Tập xác định hàm số y = sin x C Tập xác định hàm số y = cos x π D Tập xác định hàm số y = tan x \ + kπ , k ∈ 2 π Câu 6: [MAP] Nghiệm phương trình cos x + = 4 x = k 2π x = kπ A B k ∈ ( ) (k ∈ ) π π x = x = − + kπ − + kπ 2 x = k 2π x = kπ C D (k ∈ ) (k ∈ ) π π x = x = − + k 2π − + k 2π Câu 7: [MAP] Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sin x = m có nghiệm B m ≥ −1 C −1 ≤ m ≤ D m ≤ −1 A m ≤ 1 cos x Câu 8: [MAP] Tập xác định hàm số y là: sin x 1 π π A \ B \ kπ C \ k 2π D \ k 2π kπ Câu 9: [MAP] Dãy số sau cấp số cộng? A ( un ) : un = B ( un ) : un= un −1 − 2, ∀n ≥ n C ( un ) : u= D ( un ) := 2n − un 2un −1 , ∀n ≥ n π Câu 10: [MAP] Tìm tập xác định hàm= số y tan x + 3 π π π A D = \ + k k ∈ B D = \ + kπ k ∈ 12 6 π π π C D= \ + kπ k ∈ D D= \ − + k k ∈ 12 Câu 11: [MAP] Nghiệm phương trình sin x = cos x A x = kπ ; x = k C x = k 2π ; x= π π π π B x= + k 2π D x = kπ ; x= Câu 12: [MAP] Tính giới hạn I = lim A I = +k 2n + 2017 3n + 2018 ; x= π π + kπ + kπ 2017 B I = C I = D I = 2018 1 1 Hỏi số Câu 13: [MAP] Cho cấp số nhân ; ; ; ; số hạng thứ cấp số 4096 4096 nhân cho? A 11 B 12 C 10 D 13 2 an + a n + = a − a + Khi khẳng định sau Câu 14: [MAP] Cho a ∈ cho giới hạn lim ( n + 1) đúng? A < a < B < a < C −1 < a < D < a < π có nghiệm thuộc khoảng ( 0;3π ) Câu 15: [MAP] Phương trình: 2sin x − − = 3 A B C D n Câu 16: [MAP] lim + + + + n n n n 1 B C D A Câu 17: [MAP] Mực nước kênh lên xuống theo thủy triều Độ cao h (mét) mực nước kênh tính theo thời gian t (giờ) ngày (0 ≤ t < 24) cho công thức πt π = h 3cos + + Vào buổi sáng, mực nước kênh đạt cao lúc giờ? 3 A t = (giờ) B t = (giờ) C t = 10 (giờ) D t = 11 (giờ) Câu 18: [MAP] Dãy số cấp số cộng? 3n + un 3n , n ∈ * n + 2n , n ∈ * B un =3n + 1, n ∈ * C.= = , ( n ∈ * ) A un = D un n+2 ( ) ( ) ( ) Câu 19: [MAP] Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 123 , u3 − u15 = 84 Số hạng u17 B 11 C 96000cm3 D 81000cm3 A 235 Câu 20: [MAP] Biết x thỏa mãn x − 2, x , − x lập thành cấp số cộng Tính tổng bình phương giá trị x tìm B 17 C 26 D 10 A 12 Câu 21: [MAP] Cho dãy số 4,12,36,108,324, Số hạng thứ 10 dãy số là? A 73872 B 77832 C 72873 D 78732 2n + 39 Câu 22: [MAP] Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un = Khi số hạng thứ n +1 362 dãy số? A 20 B 19 C 22 D 21 Câu 24: [MAP] Cho tam giác ABC cân đỉnh A , biết độ dài cạnh đáy BC , đường cao AH cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q Giá trị q 2+ 2− 2 +1 −1 B C D 2 2 Câu 25: [MAP] Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ (các đỉnh lấy theo thứ tự đó) Gọi ( P ) mặt A phẳng cắt hình lập phương Khi đó, thiết diện mặt phẳng ( P ) cắt hình lập phương đa giác có số cạnh tối đa bao nhiêu? A B C D Câu 25: [MAP] Cho ABCD ACNM hai hình bình hành có chung đường chéo AC Khi kết luận bốn điểm B , M , D , N ? A B , M , D , N tạo thành tứ diện B B , M , D , N tạo thành tứ giác D Chỉ ba điểm B , M , D , N thẳng hàng C B , M , D , N thẳng hàng Câu 27: [MAP] Cho ba đường thẳng đôi chéo a, b, c Gọi ( P ) mặt phẳng qua a , ( Q ) mặt phẳng qua b cho giao tuyến ( P ) ( Q ) song song với c Có nhiều mặt phẳng ( P ) ( Q ) thỏa mãn yêu cầu trên? A Vô số mặt phẳng ( P ) ( Q ) B Một mặt phẳng ( P ) , vô số mặt phẳng ( Q ) C Một mặt phẳng ( Q ) , vô số mặt phẳng ( P ) D Một mặt phẳng ( P ) , mặt phẳng ( Q ) Câu 28: [MAP] Trong mệnh đề sau Mệnh đề sai A Hai mặt phẳng song song khơng có điểm chung B Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng song song với C Hai mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng D Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến hai giao tuyến song song với Câu 29: [MAP] Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Mặt phẳng ( P ) chứa BD song song với mặt phẳng ( AB′D′ ) cắt hình lập phương theo thiết diện A Một tam giác C Một hình chữ nhật B Một tam giác thường D Một hình bình hành Câu 30: [MAP] Cho tứ diện SABC cạnh a Gọi I trung điểm đoạn AB , M điểm di động đoạn AI Qua M vẽ mặt phẳng ( α ) song song với ( SIC ) Tính chu vi thiết diện tạo ( α ) với tứ diện SABC , biết AM = x ( ) A x + ( ) B x + ( C Khơng tính ) D x + B TỰ LUẬN 2 1 1 Câu 1: [MAP] Tính tổng: S = + + + +…+ 2n + n 2 4 Câu 2: [MAP] Chứng minh dãy số sau có giới hạn : un = nn ( n + ) ( 2n + ) n 2n Câu 3: [MAP] Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tanA, tanB, tanC theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy tìm giá trị nhỏ góc B có được? Câu 4: [MAP] Cho hình chóp S ABCD M , N hai điểm đoạn AB , CD Mặt phẳng (α ) qua MN song song với SA a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (α ) b) Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang -HẾT - ĐỀ ÔN TẬP CUỐI KỲ I – SỐ TOÁN 11 A TRẮC NGHIỆM Câu 1: [MAP] Cho đường trịn đường kính 12cm Tìm số đo ( rad ) cung có độ dài 3cm ? A B C D Câu 2: [MAP] Đổi số đo góc 72o radian: 3π 2π 2π 4π B C D 5 Câu 3: [MAP] Bánh xe đạp người xe đạp quay vòng giây Hỏi giây, A bánh xe quay góc radian? 5 B π C π D π π 5 Câu 4: [MAP] Với góc lượng giác a , b Trong công thức sau, công thức đúng? A a + b ) cos a.cos b + sin a.sinb A cos (= = B sin ( a – b ) sin a.cos b + cos a.sinb = C cos ( a – b ) cos a.cos b + sin a.sinb a + b ) sin a.cos b − cos a.sinb D sin (= Câu 5: [MAP] Biết= A sin A 90 o 270 o a cos = c − với a,b,c ∈ ,a ≤ Tính a − b + c ? 4 2 b B C D sin x = đoạn 0; 4π cos x − π A 2π B 4π C π D Câu 7: [MAP] Tìm tất giá trị m để phương trình sin2x.cos2x + m − = có nghiệm? Câu 6: [MAP] Tổng tất nghiệm phương trình ≤m≤ A B ≤ m ≤ Câu 8: [MAP] Cho dãy số ( un ) , biết un = A u5 = B u5 = 17 12 C ≤ m ≤ 2n2 − Tìm số hạng u5 n2 + C u5 = D ≤ m ≤ D u5 = 71 39 u1 = Tìm số hạng u4 Câu 9: [MAP] Cho dãy số ( un ) xác định un+1 un + 1) ( = 14 A u4 = B u4 = C u4 = D u4 = 27 Câu 10: [MAP] Cho dãy số ( un ) cấp số cộng có u1 = công sai d = Biết tổng n số hạng đầu dãy số ( un ) Sn = 253 Tìm n A B 11 C 12 D 10 Câu 11: [MAP] Dãy số sau cấp số cộng? A ( un ) : un = n B ( un ) : un= un−1 − 2, ∀n ≥ 2n − C ( un ) : u= n un 2un−1 , ∀n ≥ D ( un ) : = Câu 12: [MAP] Với giá trị a để ta tìm giá trị x cho: a x +1 + 51− x , , 25 x + 25 − x lập thành cấp số cộng? A B 12 C D 24 Câu 13: [MAP] Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = −3 q = Mệnh đề sau đúng? 27 16 16 27 B u5 = − C u5 = D u5 = A u5 = − 16 27 27 16 Câu 14: [MAP] Xác định x để số x − 2; x + 1; − x theo thứ tự lập thành cấp số nhân A Khơng có giá trị x B x = ±1 C x = D x = −3 Câu 15: [MAP] Hai số hạng đầu của cấp số nhân 2x + 4x − Số hạng thứ ba cấp số nhân A 2x − C 8x − 4x − 2x + B 2x + 10n + ta kết 3n − 15 10 10 A I = − B I = C I = 3 10 Câu 17: [MAP] Dãy số sau có giới hạn ? D 8x + 4x − 2x − Câu 16: [MAP] Tính giới hạn I = lim A ( 0,999 ) n Câu 18: [MAP] lim A +∞ B ( −1) C ( −1,0001) n n D ( 1, 2345 ) n 100 n+1 + 3.99n 10 2n − 2.98n+1 B 100 Câu 19: [MAP] Dãy số ( un ) với un A 192 D I = − B 68 C ( 3n − 1)( − n) = ( 4n − ) 100 D có giới hạn phân số tối giản C 32 a Tính a.b b D 128 Câu 20: [MAP] Trong khơng gian có vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng? A.1 B C D Câu 21: [MAP] Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A Qua điểm phân biệt có mặt phẳng B Qua điểm phân biệt có mặt phẳng C Qua điểm khơng thẳng hàng có mặt phẳng D Qua điểm phân biệt có mặt phẳng Câu 22: [MAP] Một hình chóp có đáy ngũ giác có số mặt số cạnh A mặt, 10 cạnh B mặt, 10 cạnh C mặt, cạnh D mặt, cạnh Câu 23: [MAP] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , P, Q trung điểm BC , CD , SB , SD Chọn khẳng định đúng? A MN / / ( SAD ) B MN / /SA C MN / /PQ D MN / / ( SAB ) Câu 24: [MAP] Trong không gian cho ba đường thẳng a, b, c , biết a song song với b b song song với c Khẳng định sau đúng? A a, c song song B a, c trùng C a, c song song trùng D a, c cắt Câu 25: [MAP] Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng đồng phẳng có tâm I J Chọn khẳng định sai A IJ / / ( ADF ) B IJ / / DF C IJ / / ( CEB ) D IJ / / AD Câu 26: [MAP] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O , M trung điểm SA Khẳng định sau đúng? A OM// ( SCD ) B OM// ( SBD ) C OM// ( SAB ) D OM// ( SAD ) Câu 27: [MAP] Cho tứ diện ABCD Điểm M thuộc đoạn AC ( M khác A , M khác C ) Mặt phẳng ( α ) qua M song song với AB AD Thiết diện ( α ) với tứ diện ABCD hình gì? A Hình vng B Hình chữ nhật C Hình tam giác D Hình bình hành Câu 28: [MAP] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O, I trung điểm cạnh SC Khẳng định sau sai? A IO // mp ( SAB ) B IO // mp ( SAD ) C Mặt phẳng ( IBD ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện tam giác OI D ( IBD ) ∩ ( SAC ) = Câu 29: [MAP] Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N trung điểm SA,SD Mặt phẳng ( OMN ) song song với mặt phẳng sau đây? A ( SBC ) B ( SCD ) C ( ABCD ) D ( SAB ) Câu 30: [MAP] Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C ′ Gọi H trung điểm A′B′ Mặt phẳng ( AHC ′ ) song song với đường thẳng sau đây? A BA′ B BB′ C BC D CB′ B TỰ LUẬN Câu 1: [MAP] Tìm a, b biết rằng: 1, a, b số hạng liên tiếp cấp số cộng 1,a ,b số hạng liên tiếp cấp số nhân Câu 2: [MAP] Cho hai dãy số không âm ( un ) ( ) với lim un = lim = n→+∞ Tìm giới hạn sau: a) lim n→+∞ n u ; − un n→+∞ b) lim un + 2vn n→+∞ Câu 3: [MAP] Giải phương trình: ( 2cos x − 1)( 2sin x + cos x ) = sin 2x − sin x Câu 4: [MAP] Cho hình chóp S.ABCD , đáy hình bình hành tâm O , M điểm di động SC , ( α ) mặt phẳng qua AM song song với BD Tìm giao điểm H K ( α ) với SB,SD Chứng minh rẳng SB SD SC có giá trị khơng đổi + − SH SK SM -HẾT - Câu 30: [MAP] Chọn B Gọi M , N trung điểm AB, BC Suy AN MC = G Ta có ( GCD ) AB = M A Suy ra, tam giác MCD thiết diện mặt phẳng ( GCD ) với tứ diện ABCD Tam giác ABD cạnh a , có M trung điểm AB a Suy MD = Tam giác ABC cạnh a , có M trung điểm AB Suy MC = M G D B H N C a Gọi H trung điểm CD Suy MH ⊥ CD Nên diện tích tam giác MCD SMCD = MH CD CD a MH = Với MH = MC − HC MH = MC − 2 2 a a2 a SMCD = Vậy diện tích tam giác MCD SMCD = 2 B TỰ LUẬN Câu 1: [MAP] Một guồng nước có dạng hình trịn bán kính 2,5 m; trục đặt cách mặt nước m (hình bên) Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ gầu gắn điểm A guồng 1 đến mặt nước h =| y | y = + 2,5sin 2 x − với x thời 4 gian quay guồng ( x 0) , tính phút; ta quy ước y gầu mặt nước y gầu mặt nước A 2m O h 2m Mô guồng nước a) Khi gầu vị trí cao nhất? Thấp nhất? b) Chiếc gầu cách mặt nước mét lần nào? Hướng dẫn 1 1 a) Vì sin 2 x − nên −2,5 2,5sin 2 x − 2,5 ta có 4 4 1 −0,5 = − 2,5 + 2,5sin 2 x − + 2,5 = 4,5x 4 1 1 Suy ra, gầu vị trí cao sin 2 x − = 2 x − = + k 2 x = + k (k ) 4 4 2 Vậy gầu vị trí cao thời điểm , , , phút 2 1 1 Tương tự, gầu vị trí thấp sin 2 x − = −1 2 x − = − + k 2 x = k (k ) 4 4 Vậy gầu vị trí thấp thời điểm 0,1, 2,3, phút 89 1 b) Gầu cách mặt nước m + 2,5sin 2 x − = 4 1 1 k sin 2 x − = 2 x − = k x = + (k ) 4 4 phút Câu 2: [MAP] Cho hai cấp số cộng ( xn ) : 4, 7,10, ( yn ) :1, 6,11, Hỏi 2025 số hạng Vậy gầu cách mặt nước m lần thời điểm x = cấp số cộng có số hạng chung? Hướng dẫn Ta có: ( xn ) : 4, 7,10, → u1 = 4; d = ( yn ) :1, 6,11, → u1 = 1; d = Khi đó: xn = + (n − 1) = 3n + 1,1 n 2025 yn = + (m − 1) = 5m − 4,1 m 2025 Để số số hạng chung hai cấp số cộng thì: 3n + = 5m − 3n = 5(m −1) Suy ra: n Tức n = 5t 3.5t = 5.(m − 1) m = 3t + 1( t * ) Ta lại có: n 2025 nên t 405 Vậy ứng với 405 giá trị t , ta tìm 405 số hạng chung Câu 3: [MAP] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ( AB // CD ) AB = 2CD Gọi M , N trung điểm cạnh SA, SB Chứng minh rằng: a) MN // (SCD) ; b) DM // (SBC ) ; SI = Chứng minh SB // ( AIC ) c) Lấy điểm I thuộc cạnh SD cho SD Hướng dẫn a) Chứng minh MN // (SCD) Ta có MN // AB, CD // AB MN // CD S MN // CD, CD ( SCD) Khi F = NE SC ( SCD) MN MN // (SCD) N M b) Chứng minh DM // (SBC ) MN // CD I MNCD hình bình hành Ta có MN = CD = AB A B Do DM // CN DM // CN , CN ( SBC ) DM // ( SBC ) Khi ( SBC ) DM c) Chứng minh SB // ( AIC ) Gọi E = AC BD DE CD DE DI = = = Theo giả thiết ta có = IE // SB Ta có EB AB DB SD SB // IE , IE ( AIC ) SB // ( AIC ) Khi ( AIC ) SB 90 D E C x −1 x − Câu 4: [MAP] Cho hàm số f ( x) = x + x −1 a) Tính giới hạn: lim− f ( x), lim+ f ( x) x →−1 x →−1 b) Hàm số có tồn giới hạn x → −1 hay không? Hướng dẫn a) Xét dãy số ( xn ) cho xn −1 xn → −1 , ta có: f ( xn ) = xn − Khi đó: lim− f ( x) = lim f ( xn ) = −1 − = −3 x →−1 Xét dãy số ( xn ) cho xn −1 xn → −1 , ta có: f ( xn ) = xn2 + Khi đó: lim+ f ( x) = lim f ( xn ) = (−1) + = x →−1 b) Vì lim− f ( x) lim+ f ( x) (hay −3 ) nên không tồn lim f ( x) x →−1 x →−1 x →−1 -HẾT - 91 A TRẮC NGHIỆM Câu 1: [MAP] Chọn A Vì 10 = rad nên 1080 = 108 = 3 180 180 Câu 2: [MAP] Chọn A 1 tan + +2 tan + tan = cos = = + cos Ta có A = 1 tan + tan + tan cos 17 Suy A = + = 9 Câu 3: [MAP] Chọn A Công thức đúng: + tan x = nên A đúng, suy B sai cos x Công thức đúng: tan x = nên C sai cot x Công thức đúng: sin x + cos2 x = nên D sai Câu 4: [MAP] Chọn A Trên khoảng 0; hàm số y = tan x đồng biến 2 Câu 5: [MAP] Chọn A 2 Hàm số y = sin ( ax + b ) tuần hoàn với chu kì T = a 2 Áp dụng: Hàm số y = sin x − tuần hồn với chu kì T = 4 Câu 6: [MAP] Chọn A m −1 3sin x − + = m sin x − = 5 5 m −1 −1;1 m − 1 −3;3 m −2; 4 Phương trình cho có nghiệm Suy ra: a = −2; b = b − a = Câu 7: [MAP] Chọn A Ta có: u4 = = Câu 8: [MAP] Chọn B n = 11 n 2u1 + (n − 1)d n[2 + (n − 1) 4] = 253 4n + 2n − 506 = Ta có: Sn = n = − 23 ( Loai ) 2 92 Câu 9: [MAP] Chọn B Từ giả thiết, ta biết cấp số nhân có số hạng đầu u1 = n −1 u 1 công bội q = = Số hạng tổng quát cấp u1 n 1 1 số nhân: un = = = n 2 2 1 Xét un = n = 12 2n = 212 n = 12 4096 2 Vậy số hạng thứ 12 cấp số nhân cho 4096 Câu 10: [MAP] Chọn C n + 3n + Ta có: un = = n+2+ n +1 n +1 * n * n Từ giả thiết, ta có: n = ( u4 = ) 5 (n + 1) n + 1{1; 5} Vậy dãy số ( un ) có số hạng nhận giá trị nguyên Câu 11: [MAP] Chọn D Gọi d công sai cấp số cộng Ta có: u1u2 + u2u3 + u3u1 = 4(4 + d ) + (4 + d )(4 + 2d ) + 4(4 + 2d ) = 2d + 24d + 48 = 2(d + 6)2 − 24 −24 Dấu "=" xảy d = −6 giá trị nhỏ u1u2 + u2u3 + u3u1 −24 Câu 12: [MAP] Chọn B Ba số x − 3; x;2 x + theo thứ tự lập thành cấp số nhân, ta có: x = (2 x − 3)(2 x + 3) x = x − x = x = Vì x dương nên x = Câu 13: [MAP] Chọn B 2018 4+ 4n + 2018 n =2 = lim Ta có lim 2n + 2+ n Câu 14: [MAP] Chọn D 1− x +1 −x −1 = lim =− = lim x →0 x →0 x →0 2 3x + x + + ( x + 1) 3x + x + + ( x + 1) lim ( ) ( ) Câu 15: [MAP] Chọn A Câu 16: [MAP] Chọn D 1 2− + 2 2n − n + n n = a = 2a − b = lim = lim 4n − b = 4− n Câu 17: [MAP] Chọn C Theo định lý ta có: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục đoạn a ; b f (a) f (b) phương trình f ( x) = có nghiệm thuộc khoảng (a ; b) 93 Câu 18: [MAP] Chọn A Ta có: lim f ( x) = lim x →0 x →0 2x + −1 2x = lim =1 x → x( x + 1) x( x + 1) x + + ( ) Vậy ta chọn f (0) = Câu 19: [MAP] Chọn C Nhóm có tần số bé [26;30) (tần số 12); giá trị đại diện nhóm là: Câu 20: [MAP] Chọn A Ta có bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện sau: [15;30) [30;45) [45;60) [0;15) Nhóm Giá trị đại 7,5 22,5 37,5 52,5 diện Tần số 16 29 25 Giá trị trung bình mẫu số liệu ghép nhóm là: 7,5 + 22,5 16 + 37,5 29 + 52,5 25 + 67,5 15 + 82,5 441 x= = = 44,1 100 10 Câu 21: [MAP] Chọn C Cỡ mẫu mẫu số liệu n = + + + = 24 Xét dãy số liệu x1 , x2 , , x24 xếp theo thứ tự không giảm x +x Trung vị mẫu số liệu 12 13 [10;12) Ta có: nm = 8; C2 = + = 9; um = 10; um+1 = 12 26 + 30 = 28 [60;75) [75;90) 67,5 82,5 15 Tứ phân vị thứ hai trung vị mẫu số liệu ghép nhóm là: 24 −9 43 Q2 = 10 + (12 − 10) = = 10, 75 x +x Xét nửa dãy số liệu bên trái gồm x1 , x2 , , x12 có trung vị [8;10) Ta có: ni = 6; C1 = + = 9; um = 8; um+1 = 10 24 −3 Suy tứ phân vị thứ mẫu số liệu ghép nhóm là: Q1 = + (10 − 8) = Xét nửa dãy số liệu bên phải gồm x13 , x14 ,, x24 có trung vị x18 + x19 [12;14) Ta có: n j = 7; C3 = 17; um = 12; um +1 = 14 3.24 − 17 86 Suy tứ phân vị thứ ba mẫu số liệu ghép nhóm là: Q3 = 12 + (14 − 12) = 12, 29 7 86 Vậy tứ phân vị mẫu số liệu ghép nhóm là: Q1 = 9; Q2 = 10, 75; Q3 = Câu 22: [MAP] Chọn D Câu 23: [MAP] Chọn B Hình ( III ) sai hình hộp, hình ( IV ) hình chóp tứ giác 94 S Câu 24: [MAP] Chọn A Do BC // AD nên mặt phẳng ( ADM ) ( SBC ) có giao tuyến đường thẳng MG song song với BC Thiết diện hình thang AMGD M G A D B C Câu 25: [MAP] Chọn D Ta có tính chất: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng( có) song song với đường thẳng a // ( ) , a // ( ) Vậy: a // b ( ) ( ) = b A Câu 26: [MAP] Chọn C Các cặp đường thẳng chéo là: AB CD ; AD BC ; BD AC Vậy tứ diện ABCD có cặp đường thẳng chéo B D C S Câu 27: [MAP] Chọn B Đáp án A MN // AD tam giác SAD có MN đường trung bình mà BC // AD nên MN // BC Đáp án C ON đường trung bình tam giác SBD Đáp án D OM đường trung bình tam giác SAC Đáp án B sai giả sử ON // SC mà OM // SC nên M N vơ lí M N A D O B C Câu 28: [MAP] Chọn C AM // NC ( AB // CD ) Ta có: AB CD tứ giác AMCN hình bình hành = AM = NC = 2 Do AC MN cắt trung điểm đường Mà O trung điểm AC nên O trung điểm MN Hay ba điểm M , O, N thẳng hàng Ta có: S ( SAC ) ( SMN ) (1) O AC , AC ( SAC ) O ( SAC ) ( SMN ) (2) Mặt khác: O MN , MN SMN ( ) Từ (1) (2) suy ( SAC ) ( SMN ) = SO S A M B D N O C 95 Câu 29: [MAP] Chọn D Giả sử LN BD = I Nối K với I cắt AD P Suy ( KLN ) AD = P PA NC Ta có: KL // AC PN // AC Suy = = PD ND A K P D B T N L C Câu 30: [MAP] Chọn C Trong tam giác BCD có: P trọng tâm, N trung điểm BC Suy N , P , D thẳng hàng Vậy thiết diện tam giác MND Xét tam giác MND , ta có: AB AD MN = = a ; DM = DN = =a B 2 Do tam giác MND cân D N Gọi H trung điểm MN suy DH ⊥ MN 1 a 11 Diện tích tam giác SMND = MN DH = MN DM − MH = 2 A G M D P M H C B TỰ LUẬN Câu 1: [MAP] Cho cos x = − , với x Tính sin x, cos x,sin x + , cos x − 3 4 Hướng dẫn x nên sin x 0,cos x Áp dụng cơng thức hạ bậc, ta có − cos x sin x = = sin x = 10 10 + cos x 1 cos x = = cos x = 10 10 Theo công thức cộng, ta có 1 3+ sin x + = sin x cos + cos x sin = + = 3 3 10 10 2 10 Vì 2 cos x − = cos x cos + sin sin x = − + 2 =− 4 4 2 10 10 10 Câu 2: [MAP] Cho cấp số nhân ( an ) có a1 = biểu thức 20a1 − 10a2 + a3 đạt giá trị nhỏ Tìm số hạng thứ cấp số nhân Gọi q cơng bội cấp số nhân ( an ) Hướng dẫn Ta có: 20a1 − 10a2 + a3 = 20.3 − 10.3q + 3q = ( q − 10q + 20 ) = 3( q − 5) − 15 −15, q Dấu " = "xảy q − = q = 96 N Suy ra: a6 = a1 q = 55 = 9375 Vậy số hạng thứ cấp số nhân 9375 Câu 3: [MAP] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm CD, SB a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (CDN ) b) Chứng minh đường thẳng CN song song với mặt phẳng ( SAM ) Hướng dẫn S a) Trong mặt phẳng (SAB) , lấy P thuộc SA cho NP / / AB Vì AB / /CD nên NP / /CD Hai mặt phẳng (SAB) (CDN ) có điểm chung N chứa hai đường thẳng AB, CD song song với nên giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng NP b) Vì NB = NS NP / / AB nên NP = AB Do M trung điểm CD nên CM / / AB CM = AB Suy CM / / NP CM = NP Do đó, tứ giác CNPM hình bình hành, suy CN / / MP Mà MP (SAM ) nên CN / /(SAM ) P N A D M B C ) ( Câu 4: [MAP] Tìm giới hạn sau: lim x + − x3 − x x →+ ( Ta có lim x + − x3 − x x →+ = lim x →+ = lim x →+ = lim x →+ Hướng dẫn ) x3 + 3x + 3x + − x3 + x ( x + 1) + ( x + 1) x3 − x + ( x3 − x ) 3x + x + ( x + 1) + ( x + 1) x3 − x + ( x3 − x ) 3+ 2 + x x2 1 1 13 1 + + 1 + − + 1 − x x x x = =1 1+1+1 -HẾT - 97 A TRẮC NGHIỆM Câu 1: [MAP] Chọn C π 180 = 20 Ta có: = 9 Câu 2: [MAP] Chọn D Ta có: u4 = ( −1) 2.4 = Câu 3: [MAP] Chọn C Qua điểm khơng thẳng hàng có mặt phẳng Câu 4: [MAP] Chọn A Ta có: u2 = u1 + = + = 3;u3 = u2 + = + = 5;u4 = u3 + = 7;u5 = u4 + = Câu 5: [MAP] Chọn A Ta có: lim+ f ( x ) = f ( 2) = + 2 − = x→2 ( ) Mặt khác lim− f ( x ) = lim− 5x − 5m + m = 10 − 5m + m x→2 x→2 Hàm số liên tục với x 2, để hàm số cho liên tục m = x = = 10 − 5m + m2 m2 − 5m + = m = Câu 6: [MAP] Chọn B Ta có: tan 5x − tan x = tan 5x = tan x 5x = x + kπ x = kπ (k ) kπ π k → k = 0;1; 2; 3 Vì x 0; π ) , suy π π 3π Suy nghiệm phương trình 0; π ) 0; ; ; 4 Suy + π π 3π 3π + + = 4 Câu 7: [MAP] Chọn A Gọi K điểm thuộc cạnh BD cho BK = 2KD BK BM = = MK//CD Ta có: KD MC Tương tự: GK//AD ( MGK ) // ( ACD ) MG// ( ACD ) 98 hàm số liên tục điểm Câu 8: [MAP] Chọn D Dễ thấy thiết diện tứ diện tam giác tứ giác Câu 9: [MAP] Chọn C ( ) Phương trình + cot x = 3cot x + cot x − cot x = π π kmax = −1 x = − x = + kπ cot x = , mà x cot x = x = π + kπ k = −1 x = − 5π max 6 Câu 10: [MAP] Chọn C Vì f ( x ) liên tục − 3; 3 nên suy x + − 3− x = lim = x →0 x →0 x →0 x x + + 3− x Câu 11: [MAP] Chọn B x kπ sinx π Hàm số xác định k,l ) D = \ k , k ( π cos x x + lπ Câu 12: [MAP] Chọn A a+ an + n = a = a = 10 = lim Ta có: limun = lim 5n + 5+ n Câu 13: [MAP] Chọn B f ( ) = lim f ( x ) = lim π π π Ta có: cos a + = cos a.cos − sin a.sin = cos a − sin a 3 3 2 Câu 14: [MAP] Chọn C Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với trùng Câu 15: [MAP] Chọn D Ta có: un = u1 + n.d = −2017 + 3n n 672, 33 Từ số hạng u673 số hạng cấp số cộng nhận giá trị dương 99 Câu 16: [MAP] Chọn D π π 5π − x = − + k2π x = − k2π π π , k Ta có: sin − x + = sin − x = −1 3 3 π − x = 3π + k2π x = − 7π − k2π Suy đáp án D thỏa mãn Câu 17: [MAP] Chọn A Ta có: un+1 = q.un = q.81 = q = Câu 18: [MAP] Chọn A Số ô tô có số tuổi nhỏ 12 : 23 + 25 + 37 = 85 Câu 19: [MAP] Chọn C Vì ABCD hình bình hành nên AD//BC AD ( SBC ) Suy AD// ( SBC ) Câu 20: [MAP] Chọn D −2 = 2.1 − 0 = 2.2 − Ta có: = 2.3 − Số hạng tổng quát un = 2n − = 2.4 − 6 = 2.5 − Câu 21: [MAP] Chọn D Ta có: AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến ABC nên ABC cân A AB//CD, AD//BC Lại có: ABCD hình thoi AC ⊥ BD Câu 22: [MAP] Chọn B Ta có: lim ( un + ) = limun + lim ( −1) = lim n n +1 + lim = n +2 Câu 23: [MAP] Chọn C ( x − )( x − ) = lim x − = −2 x − 12x + 35 = lim ( ) x→5 x→5 x→5 x−5 x−5 Câu 24: [MAP] Chọn A Ta có: lim+ f ( x ) = f ( 1) = Ta có: lim x →1 ( ) (1 − x ) + x + x − x3 = lim− = lim− + x + x = Mặt khác lim− f ( x ) = lim− x →1 x →1 − x x →1 x →1 1− x Do lim− f ( x ) lim+ f ( x ) nên hàm số cho không liên tục điểm x = x →1 ( ) x →1 Mặt khác lim+ f ( x ) = f ( 1) = nên hàm số liên tục phài điểm x = x →1 Câu 25: [MAP] Chọn B Mệnh đề sai đường thẳng chéo Mệnh đề sai đường thẳng song song Mệnh đề sai đường thẳng đồng phẳng suy hai đường thẳng ban đầu khơng thể chéo Vậy có mệnh đề sai 100 Câu 26: [MAP] Chọn A Ta thấy số học sinh thuộc nhóm 40;60 ) lớn nên mốt mẫu số liệu thuộc nhóm 40 ;60 ) Câu 27: [MAP] Chọn B n −1 Ta có: un = u1 q = −1 − = 103 n − = 103 n = 104 10 10 Câu 28: [MAP] Chọn B − ( x + 2) x + ( x − 2)( x + 2) x2 + x − 16 Ta có: lim = lim = lim = − x→2 − x x→2 ( − x ) + 2x + x2 x→2 x + 2x + n −1 ( ( ) ) ( ) Câu 29: [MAP] Chọn C Mặt phẳng qua tâm hình lập phương song song với mặt phẳng ( ABC ) cắt cạnh AB, AD,CD CB M,N,P,Q M,N,P,Q trung điểm AB, AD,CD CB Khi MNPQ hình vng cạnh AC a = 2 Do diện tích thiết diện cần tìm là: S = SMNPQ a a2 = = Câu 30: [MAP] Chọn C Ta có: n = 42 Nên tứ phân vị thứ mẫu số liệu Q1 = x11 Mà x11 20; 40 ) Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ mẫu số liệu nhóm 20; 40 ) B TỰ LUẬN Câu 1: [MAP] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a) y = sin2 − sin x + b) y = sin 2x − cos 2x Hướng dẫn a) y = sin2 x − sin x + = ( 2sin x − 1) + 2 Ta có: −1 sin x −3 2sin x − ( 2sin x − 1) y π max y = sin x = −1 x = − + 2kπ (k,l ) min y = sin x = x = π + 2lπ, x = 5π + 2lπ 6 101 b) Áp dụng bất đằng thức Bunhiacopxki ta có: 2 2 y = sin 2x − cos 2x + ( −1) sin2 x + cos x = −2 y sin 2x cos 2x π = x = + kπ max y = −1 (k,l ) sin 2x cos 2x π min y = −2 = x = − + kπ −1 ( ) ( ) ( ) Câu 2: [MAP] Chứng minh ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng số b+ c , c+ a , a+ b theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hướng dẫn Ba số 1 lập thành cấp số cộng c+ a a+ b 1 1 − = − c+ a b+ c a+ b b+ c ( ( b+ c , b− a )( a )( , = c− b ) ( a + b )( c + a ) a ) = ( c − b )( c + b ) c+ a b+ c b− b+ b − a = c − b a,b,c lập thành cấp số cộng Câu 3: [MAP] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi I, J,G,P,Q trung điểm DC, AB,SB,BG,BI a) Chứng minh ( IJG ) // ( SAD ) b) Chứng minh PQ// ( SAD ) c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( SAC ) ( IJG ) d) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( ACG ) ( SAD ) Hướng dẫn 102 a) Ta có IJ đường trung bình hình bình hành ABCD nên IJ//AD ( 1) Lại có JG đường trung bình tam giác SAB JG//SA ( 2) Từ ( 1) ( 2) suy ( IJG ) // ( SAD ) BE BP = = EP//AS BA BS Mặt khác EQ đường trung bình tam giác BIJ nên EQ//IJ EQ//AD b) Gọi E trung điểm JB EP//SA Ta có: ( EPQ ) // ( SAD ) EQ//AD c) Trong mặt phẳng ( ABC ) gọi IJ AC = O Ta có: SA//JG nên giao tuyến hai mặt phẳng ( SAC ) ( IJG ) song song với SA Khi giao tuyến hai mặt phẳng ( SAC ) ( IJG ) đường thẳng qua O song song với SA d) Gọi K trung điểm SA GK//AB (tính chất đường trung bình) Suy GK//CD G,K,C,D đồng phẳng M ( ACG ) Trong mặt phẳng ( GKCD ) gọi M = DK CG M SAD ( ) Do giao tuyến hai mặt phẳng ( ACG ) ( SAD ) AM x + + x − 3x Câu 4: [MAP] Tính giá trị giới hạn lim x →1 x −1 Hướng dẫn ( ) x + − x − 3x x + + x − 3x x + − x6 + 6x − 9x Ta có: lim = lim = lim x →1 x →1 x −1 ( x − 1) x2 + − x3 + 3x x→1 ( x − 1) x + − x + 3x ( = lim x →1 = lim ) − x6 + 6x − 8x + ( x − 1) ( (x x + − x + 3x )( − − x + 5x − ) ) ( x − 1) ( x + − x + 3x ) (1 + 1)( −1 + − 3) = = x →1 2 −1+ 3 ( = lim x →1 − x6 + x + 5x − 5x + − 3x ( x − 1) ( x + − x + 3x ) ( x + 1) ( −x + 5x − 3) = lim x →1 ) ( x + − x + 3x ) -HẾT - 103